Parallel Plate Capacitor Questions in Hindi

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = \frac{\epsilon A}{d}$ है,जहाँ $\epsilon$ निरपेक्ष विद्युतशीलता है,$A$ क्षेत्रफल है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
$\epsilon$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\epsilon = \frac{C \cdot d}{A}$ प्राप्त होता है।
धारिता $C$ का मात्रक फैराड $(F)$ है,दूरी $d$ का मात्रक मीटर $(m)$ है और क्षेत्रफल $A$ का मात्रक वर्ग मीटर $(m^2)$ है।
इन मात्रकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\epsilon \text{ का मात्रक} = \frac{F \cdot m}{m^2} = F \cdot m^{-1}$।
अतः,निरपेक्ष विद्युतशीलता का मात्रक $F \cdot m^{-1}$ है।

(A) दो समानांतर प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ विभवांतर है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
दिया गया है: $V = 50\,V$,$d = 5\,mm = 5 \times 10^{-3}\,m$.
$E = \frac{50}{5 \times 10^{-3}} = 10^4\,V/m$.
कण पर लगने वाला बल $F = qE$ है।
त्वरण $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $q = 10^{-11}\,C$,$m = 10^{-15}\,kg$.
$a = \frac{10^{-11} \times 10^4}{10^{-15}} = \frac{10^{-7}}{10^{-15}} = 10^8\,m/s^2$.

(D) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र $C = \frac{K\varepsilon_0 A}{d}$ है,जहाँ $K$ प्लेटों के बीच के माध्यम का परावैद्युतांक है,$\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है,$A$ प्रत्येक प्लेट का क्षेत्रफल है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि धारिता प्लेटों के क्षेत्रफल,उनके बीच की दूरी और परावैद्युत माध्यम पर निर्भर करती है,लेकिन यह प्लेटों की मोटाई,प्लेटों की धातु या उन पर लगाए गए विभवांतर पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,दिए गए विकल्पों में से,धारिता प्लेटों के बीच की दूरी पर निर्भर करती है।

(B) एक समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है,जहाँ $\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है,और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी आधी कर दी जाती है,तो नई दूरी $d' = d/2$ हो जाती है।
नई धारिता $C'$ का मान $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d'} = \frac{\varepsilon_0 A}{d/2}$ होगा।
इसे सरल करने पर $C' = 2 \times \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 2C$ प्राप्त होता है।
अतः,नई धारिता $2C$ होगी।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है,और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि धारिता $C$ प्लेटों के क्षेत्रफल $A$ के सीधे समानुपाती होती है $(C \propto A)$।
इसलिए,यदि प्लेटों का क्षेत्रफल $A$ बढ़ाया जाता है,तो संधारित्र की धारिता $C$ भी बढ़ जाती है।

(B) परावैद्युत से भरे समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
$r$ त्रिज्या वाले गोलाकार चालक के लिए,धारिता $C = 4 \pi \varepsilon_0 r$ होती है।
दोनों धारिताओं की तुलना करने पर: $4 \pi \varepsilon_0 r = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$।
$r$ के लिए हल करने पर: $r = \frac{KA}{4 \pi d}$।
दिया गया है: $A = 100 \, cm^2 = 100 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-2} \, m^2$,$d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,और $K = 6$।
मान रखने पर: $r = \frac{6 \times 10^{-2}}{4 \times 3.14 \times 10^{-3}} = \frac{6 \times 10}{12.56} = \frac{60}{12.56} \approx 4.77 \, m$।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
यह मानते हुए कि संधारित्र बैटरी से अलग है,आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
चूंकि $Q = CV$,इसलिए $V = \frac{Q}{C} = \frac{Qd}{\epsilon_0 A}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $V \propto d$ है।
अतः,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{d_1}{d_2}$ होगा।
यहाँ $V_1 = 60 \ V$,$d_1 = 4 \ mm$,और $d_2 = 12 \ mm$ दिया गया है।
$V_2 = \frac{V_1 \times d_2}{d_1} = \frac{60 \times 12}{4} = 180 \ V$।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{A\varepsilon_0}$ है,जहाँ $Q$ प्लेटों पर आवेश है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र $E$ केवल आवेश घनत्व $\sigma$ (या आवेश $Q$ और क्षेत्रफल $A$) पर निर्भर करता है और प्लेटों के बीच की दूरी $d$ से स्वतंत्र है,इसलिए दूरी बढ़ाने पर भी विद्युत तीव्रता अपरिवर्तित रहती है,यदि आवेश $Q$ स्थिर रहे।
अतः,$E \propto d^0$।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की एक प्लेट द्वारा दूसरी प्लेट के स्थान पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0 K}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma = \frac{q}{A}$ पृष्ठ आवेश घनत्व है।
$\sigma$ का मान रखने पर,हमें $E = \frac{q}{2A\varepsilon_0 K}$ प्राप्त होता है।
इस विद्युत क्षेत्र में स्थित आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qE$ है।
अतः,$F = q \times \left( \frac{q}{2A\varepsilon_0 K} \right) = \frac{q^2}{2\varepsilon_0 AK}$।

