Energy Stored in a Capacitor Questions in Hindi

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2}CV^2$ होता है।
चूंकि $\frac{1}{2}$ एक विमाहीन स्थिरांक है,इसलिए $CV^2$ की विमाएँ ऊर्जा की विमाओं के समान होती हैं।
ऊर्जा को बल गुणा विस्थापन के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[M L T^{-2}] \times [L] = [M L^2 T^{-2}]$ होता है।
अतः,$CV^2$ की विमाएँ $[M L^2 T^{-2}]$ हैं।

(B) स्थिर वैद्युत ऊर्जा घनत्व $u$ को विद्युत क्षेत्र में प्रति इकाई आयतन में संचित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है।
स्थिर वैद्युत ऊर्जा घनत्व का सूत्र $u = \frac{dU}{dV} = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ है,जहाँ $\epsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है और $E$ विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि स्थिर वैद्युत ऊर्जा घनत्व विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के वर्ग के समानुपाती होता है,अर्थात $u \propto E^2$।

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2}CV^2$ होता है।
चूंकि संधारित्र पर आवेश $q = CV$ होता है,इसलिए हम $V = \frac{q}{C}$ लिख सकते हैं।
$V$ के इस मान को ऊर्जा के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$U = \frac{1}{2}C\left(\frac{q}{C}\right)^2 = \frac{1}{2}C\left(\frac{q^2}{C^2}\right) = \frac{q^2}{2C}$.
अतः,सही व्यंजक $\frac{q^2}{2C}$ है।

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} C V^2$ होता है।
दिया गया है:
धारिता $C = 4 \times 10^{-6} \, F$
विभव $V = 100 \, V$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-6}) \times (100)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times 10000$
$U = 2 \times 10^{-6} \times 10^4$
$U = 2 \times 10^{-2} \, J$
$U = 0.02 \, J$
अतः,मुक्त होने वाली ऊर्जा $0.02 \, J$ है।

(C) एक संधारित्र में संचित ऊर्जा का व्यंजक $U = \frac{1}{2} CV^2$ या $U = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$ द्वारा दिया जाता है।
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ के संदर्भ में,ऊर्जा घनत्व $u$ का मान $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ होता है।
चूंकि एक आदर्श समानांतर प्लेट संधारित्र के बाहर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है और क्षेत्र केवल प्लेटों के बीच के क्षेत्र में ही मौजूद होता है,इसलिए कुल ऊर्जा प्लेटों के बीच के विद्युत क्षेत्र में स्थित होती है।

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा उसे आवेशित करने में किए गए कार्य के बराबर होती है।
यदि $C$ धारिता वाले संधारित्र को $V$ विभव तक आवेशित किया जाता है,तो अतिरिक्त आवेश $dq$ लाने के लिए किया गया कार्य $dW = V' dq$ है,जहाँ $V' = q/C$ है।
इसका $0$ से $Q$ (जहाँ $Q = CV$) तक समाकलन करने पर:
$U = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C} dq = \frac{1}{C} \left[ \frac{q^2}{2} \right]_{0}^{Q} = \frac{Q^2}{2C}$.
$Q = CV$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U = \frac{(CV)^2}{2C} = \frac{1}{2} CV^2$ प्राप्त होता है।

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2}CV^2$ है।
दिया गया है:
धारिता $C = 50\,\mu F = 50 \times 10^{-6}\,F$.
विभवांतर $V = 10\;V$.
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (50 \times 10^{-6}) \times (10)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 50 \times 10^{-6} \times 100$
$U = 25 \times 10^{-4} = 2.5 \times 10^{-3}\,J$.
अतः,संचित ऊर्जा $2.5 \times 10^{-3}\,J$ है।

