Effect of Dielectric Inside Capacitor Questions in Hindi

(B) जब एक आवेशित संधारित्र की प्लेटों के बीच $K$ परावैद्युतांक वाला एक परावैद्युत पदार्थ रखा जाता है,तो परावैद्युत की सतह पर प्रेरित आवेश एक आंतरिक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं जो मूल बाहरी विद्युत क्षेत्र का विरोध करता है।
यदि मूल विद्युत क्षेत्र $E_0$ है,तो नया विद्युत क्षेत्र $E = \frac{E_0}{K}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि किसी भी परावैद्युत पदार्थ के लिए $K > 1$ होता है,इसलिए परिणामी विद्युत क्षेत्र $E$,मूल विद्युत क्षेत्र $E_0$ से कम होता है।
अतः,प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र घट जाता है।

(D) किसी माध्यम का परावैद्युतांक $K$,परावैद्युत माध्यम वाले संधारित्र की धारिता $(C_m)$ और वायु या निर्वात वाले संधारित्र की धारिता $(C_0)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
$C_0 = 2.0 \, \mu F$
$C_m = 12 \, \mu F$
सूत्र का उपयोग करने पर:
$K = \frac{C_m}{C_0}$
$K = \frac{12 \, \mu F}{2.0 \, \mu F} = 6$
अतः,माध्यम का परावैद्युतांक $6$ है।

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ परावैद्युतांक है,$\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $C \propto \frac{K}{d}$ है।
माना प्रारंभिक धारिता $C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d_1}$ है।
दिया गया है: $d_2 = \frac{d_1}{2}$ और $K_2 = 2K_1$।
नई धारिता $C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{d_2} = \frac{(2K_1) \varepsilon_0 A}{d_1/2} = 4 \times \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d_1} = 4C_1$।
अतः,धारिता $4$ गुना बढ़ जाएगी।

(B) दी गई व्यवस्था को समांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $A/2$ और प्लेटों के बीच की दूरी $t$ है।
परावैद्युतांक $k_1$ वाले पहले संधारित्र के लिए,धारिता $C_1 = \frac{k_1 \varepsilon_0 (A/2)}{t} = \frac{k_1 \varepsilon_0 A}{2t}$ है।
परावैद्युतांक $k_2$ वाले दूसरे संधारित्र के लिए,धारिता $C_2 = \frac{k_2 \varepsilon_0 (A/2)}{t} = \frac{k_2 \varepsilon_0 A}{2t}$ है।
चूंकि वे समांतर क्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C = C_1 + C_2$ होगी।
$C = \frac{k_1 \varepsilon_0 A}{2t} + \frac{k_2 \varepsilon_0 A}{2t} = \frac{\varepsilon_0 A}{2t}(k_1 + k_2) = \frac{\varepsilon_0 A}{t} \cdot \frac{k_1 + k_2}{2}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) इस संधारित्र को श्रेणी क्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में देखा जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक का प्लेट क्षेत्रफल $A$ और प्लेटों के बीच की दूरी $d/2$ है।
पहले संधारित्र की धारिता $C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_1 \varepsilon_0 A}{d}$ है।
दूसरे संधारित्र की धारिता $C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_2 \varepsilon_0 A}{d}$ है।
चूंकि वे श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ का मान $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d}{2 K_1 \varepsilon_0 A} + \frac{d}{2 K_2 \varepsilon_0 A} = \frac{d}{2 \varepsilon_0 A} \left( \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \right) = \frac{d}{2 \varepsilon_0 A} \left( \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2} \right)$.
अतः,$C_{eq} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d} \left( \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2} \right)$ प्राप्त होता है।

(B) इस संधारित्र को तीन संधारित्रों के संयोजन के रूप में देखा जा सकता है। ऊपरी आधा भाग $A/2$ क्षेत्रफल और $d/2$ पृथक्करण वाले दो समांतर संधारित्रों से बना है,जिनकी धारिता $C_1 = \frac{k_1 \epsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{k_1 \epsilon_0 A}{d}$ और $C_2 = \frac{k_2 \epsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{k_2 \epsilon_0 A}{d}$ है।
ये दोनों समांतर क्रम में हैं,इसलिए उनकी तुल्य धारिता $C_{12} = C_1 + C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d} (k_1 + k_2)$ है।
निचला आधा भाग $A$ क्षेत्रफल और $d/2$ पृथक्करण वाला एक संधारित्र है,जिसकी धारिता $C_3 = \frac{k_3 \epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2k_3 \epsilon_0 A}{d}$ है।
चूंकि $C_{12}$ और $C_3$ श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए कुल धारिता $C$ के लिए $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_{12}} + \frac{1}{C_3}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{1}{C} = \frac{d}{\epsilon_0 A (k_1 + k_2)} + \frac{d}{2k_3 \epsilon_0 A} = \frac{d}{\epsilon_0 A} \left( \frac{1}{k_1 + k_2} + \frac{1}{2k_3} \right)$.
एकल परावैद्युत $k$ के लिए,$C = \frac{k \epsilon_0 A}{d}$,इसलिए $\frac{1}{C} = \frac{d}{k \epsilon_0 A}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1 + k_2} + \frac{1}{2k_3}$ प्राप्त होता है।

