Effect of Dielectric Inside Capacitor Questions in Hindi

(B) प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 15\ \mu F$ है।
परावैद्युत स्लैब वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ है।
यहाँ $d = 2\ mm = 2 \times 10^{-3}\ m$,$t = 1\ mm = 1 \times 10^{-3}\ m$,और $K = 2$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$C' = \frac{\varepsilon_0 A}{2 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3} + \frac{1 \times 10^{-3}}{2}}$
$C' = \frac{\varepsilon_0 A}{1 \times 10^{-3} + 0.5 \times 10^{-3}} = \frac{\varepsilon_0 A}{1.5 \times 10^{-3}}$.
चूंकि $C = \frac{\varepsilon_0 A}{2 \times 10^{-3}} = 15\ \mu F$,इसलिए $\varepsilon_0 A = 15 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3} = 30 \times 10^{-9}$।
अतः,$C' = \frac{30 \times 10^{-9}}{1.5 \times 10^{-3}} = 20 \times 10^{-6}\ F = 20\ \mu F$।

(B) हवा वाले संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 1\,pF$ है।
जब दूरी को दोगुना $(d' = 2d)$ कर दिया जाता है और उनके बीच $K$ परावैद्युतांक वाला माध्यम भर दिया जाता है,तो नई धारिता $C' = \frac{K \epsilon_0 A}{d'}$ होती है।
समीकरण में $d' = 2d$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $C' = \frac{K \epsilon_0 A}{2d} = \frac{K}{2} \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right) = \frac{K}{2} C$.
यहाँ $C' = 2\,pF$ और $C = 1\,pF$ दिया गया है,इसलिए $2 = \frac{K}{2} \times 1$.
$K$ के लिए हल करने पर,हमें $K = 2 \times 2 = 4$ प्राप्त होता है।

(D) संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V = E \cdot d$ द्वारा दिया जाता है। जब $t$ मोटाई की परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नया विभवांतर $V' = E(d - t + t/K)$ होता है।
समान वोल्टेज $V = V'$ बनाए रखने के लिए,$d = d - t + t/K$ होता है,जिसे सरल करने पर $t(1 - 1/K) = d_{new} - d_{old}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,दूरी में वृद्धि $d' = t(1 - 1/K)$ है।
$K$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $d'/t = 1 - 1/K$,इसलिए $1/K = 1 - d'/t = (t - d')/t$।
अतः,$K = t / (t - d')$।
दिया गया है $t = 4 \times 10^{-5} \ m$ और $d' = 3.5 \times 10^{-5} \ m$:
$K = (4 \times 10^{-5}) / (4 \times 10^{-5} - 3.5 \times 10^{-5})$
$K = 4 / 0.5 = 8$.

(D) जब संधारित्र को बैटरी से अलग कर दिया जाता है,तो आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
प्रारंभिक स्थिति: $K_1 = 3$,$Q_1 = Q_0$,$V_1 = V_0 = Q_0/C_1$,$E_1 = E_0 = V_0/d$।
नई स्थिति: $K_2 = 9$,$Q_2 = Q_0$ (क्योंकि संधारित्र अलग है)।
नई धारिता $C_2 = K_2 C_0 = 9 C_0$ है,जहाँ $C_0$ निर्वात में धारिता है।
नया वोल्टेज $V_2 = Q_0 / C_2 = Q_0 / (9 C_0) = (Q_0 / 3 C_0) / 3 = V_0 / 3$ होगा।
नया विद्युत क्षेत्र $E_2 = V_2 / d = (V_0 / 3) / d = E_0 / 3$ होगा।
अतः,नए मान $Q_0, V_0/3, E_0/3$ हैं।

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
जब $t = \frac{d}{4}$ मोटाई और $\varepsilon_r$ सापेक्ष विद्युतशीलता वाली एक परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C$ का सूत्र है:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{\varepsilon_r}}$
समीकरण में $t = \frac{d}{4}$ रखने पर:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - \frac{d}{4} + \frac{d/4}{\varepsilon_r}} = \frac{\varepsilon_0 A}{\frac{3d}{4} + \frac{d}{4\varepsilon_r}} = \frac{\varepsilon_0 A}{\frac{d(3\varepsilon_r + 1)}{4\varepsilon_r}}$
$C = \frac{4\varepsilon_r \varepsilon_0 A}{d(3\varepsilon_r + 1)}$
चूंकि $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$,हम लिख सकते हैं:
$C = C_0 \left( \frac{4\varepsilon_r}{3\varepsilon_r + 1} \right)$
अतः,अनुपात $\frac{C}{C_0} = \frac{4\varepsilon_r}{3\varepsilon_r + 1}$ है।

(C) संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $Q_i = C \times V = 10 \ \mu F \times 12 \ V = 120 \ \mu C$ है।
जब $K = 5$ परावैद्युतांक वाला परावैद्युत स्लैब डाला जाता है,तो नई धारिता $C' = K \times C = 5 \times 10 \ \mu F = 50 \ \mu F$ हो जाती है।
संधारित्र पर अंतिम आवेश $Q_f = C' \times V = 50 \ \mu F \times 12 \ V = 600 \ \mu C$ है।
बैटरी से प्रवाहित होने वाला अतिरिक्त आवेश $\Delta Q = Q_f - Q_i = 600 \ \mu C - 120 \ \mu C = 480 \ \mu C$ है।

(B) यह निकाय दो भागों से बना है जो श्रेणीक्रम (series) में हैं: ऊपरी भाग (जिसमें $K_1$ और $K_2$ समानांतर में हैं) और निचला भाग (जिसमें $K_3$ है)।
$1$. ऊपरी भाग में दो संधारित्र समानांतर में हैं,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $A/2$ और दूरी $d/2$ है। उनकी समतुल्य धारिता $C_{top} = \frac{\epsilon_0 (A/2) K_1}{d/2} + \frac{\epsilon_0 (A/2) K_2}{d/2} = \frac{\epsilon_0 A}{d} (K_1 + K_2)$ है।
$2$. निचला भाग एक संधारित्र है जिसका क्षेत्रफल $A$ और दूरी $d/2$ है,जिसमें परावैद्युत $K_3$ भरा है। इसकी धारिता $C_{bottom} = \frac{\epsilon_0 A K_3}{d/2} = \frac{2 \epsilon_0 A K_3}{d}$ है।
$3$. चूंकि ये दोनों भाग श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए समतुल्य धारिता $C_{eq}$ के लिए $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_{top}} + \frac{1}{C_{bottom}}$ होगा।
$4$. मान रखने पर: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d}{\epsilon_0 A (K_1 + K_2)} + \frac{d}{2 \epsilon_0 A K_3} = \frac{d}{\epsilon_0 A} \left[ \frac{1}{K_1 + K_2} + \frac{1}{2K_3} \right]$।
$5$. पूरे निकाय की समतुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ है।
$6$. $1/C_{eq}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{d}{K \epsilon_0 A} = \frac{d}{\epsilon_0 A} \left[ \frac{1}{K_1 + K_2} + \frac{1}{2K_3} \right]$।
$7$. अतः,$\frac{1}{K} = \frac{1}{K_1 + K_2} + \frac{1}{2K_3}$।

