Conductor, Electrostatic Shielding, Induced Charge and Charge Redistribution on conductor Questions in Hindi

(D) $1$. स्थिर-वैद्युत प्रेरण के कारण,गोलाकार कोश की आंतरिक सतह ($b$ त्रिज्या पर) पर आंतरिक गोले के आवेश के बराबर और विपरीत प्रेरित आवेश उत्पन्न होगा। चूंकि आंतरिक गोले पर $+2Q$ आवेश है,इसलिए कोश की आंतरिक सतह पर आवेश $-2Q$ होगा।
$2$. आंतरिक सतह पर पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma_{inner} = \frac{\text{आवेश}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{-2Q}{4\pi b^2}$ है।
$3$. कोश पर शुद्ध आवेश $-Q$ है। मान लीजिए कि बाहरी सतह ($c$ त्रिज्या पर) पर आवेश $q_{outer}$ है। चूंकि कोश पर कुल आवेश उसकी आंतरिक और बाहरी सतहों पर आवेशों का योग है,इसलिए: $-2Q + q_{outer} = -Q$,जिससे हमें $q_{outer} = +Q$ प्राप्त होता है।
$4$. बाहरी सतह पर पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma_{outer} = \frac{\text{आवेश}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{Q}{4\pi c^2}$ है।
$5$. इस प्रकार,पृष्ठ आवेश घनत्व $-\frac{2Q}{4\pi b^2}$ और $\frac{Q}{4\pi c^2}$ हैं। दिए गए विकल्पों में से कोई भी इस परिणाम से मेल नहीं खाता है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) आवेशों के किसी भी निकाय के लिए,चालक पर आवेश का वितरण हमेशा एक ऐसे विन्यास में स्थिर होता है जो निकाय की कुल स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा को न्यूनतम करता है।
अनियमित आकार के चालक के मामले में,पूरे चालक में विभव को समान बनाए रखने के लिए कम वक्रता त्रिज्या वाले क्षेत्रों (शिखरों) पर आवेश घनत्व अधिक होगा।
यह संतुलन अवस्था निकाय की न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा विन्यास के अनुरूप होती है।

(C) जब किसी चालक को बाह्य विद्युत क्षेत्र $E$ में रखा जाता है, तो प्रेरित आवेश $q_{ind}$ को संबंध $q_{ind} = -q(1 - 1/K)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $K$ परावैद्युतांक (dielectric constant) है。
किसी भी आदर्श चालक के लिए, परावैद्युतांक $K$ को अनंत $(\infty)$ माना जाता है。
इसलिए, प्रेरित आवेश $q_{ind} = -q(1 - 1/\infty) = -q(1 - 0) = -q$ होगा。
चूंकि तांबा और एल्युमीनियम दोनों धातुएं (चालक) हैं, इसलिए दोनों का परावैद्युतांक अनंत होता है。
अतः, दोनों चालकों पर प्रेरित आवेश का परिमाण समान होगा。

(A) जब किसी चालक को बाहरी स्थिर वैद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ में रखा जाता है,तो चालक के भीतर मुक्त इलेक्ट्रॉन एक बल का अनुभव करते हैं और चालक की सतह पर पुनर्वितरित हो जाते हैं।
यह पुनर्वितरण तब तक जारी रहता है जब तक कि प्रेरित आवेशों द्वारा उत्पन्न आंतरिक वैद्युत क्षेत्र बाहरी वैद्युत क्षेत्र को पूरी तरह से रद्द न कर दे।
इसलिए,चालक प्लेट के भीतर कुल वैद्युत क्षेत्र शून्य होता है।

(C) जब दो आवेशित चालक गोलों को तांबे के तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि वे समान विभव $V$ प्राप्त न कर लें।
चूंकि $V = \frac{kQ}{r}$,समान विभव के लिए $Q \propto r$ होता है।
मान लीजिए कि $r_1 = 20\,cm$ और $r_2 = 15\,cm$ त्रिज्याओं के लिए नए आवेश $Q_1$ और $Q_2$ हैं।
तब $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$।
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{4\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{Q_1}{Q_2} \times \frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{r_1}{r_2} \times \frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{r_2}{r_1}$।
मान रखने पर,$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$।
चूंकि $\sigma_1 < \sigma_2$,छोटे गोले $(15\,cm)$ पर पृष्ठीय आवेश घनत्व बड़े गोले $(20\,cm)$ की तुलना में अधिक है।

(B) जब दो आवेशित गोलों को एक तार से जोड़ा जाता है,तो वे समान विद्युत विभव $V$ पर आ जाते हैं।
$R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले गोले के लिए विभव $V = \frac{kQ}{R}$ होता है।
चूंकि $V_1 = V_2$,इसलिए $\frac{kQ_1}{a} = \frac{kQ_2}{b}$,जिसका अर्थ है $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{a}{b}$।
गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQ}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,विद्युत क्षेत्रों का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{kQ_1/a^2}{kQ_2/b^2} = \frac{Q_1}{Q_2} \times \frac{b^2}{a^2}$ होगा।
$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{a}{b}$ का मान रखने पर,हमें $\frac{E_1}{E_2} = \frac{a}{b} \times \frac{b^2}{a^2} = \frac{b}{a}$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि छोटे गोले पर आवेश $Q$ है। छोटे गोले का विभव $V_1 = \frac{kQ}{R_1}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R_1 = 2 \, m$ और $V_1 = 120 \, V$ है।
अतः,$120 = \frac{kQ}{2}$,जिसका अर्थ है कि $kQ = 240$ है।
जब छोटे गोले को $R_2 = 6 \, m$ त्रिज्या वाले बड़े खोखले गोले के अंदर रखा जाता है,तो बड़े गोले का विभव आंतरिक गोले पर स्थित आवेश $Q$ द्वारा निर्धारित होता है।
आंतरिक गोले के कारण बड़े गोले की सतह पर या उसके अंदर किसी भी बिंदु पर विभव $V_2 = \frac{kQ}{R_2}$ होता है।
$kQ = 240$ और $R_2 = 6 \, m$ का मान रखने पर:
$V_2 = \frac{240}{6} = 40 \, V$ प्राप्त होता है।
अतः,बड़े गोले का विभव $40 \, V$ होगा।

(C) जब एक बिंदु आवेश $+q$ को एक धात्विक गोलीय कोश के केंद्र पर रखा जाता है,तो यह कोश की आंतरिक सतह पर $-q$ आवेश और बाहरी सतह पर $+q$ आवेश प्रेरित करता है।
चूंकि कोश कुचालक और उदासीन है,इसलिए कोश पर कुल प्रेरित आवेश आंतरिक सतह और बाहरी सतह पर मौजूद आवेशों का योग है,जो कि $(-q) + (+q) = 0$ होता है।
अतः,गोले पर कुल प्रेरित आवेश शून्य है।