(D) संधारित्र को तीन संधारित्रों के संयोजन के रूप में माना जा सकता है।
$K_1$ और $K_2$ परावैद्युत वाले संधारित्र एक-दूसरे के साथ समानांतर क्रम में हैं,और यह संयोजन $K_3$ परावैद्युत वाले संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है।
ऊपरी भाग के लिए,क्षेत्रफल $A/2$ और दूरी $d/2$ है:
$C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d}$
$C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{d}$
चूंकि $C_1$ और $C_2$ समानांतर में हैं,उनकी तुल्य धारिता $C_p = C_1 + C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} (K_1 + K_2)$ है।
निचले भाग के लिए,क्षेत्रफल $A$ और दूरी $d/2$ है:
$C_3 = \frac{K_3 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_3 \varepsilon_0 A}{d}$।
अब,$C_p$ और $C_3$ श्रेणी क्रम में हैं:
$C_{eq} = \frac{C_p C_3}{C_p + C_3} = \frac{\left[ \frac{\varepsilon_0 A}{d} (K_1 + K_2) \right] \left[ \frac{2 K_3 \varepsilon_0 A}{d} \right]}{\frac{\varepsilon_0 A}{d} (K_1 + K_2 + 2K_3)} = \frac{2 K_3 (K_1 + K_2)}{K_1 + K_2 + 2K_3} \frac{\varepsilon_0 A}{d}$।
यह व्यंजक दिए गए विकल्पों में से किसी से मेल नहीं खाता है,इसलिए सही उत्तर $(d)$ है।

(A) हवा से भरे संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 10\,\mu F$ है।
चित्र में दिखाए अनुसार,इस संधारित्र को समांतर क्रम में जुड़े तीन संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है: दो हवा से भरे संधारित्र ($C_1$ और $C_3$) जिनका क्षेत्रफल $A/4$ और दूरी $d$ है,और एक परावैद्युत से भरा संधारित्र $(C_2)$ जिसका क्षेत्रफल $A/2$,दूरी $d$ और परावैद्युतांक $K=4$ है।
धारिताएं इस प्रकार हैं:
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/4)}{d} = \frac{1}{4} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = \frac{1}{4} C_0 = 2.5\,\mu F$
$C_3 = \frac{\varepsilon_0 (A/4)}{d} = \frac{1}{4} C_0 = 2.5\,\mu F$
$C_2 = \frac{K \varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{K}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = \frac{4}{2} C_0 = 2 C_0 = 20\,\mu F$
चूंकि वे समांतर क्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 = 2.5 + 20 + 2.5 = 25\,\mu F$ होगी।

(D) समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
जब प्लेटों के बीच के स्थान को $d/2$ मोटाई की दो परावैद्युत परतों से भरा जाता है,तो वे श्रेणीक्रम में दो संधारित्रों के रूप में कार्य करते हैं।
पहली परत की धारिता $C_A = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_1 \varepsilon_0 A}{d} = 2 K_1 C$ है।
दूसरी परत की धारिता $C_B = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_2 \varepsilon_0 A}{d} = 2 K_2 C$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_1$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C_A} + \frac{1}{C_B} = \frac{1}{2 K_1 C} + \frac{1}{2 K_2 C} = \frac{K_1 + K_2}{2 K_1 K_2 C}$।
अतः,$C_1 = \frac{2 K_1 K_2}{K_1 + K_2} C$।
इस प्रकार,$C_1/C$ का अनुपात $\frac{2 K_1 K_2}{K_1 + K_2}$ है।

(B) वायु वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 100\,\mu F$ है।
जब $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब को रखा जाता है,तो नई धारिता $C'$ का सूत्र है:
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$
$K = 5$ रखने पर:
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{5}} = \frac{\epsilon_0 A}{d - 0.8t}$
चूंकि $t < d$,हर $(d - 0.8t)$ का मान $d$ से कम है। इसलिए,$C' > C_0$ होगा।
साथ ही,यदि स्लैब पूरी जगह भर देती $(t = d)$,तो धारिता $K \times C_0 = 5 \times 100 = 500\,\mu F$ होती।
अतः,$t < d$ होने के कारण,नई धारिता $C'$ का मान $100\,\mu F$ से अधिक लेकिन $500\,\mu F$ से कम होगा।

(D) ऋणात्मक प्लेट $x = 0$ पर है और धनात्मक प्लेट $x = 3d$ पर है। विद्युत क्षेत्र रेखाएं हमेशा धनात्मक प्लेट से ऋणात्मक प्लेट की ओर निर्देशित होती हैं। इसलिए,पूरे क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र की दिशा $x = 3d$ से $x = 0$ की ओर (अर्थात,ऋणात्मक $x$-दिशा में) रहती है। अतः,दिशा समान रहती है।
हवा में विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E_{air} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ है और परावैद्युत स्लैब में $E_{dielectric} = \frac{\sigma}{K\varepsilon_0}$ है। चूंकि $K > 1$,इसलिए परिमाण अलग-अलग हैं।
विद्युत विभव $V$,विद्युत क्षेत्र $E$ से $E = -\frac{dV}{dx}$ द्वारा संबंधित है। चूंकि विद्युत क्षेत्र ऋणात्मक $x$-अक्ष की ओर निर्देशित है,इसलिए $E_x < 0$ है। अतः,$-\frac{dV}{dx} < 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{dV}{dx} > 0$ है। इसका मतलब है कि जैसे-जैसे हम $x = 0$ (ऋणात्मक प्लेट) से $x = 3d$ (धनात्मक प्लेट) की ओर बढ़ते हैं,विद्युत विभव $V$ लगातार बढ़ता जाता है।
इसलिए,कथन $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(C) प्रारंभ में,स्विच $S$ बंद है। दोनों संधारित्र $A$ और $B$ समानांतर क्रम में $V$ विभव वाली बैटरी से जुड़े हैं। प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C$ है।
प्रणाली में संचित प्रारंभिक कुल ऊर्जा:
$U_1 = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}CV^2 = CV^2$ --- $(i)$
जब स्विच $S$ को खोल दिया जाता है,तो संधारित्र $A$ बैटरी से जुड़ा रहता है,इसलिए इसका विभवांतर $V$ बना रहता है। संधारित्र $B$ बैटरी से अलग हो जाता है,इसलिए इसका आवेश $Q$ स्थिर रहता है। संधारित्र $B$ पर प्रारंभिक आवेश $Q = CV$ था।
$K = 3$ परावैद्युतांक वाले परावैद्युत को भरने के बाद,प्रत्येक संधारित्र की नई धारिता $C' = KC = 3C$ हो जाती है।
संधारित्र $A$ के लिए,विभवांतर $V$ रहता है। नई ऊर्जा $U_{A}' = \frac{1}{2}C'V^2 = \frac{1}{2}(3C)V^2 = \frac{3}{2}CV^2$ है।
संधारित्र $B$ के लिए,आवेश $Q = CV$ स्थिर रहता है। नई ऊर्जा $U_{B}' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(CV)^2}{2(3C)} = \frac{1}{6}CV^2$ है।
प्रणाली में संचित अंतिम कुल ऊर्जा:
$U_2 = U_{A}' + U_{B}' = \frac{3}{2}CV^2 + \frac{1}{6}CV^2 = \left(\frac{9+1}{6}\right)CV^2 = \frac{10}{6}CV^2 = \frac{5}{3}CV^2$ --- (ii)
परावैद्युत से पहले और बाद में कुल स्थिर-वैद्युत ऊर्जा का अनुपात:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{CV^2}{(5/3)CV^2} = \frac{3}{5}$

