Basic of Capacitor and type of capacitor (Spherical, Cylindrical) Questions in Hindi

(C) आंतरिक त्रिज्या $a$ और बाहरी त्रिज्या $b$ वाले बेलनाकार संधारित्र के लिए,अक्ष से $r$ दूरी $(a < r < b)$ पर विद्युत क्षेत्र $E$ को गॉस के नियम का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है।
$r$ त्रिज्या और $L$ लंबाई वाले बेलन के रूप में एक गॉसियन सतह पर विचार करें।
परिबद्ध कुल आवेश $q = \lambda L$ है,जहाँ $\lambda$ रैखिक आवेश घनत्व है।
गॉस के नियम के अनुसार,$\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$।
$E(2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0}$।
इस प्रकार,$E = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}$।
यह दर्शाता है कि विद्युत क्षेत्र $E$ का परिमाण अक्ष से दूरी $r$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $E \propto 1/r$।

(D) मान लीजिए कि आंतरिक गोले पर आवेश $+Q$ है।
चूंकि बाहरी गोला भू-संपर्कित है,इसलिए इसका विभव $0$ है।
आंतरिक गोले का विभव $V$,उसके स्वयं के आवेश के कारण उत्पन्न विभव और बाहरी गोले पर प्रेरित आवेश के कारण उत्पन्न विभव का योग है।
$V = \frac{Q}{r_1} - \frac{Q}{r_2}$
यहाँ $r_1 = 4\, cm$,$r_2 = 6\, cm$,और $V = 3\, e.s.u.$ दिया गया है।
$3 = \frac{Q}{4} - \frac{Q}{6}$
$3 = Q \left( \frac{3 - 2}{12} \right)$
$3 = \frac{Q}{12}$
$Q = 36\, e.s.u.$

(B) $R$ त्रिज्या वाले और $Q$ आवेश वाले गोलाकार चालक की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R^2} = k \frac{Q}{R^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $E_{max} = 3 \times 10^6 \, V/m$,$R = 3 \, m$,और $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर: $3 \times 10^6 = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{3^2}$.
$3 \times 10^6 = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{9}$.
$3 \times 10^6 = 10^9 \times Q$.
$Q = \frac{3 \times 10^6}{10^9} = 3 \times 10^{-3} \, C$.

(C) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि $8$ छोटी बूंदें मिलकर एक बड़ी बूंद बनाती हैं,इसलिए आयतन संरक्षित रहता है:
$8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$8r^3 = R^3$
$R = 2r$
$r$ त्रिज्या वाली गोलाकार बूंद की धारिता $C = 4 \pi \epsilon_0 r$ द्वारा दी जाती है।
अतः,छोटी बूंद की धारिता $C_{small} = 4 \pi \epsilon_0 r$ है।
बड़ी बूंद की धारिता $C_{big} = 4 \pi \epsilon_0 R = 4 \pi \epsilon_0 (2r) = 2 \times (4 \pi \epsilon_0 r) = 2 C_{small}$ होगी।
इस प्रकार,बड़ी बूंद की धारिता प्रत्येक छोटी बूंद की तुलना में $2$ गुना है।

(D) दिया गया है: दो गोलों के बीच की दूरी $(b - a) = 1\,mm = 1 \times 10^{-3}\,m$ ..... $(i)$
गोलीय संधारित्र की धारिता $C = 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{ab}{b - a} \right)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $C = 1\,\mu F = 1 \times 10^{-6}\,F$ और $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$ है।
मान रखने पर:
$1 \times 10^{-6} = \frac{1}{9 \times 10^9} \left( \frac{ab}{10^{-3}} \right)$
$ab = 9 \times 10^9 \times 10^{-6} \times 10^{-3} = 9$ ..... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,$a = b - 10^{-3}$ प्राप्त होता है।
$(ii)$ में $a$ का मान रखने पर:
$(b - 10^{-3})b = 9$
$b^2 - 10^{-3}b - 9 = 0$
द्विघात सूत्र $b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ का उपयोग करने पर:
$b = \frac{10^{-3} + \sqrt{(10^{-3})^2 - 4(1)(-9)}}{2} = \frac{10^{-3} + \sqrt{10^{-6} + 36}}{2}$
चूँकि $10^{-6}$,$36$ की तुलना में नगण्य है,इसलिए $\sqrt{36.000001} \approx 6$.
$b \approx \frac{0.001 + 6}{2} \approx 3.0005\,m \approx 3\,m$.
अतः,बाहरी गोले की त्रिज्या $3\,m$ है।

(C) $R$ त्रिज्या वाले और $q$ आवेशित गोलीय चालक की सतह पर विभव $V$ इस प्रकार दिया जाता है:
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}$
धारिता $C$ को आवेश और विभव के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$C = \frac{q}{V}$
$V$ का मान रखने पर:
$C = \frac{q}{\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$C = 4 \pi \varepsilon_{0} R$
अतः,एक गोलीय चालक की धारिता $4 \pi \varepsilon_{0} R$ होती है।

