Electric potential Questions in Hindi

(D) इलेक्ट्रॉन वोल्ट (प्रतीक $eV$) ऊर्जा का एक मात्रक है जो लगभग $1.602 \times 10^{-19} \text{ J}$ के बराबर होता है।
परिभाषा के अनुसार,यह एक इलेक्ट्रॉन के आवेश द्वारा $1 \text{ V}$ के विद्युत विभवांतर से गुजरने पर प्राप्त ऊर्जा की मात्रा है।
चूंकि यह किए गए कार्य या स्थानांतरित ऊर्जा को दर्शाता है,इसलिए यह ऊर्जा का मात्रक है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) इलेक्ट्रॉन वोल्ट $(eV)$ ऊर्जा की एक इकाई है।
परिभाषा के अनुसार,$1\,eV$ वह गतिज ऊर्जा है जो एक एकल इलेक्ट्रॉन द्वारा $1\,volt$ के विद्युत विभवांतर से गुजरने पर प्राप्त की जाती है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन का आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19}\,C$ है और विभवांतर $V = 1\,V$ है,इसलिए ऊर्जा $E$ इस प्रकार है:
$E = q \times V = (1.6 \times 10^{-19}\,C) \times (1\,V) = 1.6 \times 10^{-19}\,J$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) विद्युत विभव $V$ को प्रति इकाई आवेश $Q$ पर किए गए कार्य $W$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र $V = \frac{W}{Q}$ है।
कार्य $W$ का विमीय सूत्र $[M L^2 T^{-2}]$ है।
आवेश $Q$ का विमीय सूत्र $[Q]$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{[M L^2 T^{-2}]}{[Q]} = [M L^2 T^{-2} Q^{-1}]$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित एक आवेशित कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K.E.$ का सूत्र $K.E. = qV$ है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,आवेश $q = e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ होता है।
यहाँ दिया गया विभवांतर $V = 1 \, V$ है।
अतः,प्राप्त ऊर्जा $K.E. = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (1 \, V) = 1.6 \times 10^{-19} \, J$ है।
परिभाषा के अनुसार,ऊर्जा की इस मात्रा को $1 \, eV$ (इलेक्ट्रॉन वोल्ट) कहा जाता है।

(A) जब $q$ आवेश वाला एक कण $V$ विभवांतर से त्वरित होता है,तो विद्युत क्षेत्र द्वारा कण पर किया गया कार्य $W = qV$ होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,यह किया गया कार्य कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
यह मानते हुए कि कण विरामावस्था से चलना शुरू करता है,इसकी अंतिम गतिज ऊर्जा $K$ किए गए कार्य के बराबर होती है।
अतः,$K = qV$।

(A) $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले एक खोखले आवेशित गोलाकार चालक के अंदर,विद्युत क्षेत्र $E$ शून्य होता है $(E = 0)$।
चूंकि विद्युत क्षेत्र विभव की ऋणात्मक प्रवणता (gradient) के बराबर होता है $(E = -dV/dr)$,यदि $E = 0$ है,तो $dV/dr = 0$ होगा।
इसका अर्थ है कि चालक के भीतर विभव $V$ स्थिर रहता है।
इस स्थिर विभव का मान सतह पर विभव के बराबर होता है,जो $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}$ है।

(B) विद्युत आवेश दो चालकों के बीच तभी प्रवाहित होता है जब उनके बीच विभवांतर होता है।
जब दो आवेशित गोलों को एक पतले तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश उच्च विभव वाले गोले से निम्न विभव वाले गोले की ओर प्रवाहित होता है।
यह आवेश का प्रवाह तब तक जारी रहता है जब तक कि दोनों गोले समान विद्युत विभव प्राप्त नहीं कर लेते।
एक बार जब विभव समान हो जाते हैं,तो विभवांतर शून्य हो जाता है और परिणामस्वरूप,कोई और धारा (आवेश का प्रवाह) नहीं होगी।
इसलिए,यदि उनके पास समान विभव है तो कोई धारा प्रवाहित नहीं होगी।

(B) एक आवेशित खोखले धातु के गोले के लिए,गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य $(E = 0)$ होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र विभव की ऋणात्मक प्रवणता (gradient) के बराबर होता है $(E = -dV/dr)$,यदि $E = 0$ है,तो गोले के भीतर विभव $V$ स्थिर रहता है।
इसलिए,गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर,जिसमें केंद्र भी शामिल है,विभव उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
चूंकि सतह पर विभव $10\, V$ दिया गया है,इसलिए केंद्र पर भी विभव $10\, V$ होगा।