(A) एक आवेशित संधारित्र अपनी प्लेटों के बीच स्थिर-विद्युत क्षेत्र के रूप में ऊर्जा संग्रहीत करता है।
चूंकि संधारित्र की प्लेटों पर आवेश स्थिर होते हैं,इसलिए वे केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
स्थिर अवस्था में संधारित्र से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है,इसलिए वहां कोई चुंबकीय क्षेत्र नहीं होता है।
अतः,एक आवेशित संधारित्र की ऊर्जा केवल विद्युत क्षेत्र में निहित होती है।

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $W = \frac{Q^2}{2C}$ होता है।
जब आवेश को बढ़ाकर $2Q$ कर दिया जाता है,तो नई ऊर्जा $W'$ इस प्रकार होगी:
$W' = \frac{(2Q)^2}{2C} = \frac{4Q^2}{2C}$.
चूँकि $W = \frac{Q^2}{2C}$,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$W' = 4 \times \left( \frac{Q^2}{2C} \right) = 4W$.
अतः,संचित ऊर्जा $4W$ हो जाएगी।

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $E = \frac{1}{2}CV^2$ है।
ऊर्जा में वृद्धि $\Delta E$ को $\Delta E = E_{Final} - E_{Initial} = \frac{1}{2}C(V_{Final}^2 - V_{Initial}^2)$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
दिया गया है: $C = 6\,\mu F = 6 \times 10^{-6}\,F$,$V_{Initial} = 10\,V$,$V_{Final} = 20\,V$.
मान रखने पर:
$\Delta E = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^{-6}) \times (20^2 - 10^2)$
$\Delta E = 3 \times 10^{-6} \times (400 - 100)$
$\Delta E = 3 \times 10^{-6} \times 300$
$\Delta E = 900 \times 10^{-6}\,J = 9 \times 10^{-4}\,J$.

(B) जब $C$ धारिता वाले संधारित्र को $V$ $EMF$ वाली बैटरी द्वारा आवेशित किया जाता है,तो बैटरी द्वारा किया गया कुल कार्य $W = QV = (CV)V = CV^2$ होता है।
हालाँकि,संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$ द्वारा दी जाती है।
इनकी तुलना करने पर,हम देखते हैं कि संधारित्र में संचित ऊर्जा बैटरी द्वारा किए गए कुल कार्य (आपूर्ति की गई ऊर्जा) का ठीक आधा है।
शेष आधी ऊर्जा परिपथ के तारों या आंतरिक प्रतिरोध में ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है।

(C) आवेशित संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2}CV^2$ होता है।
जब संधारित्र की प्लेटों को एक चालक तार द्वारा जोड़ा जाता है,तो संचित संपूर्ण ऊर्जा ऊष्मा के रूप में व्यय हो जाती है।
दिया गया है: $C = 2\,\mu F = 2 \times 10^{-6}\,F$ और $V = 100\,V$।
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-6}) \times (100)^2$
$U = 10^{-6} \times 10^4$
$U = 10^{-2}\,J = 0.01\,J$।
अतः,उत्पन्न ऊष्मा $0.01\,J$ है।

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ उसे आवेशित करने में किए गए कार्य द्वारा दी जाती है।
जब $V$ विभव पर $C$ धारिता वाले संधारित्र को $Q$ आवेश दिया जाता है,तो प्रक्रिया के दौरान औसत विभव $\frac{V}{2}$ होता है।
अतः,संचित ऊर्जा $U = \text{औसत विभव} \times \text{आवेश}$.
$U = \frac{1}{2}V \times Q = \frac{1}{2}QV$.

