Potential Energy and Work Done in uniform and non uniform Electric Field Questions in Hindi

(B) विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित आवेशित कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = QV = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
इससे,चाल $v$ का सूत्र $v = \sqrt{\frac{2QV}{m}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों कणों का द्रव्यमान $m$ समान है और वे समान विभवांतर $V$ से गुजरते हैं,इसलिए चाल आवेश के वर्गमूल के समानुपाती होती है: $v \propto \sqrt{Q}$।
अतः,उनकी चाल का अनुपात $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{Q_A}{Q_B}}$ होगा।
दिए गए मान $Q_A = q$ और $Q_B = 4q$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{q}{4q}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,अनुपात $1:2$ है।

(D) बिंदु $A$ पर स्थित स्रोत आवेश $Q$ की उपस्थिति में आवेश $q$ को बिंदु $B$ से $C$ तक ले जाने में बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य $W = q(V_C - V_B)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$Q = 100\,\mu C = 100 \times 10^{-6}\,C$ और $q = 5\,\mu C = 5 \times 10^{-6}\,C$ है।
दूरी $AB = 40\,cm = 0.4\,m$ और $BC = 30\,cm = 0.3\,m$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,दूरी $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{0.4^2 + 0.3^2} = 0.5\,m$ है।
बिंदु $B$ पर विभव $V_B = \frac{kQ}{AB} = 9 \times 10^9 \times \frac{100 \times 10^{-6}}{0.4} = 2.25 \times 10^6\,V$ है।
बिंदु $C$ पर विभव $V_C = \frac{kQ}{AC} = 9 \times 10^9 \times \frac{100 \times 10^{-6}}{0.5} = 1.8 \times 10^6\,V$ है।
किया गया कार्य $W = q(V_C - V_B) = 5 \times 10^{-6} \times (1.8 \times 10^6 - 2.25 \times 10^6) = 5 \times 10^{-6} \times (-0.45 \times 10^6) = -2.25\,J$ है।

(C) विद्युत क्षेत्र में किसी आवेश को स्थानांतरित करने में किया गया कार्य निकाय की स्थिर विद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = U_f - U_i = k Q_1 Q_2 \left( \frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$
दिया गया है:
$Q_1 = 12 \times 10^{-6}\,C$,$Q_2 = 8 \times 10^{-6}\,C$
प्रारंभिक दूरी $r_i = 10\,cm = 0.1\,m$
अंतिम दूरी $r_f = 4\,cm = 0.04\,m$
$k = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$
$W = (9 \times 10^9) \times (12 \times 10^{-6}) \times (8 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{0.04} - \frac{1}{0.1} \right)$
$W = 0.864 \times (25 - 10) = 0.864 \times 15 = 12.96\,J \approx 13\,J$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में विस्थापन $\vec{r}$ के अधीन आवेश $Q$ द्वारा किया गया कार्य $W$ अदिश गुणनफल (dot product) के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = Q(\vec{E} \cdot \vec{r})$
यहाँ $\vec{E} = e_1\hat{i} + e_2\hat{j} + e_3\hat{k}$ और $\vec{r} = a\hat{i} + b\hat{j}$ दिया गया है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$W = Q[(e_1\hat{i} + e_2\hat{j} + e_3\hat{k}) \cdot (a\hat{i} + b\hat{j})]$
अदिश गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए ($\hat{i} \cdot \hat{i} = 1, \hat{j} \cdot \hat{j} = 1, \hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,आदि):
$W = Q(e_1 \cdot a + e_2 \cdot b + e_3 \cdot 0)$
$W = Q(ae_1 + be_2)$

(B) विद्युत क्षेत्र एक संरक्षी क्षेत्र है,इसलिए विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है,न कि अपनाए गए पथ पर।
किया गया कार्य $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = q\vec{E} \cdot \vec{d}$,जहाँ $\vec{d}$ विस्थापन सदिश है।
प्रारंभिक स्थिति $P(a, b, 0)$ है और अंतिम स्थिति $S(0, 0, 0)$ है।
विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{S} - \vec{P} = (0 - a)\hat{i} + (0 - b)\hat{j} + (0 - 0)\hat{k} = -a\hat{i} - b\hat{j}$ है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E\hat{i}$ है।
किया गया कार्य $W = q(E\hat{i}) \cdot (-a\hat{i} - b\hat{j}) = qE(-a) = -qEa$।

(D) $q_1$ आवेश के विद्युत क्षेत्र में $q_2$ आवेश को ले जाने में किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$.
यहाँ,$q_1 = 10 \ \mu C = 10 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 2 \ \mu C = 2 \times 10^{-6} \ C$.
प्रारंभिक दूरी $r_i = AB = 80 \ cm = 0.8 \ m$.
अंतिम दूरी $r_f = AC = 60 \ cm = 0.6 \ m$.
$k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ का उपयोग करने पर:
$W = (9 \times 10^9) \times (10 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{0.6} - \frac{1}{0.8} \right)$,
$W = 180 \times 10^{-3} \times \left( \frac{0.8 - 0.6}{0.48} \right)$,
$W = 0.18 \times \left( \frac{0.2}{0.48} \right) = 0.18 \times \frac{20}{48} = 0.18 \times \frac{5}{12} = 0.075 \ J$.

