Effect of Dielectric Inside Capacitor Questions in Hindi

(D) हवा माध्यम वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{Q}{V}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $Q = 10\,\mu C$ और $V = 10\,V$ दिया गया है,इसलिए $C = \frac{10\,\mu C}{10\,V} = 1\,\mu F$ प्राप्त होता है।
जब प्लेटों के बीच $K$ परावैद्युतांक वाला माध्यम भरा जाता है,तो नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
नया आवेश $Q' = C'V = KCV = KQ$ होता है।
यहाँ $Q' = 100\,\mu C$ और $Q = 10\,\mu C$ दिया गया है,इसलिए $100\,\mu C = K \times 10\,\mu C$ होता है।
अतः,$K = \frac{100}{10} = 10$ प्राप्त होता है।
तेल का परावैद्युतांक $10$ है।

(C) जब एक समांतर प्लेट संधारित्र को बैटरी से जुड़े रहने के दौरान उसके प्लेटों के बीच एक परावैद्युत स्लैब डाला जाता है,तो प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है क्योंकि यह बैटरी के $EMF$ के बराबर होता है।
संधारित्र की धारिता $C$,$K$ (परावैद्युत स्थिरांक) के गुणक से बढ़ जाती है,जहाँ $C = K C_0$ होता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} C V^2$ है।
चूंकि $V$ स्थिर है और $C$ बढ़ता है,इसलिए संचित ऊर्जा $U$ में वृद्धि होती है।

(C) मान लीजिए कि प्लेटों के बीच की प्रारंभिक दूरी $d$ है। एक समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ होती है।
जब $t = 3 \, mm$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ द्वारा दी जाती है।
समान विभवांतर बनाए रखने के लिए,प्रभावी धारिता समान रहनी चाहिए। प्रश्न में कहा गया है कि प्लेटों के बीच की दूरी $\Delta d = 2.4 \, mm$ बढ़ा दी जाती है,इसलिए नई दूरी $d' = d + 2.4$ है।
स्लैब के साथ नई धारिता $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d' - t + \frac{t}{K}} = \frac{\varepsilon_0 A}{d + 2.4 - 3 + \frac{3}{K}} = \frac{\varepsilon_0 A}{d - 0.6 + \frac{3}{K}}$ है।
धारिता अपरिवर्तित रहने के लिए,हमारे पास $d = d - 0.6 + \frac{3}{K}$ होना चाहिए।
इसे सरल करने पर $0.6 = \frac{3}{K}$ प्राप्त होता है।
अतः,$K = \frac{3}{0.6} = 5$।

(C) स्लैब पर लगने वाला विद्युत बल $F = -\frac{dU}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ है।
संधारित्र को समानांतर में दो संधारित्रों के रूप में देखा जा सकता है: एक $x$ लंबाई के परावैद्युत के साथ और दूसरा $(l-x)$ लंबाई के बिना परावैद्युत के।
$C = C_1 + C_2 = \frac{K \varepsilon_0 w x}{d} + \frac{\varepsilon_0 w (l-x)}{d} = \frac{\varepsilon_0 w}{d} [x(K-1) + l]$.
$C$ का मान ऊर्जा के सूत्र में रखने पर:
$U = \frac{Q^2 d}{2 \varepsilon_0 w [x(K-1) + l]}$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$F = -\frac{dU}{dx} = -\frac{Q^2 d}{2 \varepsilon_0 w} \cdot \frac{d}{dx} [x(K-1) + l]^{-1}$.
$F = -\frac{Q^2 d}{2 \varepsilon_0 w} \cdot (-1) [x(K-1) + l]^{-2} \cdot (K-1)$.
$F = \frac{Q^2 d (K-1)}{2 \varepsilon_0 w [x(K-1) + l]^2}$.
किनारे पर $(x=0)$:
$F = \frac{Q^2 d (K-1)}{2 \varepsilon_0 w l^2}$.

(C) परावैद्युतांक $K(x) = K_0 + \lambda x$ द्वारा दिया गया है।
दूरी $x$ पर $dx$ मोटाई का एक छोटा तत्व लें। यह $dC = \frac{\epsilon_0 K(x) A}{dx}$ धारिता वाले संधारित्र के रूप में कार्य करता है।
चूंकि ये तत्व श्रेणीक्रम (series) में हैं,कुल धारिता $C$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{C} = \int_0^d \frac{1}{dC} = \int_0^d \frac{dx}{\epsilon_0 A (K_0 + \lambda x)}$.
समाकलन करने पर: $\frac{1}{C} = \frac{1}{\epsilon_0 A} \int_0^d \frac{dx}{K_0 + \lambda x} = \frac{1}{\epsilon_0 A \lambda} [\ln(K_0 + \lambda x)]_0^d$.
$\frac{1}{C} = \frac{1}{\epsilon_0 A \lambda} \ln \left( \frac{K_0 + \lambda d}{K_0} \right) = \frac{1}{\epsilon_0 A \lambda} \ln \left( 1 + \frac{\lambda d}{K_0} \right)$.
चूंकि निर्वात धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है,इसलिए $\epsilon_0 A = C_0 d$ होगा।
यह मान रखने पर: $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_0 d \lambda} \ln \left( 1 + \frac{\lambda d}{K_0} \right)$.
अतः,$C = \frac{\lambda d}{\ln(1 + \lambda d / K_0)} C_0$.

(D) मान लीजिए कि विद्युतशीलता $\varepsilon(x)$ एक प्लेट $(x=0)$ से दूसरी प्लेट $(x=d)$ तक दूरी $x$ के साथ रैखिक रूप से बदलती है:
$\varepsilon(x) = \varepsilon_1 + \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d} x$
$dx$ मोटाई वाली एक पतली परत पर विचार करें। यह एक संधारित्र के रूप में कार्य करता है जिसकी धारिता $dC = \frac{\varepsilon(x) A}{dx}$ है।
चूंकि ये संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C$ के लिए: $\frac{1}{C} = \int_0^d \frac{1}{dC} = \int_0^d \frac{dx}{\varepsilon(x) A}$.
$\frac{1}{C} = \frac{1}{A} \int_0^d \frac{dx}{\varepsilon_1 + \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d} x}$
$u = \varepsilon_1 + \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d} x$ लेने पर,$du = \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d} dx$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{C} = \frac{1}{A} \cdot \frac{d}{\varepsilon_2 - \varepsilon_1} \int_{\varepsilon_1}^{\varepsilon_2} \frac{du}{u} = \frac{d}{A(\varepsilon_2 - \varepsilon_1)} [\ln u]_{\varepsilon_1}^{\varepsilon_2} = \frac{d \ln(\varepsilon_2/\varepsilon_1)}{A(\varepsilon_2 - \varepsilon_1)}$.
अतः,$C = \frac{A(\varepsilon_2 - \varepsilon_1)}{d \ln(\varepsilon_2/\varepsilon_1)}$.