(B) वर्ग के केंद्र $O$ पर चार समान आवेशों $q$ के कारण उत्पन्न कुल विभव $V$ प्रत्येक आवेश के कारण उत्पन्न विभव का योग है।
$V = 4 \times \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r}$,जहाँ $r$ प्रत्येक कोने से केंद्र तक की दूरी है।
$a = 8 \, cm = 8 \times 10^{-2} \, m$ भुजा वाले वर्ग के लिए,कोने से केंद्र तक की दूरी $r$ विकर्ण की लंबाई की आधी होती है:
$r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{8 \times 10^{-2}}{\sqrt{2}} \, m$.
यहाँ $q = \frac{10}{3} \times 10^{-9} \, C$ और $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$V = 4 \times (9 \times 10^9) \times \frac{\frac{10}{3} \times 10^{-9}}{\frac{8 \times 10^{-2}}{\sqrt{2}}}$
$V = 4 \times 9 \times 10^9 \times \frac{10}{3} \times 10^{-9} \times \frac{\sqrt{2}}{8 \times 10^{-2}}$
$V = 120 \times \frac{\sqrt{2}}{8 \times 10^{-2}} = 15 \times 10^2 \times \sqrt{2} = 1500\sqrt{2} \, V$.

(D) किसी चालक का विद्युत विभव शून्य विभव के लिए चुने गए संदर्भ बिंदु पर निर्भर करता है।
यदि एक धनावेशित चालक को अन्य आवेशों के निकट रखा जाता है,तो उसका विभव उसके स्वयं के आवेश के कारण उत्पन्न विभव और बाहरी आवेशों के कारण उत्पन्न विभव के योग द्वारा निर्धारित होता है।
एक उपयुक्त संदर्भ बिंदु चुनकर या चालक को बाहरी विद्युत क्षेत्र में रखकर,धनावेशित चालक के विभव को धनात्मक,शून्य या ऋणात्मक भी बनाया जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा आवेशों के सभी अलग-अलग युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है: $U = \sum \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$.
तीन समान आवेश $q = 10\,\mu C = 10^{-5}\,C$ और भुजा की लंबाई $r = 10\,cm = 0.1\,m$ वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,तीन समान युग्म बनते हैं।
$U_{system} = 3 \times \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q^2}{r} \right)$.
मान रखने पर: $U_{system} = 3 \times (9 \times 10^9) \times \frac{(10^{-5})^2}{0.1}$.
$U_{system} = 27 \times 10^9 \times \frac{10^{-10}}{0.1} = 27 \times 10^9 \times 10^{-9} = 27\,J$.

(C) वर्ग के केंद्र $O$ से प्रत्येक कोने की दूरी $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
कोनों पर स्थित चार आवेशों $Q$ के कारण केंद्र $O$ पर विद्युत विभव $V_O$ है:
$V_O = 4 \times \left( \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r} \right) = 4 \times \left( \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 (a/\sqrt{2})} \right) = \frac{4\sqrt{2} Q}{4\pi \varepsilon_0 a} = \frac{\sqrt{2} Q}{\pi \varepsilon_0 a}$.
केंद्र से अनंत तक $-Q$ आवेश को ले जाने में किया गया कार्य $W = q(V_{\infty} - V_O)$ है।
चूंकि अनंत पर विभव $V_{\infty} = 0$ है,इसलिए:
$W = (-Q)(0 - V_O) = Q V_O$.
$V_O$ का मान रखने पर:
$W = Q \times \left( \frac{\sqrt{2} Q}{\pi \varepsilon_0 a} \right) = \frac{\sqrt{2} Q^2}{\pi \varepsilon_0 a}$.