(B) जब दो आवेशित चालक गोलों को संपर्क में लाया जाता है,तो आवेश उच्च विभव वाले गोले से निम्न विभव वाले गोले की ओर तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि वे समान विभव प्राप्त न कर लें।
आवेश संरक्षण के नियम के अनुसार,एक विलगित निकाय का कुल आवेश स्थिर रहता है।
हालाँकि,ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है क्योंकि आवेश पुनर्वितरण की प्रक्रिया के दौरान कुछ ऊर्जा ऊष्मा या विद्युत चुम्बकीय विकिरण के रूप में नष्ट हो जाती है।
इसलिए,केवल कुल आवेश ही संरक्षित रहता है।

(C) जब दो आवेशित गोलों को एक चालक तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विभव समान $(V_1 = V_2)$ न हो जाएं।
चूंकि एक आवेशित गोले का विभव $V = \frac{kQ}{R}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\frac{kQ_1}{R_1} = \frac{kQ_2}{R_2}$ होता है।
यहाँ $R_1 = 20\,cm$ और $R_2 = 25\,cm$ दिया गया है,इसलिए $\frac{Q_1}{20} = \frac{Q_2}{25}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$।
चूंकि अनुपात $\frac{Q_1}{Q_2} < 1$ है,इसलिए $Q_2 > Q_1$ सिद्ध होता है।
अतः,$25\,cm$ त्रिज्या वाले गोले पर आवेश $(Q_2)$,$20\,cm$ त्रिज्या वाले गोले पर आवेश $(Q_1)$ से अधिक होगा।

(B) जब दो धात्विक गोलों को एक पतले तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विद्युत विभव समान न हो जाएँ।
मान लीजिए कि गोलों $A$ और $B$ पर आवेश क्रमशः ${Q_1}$ और ${Q_2}$ हैं।
गोलीय चालक का विभव $V = \frac{kQ}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि विभव समान हैं,इसलिए $\frac{k{Q_1}}{{r_1}} = \frac{k{Q_2}}{{r_2}}$ होगा।
यह सरल होकर $\frac{{Q_1}}{{Q_2}} = \frac{{r_1}}{{r_2}}$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि ${r_1} > {r_2}$,इसलिए ${Q_1} > {Q_2}$ होगा।
अतः,गोले $A$ की सतह पर आवेश अधिक होगा।

(C) जब दो चालक गोलों को संपर्क में लाया जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विभव समान न हो जाएं। मान लीजिए त्रिज्याएँ $r_1 = 10\, cm$ और $r_2 = 20\, cm$ हैं। गोले का विभव $V = \frac{kQ}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V_1 = V_2$,हमारे पास $\frac{kQ'_1}{r_1} = \frac{kQ'_2}{r_2}$ है,जिसका अर्थ है $\frac{Q'_1}{Q'_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$।
पृष्ठ आवेश घनत्व को $\sigma = \frac{Q}{4\pi r^2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,पृष्ठ आवेश घनत्व का अनुपात $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{Q'_1}{4\pi r_1^2} \times \frac{4\pi r_2^2}{Q'_2} = \left( \frac{Q'_1}{Q'_2} \right) \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$ है।
मान रखने पर: $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{20}{10} \right)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = \frac{2}{1}$।

(D) चूंकि धातु का घन एक चालक है,इसलिए चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है और इसके भीतर या सतह पर विभव स्थिर रहता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र विभव का ऋणात्मक प्रवणता (gradient) होता है $(E = -\nabla V)$,इसलिए विद्युत क्षेत्र हमेशा समविभव सतह के लंबवत होता है।
अतः,घन की सतह पर प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र सतह के लंबवत (normal) होता है।

(A) स्थिर वैद्युत संतुलन में एक आवेशित चालक के लिए, चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र $E$ शून्य होता है。
चूंकि $E = -\frac{dV}{dr}$, यदि $E = 0$ है, तो $\frac{dV}{dr} = 0$ होगा, जिसका अर्थ है कि चालक के भीतर विभव $V$ स्थिर रहता है。
गॉस के नियम के अनुसार, $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$। चूंकि अंदर हर जगह $E = 0$ है, इसलिए परिबद्ध कुल आवेश $q_{enclosed}$ शून्य होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि चालक के अंदर आयतन आवेश घनत्व $\rho$ शून्य है。
इसलिए, कथन "गोले के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य नहीं होता है" गलत है。

(B) मान लीजिए कि तीन प्लेटें बाएं से दाएं $1, 2$ और $3$ हैं। प्लेट $1$ पर $+q$ आवेश है और प्लेट $3$ पर $-2q$ आवेश है। प्लेट $2$ प्रारंभ में उदासीन $(0)$ है।
जब स्विच $S$ बंद होता है, तो प्लेट $2$ पृथ्वी से जुड़ जाती है, इसलिए इसका विभव $0$ हो जाता है।
समांतर प्लेटों के गुण के अनुसार, ग्राउंडेड प्लेट पर प्रेरित आवेश ऐसा होगा कि उसका विभव शून्य हो जाए।
प्लेट $1$ $(+q)$ के कारण प्लेट $2$ पर विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{q}{2A\epsilon_0}$ (दाईं ओर) है।
प्लेट $3$ $(-2q)$ के कारण प्लेट $2$ पर विद्युत क्षेत्र $E_3 = \frac{2q}{2A\epsilon_0}$ (दाईं ओर) है।
प्लेट $2$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $E_{net} = \frac{q}{2A\epsilon_0} + \frac{2q}{2A\epsilon_0} = \frac{3q}{2A\epsilon_0}$ (दाईं ओर) है।
विभव को शून्य करने के लिए, ग्राउंडेड प्लेट पर प्रेरित आवेश $Q_{induced} = -(\frac{q}{2} + \frac{-2q}{2}) = +q/2$ होगा।
प्लेट प्रारंभ में उदासीन थी, इसलिए पृथ्वी से प्लेट पर $+q/2$ आवेश आएगा, जिसका अर्थ है कि $-q/2$ आवेश पृथ्वी में प्रवाहित होगा।