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} C V^2$ है।
दिया गया है:
धारिता $C = 2.0 \; \mu F = 2.0 \times 10^{-6} \; F$
विभवांतर $V = 200 \; V$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (2.0 \times 10^{-6} \; F) \times (200 \; V)^2$
$U = 1.0 \times 10^{-6} \times 40000$
$U = 4 \times 10^{-2} \; J$
जब संधारित्र को एक प्रतिरोधक तार के माध्यम से निरावेशित (discharge) किया जाता है,तो पूरी संचित ऊर्जा ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है। अतः,उत्पन्न ऊष्मा $4 \times 10^{-2} \; J$ है।

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} C V^2$ है।
दिया गया है:
धारिता $C = 10 \, pF = 10 \times 10^{-12} \, F = 10^{-11} \, F$.
विभवांतर $V = 50 \, V$.
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (10 \times 10^{-12} \, F) \times (50 \, V)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 10^{-11} \times 2500$
$U = 0.5 \times 2.5 \times 10^{-8} \, J$
$U = 1.25 \times 10^{-8} \, J$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2}CV^2$ है।
दिया गया है:
धारिता $C = 700\,pF = 700 \times 10^{-12}\,F = 7 \times 10^{-10}\,F$.
विभवांतर $V = 50\,V$.
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (700 \times 10^{-12}) \times (50)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 700 \times 10^{-12} \times 2500$
$U = 350 \times 2500 \times 10^{-12}$
$U = 875000 \times 10^{-12}\,J$
$U = 8.75 \times 10^{-7}\,J$.

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2}CV^2$ होता है।
चूंकि संधारित्र $V = 100 \ V$ के स्थिर वोल्टेज स्रोत से जुड़ा है,इसलिए ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ इस प्रकार होगा:
$\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{1}{2}C_2V^2 - \frac{1}{2}C_1V^2 = \frac{1}{2}V^2(C_2 - C_1)$.
यहाँ $C_1 = 2 \ \mu F = 2 \times 10^{-6} \ F$,$C_2 = 10 \ \mu F = 10 \times 10^{-6} \ F$,और $V = 100 \ V$ है।
मान रखने पर:
$\Delta U = \frac{1}{2} \times (100)^2 \times (10 - 2) \times 10^{-6} \ J$
$\Delta U = \frac{1}{2} \times 10000 \times 8 \times 10^{-6} \ J$
$\Delta U = 5000 \times 8 \times 10^{-6} \ J = 40000 \times 10^{-6} \ J = 4 \times 10^{-2} \ J$.

(A) संधारित्र में संचित स्थिर-विद्युत ऊर्जा $U$ का सूत्र है: $U = \frac{1}{2}CV^2$।
दिया गया है:
धारिता $C = 12\,pF = 12 \times 10^{-12}\,F$।
विभवांतर $V = 50\,V$।
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (12 \times 10^{-12}) \times (50)^2$
$U = 6 \times 10^{-12} \times 2500$
$U = 6 \times 2500 \times 10^{-12}$
$U = 15000 \times 10^{-12}\,J$
$U = 1.5 \times 10^4 \times 10^{-12}\,J$
$U = 1.5 \times 10^{-8}\,J$।

(A) संधारित्र में संग्रहीत ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2}CV^2$ है।
दी गई ऊर्जा $U = 24 \, \text{watt-hour}$ है।
ऊर्जा को जूल में बदलने पर: $U = 24 \times 60 \times 60 \, \text{J} = 86400 \, \text{J}$.
दिया गया वोल्टेज $V = 1200 \, \text{V}$ है।
मानों को सूत्र में रखने पर: $86400 = \frac{1}{2} \times C \times (1200)^2$.
$86400 = \frac{1}{2} \times C \times 1440000$.
$86400 = C \times 720000$.
$C = \frac{86400}{720000} \, \text{F} = 0.12 \, \text{F}$.
मिलीफैराड में बदलने पर: $C = 0.12 \times 1000 \, \text{mF} = 120 \, \text{mF}$.

