Effect of Dielectric Inside Capacitor Questions in Hindi

(C) परावैद्युतांक $K$ को निर्वात में विद्युत क्षेत्र $(E_0)$ और परावैद्युत माध्यम में विद्युत क्षेत्र $(E)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
निर्वात में विद्युत क्षेत्र,$E_0 = 2 \times 10^5 \ V/m$
परावैद्युत में विद्युत क्षेत्र,$E = 1 \times 10^5 \ V/m$
सूत्र:
$K = \frac{E_0}{E}$
गणना:
$K = \frac{2 \times 10^5}{1 \times 10^5} = 2$
अतः,परावैद्युत पदार्थ का परावैद्युतांक $2$ है।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{Q}{V}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों के बीच एक परावैद्युत स्लैब रखा जाता है,तो यदि संधारित्र अलग-थलग है तो आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
नया विभव $V'$,परावैद्युतांक $K$ के साथ $V' = \frac{V}{K}$ के रूप में संबंधित है।
दिया गया है कि नया विभव $V' = \frac{V}{8}$ है,इसलिए $\frac{V}{K} = \frac{V}{8}$ होगा।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $K = 8$ प्राप्त होता है।

(C) जब बैटरी को हटा दिया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
जब $K > 1$ परावैद्युतांक वाला एक परावैद्युत स्लैब डाला जाता है,तो धारिता $C$ संबंध $C' = KC$ के अनुसार बढ़ जाती है।
चूंकि $Q = CV$ है,इसलिए प्लेटों के बीच विभवांतर $V = Q/C$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे $C$ बढ़ता है और $Q$ स्थिर रहता है,विभवांतर $V$ कम हो जाता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = Q^2 / (2C)$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $C$ बढ़ता है और $Q$ स्थिर है,इसलिए संचित ऊर्जा $U$ कम हो जाती है।
अतः,विभवांतर कम हो जाता है,संचित ऊर्जा कम हो जाती है और आवेश में कोई परिवर्तन नहीं होता है।

(D) जब बैटरी के जुड़े रहने पर समांतर प्लेट संधारित्र में एक परावैद्युत स्लैब डाला जाता है,तो प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है,अर्थात $V = {V_0}$।
चूंकि धारिता $C$,$K$ के गुणक से बढ़ जाती है $(C = KC_0)$,इसलिए प्लेटों पर आवेश $Q = CV = K C_0 V_0 = K Q_0$ के अनुसार बढ़ता है। अतः,$Q > {Q_0}$।
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = V/d$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $V$ और $d$ स्थिर रहते हैं,इसलिए $E = {E_0}$।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$ है। चूंकि $C$ बढ़ता है और $V$ स्थिर रहता है,इसलिए $U$ बढ़ता है,अर्थात $U > {U_0}$।
अतः,कथन $(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(D) किसी माध्यम में समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C_{medium} = K \cdot C_{air}$ होता है,जहाँ $K$ माध्यम का परावैद्युतांक है।
दिया गया है:
$C_{air} = 50\,\mu F$
$C_{medium} = 110\,\mu F$
$K$ का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$K = \frac{C_{medium}}{C_{air}}$
मान रखने पर:
$K = \frac{110}{50} = 2.2$
अतः,तेल का परावैद्युतांक $2.2$ है।

(C) प्लेटों के बीच विभवांतर $V$,वायु अंतराल और परावैद्युत स्लैब में विभव पतन का योग है।
$V = V_{\text{air}} + V_{\text{medium}}$
$V = E_0(d - t) + E_{\text{medium}}t$
चूंकि $E_0 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ और $E_{\text{medium}} = \frac{\sigma}{k\varepsilon_0}$,जहां $\sigma = \frac{Q}{A}$:
$V = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}(d - t) + \frac{\sigma}{k\varepsilon_0}t$
$V = \frac{Q}{A\varepsilon_0} \left( d - t + \frac{t}{k} \right)$
$V = \frac{Q}{A\varepsilon_0} \left( d - t(1 - \frac{1}{k}) \right)$
धारिता $C$ का सूत्र $C = \frac{Q}{V}$ है:
$C = \frac{Q}{\frac{Q}{A\varepsilon_0} \left( d - t(1 - \frac{1}{k}) \right)}$
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t(1 - \frac{1}{k})}$

(B) निर्वात या वायु में संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
जब संधारित्र को $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो विद्युत क्षेत्र $K$ के कारक से कम हो जाता है।
नया विद्युत क्षेत्र $E_{medium}$ का मान $E_{medium} = \frac{E}{K}$ होता है।
यहाँ $K = 2$ दिया गया है,इसलिए नया विद्युत क्षेत्र $E_{medium} = \frac{E}{2}$ होगा।
अतः,विद्युत क्षेत्र $\frac{1}{2}$ के अनुपात में घट जाता है।