(D) प्रारंभ में,संधारित्र $C$ और $2C$ को $V$ वोल्ट की बैटरी के साथ समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है। संचित कुल आवेश $Q = C_{eq}V = (C + 2C)V = 3CV$ है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है,तो कुल आवेश $Q = 3CV$ संरक्षित रहता है।
संधारित्र $C$ को $K$ परावैद्युतांक से भरने के बाद,इसकी नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
समानांतर संयोजन की नई तुल्य धारिता $C'_{eq} = KC + 2C = (K + 2)C$ है।
संधारित्रों के सिरों पर नया विभवांतर $V' = \frac{Q}{C'_{eq}} = \frac{3CV}{(K + 2)C} = \frac{3V}{K + 2}$ प्राप्त होता है।

(A) निर्वात में दो समानांतर धातु प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ सतह आवेश घनत्व है।
जब प्लेटों को $K$ परावैद्युतांक (dielectric constant) वाले केरोसिन तेल जैसे माध्यम में डुबोया जाता है,तो विद्युत क्षेत्र $E'$ का मान $E' = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}K}$ हो जाता है।
चूंकि केरोसिन तेल के लिए परावैद्युतांक $K$ का मान $1$ से अधिक होता है $(K > 1)$,इसलिए नया विद्युत क्षेत्र $E'$ मूल विद्युत क्षेत्र $E$ से कम होगा $(E' < E)$।
अतः,प्लेटों के बीच का विद्युत क्षेत्र घट जाएगा।

(D) प्रारंभ में,संधारित्र $q = CV$ तक आवेशित होता है। जब सेल को हटा दिया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $q$ स्थिर रहता है।
परावैद्युत स्लैब डालने के बाद,नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
प्लेटों के बीच नया विभवांतर $V' = \frac{q}{C'} = \frac{CV}{KC} = \frac{V}{K}$ हो जाता है। इस प्रकार,विभवांतर $K$ गुना कम हो जाता है।
प्रारंभिक संचित ऊर्जा $U_1 = \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2}CV^2$ है।
अंतिम संचित ऊर्जा $U_2 = \frac{q^2}{2C'} = \frac{q^2}{2KC} = \frac{U_1}{K}$ है। इस प्रकार,ऊर्जा $K$ गुना कम हो जाती है।
ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{q^2}{2KC} - \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2}CV^2\left(\frac{1}{K} - 1\right)$ है।
चूंकि संधारित्र को सेल से अलग कर दिया गया है,इसलिए प्लेटों पर आवेश $q$ स्थिर (संरक्षित) रहता है। अतः,यह कथन कि आवेश संरक्षित नहीं है,गलत है।

(A) संधारित्र को चार छोटे संधारित्रों के संयोजन के रूप में माना जा सकता है। $d/2$ मोटाई वाले ऊपरी भाग को तीन भागों में विभाजित किया गया है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $A/3$ है। ये तीन संधारित्र $(C_1, C_2, C_3)$ समानांतर क्रम में हैं।
$C_1 = \frac{\epsilon_0 K_1 (A/3)}{d/2} = \frac{2\epsilon_0 K_1 A}{3d}$
$C_2 = \frac{2\epsilon_0 K_2 A}{3d}$
$C_3 = \frac{2\epsilon_0 K_3 A}{3d}$
उनकी तुल्य धारिता $C_p = C_1 + C_2 + C_3 = \frac{2\epsilon_0 A}{3d}(K_1 + K_2 + K_3)$ है।
यह समानांतर संयोजन निचले संधारित्र $C_4$ के साथ श्रेणी क्रम में है,जिसकी मोटाई $d/2$ और क्षेत्रफल $A$ है।
$C_4 = \frac{\epsilon_0 K_4 A}{d/2} = \frac{2\epsilon_0 K_4 A}{d}$।
कुल तुल्य धारिता $C$ के लिए $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_4}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{C} = \frac{3d}{2\epsilon_0 A(K_1 + K_2 + K_3)} + \frac{d}{2\epsilon_0 K_4 A}$।
एकल परावैद्युत $K$ के लिए,$C = \frac{K\epsilon_0 A}{d}$,इसलिए $\frac{1}{C} = \frac{d}{K\epsilon_0 A}$।
दोनों की तुलना करने पर: $\frac{d}{K\epsilon_0 A} = \frac{d}{\epsilon_0 A} [\frac{3}{2(K_1 + K_2 + K_3)} + \frac{1}{2K_4}]$।
$\frac{1}{K} = \frac{3}{2(K_1 + K_2 + K_3)} + \frac{1}{2K_4}$।
$2$ से गुणा करने पर: $\frac{2}{K} = \frac{3}{K_1 + K_2 + K_3} + \frac{1}{K_4}$।

(C) हवा वाले समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है,जहाँ $d = 3\,mm$ है।
जब $t = 1\,mm$ मोटाई और $K = 2$ परावैद्युतांक वाली परावैद्युत पट्टी डाली जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ द्वारा दी जाती है।
मूल धारिता $C_0$ को बहाल करने के लिए,हमें दूरी $d$ को एक नए मान $d'$ में बदलना होगा ताकि प्रभावी दूरी मूल हवा-भरे संधारित्र के समान रहे।
प्रभावी दूरी $d_{eff} = d' - t + \frac{t}{K}$ मूल दूरी $d = 3\,mm$ के बराबर होनी चाहिए।
मान रखने पर: $d' - 1 + \frac{1}{2} = 3$.
$d' - 0.5 = 3$.
$d' = 3.5\,mm$.