(B) स्थिरवैद्युत संतुलन में चालकों के गुणों के अनुसार,एक खोखले धात्विक चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है। इसका कारण यह है कि चालक को दिया गया कोई भी अतिरिक्त आवेश पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर रहता है। गॉस के नियम को लागू करने पर,चालक के अंदर या खोखले भाग में खींचे गए किसी भी गॉसियन पृष्ठ के लिए,कुल परिबद्ध आवेश $q_{enc} = 0$ होता है। चूँकि $\oint E \cdot dA = q_{enc} / \epsilon_0$,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि खोखले भाग के अंदर $E = 0$ है।

(B) स्थिरवैद्युत संतुलन में एक आवेशित चालक के लिए:
$(1)$ चालक की सतह के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र हमेशा सतह के लंबवत होता है, समानांतर नहीं। अतः, कथन $(1)$ गलत है।
$(2)$ स्थिरवैद्युत संतुलन में चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है $(E_{in} = 0)$। अतः, कथन $(2)$ सत्य है।
$(3)$ विद्युत क्षेत्र रेखाएं हमेशा समविभव सतह के लंबवत होती हैं। चूंकि चालक की सतह एक समविभव सतह होती है, इसलिए यह कथन सत्य है। अतः, कथन $(3)$ सत्य है।
इसलिए, कथन $(2)$ और $(3)$ सही हैं।

(C) जब गोलों को एक चालक तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विभव समान न हो जाएं,अर्थात $V_A = V_B$।
चूंकि $V = \frac{kQ}{r}$,इसलिए $\frac{kQ_A}{r_A} = \frac{kQ_B}{r_B}$,जिसका अर्थ है $\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{r_A}{r_B}$।
गोलीय चालक की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQ}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,विद्युत क्षेत्रों का अनुपात $\frac{E_A}{E_B} = \frac{kQ_A / r_A^2}{kQ_B / r_B^2} = \frac{Q_A}{Q_B} \times \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2$ है।
$\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{r_A}{r_B}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{E_A}{E_B} = \frac{r_A}{r_B} \times \frac{r_B^2}{r_A^2} = \frac{r_B}{r_A}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r_A = 1\, mm$ और $r_B = 2\, mm$ दिया गया है,इसलिए अनुपात $\frac{E_A}{E_B} = \frac{2\, mm}{1\, mm} = 2 : 1$ है।

(C) जब किसी चालक को आवेश दिया जाता है,तो समान आवेशों के बीच स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण के कारण यह पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर वितरित हो जाता है।
चालक के अंदर,विद्युत क्षेत्र $E$ शून्य होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र $E = -dV/dr$ होता है,यदि $E = 0$ है,तो चालक के पूरे आयतन में विभव $V$ स्थिर होना चाहिए।
इसलिए,चालक के अंदर प्रत्येक बिंदु पर और सतह पर विभव समान होता है,जिससे चालक एक समविभव आयतन बन जाता है।

(C) जब दो चालकों को तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विभव समान $(V_1 = V_2)$ न हो जाएं।
चूंकि गोलीय चालक का विभव $V = \frac{kQ}{r}$ होता है,इसलिए अंतिम आवेश $Q_1'$ और $Q_2'$ उनकी त्रिज्याओं के समानुपाती होंगे $(Q \propto r)$।
आवेश का पृष्ठ घनत्व $\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{4\pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$Q \propto r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sigma \propto \frac{r}{r^2} = \frac{1}{r}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sigma \propto \frac{1}{r}$ होने के कारण,बड़ी त्रिज्या $(20\, cm)$ वाले गोले पर छोटी त्रिज्या $(15\, cm)$ वाले गोले की तुलना में आवेश का पृष्ठ घनत्व कम होगा।

(A) जब दो चालक गोलों को एक तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विद्युत विभव समान न हो जाएँ। मान लीजिए कि गोलों $A$ और $B$ पर अंतिम आवेश क्रमशः $q_1$ और $q_2$ हैं और उनकी त्रिज्याएँ $R_1 = 1 \, mm$ और $R_2 = 2 \, mm$ हैं।
संतुलन की स्थिति में,विभव $V_A = V_B$ होता है।
$V_A = \frac{k q_1}{R_1}$ और $V_B = \frac{k q_2}{R_2}$।
चूंकि $V_A = V_B$,इसलिए $\frac{k q_1}{R_1} = \frac{k q_2}{R_2} \implies \frac{q_1}{q_2} = \frac{R_1}{R_2}$।
गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = \frac{k q}{R^2}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,विद्युत क्षेत्रों का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{k q_1 / R_1^2}{k q_2 / R_2^2} = \left( \frac{q_1}{q_2} \right) \left( \frac{R_2^2}{R_1^2} \right)$ होगा।
$\frac{q_1}{q_2} = \frac{R_1}{R_2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{R_1}{R_2} \right) \left( \frac{R_2^2}{R_1^2} \right) = \frac{R_2}{R_1}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $R_1 = 1 \, mm$ और $R_2 = 2 \, mm$ है,इसलिए अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{2}{1} = 2:1$ है।

(A) जब दो चालक गोलों को संपर्क में लाया जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विभव समान न हो जाएं।
मान लीजिए त्रिज्याएँ $R_1 = 10 \ cm$ और $R_2 = 20 \ cm$ हैं।
चूंकि विभव समान हैं,$V_1 = V_2 \implies \frac{kQ_1}{R_1} = \frac{kQ_2}{R_2}$।
इसका अर्थ है कि आवेशों का अनुपात $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{R_1}{R_2}$ है।
पृष्ठ आवेश घनत्व को $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,पृष्ठ आवेश घनत्व का अनुपात $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{Q_1}{4\pi R_1^2} \times \frac{4\pi R_2^2}{Q_2} = \frac{Q_1}{Q_2} \times \frac{R_2^2}{R_1^2}$ होगा।
$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{R_1}{R_2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{R_1}{R_2} \times \frac{R_2^2}{R_1^2} = \frac{R_2}{R_1}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $R_1 = 10 \ cm$ और $R_2 = 20 \ cm$ दिए गए हैं,अतः अनुपात $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{20}{10} = 2 : 1$ होगा।

(B) जब दो चालकों को एक सुचालक तार से जोड़ा जाता है,तो वे समान विद्युत विभव $V$ प्राप्त कर लेते हैं।
मान लीजिए कि गोलों $A$ और $B$ पर आवेश क्रमशः $Q_1$ और $Q_2$ हैं।
गोले की सतह पर विभव $V = k \cdot (Q/R)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि विभव समान हैं,इसलिए $k \cdot (Q_1 / R_1) = k \cdot (Q_2 / R_2)$,जिसका अर्थ है कि $Q_1 / Q_2 = R_1 / R_2$।
गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = k \cdot (Q / R^2)$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्रों का अनुपात $E_1 / E_2 = (Q_1 / R_1^2) / (Q_2 / R_2^2) = (Q_1 / Q_2) \cdot (R_2^2 / R_1^2)$ होगा।
$Q_1 / Q_2 = R_1 / R_2$ का मान रखने पर,हमें $E_1 / E_2 = (R_1 / R_2) \cdot (R_2^2 / R_1^2) = R_2 / R_1$ प्राप्त होता है।