(B) हवा माध्यम वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_{air} = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों के बीच $K$ परावैद्युतांक वाला माध्यम रखा जाता है,तो नई धारिता $C_{medium} = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ हो जाती है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $C_{medium} = K \times C_{air}$ प्राप्त होता है।
अतः,धारिता $K$ गुना बढ़ जाती है।

(C) वायु वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ होती है।
जब $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युत स्थिरांक वाली एक परावैद्युत स्लैब को बीच में रखा जाता है,तो नई धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ द्वारा दी जाती है।
नई धारिता और मूल धारिता का अनुपात $\frac{C}{C_0} = \frac{d}{d - t + \frac{t}{K}}$ है।
यहाँ $d = 6\,mm$,$t = 4.5\,mm$,और $K = 9$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{C}{C_0} = \frac{6}{6 - 4.5 + \frac{4.5}{9}} = \frac{6}{1.5 + 0.5} = \frac{6}{2} = 3$.
अतः,धारिता मूल धारिता की $3$ गुना हो जाएगी।

(A) कई परावैद्युत स्लैब वाले संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V$,प्रत्येक स्लैब पर विभवांतर के योग के बराबर होता है।
$V = V_1 + V_2 = E_1 t_1 + E_2 t_2$
चूंकि परावैद्युत में विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{k\varepsilon_0} = \frac{Q}{Ak\varepsilon_0}$ होता है,इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$V = \left( \frac{Q}{A k_1 \varepsilon_0} \right) t_1 + \left( \frac{Q}{A k_2 \varepsilon_0} \right) t_2$
$V = \frac{Q}{A\varepsilon_0} \left( \frac{t_1}{k_1} + \frac{t_2}{k_2} \right)$

(D) समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
जब $r/2$ त्रिज्या और $d$ मोटाई वाली परावैद्युत स्लैब को रखा जाता है,तो परावैद्युत द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल $A' = \pi (r/2)^2 = A/4$ होता है।
संधारित्र का शेष क्षेत्रफल हवा से भरा होता है,जो $A'' = A - A/4 = 3A/4$ है।
यह व्यवस्था समानांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों के समतुल्य है।
परावैद्युत से भरे भाग की धारिता $C' = \frac{K \varepsilon_0 A'}{d} = \frac{6 \varepsilon_0 (A/4)}{d} = \frac{6}{4} C = \frac{3}{2} C$ है।
हवा से भरे भाग की धारिता $C'' = \frac{\varepsilon_0 A''}{d} = \frac{\varepsilon_0 (3A/4)}{d} = \frac{3}{4} C$ है।
कुल धारिता $C_{eq} = C' + C'' = \frac{3}{2} C + \frac{3}{4} C = \frac{6+3}{4} C = \frac{9}{4} C$ होगी।

(D) जब बैटरी को हटाने के बाद संधारित्र में परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो प्लेटों पर आवेश $(Q)$ स्थिर रहता है।
प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
प्रारंभिक विभवांतर $V_0 = 120\,V$ है।
जब $t = 6\,mm$ मोटाई और $K = 6$ परावैद्युतांक वाली स्लैब को $d = 8\,mm$ के अंतराल में डाला जाता है,तो नई धारिता $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि आवेश $Q$ स्थिर है,$Q = C_0 V_0 = C' V'$,जहाँ $V'$ नया विभवांतर है।
इसलिए,$V' = V_0 \times \frac{C_0}{C'} = V_0 \times \frac{d - t + \frac{t}{K}}{d}$।
मान रखने पर: $V' = 120 \times \frac{8 - 6 + \frac{6}{6}}{8} = 120 \times \frac{2 + 1}{8} = 120 \times \frac{3}{8} = 15 \times 3 = 45\,V$।

(C) परावैद्युत स्लैब वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र: $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ है।
यहाँ, $A = \pi r^2 = \pi (0.12)^2\,m^2$, $d = 5 \times 10^{-3}\,m$, $t = 3 \times 10^{-3}\,m$, और $K = 6$ है।
मान रखने पर:
$C = \frac{\varepsilon_0 \pi (0.12)^2}{5 \times 10^{-3} - 3 \times 10^{-3} + \frac{3 \times 10^{-3}}{6}}$
$C = \frac{\varepsilon_0 \pi (0.0144)}{2 \times 10^{-3} + 0.5 \times 10^{-3}} = \frac{\varepsilon_0 \pi (0.0144)}{2.5 \times 10^{-3}}$
चूंकि $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9$, इसलिए $\varepsilon_0 = \frac{1}{36\pi \times 10^9}$।
$C = \frac{0.0144 \pi}{36\pi \times 10^9 \times 2.5 \times 10^{-3}} = \frac{0.0144}{90 \times 10^6} = 0.16 \times 10^{-9}\,F = 160\,pF$।