(B) जब संधारित्र को बैटरी से डिस्कनेक्ट किया जाता है, तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
परावैद्युत वाले समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे ही $L$ लंबाई की परावैद्युत प्लेट को $x$ दूरी तक बाहर निकाला जाता है, संधारित्र को समानांतर में दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है: एक परावैद्युत के साथ (लंबाई $L-x$) और एक हवा के साथ (लंबाई $x$)।
जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है, समतुल्य धारिता $C(x)$ घटती जाती है।
चूंकि $V = \frac{Q}{C}$, और $Q$ स्थिर है, इसलिए जैसे-जैसे $C$ घटता है, विभवांतर $V$ बढ़ता है।
विशेष रूप से, $C(x) = \frac{\epsilon_0 w}{d} (L-x)K + \frac{\epsilon_0 w}{d} x = \frac{\epsilon_0 w}{d} [K(L-x) + x]$।
जैसे-जैसे $x$, $0$ से $L$ तक बढ़ता है, $C(x)$ रैखिक रूप से घटता है, जिसका अर्थ है कि $V(x) = \frac{Q}{C(x)}$ गैर-रैखिक रूप से बढ़ेगा (विशेष रूप से, यह एक हाइपरबोलिक वक्र $V \propto \frac{1}{a-bx}$ का अनुसरण करता है)।
एक बार जब परावैद्युत पूरी तरह से हटा दिया जाता है $(x=L)$, तो धारिता स्थिर हो जाती है $(C_{air} = \frac{\epsilon_0 A}{d})$, और इस प्रकार विभवांतर $V$ स्थिर हो जाता है।
ग्राफ $B$ सही ढंग से दिखाता है कि $V$ गैर-रैखिक रूप से बढ़ता है और फिर स्थिर हो जाता है।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
दूसरी स्थिति में,प्लेटों के बीच के स्थान को दो भागों में विभाजित किया गया है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $A/2$ है और प्लेटों के बीच की दूरी $d$ है।
ये दो भाग समांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में कार्य करते हैं।
एक संधारित्र में हवा परावैद्युत के रूप में है,इसलिए इसकी धारिता $C_1 = \frac{\epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{C}{2}$ है।
दूसरे संधारित्र में $K$ परावैद्युतांक वाला पदार्थ है,इसलिए इसकी धारिता $C_2 = \frac{K \epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{KC}{2}$ है।
चूंकि वे समांतर क्रम में जुड़े हुए हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2$ होगी।
$C_{eq} = \frac{C}{2} + \frac{KC}{2} = \frac{C}{2}(1 + K)$.

(C) हवा में $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच स्थिर वैद्युत बल:
$F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$
जब उन्हें $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में $r'$ दूरी पर रखा जाता है,तो बल:
$F' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{(r')^2}$
चूंकि बल समान रहना चाहिए,इसलिए $F = F'$:
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{(r')^2}$
समान पदों को हटाने पर:
$\frac{1}{r^2} = \frac{1}{K(r')^2}$
$r'$ के लिए हल करने पर:
$(r')^2 = \frac{r^2}{K}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$r' = \frac{r}{\sqrt{K}}$

(C) जब एक संधारित्र बैटरी से जुड़ा रहता है,तो उसकी प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
जब $K$ परावैद्युतांक वाला एक स्लैब डाला जाता है,तो धारिता $C$ से बढ़कर $C' = KC$ हो जाती है।
संधारित्र पर आवेश $Q = CV$ से बढ़कर $Q' = KCV$ हो जाता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$ से बदलकर $U' = \frac{1}{2}KCV^2$ हो जाती है।
ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U' - U = \frac{1}{2}(K-1)CV^2$ है,जो धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि संचित ऊर्जा में वृद्धि होती है।
बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W_{battery} = \Delta Q \cdot V = (Q' - Q)V = (K-1)CV^2$ है।
चूंकि $W_{battery} = 2\Delta U$,बैटरी संचित ऊर्जा में वृद्धि और बाहरी एजेंट द्वारा किए गए कार्य के बराबर ऊर्जा प्रदान करती है। अतः,इस प्रक्रिया में बैटरी की ऊर्जा खर्च होती है।