(A) वर्ग की भुजा $a = 2\,m$ है। किसी भी कोने से वर्ग के केंद्र तक की दूरी $r = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\,m$ है।
एक आवेश $q = 50\,\mu C$ के कारण केंद्र पर विभव $V_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r} = 9 \times 10^9 \times \frac{50 \times 10^{-6}}{\sqrt{2}} = \frac{45 \times 10^4}{\sqrt{2}}\,V$ है।
चूंकि कोनों पर चार समान आवेश हैं,इसलिए केंद्र पर कुल विभव $V = 4 \times V_1 = 4 \times \frac{45 \times 10^4}{\sqrt{2}} = 180 \times 10^4 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 90\sqrt{2} \times 10^4\,V$ होगा।
अनंत से $q' = 50\,\mu C$ आवेश को केंद्र तक लाने के लिए किया गया कार्य $W = q'V$ है।
$W = (50 \times 10^{-6}) \times (90\sqrt{2} \times 10^4) = 4500\sqrt{2} \times 10^{-2} = 45\sqrt{2} \approx 45 \times 1.414 = 63.63\,J \approx 64\,J$.

(A) $R$ त्रिज्या और $q$ आवेश वाले एक आवेशित चालक गोले का विद्युत विभव $V = \frac{kq}{R}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ कूलम्ब नियतांक है।
चूंकि दोनों गोलों पर आवेश $q$ समान है,इसलिए विभव $V$ त्रिज्या $R$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(V \propto \frac{1}{R})$।
अतः,छोटे त्रिज्या वाले गोले का विभव बड़े त्रिज्या वाले गोले की तुलना में अधिक होगा।

(A) $V$ विभवांतर वाले दो बिंदुओं के बीच $q$ आवेश को ले जाने में किया गया कार्य $W$ सूत्र $W = qV$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
आवेश $q = 5\,C$
किया गया कार्य $W = 10\,J$
हमें विभवांतर $V$ ज्ञात करना है।
सूत्र $V = W / q$ का उपयोग करने पर:
$V = 10\,J / 5\,C = 2\,V$.
अतः,दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $2\,V$ है।

(D) $r$ त्रिज्या और $V$ विभव वाले गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $V = 8000\,V$ और $r = 1\,cm = 0.01\,m$ दिया गया है।
अतः,$E = \frac{8000}{0.01} = 8 \times 10^5\,V/m$.
ऊर्जा घनत्व $u_e$ का सूत्र $u_e = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ है।
मान रखने पर: $u_e = \frac{1}{2} \times 8.854 \times 10^{-12} \times (8 \times 10^5)^2$.
$u_e = 0.5 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 64 \times 10^{10}$.
$u_e = 283.328 \times 10^{-2} = 2.833\,J/m^3$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) विभवांतर से गुजरने वाले आवेशित कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा का सूत्र है: $\Delta KE = q \times \Delta V$।
$\alpha$-कण का आवेश $q = +2e$ होता है,जहाँ $e$ प्राथमिक आवेश है।
दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $\Delta V = V_1 - V_2 = 70\,V - 50\,V = 20\,V$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta KE = 2e \times 20\,V = 40\,eV$।
अतः,$\alpha$-कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $40\,eV$ है।

(B) $10\,cm$ त्रिज्या वाले एक आवेशित गोलाकार चालक के लिए,गोले के अंदर (जहाँ $r < R$) विभव स्थिर रहता है और यह उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
दिया गया है कि $r_1 = 5\,cm$ पर विभव $V$ है। चूंकि $5\,cm < 10\,cm$,इसलिए यह सतह पर स्थित विभव है: $V = \frac{kQ}{R} = \frac{kQ}{10}$.
गोले के बाहर एक बिंदु के लिए $(r_2 = 15\,cm)$,विभव $V_{out} = \frac{kQ}{r_2} = \frac{kQ}{15}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुपात लेने पर: $\frac{V_{out}}{V} = \frac{kQ/15}{kQ/10} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$.
अतः,$V_{out} = \frac{2}{3}\,V$.

(A) $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $Q$ के कारण विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि दो आवेश $+q$ और $-q$ हैं,जो $2d$ की दूरी पर स्थित हैं। मध्य बिंदु $O$ दोनों आवेशों से $d$ की दूरी पर है।
मध्य बिंदु $O$ पर कुल विभव दोनों आवेशों के कारण उत्पन्न विभव का बीजगणितीय योग है:
$V_O = V_{+q} + V_{-q}$
$V_O = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{d} + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{(-q)}{d}$
$V_O = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{d} - \frac{q}{d} \right) = 0$
अतः,मध्य बिंदु पर विभव शून्य है।