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन विद्युत क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है:
$\Delta K = W_{elec}$
$\frac{1}{2}m(v_B^2 - v_A^2) = q(V_A - V_B)$
दिया गया है: $m = 1\, g = 10^{-3}\ kg$,$q = 10^{-8}\ C$,$V_A = 600\, V$,$V_B = 0\, V$,$v_B = 20\, cm/s = 0.2\, m/s$.
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \times 10^{-3} \times (0.2^2 - v_A^2) = 10^{-8} \times (600 - 0)$
$0.5 \times 10^{-3} \times (0.04 - v_A^2) = 6 \times 10^{-6}$
$0.04 - v_A^2 = \frac{6 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-3}} = 12 \times 10^{-3} = 0.012$
$v_A^2 = 0.04 - 0.012 = 0.028$
$v_A = \sqrt{0.028} \approx 0.1673\, m/s = 16.73\, cm/s \approx 16.8\, cm/s$.

(C) किया गया कार्य $W$ स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i$.
प्रारंभिक दूरी $r_i = 10\ cm = 0.1\ m$.
अंतिम दूरी $r_f = 10\ cm - 4\ cm = 6\ cm = 0.06\ m$.
आवेश $q_1 = 12 \times 10^{-6}\ C$ और $q_2 = 8 \times 10^{-6}\ C$.
$W = k q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$.
मान रखने पर: $W = (9 \times 10^9) \times (12 \times 10^{-6}) \times (8 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{0.06} - \frac{1}{0.1} \right)$.
$W = 0.864 \times \left( 16.67 - 10 \right) = 0.864 \times 6.67 \approx 5.76\ J \approx 5.8\ J$.

(C) निकाय पर किया गया कार्य $W$ स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i$.
दो बिंदु आवेशों की स्थितिज ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$ है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$ है।
दिया गया है: $q_1 = 5 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 10 \times 10^{-6} \ C$,$r_i = 1 \ m$,$r_f = 0.5 \ m$.
$W = k q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$
$W = (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-6}) \times (10 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{0.5} - \frac{1}{1} \right)$
$W = 45 \times 10^{-2} \times (2 - 1)$
$W = 45 \times 10^{-2} \ J$.

(A) आवेश $Q$ को बिंदु $C$ से बिंदु $D$ तक ले जाने में किया गया कार्य $W = Q(V_D - V_C)$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $C$ पर ($AB$ का मध्य-बिंदु):
$A$ से दूरी $L$ है और $B$ से दूरी $L$ है।
$V_C = \frac{kq}{L} + \frac{k(-q)}{L} = 0$.
बिंदु $D$ पर ($B$ से दूरी $L$ और $A$ से दूरी $3L$ है):
$V_D = \frac{kq}{3L} + \frac{k(-q)}{L} = \frac{kq}{L} (\frac{1}{3} - 1) = -\frac{2kq}{3L}$.
इन मानों को कार्य के सूत्र में रखने पर:
$W = Q(V_D - V_C) = Q(-\frac{2kq}{3L} - 0) = -\frac{2kqQ}{3L}$.
चूंकि $k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}$,इसलिए:
$W = -\frac{2qQ}{3L(4\pi \epsilon_0)} = -\frac{qQ}{6\pi \epsilon_0 L}$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 1 \, g = 10^{-3} \, kg$,आवेश $q = 10^{-8} \, C$,$V_A = 600 \, V$,$V_B = 0 \, V$,$B$ पर वेग $(v_B)$ = $20 \, cm/s = 0.2 \, m/s$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन विद्युत क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है:
$\Delta K = -q \Delta V$
$\frac{1}{2} m v_B^2 - \frac{1}{2} m v_A^2 = -q (V_B - V_A)$
$\frac{1}{2} \times 10^{-3} \times ((0.2)^2 - v_A^2) = -10^{-8} \times (0 - 600)$
$0.5 \times 10^{-3} \times (0.04 - v_A^2) = 6 \times 10^{-6}$
$0.04 - v_A^2 = \frac{6 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-3}}$
$0.04 - v_A^2 = 12 \times 10^{-3} = 0.012$
$v_A^2 = 0.04 - 0.012 = 0.028$
$v_A = \sqrt{0.028} \approx 0.1673 \, m/s$
$cm/s$ में बदलने पर: $v_A = 0.1673 \times 100 = 16.73 \, cm/s \approx 16.7 \, cm/s$.