(C) जब एक समांतर प्लेट संधारित्र को बैटरी से जोड़ा जाता है,तो प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है और बैटरी के विद्युत वाहक बल के बराबर होता है।
$K$ परावैद्युतांक वाले स्लैब को रखने पर संधारित्र की नई धारिता $C' = K C$ हो जाती है,जहाँ $C$ प्रारंभिक धारिता है।
संधारित्र पर आवेश $Q = CV$ द्वारा दिया जाता है।
परावैद्युत स्लैब डालने के बाद,नया आवेश $Q'$ होगा:
$Q' = C' V = (K C) V = K Q$.
चूंकि सभी परावैद्युत पदार्थों के लिए परावैद्युतांक $K > 1$ होता है,इसलिए $Q' > Q$ होगा।
अतः,प्लेटों पर नया आवेश प्रारंभिक आवेश से अधिक होता है।

(C) $1$. जब बैटरी हटा दी जाती है,तो संधारित्र की प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
$2$. जब $K > 1$ परावैद्युतांक वाली स्लैब डाली जाती है,तो धारिता $C$ सूत्र $C' = KC$ के अनुसार बढ़ जाती है।
$3$. चूँकि $Q = CV$,नया वोल्टेज $V' = Q / C'$ होता है। चूँकि $C' > C$,वोल्टेज $V'$ घट जाता है $(V' = V/K)$।
$4$. स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = Q^2 / (2C)$ है। चूँकि $C$ बढ़ता है और $Q$ स्थिर रहता है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U$ घट जाती है $(U' = U/K)$।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है।
जब प्लेटों के बीच $K$ परावैद्युतांक वाला माध्यम रखा जाता है,तो परावैद्युत की सतह पर प्रेरित आवेश एक विपरीत विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
परावैद्युत के अंदर परिणामी विद्युत क्षेत्र $E' = \frac{E}{K}$ हो जाता है।
चूंकि किसी भी परावैद्युत पदार्थ के लिए $K > 1$ होता है,इसलिए नया विद्युत क्षेत्र $E'$,मूल विद्युत क्षेत्र $E$ से कम होता है।
अतः,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता घट जाती है।

(A) $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली स्लैब वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र इस प्रकार है:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + t/K}$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t(1 - 1/K)}$
यहाँ,परावैद्युत स्लैब की उपस्थिति के कारण प्लेटों के बीच की प्रभावी दूरी कम हो जाती है। प्लेटों के बीच विभवांतर $V$,वायु अंतराल $(d-t)$ और परावैद्युत स्लैब $t$ में विभव पतन का योग है:
$V = E_{\text{air}}(d-t) + E_{\text{medium}}(t)$
जहाँ $E_{\text{air}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ और $E_{\text{medium}} = \frac{\sigma}{K\varepsilon_0}$,और $\sigma = \frac{Q}{A}$:
$V = \frac{Q}{A\varepsilon_0}(d-t) + \frac{Q}{A\varepsilon_0 K}(t) = \frac{Q}{A\varepsilon_0} [d - t + t/K] = \frac{Q}{A\varepsilon_0} [d - t(1 - 1/K)]$
$C = \frac{Q}{V}$ का उपयोग करने पर,हमें $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t(1 - 1/K)}$ प्राप्त होता है।

(A) $t_1$ और $t_2$ मोटाई वाली परावैद्युत पट्टिकाओं वाले समांतर प्लेट संधारित्र को श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है।
$t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{t/K}$ द्वारा दी जाती है।
श्रेणीक्रम में जुड़ी दो पट्टिकाओं के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq}$ का मान $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{t_1}{\varepsilon_0 A K_1} + \frac{t_2}{\varepsilon_0 A K_2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{\varepsilon_0 A} (\frac{t_1}{K_1} + \frac{t_2}{K_2})$।
अतः,$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{\frac{t_1}{K_1} + \frac{t_2}{K_2}}$।

(B) प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 20 \ \mu F$ है,जहाँ $d = 2 \ mm$ है।
जब $t = 1 \ mm$ मोटाई और $K = 2$ परावैद्युतांक वाली एक पट्टी को रखा जाता है,तो नई धारिता $C'$ का सूत्र है:
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$
मान रखने पर:
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3} + \frac{1 \times 10^{-3}}{2}}$
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{1 \times 10^{-3} + 0.5 \times 10^{-3}} = \frac{\epsilon_0 A}{1.5 \times 10^{-3}}$
चूँकि $\frac{\epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3}} = 20 \ \mu F$,इसलिए $\epsilon_0 A = 40 \times 10^{-9} \ F \cdot m$ है।
अतः,$C' = \frac{40 \times 10^{-9}}{1.5 \times 10^{-3}} = 26.66 \ \mu F \approx 26.6 \ \mu F$।

(B) संधारित्र $C_1$ और $C_2$ बैटरी के साथ समानांतर क्रम में जुड़े हुए हैं। इसलिए,दोनों संधारित्रों के सिरों पर विभवांतर समान है,अर्थात $V_1 = V_2 = V$ है।
संधारित्र पर आवेश का सूत्र $Q = CV$ होता है।
संधारित्र $C_1$ के लिए,आवेश $Q_1 = C_1 V$ है।
संधारित्र $C_2$ के लिए,आवेश $Q_2 = C_2 V$ है।
चूंकि $C_2$ की प्लेटों के बीच का स्थान $K > 1$ परावैद्युतांक वाले पदार्थ से भरा है,इसलिए इसकी धारिता बढ़ जाती है जिससे $C_2 = K C_1$ हो जाता है,जिसका अर्थ है कि $C_2 > C_1$ है।
चूंकि $V$ स्थिर है और $C_2 > C_1$ है,इसलिए $C_2 V > C_1 V$ होगा,जिसका अर्थ है कि $Q_2 > Q_1$ या $Q_1 < Q_2$ है।

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी को आधा $(d' = d/2)$ कर दिया जाता है और प्लेटों के बीच के स्थान को $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम से भर दिया जाता है,तो नई धारिता $C' = \frac{K \epsilon_0 A}{d'}$ होती है।
समीकरण में $d' = d/2$ रखने पर,हमें $C' = \frac{K \epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2K \epsilon_0 A}{d}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि नई धारिता $C' = 3C$ है,इसलिए:
$3 \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right) = \frac{2K \epsilon_0 A}{d}$.
दोनों पक्षों से $\frac{\epsilon_0 A}{d}$ को हटाने पर,हमें $3 = 2K$ प्राप्त होता है।
अतः,$K = \frac{3}{2} = 1.5$.