(B) प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ है।
जब पदार्थ को बदला जाता है,तो संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों की तरह कार्य करता है।
पहले संधारित्र का क्षेत्रफल $A_1 = \frac{1}{3}A$,परावैद्युत नियतांक $K_1 = 2K$ और दूरी $d$ है। इसकी धारिता $C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 A_1}{d} = \frac{(2K) \epsilon_0 (A/3)}{d} = \frac{2}{3} \frac{K \epsilon_0 A}{d} = \frac{2}{3} C_0$ है।
दूसरे संधारित्र का क्षेत्रफल $A_2 = \frac{2}{3}A$,परावैद्युत नियतांक $K_2 = K$ और दूरी $d$ है। इसकी धारिता $C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 A_2}{d} = \frac{K \epsilon_0 (2A/3)}{d} = \frac{2}{3} \frac{K \epsilon_0 A}{d} = \frac{2}{3} C_0$ है।
चूंकि वे समानांतर क्रम में हैं,कुल धारिता $C = C_1 + C_2 = \frac{2}{3} C_0 + \frac{2}{3} C_0 = \frac{4}{3} C_0$ है।
अतः,$\frac{C}{C_0} = \frac{4}{3}$।

(A) बाएं सिरे से $x$ दूरी पर $dx$ चौड़ाई की एक छोटी पट्टी पर विचार करें। परावैद्युत भाग की ऊंचाई $y = (d/a)x$ है।
यह पट्टी श्रेणीक्रम में दो संधारित्रों के रूप में कार्य करती है: एक हवा के साथ (मोटाई $d-y$) और एक परावैद्युत के साथ (मोटाई $y$)।
हवा वाले भाग की धारिता $dC_1 = \frac{\varepsilon_0 a dx}{d-y}$ है और परावैद्युत भाग की $dC_2 = \frac{K\varepsilon_0 a dx}{y}$ है।
पट्टी की तुल्य धारिता $dC$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{dC} = \frac{1}{dC_1} + \frac{1}{dC_2} = \frac{d-y}{\varepsilon_0 a dx} + \frac{y}{K\varepsilon_0 a dx} = \frac{Kd - Ky + y}{K\varepsilon_0 a dx} = \frac{Kd - (K-1)y}{K\varepsilon_0 a dx}$.
अतः,$dC = \frac{K\varepsilon_0 a dx}{Kd - (K-1)(d/a)x}$.
$x=0$ से $x=a$ तक समाकलन करने पर:
$C = \int_0^a \frac{K\varepsilon_0 a dx}{Kd - \frac{(K-1)d}{a}x} = \frac{K\varepsilon_0 a}{d} \int_0^a \frac{dx}{K - \frac{(K-1)}{a}x}$.
मान लीजिए $u = K - \frac{(K-1)}{a}x$,तो $du = -\frac{(K-1)}{a} dx$.
$C = \frac{K\varepsilon_0 a}{d} \left( -\frac{a}{K-1} \right) [\ln(K - \frac{(K-1)}{a}x)]_0^a = \frac{-K\varepsilon_0 a^2}{d(K-1)} [\ln(1) - \ln(K)] = \frac{K\varepsilon_0 a^2}{d(K-1)} \ln K$.

(C) संधारित्र को $d/2$ मोटाई के दो श्रेणीबद्ध संधारित्रों के रूप में देखा जा सकता है।
पहले आधे भाग के लिए (मोटाई $d/2$),हमारे पास $L^2/2$ क्षेत्रफल वाले दो समांतर संधारित्र हैं:
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 K_1 (L^2/2)}{d/2} + \frac{\varepsilon_0 K_3 (L^2/2)}{d/2} = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d} (K_1 + K_3)$.
दूसरे आधे भाग के लिए (मोटाई $d/2$),हमारे पास $L^2/2$ क्षेत्रफल वाले दो समांतर संधारित्र हैं:
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 K_2 (L^2/2)}{d/2} + \frac{\varepsilon_0 K_4 (L^2/2)}{d/2} = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d} (K_2 + K_4)$.
चूंकि ये दोनों भाग श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{d}{\varepsilon_0 L^2 (K_1 + K_3)} + \frac{d}{\varepsilon_0 L^2 (K_2 + K_4)}$.
साथ ही,$C = \frac{\varepsilon_0 K L^2}{d}$,इसलिए:
$\frac{d}{\varepsilon_0 K L^2} = \frac{d}{\varepsilon_0 L^2} \left( \frac{1}{K_1 + K_3} + \frac{1}{K_2 + K_4} \right)$.
$\frac{1}{K} = \frac{(K_2 + K_4) + (K_1 + K_3)}{(K_1 + K_3)(K_2 + K_4)}$.
अतः,$K = \frac{(K_1 + K_3)(K_2 + K_4)}{K_1 + K_2 + K_3 + K_4}$.

(C) संधारित्र को तीन समांतर संधारित्रों में विभाजित किया गया है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $A' = A/3$ और प्लेटों के बीच की दूरी $d$ समान है।
तुल्य धारिता $C_{net}$ व्यक्तिगत धारिताओं का योग है:
$C_{net} = C_1 + C_2 + C_3$
समांतर प्लेट संधारित्र के सूत्र $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{K_{eq} \epsilon_0 A}{d} = \frac{K_1 \epsilon_0 (A/3)}{d} + \frac{K_2 \epsilon_0 (A/3)}{d} + \frac{K_3 \epsilon_0 (A/3)}{d}$
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{\epsilon_0 A}{3d}$ को हटाने पर:
$K_{eq} = \frac{K_1 + K_2 + K_3}{3}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$K_{eq} = \frac{10 + 12 + 14}{3} = \frac{36}{3} = 12$
अतः,तुल्य परावैद्युतांक $12$ है।