(D) गोलीय कोश के लिए,अंदर का विद्युत विभव $V$ स्थिर होता है और सतह पर विभव के बराबर होता है। यदि कोश को बाहरी विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो कोश की सतह पर आवेश प्रेरित होते हैं। ये प्रेरित आवेश कोश के अंदर एक ऐसा विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं जो बाहरी विद्युत क्षेत्र को पूरी तरह से रद्द कर देता है,जिसके परिणामस्वरूप चालक के अंदर शुद्ध विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाता है (इलेक्ट्रोस्टैटिक शील्डिंग)। हालाँकि,प्रेरित आवेश स्वयं कोश के अंदर विद्युत विभव में योगदान करते हैं। कोश के अंदर किसी भी बिंदु पर प्रेरित आवेशों के कारण विभव का शून्य होना आवश्यक नहीं है; यह ऐसा होता है कि यह अंदर के कुल विभव को स्थिर रखता है। इसलिए,कथन $C$ गलत है। कथन $A$ गलत है क्योंकि बाहरी क्षेत्र में रखे जाने पर उदासीन होने के बावजूद कोश का विभव गैर-शून्य हो सकता है। कथन $B$ गलत है क्योंकि चालक कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र इलेक्ट्रोस्टैटिक संतुलन के कारण शून्य होता है,चाहे आवेश वितरण समान हो या असमान। इसलिए,सही उत्तर $D$ है।

(D) चालकों के मूलभूत गुणों से,हम जानते हैं कि चालक को दिया गया कोई भी आवेश पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर रहता है।
चूंकि चालक स्थिरवैद्युत संतुलन में है,इसलिए सामग्री के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,जिसका अर्थ है कि पूरा चालक एक समविभव आयतन है।
इसलिए,चालक के सभी बिंदुओं (सतह सहित) का विभव समान होना चाहिए।
चूंकि चालक का आकार अनियमित है,इसलिए सतह आवेश घनत्व $\sigma$ समान नहीं होता है और यह सतह की स्थानीय वक्रता पर निर्भर करता है।
अतः,कथन $A$ और $B$ सही हैं,जबकि कथन $C$ गलत है।

(C) एक चालक गोले के लिए, चालक के पदार्थ के भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
चूंकि $E = -\frac{dV}{dr} = 0$, इसलिए चालक के पूरे आयतन में विभव $V$ स्थिर होना चाहिए।
अतः, आंतरिक सतह (त्रिज्या $a$) और बाहरी सतह (त्रिज्या $b$) पर विभव समान होना चाहिए।
गोले पर किसी भी बिंदु पर विभव $V$ की गणना करते हैं।
आंतरिक सतह आवेश $q_{in} = -\sigma(4\pi a^2)$ और बाहरी सतह आवेश $q_{out} = \sigma(4\pi b^2)$ के कारण $r$ दूरी पर $(a \le r \le b)$ विभव है:
$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q_{in}}{r} + \frac{q_{out}}{b} \right]$
$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{-\sigma(4\pi a^2)}{r} + \frac{\sigma(4\pi b^2)}{b} \right] = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (b - \frac{a^2}{r})$.
बाहरी सतह पर $(r=b)$, $V = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (b - \frac{a^2}{b}) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 b} (b^2 - a^2)$.
हालाँकि, एक चालक के संदर्भ में, विभव एकसमान होता है। इसलिए, दोनों सतहों का विभव समान है। अतः, विकल्प $C$ सही है।

(A) जब एक चालक गोले को अर्थिंग किया जाता है,तो उसका विभव शून्य हो जाता है।
चूंकि पूरे चालक का विभव समान होना चाहिए,इसलिए पूरे गोले का विभव शून्य हो जाता है।
मान लीजिए $q_{in} = -4\pi a^2 \sigma$ आंतरिक सतह पर आवेश है और $q_{out} = 4\pi b^2 \sigma'$ बाहरी सतह पर आवेश है।
गोले की सतह पर विभव $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{q_{in}}{b} + \frac{q_{out}}{b} \right) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है $q_{in} + q_{out} = 0$,इसलिए $q_{out} = -q_{in}$।
चूंकि $q_{in}$ ऋणात्मक है,इसलिए $q_{out}$ धनात्मक होना चाहिए।
यदि गोला शुरू में इस तरह आवेशित था कि $q_{out} \neq -q_{in}$,तो इसे अर्थिंग करने से पृथ्वी से बाहरी सतह पर आवेश प्रवाहित होता है जब तक कि कुल विभव शून्य न हो जाए।
इस प्रकार,बाहरी सतह पर आवेश $q_{out} = -q_{in} = 4\pi a^2 \sigma$ हो जाता है।
चूंकि पूरे चालक का विभव शून्य है,बाहरी सतह पर आवेश अब प्रारंभिक $\sigma'$ द्वारा निर्धारित नहीं होता है,बल्कि इस शर्त द्वारा निर्धारित होता है कि कुल विभव शून्य है।
इसलिए,बाहरी सतह पर आवेश $4\pi a^2 \sigma$ हो जाता है,जो धनात्मक है।
इस प्रकार,पूरे गोले का विभव शून्य हो जाता है,और बाहरी सतह पर आवेश आंतरिक आवेश के प्रभाव को बेअसर करने के लिए बदल जाता है।

(C) जब दो चालकों को एक चालक तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विभव समान न हो जाएं। अतः,$V_A = V_B$ होगा।
विभव के सूत्र $V = \frac{KQ}{r}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{KQ_A}{r_A} = \frac{KQ_B}{r_B}$
$\Rightarrow \frac{Q_A}{r_A} = \frac{Q_B}{r_B} \Rightarrow \frac{Q_A}{Q_B} = \frac{r_A}{r_B}$
गोलाकार चालक की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{KQ}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्रों $E_A$ और $E_B$ का अनुपात है:
$\frac{E_A}{E_B} = \frac{K Q_A / r_A^2}{K Q_B / r_B^2} = \frac{Q_A}{Q_B} \times \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2$
समीकरण में $\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{r_A}{r_B}$ रखने पर:
$\frac{E_A}{E_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right) \times \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2 = \frac{r_B}{r_A}$
यहाँ $r_A = 1 \ mm$ और $r_B = 2 \ mm$ दिया गया है:
$\frac{E_A}{E_B} = \frac{2 \ mm}{1 \ mm} = \frac{2}{1} = 2 : 1$
चूंकि गोलों के बीच की दूरी उनके व्यास की तुलना में बहुत अधिक है,इसलिए प्रेरित प्रभावों को नजरअंदाज किया जा सकता है।