(A) किसी माध्यम में संधारित्र की धारिता का सूत्र $C_{medium} = K \cdot C_{air}$ होता है,जहाँ $K$ माध्यम का परावैद्युतांक है।
दिया गया है:
$C_{air} = 50 \,\mu F$
$C_{medium} = 110 \,\mu F$
अतः,परावैद्युतांक $K$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$K = \frac{C_{medium}}{C_{air}}$
$K = \frac{110}{50} = 2.2$
इस प्रकार,तेल का परावैद्युतांक $2.2$ है।

(A) परावैद्युत पदार्थ से भरे संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = K C_0$ होता है,जहाँ $C_0$ वायु (या निर्वात) भरे संधारित्र की धारिता है।
यहाँ $K = 2$ दिया गया है और परावैद्युत के साथ धारिता $C$ है,इसलिए $C = 2 C_0$ होगा।
अतः,तेल निकाल देने पर (परावैद्युत के बिना) इसकी धारिता $C_0 = \frac{C}{2}$ हो जाएगी।

(C) श्रेणीक्रम में कई परावैद्युत परतों वाले संधारित्र की तुल्य धारिता $C$ का सूत्र है: $C = \frac{\varepsilon_0 A}{\sum \frac{d_i}{k_i}}$.
दिया गया है: $d_1 = 6 \ mm = 6 \times 10^{-3} \ m$,$k_1 = 10$,$d_2 = 4 \ mm = 4 \times 10^{-3} \ m$,$k_2 = 5$.
सूत्र में मान रखने पर:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{\frac{6 \times 10^{-3}}{10} + \frac{4 \times 10^{-3}}{5}}$
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{0.6 \times 10^{-3} + 0.8 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{1.4 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{1000}{1.4} \varepsilon_0 A = \frac{10000}{14} \varepsilon_0 A = \frac{5000}{7} \varepsilon_0 A$.

(B) परावैद्युत माध्यम वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र है: $C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{d}$.
यहाँ,$C = 2 \times 10^{-4} \, \mu F = 2 \times 10^{-4} \times 10^{-6} \, F = 2 \times 10^{-10} \, F$.
क्षेत्रफल $A = 0.01 \, m^2$,दूरी $d = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$,और निर्वात की विद्युतशीलता $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$ है।
परावैद्युतांक $\varepsilon_r$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\varepsilon_r = \frac{C \cdot d}{\varepsilon_0 \cdot A}$
मान रखने पर:
$\varepsilon_r = \frac{(2 \times 10^{-10}) \times (2 \times 10^{-3})}{(8.85 \times 10^{-12}) \times (0.01)}$
$\varepsilon_r = \frac{4 \times 10^{-13}}{8.85 \times 10^{-14}}$
$\varepsilon_r = \frac{40}{8.85} \approx 4.52$.

(A) संधारित्र को श्रेणीक्रम में दो भागों में विभाजित किया गया है,जिनमें से प्रत्येक का प्लेट पृथक्करण $d/2$ और क्षेत्रफल $A$ है।
पहले भाग के लिए,डाइइलेक्ट्रिक स्थिरांक $k_1 = 1$ है,इसलिए धारिता $C_1 = \frac{k_1 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{1 \cdot \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d}$ है।
दूसरे भाग के लिए,डाइइलेक्ट्रिक स्थिरांक $k_2 = 2$ है,इसलिए धारिता $C_2 = \frac{k_2 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 \cdot \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{4 \varepsilon_0 A}{d}$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ को $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d}{2 \varepsilon_0 A} + \frac{d}{4 \varepsilon_0 A} = \frac{2d + d}{4 \varepsilon_0 A} = \frac{3d}{4 \varepsilon_0 A}$।
अतः,$C_{eq} = \frac{4 \varepsilon_0 A}{3d}$ है।

(C) जब एक समांतर प्लेट संधारित्र में अलग-अलग मोटाई $t_i$ और परावैद्युतांक $k_i$ वाली परावैद्युत शीट होती हैं,तो इसकी तुल्य धारिता $C$ का सूत्र इस प्रकार है:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{\sum \frac{t_i}{k_i}}$
दिया गया है:
$t_1 = 6 \, mm = 6 \times 10^{-3} \, m$
$t_2 = 4 \, mm = 4 \times 10^{-3} \, m$
$k_1 = 10$
$k_2 = 5$
मान रखने पर:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{\frac{6 \times 10^{-3}}{10} + \frac{4 \times 10^{-3}}{5}}$
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{0.6 \times 10^{-3} + 0.8 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{1.4 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{1000}{1.4} \varepsilon_0 A = \frac{10000}{14} \varepsilon_0 A = \frac{5000}{7} \varepsilon_0 A$

(D) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{k \epsilon_0 A}{d}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $A = l \times b$ है।
दिया गया है: $C = 2 \ \mu F = 2 \times 10^{-6} \ F$,$k = 2.5$,$d = 0.15 \ mm = 0.15 \times 10^{-3} \ m$,$b = 400 \ mm = 0.4 \ m$,और $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$.
सूत्र में मान रखने पर:
$2 \times 10^{-6} = \frac{2.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times (l \times 0.4)}{0.15 \times 10^{-3}}$
$2 \times 10^{-6} = \frac{2.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.4 \times l}{0.15 \times 10^{-3}}$
$2 \times 10^{-6} = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times l}{0.15 \times 10^{-3}}$
$l = \frac{2 \times 10^{-6} \times 0.15 \times 10^{-3}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$l = \frac{0.3 \times 10^{-9}}{8.85 \times 10^{-12}} = \frac{300}{8.85} \approx 33.9 \ m$.