(B) प्रारंभिक धारिता $C = 12 \, pF$,प्रारंभिक विभव $V = 10 \, V$ है।
प्रारंभिक आवेश $Q = CV = 12 \, pF \times 10 \, V = 120 \, pC$ है।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{Q^2}{2C} = \frac{(120)^2}{2 \times 12} = \frac{14400}{24} = 600 \, pJ$ है।
जब परावैद्युत स्लैब को डाला जाता है,तो नई धारिता $C' = kC = 6.5 \times 12 = 78 \, pF$ हो जाती है।
चूंकि बैटरी हटा दी गई है,इसलिए आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2kC} = \frac{U_i}{k} = \frac{600}{6.5} \approx 92.31 \, pJ$ है।
संधारित्र द्वारा स्लैब पर किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में कमी के बराबर है: $W = U_i - U_f = 600 - 92.31 = 507.69 \, pJ$ है।
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,हमें $508 \, pJ$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है:
वोल्टेज रेटिंग $V = 500\,V$
अधिकतम विद्युत क्षेत्र $E_{\max} = 10^6\,V/m$
प्लेट का क्षेत्रफल $A = 10^{-4}\,m^2$
धारिता $C = 15\,pF = 15 \times 10^{-12}\,F$
निर्वात की विद्युतशीलता $\epsilon_0 = 8.86 \times 10^{-12}\,C^2/Nm^2$
एक समानांतर प्लेट संधारित्र के लिए,अधिकतम वोल्टेज $V$,प्लेटों के बीच की दूरी $d$ और अधिकतम विद्युत क्षेत्र $E_{\max}$ से इस प्रकार संबंधित है:
$V = E_{\max} \times d$
$d = \frac{V}{E_{\max}} = \frac{500}{10^6} = 5 \times 10^{-4}\,m$
परावैद्युत युक्त समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र है:
$C = \frac{k \epsilon_0 A}{d}$
जहाँ $k$ परावैद्युतांक है।
$k$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$k = \frac{C \times d}{\epsilon_0 \times A}$
मान रखने पर:
$k = \frac{15 \times 10^{-12} \times 5 \times 10^{-4}}{8.86 \times 10^{-12} \times 10^{-4}}$
$k = \frac{15 \times 5}{8.86} = \frac{75}{8.86} \approx 8.465$
निकटतम विकल्प के अनुसार,$k \approx 8.5$ प्राप्त होता है।

(C) $1$. प्रारंभ में,संधारित्र $V$ वोल्टेज की बैटरी से समांतर क्रम में जुड़े होते हैं। प्रणाली में संचित कुल आवेश $Q_{total}$ इस प्रकार है:
$Q_{total} = C V + n C V = (n + 1) C V$
$2$. बैटरी को हटाने के बाद,प्रणाली में कुल आवेश $Q_{total}$ संरक्षित रहता है।
$3$. जब पहले संधारित्र में $K$ परावैद्युतांक वाला परावैद्युत डाला जाता है,तो इसकी नई धारिता $C' = K C$ हो जाती है। दूसरा संधारित्र $n C$ धारिता के साथ अपरिवर्तित रहता है।
$4$. चूंकि संधारित्र समांतर क्रम में हैं,इसलिए उनका विभवांतर समान $V_c$ होता है। प्रणाली की कुल धारिता $C_{eq} = K C + n C = (K + n) C$ हो जाती है।
$5$. नया विभवांतर $V_c$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$V_c = \frac{Q_{total}}{C_{eq}} = \frac{(n + 1) C V}{(K + n) C} = \frac{(n + 1) V}{K + n}$

(B) संधारित्र $(I)$ के लिए,परावैद्युत श्रेणीक्रम में हैं। प्रत्येक भाग की धारिता $C_i = \frac{3 \varepsilon_0 A K_i}{d}$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{d}{3 \varepsilon_0 A} (\frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} + \frac{1}{K_3}) = \frac{d(K_2 K_3 + K_3 K_1 + K_1 K_2)}{3 \varepsilon_0 A K_1 K_2 K_3}$.
अतः,$C_{eq} = \frac{3 \varepsilon_0 A K_1 K_2 K_3}{d(K_1 K_2 + K_2 K_3 + K_3 K_1)}$.
संधारित्र $(II)$ के लिए,परावैद्युत समानांतर क्रम में हैं। प्रत्येक भाग की धारिता $C_i' = \frac{\varepsilon_0 (A/3) K_i}{d} = \frac{\varepsilon_0 A K_i}{3d}$ है।
चूंकि वे समानांतर क्रम में हैं,$C_{eq}' = C_1' + C_2' + C_3' = \frac{\varepsilon_0 A}{3d} (K_1 + K_2 + K_3)$.
संचित ऊर्जा $E = \frac{1}{2} C V^2$ है। इसलिए,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{C_{eq}}{C_{eq}'} = \frac{3 \varepsilon_0 A K_1 K_2 K_3}{d(K_1 K_2 + K_2 K_3 + K_3 K_1)} \cdot \frac{3d}{\varepsilon_0 A (K_1 + K_2 + K_3)} = \frac{9 K_1 K_2 K_3}{(K_1 + K_2 + K_3)(K_1 K_2 + K_2 K_3 + K_3 K_1)}$.

(C) परावैद्युत के बिना संधारित्र की प्लेटों पर प्रारंभिक आवेश:
$Q = CV = (5\,\mu F) \times (1\,V) = 5\,\mu C$
$d$ प्लेट पृथक्करण वाले संधारित्र में $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली परावैद्युत पट्टी डालने के बाद धारिता $C'$ इस प्रकार है:
$C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}} = \frac{C}{1 - \frac{t}{d}(1 - \frac{1}{K})}$
दिए गए मानों $(C = 5\,\mu F, d = 6\,cm, t = 4\,cm, K = 4)$ को रखने पर:
$C' = \frac{5\,\mu F}{1 - \frac{4}{6}(1 - \frac{1}{4})} = \frac{5\,\mu F}{1 - \frac{2}{3}(\frac{3}{4})} = \frac{5\,\mu F}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{5\,\mu F}{0.5} = 10\,\mu F$
संधारित्र की प्लेटों पर नया आवेश:
$Q' = C'V = (10\,\mu F) \times (1\,V) = 10\,\mu C$
बैटरी से प्रवाहित होने वाला अतिरिक्त आवेश:
$\Delta Q = Q' - Q = 10\,\mu C - 5\,\mu C = 5\,\mu C$

(A) जब संधारित्र को स्रोत से अलग कर दिया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
परावैद्युत स्लैब डालने से संधारित्र की धारिता $C$ बढ़ जाती है,क्योंकि $C = K C_0$,जहाँ $K > 1$ परावैद्युतांक है।
चूंकि आवेश $Q$ स्थिर है और धारिता $C$ बढ़ती है,इसलिए प्लेटों के बीच विभवांतर $V$,संबंध $V = Q / C$ के अनुसार बदल जाता है। जैसे-जैसे $C$ बढ़ता है,$V$ घटता है।
अतः,विभवांतर $(i)$ और धारिता $(ii)$ बदलते हैं,जबकि आवेश $(iii)$ स्थिर रहता है।