(A) गोलीय संधारित्र की धारिता $C$,जिसकी त्रिज्याएँ $a$ और $b$ $(b > a)$ हैं और परावैद्युतांक $K$ है,का सूत्र है: $C = 4\pi \varepsilon_0 K \left( \frac{ab}{b - a} \right)$।
दिया गया है: $a = 9 \; cm = 9 \times 10^{-2} \; m$,$b = 12 \; cm = 12 \times 10^{-2} \; m$,$K = 6$,और $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \; N \cdot m^2/C^2$।
मान रखने पर:
$C = \frac{6}{9 \times 10^9} \times \left( \frac{12 \times 10^{-2} \times 9 \times 10^{-2}}{12 \times 10^{-2} - 9 \times 10^{-2}} \right)$
$C = \frac{6}{9 \times 10^9} \times \left( \frac{108 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-2}} \right)$
$C = \frac{6}{9 \times 10^9} \times (36 \times 10^{-2})$
$C = \frac{216 \times 10^{-2}}{9 \times 10^9} = 24 \times 10^{-11} \; F$
$C = 240 \times 10^{-12} \; F = 240 \; pF$.

(A) $r$ त्रिज्या वाले एक विलगित गोलीय चालक की धारिता $C$ का सूत्र है: $C = 4\pi \varepsilon_0 r$.
हम जानते हैं कि $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$,इसलिए $4\pi \varepsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^9}$.
दिया गया है $C = 1\,\mu F = 1 \times 10^{-6}\,F$.
सूत्र में मान रखने पर: $1 \times 10^{-6} = \frac{r}{9 \times 10^9}$.
$r$ के लिए हल करने पर: $r = 1 \times 10^{-6} \times 9 \times 10^9 = 9 \times 10^3\,m$.
किलोमीटर में बदलने पर: $r = 9\,km$.

(D) आंतरिक त्रिज्या $a$ और बाहरी त्रिज्या $b$ वाले एक आवेशित गोलीय संधारित्र के लिए,केंद्र से $r$ दूरी $(a < r < b)$ पर विद्युत क्षेत्र $E$ गॉस के नियम के अनुसार $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $E \propto \frac{1}{r^2}$,इसलिए जैसे-जैसे केंद्र से दूरी $r$ बढ़ती है,विद्युत क्षेत्र घटता जाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) जब बाहरी गोले को अर्थ किया जाता है,तो गोलीय संधारित्र की धारिता $C_1$ इस प्रकार दी जाती है:
$C_1 = 4\pi \varepsilon_0 \frac{ab}{b - a}$
जब आंतरिक गोले को अर्थ किया जाता है,तो बाहरी गोला एक पृथक चालक के रूप में कार्य करता है जिसकी धारिता $4\pi \varepsilon_0 b$ होती है और यह गोलीय संधारित्र के साथ समांतर क्रम में होता है। अतः,कुल धारिता $C_2$ है:
$C_2 = 4\pi \varepsilon_0 b + \frac{4\pi \varepsilon_0 ab}{b - a} = 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{b(b - a) + ab}{b - a} \right) = 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{b^2 - ab + ab}{b - a} \right) = 4\pi \varepsilon_0 \frac{b^2}{b - a}$
धारिताओं में अंतर है:
$C_2 - C_1 = 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{b^2}{b - a} - \frac{ab}{b - a} \right) = 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{b^2 - ab}{b - a} \right) = 4\pi \varepsilon_0 \frac{b(b - a)}{b - a} = 4\pi \varepsilon_0 b$

(C) गोलीय संधारित्र की धारिता $C$, जिसकी आंतरिक त्रिज्या $a$ और बाहरी त्रिज्या $b$ है, $C = 4\pi\epsilon_0 \frac{ab}{b - a}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ दिया गया है कि बाहरी गोले की त्रिज्या $b = R$ है।
त्रिज्याओं का अंतर $b - a = x$ है, इसलिए आंतरिक त्रिज्या $a = R - x$ होगी।
इन मानों को सूत्र में रखने पर, हमें $C = 4\pi\epsilon_0 \frac{(R - x)R}{x}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $4\pi\epsilon_0$ एक नियतांक है, इसलिए धारिता $C$, $\frac{R(R - x)}{x}$ के समानुपाती है।

(C) $r$ त्रिज्या वाली गोलाकार बूंद की धारिता $C = 4\pi\epsilon_0 r$ द्वारा दी जाती है।
जब $r$ त्रिज्या वाली $n$ समान बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं, तो आयतन संरक्षित रहता है।
अतः, $n \times (\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$, जिसका अर्थ है $R = n^{1/3}r$.
नई बूंद की धारिता $C' = 4\pi\epsilon_0 R = 4\pi\epsilon_0 (n^{1/3}r) = n^{1/3}C$ होती है।
$n = 2$ के लिए, नई धारिता $C' = 2^{1/3}C$ है।
चूंकि $1 < 2^{1/3} < 2$, इसलिए परिणामी धारिता $C'$, $2C$ से कम लेकिन $C$ से अधिक है।