(A) जब एक धात्विक छड़ को बाएं से दाएं दिशा में एकसमान बाहरी विद्युत क्षेत्र $E_0$ में रखा जाता है,तो धातु में मौजूद मुक्त इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में (अर्थात बाएं सिरे $A$ की ओर) बल का अनुभव करते हैं।
परिणामस्वरूप,ऋणात्मक आवेश सिरे $A$ पर जमा हो जाते हैं और धनात्मक आवेश सिरे $B$ पर रह जाते हैं।
यह आवेश पृथक्करण छड़ के अंदर एक प्रेरित विद्युत क्षेत्र $E_{in}$ बनाता है,जो धनात्मक सिरे $B$ से ऋणात्मक सिरे $A$ की ओर निर्देशित होता है।
इसलिए,सही विकल्प यह है कि छड़ के अंदर $B$ से $A$ की ओर एक प्रेरित विद्युत क्षेत्र होगा।

(D) स्थिरवैद्युत संतुलन में एक चालक पदार्थ के लिए,पदार्थ के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। इसका तात्पर्य यह है कि चालक के पूरे आयतन में विभव स्थिर रहता है।
बिंदु $A$ और $B$ चालक गोले के पदार्थ के भीतर स्थित हैं,इसलिए $V_A = V_B$ है।
इसके अलावा,यदि खोखले चालक की गुहा (cavity) के अंदर कोई आवेश नहीं है,तो गुहा के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। चूंकि विद्युत क्षेत्र $E = -dV/dr = 0$ है,इसलिए विभव $V$ पूरी गुहा में स्थिर होना चाहिए और यह चालक की आंतरिक सतह पर विभव के बराबर होता है।
अतः,सभी बिंदुओं $O, C, A$ और $B$ पर विभव समान है,अर्थात $V_O = V_C = V_A = V_B$।

(A) मान लीजिए कि चालक कवच पर कुल अतिरिक्त आवेश $q$ है।
केंद्र में स्थित $+Q$ बिंदु आवेश के कारण,कवच की आंतरिक सतह पर $-Q$ का प्रेरित आवेश उत्पन्न होता है।
आंतरिक सतह पर आवेश घनत्व $\sigma_{in} = \frac{-Q}{4 \pi a^2}$ है।
चूंकि कवच पर कुल आवेश $q$ है,इसलिए बाहरी सतह पर आवेश $q_{out} = q - (-Q) = q + Q$ होगा।
बाहरी सतह पर आवेश घनत्व $\sigma_{out} = \frac{q + Q}{4 \pi (2a)^2} = \frac{q + Q}{16 \pi a^2}$ है।
आवेश घनत्व समान होने के लिए,हम $\sigma_{in} = \sigma_{out}$ रखते हैं:
$\frac{-Q}{4 \pi a^2} = \frac{q + Q}{16 \pi a^2}$
$-Q = \frac{q + Q}{4}$
$-4Q = q + Q$
$q = -5Q$.

(D) जब किसी चालक की गुहा के भीतर एक आवेश $q$ रखा जाता है,तो यह गुहा की आंतरिक सतह पर $-q$ आवेश और चालक की बाहरी सतह पर $+q$ आवेश प्रेरित करता है।
चूंकि चालक अनावेशित है,इसलिए बाहरी सतह पर कुल आवेश $+q$ रहता है।
यदि चालक गोलीय है,तो गुहा के भीतर आवेश $q$ की स्थिति चाहे जो भी हो,बाहरी सतह पर यह प्रेरित $+q$ आवेश समान रूप से वितरित रहता है।
चालक के बाहर किसी भी बिंदु $S$ पर विद्युत क्षेत्र बाहरी सतह पर मौजूद इस कुल प्रेरित $+q$ आवेश के कारण होता है।
चूंकि गुहा के भीतर आंतरिक आवेश $q$ को स्थानांतरित करने पर बाहरी सतह पर $+q$ आवेश का वितरण नहीं बदलता है,इसलिए बिंदु $S$ पर विद्युत क्षेत्र अपरिवर्तित रहता है।

(D) एक आवेशित चालक की सतह पर स्थिर विद्युत दाब $P = \frac{\sigma^2}{2\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है।
$R$ त्रिज्या के गोले पर कुल आवेश $Q$ होने के कारण,पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ है।
अतः,दाब $P = \frac{1}{2\epsilon_0} \left( \frac{Q}{4\pi R^2} \right)^2 = \frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4}$ है।
दोनों भागों को एक साथ जोड़े रखने के लिए आवश्यक बल,अनुप्रस्थ काट के तल के लंबवत दाब के घटक का समाकलन है। यह दाब और अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होता है।
तल द्वारा निर्मित वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट की त्रिज्या $r = \sqrt{R^2 - h^2}$ है।
इस अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi(R^2 - h^2)$ है।
कुल बल $F = P \times A = \left( \frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4} \right) \times \pi(R^2 - h^2) = \frac{Q^2(R^2 - h^2)}{32\pi \epsilon_0 R^4}$.

(C) $1$. मान लीजिए आंतरिक कोश $A$ पर आवेश $+Q$ है। प्रेरण के कारण,कोश $B$ की आंतरिक सतह पर $-Q$ आवेश प्रेरित होता है।
$2$. चूंकि कोश $B$ भू-संपर्कित है,इसका विभव शून्य है। $B$ पर विभव $A$ पर स्थित आवेश और $B$ पर स्थित आवेश के कारण होता है। भू-संपर्कन के कारण,बाहरी सतह पर आवेश शून्य हो जाता है,और $B$ पर कुल आवेश $-Q$ रहता है।
$3$. $A$ के अंदर विद्युत क्षेत्र $(r < r_A)$: गॉस के नियम के अनुसार,$E = 0$ क्योंकि परिबद्ध आवेश शून्य है।
$4$. $A$ और $B$ के बीच विद्युत क्षेत्र $(r_A < r < r_B)$: $E = kQ/r^2$,जो शून्य नहीं है।
$5$. $B$ के बाहर विद्युत क्षेत्र $(r > r_B)$: चूंकि कोश $B$ भू-संपर्कित है,बाहरी सतह पर आवेश शून्य है। अतः,$E = 0$ है।
$6$. विकल्पों की तुलना करने पर: विकल्प $C$ सही है क्योंकि $A$ और $B$ के बीच विद्युत क्षेत्र शून्य नहीं है।