(D) यह संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों से बना है,जिनमें से प्रत्येक में एक परावैद्युत परत है।
समानांतर प्लेट संधारित्र के लिए,धारिता $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
पहली परत के लिए (परावैद्युत स्थिरांक $K_1 = 2$,मोटाई $d$): $C_1 = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$।
दूसरी परत के लिए (परावैद्युत स्थिरांक $K_2 = 6$,मोटाई $2d$): $C_2 = \frac{6 \epsilon_0 A}{2d} = \frac{3 \epsilon_0 A}{d}$।
चूंकि संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,प्रत्येक पर आवेश $Q$ समान रहेगा।
संधारित्र पर विभवांतर $V = Q/C$ होता है।
इसलिए,विभवांतर का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{Q/C_1}{Q/C_2} = \frac{C_2}{C_1}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{3 \epsilon_0 A / d}{2 \epsilon_0 A / d} = \frac{3}{2} = 1.5$।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक प्लेट का क्षेत्रफल $A$ है और उनके बीच की दूरी $d$ है। हवा में संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
जब प्लेटों के बीच के स्थान को $d/2$ दूरी तक $\varepsilon_r$ परावैद्युतांक वाले पदार्थ से भर दिया जाता है,तो संधारित्र को श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है।
एक संधारित्र में हवा परावैद्युत के रूप में है जिसकी मोटाई $d_1 = d/2$ है,इसलिए इसकी धारिता $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{d/2} = 2C$ है।
दूसरे संधारित्र में परावैद्युत पदार्थ है जिसकी मोटाई $d_2 = d/2$ है,इसलिए इसकी धारिता $C_2 = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 A}{d/2} = 2\varepsilon_r C$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ का मान $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{2C} + \frac{1}{2\varepsilon_r C} = \frac{1}{2C} \left(1 + \frac{1}{\varepsilon_r}\right) = \frac{1}{2C} \left(\frac{\varepsilon_r + 1}{\varepsilon_r}\right)$.
अतः,$C_{eq} = \frac{2\varepsilon_r C}{\varepsilon_r + 1}$।

(D) संधारित्र को तीन भागों में विभाजित किया जा सकता है। मान लीजिए कुल क्षेत्रफल $A$ और दूरी $d$ है।
$1$. बाईं ओर दो संधारित्र $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं,जिनका क्षेत्रफल $A/2$ और दूरी $d/2$ है।
$C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d}$
$C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{d}$
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,तुल्य धारिता $C_{12}$ इस प्रकार होगी:
$\frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{d}{\varepsilon_0 A} (\frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}) = \frac{d}{\varepsilon_0 A} (\frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2})$
अतः,$C_{12} = \frac{\varepsilon_0 A}{d} (\frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2})$
$2$. दाईं ओर का संधारित्र $C_3$ है जिसका क्षेत्रफल $A/2$ और दूरी $d$ है।
$C_3 = \frac{K_3 \varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{K_3 \varepsilon_0 A}{2d}$
$3$. $C_{12}$ और $C_3$ समांतर क्रम में हैं। परिणामी धारिता $C_{eq} = C_{12} + C_3 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} (\frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2} + \frac{K_3}{2})$.

(A) प्रारंभ में,संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हैं और $V$ विभव तक आवेशित हैं। निकाय में संचित कुल आवेश $Q_{\text{total}} = (2C)V + (C)V = 3CV$ है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है,तो कुल आवेश $Q_{\text{total}} = 3CV$ संरक्षित रहता है।
संधारित्र $C$ को $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम से भरने के बाद,इसकी नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
समानांतर संयोजन की नई कुल धारिता $C_{\text{eq}} = 2C + KC = C(K + 2)$ है।
समानांतर संयोजन पर नया विभवांतर $V' = \frac{Q_{\text{total}}}{C_{\text{eq}}}$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$V' = \frac{3CV}{C(K + 2)} = \frac{3V}{K + 2}$.

(C) हवा से भरे समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 9 \, pF$ है।
जब स्थान को $d_1 = d/3$ और $d_2 = 2d/3$ मोटाई वाले दो परावैद्युत पदार्थों से भरा जाता है,तो यह प्रणाली श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों की तरह कार्य करती है।
पहले भाग की धारिता $C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d_1} = \frac{3 \varepsilon_0 A}{d/3} = 9 \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 9 \times 9 = 81 \, pF$ है।
दूसरे भाग की धारिता $C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{d_2} = \frac{6 \varepsilon_0 A}{2d/3} = 9 \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 9 \times 9 = 81 \, pF$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार होगी:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{81} + \frac{1}{81} = \frac{2}{81}$.
अतः,$C_{eq} = \frac{81}{2} = 40.5 \, pF$ है।

(D) जब सेल को जुड़े हुए रखते हुए संधारित्र में $\epsilon_r$ परावैद्युतांक वाली परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है क्योंकि यह सेल द्वारा निर्धारित होता है।
नई धारिता $C' = \epsilon_r C$ हो जाती है। चूँकि $\epsilon_r > 1$ है,इसलिए धारिता बढ़ जाती है।
संधारित्र पर संचित आवेश $Q = CV$ सूत्र द्वारा दिया जाता है। चूँकि $V$ स्थिर है और $C$ बढ़ता है,इसलिए प्लेटों पर संचित आवेश $Q$ बढ़ जाएगा $(Q' = \epsilon_r Q)$.

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = Q^2 / (2C)$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,धारिता $C = \epsilon_0 A / d$ है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
$d$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली परावैद्युत स्लैब डालने के बाद,नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
नई संचित ऊर्जा $U' = Q^2 / (2C') = Q^2 / (2KC)$ है।
अतः,पहले और बाद की ऊर्जा का अनुपात $U / U' = (Q^2 / 2C) / (Q^2 / 2KC) = K$ है।

(A) हवा वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 8\,\mu F$ होती है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी को घटाकर $d' = \frac{d}{2}$ कर दिया जाता है और $K = 6$ परावैद्युतांक वाला पदार्थ भरा जाता है,तो नई धारिता $C'$ इस प्रकार होगी:
$C' = \frac{K \varepsilon_0 A}{d'} = \frac{K \varepsilon_0 A}{d/2} = 2K \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$C' = 2 \times 6 \times C = 12 \times 8\,\mu F = 96\,\mu F$.