(C) एक समांतर प्लेट संधारित्र में,प्लेटों पर आवेश उनके बीच के विद्युत क्षेत्र द्वारा प्रेरित होता है।
स्थिर विद्युत प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार,संधारित्र प्रणाली की कुल आवेश तटस्थता बनाए रखने के लिए प्लेटों पर प्रेरित आवेश का परिमाण समान और विपरीत होना चाहिए।
भले ही प्लेटों के भौतिक आयाम (क्षेत्रफल) अलग-अलग हों,दोनों प्लेटों पर आवेश $q$ का परिमाण समान रहता है ($+q$ और $-q$)।
इसलिए,छोटी प्लेट पर आवेश बड़ी प्लेट पर मौजूद आवेश के बराबर होता है।

(B) प्रारंभ में,समानांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है। कण पर कार्य करने वाला बल $F = qE = \frac{q\sigma}{\varepsilon_0}$ है।
जब एक प्लेट को हटा दिया जाता है,तो संधारित्र प्रभावी रूप से एक एकल आवेशित शीट बन जाता है। एक एकल आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E' = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,कण पर कार्य करने वाला नया बल $F' = qE' = q \left( \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{q\sigma}{\varepsilon_0} \right) = \frac{F}{2}$ होगा।

(B) $R$ त्रिज्या वाले गोले की धारिता $C_{sphere} = 4\pi \varepsilon_0 R$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $R = 1\,m$ दिया गया है,इसलिए $C_{sphere} = 4\pi \varepsilon_0 \times 1 = 4\pi \varepsilon_0$.
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_{parallel} = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है,जहाँ $A = \pi r^2$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
प्लेट का व्यास $40\,mm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 20\,mm = 20 \times 10^{-3}\,m$.
दोनों धारिताओं की तुलना करने पर: $4\pi \varepsilon_0 = \frac{\varepsilon_0 \pi r^2}{d}$.
दोनों तरफ से $\pi \varepsilon_0$ को हटाने पर,हमें $4 = \frac{r^2}{d}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $d = \frac{r^2}{4}$.
$r$ का मान रखने पर: $d = \frac{(20 \times 10^{-3})^2}{4} = \frac{400 \times 10^{-6}}{4} = 100 \times 10^{-6}\,m = 0.1 \times 10^{-3}\,m = 0.1\,mm$.

(D) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$
जहाँ:
$K$ प्लेटों के बीच के माध्यम का परावैद्युतांक (dielectric constant) है।
$\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है।
$A$ प्रत्येक प्लेट का क्षेत्रफल है।
$d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि धारिता प्लेटों के क्षेत्रफल $(A)$,प्लेटों के बीच के माध्यम $(K)$ और प्लेटों के बीच की दूरी $(d)$ पर निर्भर करती है।
यह प्लेटों की धातु पर निर्भर नहीं करती है,बशर्ते प्लेटें अच्छी सुचालक हों।

(B) संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{V}{d}$ होता है,जहाँ $V$ विभवांतर है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
दिया गया है:
विभवांतर $V = 100\,V$
दूरी $d = 1\,mm = 1 \times 10^{-3}\,m$
मान रखने पर:
$E = \frac{100}{1 \times 10^{-3}} = 100 \times 10^3 = 100,000\,V/m$.
नोट: जब प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रखा जाता है,तो परावैद्युतांक का मान विद्युत क्षेत्र की गणना को प्रभावित नहीं करता है।