(C) $R$ त्रिज्या वाले एक विलगित गोलीय चालक की धारिता $C$ का सूत्र $C = 4\pi \varepsilon_0 R$ होता है।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$,इसलिए $4\pi \varepsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^9}$ होगा।
यहाँ $C = 1/9\,F$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर: $R = \frac{C}{4\pi \varepsilon_0} = C \times (9 \times 10^9)$.
$R = (1/9) \times (9 \times 10^9) = 10^9\,m$.
अतः,गोले की त्रिज्या $10^9\,m$ है।

(A) किसी वस्तु की विद्युत आवेश को संग्रहित करने की क्षमता को धारिता (Capacitance) के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय संबंध इस प्रकार है:
$C = \frac{Q}{V}$
जहाँ $Q$ वस्तु पर आवेश है और $V$ विद्युत विभव है।
अतः,आवेश और विभव के अनुपात को धारिता कहा जाता है।

(B) $R$ त्रिज्या वाले एक गोलीय चालक की धारिता $C = 4\pi \varepsilon_0 R$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $C = 1 \text{ pF} = 1 \times 10^{-12} \text{ F}$।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$।
अतः,$R = C \times (9 \times 10^9) = 10^{-12} \times 9 \times 10^9 = 9 \times 10^{-3} \text{ m}$।
व्यास $D = 2R = 2 \times 9 \times 10^{-3} \text{ m} = 18 \times 10^{-3} \text{ m}$ होगा।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,इसलिए बड़ी बूंद का आयतन $64$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 64 r^3$
$R = 4r$
गोलाकार बूंद की धारिता $C = 4 \pi \epsilon_0 r$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,बड़ी बूंद की धारिता $C'$ है:
$C' = 4 \pi \epsilon_0 R = 4 \pi \epsilon_0 (4r) = 4(4 \pi \epsilon_0 r) = 4C$.
अतः,बड़ी बूंद की धारिता $4C$ होगी।

(D) किसी चालक की धारिता $C$ को $Q = CV$ संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $Q$ आवेश है और $V$ विभव है।
हालाँकि,धारिता $C$ चालक का एक ज्यामितीय गुण है।
यह चालक के आकार,माप और उसके चारों ओर के माध्यम (परावैद्युत स्थिरांक) पर निर्भर करती है।
यह चालक को दिए गए आवेश $Q$ या उस पर विकसित विभव $V$ पर निर्भर नहीं करती है।
इसके अतिरिक्त,एक चालक के लिए,धारिता चालक के पदार्थ से स्वतंत्र होती है,क्योंकि आवेश सतह पर रहता है।
इसलिए,धारिता आवेश,वोल्टेज या पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर नहीं करती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) $R_1$ और $R_2$ $(R_2 > R_1)$ त्रिज्या वाले दो संकेंद्रित चालक गोलों से बने गोलीय संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$C = 4\pi \varepsilon_0 \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}$
चूंकि $4\pi \varepsilon_0$ एक नियतांक है,इसलिए धारिता $\frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}$ पद के समानुपाती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) जब आंतरिक गोले $A$ (त्रिज्या $a$) को भू-संपर्कित किया जाता है,तो उसका विभव $V_A$ शून्य हो जाता है।
मान लीजिए गोले $A$ पर आवेश $q$ है और गोले $B$ पर आवेश $Q$ है।
गोले $A$ का विभव $V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{a} + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{b} = 0$ है।
इससे हमें $q = -Q \frac{a}{b}$ प्राप्त होता है।
गोले $B$ का विभव $V_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{b} + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{b}$ है।
$V_B$ के समीकरण में $q = -Q \frac{a}{b}$ रखने पर:
$V_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( -Q \frac{a}{b^2} + \frac{Q}{b} \right) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 b} \left( 1 - \frac{a}{b} \right) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 b} \left( \frac{b - a}{b} \right) = \frac{Q(b - a)}{4\pi \varepsilon_0 b^2}$।
धारिता $C$ की परिभाषा के अनुसार $C = \frac{Q}{V_B}$ है।
अतः,$C = \frac{Q}{\frac{Q(b - a)}{4\pi \varepsilon_0 b^2}} = \frac{4\pi \varepsilon_0 b^2}{b - a}$।