(B) वायु-भरे समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 1\,pF$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी दोगुनी $(d' = 2d)$ कर दी जाती है और स्थान को $K$ परावैद्युतांक वाले पदार्थ (मोम) से भर दिया जाता है,तो नई धारिता $C' = \frac{K \varepsilon_0 A}{d'}$ होती है।
$d' = 2d$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $C' = \frac{K \varepsilon_0 A}{2d} = \frac{K}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = \frac{K}{2} C$.
चूंकि $C' = 2\,pF$ और $C = 1\,pF$ दिया गया है,इसलिए $2 = \frac{K}{2} \times 1$.
अतः,$K = 4$.

(B) जब एक समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच $K$ परावैद्युत नियतांक वाला पदार्थ रखा जाता है,तो उसकी धारिता $K$ गुना बढ़ जाती है। इसलिए,नई धारिता $C' = K \times C_0 = 5C_0$ होगी।
यह मानते हुए कि प्लेटों पर आवेश $q$ स्थिर रहता है (विलगित संधारित्र),संचित ऊर्जा $W = \frac{q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभिक ऊर्जा $W_0 = \frac{q^2}{2C_0}$ है।
नई ऊर्जा $W'$ का मान $W' = \frac{q^2}{2C'} = \frac{q^2}{2(5C_0)} = \frac{1}{5} \left( \frac{q^2}{2C_0} \right) = \frac{W_0}{5}$ होगा।
अतः,नई धारिता $5C_0$ और नई ऊर्जा $\frac{W_0}{5}$ होगी।

(C) $t$ मोटाई वाली परावैद्युत स्लैब युक्त समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र है:
$C = \frac{A \epsilon_0}{(d - t) + \frac{t}{K}}$
जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है,$d$ उनके बीच की दूरी है,और $K$ परावैद्युतांक है।
जब $t$ मोटाई की धातु की शीट (एल्युमीनियम फॉयल) डाली जाती है,तो चालक के लिए परावैद्युतांक $K = \infty$ होता है।
सूत्र में $K = \infty$ रखने पर:
$C' = \frac{A \epsilon_0}{(d - t) + \frac{t}{\infty}} = \frac{A \epsilon_0}{d - t}$
यदि फॉयल की मोटाई $t$ नगण्य $(t \approx 0)$ है,तो:
$C' = \frac{A \epsilon_0}{d - 0} = \frac{A \epsilon_0}{d}$
चूंकि मूल धारिता $C = \frac{A \epsilon_0}{d}$ थी,इसलिए धारिता अपरिवर्तित रहती है।

(B) गोलीय संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = 4\pi \varepsilon_0 K \left( \frac{ab}{b-a} \right)$ है,जहाँ $a$ और $b$ क्रमशः आंतरिक और बाहरी गोलों की त्रिज्याएँ हैं,और $K$ उनके बीच के पदार्थ का परावैद्युतांक (dielectric constant) है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $C \propto K$ है।
जब दो गोलों के बीच परावैद्युत पदार्थ भरा जाता है,तो परावैद्युतांक $K$ का मान बढ़ जाता है (क्योंकि निर्वात के लिए $K = 1$ होता है और किसी भी परावैद्युत पदार्थ के लिए $K > 1$ होता है)।
अतः,दो गोलों के बीच परावैद्युत पदार्थ भरने से संधारित्र की धारिता बढ़ जाती है।

(C) जब एक परावैद्युत स्लैब को आवेशित संधारित्र की प्लेटों के पास रखा जाता है, तो यह प्लेटों के बीच के क्षेत्र की ओर एक आकर्षण बल का अनुभव करती है। इसका कारण यह है कि संधारित्र का विद्युत क्षेत्र परावैद्युत पर ध्रुवीकरण आवेश उत्पन्न करता है, जिससे एक आकर्षक अंतःक्रिया बनती है। प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ कम हो जाती है जैसे ही परावैद्युत संधारित्र में प्रवेश करता है क्योंकि धारिता $C$ बढ़ जाती है। चूंकि प्रत्येक भौतिक प्रणाली न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा की स्थिति की ओर बढ़ने की प्रवृत्ति रखती है, इसलिए परावैद्युत स्लैब प्लेटों के बीच के क्षेत्र में खिंच जाती है। एक बार जब यह पूरी तरह से अंदर आ जाती है, तो बल शून्य हो जाता है (समान क्षेत्र मानते हुए), और यह संतुलन में वहीं बनी रहती है। इसलिए, सही विकल्प $(c)$ है।