(A) $R$ त्रिज्या वाले गोलाकार चालक की धारिता $C_1 = 4\pi \varepsilon_0 R$ द्वारा दी जाती है। दिया गया व्यास $D = 20\,cm$ है,इसलिए त्रिज्या $R = 10\,cm = 0.1\,m$ है। अतः,$C_1 = 4\pi \varepsilon_0 (0.1)$।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = \pi r^2$ और $r$ प्लेट की त्रिज्या है। प्लेट का व्यास $4\,cm$ दिया गया है,इसलिए $r = 2\,cm = 0.02\,m$ है। अतः,$A = \pi (0.02)^2 = 4\pi \times 10^{-4}\,m^2$।
दोनों धारिताओं की तुलना करने पर,$C_1 = C_2$:
$4\pi \varepsilon_0 (0.1) = \frac{\varepsilon_0 (4\pi \times 10^{-4})}{d}$
$0.1 = \frac{4 \times 10^{-4}}{d}$
$d = \frac{4 \times 10^{-4}}{0.1} = 4 \times 10^{-3}\,m$।

(D) समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ का मान सूत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है और $\epsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है।
चूंकि $\sigma = \frac{Q}{A}$,इसलिए विद्युत क्षेत्र को $E = \frac{Q}{A\epsilon_0}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
इस व्यंजक में,$Q$ प्लेटों पर आवेश है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है,और $\epsilon_0$ एक नियतांक है।
चूंकि इस सूत्र में प्लेटों के बीच की दूरी $d$ शामिल नहीं है,इसलिए विद्युत क्षेत्र एकसमान होता है और यह प्लेटों के बीच की दूरी पर निर्भर नहीं करता है।

(A) प्रारंभिक धारिता $C = 50\,\mu F = 50 \times 10^{-6}\,F$ और प्रारंभिक विभव $V = 100\;V$ है।
प्रारंभिक आवेश $Q = CV = 50 \times 10^{-6} \times 100 = 5 \times 10^{-3}\,C$ है।
चूंकि संधारित्र बैटरी से अलग है,इसलिए आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी दोगुनी की जाती है,तो नई धारिता $C' = C/2 = 25\,\mu F$ हो जाती है।
नया विभव $V' = Q/C' = Q/(C/2) = 2V = 200\;V$ होता है।
बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य संचित ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है: $W = U_f - U_i$.
$U_i = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 10^{-6} \times (100)^2 = 0.25\;J$.
$U_f = \frac{1}{2}C'V'^2 = \frac{1}{2} \times (C/2) \times (2V)^2 = \frac{1}{2} \times (C/2) \times 4V^2 = CV^2 = 0.50\;J$.
$W = 0.50 - 0.25 = 0.25\;J = 25 \times 10^{-2}\,J$.

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
क्षेत्रफल $A$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $A = \frac{Cd}{\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $C = 3\,F$,$d = 5\,mm = 5 \times 10^{-3}\,m$,और $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\,F/m$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$A = \frac{3 \times 5 \times 10^{-3}}{8.854 \times 10^{-12}}$
$A = \frac{15 \times 10^{-3}}{8.854 \times 10^{-12}}$
$A \approx 1.694 \times 10^9\,m^2$.

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
दिया गया है: $r = 0.08\,m$,$d = 1.0 \times 10^{-3}\,m$,$V = 100\,V$,और $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\,F/m$.
सबसे पहले,क्षेत्रफल $A = \pi (0.08)^2 = \pi \times 0.0064\,m^2$ की गणना करें।
अब,धारिता $C = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times \pi \times 0.0064}{1.0 \times 10^{-3}} \approx 1.78 \times 10^{-10}\,F$ की गणना करें।
आवेश $Q = CV = (1.78 \times 10^{-10}) \times 100 = 1.78 \times 10^{-8}\,C \approx 1.8 \times 10^{-8}\,C$ होगा।