(A) $R$ त्रिज्या वाले एक विलगित गोलीय चालक की धारिता $C$ का सूत्र है: $C = 4\pi \epsilon_0 R$.
हम जानते हैं कि कूलम्ब नियतांक $k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ होता है।
अतः,$4\pi \epsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^9} \, F/m$ होगा।
यहाँ $R = 1 \, m$ दिया गया है,मान रखने पर:
$C = \frac{1}{9 \times 10^9} \times 1 = 0.111 \times 10^{-9} \, F = 1.11 \times 10^{-10} \, F$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है,जहाँ $\varepsilon_0$ मुक्त आकाश की विद्युत पारगम्यता है,$A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
$\varepsilon_0$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\varepsilon_0 = \frac{C \cdot d}{A}$ प्राप्त होता है।
मात्रकों को प्रतिस्थापित करने पर: धारिता $C$ का मात्रक $Farad$ $(F)$ है,दूरी $d$ का मात्रक $m$ है और क्षेत्रफल $A$ का मात्रक $m^2$ है।
अतः,$\varepsilon_0$ का मात्रक $= \frac{F \cdot m}{m^2} = F/m$ है।

(C) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और इसकी धारिता $C = 4\pi\epsilon_0 R = 1\,\mu F$ है।
माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है। चूंकि आयतन स्थिर रहता है,इसलिए बड़ी बूंद का आयतन $8$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$ या $r = R/2$.
प्रत्येक छोटी बूंद की धारिता $c = 4\pi\epsilon_0 r$ है।
$r = R/2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $c = 4\pi\epsilon_0 (R/2) = C/2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $C = 1\,\mu F$ दिया गया है,इसलिए प्रत्येक छोटी बूंद की धारिता $c = 1/2 = 0.5\,\mu F$ होगी।

(A) संधारित्र की प्लेटों के बीच विभवांतर $(V)$ की गणना दोनों प्लेटों के विभव के अंतर के रूप में की जाती है।
$V = V_1 - V_2 = 10\,V - (-10\,V) = 20\,V$.
प्लेट पर आवेश $(Q)$ $40\,C$ दिया गया है।
संधारित्र की धारिता $(C)$ को सूत्र $C = \frac{Q}{V}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
मान रखने पर,हमें $C = \frac{40\,C}{20\,V} = 2\,F$ प्राप्त होता है।

(A) और $b$ त्रिज्या वाले गोलाकार संधारित्र की धारिता $C = 4\pi \varepsilon_0 \frac{ab}{b - a}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
चूंकि कोश $A$ को ग्राउंड किया गया है,इसलिए इसका विभव $V_A = 0$ है।
कोश $B$ का विभव $V_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{b} + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_A}{b}$ है,जहाँ $q_A$ कोश $A$ पर प्रेरित आवेश है।
ग्राउंड किए गए आंतरिक कोश के लिए,धारिता को बाहरी कोश पर आवेश और कोशों के बीच विभवांतर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
विभवांतर $V = V_B - V_A = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$ है।
अतः,$C = \frac{Q}{V} = \frac{4\pi \varepsilon_0}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = 4\pi \varepsilon_0 \frac{ab}{b - a}$।

(D) एक समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है,जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है (जो आकार से संबंधित है),$d$ प्लेटों के बीच की दूरी है (जो मोटाई से संबंधित है),और $\epsilon_0$ (या $\epsilon$) प्लेटों के बीच के परावैद्युत पदार्थ पर निर्भर करता है। चूंकि ये सभी कारक धारिता को प्रभावित करते हैं,इसलिए सही उत्तर यह है कि यह उपरोक्त सभी पर निर्भर करता है।

(D) $R_1$ और $R_2$ त्रिज्या वाले दो संकेंद्रित चालक गोलों (जहाँ $R_2 > R_1$) से बने गोलीय संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$C = 4 \pi \varepsilon_0 \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}$
यहाँ,$4 \pi \varepsilon_0$ एक नियतांक है।
अतः,धारिता $C$,$\frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}$ पद के समानुपाती है।

(D) दिया गया है,गोले की परिधि $2\pi R = 2 \ m$ है।
अतः,$R = \frac{1}{\pi} \ m$।
माध्यम में गोलाकार चालक की धारिता $C = 4\pi \varepsilon_0 K R$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,इसलिए $4\pi \varepsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^9}$।
मान रखने पर: $C = \frac{1}{9 \times 10^9} \times 80 \times \frac{1}{\pi}$।
$C = \frac{80}{9 \times 3.14159 \times 10^9} \approx 2.828 \times 10^{-9} \ F$।
$pF$ में बदलने पर $(1 \ F = 10^{12} \ pF)$: $C = 2.828 \times 10^{-9} \times 10^{12} \ pF = 2828 \ pF$।

(C) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ और आवेश $q$ है। छोटी बूंद की धारिता $C_s = 4 \pi \epsilon_0 r$ है।
जब $n = 8$ बूंदें मिलकर एक बड़ी बूंद बनाती हैं, तो आयतन स्थिर रहता है। अतः, $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$, जिससे $R = n^{1/3} r$ प्राप्त होता है।
$n = 8$ के लिए, $R = 8^{1/3} r = 2r$ होगा।
बड़ी बूंद की धारिता $C_L = 4 \pi \epsilon_0 R = 4 \pi \epsilon_0 (2r) = 2 C_s$ होगी।
अतः, बड़ी बूंद की धारिता छोटी बूंद की तुलना में $2$ गुना है।

(A) $R$ त्रिज्या वाले एक विलगित गोलाकार चालक की धारिता $C$ का सूत्र है: $C = 4\pi \epsilon_0 R$.
हम जानते हैं कि $\frac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
इसलिए,$4\pi \epsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^9} \ F/m$.
यहाँ $R = 1 \ m$ दिया गया है,मान रखने पर:
$C = \frac{1}{9 \times 10^9} \times 1 \ F$.
$C = 0.111 \times 10^{-9} \ F = 1.11 \times 10^{-10} \ F$.