(B) $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली प्लेट के लिए समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + t/K}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
धातु की प्लेट के लिए,परावैद्युतांक $K = \infty$ होता है।
यहाँ $t = d/2$ दिया गया है,इसलिए नई धारिता $C'$:
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - d/2 + (d/2)/\infty} = \frac{\epsilon_0 A}{d/2 + 0} = \frac{2\epsilon_0 A}{d}$.
चूंकि मूल धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है,इसलिए $C' = 2C$ प्राप्त होता है।
अतः,धारिता दुगुनी हो जाती है।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,$C_1 = 2\ \mu F$,$d_1 = 0.4\ cm$,और $K_1 = 1$ (वायु के लिए)।
अंत में,$d_2 = \frac{d_1}{2} = 0.2\ cm$ और $K_2 = 2.8$ है।
धारिताओं का अनुपात $\frac{C_2}{C_1} = \frac{K_2}{K_1} \times \frac{d_1}{d_2}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{C_2}{2} = \frac{2.8}{1} \times \frac{0.4}{0.2}$।
$\frac{C_2}{2} = 2.8 \times 2 = 5.6$।
$C_2 = 5.6 \times 2 = 11.2\ \mu F$।

(C) प्रारंभ में,दोनों संधारित्र $A$ और $B$ बैटरी के साथ समानांतर में जुड़े हुए हैं। प्रत्येक की धारिता $C$ है।
कुल प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}CV^2 = CV^2$ है।
जब स्विच $S$ को खोला जाता है,तो संधारित्र $A$ बैटरी से जुड़ा रहता है,इसलिए इसका विभव $V$ रहता है और इसकी धारिता $KC$ हो जाती है। संधारित्र $B$ बैटरी से अलग हो जाता है,इसलिए इसका आवेश $Q = CV$ स्थिर रहता है और इसकी धारिता $KC$ हो जाती है।
संधारित्र $A$ में अंतिम ऊर्जा: $U_{Af} = \frac{1}{2}(KC)V^2 = \frac{3}{2}CV^2$।
संधारित्र $B$ में अंतिम ऊर्जा: $U_{Bf} = \frac{Q^2}{2(KC)} = \frac{(CV)^2}{2(3C)} = \frac{CV^2}{6}$।
कुल अंतिम ऊर्जा $U_f = U_{Af} + U_{Bf} = \frac{3}{2}CV^2 + \frac{1}{6}CV^2 = \frac{9+1}{6}CV^2 = \frac{10}{6}CV^2 = \frac{5}{3}CV^2$।
प्रारंभिक और अंतिम ऊर्जा का अनुपात $\frac{U_i}{U_f} = \frac{CV^2}{(5/3)CV^2} = \frac{3}{5}$ है।

(A) चूंकि संधारित्र समांतर क्रम में एक ही बैटरी से जुड़े हैं,इसलिए दोनों संधारित्रों के सिरों पर विभवांतर $V$ समान होगा।
संधारित्र पर आवेश $q = CV$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$C_1$ (हवा से भरा) के लिए,धारिता $C_1 = C_0$ है।
$C_2$ (परावैद्युत से भरा) के लिए,धारिता $C_2 = KC_0$ है,जहाँ $K > 1$ है।
अतः,$q_1 = C_1 V = C_0 V$ और $q_2 = C_2 V = KC_0 V$ होगा।
चूंकि $K > 1$ है,इसलिए $KC_0 V > C_0 V$ होगा,जिसका अर्थ है कि $q_2 > q_1$ या $q_1 < q_2$।

(A) वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \times (8 \times 10^{-2} \ m)^2 = 64\pi \times 10^{-4} \ m^2 \approx 0.0201 \ m^2$ है।
प्लेटों के बीच की दूरी $d = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$ है।
परावैद्युत नियतांक $K = 6$ है।
परावैद्युत युक्त समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $C = \frac{6 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 0.0201}{1 \times 10^{-3}}$.
$C = \frac{1.068 \times 10^{-12}}{10^{-3}} = 1.068 \times 10^{-9} \ F$.

(A) प्लेटों के बीच विभवांतर $V$,वायु अंतराल और परावैद्युत स्लैब के बीच विभवांतर का योग है।
$V = V_{air} + V_{medium} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}(d - t) + \frac{\sigma}{K\varepsilon_0}t$
चूंकि $\sigma = \frac{Q}{A}$,इसलिए:
$V = \frac{Q}{A\varepsilon_0} \left( (d - t) + \frac{t}{K} \right)$
$V = \frac{Q}{A\varepsilon_0} \left( d - t + \frac{t}{K} \right) = \frac{Q}{A\varepsilon_0} \left( d - t(1 - \frac{1}{K}) \right)$
धारिता $C$ को $C = \frac{Q}{V}$ द्वारा दिया जाता है:
$C = \frac{Q}{\frac{Q}{A\varepsilon_0} (d - t(1 - \frac{1}{K}))} = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t(1 - \frac{1}{K})}$