(C) एक समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच का विद्युत क्षेत्र एकसमान (uniform) होता है,जिसका अर्थ है कि प्लेटों के बीच हर बिंदु पर इसका परिमाण और दिशा समान होती है।
विद्युत क्षेत्र $E$ में एक आवेश $q$ द्वारा अनुभव किया जाने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $A$ और $B$ दोनों प्रोटॉन हैं,इसलिए उनका आवेश $q = e$ समान है।
चूंकि प्लेटों के बीच के पूरे क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र $E$ एकसमान है,इसलिए दोनों प्रोटॉन समान बल का अनुभव करते हैं।
अतः,$F_A = F_B$।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है,जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
इस सूत्र से हम देख सकते हैं कि $C \propto \frac{1}{d}$ है।
प्रारंभिक धारिता $C_1 = 15\,\mu F$ है जब दूरी $d_1 = 6\,cm$ है।
नई दूरी $d_2 = 2\,cm$ है।
अनुपात $\frac{C_2}{C_1} = \frac{d_1}{d_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{C_2}{15} = \frac{6}{2}$
$\frac{C_2}{15} = 3$
$C_2 = 15 \times 3 = 45\,\mu F$.
अतः,नई धारिता $45\,\mu F$ होगी।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है,जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $C \propto \frac{1}{d}$ है।
इसलिए,धारिताओं का अनुपात $\frac{C_1}{C_2} = \frac{d_2}{d_1}$ होगा।
दिया गया है: $C_1 = 10\,\mu F$,$d_1 = 8\,cm$,और $d_2 = 4\,cm$.
इन मानों को अनुपात के सूत्र में रखने पर: $\frac{10}{C_2} = \frac{4}{8}$.
इसे सरल करने पर $\frac{10}{C_2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$C_2$ के लिए हल करने पर,हमें $C_2 = 10 \times 2 = 20\,\mu F$ प्राप्त होता है।

(B) एक समांतर प्लेट संधारित्र की एक प्लेट पर दूसरी प्लेट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E$ के कारण लगने वाला बल $F = Q \times E_{plate}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्लेटों के बीच कुल विद्युत क्षेत्र $E = E_{plate} + E_{plate} = 2 E_{plate}$ है,इसलिए एक प्लेट के कारण क्षेत्र $E_{plate} = E/2$ होता है।
अतः,प्रत्येक प्लेट पर लगने वाला बल $F = Q \times (E/2) = (Q \times E) / 2$ है।
यहाँ $Q = 1 \, \mu C = 10^{-6} \, C$ और $E = 10^5 \, V/m$ दिया गया है।
मान रखने पर: $F = (10^{-6} \times 10^5) / 2 = 10^{-1} / 2 = 0.1 / 2 = 0.05 \, N$.

(D) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
प्रारंभिक धारिता $C = 12\,\mu F$ दी गई है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी दोगुनी की जाती है,तो $d' = 2d$ होता है।
जब प्लेटों का क्षेत्रफल आधा किया जाता है,तो $A' = \frac{A}{2}$ होता है।
नई धारिता $C'$ इस प्रकार होगी: $C' = \frac{\varepsilon_0 A'}{d'} = \frac{\varepsilon_0 (A/2)}{2d} = \frac{1}{4} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = \frac{1}{4} C$.
$C$ का मान रखने पर,हमें $C' = \frac{1}{4} \times 12\,\mu F = 3\,\mu F$ प्राप्त होता है।

(C) बारी-बारी से जुड़ी $n$ प्लेटों के ढेर में, प्लेटें समांतर क्रम में $(n - 1)$ संधारित्र बनाती हैं।
प्रत्येक आसन्न प्लेटों का जोड़ा $C$ धारिता वाले एक संधारित्र के रूप में कार्य करता है।
चूंकि ये $(n - 1)$ संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं, इसलिए तुल्य धारिता $C_R$ व्यक्तिगत धारिताओं का योग है।
अतः, $C_R = C + C + ... + (n - 1) \text{ बार} = (n - 1)C$.

(D) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ है,जहाँ $A = l \times b$ है।
दिया गया है:
धारिता $C = 2 \times 10^{-6}\,F$
परावैद्युतांक $K = 2.5$
मोटाई $d = 0.15 \times 10^{-3}\,m$
चौड़ाई $b = 400 \times 10^{-3}\,m = 0.4\,m$
निर्वात की विद्युतशीलता $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,F/m$
सूत्र में मान रखने पर:
$2 \times 10^{-6} = \frac{2.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times (l \times 0.4)}{0.15 \times 10^{-3}}$
$2 \times 10^{-6} = \frac{2.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.4 \times l}{0.15 \times 10^{-3}}$
$2 \times 10^{-6} = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times l}{0.15 \times 10^{-3}}$
$l = \frac{2 \times 10^{-6} \times 0.15 \times 10^{-3}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$l = \frac{0.3 \times 10^{-9}}{8.85 \times 10^{-12}} = \frac{300}{8.85} \approx 33.9\,m$.