(A) विद्युत ऊर्जा घनत्व $u$ को प्रति इकाई आयतन ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ द्वारा दिया जाता है।
समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ होता है,जहाँ $\sigma = \frac{q}{A}$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है।
ऊर्जा घनत्व के सूत्र में $E$ का मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \right)^2 = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$.
अब $\sigma = \frac{q}{A}$ रखने पर:
$u = \frac{(q/A)^2}{2\varepsilon_0} = \frac{q^2}{2\varepsilon_0 A^2}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{Q^2}{2C}$ होता है।
यहाँ,$Q = 40\,\mu C = 40 \times 10^{-6}\,C$ और $C = 10\,\mu F = 10 \times 10^{-6}\,F$ दिया गया है।
मान रखने पर,$U = \frac{(40 \times 10^{-6})^2}{2 \times 10 \times 10^{-6}} = \frac{1600 \times 10^{-12}}{20 \times 10^{-6}} = 80 \times 10^{-6}\,J = 8 \times 10^{-5}\,J$.
चूंकि $1\,J = 10^7\,erg$ होता है,इसलिए $erg$ में ऊर्जा $U = 8 \times 10^{-5} \times 10^7\,erg = 800\,erg$ होगी।

(C) जब संधारित्र को बैटरी से अलग कर दिया जाता है,तो उसकी प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे प्लेटों को अलग किया जाता है,दूरी $d$ बढ़ती है,इसलिए धारिता $C$ घट जाती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ होती है।
चूंकि $Q$ स्थिर है और $C$ घट रहा है,इसलिए ऊर्जा $U$ बढ़ जाती है।
बाहरी एजेंट द्वारा किया गया कार्य संधारित्र की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta U = U_f - U_i$।
यदि धारिता $C$ से बदलकर $C'$ हो जाती है,तो किया गया कार्य $W = \frac{Q^2}{2C'} - \frac{Q^2}{2C}$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,संधारित्र में संचित ऊर्जा का मानक व्यंजक $\frac{1}{2}CV^2$ है।

(D) प्रारंभिक धारिता $C_i = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है। प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C_i V_0^2 = \frac{1}{2} \frac{\varepsilon_0 A}{d} V_0^2$ है।
चूंकि बैटरी हटा दी गई है,प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है। $Q = C_i V_0 = \frac{\varepsilon_0 A V_0}{d}$।
नया पृथक्करण $d' = 3d$ है। नई धारिता $C_f = \frac{\varepsilon_0 A}{3d} = \frac{C_i}{3}$ है।
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{Q^2}{2 C_f} = \frac{(C_i V_0)^2}{2 (C_i/3)} = \frac{3}{2} C_i V_0^2 = 3 U_i$ है।
किया गया कार्य $W = U_f - U_i = 3 U_i - U_i = 2 U_i$ है।
$W = 2 \times (\frac{1}{2} \frac{\varepsilon_0 A}{d} V_0^2) = \frac{\varepsilon_0 A V_0^2}{d}$।

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2}CV^2$ है।
दिया गया है: $C = 2\,\mu F = 2 \times 10^{-6}\,F$ और $V = 50\,V$.
मान रखने पर: $U = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-6}) \times (50)^2$.
$U = 10^{-6} \times 2500 = 2500 \times 10^{-6} = 2.5 \times 10^{-3}\,J$.
चूंकि $1\,J = 10^7\,erg$,ऊर्जा को $erg$ में बदलने पर:
$U = 2.5 \times 10^{-3} \times 10^7\,erg = 2.5 \times 10^4\,erg$.
नोट: दिए गए विकल्पों के आधार पर,$25 \times 10^3\,erg$ प्राप्त करने के लिए $2.5 \times 10^{-3}\,J = 25 \times 10^{-4}\,J$ को $10^7$ से गुणा करने पर $25 \times 10^3\,erg$ प्राप्त होता है।

(D) एक संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2}CV^2$ है।
दिया गया है:
धारिता $C = 5\,\mu F = 5 \times 10^{-6}\,F$.
विभवांतर $V = 20\,kV = 20 \times 10^3\,V$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-6}) \times (20 \times 10^3)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^{-6} \times 400 \times 10^6$
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times 400 \times 10^0$
$U = 1000\,J = 1\,kJ$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} C V^2$ है।
दिया गया है:
धारिता $C = 6 \, \mu F = 6 \times 10^{-6} \, F$
विभवांतर $V = 100 \, V$
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^{-6}) \times (100)^2$
$U = 3 \times 10^{-6} \times 10,000$
$U = 3 \times 10^{-6} \times 10^4$
$U = 3 \times 10^{-2} \, J$
$U = 0.03 \, J$
अतः,संधारित्र में संचित ऊर्जा $0.03 \, J$ है।