(B) $V$ विभवांतर से त्वरित आवेशित कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = Q \cdot V$ होता है।
प्रोटॉन के लिए,आवेश $Q = +e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ है।
यहाँ विभवांतर $V = 50,000 \, V$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$K = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (50,000 \, V)$
$K = 1.6 \times 10^{-19} \times 5 \times 10^4 \, J$
$K = 8 \times 10^{-15} \, J$.
अतः,इसकी ऊर्जा में $8 \times 10^{-15} \, J$ की वृद्धि होगी।

(B) $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले एक आवेशित चालक गोले का विद्युत विभव $V = k \frac{Q}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ है।
चूंकि दोनों गोलों को समान विभव $V$ तक आवेशित किया गया है,इसलिए हमारे पास है:
$V_1 = V_2$
$k \frac{Q_1}{R_1} = k \frac{Q_2}{R_2}$
दोनों पक्षों को $k$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{Q_1}{R_1} = \frac{Q_2}{R_2}$
आवेशों का अनुपात $\frac{Q_1}{Q_2}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{R_1}{R_2}$
अतः,गोलों पर आवेशों का अनुपात $R_1 : R_2$ है।

(C) वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई $a = \sqrt{2}\,m$ है। वर्ग का विकर्ण $d = a\sqrt{2} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\,m$ है। अतः,प्रत्येक कोने से केंद्र की दूरी $r = d/2 = 2/2 = 1\,m$ है।
कई आवेशों के कारण केंद्र पर विद्युत विभव $V$,व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव के योग के बराबर होता है: $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum \frac{q_i}{r_i}$।
यहाँ,$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$ और सभी आवेशों के लिए $r = 1\,m$ है।
$V = (9 \times 10^9) \times \left[ \frac{10 \times 10^{-6}}{1} + \frac{5 \times 10^{-6}}{1} + \frac{-3 \times 10^{-6}}{1} + \frac{8 \times 10^{-6}}{1} \right]$
$V = 9 \times 10^9 \times (10 + 5 - 3 + 8) \times 10^{-6}$
$V = 9 \times 10^9 \times 20 \times 10^{-6}$
$V = 180 \times 10^3 = 1.8 \times 10^5\,V$।

(C) $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है और भुजा की लंबाई $0.2\, m$ है,इसलिए $A$ और $B$ पर स्थित दोनों आवेशों से बिंदु $C$ की दूरी $r = 0.2\, m$ है।
$C$ पर कुल विद्युत विभव दोनों आवेशों के कारण विभव का योग है:
$V_C = V_A + V_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_A}{r} + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_B}{r}$
यहाँ $q_A = q_B = 4\,\mu C = 4 \times 10^{-6}\, C$ और $r = 0.2\, m$ है:
$V_C = 2 \times \left( 9 \times 10^9 \times \frac{4 \times 10^{-6}}{0.2} \right)$
$V_C = 2 \times (9 \times 10^9 \times 20 \times 10^{-6})$
$V_C = 2 \times 18 \times 10^4 = 36 \times 10^4\, V$.

(B) $R$ दूरी पर स्थित आवेश $q$ के कारण वृत्त के केंद्र पर विद्युत विभव $V = \frac{kq}{R}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $10$ इलेक्ट्रॉन हैं,प्रत्येक का आवेश $-e$ है,इसलिए केंद्र पर कुल विभव $V = 10 \times \frac{k(-e)}{R} = -\frac{10ke}{R}$ होगा। चूंकि $V \ne 0$,इसलिए विभव शून्य नहीं है।
विद्युत क्षेत्र के लिए,चूंकि इलेक्ट्रॉन वृत्त पर समान दूरी पर स्थित हैं,प्रत्येक इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र सदिश उसके व्यास के विपरीत स्थित इलेक्ट्रॉन द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र सदिश द्वारा निरस्त हो जाता है। इसलिए,केंद्र पर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = 0$ है।

(B) बिंदु आवेश $Q$ से $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{r}$
दिया गया है:
$Q = 100\,\mu C = 100 \times 10^{-6}\,C = 10^{-4}\,C$
$r = 9\,m$
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$
मान रखने पर:
$V = (9 \times 10^9) \times \frac{10^{-4}}{9}$
$V = 10^9 \times 10^{-4} = 10^5\,V$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $Q$ के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समद्विबाहु त्रिभुज में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार शीर्ष $A$ से शीर्ष $B$ और $C$ दोनों की दूरी $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ है।
शीर्ष $A$ पर कुल विभव $B$ और $C$ पर स्थित आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है:
$V_A = V_B + V_C$
$V_A = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{-q}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
$V_A = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q - q}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 0$.