(B) चालक की धारिता $C$ को सूत्र $C = \frac{Q}{V}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
आवेश $Q = 50\ \mu C = 50 \times 10^{-6}\ C$
विभवांतर $V = 5\, V$
सूत्र में मान रखने पर:
$C = \frac{50\ \mu C}{5\, V} = 10\ \mu F$.

(C) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है। एक गोलाकार बूंद की धारिता $C = 4 \pi \epsilon_0 R$ द्वारा दी जाती है।
आयतन संरक्षण के अनुसार,बड़ी बूंद का आयतन $8$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
इसे सरल करने पर $R^3 = 8 r^3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $R = 2r$.
बड़ी बूंद की धारिता $C = 4 \pi \epsilon_0 R = 1 \ \mu F$ है।
प्रत्येक छोटी बूंद की धारिता $c = 4 \pi \epsilon_0 r$ है।
$r = R/2$ रखने पर,हमें $c = 4 \pi \epsilon_0 (R/2) = C/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$c = 1 \ \mu F / 2 = 0.5 \ \mu F$।

(B) स्थानांतरित आवेश $Q$ का मान $Q = ne$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n = 6.25 \times 10^{15}$ और $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ है।
$Q = (6.25 \times 10^{15}) \times (1.6 \times 10^{-19}) = 10 \times 10^{-4} = 10^{-3} \, C$ है।
धारिता $C$ का सूत्र $C = \frac{Q}{V}$ है।
यहाँ $V = 100 \, V$ दिया गया है,इसलिए $C = \frac{10^{-3}}{100} = 10^{-5} \, F$ है।
इसे $\mu F$ में बदलने पर,$C = 10^{-5} \times 10^6 \, \mu F = 10 \, \mu F$ प्राप्त होता है।

(B) और $b$ $(b > a)$ त्रिज्या वाले और $k$ परावैद्युतांक वाले माध्यम से भरे गोलीय संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र है:
$C = \frac{4\pi \epsilon_0 k ab}{b - a}$
दिया गया है: $a = 0.5 \ m$,$b = 0.6 \ m$,$k = 6$,और $\frac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$.
मान रखने पर:
$C = \frac{6 \times 0.5 \times 0.6}{9 \times 10^9 \times (0.6 - 0.5)}$
$C = \frac{1.8}{9 \times 10^9 \times 0.1}$
$C = \frac{1.8}{0.9 \times 10^9}$
$C = 2 \times 10^{-9} \ F$.

(D) बेलनाकार संधारित्र की धारिता $C = \frac{2\pi \varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $L$ लंबाई है,$b$ बाहरी त्रिज्या है और $a$ आंतरिक त्रिज्या है।
चूंकि धारिता $C$ स्थिर रहती है,इसलिए $L \propto \ln(b/a)$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्याएँ $a_1$ और $b_1$ हैं,जहाँ $b_1/a_1 = 10$ है।
दूसरे मामले में,नई आंतरिक त्रिज्या $a_2 = a_1/2$ है। बाहरी त्रिज्या $b_2$ वही रहती है जो $b_1$ थी (अर्थात $b_2 = b_1 = 10a_1$)।
अतः,नया अनुपात $b_2/a_2 = (10a_1) / (a_1/2) = 20$ है।
धारिता को समान रखने पर: $L_1 \ln(b_1/a_1) = L_2 \ln(b_2/a_2)$।
इसलिए,लंबाई का अनुपात $L_2/L_1 = \frac{\ln(b_2/a_2)}{\ln(b_1/a_1)}$ है।
$L_2/L_1 = \frac{\ln(20)}{\ln(10)} = \frac{2.995}{2.302} \approx 1.301$।
अतः,लंबाई को लगभग $1.3$ के कारक से बढ़ाया जाना चाहिए।

(A) दिया गया है: लंबाई $l = 15\,cm = 0.15\,m$,आंतरिक त्रिज्या $a = 1.4\,cm = 0.014\,m$,बाहरी त्रिज्या $b = 1.5\,cm = 0.015\,m$,आवेश $q = 3.5\,\mu C = 3.5 \times 10^{-6}\,C$.
बेलनाकार संधारित्र की धारिता $C = \frac{2\pi \epsilon_0 l}{\ln(b/a)} = \frac{2\pi \epsilon_0 l}{2.303 \log_{10}(b/a)}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $C = \frac{2 \times 3.14159 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 0.15}{2.303 \times \log_{10}(1.5/1.4)} \approx \frac{8.345 \times 10^{-12}}{2.303 \times 0.0299} \approx 1.21 \times 10^{-10}\,F$.
अर्थ किए गए बाहरी बेलन के सापेक्ष आंतरिक बेलन का विभव $V = \frac{q}{C}$ है।
$V = \frac{3.5 \times 10^{-6}}{1.21 \times 10^{-10}} \approx 2.89 \times 10^4\,V$.