(B) बैटरी से जुड़े समानांतर प्लेट संधारित्र के लिए,प्लेटों के बीच विभवांतर $(V)$ स्थिर रहता है।
चूंकि संधारित्र में दो परावैद्युत परतें श्रेणीक्रम में हैं,प्रत्येक परावैद्युत में विद्युत क्षेत्र $(E)$ का मान $E = \frac{V}{d_{eff}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d_{eff}$ प्रभावी मोटाई है।
विशेष रूप से,एक परावैद्युत माध्यम में विद्युत क्षेत्र $E = \frac{E_0}{K}$ होता है,जहाँ $E_0$ निर्वात में क्षेत्र है और $K$ परावैद्युतांक है।
प्रथम क्षेत्र $(0 < x < d)$ में,परावैद्युतांक $K_1 = 2$ है। अतः,$E_1 = \frac{E_0}{2}$।
द्वितीय क्षेत्र $(d < x < 3d)$ में,परावैद्युतांक $K_2 = 4$ है। अतः,$E_2 = \frac{E_0}{4}$।
चूंकि $K_1 < K_2$,इसलिए $E_1 > E_2$ होता है।
अतः,विद्युत क्षेत्र प्रथम क्षेत्र में अधिक और द्वितीय क्षेत्र में कम होता है,और यह प्रत्येक परावैद्युत परत के भीतर स्थिर रहता है।
यह उस ग्राफ के अनुरूप है जहाँ $x = d$ पर क्षेत्र का मान गिरता है और दोनों क्षेत्रों में स्थिर रहता है।

(C) प्लेटों के बीच की प्रारंभिक दूरी $d = 5 \ cm$ है और विद्युत क्षेत्र $E = 200 \ V/cm$ है।
जब $t = 2 \ cm$ चौड़ाई की धातु की छड़ डाली जाती है,तो संधारित्र का विभवांतर $V = E(d - t)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,विद्युत क्षेत्र $E$ स्थिर रहता है क्योंकि प्लेटों पर आवेश समान रहता है और धातु की छड़ एक समविभव क्षेत्र के रूप में कार्य करती है जहाँ विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
मान रखने पर: $V = 200 \ V/cm \times (5 \ cm - 2 \ cm)$.
$V = 200 \times 3 = 600 \ V$.

(D) परावैद्युत पदार्थ डालने से पहले,संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C}{2}$ है।
संग्रहित कुल आवेश $Q_{eq} = C_{eq} E = \frac{CE}{2}$ है।
चूंकि बैटरी जुड़ी हुई है,इसलिए संयोजन पर विभवांतर $E$ स्थिर रहता है।
एक संधारित्र में $K$ परावैद्युतांक वाला पदार्थ डालने के बाद,उसकी धारिता $KC$ हो जाती है। नई तुल्य धारिता $C'_{eq} = \frac{(KC)C}{KC + C} = \frac{K}{K + 1} C$ है।
नया कुल आवेश $Q'_{eq} = C'_{eq} E = \frac{KCE}{K + 1}$ है।
बैटरी से प्रवाहित आवेश $\Delta Q = Q'_{eq} - Q_{eq} = \frac{KCE}{K + 1} - \frac{CE}{2} = CE \left( \frac{2K - (K + 1)}{2(K + 1)} \right) = \frac{(K - 1)CE}{2(K + 1)}$ है।
चूंकि $Q'_{eq} > Q_{eq}$ है,इसलिए आवेश बैटरी से संधारित्रों की ओर प्रवाहित होता है,जो बैटरी के माध्यम से $C$ से $B$ की दिशा में है।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक समान संधारित्र की धारिता $C$ है।
जब संधारित्र $2$ में $k$ परावैद्युतांक वाली परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो इसकी धारिता $kC$ हो जाती है।
चूंकि संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C \cdot kC}{C + kC} = \frac{kC}{k + 1}$ है।
श्रेणीक्रम में प्रत्येक संधारित्र पर आवेश बैटरी द्वारा आपूर्ति किए गए कुल आवेश के बराबर होता है: $Q_1 = Q_2 = Q_{eq} = C_{eq}E = \frac{kCE}{k + 1}$।
जब परावैद्युत को हटा दिया जाता है,तो संधारित्र $2$ की धारिता $C$ हो जाती है।
नई तुल्य धारिता $C'_{eq} = \frac{C \cdot C}{C + C} = \frac{C}{2}$ है।
प्रत्येक संधारित्र पर नया आवेश $Q'_1 = Q'_2 = Q'_{eq} = C'_{eq}E = \frac{CE}{2}$ है।
अब,अनुपात की गणना करने पर: $\frac{Q'_1}{Q_1} = \frac{Q'_2}{Q_2} = \frac{CE/2}{kCE/(k+1)} = \frac{k+1}{2k}$।
यह परिणाम दिए गए विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(C) संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{A \epsilon_{0}}{d}$ है।
प्रारंभिक संचित आवेश $Q = CV = 60 \mu C$ है।
जब $k$ परावैद्युतांक वाला पदार्थ डाला जाता है,तो नई धारिता $C^{\prime} = kC$ हो जाती है।
नया संचित आवेश $Q^{\prime} = C^{\prime}V = kCV = kQ$ है।
बैटरी से प्रवाहित होने वाला अतिरिक्त आवेश $\Delta Q = Q^{\prime} - Q = 120 \mu C$ है।
$Q^{\prime} = kQ$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $kQ - Q = 120 \mu C$ प्राप्त होता है।
$Q(k - 1) = 120 \mu C$।
चूंकि $Q = 60 \mu C$ दिया गया है,इसलिए $60(k - 1) = 120$।
$k - 1 = 2$,जिससे $k = 3$ प्राप्त होता है।

(C) प्रारंभिक स्थिति: आवेश $Q_i = 60 \ \mu C$,धारिता $C_i = 2 \ \mu F$। बैटरी का वोल्टेज $V = Q_i / C_i = 60 \ \mu C / 2 \ \mu F = 30 \ V$।
अंतिम स्थिति: बैटरी से अतिरिक्त $120 \ \mu C$ आवेश प्रवाहित होता है,इसलिए अंतिम आवेश $Q_f = Q_i + 120 \ \mu C = 60 \ \mu C + 120 \ \mu C = 180 \ \mu C$।
अंतिम धारिता $C_f = Q_f / V = 180 \ \mu C / 30 \ V = 6 \ \mu F$।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C_i V^2 = \frac{1}{2} \times 2 \ \mu F \times (30 \ V)^2 = 900 \ \mu J$।
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} C_f V^2 = \frac{1}{2} \times 6 \ \mu F \times (30 \ V)^2 = 2700 \ \mu J$।
बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W_b = (Q_f - Q_i) V = 120 \ \mu C \times 30 \ V = 3600 \ \mu J$।
उत्पन्न ऊष्मा $H = W_b - (U_f - U_i) = 3600 \ \mu J - (2700 \ \mu J - 900 \ \mu J) = 3600 \ \mu J - 1800 \ \mu J = 1800 \ \mu J$।