(C) माना कि $-6\,\mu C$ आवेश से बिंदु $P$ की दूरी $x$ मीटर है। $12\,\mu C$ आवेश से बिंदु $P$ की दूरी $(0.2 + x)$ मीटर होगी।
दोनों आवेशों के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V$ इस प्रकार है:
$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{-6 \times 10^{-6}}{x} + \frac{12 \times 10^{-6}}{0.2 + x} \right] = 0$
चूंकि $V = 0$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\frac{6 \times 10^{-6}}{x} = \frac{12 \times 10^{-6}}{0.2 + x}$
दोनों पक्षों को $6 \times 10^{-6}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{0.2 + x}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$0.2 + x = 2x$
$x = 0.2\, m$
अतः,$-6\,\mu C$ आवेश से बिंदु $P$ की दूरी $0.20\, m$ है।

(C) एक आवेशित गोलाकार चालक (जैसे साबुन का बुलबुला) का विद्युत विभव $V$ सूत्र $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{q}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ आवेश है और $r$ त्रिज्या है।
चूंकि साबुन के बुलबुले की त्रिज्या बदलने पर उस पर आवेश $q$ स्थिर रहता है,इसलिए $V \propto \frac{1}{r}$ होता है।
प्रारंभिक विभव $V_1 = 16\,V$ और प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$ दी गई है।
नई त्रिज्या $r_2 = 2r$ है।
समानुपातिकता $V_1 r_1 = V_2 r_2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$16 \times r = V_2 \times (2r)$
$V_2 = \frac{16}{2} = 8\,V$.
अतः,बुलबुले का नया विभव $8\,V$ होगा।

(A) आवेश $q_0$ को बिंदु $B$ से $A$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q_0(V_A - V_B)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $q_1 = -5 \times 10^{-6}\,C$,$q_2 = +2.0 \times 10^{-6}\,C$,$q_0 = +3.0 \times 10^{-6}\,C$,$k = 10^{10}\,N\cdot m^2/C^2$.
आयत की ज्यामिति से:
बिंदु $A$ पर: $q_1$ से दूरी $15\,cm = 0.15\,m$ है,$q_2$ से दूरी $5\,cm = 0.05\,m$ है।
$V_A = k \left( \frac{q_1}{0.15} + \frac{q_2}{0.05} \right) = 10^{10} \left( \frac{-5 \times 10^{-6}}{0.15} + \frac{2 \times 10^{-6}}{0.05} \right) = 10^4 \left( -\frac{5}{0.15} + \frac{2}{0.05} \right) = 10^4 \left( -33.33 + 40 \right) = 6.67 \times 10^4\,V$.
बिंदु $B$ पर: $q_1$ से दूरी $5\,cm = 0.05\,m$ है,$q_2$ से दूरी $15\,cm = 0.15\,m$ है।
$V_B = k \left( \frac{q_1}{0.05} + \frac{q_2}{0.15} \right) = 10^{10} \left( \frac{-5 \times 10^{-6}}{0.05} + \frac{2 \times 10^{-6}}{0.15} \right) = 10^4 \left( -100 + 13.33 \right) = -86.67 \times 10^4\,V$.
$W = 3.0 \times 10^{-6} \times (6.67 \times 10^4 - (-86.67 \times 10^4)) = 3.0 \times 10^{-6} \times (93.34 \times 10^4) = 2.8\,J$.