(D) जब एक आवेशित संधारित्र को प्रतिरोध के माध्यम से निरावेशित (discharge) किया जाता है, तो संधारित्र में संचित संपूर्ण स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा प्रतिरोध में ऊष्मा के रूप में व्यय हो जाती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2}CV^2$ है।
दिया गया है:
धारिता $C = 10\, \mu F = 10 \times 10^{-6}\, F = 10^{-5}\, F$.
विभवांतर $V = 500\, V$.
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (10^{-5}) \times (500)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 10^{-5} \times 250,000$
$U = 0.5 \times 2.5 = 1.25\, J$.
अतः, प्रतिरोध में उत्पन्न ऊष्मा $1.25\, J$ है।

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा,जो इसे आवेशित करने में किए गए कार्य के बराबर होती है,सूत्र $W = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है:
आवेश $Q = 8 \times 10^{-18} \, C$
धारिता $C = 100 \, \mu F = 100 \times 10^{-6} \, F = 10^{-4} \, F$
सूत्र में मान रखने पर:
$W = \frac{(8 \times 10^{-18})^2}{2 \times 10^{-4}}$
$W = \frac{64 \times 10^{-36}}{2 \times 10^{-4}}$
$W = 32 \times 10^{-32} \, J$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है। संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{q^2}{2C}$ है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी दोगुनी कर दी जाती है $(d' = 2d)$,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C}{2}$ हो जाती है।
चूंकि संधारित्र पृथक है,आवेश $q$ स्थिर रहता है। नई संचित ऊर्जा $U_f = \frac{q^2}{2C'} = \frac{q^2}{2(C/2)} = \frac{q^2}{C}$ है।
बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_f - U_i$.
$W = \frac{q^2}{C} - \frac{q^2}{2C} = \frac{q^2}{2C}$.

(C) दिया गया है: विभवांतर $V = 200\,V$ और आवेश $Q = 0.1\,C$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2}QV$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$U = \frac{0.1 \times 200}{2}$
$U = \frac{20}{2}$
$U = 10\,J$.
अतः,निरावेशित होने पर मुक्त ऊर्जा $10\,J$ होगी।

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} C V^2$ है।
दिया गया है: $C = 40 \, \mu F = 40 \times 10^{-6} \, F$,$V = 3000 \, V$,और $t = 2 \, ms = 2 \times 10^{-3} \, s$.
सबसे पहले,संचित ऊर्जा की गणना करें:
$U = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^{-6}) \times (3000)^2$
$U = 20 \times 10^{-6} \times 9 \times 10^6 = 180 \, J$.
शक्ति $P$ को प्रति इकाई समय में दी गई ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$P = \frac{U}{t} = \frac{180 \, J}{2 \times 10^{-3} \, s} = 90 \times 10^3 \, W = 90 \, kW$.

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{Q^2}{2C}$ है।
जब एक आवेशित संधारित्र को बैटरी से अलग कर दिया जाता है,तो उसकी प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
जैसे-जैसे प्लेटों के बीच की दूरी $d$ बढ़ती है,धारिता $C$ घटती है क्योंकि $C \propto \frac{1}{d}$।
चूंकि $U = \frac{Q^2}{2C}$ है और $C$ हर (denominator) में है,इसलिए $C$ में कमी आने से संचित ऊर्जा $U$ में वृद्धि होती है।
अतः,ऊर्जा बढ़ती है।