(B) समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{A \epsilon_0}{d}$ होती है।
परावैद्युत के साथ समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C' = \frac{A k \epsilon_0}{d} = k C = 2C$ होती है।
प्लेट $1$ और $2$ धारिता $C$ का संधारित्र बनाती हैं,प्लेट $2$ और $3$ धारिता $C' = 2C$ का संधारित्र बनाती हैं,और प्लेट $3$ और $4$ धारिता $C$ का संधारित्र बनाती हैं।
चूंकि प्लेट $1$ और $4$ जुड़ी हुई हैं,$1$ और $3$ के बीच के निकाय में $1-2$ और $2-3$ के बीच के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। अतः,$C_1 = \frac{C \cdot C'}{C + C'} = \frac{C \cdot 2C}{C + 2C} = \frac{2C}{3}$ है।
$2$ और $4$ के बीच के निकाय में $2-3$ और $3-4$ के बीच के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। अतः,$C_2 = \frac{C' \cdot C}{C' + C} = \frac{2C \cdot C}{2C + C} = \frac{2C}{3}$ है।
इसलिए,अनुपात $\frac{C_1}{C_2} = \frac{2C/3}{2C/3} = 1$ है।

(B) संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V$ स्थिर रहता है क्योंकि यह एक स्थिर विभव स्रोत से जुड़ा है।
चूंकि $V = E \cdot d$,जहाँ $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है,और $V$ तथा $d$ स्थिर हैं,इसलिए विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ अपरिवर्तित रहती है।
जैसे ही परावैद्युत को रखा जाता है,धारिता $C$ बढ़ जाती है ($C = K C_0$,जहाँ $K > 1$ है)।
चूंकि $Q = C V$ और $V$ स्थिर है,इसलिए संधारित्र पर आवेश $Q$ बढ़ जाता है।
अतः,स्रोत से कुछ अतिरिक्त आवेश संधारित्र में प्रवाहित होगा।

(D) जब $l$ मोटाई की तांबे की शीट को एक समांतर प्लेट संधारित्र (दूरी $d$) की प्लेटों के बीच रखा जाता है,तो तांबे के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
यह प्रभावी रूप से प्लेटों के बीच की दूरी को $(d-l)$ तक कम कर देता है।
मूल धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
नई धारिता $C_{eq} = \frac{\epsilon_0 A}{d-l}$ है।
चूंकि $(d-l) < d$,इसलिए $C_{eq} > C$ होता है।
इसके अलावा,धारिता $C_{eq}$ केवल मोटाई $l$ पर निर्भर करती है और प्लेटों के बीच शीट की स्थिति पर निर्भर नहीं करती है।
इसलिए,धारिता प्रारंभिक मान से अधिक है और प्लेटों के बीच शीट की सभी स्थितियों के लिए अपरिवर्तनीय रहती है।

(D) जब वोल्टेज स्रोत जुड़ा रहता है और $K$ परावैद्युतांक वाला परावैद्युत डाला जाता है,तो विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
$1$. धारिता: नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
$2$. आवेश: नया आवेश $Q' = C'V = (KC)V = KQ$। अतः,आवेश $K$-गुना बढ़ जाता है।
$3$. ऊर्जा: प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2}CV^2$। अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2}C'V^2 = \frac{1}{2}(KC)V^2 = KU_i$। अतः,ऊर्जा $K$-गुनी बढ़ जाती है।
$4$. बल: प्लेटों के बीच आकर्षण बल $F = \frac{Q^2}{2A\epsilon_0}$ के अनुसार,यदि $Q$ बढ़कर $KQ$ हो जाता है,तो नया बल $F' = \frac{(KQ)^2}{2A\epsilon_0} = K^2 F$ हो जाता है। इसलिए,सभी कथन सही हैं।

(B) समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,धारिता $C = \frac{A \epsilon_{0}}{d}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि बैटरी हटा दी गई है,संधारित्र पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{Q^{2}}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
$C$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U = \frac{Q^{2} d}{2 A \epsilon_{0}}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि ऊर्जा $U$ प्लेटों के बीच की दूरी $d$ के सीधे आनुपातिक है $(U \propto d)$।
जब प्लेटों को करीब लाया जाता है,तो दूरी $d$ कम हो जाती है।
परिणामस्वरूप,संधारित्र की ऊर्जा $U$ घट जाएगी।

(B) जब एक विलगित (isolated) आवेशित संधारित्र की प्लेटों के बीच एक परावैद्युत स्लैब डाला जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $q$ स्थिर रहता है क्योंकि निकाय विलगित है (कोई आवेश अंदर या बाहर नहीं जा सकता)।
$1$. विद्युत क्षेत्र $E$ कम हो जाता है क्योंकि परावैद्युत विपरीत दिशा में एक प्रेरित विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
$2$. विभवांतर $V$ कम हो जाता है क्योंकि $V = E \cdot d$ होता है,और $E$ का मान घट गया है।
$3$. संचित ऊर्जा $U = \frac{q^2}{2C}$ कम हो जाती है क्योंकि परावैद्युत डालने पर धारिता $C$ बढ़ जाती है और $q$ स्थिर रहता है।
अतः,केवल संधारित्र पर आवेश अपरिवर्तित रहता है।