(D) $1$. कोटर के अंदर का आवेश $+q_1$,कोटर की आंतरिक सतह पर $-q_1$ आवेश प्रेरित करता है। चूंकि $+q_1$ केंद्र पर नहीं है,इसलिए यह प्रेरित आवेश $-q_1$ आंतरिक सतह पर समान रूप से वितरित नहीं होता है।
$2$. आंतरिक सतह पर कुल आवेश $-q_1$ है। इस प्रेरित आवेश $-q_1$ द्वारा गोले के बाहर किसी भी बिंदु पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र,गोले के केंद्र पर रखे गए बिंदु आवेश $-q_1$ के क्षेत्र के बराबर होता है।
$3$. आवेश $+q_2$ गोले के बाहर है। $+q_2$ की स्थिति पर कुल विद्युत क्षेत्र $+q_1$ के कारण क्षेत्र,आंतरिक सतह पर प्रेरित $-q_1$ के कारण क्षेत्र और बाहरी सतह पर प्रेरित आवेश के कारण क्षेत्र का योग है।
$4$. हालांकि,स्थिर-वैद्युत परिरक्षण (electrostatic shielding) के कारण,कोटर के अंदर के आवेशों (अर्थात $+q_1$ और आंतरिक सतह पर प्रेरित $-q_1$) द्वारा गोले के बाहर किसी भी बिंदु पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
$5$. इसलिए,आंतरिक सतह पर प्रेरित आवेश के कारण $+q_2$ पर लगने वाला बल शून्य है।

(C) मान लीजिए कि आंतरिक कोश की त्रिज्या $R$ और बाहरी कोश की त्रिज्या $2R$ है।
कोशों को जोड़ने से पहले:
आंतरिक कोश का विभव $V_{\text{inner}} = \frac{kQ}{R} + \frac{k(0)}{2R} = \frac{kQ}{R}$ है।
बाहरी कोश का विभव $V_{\text{outer}} = \frac{kQ}{2R} + \frac{k(0)}{2R} = \frac{kQ}{2R}$ है।
विभवांतर $V = V_{\text{inner}} - V_{\text{outer}} = \frac{kQ}{R} - \frac{kQ}{2R} = \frac{kQ}{2R}$ है।
अतः,$V = \frac{kQ}{2R}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{kQ}{R} = 2V$ है।
जब कोशों को धातु के तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश $Q$ आंतरिक कोश से बाहरी कोश की ओर तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि दोनों कोश समान विभव प्राप्त न कर लें। चूंकि बाहरी कोश अब आंतरिक कोश से जुड़ा हुआ है,इसलिए पूरा आवेश $Q$ बाहरी कोश की बाहरी सतह पर रहता है।
आंतरिक कोश का विभव (जो अब बाहरी कोश के विभव के बराबर है) $V' = \frac{kQ}{2R}$ है।
चूंकि $V = \frac{kQ}{2R}$,इसलिए आंतरिक कोश का विभव $V' = V$ होगा।

(B) मान लीजिए बड़े गोले की त्रिज्या $R$ और प्रारंभिक आवेश $Q$ है। छोटे गोलों की त्रिज्या $r$ है।
जब पहले गोले को जोड़ा जाता है,तो बड़े गोले और छोटे गोले का विभव समान होना चाहिए। मान लीजिए बड़े गोले पर नया आवेश $Q'$ और छोटे गोले पर $q_1$ है। चूंकि गोले एक-दूसरे से दूर हैं,हम दूसरे गोले के कारण विभव को अनदेखा कर सकते हैं: $\frac{q_1}{r} = \frac{Q'}{R}$।
आवेश संरक्षण के नियम के अनुसार,$q_1 + Q' = Q$।
$Q' = Q - q_1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{q_1}{r} = \frac{Q - q_1}{R}$ मिलता है,जो सरल होकर $q_1 = \frac{Q r}{R + r}$ हो जाता है।
बड़े गोले पर शेष आवेश $Q' = Q - q_1 = Q - \frac{Q r}{R + r} = \frac{Q R}{R + r}$ है।
जब दूसरे गोले को जोड़ा जाता है,तो बड़े गोले पर $Q'$ आवेश होता है। मान लीजिए बड़े गोले पर नया आवेश $Q''$ और दूसरे गोले पर $q_2$ है। अतः $\frac{q_2}{r} = \frac{Q''}{R}$ और $q_2 + Q'' = Q'$।
इसे हल करने पर $q_2 = \frac{Q' r}{R + r} = \frac{Q R r}{(R + r)^2}$ प्राप्त होता है।
बड़े गोले पर शेष आवेश $Q'' = Q' - q_2 = Q' - \frac{Q' r}{R + r} = \frac{Q' R}{R + r} = \frac{Q R^2}{(R + r)^2}$ है।
जब तीसरे गोले को जोड़ा जाता है,तो प्राप्त आवेश $q_3 = \frac{Q'' r}{R + r} = \frac{Q R^2 r}{(R + r)^3}$ है।
अब,अनुपात $\frac{q_2^2}{q_1} = \frac{[\frac{Q R r}{(R + r)^2}]^2}{\frac{Q r}{R + r}} = \frac{Q^2 R^2 r^2}{(R + r)^4} \cdot \frac{R + r}{Q r} = \frac{Q R r}{(R + r)^3} = q_3$ होता है।

(B) निकाय की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $(U_i)$:
$U_i = U_{\text{sphere}} + U_{\text{shell}} + U_{\text{interaction}}$
$U_i = \frac{KQ^2}{2a} + \frac{KQ^2}{2(2a)} + \frac{KQ \cdot Q}{2a} = \frac{KQ^2}{2a} + \frac{KQ^2}{4a} + \frac{KQ^2}{2a} = \frac{5KQ^2}{4a}$
जब उन्हें जोड़ा जाता है, तो कुल आवेश $2Q$ बाहरी खोल पर चला जाता है क्योंकि आंतरिक गोला उच्च विभव पर होता है।
निकाय की अंतिम स्थितिज ऊर्जा $(U_f)$:
$U_f = \frac{K(2Q)^2}{2(2a)} = \frac{4KQ^2}{4a} = \frac{KQ^2}{a}$
उत्पन्न ऊष्मा $(H)$ = $U_i - U_f$
$H = \frac{5KQ^2}{4a} - \frac{KQ^2}{a} = \frac{KQ^2}{4a}$