(A) परावैद्युत माध्यम वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र है: $C = \frac{\varepsilon_{0} \varepsilon_{r} A}{d}$.
दिए गए मान:
$C = 2 \times 10^{-4}\,\mu F = 2 \times 10^{-10}\,F$
$A = 0.01\,m^2$
$d = 2\,mm = 2 \times 10^{-3}\,m$
$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12}\,F/m$
परावैद्युतांक $\varepsilon_{r}$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\varepsilon_{r} = \frac{C \cdot d}{\varepsilon_{0} \cdot A}$
मान रखने पर:
$\varepsilon_{r} = \frac{(2 \times 10^{-10}) \times (2 \times 10^{-3})}{(8.85 \times 10^{-12}) \times (0.01)}$
$\varepsilon_{r} = \frac{4 \times 10^{-13}}{8.85 \times 10^{-14}}$
$\varepsilon_{r} = \frac{40}{8.85} \approx 4.52$.

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों के बीच की आधी जगह को प्लेटों के समांतर $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम से भर दिया जाता है,तो संधारित्र को श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में देखा जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक की प्लेटों के बीच की दूरी $d/2$ है।
परावैद्युत माध्यम से भरे भाग की धारिता $C_1 = \frac{K \epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2K \epsilon_0 A}{d} = 2KC$ है।
वायु से भरे भाग की धारिता $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d} = 2C$ है।
चूंकि ये दोनों संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार होगी:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{2KC} + \frac{1}{2C} = \frac{1}{2C} \left( \frac{1}{K} + 1 \right) = \frac{1}{2C} \left( \frac{1+K}{K} \right)$.
अतः,$C_{eq} = \frac{2CK}{K+1}$.

(D) मान लीजिए कि प्रारंभिक धारिता $C_0$ है और प्रारंभिक विभवांतर $V_0$ है। जब $d$ मोटाई (प्लेटों के बीच की दूरी के बराबर) की एक परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C = K C_0$ हो जाती है,जहाँ $K$ परावैद्युतांक है।
चूंकि संधारित्र पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है $(Q = C_0 V_0 = C V)$,इसलिए हमारे पास $V = Q/C = (C_0 V_0) / (K C_0) = V_0 / K$ है।
यह दिया गया है कि विभवांतर मूल मान का $1/8$ हो जाता है,इसलिए $V = V_0 / 8$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,$V_0 / K = V_0 / 8$,जिससे हमें $K = 8$ प्राप्त होता है।

(B) प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
जब संधारित्र को चित्र में दिखाए अनुसार श्रेणी क्रम में $K=5$ परावैद्युतांक वाले परावैद्युत से आधा भरा जाता है,तो यह निकाय दो श्रेणीबद्ध संधारित्रों की तरह कार्य करता है,जिनमें से प्रत्येक की प्लेट दूरी $d/2$ है।
परावैद्युत भाग की धारिता: $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K \varepsilon_0 A}{d} = \frac{10 \varepsilon_0 A}{d}$।
वायु भाग की धारिता: $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d}$।
तुल्य धारिता $C'$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C'} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{d}{10 \varepsilon_0 A} + \frac{d}{2 \varepsilon_0 A} = \frac{d}{\varepsilon_0 A} \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{2} \right) = \frac{d}{\varepsilon_0 A} \left( \frac{1+5}{10} \right) = \frac{6d}{10 \varepsilon_0 A} = \frac{3d}{5 \varepsilon_0 A}$।
अतः,$C' = \frac{5}{3} \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{5}{3} C$।
धारिता में प्रतिशत वृद्धि = $\frac{C' - C}{C} \times 100 = \left( \frac{5/3 C - C}{C} \right) \times 100 = \left( \frac{5}{3} - 1 \right) \times 100 = \frac{2}{3} \times 100 = 66.67\% \approx 66.6\%$।

(B) जब एक संधारित्र को आवेशित करके बैटरी से अलग कर दिया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
जब प्लेटों के बीच $K$ परावैद्युतांक वाला एक परावैद्युत स्लैब रखा जाता है,तो धारिता बढ़कर $C' = KC$ हो जाती है।
चूंकि $Q$ स्थिर है,नया विभवांतर $V' = \frac{Q}{C'} = \frac{Q}{KC} = \frac{V}{K}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है कि विभवांतर कम हो जाता है।
संचित ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ बदलकर $U' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2KC} = \frac{U}{K}$ हो जाती है,जिसका अर्थ है कि संचित ऊर्जा कम हो जाती है।
अतः,विभवांतर और संचित ऊर्जा कम हो जाते हैं,जबकि आवेश अपरिवर्तित रहता है।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ परावैद्युतांक है,$A$ क्षेत्रफल है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
दिया गया है कि नई दूरी $d' = \frac{d}{2}$ और नया परावैद्युतांक $K' = 3K$ है।
नई धारिता $C'$ का मान $C' = \frac{(3K) \epsilon_0 A}{(d/2)} = 6 \left( \frac{K \epsilon_0 A}{d} \right) = 6C$ होगा।
अतः,कथन सही है।
संधारित्र की धारिता प्लेटों के बीच रखे पदार्थ के परावैद्युतांक $(K)$ पर निर्भर करती है। इसलिए,कारण गलत है।

(C) जब एक समांतर प्लेट संधारित्र को बैटरी से जोड़ा जाता है,तो प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है $(V = V_0)$।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों के बीच $K$ परावैद्युतांक वाला एक परावैद्युत स्लैब रखा जाता है,तो धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
इसलिए,नई संचित ऊर्जा $U' = \frac{1}{2} (KC) V^2 = K U$ हो जाती है। अतः,संचित ऊर्जा $K$ गुना हो जाती है।
चूंकि $Q = CV$,प्लेटों पर आवेश $Q' = KCV = KQ$ हो जाता है।
आवेश का पृष्ठ घनत्व $\sigma = \frac{Q}{A}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $Q$,$K$ के गुणक में बढ़ता है,इसलिए पृष्ठ घनत्व $\sigma' = \frac{KQ}{A} = K\sigma_0$ भी $K$ के गुणक में बढ़ता है।
इसलिए,कारण गलत है क्योंकि आवेश का पृष्ठ घनत्व स्थिर नहीं रहता है।