(D) जब बैटरी को हटा दिया जाता है,तो संधारित्र पर आवेश $q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी $d$ बढ़ाई जाती है,तो धारिता $C$ घट जाती है।
चूंकि $q = CV$ है,इसलिए वोल्टेज $V = \frac{q}{C}$ होता है,अतः जैसे-जैसे $C$ घटता है,वोल्टेज $V$ बढ़ता है।
संधारित्र में संचित स्थिर-वैद्युत ऊर्जा $U = \frac{q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $q$ स्थिर है और $C$ घट रहा है,इसलिए ऊर्जा $U$ बढ़ जाती है।

(C) जब एक संधारित्र को आवेशित किया जाता है और फिर बैटरी से अलग कर दिया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
वायु वाले समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ होती है।
जब $K$ परावैद्युतांक वाला परावैद्युत डाला जाता है,तो नई धारिता $C = K C_0$ हो जाती है।
चूंकि आवेश $Q$ स्थिर है,विभव $V$ और धारिता $C$ के बीच संबंध $V = \frac{Q}{C}$ है।
नया विभवांतर $V'$ इस प्रकार दिया जाता है: $V' = \frac{Q}{C} = \frac{Q}{K C_0} = \frac{V_0}{K}$।
यहाँ $V_0 = 100\;V$ और $K = 10$ दिया गया है,इसलिए $V' = \frac{100}{10} = 10\;V$ प्राप्त होता है।

(C) जब संधारित्र की प्लेटों के बीच एक परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो धारिता $C$ का मान $K$ (परावैद्युत नियतांक) के गुणक से बढ़ जाता है,जहाँ $C' = KC$ होता है।
चूंकि संधारित्र बैटरी से जुड़ा रहता है,इसलिए प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
संबंध $Q = CV$ के अनुसार,यदि $C$ बढ़ता है और $V$ स्थिर रहता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ बढ़ जाएगा।
अतः,नया आवेश पहले के आवेश से अधिक होता है।

(D) प्लेट पृथक्करण $d$ और क्षेत्रफल $A$ वाले एक समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब $t$ मोटाई की एक धातु की प्लेट को प्लेटों के बीच रखा जाता है,तो नई धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ $t = d/2$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - d/2} = \frac{\varepsilon_0 A}{d/2} = 2 \frac{\varepsilon_0 A}{d}$.
चूंकि $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$,हमें $C = 2 C_0$ प्राप्त होता है।
अतः,धारिता दुगुनी हो जाती है।

(C) जब एक संधारित्र बैटरी से जुड़ा रहता है और उसमें परावैद्युत स्लैब डाला जाता है, तो प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
चूंकि धारिता $C$ बढ़ जाती है $(C = K C_0)$, इसलिए प्लेटों पर आवेश $Q$ बढ़ जाता है $(Q = CV)$।
स्थिर विभवांतर बनाए रखने के लिए बैटरी को संधारित्र को अतिरिक्त आवेश की आपूर्ति करनी पड़ती है।
बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W_{battery} = \Delta Q \cdot V = (Q_{final} - Q_{initial})V$ होता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \frac{1}{2} C_{final} V^2 - \frac{1}{2} C_{initial} V^2 = \frac{1}{2} \Delta C V^2$ है।
चूंकि $W_{battery} = \Delta C V^2$, बैटरी द्वारा किया गया कार्य संचित ऊर्जा में वृद्धि का दोगुना होता है।
बैटरी द्वारा आपूर्ति की गई शेष आधी ऊर्जा स्लैब डालने वाले बाहरी एजेंट द्वारा किए गए कार्य में परिवर्तित हो जाती है।
अतः, यह कार्य बैटरी की कीमत पर किया जाता है।

(D) वायु-भरे समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_{air} = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 15\,\mu F$ द्वारा दी जाती है।
जब $t$ मोटाई की एक चालक प्लेट (तांबा) प्लेटों के बीच रखी जाती है,तो नई धारिता $C_{medium} = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
चालक के लिए,परावैद्युतांक $K = \infty$ होता है,इसलिए पद $\frac{t}{K} = 0$ हो जाता है।
अतः,नई धारिता $C_{medium} = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t}$ होती है।
अनुपात लेने पर,हमें $\frac{C_{medium}}{C_{air}} = \frac{d}{d - t}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $d = 6\,mm$ और $t = 3\,mm$,इसलिए $\frac{C_{medium}}{15} = \frac{6}{6 - 3} = \frac{6}{3} = 2$।
अतः,$C_{medium} = 15 \times 2 = 30\,\mu F$।