(D) जब संधारित्र को स्रोत से अलग कर दिया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_{0} A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
यदि प्लेटों के बीच की दूरी $d$ बढ़ाई जाती है,तो धारिता $C$ घट जाती है।
प्लेटों के बीच विभवांतर $V$,$V = \frac{Q}{C}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $Q$ स्थिर है और $C$ घटता है,इसलिए विभवांतर $V$ बढ़ना चाहिए।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) चूंकि बैटरी हटा दी गई है,इसलिए प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
प्रारंभिक आवेश $Q = C V = \frac{\varepsilon_0 A}{d} V$ है।
जब $K$ परावैद्युतांक वाला एक स्लैब डाला जाता है,तो नई धारिता $C' = KC = \frac{K\varepsilon_0 A}{d}$ हो जाती है।
नया विभवांतर $V' = \frac{Q}{C'} = \frac{Q}{KC} = \frac{V}{K}$ है।
नया विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V'}{d} = \frac{V}{Kd}$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{\varepsilon_0 AV^2}{2d}$ है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2}C'V'^2 = \frac{1}{2}(KC) \left(\frac{V}{K}\right)^2 = \frac{1}{2} \frac{CV^2}{K} = \frac{\varepsilon_0 AV^2}{2Kd}$ है।
सिस्टम पर किया गया कार्य $W = U_f - U_i = \frac{\varepsilon_0 AV^2}{2Kd} - \frac{\varepsilon_0 AV^2}{2d} = -\frac{\varepsilon_0 AV^2}{2d} \left(1 - \frac{1}{K}\right)$ है।

(A) चूंकि बैटरी जुड़ी हुई है,इसलिए प्लेटों के बीच विभवांतर स्थिर रहता है। अतः,$V = V_0$ है।
विद्युत क्षेत्र $E = V/d$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $V$ और प्लेटों के बीच की दूरी $d$ अपरिवर्तित रहती है,इसलिए $E = E_0$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक धारिता $C_0$ है। जब $K$ परावैद्युतांक वाला स्लैब डाला जाता है,तो नई धारिता $C = K C_0$ हो जाती है,जहाँ $K > 1$ है।
संधारित्र पर आवेश $Q = CV = (K C_0) V_0 = K Q_0$ है। चूंकि $K > 1$ है,इसलिए $Q > Q_0$ प्राप्त होता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = (1/2) CV^2 = (1/2) (K C_0) V_0^2 = K U_0$ है। चूंकि $K > 1$ है,इसलिए $U > U_0$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $Q > Q_0$ है।

(A) जब एक संधारित्र को आवेशित किया जाता है और बैटरी को हटा दिया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $q$ स्थिर रहता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है। जब प्लेटों को दूर किया जाता है,तो दूरी $d$ बढ़ जाती है,इसलिए धारिता $C$ घट जाती है।
चूंकि आवेश $q$ स्थिर है और $C$ घट रहा है,इसलिए विभवांतर $V = \frac{q}{C}$ बढ़ जाएगा।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $W = \frac{q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $C$ घटता है और $q$ स्थिर रहता है,इसलिए संचित ऊर्जा $W$ बढ़ जाती है।

(D) हवा से भरे संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 9 \ pF$ है।
जब जगह को $d_1 = d/3$ और $d_2 = 2d/3$ मोटाई के दो परावैद्युत से भरा जाता है,तो यह प्रणाली श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में कार्य करती है।
पहले भाग की धारिता $C_1 = \frac{k_1 \epsilon_0 A}{d_1} = \frac{3 \epsilon_0 A}{d/3} = 9 \frac{\epsilon_0 A}{d} = 9 C_0 = 9 \times 9 = 81 \ pF$ है।
दूसरे भाग की धारिता $C_2 = \frac{k_2 \epsilon_0 A}{d_2} = \frac{6 \epsilon_0 A}{2d/3} = 9 \frac{\epsilon_0 A}{d} = 9 C_0 = 9 \times 9 = 81 \ pF$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ को $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{81} + \frac{1}{81} = \frac{2}{81}$।
अतः,$C_{eq} = \frac{81}{2} = 40.5 \ pF$ है।

(D) समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच परावैद्युत की उपस्थिति में विद्युत क्षेत्र $E$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E = \frac{\sigma}{K \varepsilon_0}$
जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है,$K$ परावैद्युतांक है,और $\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है।
आवेश घनत्व $\sigma$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\sigma = K \varepsilon_0 E$
दिए गए मान:
$K = 2.2$
$\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$
$E = 3 \times 10^4 \ V/m$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\sigma = 2.2 \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (3 \times 10^4)$
$\sigma = 2.2 \times 8.85 \times 3 \times 10^{-8}$
$\sigma \approx 58.41 \times 10^{-8} \ C/m^2$
$\sigma \approx 5.84 \times 10^{-7} \ C/m^2$
निकटतम मान लेने पर,हमें $\sigma \approx 6 \times 10^{-7} \ C/m^2$ प्राप्त होता है।

(D) संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $Q_i = CV = 90 \ pF \times 20 \ V = 1800 \ pC = 1.8 \ nC$ है।
$K = \frac{5}{3}$ परावैद्युतांक वाला परावैद्युत डालने के बाद,नई धारिता $C' = KC = \frac{5}{3} \times 90 \ pF = 150 \ pF$ हो जाती है।
संधारित्र पर नया आवेश $Q_f = C'V = 150 \ pF \times 20 \ V = 3000 \ pC = 3.0 \ nC$ है।
परावैद्युत पर प्रेरित आवेश $Q_{ind}$ का परिमाण अंतिम आवेश और प्रारंभिक आवेश के अंतर के बराबर होता है:
$Q_{ind} = Q_f - Q_i = (K-1)CV$
$Q_{ind} = \left(\frac{5}{3} - 1\right) \times 90 \ pF \times 20 \ V$
$Q_{ind} = \left(\frac{2}{3}\right) \times 1800 \ pC = 1200 \ pC = 1.2 \ nC$.

(A) मान लीजिए कि प्लेटों का क्षेत्रफल $A$ है, उनके बीच की दूरी $d$ है, और परावैद्युत स्थिरांक $k$ है। संधारित्र को समानांतर में दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है: एक परावैद्युत के साथ और एक बिना परावैद्युत के।
यदि स्लैब को स्थिर गति $v$ से बाहर निकाला जाता है, तो समय $t$ पर संधारित्र के अंदर स्लैब की लंबाई $l' = l - vt$ होगी, जहाँ $l$ स्लैब की प्रारंभिक लंबाई है।
समय $t$ पर धारिता $C$ इस प्रकार दी जाती है:
$C(t) = \frac{\epsilon_0 (A - lw) + \epsilon_0 k (lw)}{d}$, जहाँ $w$ प्लेट की चौड़ाई है।
जैसे-जैसे स्लैब बाहर निकाला जाता है, परावैद्युत द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल समय के साथ रैखिक रूप से घटता है: $A_{dielectric} = w(l - vt)$।
इस प्रकार, $C(t) = \frac{\epsilon_0}{d} [ (A - wl) + k \cdot w(l - vt) ]$।
यह सरल होकर $C(t) = C_0 - \frac{\epsilon_0 w k v}{d} t$ हो जाता है।
चूंकि $C(t)$ समय का एक रैखिक फलन है और इसका ढाल ऋणात्मक है, इसलिए जैसे-जैसे स्लैब बाहर निकलता है, धारिता रैखिक रूप से घटती जाती है। इसलिए, ग्राफ एक ऋणात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है।