(B) दिया गया है: दूरी $d = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$, विद्युत क्षेत्र $E = 5 \times 10^5 \ V/m$, इलेक्ट्रॉन का आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
सबसे पहले, प्लेटों के बीच विभवांतर $(V)$ की गणना करें: $V = E \times d = (5 \times 10^5 \ V/m) \times (10^{-3} \ m) = 500 \ V$.
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta PE)$ इस प्रकार है: $\Delta PE = q \times V$.
मान रखने पर: $\Delta PE = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (500 \ V) = 800 \times 10^{-19} \ J = 8 \times 10^{-17} \ J$.

(B) बिंदु $C$ पर $q_3$ की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा:
$U_i = k q_3 \left( \frac{q_1}{AC} + \frac{q_2}{BC} \right)$
यहाँ $AC = 0.8 \ m$,$AB = 0.6 \ m$। $\triangle ABC$ में,$BC = \sqrt{0.8^2 + 0.6^2} = 1.0 \ m$।
$U_i = 9 \times 10^9 \times 0.2 \times 10^{-8} \left( \frac{2 \times 10^{-8}}{0.8} + \frac{-0.4 \times 10^{-8}}{1.0} \right) = 18 \left( 2.5 \times 10^{-8} - 0.4 \times 10^{-8} \right) = 37.8 \times 10^{-8} \ J$।
बिंदु $D$ पर $q_3$ की अंतिम स्थितिज ऊर्जा:
$U_f = k q_3 \left( \frac{q_1}{AD} + \frac{q_2}{BD} \right)$
यहाँ $AD = 0.8 \ m$ और $BD = 0.8 - 0.6 = 0.2 \ m$।
$U_f = 9 \times 10^9 \times 0.2 \times 10^{-8} \left( \frac{2 \times 10^{-8}}{0.8} + \frac{-0.4 \times 10^{-8}}{0.2} \right) = 18 \left( 2.5 \times 10^{-8} - 2.0 \times 10^{-8} \right) = 9 \times 10^{-8} \ J$।
स्थितिज ऊर्जा में प्रतिशत परिवर्तन:
$\frac{U_f - U_i}{U_i} \times 100 = \frac{9 - 37.8}{37.8} \times 100 = \frac{-28.8}{37.8} \times 100 \approx -76.19\%$।
अतः,$76\%$ की कमी होती है।

(D) ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,कण $q$ की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा निकटतम पहुँच के बिंदु पर स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$v$ चाल के लिए,प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2$ है। निकटतम दूरी $r$ पर,स्थितिज ऊर्जा $\frac{kQq}{r}$ है।
उन्हें बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{kQq}{r} \implies r = \frac{2kQq}{mv^2}$।
यह दर्शाता है कि $r \propto \frac{1}{v^2}$।
यदि चाल को दोगुना करके $2v$ कर दिया जाए,तो नई निकटतम दूरी $r'$ इस प्रकार होगी:
$r' = \frac{2kQq}{m(2v)^2} = \frac{2kQq}{4mv^2} = \frac{r}{4}$।

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी कण की गतिज ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_1 = \frac{kQq}{r_1}$ और अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_2 = \frac{kQq}{r_2}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_1 - U_2 = kQq \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ है।
दिया गया है: $m = 0.1\, kg$,$q = 2 \times 10^{-6}\, C$,$Q = 5 \times 10^{-6}\, C$,$r_1 = 0.5\, m$,$r_2 = 3\, m$,$k = 9 \times 10^9\, N\cdot m^2/C^2$.
$\Delta U = (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{0.5} - \frac{1}{3} \right) = 0.09 \times (2 - 0.333) = 0.09 \times 1.666 = 0.15\, J$.
चूंकि $\Delta U = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $0.15 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times v^2$.
$v^2 = \frac{0.15 \times 2}{0.1} = 3$.
$v = \sqrt{3} \approx 1.73\, m/s$.

(A) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,चूंकि निकाय को विराम अवस्था से छोड़ा गया है,कुल संवेग शून्य रहता है: $m_1 v_1 = m_2 v_2$ ।
यहाँ $m_1 = m$ और $m_2 = 4m$ दिया गया है,इसलिए $m v_Q = 4m v_{2Q}$,जिसका अर्थ है $v_Q = 4 v_{2Q}$ ।
गतिज ऊर्जा का अनुपात $\frac{K.E._Q}{K.E._{2Q}} = \frac{\frac{1}{2} m v_Q^2}{\frac{1}{2} (4m) v_{2Q}^2} = \frac{m (4 v_{2Q})^2}{4m v_{2Q}^2} = \frac{16}{4} = 4$ होता है।
अतः,$K.E._Q = 4 \times K.E._{2Q}$ ।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा अनंत दूरी पर कुल गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $U_i = K.E._Q + K.E._{2Q}$ ।
$U_i = \frac{K(Q)(2Q)}{r} = \frac{2KQ^2}{r}$ ।
ऊर्जा समीकरण में $K.E._{2Q} = \frac{K.E._Q}{4}$ रखने पर: $K.E._Q + \frac{K.E._Q}{4} = \frac{2KQ^2}{r}$ ।
$\frac{5}{4} K.E._Q = \frac{2KQ^2}{r} \Rightarrow K.E._Q = \frac{8KQ^2}{5r}$ ।