(C) एक विलगित संधारित्र के लिए,आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
प्लेटों के बीच बल $F = \frac{Q^2}{2A\epsilon_0 K}$ द्वारा दिया जाता है। परावैद्युत के लिए $K > 1$ होने के कारण,बल $F$ कम हो जाता है।
अतः,कथन सही है।
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{K\epsilon_0} = \frac{E_0}{K}$ द्वारा दिया जाता है। $K > 1$ होने के कारण,विद्युत क्षेत्र $E$ कम हो जाता है।
इसलिए,कारण गलत है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) चूंकि परावैद्युतांक $k(x)$ दूरी $x$ के साथ बदलता है,इसलिए हम एक प्लेट से $x$ दूरी पर $dx$ मोटाई की एक पतली तात्विक स्लाइस पर विचार करते हैं।
इस तात्विक स्लाइस की धारिता $dC = \frac{\varepsilon_0 k(x) A}{dx} = \frac{\varepsilon_0 K(1+\alpha x) A}{dx}$ है।
चूंकि ये सभी तात्विक संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C} = \int_0^d \frac{1}{dC} = \int_0^d \frac{dx}{\varepsilon_0 K A (1+\alpha x)}$.
इसका समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{\varepsilon_0 K A} \left[ \frac{\ln(1+\alpha x)}{\alpha} \right]_0^d = \frac{1}{\alpha \varepsilon_0 K A} \ln(1+\alpha d)$.
$u = \alpha d << 1$ के लिए टेलर विस्तार $\ln(1+u) \approx u - \frac{u^2}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{C} \approx \frac{1}{\alpha \varepsilon_0 K A} (\alpha d - \frac{(\alpha d)^2}{2}) = \frac{d}{\varepsilon_0 K A} (1 - \frac{\alpha d}{2})$.
$C$ ज्ञात करने के लिए व्युत्क्रम लेने पर और द्विपद सन्निकटन $(1-u)^{-1} \approx 1+u$ का उपयोग करते हुए:
$C \approx \frac{\varepsilon_0 K A}{d} (1 - \frac{\alpha d}{2})^{-1} \approx \frac{\varepsilon_0 K A}{d} (1 + \frac{\alpha d}{2})$.

(N/A) मान लीजिए कि जब कोई परावैद्युत नहीं है और विभवांतर $V_{0}$ है,तो प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E_{0} = V_{0} / d$ है।
यदि अब परावैद्युत को डाला जाता है,तो परावैद्युत में विद्युत क्षेत्र $E = E_{0} / K$ होगा।
तब विभवांतर $V$ इस प्रकार होगा:
$V = E_{0} \left(\frac{1}{4} d\right) + \frac{E_{0}}{K} \left(\frac{3}{4} d\right)$
$V = E_{0} d \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{4K}\right) = V_{0} \left(\frac{K+3}{4K}\right)$
विभवांतर $(K+3) / 4K$ के कारक से घट जाता है जबकि प्लेटों पर मुक्त आवेश $Q_{0}$ अपरिवर्तित रहता है।
इस प्रकार धारिता $C$ इस प्रकार बढ़ती है:
$C = \frac{Q_{0}}{V} = \frac{Q_{0}}{V_{0} \left(\frac{K+3}{4K}\right)} = \left(\frac{4K}{K+3}\right) C_{0}$

(C) हवा माध्यम वाले समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 8 \;pF$ है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी को घटाकर $d' = \frac{d}{2}$ कर दिया जाता है और उनके बीच $k = 6$ परावैद्युतांक वाला पदार्थ भर दिया जाता है,तो नई धारिता $C'$ इस प्रकार होगी:
$C' = \frac{k \varepsilon_0 A}{d'} = \frac{6 \varepsilon_0 A}{d/2} = 12 \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right)$.
प्रारंभिक मान $C = 8 \;pF$ रखने पर:
$C' = 12 \times 8 \;pF = 96 \;pF$.
अतः,नई धारिता $96 \;pF$ होगी।

(A) अभ्रक (mica) शीट का परावैद्युत स्थिरांक,$k = 6$.
यदि वोल्टेज आपूर्ति जुड़ी रहती है,तो प्लेटों के बीच विभवांतर स्थिर रहता है। आपूर्ति वोल्टेज,$V = 100 \, V$.
प्रारंभिक धारिता,$C = 17.71 \, pF = 1.771 \times 10^{-11} \, F$.
नई धारिता,$C_{1} = k \cdot C = 6 \times 17.71 \, pF = 106.26 \, pF$.
नया आवेश,$q_{1} = C_{1} \cdot V = 106.26 \times 10^{-12} \, F \times 100 \, V = 1.0626 \times 10^{-8} \, C$.
प्लेटों के बीच विभवांतर $100 \, V$ ही रहता है।
$(b)$ परावैद्युत स्थिरांक,$k = 6$.
प्रारंभिक आवेश,$q = C \cdot V = 17.71 \times 10^{-12} \, F \times 100 \, V = 1.771 \times 10^{-9} \, C$.
नई धारिता,$C_{1} = k \cdot C = 6 \times 17.71 \, pF = 106.26 \, pF$.
यदि आपूर्ति हटा दी जाती है,तो आवेश स्थिर रहता है,$q = 1.771 \times 10^{-9} \, C$.
प्लेटों के बीच नया विभवांतर $V_{1} = \frac{q}{C_{1}} = \frac{1.771 \times 10^{-9} \, C}{106.26 \times 10^{-12} \, F} \approx 16.67 \, V$ होता है।

(N/A) मान लीजिए $A$ क्षेत्रफल वाली दो बड़ी प्लेटें $d$ दूरी पर स्थित हैं। प्लेटों पर आवेश $\pm Q$ है,जो पृष्ठीय आवेश घनत्व $\pm \sigma$ के अनुरूप है।
जब प्लेटों के बीच निर्वात होता है:
$E_{0} = \frac{\sigma}{\epsilon_{0}}$
विभवांतर $V_{0}$ इस प्रकार है:
$V_{0} = E_{0} d$
यदि $C_{0}$ धारिता है:
$C_{0} = \frac{Q}{V_{0}} = \frac{\sigma A}{E_{0} d} = \frac{\epsilon_{0} A}{d} \quad \dots(1)$
जब प्लेटों के बीच एक परावैद्युत रखा जाता है,तो यह बाहरी क्षेत्र द्वारा ध्रुवीकृत हो जाता है,जिससे प्रेरित पृष्ठीय आवेश घनत्व $\pm \sigma_{P}$ उत्पन्न होता है।
प्लेटों के बीच परिणामी विद्युत क्षेत्र:
$E = E_{0} - E_{P} = \frac{\sigma - \sigma_{P}}{\epsilon_{0}}$
नया विभवांतर:
$V = E d = \frac{(\sigma - \sigma_{P}) d}{\epsilon_{0}}$
रैखिक परावैद्युत के लिए,हम परावैद्युतांक $K$ को इस प्रकार परिभाषित करते हैं कि परिणामी क्षेत्र $K$ के कारक से कम हो जाता है:
$E = \frac{E_{0}}{K} \implies \sigma - \sigma_{P} = \frac{\sigma}{K}$
इस मान को विभव के समीकरण में रखने पर:
$V = \frac{\sigma d}{\epsilon_{0} K} = \frac{Q d}{A \epsilon_{0} K}$
नई धारिता $C$:
$C = \frac{Q}{V} = \frac{A \epsilon_{0} K}{d} = K C_{0}$
इस प्रकार,परावैद्युतांक $K$ को $K = \frac{C}{C_{0}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।