(A) हवा से भरे संधारित्र के लिए,प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 9 \ pF$ है।
जब दो परावैद्युत पट्टिकाएं श्रेणीक्रम में रखी जाती हैं,तो तुल्य धारिता $C'$ का सूत्र $\frac{1}{C'} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ होता है।
पहली पट्टिका की धारिता $C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 A}{d/3} = \frac{3 K_1 \epsilon_0 A}{d} = 3 K_1 C_0 = 3 \times 3 \times 9 \ pF = 81 \ pF$ है।
दूसरी पट्टिका की धारिता $C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 A}{2d/3} = \frac{3 K_2 \epsilon_0 A}{2d} = \frac{3}{2} K_2 C_0 = \frac{3}{2} \times 6 \times 9 \ pF = 81 \ pF$ है।
चूंकि $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C' = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{81 \times 81}{81 + 81} = \frac{81}{2} = 40.5 \ pF$ होगी।

(C) प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 9 \ pF$ है।
प्लेटों के बीच की जगह को $d_1 = d/3$ और $d_2 = 2d/3$ मोटाई की दो परतों में विभाजित किया गया है,जो श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में कार्य करते हैं।
पहली परत की धारिता $C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 A}{d_1} = \frac{3 \epsilon_0 A}{d/3} = 9 \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right) = 9 \times 9 = 81 \ pF$ है।
दूसरी परत की धारिता $C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 A}{d_2} = \frac{6 \epsilon_0 A}{2d/3} = \frac{18}{2} \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right) = 9 \times 9 = 81 \ pF$ है।
चूंकि $C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार होगी:
$C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{81 \times 81}{81 + 81} = \frac{81 \times 81}{162} = 40.5 \ pF$.

(C) वायु वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ होती है।
जब $t$ मोटाई की परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - t(1 - 1/K)}$ होती है। चूँकि $K > 1$,हर (denominator) कम हो जाता है,इसलिए $C_2 > C_1$ होता है।
जब $t$ मोटाई की चालक स्लैब डाली जाती है,तो प्लेटों के बीच प्रभावी दूरी $(d - t)$ हो जाती है। नई धारिता $C_3 = \frac{\epsilon_0 A}{d - t}$ होती है। चूँकि $(d - t) < d$,इसलिए $C_3 > C_1$ होता है।
$C_2$ और $C_3$ की तुलना करने पर: चालक स्लैब के लिए $K = \infty$ होता है। परावैद्युत के सूत्र में $K = \infty$ रखने पर $C_3 = \frac{\epsilon_0 A}{d - t}$ प्राप्त होता है। चूँकि चालक स्लैब समान मोटाई के परावैद्युत की तुलना में दूरी को अधिक प्रभावी ढंग से कम करती है,इसलिए $C_3 > C_2$ होता है।
अतः,सही क्रम $C_3 > C_2 > C_1$ है।

(A) हवा से भरे संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 10 \ \mu F$ है।
चित्र में दिखाए अनुसार,इस संधारित्र को तीन संधारित्रों के समांतर संयोजन के रूप में माना जा सकता है:
$C_1$ जिसका क्षेत्रफल $A/4$ और हवा परावैद्युत $(K=1)$ है,
$C_2$ जिसका क्षेत्रफल $A/2$ और परावैद्युत $(K=4)$ है,
$C_3$ जिसका क्षेत्रफल $A/4$ और हवा परावैद्युत $(K=1)$ है।
धारिताएँ इस प्रकार हैं:
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/4)}{d} = \frac{1}{4} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = \frac{10}{4} = 2.5 \ \mu F$
$C_2 = \frac{K \varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{4 \varepsilon_0 A}{2d} = 2 \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = 2 \times 10 = 20 \ \mu F$
$C_3 = \frac{\varepsilon_0 (A/4)}{d} = \frac{1}{4} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = \frac{10}{4} = 2.5 \ \mu F$
चूंकि वे समांतर क्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता होगी:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 = 2.5 + 20 + 2.5 = 25 \ \mu F$ है।

(D) एक समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,प्रारंभिक विभवांतर $V = E \times d$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $E = 3 \times 10^4\, V/m$ और $d = 0.05\, m$ दिया गया है,इसलिए $V = 3 \times 10^4 \times 0.05 = 1500\, V = 1.5\, kV$।
चूंकि संधारित्र को बैटरी से अलग कर दिया गया है,इसलिए आवेश $q$ स्थिर रहता है।
$t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली प्लेट डालने के बाद विभवांतर $V' = V \times \frac{(d - t) + (t/K)}{d}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$K = 2$ और $t = 0.01\, m$ के लिए:
$V' = 1.5 \times \frac{(0.05 - 0.01) + (0.01/2)}{0.05}$
$V' = 1.5 \times \frac{0.04 + 0.005}{0.05}$
$V' = 1.5 \times \frac{0.045}{0.05}$
$V' = 1.5 \times 0.9 = 1.35\, kV$।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
जब प्लेटों के बीच की जगह को प्लेटों के समांतर $K$ परावैद्युतांक वाले पदार्थ से भरा जाता है,तो यह दो संधारित्रों के श्रेणीक्रम संयोजन की तरह कार्य करता है,जिसमें प्रत्येक की प्लेटों के बीच की दूरी $d/2$ है।
परावैद्युत पदार्थ वाले भाग की धारिता $C_1 = \frac{K \epsilon_0 A}{d/2} = 2KC$ है।
वायु वाले भाग की धारिता $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = 2C$ है।
चूंकि ये दोनों संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{total}$ इस प्रकार होगी:
$C_{total} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(2KC)(2C)}{2KC + 2C} = \frac{4KC^2}{2C(K + 1)} = \frac{2KC}{K + 1}$.