(C) निकाय की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i$ तीन आवेश युग्मों की स्थितिज ऊर्जाओं का योग है:
$U_i = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{(-q)(q)}{a} + \frac{(q)(q)}{a} + \frac{(q)(-q)}{a} \right) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left( -\frac{q^2}{a} + \frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{a} \right) = -\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 a}$.
जब $-q$ आवेश $BC$ के मध्य बिंदु $M$ पर होता है,तो दूरी $AM = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$,और दूरियाँ $BM = MC = a/2$ होती हैं।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f$ है:
$U_f = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{(-q)(q)}{a/2} + \frac{(-q)(q)}{a/2} + \frac{(q)(q)}{a} \right) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left( -\frac{2q^2}{a} - \frac{2q^2}{a} + \frac{q^2}{a} \right) = -\frac{3q^2}{4\pi \epsilon_0 a}$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के ऋणात्मक मान $-\Delta U$ के बराबर होता है:
$K_f - K_i = -(U_f - U_i) = U_i - U_f$.
चूंकि आवेश विराम अवस्था से शुरू होता है,$K_i = 0$.
$K_f = -\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 a} - \left( -\frac{3q^2}{4\pi \epsilon_0 a} \right) = \frac{2q^2}{4\pi \epsilon_0 a} = \frac{q^2}{2\pi \epsilon_0 a}$.

(C) एकसमान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में रखे ऋणावेशित कण पर स्थिर-विद्युत बल $\vec{F} = q\vec{E}$ कार्य करता है।
चूंकि आवेश $q$ ऋणात्मक है,इसलिए बल $\vec{F}$ की दिशा विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के विपरीत होती है।
चूंकि कण को विरामावस्था से मुक्त किया जाता है,यह बल की दिशा में (विद्युत क्षेत्र के विपरीत) त्वरित होता है।
जैसे-जैसे कण बल की दिशा में गति करता है,विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य धनात्मक होता है।
विद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = -W_{field}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है,इसलिए आवेश की स्थितिज ऊर्जा $U$ घटती है।

(N/A) मूल बिंदु पर रखे गए आवेश $Q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ पर विचार करें।
हम एक परीक्षण आवेश $q$ को बिंदु $R$ से बिंदु $P$ तक आवेश $Q$ द्वारा उस पर लगाए गए प्रतिकर्षण बल के विरुद्ध लाते हैं। (यह तब होता है यदि $Q$ और $q$ समान प्रकार के आवेश हों)।
मान लीजिए कि $Q$ और $q$ दोनों धनात्मक हैं।
परीक्षण आवेश $q$ इतना छोटा है कि यह मूल आवेश विन्यास को बाधित नहीं करता है।
आवेश $q$ को $R$ से $P$ तक लाने में,हम एक बाहरी बल $\overrightarrow{F}_{\text{ext}}$ लगाते हैं,जबकि आवेश $q$ पर प्रतिकर्षण विद्युत बल $\overrightarrow{F}_{E}$ कार्य करता है।
इसका अर्थ है कि कोई नेट बल नहीं है,अर्थात $\overrightarrow{F}_{\text{ext}} = -\overrightarrow{F}_{E}$। इसका मतलब है कि इसे धीमी और स्थिर गति से लाया जाता है और इसका त्वरण शून्य है।
इस स्थिति में,बाहरी बल द्वारा किया गया कार्य विद्युत बल द्वारा किए गए कार्य का ऋणात्मक होता है और यह पूरी तरह से आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा के रूप में संग्रहीत हो जाता है।
यदि $P$ पर पहुँचने पर बाहरी बल को हटा दिया जाए,तो विद्युत बल आवेश को $Q$ से दूर ले जाएगा। $P$ पर संग्रहीत ऊर्जा का उपयोग आवेश $q$ को गतिज ऊर्जा प्रदान करने के लिए इस प्रकार किया जाता है कि गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग संरक्षित रहता है।
आवेश $q$ को $R$ से $P$ तक ले जाने में बाहरी बलों द्वारा किया गया कार्य है:
$W_{RP} = \int_{R}^{P} \overrightarrow{F}_{\text{ext}} \cdot d\overrightarrow{r}$
और विद्युत बल द्वारा किया गया कार्य है:
$W_{RP} = -\int_{R}^{P} \overrightarrow{F}_{E} \cdot d\overrightarrow{r}$
यह किया गया कार्य आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा के रूप में संग्रहीत हो जाता है:
$\therefore U = \int_{R}^{P} \overrightarrow{F}_{\text{ext}} \cdot d\overrightarrow{r}$