(C) दिए गए परिपथ में $4$ संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हैं। प्रत्येक संधारित्र $A$ क्षेत्रफल और $d$ दूरी वाली दो निकटवर्ती प्लेटों द्वारा बनता है। प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
प्लेट $1$ बैटरी के धनात्मक टर्मिनल से जुड़ी है। यह प्लेट $2$ के साथ एक संधारित्र बनाती है। प्लेट $1$ पर आवेश $q_1 = +CV = +\frac{\varepsilon_0 AV}{d}$ है।
प्लेट $4$ बैटरी के ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ी है। यह दो संधारित्रों के लिए एक प्लेट के रूप में कार्य करती है: एक प्लेट $3$ के साथ और दूसरी प्लेट $5$ के साथ। चूंकि प्लेट $4$ ऋणात्मक टर्मिनल से जुड़ी है,इसलिए प्लेट $4$ के दोनों ओर आवेश ऋणात्मक होगा। प्लेट $4$ पर कुल आवेश $q_4 = -CV - CV = -2CV = -\frac{2\varepsilon_0 AV}{d}$ है।
अतः,प्लेट $1$ और $4$ पर आवेश क्रमशः $\frac{\varepsilon_0 AV}{d}$ और $-\frac{2\varepsilon_0 AV}{d}$ है।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक आसन्न प्लेटों के जोड़े की धारिता $C = \frac{{\varepsilon _0}A}{d}$ है।
दिए गए परिपथ आरेख से,हम संधारित्रों की व्यवस्था को पहचान सकते हैं।
ऊपरी प्लेट और दूसरी प्लेट एक संधारित्र $C_1$ बनाती हैं।
दूसरी प्लेट और तीसरी प्लेट एक अन्य संधारित्र $C_2$ बनाती हैं।
तीसरी प्लेट और चौथी प्लेट एक तीसरा संधारित्र $C_3$ बनाती हैं।
कनेक्शन के आधार पर,संधारित्र $C_1$,$C_2$ और $C_3$ के श्रेणी संयोजन के साथ समानांतर में है।
अतः,तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + \frac{C_2 \cdot C_3}{C_2 + C_3} = C + \frac{C \cdot C}{C + C} = C + \frac{C}{2} = \frac{3C}{2}$ है।
$C = \frac{{\varepsilon _0}A}{d}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $C_{eq} = \frac{3{\varepsilon _0}A}{2d}$ प्राप्त होता है।

(C) एक समानांतर प्लेट संधारित्र के लिए,एक-दूसरे के सामने वाली आंतरिक सतहों पर आवेश परिमाण में समान और चिह्न में विपरीत होने चाहिए। इसलिए,$Q_2 = -Q_3$ है।
संधारित्र की प्लेटों के बीच विभवांतर $V$,धनात्मक प्लेट की आंतरिक सतह पर आवेश और धारिता $C$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
$V = \frac{Q_2}{C}$
चूंकि $Q_3 = -Q_2$,हम $Q_2 = \frac{Q_2 - Q_3}{2}$ लिख सकते हैं।
इस मान को विभवांतर के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{Q_2 - Q_3}{2C}$

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
समय $t$ के सापेक्ष धारिता में परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम $C$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dC}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = \varepsilon_0 A \frac{d}{dt} (d^{-1})$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{dC}{dt} = \varepsilon_0 A (-d^{-2}) \frac{dd}{dt}$.
चूंकि प्लेटों को $v$ वेग से दूर खींचा जा रहा है,इसलिए दूरी में परिवर्तन की दर $\frac{dd}{dt} = v$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{dC}{dt} = -\frac{\varepsilon_0 A}{d^2} v$ प्राप्त होता है।
परिवर्तन की दर का परिमाण $\left| \frac{dC}{dt} \right| = \frac{\varepsilon_0 A v}{d^2}$ है।
अतः,$\left| \frac{dC}{dt} \right| \propto \frac{1}{d^2}$.

(D) $t$ मोटाई वाली परावैद्युत स्लैब वाले समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + (t/K)}$ द्वारा दी जाती है।
धातु की शीट (एल्यूमीनियम) के लिए,परावैद्युतांक $K$ अनंत होता है $(K = \infty)$।
यहाँ मोटाई $t$ नगण्य है $(t \approx 0)$,लेकिन यदि हम $t$ मोटाई की एक चालक शीट रखते हैं,तो प्लेटों के बीच की प्रभावी दूरी $(d - t)$ हो जाती है।
नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t}$ होती है।
चूंकि $(d - t) < d$,हर का मान कम हो जाता है,जिसका अर्थ है कि धारिता $C'$ बढ़ जाती है।
अतः,संधारित्र की धारिता बढ़ती है।