(B) गोलीय संधारित्र की धारिता $C = 4\pi \varepsilon_0 \frac{ab}{b - a}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$a$ पृथ्वी की त्रिज्या है $= 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$.
बाहरी त्रिज्या $b$ समताप मंडल तक की दूरी है $= 6400 \ km + 50 \ km = 6450 \ km = 6.45 \times 10^6 \ m$.
दिया गया है कि $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
मान रखने पर:
$C = \frac{1}{9 \times 10^9} \times \frac{(6.4 \times 10^6) \times (6.45 \times 10^6)}{6.45 \times 10^6 - 6.4 \times 10^6}$
$C = \frac{1}{9 \times 10^9} \times \frac{41.28 \times 10^{12}}{0.05 \times 10^6}$
$C = \frac{41.28 \times 10^{12}}{9 \times 10^9 \times 0.05 \times 10^6} = \frac{41.28 \times 10^{12}}{0.45 \times 10^{15}} \approx 0.0917 \ F \approx 0.09 \ F$.

(B) $R$ त्रिज्या वाले एक विलगित गोलीय चालक की धारिता $C$ का सूत्र $C = 4\pi \varepsilon_0 R$ होता है।
इससे,मुक्त आकाश की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ को $\varepsilon_0 = \frac{C}{4\pi R}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
चूंकि धारिता $C$ का मात्रक $Farad$ $(F)$ है और त्रिज्या $R$ का मात्रक $meter$ $(m)$ है,इसलिए $\varepsilon_0$ का मात्रक $Farad / meter$ $(F/m)$ होगा।

(C) किसी चालक की आवेश धारण करने की क्षमता उसकी धारिता (capacitance) पर निर्भर करती है। $R$ त्रिज्या वाले गोलाकार चालक के लिए, धारिता $C = 4 \pi \epsilon_0 R$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि ठोस गोले और खोखले गोले दोनों की त्रिज्या $R$ समान है, इसलिए उनकी धारिता भी समान होती है।
इसके अलावा, एक आवेशित चालक के लिए, आवेश पूरी तरह से चालक की बाहरी सतह पर रहता है।
इसलिए, दोनों गोलों में विद्युत आवेश धारण करने की क्षमता समान होती है।

(D) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,$8$ छोटी बूंदों का आयतन बड़ी बूंद के आयतन के बराबर होगा:
$8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$.
गोलाकार बूंद की धारिता $C = 4 \pi \epsilon_0 r$ द्वारा दी जाती है।
बड़ी बूंद के लिए,धारिता $C' = 4 \pi \epsilon_0 R = 4 \pi \epsilon_0 (2r) = 2 \times (4 \pi \epsilon_0 r) = 2C$.
अतः,बड़ी बूंद की धारिता $2C$ होगी।

(B) मान लीजिए कि आंतरिक कोश पर आवेश $Q_1$ है और बाहरी कोश पर आवेश $Q_2$ है।
आंतरिक कोश $(R_1)$ पर विभव $V_1 = \frac{k Q_1}{R_1} + \frac{k Q_2}{R_2}$ द्वारा दिया जाता है।
बाहरी कोश $(R_2)$ पर विभव $V_2 = \frac{k Q_1}{R_2} + \frac{k Q_2}{R_2}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $V_1 - V_2 = k Q_1 (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = k Q_1 \frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2}$.
अतः,$k Q_1 = \frac{(V_1 - V_2) R_1 R_2}{R_2 - R_1}$.
$x$ दूरी $(R_1 < x < R_2)$ पर विभव $V(x) = \frac{k Q_1}{x} + \frac{k Q_2}{R_2}$ है।
चूंकि $V_2 = \frac{k Q_1}{R_2} + \frac{k Q_2}{R_2}$,इसलिए $\frac{k Q_2}{R_2} = V_2 - \frac{k Q_1}{R_2}$ है।
इस मान को $V(x)$ के व्यंजक में रखने पर: $V(x) = k Q_1 (\frac{1}{x} - \frac{1}{R_2}) + V_2 = k Q_1 \frac{R_2 - x}{x R_2} + V_2$.
$k Q_1$ का मान रखने पर: $V(x) = \frac{(V_1 - V_2) R_1 R_2}{R_2 - R_1} \cdot \frac{R_2 - x}{x R_2} + V_2$.
सरल करने पर: $V(x) = \frac{V_1 R_1 (R_2 - x) + V_2 R_2 (x - R_1)}{x (R_2 - R_1)}$.