(D) जब एक संधारित्र बैटरी से जुड़ा रहता है और उसकी प्लेटों के बीच $K$ परावैद्युतांक वाला पदार्थ भरा जाता है,तो बैटरी से जुड़े होने के कारण प्लेटों के बीच का विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
संधारित्र की धारिता $C = \frac{K{\varepsilon _0}A}{d}$ सूत्र के अनुसार बढ़ जाती है,जहाँ $K > 1$ है।
संधारित्र पर आवेश $Q = CV$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $V$ स्थिर है और $C$ बढ़ता है,इसलिए आवेश $Q$ भी बढ़ जाता है।
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $V$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E$ स्थिर रहता है।
अतः,आवेश $Q$ और धारिता $C$ दोनों में वृद्धि होती है।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी को दोगुना $(d' = 2d)$ कर दिया जाता है और $K$ नियतांक वाला एक परावैद्युत माध्यम डाला जाता है,तो नई धारिता $C'$ का मान $C' = \frac{K \varepsilon_0 A}{d'}$ होता है।
समीकरण में $d' = 2d$ रखने पर,हमें $C' = \frac{K \varepsilon_0 A}{2d} = \frac{K}{2} C$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि नई धारिता $C' = 2C$ है,इसलिए हम दोनों व्यंजकों की तुलना करते हैं: $2C = \frac{K}{2} C$.
$K$ के लिए हल करने पर,हमें $K = 2 \times 2 = 4$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई व्यवस्था श्रेणीक्रम में जुड़े तीन संधारित्रों से बनी है,जिनमें से प्रत्येक का परावैद्युतांक $K_1, K_2, K_3$ और मोटाई क्रमशः $d_1, d_2, d_3$ है।
परावैद्युत वाले समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
श्रेणीक्रम में जुड़े तीन संधारित्रों के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$
मान रखने पर:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d_1}{K_1 \varepsilon_0 A} + \frac{d_2}{K_2 \varepsilon_0 A} + \frac{d_3}{K_3 \varepsilon_0 A}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{\varepsilon_0 A} \left[ \frac{d_1}{K_1} + \frac{d_2}{K_2} + \frac{d_3}{K_3} \right]$
अतः,तुल्य धारिता है:
$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{\left( \frac{d_1}{K_1} + \frac{d_2}{K_2} + \frac{d_3}{K_3} \right)}$

(B) परावैद्युत युक्त समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $C \propto K$,हम अनुपात को $\frac{C_1}{C_2} = \frac{K_1}{K_2}$ के रूप में लिख सकते हैं।
दिया गया है कि $K_1 = 5$,$C_1 = C$,और $K_2 = 20$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{C}{C_2} = \frac{5}{20}$।
$\frac{C}{C_2} = \frac{1}{4}$।
अतः,$C_2 = 4C$।

(D) जब एक संधारित्र को बैटरी से हटा दिया जाता है, तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
दिया गया है कि प्रारंभिक परावैद्युतांक $K_1 = 3$ और अंतिम परावैद्युतांक $K_2 = 9$ है।
आवेश स्थिर रहता है: $Q' = Q_0$.
संधारित्र पर विभवांतर $V = Q/C$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $C = K \epsilon_0 A/d$, इसलिए $V \propto 1/K$ होता है। अतः, $V' = V_0 \times (K_1 / K_2) = V_0 \times (3 / 9) = V_0 / 3$.
विद्युत क्षेत्र $E = V/d$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $V' = V_0 / 3$, इसलिए नया विद्युत क्षेत्र $E' = E_0 / 3$ होगा।

(C) कई परावैद्युत स्लैब वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र इस प्रकार है:
$C = \frac{{\varepsilon _0 A}}{{\sum \frac{t_i}{k_i}}}$
दिया गया है:
$t_1 = 6\,mm = 6 \times 10^{-3}\,m$,$k_1 = 10$
$t_2 = 4\,mm = 4 \times 10^{-3}\,m$,$k_2 = 5$
मान रखने पर:
$C = \frac{{\varepsilon _0 A}}{{\frac{6 \times 10^{-3}}{10} + \frac{4 \times 10^{-3}}{5}}}$
$C = \frac{{\varepsilon _0 A}}{{0.6 \times 10^{-3} + 0.8 \times 10^{-3}}}$
$C = \frac{{\varepsilon _0 A}}{{1.4 \times 10^{-3}}}$
$C = \frac{1000}{1.4} \varepsilon _0 A = \frac{10000}{14} \varepsilon _0 A = \frac{5000}{7} \varepsilon _0 A$