(N/A) बाह्य विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ और संबंधित बाह्य विभव $V$ बिंदु-दर-बिंदु भिन्न हो सकते हैं।
विद्युत विभव की परिभाषा के अनुसार,बिंदु $P$ पर विभव $V$ वह कार्य है जो एक इकाई धनात्मक आवेश को अनंत से बिंदु $P$ तक लाने में किया जाता है। (हम अनंत पर विभव को शून्य मानते हैं।)
अतः,बाह्य क्षेत्र में एक आवेश $q$ को अनंत से बिंदु $P$ तक लाने में किया गया कार्य $W = qV$ है।
यह कार्य आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा $U$ के रूप में संचित होता है।
$\therefore U = qV$.
यदि बिंदु $P$ का मूल बिंदु के सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{r}$ है,तो बिंदु $P$ पर स्थितिज ऊर्जा $U(\vec{r}) = qV(\vec{r})$ होगी।
इसका अर्थ है कि बाह्य क्षेत्र में स्थितिज ऊर्जा = विद्युत आवेश $\times$ बाह्य क्षेत्र में उस बिंदु पर विद्युत विभव।

(N/A) मान लीजिए कि दो विद्युत आवेश $q_{1}$ और $q_{2}$ को अनंत से बाह्य विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ में क्रमशः स्थिति सदिश $\overrightarrow{r_{1}}$ और $\overrightarrow{r_{2}}$ वाले बिंदुओं तक लाया जाता है।
आवेश $q_{1}$ को अनंत से स्थिति $\overrightarrow{r_{1}}$ तक लाने में किया गया कार्य:
$W_{1} = q_{1} V(\overrightarrow{r_{1}}) \quad \dots (1)$
इसके बाद,आवेश $q_{2}$ को अनंत से स्थिति $\overrightarrow{r_{2}}$ तक लाने में किया गया कार्य दो क्षेत्रों के विरुद्ध होता है: बाह्य विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ और आवेश $q_{1}$ द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र।
बाह्य क्षेत्र के विरुद्ध किया गया कार्य:
$W_{2} = q_{2} V(\overrightarrow{r_{2}}) \quad \dots (2)$
$q_{1}$ द्वारा उत्पन्न क्षेत्र के विरुद्ध किया गया कार्य:
$W_{3} = \frac{k q_{1} q_{2}}{r_{12}} \quad \dots (3)$
जहाँ $r_{12}$ आवेशों $q_{1}$ और $q_{2}$ के बीच की दूरी है।
निकाय की कुल स्थितिज ऊर्जा $U$ इस विन्यास को बनाने में किए गए कुल कार्य के योग के बराबर होती है:
$U = W_{1} + W_{2} + W_{3}$
$U = q_{1} V(\overrightarrow{r_{1}}) + q_{2} V(\overrightarrow{r_{2}}) + \frac{k q_{1} q_{2}}{r_{12}}$

(N/A) बिंदु आवेश $Q$ द्वारा उत्पन्न स्थिर-विद्युत क्षेत्र एक संरक्षी क्षेत्र है।
एक संरक्षी क्षेत्र में,किसी भी बंद पथ पर गति करने वाले आवेश पर विद्युत बल द्वारा किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है।
इसका कारण यह है कि संरक्षी क्षेत्र में किया गया कार्य केवल आवेश की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है,न कि अपनाए गए पथ पर।
चूंकि दोनों पथ बंद लूप हैं,इसलिए दोनों स्थितियों में परीक्षण आवेश $q$ का विस्थापन एक ही बिंदु पर शुरू और समाप्त होता है।
अतः,दोनों स्थितियों में विद्युत बल द्वारा किया गया कार्य शून्य है,और वे एक-दूसरे के बराबर हैं।

(C) आवेशों को अनंत से उनके संबंधित स्थानों पर लाने में किया गया कार्य निकाय की स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
मान लीजिए कि गोलीय कोश आवेश $1$ है,$+q$ आवेश $2$ है और $-q$ आवेश $3$ है।
एक समान रूप से आवेशित गोलीय कोश के अंदर विभव स्थिर होता है और यह $V = kQ/R$ के बराबर होता है,जहाँ $k = 1 / (4 \pi \varepsilon_0)$ है।
$1$. $+q$ आवेश को $x = -a/2$ पर लाने के लिए किया गया कार्य: $W_1 = q \times V_{\text{shell}} = q(kQ/R)$.
$2$. $-q$ आवेश को $x = +a/2$ पर लाने के लिए किया गया कार्य: $W_2 = (-q) \times V_{\text{shell}} + (-q) \times V_{\text{charge } q} = (-q)(kQ/R) + (-q)(kq / a) = -kQq/R - kq^2/a$.
कुल कार्य $W = W_1 + W_2 = (kQq/R) - (kQq/R) - kq^2/a = -kq^2/a$.
किए गए कार्य का परिमाण $|W| = | -kq^2/a | = q^2 / (4 \pi \varepsilon_0 a)$ है।