(C) स्थिति $1$: जब $b$ त्रिज्या वाले बाहरी कोश को ग्राउंड किया जाता है,तो धारिता $C_1$ का सूत्र है: $C_1 = 4\pi \varepsilon_0 \frac{ab}{b-a}$।
स्थिति $2$: जब $a$ त्रिज्या वाले आंतरिक कोश को ग्राउंड किया जाता है,तो यह निकाय समानांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों की तरह कार्य करता है: आंतरिक कोश और बाहरी कोश ($b$ त्रिज्या का गोला)। कुल धारिता $C_2$ बाहरी कोश की धारिता $(4\pi \varepsilon_0 b)$ और कोशों के बीच की पारस्परिक धारिता $(4\pi \varepsilon_0 \frac{ab}{b-a})$ का योग है। अतः,$C_2 = 4\pi \varepsilon_0 b + 4\pi \varepsilon_0 \frac{ab}{b-a} = 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{b^2 - ab + ab}{b-a} \right) = 4\pi \varepsilon_0 \frac{b^2}{b-a}$।
अंतर $C_2 - C_1 = 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{b^2}{b-a} - \frac{ab}{b-a} \right) = 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{b(b-a)}{b-a} \right) = 4\pi \varepsilon_0 b$ होगा।

(B) परावैद्युत माध्यम वाले गोलीय संधारित्र की धारिता $C = K \cdot 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1} \right)$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है: $r_1 = 9 \times 10^{-2}\,m$,$r_2 = 10 \times 10^{-2}\,m$,$K = 6$,और $q = 18 \times 10^{-9}\,C$.
मान रखने पर: $C = 6 \times \frac{1}{9 \times 10^9} \times \left( \frac{9 \times 10^{-2} \times 10 \times 10^{-2}}{10 \times 10^{-2} - 9 \times 10^{-2}} \right)$.
$C = \frac{6}{9 \times 10^9} \times \left( \frac{90 \times 10^{-4}}{1 \times 10^{-2}} \right) = \frac{6}{9 \times 10^9} \times 90 \times 10^{-2} = 6 \times 10^{-10}\,F$.
पृथ्वी से जुड़े बाहरी गोले के सापेक्ष आंतरिक गोले का विभव $V = \frac{q}{C}$ होगा।
$V = \frac{18 \times 10^{-9}}{6 \times 10^{-10}} = 3 \times 10 = 30\,V$.

(B) त्रिज्या वाले एक विलगित चालक गोले की धारिता $C_0 = 4\pi \varepsilon_0 a$ होती है।
जब इस गोले को $b$ त्रिज्या वाले एक भू-संपर्कित संकेंद्रित गोले से घेर दिया जाता है $(b > a)$,तो यह प्रणाली एक गोलीय संधारित्र (spherical capacitor) की तरह कार्य करती है।
गोलीय संधारित्र की धारिता $C = 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{ab}{b-a} \right)$ द्वारा दी जाती है।
हम इसे $C = 4\pi \varepsilon_0 a \left( \frac{b}{b-a} \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अंश और हर को $a$ से विभाजित करने पर,हमें $C = 4\pi \varepsilon_0 a \left( \frac{b/a}{b/a - 1} \right)$ प्राप्त होता है।
दिए गए अनुपात $\frac{b}{a} = n$ को समीकरण में रखने पर:
$C = (4\pi \varepsilon_0 a) \left( \frac{n}{n-1} \right) = C_0 \left( \frac{n}{n-1} \right)$.
अतः,धारिता $\frac{n}{n-1}$ के गुणक से बढ़ जाएगी।

(D) स्थिर अवस्था में,संधारित्र खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करते हैं,जिसका अर्थ है कि उनमें से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
चूंकि सभी शाखाएं बैटरी के $EMF$ $E$ के साथ समानांतर में जुड़ी हुई हैं,इसलिए प्रत्येक संधारित्र पर विभवांतर बैटरी के $EMF$ $E$ के बराबर होता है।
पहले संधारित्र $(C_1 = C)$ में संचित आवेश $Q_1 = C \times E$ है।
$n^{th}$ संधारित्र $(C_n = nC)$ में संचित आवेश $Q_n = (nC) \times E$ है।
इसलिए,पहले संधारित्र और $n^{th}$ संधारित्र में संचित आवेश का अनुपात $\frac{Q_1}{Q_n} = \frac{CE}{nCE} = \frac{1}{n}$ है।

(C) जब दो चालक गोलीय कोशों को एक चालक द्वारा जोड़ा जाता है,तो वे समान विभव पर आ जाते हैं।
चूंकि आंतरिक कोश बाहरी कोश से जुड़ा हुआ है,इसलिए निकाय को दिया गया संपूर्ण आवेश बाहरी कोश की बाहरी सतह पर स्थित होता है।
इस प्रकार,यह निकाय $b$ त्रिज्या वाले एक एकल विलगित गोलीय चालक की तरह व्यवहार करता है।
$R$ त्रिज्या वाले एक विलगित गोलीय चालक की धारिता $C = 4 \pi \varepsilon_0 R$ द्वारा दी जाती है।
अतः,दिए गए निकाय के लिए धारिता $C = 4 \pi \varepsilon_0 b$ है।