(A) मान लीजिए कि आंतरिक सतह पर आवेश $q_{in}$ है और बाहरी सतह पर आवेश $q_{out}$ है।
केंद्र पर $+Q$ बिंदु आवेश के कारण, आंतरिक सतह पर प्रेरित आवेश $q_{in} = -Q$ होगा।
आंतरिक सतह पर आवेश घनत्व $\sigma_{in} = \frac{-Q}{4 \pi a^2}$ है।
मान लीजिए कि कवच का कुल आवेश $q_{shell}$ है। चूँकि $q_{shell} = q_{in} + q_{out}$, इसलिए $q_{out} = q_{shell} - q_{in} = q_{shell} + Q$ होगा।
बाहरी सतह पर आवेश घनत्व $\sigma_{out} = \frac{q_{shell} + Q}{4 \pi (2a)^2} = \frac{q_{shell} + Q}{16 \pi a^2}$ है।
आवेश घनत्व समान होने के लिए, $\sigma_{in} = \sigma_{out}$:
$\frac{-Q}{4 \pi a^2} = \frac{q_{shell} + Q}{16 \pi a^2}$.
$-Q = \frac{q_{shell} + Q}{4}$.
$-4Q = q_{shell} + Q$.
$q_{shell} = -5Q$.

(D) कोश प्रमेय (shell theorem) और स्थिरवैद्युत संतुलन में चालकों के गुणों के अनुसार,एक समान रूप से आवेशित गोलीय कोश के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
भले ही बाहरी आवेश $q'$ की उपस्थिति के कारण कोश पर आवेश समान रूप से वितरित न हो,कोश पर स्थित आवेश $Q$ स्वयं को इस प्रकार पुनर्वितरित करेगा कि इसके अंदर किसी भी बिंदु पर कोश द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र शून्य हो।
चूंकि केंद्र पर कोश के कारण विद्युत क्षेत्र शून्य है,इसलिए कोश द्वारा केंद्रीय आवेश $q$ पर लगाया गया बल $F = qE = q(0) = 0$ होगा।

(D) $1$. परिभाषा के अनुसार,भू-संपर्कित (earthed) चालक का विभव हमेशा $0 \ V$ होता है। इसलिए,कथन $(B)$ सही है।
$2$. जब एक आवेशित वस्तु $A$ को दूसरे चालक $B$ के पास रखा जाता है,तो $A$ का विद्युत क्षेत्र $B$ पर आवेश प्रेरित करता है। $A$ के विद्युत क्षेत्र की उपस्थिति के कारण,$A$ पर आवेश $B$ के सामने वाली सतह की ओर आकर्षित होगा,जिससे $A$ पर आवेश का वितरण असमान हो जाएगा। इसलिए,कथन $(D)$ सही है।
$3$. चूँकि कथन $(B)$ और $(D)$ सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(A) मान लीजिए कि चार प्लेटों पर आवेश $Q_1 = Q$, $Q_2 = 2Q$, $Q_3 = -3Q$, और $Q_4 = -4Q$ हैं।
जब प्लेटें अलग-थलग होती हैं, तो बाहरी सतहों पर आवेश $(Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4)/2 = (Q + 2Q - 3Q - 4Q)/2 = -2Q$ होता है।
इस प्रकार, पहली प्लेट की बाहरी सतह पर $-2Q$ और चौथी प्लेट की बाहरी सतह पर $-2Q$ आवेश है।
परिणामस्वरूप, पहली प्लेट की आंतरिक सतह पर $Q - (-2Q) = 3Q$ आवेश है।
चूंकि प्लेटें धातु की हैं, इसलिए दूसरी प्लेट की आंतरिक सतह पर $-3Q$ आवेश होना चाहिए।
दूसरी प्लेट पर कुल आवेश $2Q$ है, इसलिए इसकी बाहरी सतह पर $2Q - (-3Q) = 5Q$ आवेश है।
इसी प्रकार, तीसरी प्लेट की आंतरिक सतह पर $-5Q$ आवेश है।
तीसरी प्लेट पर कुल आवेश $-3Q$ है, इसलिए इसकी बाहरी सतह पर $-3Q - (-5Q) = 2Q$ आवेश है।
जब बीच की दो प्लेटों को तार से जोड़ा जाता है, तो वे समान विभव प्राप्त कर लेती हैं।
जुड़ने से पहले, दूसरी प्लेट की दाईं सतह पर $5Q$ और तीसरी प्लेट की बाईं सतह पर $-5Q$ आवेश है।
जब उन्हें जोड़ा जाता है, तो ये आवेश उदासीन हो जाते हैं। इसलिए, $5Q$ आवेश $A$ से $B$ की ओर प्रवाहित होगा।

(D) एक खोखला चालक गोला एक समविभव आयतन के रूप में कार्य करता है।
चूंकि चालक का संपूर्ण पदार्थ समान विभव पर होता है,इसलिए सतह पर किसी भी बिंदु ($A$ और $B$) और गुहा के अंदर किसी भी बिंदु $(C)$ पर विभव समान होना चाहिए।
अतः,$V_A = V_B = V_C$।

(D) एक चालक एक समविभव पिंड होता है। चालक के अंदर या सतह पर किसी भी बिंदु पर विभव उसके केंद्र पर विभव के समान होता है।
मान लीजिए $V_c$ चालक के केंद्र पर विभव है। केंद्र पर विभव बाहरी आवेश $q$ और चालक की सतह पर प्रेरित आवेशों के कारण होता है।
आवेश $q$ से केंद्र की दूरी $(d+R)$ है।
चूंकि चालक उदासीन है,इसलिए इस पर कुल आवेश शून्य है। चालक का विभव स्थिर होता है और यह बाहरी आवेश $q$ के कारण केंद्र पर विभव के बराबर होता है,जो $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{(d+R)}$ है।
अब,बिंदु $B$ (सतह पर) पर विभव पर विचार करें। $V_B = V_{q,B} + V_{ind,B} = V_{conductor}$.
$V_{q,B} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{d}$.
अतः,$V_{ind,B} = V_{conductor} - V_{q,B} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{d+R} - \frac{q}{d} \right) = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{d - (d+R)}{d(d+R)} \right) = \frac{-qR}{4\pi \varepsilon_0 d(d+R)}$.
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(A) स्थिर-वैद्युत प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार,जब $+Q$ और $-Q$ आवेशों को एक उदासीन चालक गोलीय कोश की गुहा के अंदर रखा जाता है,तो कोश के पदार्थ के ठीक अंदर खींचे गए गाऊसी सतह द्वारा घिरा कुल आवेश $Q_{net} = (+Q) + (-Q) = 0$ होता है।
चूंकि घिरा हुआ कुल आवेश शून्य है,इसलिए आंतरिक सतह पर कुल प्रेरित आवेश $Q_1 = 0$ होना चाहिए। चूंकि आवेशों को असममित रूप से रखा गया है,इसलिए आंतरिक सतह पर आवेश का वितरण असमान है,जिसका अर्थ है कि पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma_1 \neq 0$ है।
बाहरी सतह के लिए,चूंकि कोश उदासीन है और गुहा के अंदर कुल आवेश शून्य है,इसलिए बाहरी सतह पर कोई आवेश प्रेरित नहीं होता है। अतः,बाहरी सतह पर कुल आवेश $Q_2 = 0$ और पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma_2 = 0$ है।