(D) निकटतम पहुँच के बिंदु पर,आवेश $q$ की संपूर्ण प्रारंभिक गतिज ऊर्जा स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$v$ चाल के प्रारंभिक मामले के लिए:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{kqQ}{r}$ --- $(1)$
$2v$ चाल के दूसरे मामले के लिए,मान लीजिए कि नई निकटतम दूरी $r'$ है:
$\frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{kqQ}{r'}$
$\frac{1}{2}m(4v^2) = \frac{kqQ}{r'}$
$2mv^2 = \frac{kqQ}{r'}$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{1}{2}mv^2}{2mv^2} = \frac{\frac{kqQ}{r}}{\frac{kqQ}{r'}}$
$\frac{1}{4} = \frac{r'}{r}$
$r' = \frac{r}{4}$
अतः,निकटतम पहुँच की दूरी $\frac{r}{4}$ होगी।

(C) विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W_E = q \vec{E} \cdot \vec{d}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{d}$ विस्थापन सदिश है।
दिया गया है: $q = 2 \times 10^{-2} \, C$,$\vec{E} = 30 \hat{i} \, N C^{-1}$.
विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{S} - \vec{P} = (0 - 1)\hat{i} + (0 - 2)\hat{j} + (0 - 0)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} \, m$.
अब,$W_E = (2 \times 10^{-2}) \times (30 \hat{i}) \cdot (-\hat{i} - 2\hat{j})$.
$W_E = (2 \times 10^{-2}) \times (-30) \, J$.
$W_E = -60 \times 10^{-2} \, J = -0.6 \, J$.
चूँकि $1 \, J = 1000 \, mJ$,इसलिए $W_E = -0.6 \times 1000 \, mJ = -600 \, mJ$.

(D) स्थिर वैद्युत क्षेत्र में किसी आवेश को ले जाने में किया गया कार्य $W$ निकाय की स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = U_f - U_i$
प्रारंभ में,आवेश $(-q)$ बिंदु $A$ पर है और $(+Q)$ बिंदु $B$ पर है,जो $\ell$ दूरी पर स्थित हैं। प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(-q)(Q)}{\ell} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{\ell}$ है।
अंत में,आवेश $(-q)$ को बिंदु $C$ पर ले जाया जाता है,जबकि $(+Q)$ बिंदु $B$ पर ही रहता है। $C$ और $B$ के बीच की दूरी भी $\ell$ है क्योंकि $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(-q)(Q)}{\ell} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{\ell}$ है।
अतः,किया गया कुल कार्य $W = U_f - U_i = (-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{\ell}) - (-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{\ell}) = 0$ है।

(B) जब किसी आवेश को विद्युत क्षेत्र के कूलम्ब बल के विरुद्ध ले जाया जाता है, तो स्थिर-विद्युत प्रतिकर्षण या आकर्षण को दूर करने के लिए एक बाहरी एजेंट को आवेश पर धनात्मक कार्य करना पड़ता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, बाहरी एजेंट द्वारा किया गया कार्य $(W_{\text{agent}})$ निकाय की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U = U_f - U_i)$ के बराबर होता है।
चूंकि कार्य विद्युत क्षेत्र के विरुद्ध किया जाता है, इसलिए विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $(W_{\text{field}})$ ऋणात्मक होता है $(W_{\text{field}} = -W_{\text{agent}})$।
अतः, निकाय की स्थितिज ऊर्जा बढ़ जाती है और यह ऊर्जा बाहरी बल द्वारा प्रदान की जाती है।
इसलिए, सही कथन यह है कि किसी बाहरी बल से ऊर्जा ली जाती है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ द्वारा आवेश $Q$ पर विस्थापन $\vec{r}$ के दौरान किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = Q (\vec{E} \cdot \vec{r})$
यहाँ $\vec{E} = e_1 \hat{i} + e_2 \hat{j} + e_3 \hat{k}$ और $\vec{r} = a \hat{i} + b \hat{j} + 0 \hat{k}$ दिया गया है।
इन मानों को अदिश गुणनफल में रखने पर:
$W = Q [(e_1 \hat{i} + e_2 \hat{j} + e_3 \hat{k}) \cdot (a \hat{i} + b \hat{j} + 0 \hat{k})]$
अदिश गुणनफल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,जहाँ $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ और अन्य पद $0$ हो जाते हैं:
$W = Q (e_1 a + e_2 b + e_3 \cdot 0)$
$W = Q (ae_1 + be_2)$