(B) बड़ी दूरी $L$ के लिए,एक आवेशित संधारित्र को विद्युत द्विध्रुव (electric dipole) के रूप में माना जा सकता है।
समांतर प्लेट संधारित्र का द्विध्रुव आघूर्ण $p$,$p = qd$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q$ प्लेटों पर आवेश है और $d$ उनके बीच की दूरी है। अतः,$p \propto d$ है।
$L$ दूरी पर स्थित दो द्विध्रुवों के बीच पारस्परिक बल $F$,$F \propto \frac{p_1 p_2}{L^4}$ द्वारा दिया जाता है।
$p \propto d$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $F \propto \frac{d \cdot d}{L^4} = \frac{d^2}{L^4}$।
अतः,पारस्परिक बल $d^2/L^4$ के समानुपाती है।

(A) विभिन्न विन्यासों के लिए धारिता के सूत्र इस प्रकार हैं:
$1$. $\ell$ लंबाई और $r_1, r_2$ त्रिज्या वाले बेलनाकार संधारित्र के लिए,धारिता $C = \frac{2\pi \epsilon_0 \ell}{\ln(r_2/r_1)}$ होती है। अतः,$A \rightarrow iii$.
$2$. $r_1$ आंतरिक त्रिज्या और $r_2$ बाहरी त्रिज्या वाले गोलीय संधारित्र के लिए,धारिता $C = \frac{4\pi \epsilon_0 r_1 r_2}{r_2 - r_1}$ होती है। अतः,$B \rightarrow iv$.
$3$. $K$ परावैद्युतांक वाले समांतर प्लेट संधारित्र के लिए,धारिता $C = \frac{K A \epsilon_0}{d}$ होती है। अतः,$C \rightarrow ii$.
$4$. $R$ त्रिज्या वाले विलगित गोलीय चालक के लिए,धारिता $C = 4\pi \epsilon_0 R$ होती है। अतः,$D \rightarrow i$.
इसलिए,सही मिलान $A-(iii), B-(iv), C-(ii), D-(i)$ है।

(D) गोलीय चालक की धारिता $C = 4 \pi \epsilon_0 r$ द्वारा दी जाती है।
$C = 1 \, F$ के लिए,आवश्यक त्रिज्या $r = \frac{C}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, m$ है।
यह त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या $(6.4 \times 10^6 \, m)$ से लगभग $1500$ गुना बड़ी है,जिससे ऐसा गोला बनाना भौतिक रूप से असंभव है।
इसलिए,कथन $1$ सत्य है।
कथन $2$ दावा करता है कि पृथ्वी के लिए यह संभव है,लेकिन पृथ्वी की धारिता केवल $C = 4 \pi \epsilon_0 R_e \approx 711 \, \mu F$ है,जो $1 \, F$ से बहुत कम है।
अतः,कथन $2$ असत्य है।

(B) माना कि विलगित गोले की त्रिज्या $a$ है और भू-संपर्कित बाहरी गोले की त्रिज्या $b$ है।
एक विलगित गोले की धारिता $C = 4 \pi \epsilon_0 a$ होती है।
जब इस गोले को $b$ त्रिज्या वाले भू-संपर्कित संकेंद्री गोले से घेरा जाता है,तो नई धारिता $C' = \frac{4 \pi \epsilon_0 a b}{b - a}$ होती है।
प्रश्न के अनुसार,धारिता $n$ गुना बढ़ जाती है,इसलिए $C' = nC$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$n(4 \pi \epsilon_0 a) = \frac{4 \pi \epsilon_0 a b}{b - a}$.
दोनों पक्षों को $4 \pi \epsilon_0 a$ से विभाजित करने पर,हमें $n = \frac{b}{b - a}$ प्राप्त होता है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $n(b - a) = b$,जिसका अर्थ है $nb - na = b$.
$b$ वाले पदों को एक साथ लेने पर: $nb - b = na$,या $b(n - 1) = na$.
अतः,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{b}{a} = \frac{n}{n - 1}$ है।

(B) वोल्टमीटर बाईं ओर के दो संधारित्रों के सिरों पर जुड़ा हुआ है। चूँकि ये दोनों संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए प्रत्येक पर विभवांतर $200\,V$ है।
दिया गया है,धारिता $C = 25\,\mu F = 25 \times 10^{-6}\,F$ और विभवांतर $V = 200\,V$ है।
संधारित्र की प्रत्येक प्लेट पर आवेश $Q$ सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$Q = \pm CV$
मान रखने पर:
$Q = \pm (25 \times 10^{-6}\,F) \times (200\,V)$
$Q = \pm 5000 \times 10^{-6}\,C$
$Q = \pm 5 \times 10^{-3}\,C$