(A) संधारित्र के प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है क्योंकि यह बैटरी से जुड़ा हुआ है।
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = V/d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
जैसे ही प्लेटों को दूर ले जाया जाता है,$d$ बढ़ता है,इसलिए $E = V/d$ घटता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \epsilon_0 A / d$ द्वारा दी जाती है।
जैसे $d$ बढ़ता है,धारिता $C$ घटती है।
प्लेटों पर आवेश $Q = CV$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $C$ घटता है और $V$ स्थिर है,इसलिए प्लेटों पर आवेश $Q$ भी घटता है।
अतः,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता और प्लेटों पर आवेश दोनों घटते हैं।

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठ आवेश घनत्व है।
यह क्षेत्र दो अलग-अलग प्लेटों द्वारा उत्पन्न क्षेत्रों का अध्यारोपण है,जिसमें प्रत्येक प्लेट $E_{plate} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ का योगदान देती है।
चूँकि $F = qE$,परीक्षण आवेश $q$ द्वारा अनुभव किया गया बल $F = q \left( \frac{\sigma}{\epsilon_0} \right)$ है।
जब एक प्लेट को हटा दिया जाता है,तो विद्युत क्षेत्र $E' = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ हो जाता है,जो मूल क्षेत्र का आधा है।
इसलिए,परीक्षण आवेश द्वारा अनुभव किया जाने वाला नया बल $F' = qE' = q \left( \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \right) = \frac{F}{2}$ होगा।

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि बैटरी हटा दी गई है,इसलिए प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी $d$ बढ़ाई जाती है,तो धारिता $C$ घट जाती है क्योंकि $C \propto \frac{1}{d}$ होता है।
प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ का मान $V = \frac{Q}{C}$ द्वारा प्राप्त होता है।
चूंकि $Q$ स्थिर है और $C$ घट रहा है,इसलिए विभवांतर $V$ बढ़ जाएगा।
अतः,सही कथन यह है कि प्लेटों के बीच विभवांतर बढ़ जाता है।

(D) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$
जहाँ:
$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है,
$d$ प्लेटों के बीच की दूरी है,
$K$ प्लेटों के बीच के माध्यम का परावैद्युतांक (dielectric constant) है,
$\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि धारिता प्लेटों के क्षेत्रफल,उनके बीच की दूरी और परावैद्युत माध्यम पर निर्भर करती है,लेकिन यह प्लेटों की धातु (पदार्थ) पर निर्भर नहीं करती है।

(B) दिया गया है: क्षेत्रफल $A = 400 \, cm^2 = 400 \times 10^{-4} \, m^2 = 4 \times 10^{-2} \, m^2$.
दूरी $d = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$.
विभवांतर $V = 200 \, V$.
निर्वात की विद्युतशीलता $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, F/m$.
धारिता $C$ का सूत्र $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
मान रखने पर: $C = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 4 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-3}} = 17.708 \times 10^{-11} \, F$.
आवेश $Q$ का सूत्र $Q = CV$ है।
$Q = (17.708 \times 10^{-11}) \times 200 = 3541.6 \times 10^{-11} \, C = 3.5416 \times 10^{-8} \, C$.
अतः,प्लेटों पर आवेश लगभग $3.54 \times 10^{-8} \, C$ है।

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
मान लीजिए प्रारंभिक धारिता $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A_1}{d_1}$ है।
दिया गया है: नया क्षेत्रफल $A_2 = 2A_1$ और नई दूरी $d_2 = \frac{d_1}{2}$ है।
नई धारिता $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A_2}{d_2}$ द्वारा प्राप्त होती है।
मान रखने पर: $C_2 = \frac{\varepsilon_0 (2A_1)}{(d_1/2)} = 4 \times \frac{\varepsilon_0 A_1}{d_1} = 4C_1$।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ होता है।
इससे हम देख सकते हैं कि $C \propto \frac{1}{d}$ है।
इसलिए,धारिताओं का अनुपात $\frac{C_1}{C_2} = \frac{d_2}{d_1}$ होगा।
दिया गया है: $C_1 = 15\ \mu F$,$d_1 = 6\, cm$,और $d_2 = 2\, cm$.
इन मानों को अनुपात के सूत्र में रखने पर:
$\frac{15}{C_2} = \frac{2}{6}$
$\frac{15}{C_2} = \frac{1}{3}$
$C_2 = 15 \times 3 = 45\ \mu F$.
अतः,नई धारिता $45\ \mu F$ होगी।