(C) दो बिंदु आवेशों के बीच की दूरी बदलने के लिए किया गया कार्य $W$ उनकी स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ के बराबर होता है।
दो आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $q_1 = 5 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 10 \times 10^{-6} \ C$,$r_1 = 1 \ m$,$r_2 = 0.5 \ m$,और $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
किया गया कार्य $W = U_2 - U_1 = k q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right)$.
मान रखने पर:
$W = (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-6}) \times (10 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{0.5} - \frac{1}{1} \right)$
$W = (9 \times 10^9) \times (50 \times 10^{-12}) \times (2 - 1)$
$W = 450 \times 10^{-3} \ J = 0.45 \ J = 45 \times 10^{-2} \ J$.

(D) स्थिर वैद्युत बल द्वारा कण पर किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = \int_{r_1}^{r_2} \frac{k q_1 q_2}{r^2} dr = k q_1 q_2 \left[ -\frac{1}{r} \right]_{1}^{10} = k q_1 q_2 \left( 1 - \frac{1}{10} \right) = k q_1 q_2 \left( \frac{9}{10} \right)$.
यहाँ $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$, $q_1 = 1 \times 10^{-6} \text{ C}$, $q_2 = 2 \times 10^{-3} \text{ C}$, $m = 1 \times 10^{-3} \text{ kg}$ है।
$W = (9 \times 10^9) \times (1 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^{-3}) \times 0.9 = 18 \times 0.9 = 16.2 \text{ J}$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए: $W = \frac{1}{2} m v^2$.
$16.2 = \frac{1}{2} \times (1 \times 10^{-3}) \times v^2$.
$v^2 = \frac{16.2 \times 2}{10^{-3}} = 32.4 \times 10^3 = 32400$.
$v = \sqrt{32400} = 180 \text{ m s}^{-1}$.

(A) माना $q = 5 \mu C = 5 \times 10^{-6} \text{ C}$ और $Q = -5 \mu C = -5 \times 10^{-6} \text{ C}$ है। दूरी $AC = CB = 3 \text{ m}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,गतिज ऊर्जा में कमी,स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है।
$C$ पर स्थितिज ऊर्जा $U_C = 2 \times \frac{k q Q}{r}$ है,जहाँ $r = 3 \text{ m}$ है।
$D$ पर स्थितिज ऊर्जा $U_D = 2 \times \frac{k q Q}{\sqrt{r^2 + x^2}}$ है,जहाँ $x = CD$ है।
स्थितिज ऊर्जा में कमी = $U_C - U_D = 2kq|Q| \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{\sqrt{r^2 + x^2}} \right) = K_{initial} = 0.06 \text{ J}$.
मान रखने पर: $2 \times (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{3^2 + x^2}} \right) = 0.06$.
$0.45 \times \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{9 + x^2}} \right) = 0.06$.
$\frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{9 + x^2}} = \frac{0.06}{0.45} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$.
$\frac{1}{\sqrt{9 + x^2}} = \frac{1}{3} - \frac{2}{15} = \frac{5-2}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.
$\sqrt{9 + x^2} = 5 \implies 9 + x^2 = 25 \implies x^2 = 16 \implies x = 4 \text{ m}$.

(B) जब एक आवेश $q$ को $V$ विभवांतर से त्वरित किया जाता है,तो विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य द्रव्यमान $m$ द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = qV$ द्वारा दिया जाता है।
प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = qV$.
दिए गए मान: $m = 1 \ kg$,$q = 2 \ C$,$V = 1 \ V$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{2} \times 1 \times v^2 = 2 \times 1$.
$\frac{1}{2}v^2 = 2$.
$v^2 = 4$.
$v = 2 \ m \ s^{-1}$.
अतः,द्रव्यमान द्वारा प्राप्त वेग $2 \ m \ s^{-1}$ है।

(A) दिया गया है: $q_A = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$,$q_B = 1 \times 10^{-9} \text{ C}$,प्रारंभिक दूरी $d_i = 5 \times 10^{-2} \text{ m}$।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_A q_B}{d_i} = (9 \times 10^9) \frac{(3 \times 10^{-9})(1 \times 10^{-9})}{5 \times 10^{-2}} = \frac{27 \times 10^{-9}}{5 \times 10^{-2}} = 5.4 \times 10^{-7} \text{ J}$।
आवेश $B$ को $A$ की ओर $1 \text{ cm}$ खिसकाने के बाद,नई दूरी $d_f = 4 \times 10^{-2} \text{ m}$ है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_A q_B}{d_f} = (9 \times 10^9) \frac{(3 \times 10^{-9})(1 \times 10^{-9})}{4 \times 10^{-2}} = \frac{27 \times 10^{-9}}{4 \times 10^{-2}} = 6.75 \times 10^{-7} \text{ J}$।
किया गया कार्य $W = U_f - U_i = (6.75 - 5.4) \times 10^{-7} \text{ J} = 1.35 \times 10^{-7} \text{ J}$।

(C) $r$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर स्थित $q$ आवेशों के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = 3 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
$L$ भुजा के साथ प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{3}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L}$ है।
$\frac{L}{2}$ भुजा के साथ अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{3}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L/2} = \frac{6}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L}$ है।
किया गया कार्य $W$ स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i$.
$W = \frac{6}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L} - \frac{3}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L} = \frac{3}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L}$.