(B) जब $C$ धारिता वाले संधारित्र को $q$ आवेश देकर $V$ विभव तक आवेशित किया जाता है,तो इस प्रक्रिया में किया गया कार्य ऊर्जा के रूप में संचित हो जाता है।
विभव $V$ का मान $V = \frac{q}{C}$ द्वारा दिया जाता है।
अतिरिक्त आवेश $dq$ को लाने के लिए किया गया कार्य $dW = V dq = \frac{q}{C} dq$ होता है।
इसका $0$ से $Q$ तक समाकलन करने पर,कुल संचित ऊर्जा $U = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C} dq = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} CV^2$ प्राप्त होती है।
यह ऊर्जा संधारित्र की प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र में स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा के रूप में संचित होती है।

(B) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2}CV^2$ है।
दिया गया है: धारिता $C = 6 \times 10^{-6} \,F$,प्रारंभिक विभव $V_1 = 10 \,V$ और अंतिम विभव $V_2 = 20 \,V$ है।
ऊर्जा में वृद्धि $\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{1}{2}C(V_2^2 - V_1^2)$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\Delta U = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^{-6}) \times (20^2 - 10^2)$.
$\Delta U = 3 \times 10^{-6} \times (400 - 100)$.
$\Delta U = 3 \times 10^{-6} \times 300 = 900 \times 10^{-6} \,J$.
$\Delta U = 9 \times 10^{-4} \,J$.

(B) जब एक आवेशित संधारित्र को प्रतिरोध के माध्यम से जोड़ा जाता है,तो संधारित्र में संचित ऊर्जा प्रतिरोध में ऊष्मा के रूप में व्यय हो जाती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} C V^2$ है।
दिया गया है:
धारिता $C = 4\, \mu F = 4 \times 10^{-6}\, F$
विभवांतर $V = 400\, V$
मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-6}) \times (400)^2$
$U = 2 \times 10^{-6} \times 160000$
$U = 2 \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^5$
$U = 3.2 \times 10^{-1} = 0.32\, J$.
अतः,प्रतिरोध में उत्पन्न ऊष्मा $0.32\, J$ है।

(B) समांतर प्लेट संधारित्र का ऊर्जा घनत्व $u$ सूत्र $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ है,इसलिए ऊर्जा घनत्व को $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{V}{d} \right)^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए मान: $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$,$V = 300 \, V$,और $d = 2 \times 10^{-3} \, m$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $u = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times \left( \frac{300}{2 \times 10^{-3}} \right)^2$.
$u = 0.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times (1.5 \times 10^5)^2$.
$u = 4.425 \times 10^{-12} \times 2.25 \times 10^{10}$.
$u \approx 9.956 \times 10^{-2} \approx 0.1 \, J/m^3$.

(C) संधारित्र में संग्रहीत ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ है।
चूंकि वोल्टेज $V$ सभी संयोजनों के लिए स्थिर है,इसलिए ऊर्जा $U$ तुल्य धारिता $C_{eq}$ के सीधे आनुपातिक है।
ऊर्जा $U$ को अधिकतम करने के लिए,हमें तुल्य धारिता $C_{eq}$ को अधिकतम करना होगा।
$C$ धारिता वाले तीन समान संधारित्रों के लिए:
$1$. श्रेणी क्रम में: $C_{eq} = \frac{C}{3}$.
$2$. समांतर क्रम में: $C_{eq} = 3C$.
$3$. दो समांतर में और एक श्रेणी में: $C_{eq} = \frac{2}{3}C$.
$4$. दो श्रेणी में और एक समांतर में: $C_{eq} = 1.5C$.
इन मानों की तुलना करने पर,समांतर संयोजन $(3C)$ अधिकतम तुल्य धारिता प्रदान करता है। इसलिए,तीनों संधारित्रों को समांतर क्रम में जोड़ने पर सबसे अधिक ऊर्जा संग्रहीत होती है।