(B) प्रारंभ में,संधारित्र को बैटरी द्वारा $V_{old}$ विभव तक आवेशित किया जाता है। प्लेटों पर आवेश $Q = C_{old} V_{old}$ है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
समांतर-प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब पृथक्करण $d$ को आधा करके $d' = \frac{d}{2}$ कर दिया जाता है,तो नई धारिता $C_{new} = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = 2 \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right) = 2 C_{old}$ हो जाती है।
चूंकि आवेश $Q$ स्थिर है,नया विभवांतर $V_{new} = \frac{Q}{C_{new}}$ द्वारा दिया जाता है।
$Q = C_{old} V_{old}$ और $C_{new} = 2 C_{old}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V_{new} = \frac{C_{old} V_{old}}{2 C_{old}} = \frac{1}{2} V_{old}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{V_{new}}{V_{old}} = 0.5$ है।

(A) जब बैटरी हटा दी जाती है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
जब प्लेटों के बीच $K > 1$ परावैद्युतांक वाला एक परावैद्युत स्लैब रखा जाता है,तो धारिता $C' = KC$ सूत्र के अनुसार बढ़ जाती है।
चूंकि $Q$ स्थिर है और $C' = KC$ है,नया विभवांतर $V' = Q/C' = Q/(KC) = V/K$ हो जाता है। इस प्रकार,विभवांतर कम हो जाता है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = Q^2 / (2C)$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $C$ बढ़ता है,इसलिए संचित ऊर्जा $U' = Q^2 / (2C') = U/K$ कम हो जाती है।
अतः,विभवांतर और संचित ऊर्जा कम हो जाते हैं,जबकि आवेश समान रहता है।

(A) समान मोटाई वाले परावैद्युत स्लैब से भरे समांतर प्लेट संधारित्र में,प्लेटों पर पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ सभी परावैद्युत के लिए समान होता है। परावैद्युत में विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0 k}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\sigma$ और $\epsilon_0$ स्थिर हैं,इसलिए $E \propto \frac{1}{k}$ होता है।
दिया गया है कि $k_3 > k_2 > k_1$,इसलिए $E_3 < E_2 < E_1$ होगा।
प्रत्येक परावैद्युत में विभवांतर $\Delta V = E \cdot t$ है,जहाँ $t$ प्रत्येक स्लैब की मोटाई है।
चूंकि सभी के लिए $t$ समान है,इसलिए $\Delta V \propto E$ होगा।
अतः,$\Delta V_3 < \Delta V_2 < \Delta V_1$ होगा।
इस प्रकार,सही कथन $E_3 < E_2 < E_1$ और $\Delta V_3 < \Delta V_2 < \Delta V_1$ है।

(A) परावैद्युत द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम विद्युत क्षेत्र $E_{\max} = 20 \ MVm^{-1} = 20 \times 10^6 \ Vm^{-1}$ है।
संधारित्र के सिरों पर अधिकतम विभवांतर $V_{\max} = E_{\max} \times d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d = 40 \ \mu m = 40 \times 10^{-6} \ m$ है।
$V_{\max} = 20 \times 10^6 \times 40 \times 10^{-6} = 800 \ V$ है।
धारिता $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K = 4.0$,$A = (80 \times 10^{-3} \ m)^2 = 6400 \times 10^{-6} \ m^2$,और $\epsilon_0 = 9 \times 10^{-12} \ Fm^{-1}$ है।
$C = \frac{4.0 \times 9 \times 10^{-12} \times 6400 \times 10^{-6}}{40 \times 10^{-6}} = 4.0 \times 9 \times 10^{-12} \times 160 = 5760 \times 10^{-12} \ F = 5.76 \times 10^{-9} \ F$ है।
अधिकतम आवेश $Q_{\max} = C \times V_{\max} = 5.76 \times 10^{-9} \times 800 = 4608 \times 10^{-9} \ C = 4.6 \ \mu C$ है।

(D) $1$. प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
$2$. प्रारंभिक आवेश $Q = C_0 V = \frac{\epsilon_0 A V}{d}$ है।
$3$. प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C_0 V^2 = \frac{1}{2} \frac{\epsilon_0 A}{d} V^2$ है।
$4$. बैटरी हटाने के बाद,आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
$5$. जब $t = d/2$ मोटाई की धातु की स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C_f = \frac{\epsilon_0 A}{d - t} = \frac{\epsilon_0 A}{d - d/2} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d} = 2 C_0$ होती है।
$6$. अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{Q^2}{2 C_f} = \frac{(C_0 V)^2}{2(2 C_0)} = \frac{1}{4} C_0 V^2 = \frac{1}{4} \frac{\epsilon_0 A}{d} V^2$ है।
$7$. बाहरी एजेंट द्वारा किया गया कार्य $W = U_f - U_i = \frac{1}{4} C_0 V^2 - \frac{1}{2} C_0 V^2 = - \frac{1}{4} C_0 V^2 = - \frac{1}{4} \frac{\epsilon_0 A}{d} V^2$ है।

(C) हवा से भरे समानांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 9 \ pF$ है।
जब स्थान को $d_1 = \frac{d}{3}$ और $d_2 = \frac{2d}{3}$ मोटाई के दो परावैद्युत पदार्थों से भरा जाता है,तो वे श्रेणीक्रम में दो संधारित्रों के रूप में कार्य करते हैं।
पहले भाग की धारिता $C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 A}{d_1} = \frac{6 \epsilon_0 A}{d/3} = 18 \left(\frac{\epsilon_0 A}{d}\right) = 18 \times 9 = 162 \ pF$ है।
दूसरे भाग की धारिता $C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 A}{d_2} = \frac{12 \epsilon_0 A}{2d/3} = \frac{18 \epsilon_0 A}{d} = 18 \times 9 = 162 \ pF$ है।
श्रेणीक्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ को $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{162 \times 162}{162 + 162} = \frac{162}{2} = 81 \ pF$।