(D) विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य पथ पर निर्भर नहीं करता है क्योंकि विद्युत क्षेत्र एक संरक्षी क्षेत्र है। किया गया कार्य $W$ को $W = q \Delta V = -q \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{r} = -q \vec{E} \cdot \vec{d}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,विस्थापन सदिश $\vec{d} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (3-0)\hat{k} = (1\hat{i} - 1\hat{j} + 3\hat{k}) \ m$ की गणना करें।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = (10\hat{i} + 30\hat{j}) \ Vm^{-1}$ है।
विभवांतर $\Delta V = V_B - V_A = -\vec{E} \cdot \vec{d} = -[(10)(1) + (30)(-1) + (0)(3)] = -[10 - 30] = 20 \ V$ है।
किया गया कार्य $W = q \Delta V = (0.8 \ C)(20 \ V) = 16 \ J$ है।

(A) $r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q$ और $e$ के निकाय की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q e}{r}$ होती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में कमी गतिज ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होती है:
$\Delta U = \Delta K$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} q e \left( \frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_f} \right) = \frac{1}{2} m v^2$
दिया गया है: $q = 20 \times 10^{-9} \ C$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$r_i = 4 \ m$,$r_f = 2 \ m$,$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$,$k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2 \ C^{-2}$।
मान रखने पर:
$9 \times 10^9 \times 20 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19} \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \times 9 \times 10^{-31} \times v^2$
नोट: चूंकि इलेक्ट्रॉन प्रतिकर्षण अनुभव करता है,हम कार्य का परिमाण $W = k q e (\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i})$ लेते हैं:
$9 \times 10^9 \times 20 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19} \times (0.5 - 0.25) = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times v^2$
$9 \times 20 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.25 = 4.5 \times 10^{-31} \times v^2$
$72 \times 10^{-19} \times 0.25 = 4.5 \times 10^{-31} \times v^2$
$18 \times 10^{-19} = 4.5 \times 10^{-31} \times v^2$
$v^2 = \frac{18 \times 10^{-19}}{4.5 \times 10^{-31}} = 4 \times 10^{12}$
$v = 2 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$।

(C) बाहरी क्षेत्र $E = \frac{A}{r^2}$ के कारण विभव $V$ को $V = -\int_{\infty}^{r} E \cdot dr = -\int_{\infty}^{r} \frac{A}{r^2} dr = \frac{A}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$r_1 = 9 \ cm = 0.09 \ m$ और $r_2 = 9 \ cm = 0.09 \ m$ है।
कुल स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U$,बाहरी क्षेत्र में प्रत्येक आवेश की स्थितिज ऊर्जा और उनकी पारस्परिक अन्योन्य क्रिया ऊर्जा का योग है:
$U = q_1 V(r_1) + q_2 V(r_2) + \frac{k q_1 q_2}{r_{12}}$
$U = (7 \times 10^{-6}) \left( \frac{9 \times 10^5}{0.09} \right) + (-2 \times 10^{-6}) \left( \frac{9 \times 10^5}{0.09} \right) + \frac{(9 \times 10^9) (7 \times 10^{-6}) (-2 \times 10^{-6})}{0.18}$
$U = (7 \times 10^{-6}) (10^7) - (2 \times 10^{-6}) (10^7) - \frac{126 \times 10^{-3}}{0.18}$
$U = 70 - 20 - 0.7 = 49.3 \ J$.

(C) बाह्य एजेंट द्वारा किया गया कार्य निकाय की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W_{\text{ext}} = \Delta U = U_f - U_i$
$W_{\text{ext}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$
दिया गया है:
$q_1 = 10^{-8} \text{ C}$,$q_2 = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$
$r_i = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6 \text{ m}$
$r_f = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \text{ m}$
मान रखने पर:
$W_{\text{ext}} = (9 \times 10^9) \times (10^{-8} \times 2 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \right)$
$W_{\text{ext}} = (9 \times 10^9) \times (2 \times 10^{-14}) \times \left( \frac{2-1}{6} \right)$
$W_{\text{ext}} = 18 \times 10^{-5} \times \frac{1}{6} = 3 \times 10^{-5} \text{ J}$
$W_{\text{ext}} = 30 \times 10^{-6} \text{ J}$