(N/A) निर्वात में समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\epsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
जब $K$ परावैद्युतांक वाला कोई परावैद्युत पदार्थ प्लेटों के बीच रखा जाता है,तो नई धारिता $C = K C_0$ हो जाती है।
यह दिया गया है कि $K = 2$,इसलिए धारिता का सूत्र $C = 2 C_0 = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$ होगा।

(A) $1$. धारिता $(C)$: परावैद्युतांक $K$ वाले संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $K > 1$ है,इसलिए परावैद्युत स्लैब को हटाने (उसे हवा $K=1$ से बदलने) पर धारिता $C$ घट जाएगी।
$2$. आवेश $(q)$: चूंकि परावैद्युत को हटाने से पहले बैटरी को डिस्कनेक्ट कर दिया गया है,इसलिए संधारित्र अलग-थलग (isolated) है। अतः,प्लेटों पर संचित आवेश $q$ स्थिर रहता है।
$3$. संचित ऊर्जा $(U)$: संचित ऊर्जा $U = \frac{q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $q$ स्थिर है और $C$ घटता है,इसलिए $U$ बढ़ेगा।
$4$. वोल्टेज $(V)$: संबंध $q = CV$ से,$V = \frac{q}{C}$ होता है। चूंकि $q$ स्थिर है और $C$ घटता है,इसलिए प्लेटों के बीच वोल्टेज $V$ बढ़ेगा।
$5$. विद्युत क्षेत्र $(E)$: प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ है। चूंकि $V$ बढ़ता है और $d$ स्थिर रहता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E$ बढ़ेगा।

(C) मान लीजिए $C_0$ बिना परावैद्युत वाले संधारित्र की धारिता है।
पहले संधारित्र पर आवेश $Q_0 = C_0 U_0 = 78 C_0$ है।
समांतर क्रम में जोड़ने पर,दोनों संधारित्रों पर अंतिम वोल्टेज $U$ समान होता है।
परावैद्युत वाले दूसरे संधारित्र की धारिता $C = \varepsilon_r C_0 = \varepsilon C_0 = (\alpha U) C_0$ है।
कुल आवेश संरक्षित रहता है: $Q_0 = C_0 U + C U = C_0 U + (\alpha U) C_0 U = C_0 U (1 + \alpha U)$।
मान रखने पर: $78 C_0 = C_0 U (1 + 2U)$।
$78 = U + 2U^2 \implies 2U^2 + U - 78 = 0$।
द्विघात समीकरण को हल करने पर $U = \frac{-1 \pm 25}{4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि वोल्टेज धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $U = 6 \ V$ प्राप्त होता है।

(C) प्रारंभिक धारिता $C_i = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{\varepsilon_0 (lw)}{d}$.
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C_i V^2$.
$x$ लंबाई की स्लैब डालने के बाद,संधारित्र समांतर क्रम में दो संधारित्रों की तरह कार्य करता है: एक परावैद्युत के साथ (लंबाई $x$) और एक हवा के साथ (लंबाई $l-x$)।
$C_f = C_1 + C_2 = \frac{k \varepsilon_0 (xw)}{d} + \frac{\varepsilon_0 ((l-x)w)}{d}$.
दिया गया है $U_f = 2 U_i$,और चूंकि $V$ स्थिर है,इसलिए $C_f = 2 C_i$.
$\frac{\varepsilon_0 w}{d} [kx + l - x] = 2 \frac{\varepsilon_0 lw}{d}$.
$kx + l - x = 2l$.
$k = 4$ रखने पर: $4x + l - x = 2l$.
$3x = l \Rightarrow x = \frac{l}{3}$.

(D) वायु वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_{0} = 6\, \mu F$ है।
जब एक परावैद्युत माध्यम पेश किया जाता है,तो नई धारिता $C_{m} = 30\, \mu F$ हो जाती है।
परावैद्युत स्थिरांक $\epsilon_{r}$ को माध्यम के साथ धारिता और वायु के साथ धारिता के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$\epsilon_{r} = \frac{C_{m}}{C_{0}} = \frac{30}{6} = 5$.
माध्यम की विद्युतशीलता $\epsilon$ को $\epsilon = \epsilon_{0} \cdot \epsilon_{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\epsilon = 8.85 \times 10^{-12} \times 5 = 44.25 \times 10^{-12} = 0.4425 \times 10^{-10} \approx 0.44 \times 10^{-10} C^{2} N^{-1} m^{-2}$.

(C) हवा वाले समांतर प्लेट संधारित्र की मूल धारिता $C_{0} = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब को प्लेटों के बीच रखा जाता है,तो नई धारिता $C$ का सूत्र है:
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d - t + \frac{t}{K}}$
यहाँ $t = \frac{d}{2}$ और $K = 4$ दिया गया है,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d - \frac{d}{2} + \frac{d/2}{4}}$
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{\frac{d}{2} + \frac{d}{8}}$
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{\frac{4d + d}{8}} = \frac{\varepsilon_{0} A}{\frac{5d}{8}}$
$C = \frac{8}{5} \frac{\varepsilon_{0} A}{d} = \frac{8}{5} C_{0}$
अतः,नई धारिता और मूल धारिता का अनुपात $\frac{C}{C_{0}} = \frac{8}{5}$ है।

(B) माना प्लेटों के बीच की दूरी $d$ है। विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $E = 20 \, MV/m = 20 \times 10^{6} \, V/m$ और $V = 20 \, V$.
मान रखने पर: $20 \times 10^{6} = \frac{20}{d}$,जिससे $d = 10^{-6} \, m$ प्राप्त होता है।
धारिता $C = \frac{\varepsilon_{0} A \varepsilon_{r}}{d}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $9 \times 10^{-9} = \frac{(8.85 \times 10^{-12}) \times A \times 2.4}{10^{-6}}$.
$A$ के लिए हल करने पर: $A = \frac{9 \times 10^{-9} \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12} \times 2.4}$.
$A = \frac{9 \times 10^{-15}}{21.24 \times 10^{-12}} \approx 4.237 \times 10^{-4} \, m^{2}$.
अतः,प्लेटों का क्षेत्रफल $4.2 \times 10^{-4} \, m^{2}$ है।