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_p = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = \pi r^2$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $r$ प्लेटों की त्रिज्या है।
दिया गया व्यास $= 40\, mm$ है,इसलिए त्रिज्या $r = 20\, mm = 20 \times 10^{-3}\, m$ है।
एक विलगित धातु के गोले की धारिता $C_s = 4\pi \epsilon_0 R$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R = 1\, mm = 1 \times 10^{-3}\, m$ है।
दोनों धारिताओं को बराबर करने पर: $\frac{\epsilon_0 A}{d} = 4\pi \epsilon_0 R$.
$A = \pi r^2$ रखने पर: $\frac{\pi r^2}{d} = 4\pi R$.
$d$ के लिए हल करने पर: $d = \frac{r^2}{4R}$.
मान रखने पर: $d = \frac{(20 \times 10^{-3})^2}{4 \times 1 \times 10^{-3}} = \frac{400 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-3}} = 100 \times 10^{-3}\, m = 0.1\, mm$.

(D) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ होता है।
प्रारंभिक धारिता $C = 12 \ \mu F$ दी गई है।
जब क्षेत्रफल $A$ को आधा $(A' = A/2)$ और दूरी $d$ को दोगुना $(d' = 2d)$ किया जाता है,तो नई धारिता $C'$ इस प्रकार होगी:
$C' = \frac{\varepsilon_0 A'}{d'} = \frac{\varepsilon_0 (A/2)}{2d} = \frac{1}{4} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right)$.
$C$ का प्रारंभिक मान रखने पर:
$C' = \frac{1}{4} C = \frac{12 \ \mu F}{4} = 3 \ \mu F$.

(D) परावैद्युत शक्ति $E$ वह अधिकतम विद्युत क्षेत्र है जिसे परावैद्युत सहन कर सकता है। प्लेटों के बीच की दूरी $d = \frac{V}{E}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मान $V = 12 \times 10^3 \; V$ और $E = 10^9 \; Vm^{-1}$ रखने पर,हमें $d = \frac{12 \times 10^3}{10^9} = 12 \times 10^{-6} \; m$ प्राप्त होता है।
समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ होती है।
क्षेत्रफल $A$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$A = \frac{C d}{K \varepsilon_0} = \frac{C V}{K E \varepsilon_0}$।
मान $C = 80 \times 10^{-12} \; F$,$V = 12 \times 10^3 \; V$,$K = 5$,$E = 10^9 \; Vm^{-1}$,और $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \; Fm^{-1}$ रखने पर:
$A = \frac{80 \times 10^{-12} \times 12 \times 10^3}{5 \times 10^9 \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{960 \times 10^{-9}}{44.25 \times 10^{-3}} \approx 21.69 \times 10^{-6} \; m^2$।
अतः,न्यूनतम क्षेत्रफल लगभग $21.7 \times 10^{-6} \; m^2$ है।

(B) समांतर प्लेट संधारित्र का ऊर्जा घनत्व $(u)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 = \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \frac{V}{d} \right)^2$
दिया गया है:
$V = 300 \ V$
$d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$
$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$
मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times \left( \frac{300}{2 \times 10^{-3}} \right)^2$
$u = 0.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times (1.5 \times 10^5)^2$
$u = 0.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 2.25 \times 10^{10}$
$u \approx 0.1 \ J/m^3$

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
क्षेत्रफल $A$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $A = \frac{Cd}{\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।
दी गई मान $C = 3 \ F$,$d = 5 \ mm = 5 \times 10^{-3} \ m$,और $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$A = \frac{3 \times 5 \times 10^{-3}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$A = \frac{15 \times 10^{-3}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$A \approx 1.694 \times 10^9 \ m^2$.

(C) समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,आमने-सामने की सतहों पर आवेश परिमाण में समान और विपरीत चिह्न के होते हैं। अतः,$Q_2 = -Q_3$ होता है।
संधारित्र की प्लेटों के बीच विभवांतर $V = \frac{Q}{C}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q$ धनात्मक प्लेट की आंतरिक सतह पर आवेश है।
यहाँ,पहली प्लेट की आंतरिक सतह पर आवेश $Q_2$ है। इसलिए,विभवांतर $V = \frac{Q_2}{C}$ है।
चूँकि $Q_2 = -Q_3$ है,हम $Q_2 = \frac{Q_2 - Q_3}{2}$ लिख सकते हैं।
इस मान को विभवांतर के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$V = \frac{Q_2 - Q_3}{2C}$.