(C) गोले के केंद्र पर विभव मूल बिंदु पर स्थित बिंदु आवेश के कारण होता है। चूंकि गोला एक चालक है,इसलिए इसके पूरे आयतन में विभव स्थिर रहता है और यह इसके केंद्र पर विभव के बराबर होता है।
$V = \frac{kq}{r} = \frac{9 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-2}} = 2.25 \times 10^5\,V$.
चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। हालांकि,प्रश्न में केंद्र पर प्रेरित विद्युत क्षेत्र पूछा गया है। केंद्र पर कुल विद्युत क्षेत्र बिंदु आवेश के कारण क्षेत्र $(E_{ext})$ और गोले की सतह पर प्रेरित आवेशों के कारण क्षेत्र $(E_{ind})$ का योग है।
चूंकि चालक के अंदर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,इसलिए $E_{net} = E_{ext} + E_{ind} = 0$.
$E_{ext} = \frac{kq}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-6}}{(4 \times 10^{-2})^2} = 5.625 \times 10^6\,V/m$ (मूल बिंदु से दूर की दिशा में)।
इसलिए,$E_{ind} = -E_{ext} = -5.625 \times 10^6\,V/m$।

(A) जब एक अनावेशित चालक को धनावेशित चालक के पास रखा जाता है,तो स्थिर-वैद्युत प्रेरण (electrostatic induction) होता है।
प्रेरण के कारण,धनावेशित पिंड के निकट वाले हिस्से पर ऋणात्मक आवेश और दूर वाले हिस्से पर धनात्मक आवेश प्रेरित हो जाते हैं।
अनावेशित चालक पर या उसके अंदर किसी भी बिंदु पर विभव,बाहरी धनावेशित चालक और प्रेरित आवेशों के कारण उत्पन्न विभव का योग होता है।
चूंकि अनावेशित चालक धनावेश के पास है,इसलिए इसका विभव धनात्मक होता है लेकिन धनावेशित चालक के विभव से कम होता है।
जैसे-जैसे हम अनंत की ओर बढ़ते हैं,निकाय का विभव $0$ के करीब पहुंच जाता है।
अतः,अनावेशित पिंड का विभव आवेशित चालक से कम और अनंत पर विभव (जो $0$ है) से अधिक होता है।

(A) आवेशों के निकाय की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} \sum q_i V_i$ द्वारा दी जाती है।
चालक के लिए,आवेश परस्पर प्रतिकर्षण का अनुभव करते हैं।
निकाय की कुल स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा को न्यूनतम करने के लिए,आवेश एक-दूसरे से यथासंभव दूर चले जाते हैं।
यह विन्यास तब प्राप्त होता है जब आवेश चालक की बाहरी सतह पर स्थित होते हैं।
इसलिए,मुक्त आवेश अपनी न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा की स्थिति में रहने की प्रवृत्ति रखता है।

(B) $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले गोलाकार चालक की सतह पर विभव $V = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि $R_1$ और $R_2$ त्रिज्या वाले दो गोलों पर आवेश क्रमशः $Q_1$ और $Q_2$ हैं।
जब इन दो गोलाकार चालकों को एक तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि उनके विभव समान न हो जाएं,अर्थात $V_1 = V_2$।
चूंकि पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{4 \pi R^2}$ है,इसलिए $Q = \sigma \cdot 4 \pi R^2$ होगा।
इस मान को विभव के सूत्र में रखने पर: $V = \frac{\sigma \cdot 4 \pi R^2}{4 \pi \varepsilon_0 R} = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$।
दोनों के विभव की तुलना करने पर: $\frac{\sigma_1 R_1}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma_2 R_2}{\varepsilon_0}$।
अतः,पृष्ठीय आवेश घनत्व का अनुपात $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{R_2}{R_1}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि बाईं और दाईं प्लेटों की बाहरी सतहों पर आवेश क्रमशः $q_1$ और $q_2$ हैं। समानांतर प्लेटों की प्रणाली के लिए,सबसे बाहरी सतहों पर आवेश $q_{outer} = \frac{q_{total}}{2} = \frac{q + 0 + (-2q)}{2} = -\frac{q}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रकार,बाईं प्लेट की बाईं सतह पर आवेश $-q/2$ है और दाईं प्लेट की दाईं सतह पर आवेश $-q/2$ है।
चूंकि बाईं प्लेट पर कुल आवेश $+q$ है,इसलिए इसकी दाईं सतह पर आवेश $q - (-q/2) = +3q/2$ होगा।
चूंकि दाईं प्लेट पर कुल आवेश $-2q$ है,इसलिए इसकी बाईं सतह पर आवेश $-2q - (-q/2) = -3q/2$ होगा।
जब स्विच $S$ बंद किया जाता है,तो केंद्रीय प्लेट को ग्राउंड कर दिया जाता है,जिससे इसका विभव शून्य हो जाता है। मान लीजिए केंद्रीय प्लेट पर आवेश $Q_c$ है। केंद्रीय प्लेट के धातु के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होना चाहिए। इस गुण का उपयोग करते हुए कि आसन्न प्लेटों की आमने-सामने की सतहों पर आवेशों का योग शून्य होता है,केंद्रीय प्लेट की बाईं सतह पर आवेश $-3q/2$ और दाईं सतह पर आवेश $+3q/2$ होगा।
केंद्रीय प्लेट पर कुल आवेश $Q_c = (-3q/2) + (+3q/2) = 0$ होता है। हालांकि,विभव को शून्य करने के लिए,अंतिम आवेश $Q_c = -q$ प्राप्त होता है। अतः,स्विच से प्रवाहित होने वाला आवेश $-q$ है।