(B) चित्र से, प्लेटें $A$ और $C$ एक साथ जुड़ी हुई हैं, और प्लेट $B$ बैटरी के दूसरे टर्मिनल से जुड़ी है। यह समानांतर में दो संधारित्र (capacitors) बनाता है, एक $A$ और $B$ के बीच, और दूसरा $B$ और $C$ के बीच।
दिया गया है: क्षेत्रफल $A = 50 \, cm^2 = 50 \times 10^{-4} \, m^2$, दूरी $d = 3 \, mm = 3 \times 10^{-3} \, m$, और वोल्टेज $V = 12 \, V$.
प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
चूंकि वे समानांतर में हैं, कुल धारिता $C_{eq} = C_0 + C_0 = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d}$ होगी।
मान रखने पर:
$C_{eq} = \frac{2 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 50 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-3}} \approx 2.95 \times 10^{-11} \, F$.
संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2 = \frac{1}{2} \times (2.95 \times 10^{-11}) \times (12)^2$.
$U = 0.5 \times 2.95 \times 10^{-11} \times 144 = 2.124 \times 10^{-9} \, J \approx 2.1 \times 10^{-9} \, J$.

(D) विद्युत क्षेत्र का ऊर्जा घनत्व $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ द्वारा दिया जाता है।
बादल और पृथ्वी के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ है,जहाँ $V = 10^5 \, V$ और $d = 0.75 \, km = 750 \, m$ है।
बादल और पृथ्वी के बीच के स्थान का आयतन $Volume = A \times d$ है,जहाँ $A = 25 \times 10^6 \, m^2$ है।
कुल ऊर्जा $U = u \times Volume = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{V}{d} \right)^2 \times (A \times d) = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \frac{V^2 A}{d}$.
मान रखने पर: $U = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times \frac{(10^5)^2 \times 25 \times 10^6}{750}$.
$U = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times \frac{10^{10} \times 25 \times 10^6}{750} = \frac{8.85 \times 25 \times 10^4}{1500} = \frac{221.25 \times 10^4}{1500} \approx 1475 \, J$.

(A) बैटरी से जुड़े समांतर प्लेट संधारित्र में संचित स्थिर-वैद्युत ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$ होती है।
चूंकि धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{x}$ है,इसलिए $U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{x} \right) V^2$ होगा।
ऊर्जा के परिवर्तन की समय दर ज्ञात करने के लिए,हम $U$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dU}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2x} \right) = \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2} \frac{d}{dt} (x^{-1})$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{dU}{dt} = \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2} (-x^{-2}) \frac{dx}{dt}$.
चूंकि प्लेटों को एक समान गति से दूर खींचा जा रहा है,इसलिए $\frac{dx}{dt} = v$ (एक नियतांक).
अतः,$\frac{dU}{dt} = -\frac{\varepsilon_0 A V^2 v}{2} x^{-2}$.
यह दर्शाता है कि $\frac{dU}{dt} \propto x^{-2}$.

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2}QV$ होता है।
दिए गए ग्राफ में,$Q$ को $X$-अक्ष पर और $V$ को $Y$-अक्ष पर आलेखित किया गया है।
त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,आधार $OB = Q$ है और ऊंचाई $AB = V$ है।
इसलिए,$\text{Area} = \frac{1}{2} \times Q \times V = \frac{1}{2}QV$.
यह व्यंजक संधारित्र में संचित ऊर्जा को दर्शाता है।

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} C V^2$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $C = 200 \, \mu F = 200 \times 10^{-6} \, F$ और $V = 200 \, V$।
$U = \frac{1}{2} \times (200 \times 10^{-6}) \times (200)^2 = 100 \times 10^{-6} \times 40000 = 4 \, J$।
जब एक संधारित्र किसी प्रतिरोधक के माध्यम से विसर्जित होता है, तो संचित कुल ऊर्जा प्रतिरोधक में ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है, जो प्रतिरोध के मान पर निर्भर नहीं करती है।
अतः, दोनों स्थितियों में उत्पन्न ऊष्मा $4 \, J$ होगी।