(C) एक खोखले चालक गोले के लिए,गोले के भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है क्योंकि आवेश केवल बाहरी सतह पर ही रहता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र $E = -\frac{dV}{dr} = 0$ है,इसलिए गोले के भीतर विभव $V$ स्थिर रहता है।
गोले के भीतर किसी भी बिंदु पर विभव उसकी सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
$R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले गोले की सतह पर विभव $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ होता है।
इसलिए,केंद्र से $r = \frac{R}{3}$ की दूरी पर विभव $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ होगा।

(D) पर स्थित स्रोत आवेश $Q$ की उपस्थिति में एक आवेश $q_0$ को बिंदु $A$ से बिंदु $C$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = q_0(V_C - V_A)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,स्रोत आवेश $B$ पर $Q$ है। दूरी $BA = l$ और $BC = l$ है।
आवेश $Q$ के कारण बिंदु $A$ पर विद्युत विभव $V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{l}$ है।
आवेश $Q$ के कारण बिंदु $C$ पर विद्युत विभव $V_C = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{l}$ है।
चूंकि $V_A = V_C$,इसलिए विभवांतर $\Delta V = V_C - V_A = 0$ है।
अतः,किया गया कार्य $W = (-q) \times (0) = 0$ है।

(A) जब $q$ आवेश वाला एक कण $V$ विभवांतर से त्वरित होता है,तो विद्युत क्षेत्र द्वारा कण पर किया गया कार्य $W = qV$ होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,यह किया गया कार्य कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
अतः,कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $KE = qV$ है।

(B) दिया गया है कि दोनों गोलों का विद्युत विभव समान है,अर्थात $V_A = V_B$।
आवेशित गोले के विभव के सूत्र $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q_A}{a} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{Q_B}{b} \implies \frac{Q_A}{Q_B} = \frac{a}{b}$......$(i)$
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ को $\sigma = \frac{Q}{4\pi r^2}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,पृष्ठीय आवेश घनत्व का अनुपात:
$\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = \frac{Q_A}{4\pi a^2} \cdot \frac{4\pi b^2}{Q_B} = \frac{Q_A}{Q_B} \cdot \frac{b^2}{a^2}$
समीकरण $(i)$ से अनुपात रखने पर:
$\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = \frac{a}{b} \cdot \frac{b^2}{a^2} = \frac{b}{a}$.

(A) एक आवेशित चालक गोले के लिए,आवेश $Q$ पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर रहता है।
चालक के भीतर विद्युत क्षेत्र $E = 0$ होता है।
चूंकि अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य है,इसलिए विद्युत विभव $V$ पूरे आंतरिक भाग में स्थिर रहता है और सतह पर विभव के बराबर होता है।
$R$ त्रिज्या वाले गोले की सतह पर विभव $V = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,गोले के भीतर किसी भी बिंदु $x$ पर (जहाँ $x < R$),विभव $V = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R}$ होगा।

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन विद्युत क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है।
$W = q(V_A - V_B) = \Delta K$
$q(V_A - V_B) = \frac{1}{2}m(v_B^2 - v_A^2)$
दिया गया है: $m = 1\, g = 10^{-3}\, kg$,$q = 10^{-8}\, C$,$V_A = 600\, V$,$V_B = 0\, V$,$v_B = 20\, cm/s = 0.2\, m/s$.
मान रखने पर:
$10^{-8}(600 - 0) = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times ((0.2)^2 - v_A^2)$
$6 \times 10^{-6} = 0.5 \times 10^{-3} \times (0.04 - v_A^2)$
$12 \times 10^{-3} = 0.04 - v_A^2$
$v_A^2 = 0.04 - 0.012 = 0.028$
$v_A = \sqrt{0.028} \approx 0.1673\, m/s \approx 16.73\, cm/s \approx 16.8\, cm/s$.

(C) विभवांतर $\Delta V$ वाले दो बिंदुओं के बीच $Q$ आवेश को ले जाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = Q \cdot \Delta V$
दिया गया है:
आवेश $Q = 20 \; C$
किया गया कार्य $W = 2 \; J$
हमें विभवांतर $\Delta V$ ज्ञात करना है।
सूत्र को $\Delta V$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\Delta V = \frac{W}{Q}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\Delta V = \frac{2 \; J}{20 \; C} = 0.1 \; V$
अतः,बिंदुओं के बीच विभवांतर $0.1 \; V$ है।

(B) विभवांतर $V$ के माध्यम से आवेश $q$ को स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक कार्य का सूत्र $W = qV$ है।
दी गई ऊर्जा $W = 4 \times 10^{20} \text{ eV}$ है।
चूंकि $1 \text{ eV} = 1.6 \times 10^{-19} \text{ J}$,जूल में ऊर्जा $W = (4 \times 10^{20}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \text{ J} = 6.4 \times 10 = 64 \text{ J}$ होगी।
आवेश $q = 0.25 \text{ C}$ है।
सूत्र $V = W / q$ का उपयोग करने पर,$V = 64 / 0.25$ प्राप्त होता है।
$V = 64 \times 4 = 256 \text{ V}$।
अतः,विभवांतर $256 \text{ V}$ है।