(A) हवा में दो प्लेटों के बीच विभवांतर $V = E \cdot d = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} d$ द्वारा दिया जाता है।
जब $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक प्लेट डाली जाती है,तो नया विभवांतर $V' = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (d - t + \frac{t}{K})$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,समान विभवांतर बनाए रखने के लिए प्लेटों के बीच की दूरी $d' = 1.6 \ mm$ बढ़ाई जाती है,इसलिए नया विभवांतर $V_{new} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} ((d + d') - t + \frac{t}{K})$ हो जाता है।
चूंकि विभवांतर समान रहता है,$V = V_{new}$,जिसका अर्थ है $d = d + d' - t + \frac{t}{K}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$d' = t - \frac{t}{K} = t(1 - \frac{1}{K})$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान $t = 2 \ mm$ और $d' = 1.6 \ mm$ रखने पर:
$1.6 = 2(1 - \frac{1}{K}) \implies 0.8 = 1 - \frac{1}{K} \implies \frac{1}{K} = 1 - 0.8 = 0.2$।
अतः,$K = \frac{1}{0.2} = 5$।

(D) परावैद्युत से भरे संधारित्र के अंदर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{Q}{K A \varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q$ आवेश है,$K$ परावैद्युतांक है,$A$ क्षेत्रफल है और $\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है।
परावैद्युत भंजन से बचने के लिए,विद्युत क्षेत्र परावैद्युत सामर्थ्य $E_{max} = 1.9 \times 10^7 \ V/m$ से अधिक नहीं होना चाहिए।
अतः,$Q_{max} = E_{max} \cdot K \cdot A \cdot \varepsilon_0$.
दिया गया है: $A = 100 \ cm^2 = 10^{-2} \ m^2$,$K = 5.0$,$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$,और $E_{max} = 1.9 \times 10^7 \ V/m$.
मान रखने पर:
$Q_{max} = (1.9 \times 10^7) \times 5.0 \times 10^{-2} \times 8.85 \times 10^{-12}$
$Q_{max} = 8.4075 \times 10^{-6} \ C \approx 8.4 \times 10^{-6} \ C$.

(B) वायु संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 10 \ \mu F$ दी गई है।
जब संधारित्र को चित्र में दिखाए अनुसार दो समान भागों में विभाजित किया जाता है,तो प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल $A/2$ हो जाता है जबकि दूरी $d$ समान रहती है। ये दो भाग समांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में कार्य करते हैं।
पहले भाग की धारिता $C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 (A/2)}{d} = K_1 \times (C/2) = 2 \times (10/2) = 10 \ \mu F$ है।
दूसरे भाग की धारिता $C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 (A/2)}{d} = K_2 \times (C/2) = 4 \times (10/2) = 20 \ \mu F$ है।
चूंकि दोनों संधारित्र समांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{new} = C_1 + C_2$ होगी।
अतः,$C_{new} = 10 \ \mu F + 20 \ \mu F = 30 \ \mu F$।

(B) मान लीजिए कि प्रारंभिक धारिता $C_1 = C$ और $C_2 = C$ है। जब दूसरे संधारित्र में $K = 4$ परावैद्युतांक वाला स्लैब डाला जाता है,तो इसकी नई धारिता $C_2' = K \cdot C = 4C$ हो जाती है।
श्रेणीक्रम संयोजन में,प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान होता है। चूंकि $Q = CV$,इसलिए $V = Q/C$,जिसका अर्थ है कि $V \propto 1/C$.
धारिताओं का अनुपात $C_1 : C_2' = C : 4C = 1 : 4$ है।
इसलिए,विभवांतर का अनुपात $V_1 : V_2 = 1/C_1 : 1/C_2' = 1/C : 1/4C = 4 : 1$ होगा।
कुल विभवांतर $V = 100 \ V$ है।
पहले संधारित्र पर विभवांतर $(V_1)$: $V_1 = \frac{4}{4+1} \times 100 \ V = \frac{4}{5} \times 100 \ V = 80 \ V$.
दूसरे संधारित्र पर विभवांतर $(V_2)$: $V_2 = \frac{1}{4+1} \times 100 \ V = \frac{1}{5} \times 100 \ V = 20 \ V$.
अतः,विभवांतर क्रमशः $80 \ V$ और $20 \ V$ होंगे।

(C) एक समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = Q/V$ द्वारा दी जाती है। चूंकि परावैद्युत डालने पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है,इसलिए $C_0 V_0 = C V$,जहाँ $C_0$ और $V_0$ प्रारंभिक धारिता और विभव हैं,और $C$ तथा $V$ परावैद्युत डालने के बाद के मान हैं।
दिया गया है कि $V = V_0 / 8$,इसलिए हम लिख सकते हैं $C_0 V_0 = C (V_0 / 8)$।
इसे सरल करने पर $C = 8 C_0$ प्राप्त होता है।
नई धारिता $C$ और प्रारंभिक धारिता $C_0$ के बीच परावैद्युतांक $K$ के साथ संबंध $C = K C_0$ होता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $K = 8$ प्राप्त होता है।

(B) वायु वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों के बीच $t$ मोटाई की एक चालक (तांबे) की स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t}$ होती है।
यहाँ तांबे की स्लैब की मोटाई $t = d/2$ दी गई है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - d/2} = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = 2 \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right)$.
चूंकि $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$,इसलिए $C' = 2C$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $C'/C = 2$ है।

(A) यह निकाय श्रेणीक्रम में दो संधारित्रों से बना है,जिनमें से प्रत्येक की प्लेटों के बीच की दूरी $d_1$ और $d_2$ है,जहाँ $d_1 + d_2 = a - b$ है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{{\varepsilon _0}A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों के लिए,तुल्य धारिता $C_{eq}$ का मान $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ होता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d_1}{{\varepsilon _0}A} + \frac{d_2}{{\varepsilon _0}A} = \frac{d_1 + d_2}{{\varepsilon _0}A}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $d_1 + d_2 = a - b$ है,इसलिए $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{a - b}{{\varepsilon _0}A}$ होगा।
अतः,$C_{eq} = \frac{{\varepsilon _0}A}{a - b}$।