(C) प्रारंभ में,वायु संधारित्र पर आवेश $Q = C \times V = 10\,\mu F \times 12\,V = 120\,\mu C$ है।
जब प्लेटों के बीच के स्थान को $K = 5$ परावैद्युतांक वाले पदार्थ से भरा जाता है,तो नई धारिता $C' = K \times C = 5 \times 10\,\mu F = 50\,\mu F$ हो जाती है।
संधारित्र पर नया आवेश $Q' = C' \times V = 50\,\mu F \times 12\,V = 600\,\mu C$ है।
बैटरी से संधारित्र में प्रवाहित होने वाला अतिरिक्त आवेश $\Delta Q = Q' - Q = 600\,\mu C - 120\,\mu C = 480\,\mu C$ है।

(A) जब एक संधारित्र को आवेशित किया जाता है और फिर बैटरी से अलग कर दिया जाता है,तो यह एक विलगित (isolated) निकाय बन जाता है।
आवेश संरक्षण के नियम के अनुसार,एक विलगित संधारित्र की प्लेटों पर कुल आवेश $Q$ नहीं बदल सकता है।
जब एक परावैद्युत स्लैब पेश किया जाता है,तो धारिता $C$ बढ़ जाती है $(C = K C_0)$,विभवांतर $V$ कम हो जाता है $(V = V_0 / K)$,और संचित ऊर्जा $U$ कम हो जाती है $(U = U_0 / K)$।
इसलिए,आवेश $Q$ स्थिर रहता है।

(D) परावैद्युत माध्यम से भरे समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_{medium} = \frac{K \epsilon_0 A}{d} = KC_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $C_0$ प्लेटों के बीच हवा/निर्वात होने पर धारिता है।
दिया गया है कि $C_{medium} = C$ और $K = 2$,इसलिए $C = 2C_0$ होगा।
अतः,हवा के साथ धारिता (जब तेल हटा दिया जाता है) $C_0 = \frac{C}{2}$ होगी।
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(D) समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{A\varepsilon_0}{d} = 10\,\mu F$ है।
जब $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत पट्टी को प्लेटों के बीच रखा जाता है,तो नई धारिता $C' = \frac{A\varepsilon_0}{d - t + \frac{t}{K}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,परावैद्युत आधी दूरी को भरता है,इसलिए $t = \frac{d}{2}$ और $K = 2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $C' = \frac{A\varepsilon_0}{d - \frac{d}{2} + \frac{d/2}{2}} = \frac{A\varepsilon_0}{\frac{d}{2} + \frac{d}{4}} = \frac{A\varepsilon_0}{\frac{3d}{4}} = \frac{4}{3} \times \frac{A\varepsilon_0}{d}$।
चूंकि $\frac{A\varepsilon_0}{d} = 10\,\mu F$,इसलिए $C' = \frac{4}{3} \times 10 = 13.33\,\mu F$।

(C) हवा से भरे संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 10 \, pF = 10 \times 10^{-12} \, F$ है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी को दोगुना $(d' = 2d)$ किया जाता है और स्थान को $K$ परावैद्युतांक वाले पदार्थ (मोम) से भरा जाता है,तो नई धारिता $C_2 = \frac{K \varepsilon_0 A}{d'} = \frac{K \varepsilon_0 A}{2d}$ होती है।
दोनों धारिताओं का अनुपात लेने पर: $\frac{C_2}{C_1} = \frac{K \varepsilon_0 A / 2d}{\varepsilon_0 A / d} = \frac{K}{2}$.
दिया गया है कि $C_2 = 40 \times 10^{-12} \, F$,इसलिए $\frac{40 \times 10^{-12}}{10 \times 10^{-12}} = \frac{K}{2}$.
$4 = \frac{K}{2} \implies K = 8$.

(A) जब एक आवेशित संधारित्र की प्लेटों के बीच $K$ परावैद्युतांक वाला एक परावैद्युत पदार्थ रखा जाता है,तो परावैद्युत की सतह पर प्रेरित आवेश एक आंतरिक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं जो मूल बाहरी विद्युत क्षेत्र का विरोध करता है।
परिणामस्वरूप,प्लेटों के बीच का कुल विद्युत क्षेत्र $E_{medium}$ घट जाता है,जिसे निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E_{medium} = \frac{E_{air}}{K}$
चूंकि किसी भी परावैद्युत पदार्थ के लिए $K > 1$ होता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E_{medium}$ मूल विद्युत क्षेत्र $E_{air}$ से कम होगा।