(C) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U$ आवेशों के सभी अद्वितीय युग्मों की स्थितिज ऊर्जा के योग द्वारा दी जाती है: $U = \sum \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$.
$l$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष पर $q$ परिमाण के $3$ आवेशों के लिए,कुल $3$ युग्म बनते हैं,जहाँ प्रत्येक युग्म के बीच की दूरी $l$ है।
प्रत्येक युग्म के लिए स्थितिज ऊर्जा $U_{pair} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{l}$ है।
चूंकि ऐसे $3$ युग्म हैं,इसलिए कुल स्थितिज ऊर्जा $U_{net} = 3 \times \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{l} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{3q^2}{l}$ होगी।

(D) भुजा वाले घन के विकर्ण की लंबाई $\sqrt{3}b$ होती है।
अतः,घन के केंद्र से प्रत्येक शीर्ष की दूरी $r = \frac{\sqrt{3}b}{2}$ है।
केंद्र पर स्थित $q$ आवेश की $8$ कोनों पर स्थित $-q$ आवेशों के कारण कुल विद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ इस प्रकार है:
$U = \sum_{i=1}^{8} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{(-q)(q)}{r}$
$U = 8 \times \left( \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{-q^2}{\sqrt{3}b/2} \right)$
$U = 8 \times \left( \frac{-2q^2}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{3}b} \right)$
$U = \frac{-16q^2}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{3}b} = \frac{-4q^2}{\sqrt{3}\pi\varepsilon_0b}$

(C) जब किसी आवेशित कण को विभवांतर $(V)$ के माध्यम से त्वरित किया जाता है,तो उसके द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है: $KE = qV$।
यहाँ,प्रोटॉन का आवेश $(q)$ प्राथमिक आवेश $(e)$ के बराबर है।
विभवांतर $(V)$ $1\, kV$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$KE = e \times 1\, kV = 1\, keV$।
अतः,प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा $1\, keV$ होगी।

(D) बिंदु $P$ पर कुल स्थिरवैद्युत विभव केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश $Q$ के कारण विभव और $q$ आवेश वाले गोलीय कोश के कारण विभव का योग है।
$1$. केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश $Q$ के कारण $r = \frac{R}{2}$ दूरी पर विभव $V_Q = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{R/2} = \frac{2Q}{4\pi \varepsilon_0 R}$ होता है।
$2$. $R$ त्रिज्या और $q$ आवेश वाले गोलीय चालक कोश के लिए,कोश के अंदर किसी भी बिंदु पर (केंद्र सहित) विभव स्थिर होता है और यह उसकी सतह पर विभव के बराबर होता है। अतः,कोश के कारण $r = \frac{R}{2}$ दूरी पर विभव $V_q = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{R}$ होता है।
$3$. बिंदु $P$ पर कुल विभव $V = V_Q + V_q = \frac{2Q}{4\pi \varepsilon_0 R} + \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 R}$ होता है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा $U = qV$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन पर ऋण आवेश $(q = -e)$ होता है,इसलिए जब यह निम्न विभव $V_1$ से उच्च विभव $V_2$ $(V_2 > V_1)$ क्षेत्र में जाता है,तो इसकी स्थितिज ऊर्जा $U = -eV$ कम हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी के कारण गतिज ऊर्जा $(K = \frac{1}{2}mv^2)$ में वृद्धि होती है।
अतः,इलेक्ट्रॉन का वेग बढ़ जाएगा।

(B) विभवांतर $(V)$ के माध्यम से त्वरित आवेश $(q)$ द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$K = q \times V$
दिया गया है:
आवेश $(q)$ = $0.5\, C$
विभवांतर $(V)$ = $2,000\, V$
मान रखने पर:
$K = 0.5\, C \times 2,000\, V$
$K = 1,000\, J$
अतः,कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $1,000\, J$ है।