(C) संधारित्र को स्थिर विभवांतर $V$ वाली बैटरी से जोड़ा गया है।
चूंकि प्लेटें सीधे बैटरी से जुड़ी हैं,इसलिए संधारित्र के किसी भी ऊर्ध्वाधर अनुप्रस्थ काट पर विभवांतर बैटरी के विभवांतर $V$ के बराबर होना चाहिए।
समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$,विभवांतर $V$ और दूरी $D$ के साथ $V = E \cdot D$ या $E = \frac{V}{D}$ संबंध द्वारा संबंधित है।
यह संबंध परावैद्युत से भरे क्षेत्र (बिंदु $P$) और हवा वाले क्षेत्र (बिंदु $P'$) दोनों के लिए सत्य है,क्योंकि प्लेटों के बीच विभवांतर पूरे संधारित्र में समान रहता है।
इसलिए,बिंदु $P$ और $P'$ दोनों पर विद्युत क्षेत्र $\frac{V}{D}$ के बराबर है।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक समान संधारित्र की धारिता $C$ है।
प्रारंभ में,संधारित्र $1$ की धारिता $C$ है और संधारित्र $2$ की धारिता $KC$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C \cdot KC}{C + KC} = \frac{KC}{K+1}$ है।
प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q_1 = Q_2 = Q_{eq} = C_{eq} V_0 = \frac{KCV_0}{K+1}$ है।
परावैद्युत को हटाने के बाद,दोनों संधारित्रों की धारिता $C$ हो जाती है।
नई तुल्य धारिता $C'_{eq} = \frac{C \cdot C}{C + C} = \frac{C}{2}$ है।
प्रत्येक संधारित्र पर नया आवेश $Q'_1 = Q'_2 = Q'_{eq} = C'_{eq} V_0 = \frac{CV_0}{2}$ है।
अब,अनुपात की गणना करने पर: $\frac{Q'_1}{Q_1} = \frac{Q'_2}{Q_2} = \frac{CV_0/2}{KCV_0/(K+1)} = \frac{K+1}{2K}$।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $C$ सही है।

(A) प्रारंभ में,$C$ धारिता वाले दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_{eq,i} = \frac{C}{2}$ है। प्रत्येक संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $q_i = C_{eq,i} V = \frac{CV}{2}$ है। संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = 2 \times \frac{1}{2} C (V/2)^2 = \frac{CV^2}{4}$ है।
एक संधारित्र में परावैद्युत $(K=2)$ डालने के बाद,इसकी नई धारिता $C' = KC = 2C$ हो जाती है। नई तुल्य धारिता $C_{eq,f} = \frac{C \times 2C}{C + 2C} = \frac{2C}{3}$ है। परिपथ पर नया आवेश $q_f = C_{eq,f} V = \frac{2CV}{3}$ है।
बैटरी द्वारा प्रदान किया गया आवेश $\Delta q = q_f - q_i = \frac{2CV}{3} - \frac{CV}{2} = \frac{CV}{6}$ है।
बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W_b = \Delta q V = \frac{CV^2}{6}$ है।
अंतिम संचित ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} C (V_1)^2 + \frac{1}{2} (2C) (V_2)^2$ है। चूंकि संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,$V_1 + V_2 = V$ और $q_f = C V_1 = 2C V_2$,इसलिए $V_1 = 2V_2$। अतः $3V_2 = V$,$V_2 = V/3$ और $V_1 = 2V/3$।
$U_f = \frac{1}{2} C (2V/3)^2 + \frac{1}{2} (2C) (V/3)^2 = \frac{1}{2} C (4V^2/9) + C (V^2/9) = \frac{2CV^2}{9} + \frac{CV^2}{9} = \frac{CV^2}{3}$।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए: $W_b = \Delta U + H$,जहाँ $H$ ऊष्मा हानि है।
$H = W_b - (U_f - U_i) = \frac{CV^2}{6} - (\frac{CV^2}{3} - \frac{CV^2}{4}) = \frac{CV^2}{6} - \frac{CV^2}{12} = \frac{CV^2}{12}$।

(C) प्रारंभ में,संधारित्र पर आवेश $q_{0} = C_{0}V = 60\,\mu C$ है।
जब $K$ नियतांक का परावैद्युत डाला जाता है,तो नई धारिता $C = KC_{0}$ हो जाती है।
संधारित्र पर नया आवेश $q = CV = KC_{0}V = Kq_{0}$ है।
बैटरी से प्रवाहित होने वाला अतिरिक्त आवेश $\Delta q = q - q_{0} = 120\,\mu C$ है।
इसलिए,$q = q_{0} + \Delta q = 60\,\mu C + 120\,\mu C = 180\,\mu C$ है।
संबंध $q = Kq_{0}$ का उपयोग करने पर,हमें $K = \frac{q}{q_{0}} = \frac{180\,\mu C}{60\,\mu C} = 3$ प्राप्त होता है।

(A) जब कुंजी $K$ बंद होती है,तो दोनों संधारित्र $V$ वोल्टेज की बैटरी के साथ समानांतर में होते हैं। तुल्य धारिता $C_{eq} = C + C = 2C$ है। संचित कुल ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2} (2C) V^2 = CV^2$ है।
जब कुंजी $K$ को खोल दिया जाता है,तो बैटरी से जुड़ा संधारित्र $V$ वोल्टेज पर रहता है,जबकि दूसरा संधारित्र $Q = CV$ आवेश के साथ अलग हो जाता है।
पहले संधारित्र (बैटरी से जुड़े) के लिए,नई धारिता $C' = \epsilon_r C$ है। संचित ऊर्जा $U_{2,1} = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} \epsilon_r C V^2$ है।
दूसरे संधारित्र (अलग किए गए) के लिए,आवेश $Q = CV$ स्थिर रहता है। नई धारिता $C' = \epsilon_r C$ है। संचित ऊर्जा $U_{2,2} = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(CV)^2}{2 \epsilon_r C} = \frac{CV^2}{2 \epsilon_r}$ है।
संचित कुल ऊर्जा $U_2 = U_{2,1} + U_{2,2} = \frac{1}{2} \epsilon_r C V^2 + \frac{CV^2}{2 \epsilon_r} = \frac{CV^2}{2} \left( \epsilon_r + \frac{1}{\epsilon_r} \right) = \frac{CV^2}{2} \left( \frac{\epsilon_r^2 + 1}{\epsilon_r} \right)$ है।
अनुपात $U_1/U_2 = \frac{CV^2}{\frac{CV^2}{2} \left( \frac{\epsilon_r^2 + 1}{\epsilon_r} \right)} = \frac{2 \epsilon_r}{1 + \epsilon_r^2}$ है।