(A) एक संधारित्र पर लगाया जा सकने वाला अधिकतम विभवांतर $(V_{max})$,परावैद्युत सामर्थ्य $(E_{max})$ और प्लेटों के बीच की दूरी $(d)$ के गुणनफल के बराबर होता है।
दिया गया है:
परावैद्युत सामर्थ्य $(E_{max})$ = $19\, kV/mm = 19,000\, V/mm$.
प्लेटों के बीच की दूरी $(d)$ = $0.01\, mm$.
गणना:
$V_{max} = E_{max} \times d$
$V_{max} = 19,000\, V/mm \times 0.01\, mm$
$V_{max} = 190\, V$.
अतः,अधिकतम विभवांतर $190\, V$ है।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 20\,\mu F$ है।
जब $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब को रखा जाता है,तो नई धारिता $C'$ का सूत्र है:
$C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$
$C'$ और $C$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{C'}{C} = \frac{d}{d - t + \frac{t}{K}}$
यहाँ $d = 2\,mm$,$t = 1\,mm$,और $K = 2$ दिया गया है:
$C' = C \times \frac{d}{d - t + \frac{t}{K}} = 20 \times \frac{2}{2 - 1 + \frac{1}{2}} = 20 \times \frac{2}{1.5} = 20 \times \frac{2}{3/2} = 20 \times \frac{4}{3} = \frac{80}{3} \approx 26.67\,\mu F$.
अतः,नई धारिता लगभग $26.6\,\mu F$ है।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ है।
प्रारंभ में,$K_1 = 1$ (वायु),$d_1 = 0.4 \, cm$,और $C_1 = 2 \, \mu F$ है।
अंत में,$K_2 = 2.8$,$d_2 = \frac{d_1}{2} = 0.2 \, cm$,और हमें $C_2$ ज्ञात करना है।
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{C_2}{C_1} = \frac{K_2}{K_1} \times \frac{d_1}{d_2}$.
मान रखने पर: $\frac{C_2}{2} = \frac{2.8}{1} \times \frac{0.4}{0.2}$.
$\frac{C_2}{2} = 2.8 \times 2 = 5.6$.
$C_2 = 5.6 \times 2 = 11.2 \, \mu F$.

(D) समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
जब $t$ मोटाई की धातु की शीट प्लेटों के बीच रखी जाती है,तो प्लेटों के बीच की प्रभावी दूरी कम हो जाती है। नई धारिता $C'$ का सूत्र $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ है,जहाँ $K$ परावैद्युतांक (dielectric constant) है।
धातु की शीट के लिए,परावैद्युतांक $K = \infty$ होता है।
दिया गया है कि शीट की मोटाई $t = d/2$ है,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - d/2 + \frac{d/2}{\infty}}$
चूँकि $\frac{d/2}{\infty} = 0$,व्यंजक सरल होकर प्राप्त होता है:
$C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - d/2} = \frac{\varepsilon_0 A}{d/2} = 2 \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right)$
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $C' = 2C$ प्राप्त होता है।

(B) जब किसी संधारित्र की प्लेटों के बीच एक परावैद्युत स्लैब डाला जाता है जबकि वह बैटरी से जुड़ा रहता है,तो प्लेटों के बीच विभवांतर $(V)$ स्थिर रहता है क्योंकि यह बैटरी द्वारा निर्धारित होता है।
चूंकि धारिता $(C)$ का मान $K$ के गुणक से बढ़ जाता है (जहाँ $K$ परावैद्युतांक है),इसलिए प्लेटों पर आवेश $(Q = CV)$ बढ़ना चाहिए।
अतः,विभवांतर को बनाए रखने के लिए बैटरी से अतिरिक्त आवेश संधारित्र की ओर प्रवाहित होता है।
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(B) जब एक समांतर प्लेट संधारित्र को बैटरी से जोड़ा जाता है,तो इसकी प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है क्योंकि यह बैटरी द्वारा बनाए रखा जाता है।
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ को संबंध $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
चूंकि बैटरी जुड़ी रहती है,इसलिए $V$ स्थिर रहता है और प्लेटों के बीच की दूरी $d$ नहीं बदलती है।
इसलिए,परावैद्युत पदार्थ डालने के बावजूद विद्युत क्षेत्र $E$ अपने प्रारंभिक मान $E_0$ के बराबर ही रहेगा।

(C) समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ परावैद्युतांक है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है,और $d$ उनके बीच की दूरी है।
प्रारंभ में,$C_1 = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$.
प्रश्न के अनुसार,नई दूरी $d' = \frac{d}{2}$ और नया परावैद्युतांक $K' = 2K$ है।
नई धारिता $C_2 = \frac{K' \epsilon_0 A}{d'} = \frac{(2K) \epsilon_0 A}{d/2}$ द्वारा दी जाती है।
इसे सरल करने पर,$C_2 = 4 \times \frac{K \epsilon_0 A}{d} = 4C_1$.
अतः,धारिता चार गुना बढ़ जाती है।