(A) धारिता का सूत्र इस प्रकार है:
$C = \frac{A \varepsilon_{0} \varepsilon_{r}}{d} \quad ......(I)$
विद्युत क्षेत्र $E$,विभवांतर $V$ और दूरी $d$ के बीच संबंध:
$E = \frac{V}{d} \implies d = \frac{V}{E}$
यहाँ $V = 30 \, V$ और $E = 30 \times 10^{6} \, V/m$ दिया गया है:
$d = \frac{30}{30 \times 10^{6}} = 10^{-6} \, m$
अब,$C = 15 \times 10^{-9} \, F$,$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$,$\varepsilon_{r} = 2.5$,और $d = 10^{-6} \, m$ का मान समीकरण $(I)$ में रखने पर:
$15 \times 10^{-9} = \frac{A \times (8.85 \times 10^{-12}) \times 2.5}{10^{-6}}$
$A = \frac{15 \times 10^{-9} \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12} \times 2.5}$
$A = \frac{15 \times 10^{-15}}{22.125 \times 10^{-12}}$
$A \approx 0.678 \times 10^{-3} \, m^{2} = 6.78 \times 10^{-4} \, m^{2}$
निकटतम विकल्प के अनुसार,$A = 6.7 \times 10^{-4} \, m^{2}$ प्राप्त होता है।

(B) संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_{0} = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ है।
संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $q_{0} = C_{0} V = \frac{\varepsilon_{0} A}{d} V$ है।
जब बैटरी जुड़ी रहती है और प्लेटों के बीच $k$ परावैद्युतांक वाली परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
नई धारिता $C = k C_{0} = \frac{k \varepsilon_{0} A}{d}$ हो जाती है।
संधारित्र पर अंतिम आवेश $q = C V = \left( \frac{k \varepsilon_{0} A}{d} \right) V = k q_{0}$ होगा।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की मूल धारिता $C_{0} = \frac{\epsilon_{0} A}{d}$ है।
जब $t = \frac{3}{4}d$ मोटाई का एक परावैद्युत स्लैब डाला जाता है,तो इस निकाय को श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों $C_{1}$ और $C_{2}$ के रूप में माना जा सकता है।
$C_{1}$ परावैद्युत से भरे भाग की धारिता है: $C_{1} = \frac{K \epsilon_{0} A}{3d/4} = \frac{4 K \epsilon_{0} A}{3d}$.
$C_{2}$ वायु अंतराल की धारिता है: $C_{2} = \frac{\epsilon_{0} A}{d - 3d/4} = \frac{\epsilon_{0} A}{d/4} = \frac{4 \epsilon_{0} A}{d}$.
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C'$ को $\frac{1}{C'} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$\frac{1}{C'} = \frac{3d}{4 K \epsilon_{0} A} + \frac{d}{4 \epsilon_{0} A}$.
$\frac{1}{C'} = \frac{d}{4 \epsilon_{0} A} \left( \frac{3}{K} + 1 \right) = \frac{d}{4 \epsilon_{0} A} \left( \frac{3+K}{K} \right)$.
अतः,$C' = \frac{4 K \epsilon_{0} A}{d(3+K)} = \frac{4K}{3+K} C_{0}$.

(D) संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C V^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $U_i = \frac{1}{2} \times 14 \, pF \times (12 \, V)^2 = \frac{1}{2} \times 14 \times 144 = 1008 \, pJ$.
जब बैटरी को हटा दिया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
$k = 7$ परावैद्युत स्लैब डालने के बाद,नई धारिता $C' = kC = 7 \times 14 \, pF = 98 \, pF$ हो जाती है।
संधारित्र में संचित नई ऊर्जा $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(kC)} = \frac{U_i}{k}$ है।
$U_f = \frac{1008 \, pJ}{7} = 144 \, pJ$.
विद्युत स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी स्लैब की यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
यांत्रिक ऊर्जा $= U_i - U_f = 1008 \, pJ - 144 \, pJ = 864 \, pJ$.

(B) संधारित्र को श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है: एक परावैद्युत के साथ $(C_{1})$ और दूसरा हवा के साथ $(C_{2})$।
दिया गया है: $A = 100\, m^{2}$,$d = 10\, m$,$t = 5\, m$,$K = 10$,$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} F \cdot m^{-1}$।
परावैद्युत की मोटाई $t = 5\, m$ है और वायु अंतराल की मोटाई $d - t = 10 - 5 = 5\, m$ है।
$C_{1} = \frac{K \varepsilon_{0} A}{t} = \frac{10 \times \varepsilon_{0} \times 100}{5} = 200 \varepsilon_{0}$।
$C_{2} = \frac{\varepsilon_{0} A}{d - t} = \frac{\varepsilon_{0} \times 100}{5} = 20 \varepsilon_{0}$।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार होगी:
$C_{eq} = \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} = \frac{(200 \varepsilon_{0})(20 \varepsilon_{0})}{200 \varepsilon_{0} + 20 \varepsilon_{0}} = \frac{4000 \varepsilon_{0}^{2}}{220 \varepsilon_{0}} = \frac{400}{22} \varepsilon_{0} = \frac{200}{11} \varepsilon_{0}$।
$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} F \cdot m^{-1}$ रखने पर:
$C_{eq} = \frac{200}{11} \times 8.85 \times 10^{-12} F = 18.1818 \times 8.85 \times 10^{-12} F \approx 160.909 \times 10^{-12} F$।
चूंकि $1\, pF = 10^{-12} F$,इसलिए $C_{eq} \approx 160.909\, pF$।
निकटतम पूर्णांक में,$x = 161$।

(C) $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाले परावैद्युत स्लैब युक्त समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र है:
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d - t + \frac{t}{K}}$
दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 2 \, m^{2}$
कुल दूरी $d = 1 \, m$
परावैद्युत की मोटाई $t = 0.5 \, m$
परावैद्युतांक $K = 3.2$
मान रखने पर:
$C = \frac{\varepsilon_{0} \times 2}{1 - 0.5 + \frac{0.5}{3.2}}$
$C = \frac{2 \varepsilon_{0}}{0.5 + 0.15625}$
$C = \frac{2 \varepsilon_{0}}{0.65625}$
$C \approx 3.047 \, \varepsilon_{0}$
निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करने पर,हमें $3 \, \varepsilon_{0}$ प्राप्त होता है।