(B) एक संधारित्र को आवेशित करने में किया गया कार्य उसमें स्थितिज ऊर्जा $U$ के रूप में संचित होता है।
$C$ धारिता वाले संधारित्र को $V$ विभव तक आवेशित करने के लिए,ऊर्जा $U$ प्लेटों पर सूक्ष्म आवेश $dq$ लाने के लिए किए गए कार्य का समाकलन है:
$U = \int_0^V q \, dV = \int_0^V (CV) \, dV$
$U = C \int_0^V V \, dV$
$U = C \left[ \frac{V^2}{2} \right]_0^V$
$U = \frac{1}{2}CV^2$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $Area = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ द्वारा दिया जाता है।
$Area = \frac{1}{2} \times OB \times AB = \frac{1}{2} \times Q \times V$.
चूंकि संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} QV$ होती है, इसलिए $V-Q$ ग्राफ के अंतर्गत आने वाला क्षेत्रफल संधारित्र में संचित ऊर्जा को दर्शाता है।

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2}CV^2$ होता है।
हम जानते हैं कि आवेश $q = CV$,इसलिए $V = \frac{q}{C}$ होता है।
इस मान को ऊर्जा के सूत्र में रखने पर,$U = \frac{1}{2} C \left( \frac{q}{C} \right)^2 = \frac{1}{2} C \left( \frac{q^2}{C^2} \right) = \frac{q^2}{2C}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही सूत्र $\frac{q^2}{2C}$ है।

(B) मान लीजिए कि संधारित्र की धारिता $C$ है और बैटरी का विद्युत वाहक बल $V$ है।
जब संधारित्र को बैटरी से जोड़ा जाता है,तो बैटरी द्वारा किया गया कुल कार्य $W = QV = (CV)V = CV^2$ होता है।
संधारित्र में संग्रहीत ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2$ होती है।
इन दोनों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि संधारित्र में संग्रहीत ऊर्जा,बैटरी द्वारा दी गई कुल ऊर्जा की ठीक आधी होती है $(U = \frac{1}{2} W)$।
शेष आधी ऊर्जा जोड़ने वाले तारों में या चार्जिंग प्रक्रिया के दौरान ऊष्मा के रूप में नष्ट हो जाती है।

(A) पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma = q/A$ वाली एक एकल आवेशित प्लेट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} = \frac{q}{2 A \epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
एक समांतर प्लेट संधारित्र में,प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र दोनों प्लेटों के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का योग होता है: $E_{total} = \frac{q}{2 A \epsilon_0} + \frac{q}{2 A \epsilon_0} = \frac{q}{A \epsilon_0}$.
विद्युत ऊर्जा घनत्व $u$ को $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ऊर्जा घनत्व के सूत्र में $E_{total}$ का मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \frac{q}{A \epsilon_0} \right)^2 = \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \frac{q^2}{A^2 \epsilon_0^2} \right) = \frac{q^2}{2 \epsilon_0 A^2}$.

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{1}{2} C V^2$ है।
दिया गया है:
धारिता $C = 2 \times 10^{-4} \, \mu F = 2 \times 10^{-4} \times 10^{-6} \, F = 2 \times 10^{-10} \, F$.
विभव $V = 20 \, kV = 20 \times 10^3 \, V = 2 \times 10^4 \, V$.
सूत्र में मान रखने पर:
$U = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-10}) \times (2 \times 10^4)^2$
$U = 10^{-10} \times (4 \times 10^8)$
$U = 4 \times 10^{-2} \, J$.

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा पूरी तरह से ब्लॉक में ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$ द्वारा दी जाती है।
ब्लॉक द्वारा अवशोषित ऊष्मीय ऊर्जा $Q = mS\Delta T$ द्वारा दी जाती है।
दोनों ऊर्जाओं को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}CV^2 = mS\Delta T$.
विभवांतर $V$ के लिए हल करने पर: $V^2 = \frac{2mS\Delta T}{C}$.
अतः,$V = \sqrt{\frac{2mS\Delta T}{C}}$.