(B) मान लीजिए $C = \frac{{\varepsilon _0}A}{d}$ आसन्न प्लेटों की एक जोड़ी की धारिता है।
परिपथ आरेख से,प्लेट $2$ बिंदु $A$ से जुड़ी है। प्लेट $1, 3, 5$ बिंदु $B$ से जुड़ी हैं। चूंकि प्लेट $4$,प्लेट $1$ से जुड़ी है,इसलिए यह भी $B$ के विभव पर है।
इस प्रकार,हमारे पास समानांतर क्रम में $4$ संधारित्र हैं: $C_{21}, C_{23}, C_{43}$ और $C_{45}$।
समानांतर संयोजन के लिए,$C_{eq} = C_{21} + C_{23} + C_{43} + C_{45} = 4C = \frac{4{\varepsilon _0}A}{d}$।

(A) $n$ प्लेटों को एकांतर रूप से जोड़कर बनाई गई प्रणाली में,हम समांतर क्रम में $(n - 1)$ संधारित्र बनाते हैं।
प्रत्येक संधारित्र दो निकटवर्ती प्लेटों द्वारा बनता है,और ऐसी प्रत्येक जोड़ी की धारिता $C$ दी गई है।
चूंकि प्लेटें एकांतर रूप से जुड़ी हुई हैं,इसलिए ये सभी $(n - 1)$ संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े होते हैं।
समांतर क्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ व्यक्तिगत धारिताओं का योग होती है:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + ... + C_{n-1}$
चूंकि प्रत्येक $C_i = C$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$C_{eq} = (n - 1)C$.

(C) समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
यहाँ,क्षेत्रफल $A = 5 \, km \times 5 \, km = (5 \times 10^3 \, m) \times (5 \times 10^3 \, m) = 25 \times 10^6 \, m^2$.
दूरी $d = 1 \, km = 10^3 \, m$.
निर्वात की विद्युतशीलता $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, F/m$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$C = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 25 \times 10^6}{10^3}$
$C = 8.854 \times 25 \times 10^{-12+6-3}$
$C = 221.35 \times 10^{-9} \, F$
$C = 0.22135 \times 10^{-6} \, F = 0.22 \, \mu F$.

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = \pi r^2$ प्लेट का क्षेत्रफल है।
प्लेट का व्यास $4 \ cm$ दिया गया है,इसलिए त्रिज्या $r = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$ है।
क्षेत्रफल $A = \pi (2 \times 10^{-2})^2 = 4\pi \times 10^{-4} \ m^2$ है।
$R$ त्रिज्या वाले गोले की धारिता $C = 4\pi \varepsilon_0 R$ होती है।
गोले का व्यास $20 \ cm$ दिया गया है,इसलिए त्रिज्या $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है।
दोनों धारिताओं की तुलना करने पर: $\frac{\varepsilon_0 A}{d} = 4\pi \varepsilon_0 R$.
$\frac{A}{d} = 4\pi R$.
$d = \frac{A}{4\pi R} = \frac{4\pi \times 10^{-4}}{4\pi \times 0.1} = \frac{10^{-4}}{10^{-1}} = 10^{-3} \ m$.

(A) विद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $u$ का सूत्र $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ है।
समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{A \varepsilon_0}$ होता है।
$E$ के इस मान को ऊर्जा घनत्व के सूत्र में रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{Q}{A \varepsilon_0} \right)^2$
$u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{Q^2}{A^2 \varepsilon_0^2} \right)$
$u = \frac{Q^2}{2 \varepsilon_0 A^2}$.

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच कार्य करने वाला बल $F = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आवेश $Q = CV$ है,हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$F = \frac{(CV)^2}{2\varepsilon_0 A} = \frac{C^2V^2}{2\varepsilon_0 A}$.
हम जानते हैं कि धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$,जिसका अर्थ है कि $\varepsilon_0 A = Cd$.
अब $\varepsilon_0 A = Cd$ को बल के समीकरण में रखने पर:
$F = \frac{C^2V^2}{2(Cd)} = \frac{CV^2}{2d}$.
अतः,प्लेटों के बीच कार्य करने वाला बल $\frac{CV^2}{2d}$ है।