(A) माना प्लेटों के बीच प्रारंभिक दूरी $d$ है। विभवांतर $V = E_0 d$ है,जहाँ $E_0$ प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र है।
जब $t = 2\,mm$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,और प्लेटों के बीच की दूरी $\Delta d = 1.6\,mm$ बढ़ाई जाती है,तो नई दूरी $d' = d + 1.6\,mm$ हो जाती है।
विभवांतर $V$ समान रहता है। वायु अंतराल में विद्युत क्षेत्र $E_0$ है और परावैद्युत में $E_0/K$ है।
नया विभवांतर $V = E_0(d' - t) + \frac{E_0}{K}t$ है।
चूंकि $V = E_0 d$,हमें प्राप्त होता है $E_0 d = E_0(d + 1.6 - 2) + \frac{E_0}{K}(2)$।
$E_0$ से विभाजित करने पर,$d = d - 0.4 + \frac{2}{K}$ मिलता है।
$0.4 = \frac{2}{K}$।
$K = \frac{2}{0.4} = 5$।

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
जब $K$ परावैद्युतांक और $d$ मोटाई वाली परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
नई संचित ऊर्जा $U' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(KC)} = \frac{1}{K} \left( \frac{Q^2}{2C} \right) = \frac{U}{K}$ है।
अतः,स्लैब डालने से पहले और बाद में संचित ऊर्जा का अनुपात $\frac{U}{U'} = K$ है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक समान संधारित्र की धारिता $C$ है। जब इन्हें $V_0$ वोल्टेज स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_{eq} = C/2$ होती है।
प्रारंभ में,प्रत्येक संधारित्र पर विभवांतर $V_1 = V_2 = V_0/2$ होता है।
जब एक संधारित्र को $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो उसकी नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
दूसरा संधारित्र $C$ ही रहता है। संधारित्र अभी भी श्रेणीक्रम में हैं।
$C$ धारिता वाले संधारित्र पर नया विभवांतर $V_{other}$ वोल्टेज विभाजक नियम के अनुसार होगा:
$V_{other} = V_0 \left( \frac{C'}{C + C'} \right) = V_0 \left( \frac{KC}{C + KC} \right)$
$V_{other} = V_0 \left( \frac{KC}{C(1 + K)} \right) = \left( \frac{K}{K+1} \right) V_0$.

(C) परावैद्युत स्लैब वाले समांतर प्लेट संधारित्र में,विद्युत विस्थापन क्षेत्र $D$ स्लैब के भीतर स्थिर रहता है क्योंकि प्लेटों पर पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ समान रहता है।
परावैद्युत में विद्युत क्षेत्र $E$ को $E = \frac{D}{K \epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$t$ मोटाई वाली स्लैब के सिरों पर विभवांतर $V = E \cdot t = \frac{D \cdot t}{K \epsilon_0}$ होता है।
चूंकि दोनों स्लैब के लिए मोटाई $t$ समान है,इसलिए विभवांतर परावैद्युतांक के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $V \propto \frac{1}{K}$।
अतः,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{K_2}{K_1}$।
दिया गया है कि $K_1 = 2K_2$,इसलिए $\frac{V_1}{V_2} = \frac{K_2}{2K_2} = \frac{1}{2}$।
इसका अर्थ है कि $V_2 = 2V_1$ या $2V_1 = V_2$।

(D) वायु-भरे समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
जब प्लेटों के बीच के स्थान को $K=5$ परावैद्युतांक वाले परावैद्युत से आधा भरा जाता है,तो यह श्रेणी क्रम में दो संधारित्रों की तरह कार्य करता है,जिनमें से प्रत्येक की प्लेट दूरी $d/2$ है।
पहले भाग (वायु) की धारिता $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = 2C$ है।
दूसरे भाग (परावैद्युत) की धारिता $C_2 = \frac{K \epsilon_0 A}{d/2} = 2KC = 2(5)C = 10C$ है।
तुल्य धारिता $C_{eq}$ के लिए,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{2C} + \frac{1}{10C} = \frac{6}{10C} = \frac{3}{5C}$ है।
अतः,$C_{eq} = \frac{5}{3}C \approx 1.67C$ है।
प्रतिशत वृद्धि $\frac{C_{eq} - C}{C} \times 100 = 67\%$ होती है।
*नोट: यदि परावैद्युत को प्लेटों के समांतर भरा जाता है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है),तो उपरोक्त गणना लागू होती है। यदि परावैद्युत को प्लेटों के लंबवत भरा जाता है,तो $C_{eq} = \frac{C}{2} + \frac{KC}{2} = 3C$ होता है,जिससे $200\%$ की वृद्धि होती है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,अपेक्षित उत्तर $200\%$ है,इसलिए विकल्प $D$ सही है।*

(C) समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का सूत्र $C = \frac{\varepsilon_{0} \varepsilon_{r} A}{d}$ है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी को आधा कर दिया जाता है,तो नई दूरी $d' = \frac{d}{2}$ हो जाती है।
जब परावैद्युतांक को दोगुना कर दिया जाता है,तो नया परावैद्युतांक $\varepsilon_{r}' = 2 \varepsilon_{r}$ हो जाता है।
नई धारिता $C'$ इस प्रकार होगी:
$C' = \frac{\varepsilon_{0} \varepsilon_{r}' A}{d'} = \frac{\varepsilon_{0} (2 \varepsilon_{r}) A}{d/2}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$C' = 4 \times \frac{\varepsilon_{0} \varepsilon_{r} A}{d} = 4C$.
अतः,धारिता अपने मूल मान की चार गुनी हो जाएगी।

(C) प्रारंभिक धारिता $C$ है और प्रारंभिक ऊर्जा $U = \frac{Q^2}{2C}$ है,जहाँ $Q$ प्लेटों पर स्थिर आवेश है।
जब $K = 6$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C' = KC = 6C$ हो जाती है।
चूंकि आवेश $Q$ स्थिर रहता है,इसलिए नई ऊर्जा $U' = \frac{Q^2}{2C'}$ द्वारा दी जाती है।
$C' = 6C$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $U' = \frac{Q^2}{2(6C)} = \frac{1}{6} \left( \frac{Q^2}{2C} \right) = \frac{U}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,नई ऊर्जा $\frac{U}{6}$ और नई धारिता $6C$ होगी।