(B) विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित आवेशित कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K$ का सूत्र $K = qV$ है।
यहाँ,कण का आवेश $q = 2e$ है,जहाँ $e$ इलेक्ट्रॉन का मूल आवेश है।
विभवांतर $V = 5 \ V$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$K = (2e) \times (5 \ V) = 10 \ eV$.
चूंकि कण प्रारंभ में विरामावस्था में था,इसलिए इसकी अंतिम गतिज ऊर्जा उस पर विद्युत क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य के बराबर होगी,जो $10 \ eV$ है।

(D) विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित आवेशित कण द्वारा प्राप्त ऊर्जा $E$ का सूत्र $E = qV$ है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ है।
विभवांतर $V = 1,00,000 \text{ V} = 10^5 \text{ V}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = (1.6 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (10^5 \text{ V})$
$E = 1.6 \times 10^{-19+5} \text{ J}$
$E = 1.6 \times 10^{-14} \text{ J}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) $R$ त्रिज्या वाले एक खोखले चालक गोले के लिए,गोले के अंदर किसी भी बिंदु पर (जहाँ दूरी $r < R$ है) विद्युत विभव स्थिर होता है और यह सतह पर विभव के बराबर होता है।
दिया गया है: त्रिज्या $R = 10\, cm = 0.1\, m$,आवेश $q = 3.2 \times 10^{-19}\, C$.
गोले के अंदर विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R}$ है।
मान रखने पर: $V = (9 \times 10^9) \times \frac{3.2 \times 10^{-19}}{0.1}$.
$V = 9 \times 3.2 \times 10^{-9} \times 10 = 28.8 \times 10^{-9}\, V$ या $2.88 \times 10^{-8}\, V$.

(D) $CGS$ प्रणाली में (जहाँ $k = 1$) बिंदु आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = \sum \frac{q_i q_j}{r_{ij}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,आवेश $q_1 = 10\, e.s.u.$,$q_2 = 40\, e.s.u.$ के साथ $r_1 = 2\, cm$ की दूरी पर और $q_3 = 20\, e.s.u.$ के साथ $r_2 = 4\, cm$ की दूरी पर अन्योन्यक्रिया कर रहा है।
$10\, e.s.u.$ आवेश की कुल स्थितिज ऊर्जा अन्य दो आवेशों के साथ अन्योन्यक्रिया ऊर्जा का योग है:
$U = \frac{q_1 q_2}{r_1} + \frac{q_1 q_3}{r_2}$
$U = \frac{10 \times 40}{2} + \frac{10 \times 20}{4}$
$U = \frac{400}{2} + \frac{200}{4}$
$U = 200 + 50 = 250\, ergs$.

(A) विद्युत विभव $V$ को अनंत से किसी बिंदु तक एक इकाई आवेश $q$ को लाने में किए गए कार्य $W$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$V = W / q$ होता है।
इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $W = V \times q$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$W$ को जूल $(J)$ में,$V$ को वोल्ट $(V)$ में और $q$ को कूलम्ब $(C)$ में मापा जाता है।
इसलिए,$1 \ Joule = 1 \ Volt \times 1 \ Coulomb$ होता है।
अतः,सही संबंध $Joule = coulomb \times volt$ है।

(B) दो बिंदुओं के बीच ले जाए गए आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$ को $\Delta U = q(V_f - V_i)$ द्वारा व्यक्त किया जाता है,जहाँ $V_f$ अंतिम विभव है और $V_i$ प्रारंभिक विभव है।
चूँकि आवेश को निम्न विभव से उच्च विभव की ओर ले जाया जा रहा है,इसलिए $V_f > V_i$ होगा,जिसका अर्थ है कि $(V_f - V_i) > 0$ है।
यह देखते हुए कि $q$ एक धनात्मक आवेश है,गुणनफल $q(V_f - V_i)$ धनात्मक होगा।
अतः,आवेश की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि होगी।

(B) एक आवेशित खोखले धातु के गोले के लिए,गोले के अंदर विद्युत विभव स्थिर रहता है और सतह पर स्थित विभव के बराबर होता है।
दिया गया है,गोले की त्रिज्या $R = 5\,cm$ है।
सतह पर विभव $V_{surface} = 10\,V$ है।
चूंकि $2\,cm < 5\,cm$ है,इसलिए केंद्र से $2\,cm$ की दूरी पर स्थित बिंदु गोले के अंदर है।
अतः,$2\,cm$ की दूरी पर विभव सतह पर स्थित विभव के समान ही होगा,जो कि $10\,V$ है।