(A) जब $K > 1$ परावैद्युतांक वाला परावैद्युत पदार्थ संधारित्र की प्लेटों के बीच रखा जाता है (यह मानते हुए कि संधारित्र बैटरी से अलग है,इसलिए आवेश $Q$ स्थिर रहता है):
$1$. धारिता $(C)$: नई धारिता $C' = KC$ होती है। चूंकि $K > 1$ है,इसलिए धारिता बढ़ती है।
$2$. विभवांतर $(V)$: चूंकि $V = Q/C$ है,और $Q$ स्थिर है,इसलिए $C$ के बढ़ने पर विभवांतर $V$ घट जाता है।
$3$. स्थितिज ऊर्जा $(U)$: स्थितिज ऊर्जा $U = Q^2 / (2C)$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $C$ बढ़ता है और $Q$ स्थिर है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U$ घट जाती है।
अतः,सही क्रम है: बढ़ती है,घटती है,घटती है।

(A) जब एक समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच एक पतली धातु की प्लेट डाली जाती है,तो यह एक समविभव सतह के रूप में कार्य करती है।
यह प्रभावी रूप से मूल संधारित्र को श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों में विभाजित कर देती है,जिनमें से प्रत्येक की प्लेटों के बीच की दूरी $d/2$ है।
प्रत्येक नए संधारित्र की धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = 2C$ होती है।
चूंकि ये दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ का मान $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C'} + \frac{1}{C'} = \frac{1}{2C} + \frac{1}{2C} = \frac{1}{C}$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$C_{eq} = C$।
इस प्रकार,धारिता अपरिवर्तित रहती है।

(C) जब एक संधारित्र को आवेशित करके अलग कर दिया जाता है,तो प्लेटों पर कुल आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई बाहरी स्रोत या पथ नहीं होता है।
जब एक परावैद्युत पदार्थ डाला जाता है,तो धारिता $C$ बढ़कर $C' = KC$ हो जाती है,जहाँ $K$ परावैद्युतांक है।
चूंकि $Q$ स्थिर है और $C$ बढ़ता है,इसलिए विभवांतर $V = Q/C$ घट जाता है।
विद्युत क्षेत्र $E = V/d$ भी घट जाता है।
संचित ऊर्जा $U = Q^2/(2C)$ घट जाती है क्योंकि $C$ बढ़ता है।
इसलिए,प्लेटों पर आवेश अपरिवर्तित रहता है।

(D) हवा वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ होती है।
जब $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ होती है।
दिया गया है कि $C' = \frac{4}{3}C$ और $t = \frac{d}{2}$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\varepsilon_0 A}{d - \frac{d}{2} + \frac{d/2}{K}} = \frac{4}{3} \times \frac{\varepsilon_0 A}{d}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{1}{\frac{d}{2} + \frac{d}{2K}} = \frac{4}{3d} \Rightarrow \frac{1}{\frac{d}{2}(1 + \frac{1}{K})} = \frac{4}{3d}$.
$\frac{2}{d(1 + 1/K)} = \frac{4}{3d} \Rightarrow \frac{2}{1 + 1/K} = \frac{4}{3}$.
$6 = 4(1 + 1/K) \Rightarrow 6 = 4 + \frac{4}{K}$.
$2 = \frac{4}{K} \Rightarrow K = 2$.

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{Q^2}{2C}$ है,जहाँ $Q$ प्लेटों पर आवेश है और $C$ धारिता है।
जब एक आवेशित संधारित्र की प्लेटों के बीच परावैद्युत पदार्थ रखा जाता है (यह मानते हुए कि संधारित्र अलग-थलग है,इसलिए $Q$ स्थिर रहता है),तो धारिता $C$ बढ़ जाती है क्योंकि $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$,जहाँ $K > 1$ है।
चूंकि $U$,$C$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(U \propto \frac{1}{C})$,इसलिए धारिता $C$ में वृद्धि होने से संचित ऊर्जा $U$ में कमी आती है।

(D) वायु-भरे समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है ... $(i)$.
जब प्लेटों के बीच की दूरी दोगुनी $(d' = 2d)$ कर दी जाती है और इसे $K$ परावैद्युतांक वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो नई धारिता $C'$ का मान $C' = \frac{K \varepsilon_0 A}{d'} = \frac{K \varepsilon_0 A}{2d}$ होता है ... $(ii)$.
दिया गया है कि नई धारिता मूल धारिता की दोगुनी है,अर्थात $C' = 2C$.
इस संबंध में $(i)$ और $(ii)$ के समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{K \varepsilon_0 A}{2d} = 2 \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right)$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{K}{2} = 2$.
अतः,$K = 4$.