Mix Examples - Electric Potential and Capacitance Questions in Hindi

(B) जब साबुन के बुलबुले को ऋण आवेश दिया जाता है,तो आवेश बुलबुले की सतह पर समान रूप से वितरित हो जाता है।
सतह पर समान आवेशों (ऋण आवेशों) के कारण,उनके बीच परस्पर प्रतिकर्षण का स्थिर-वैद्युत बल कार्य करता है।
यह बाहर की ओर लगने वाला स्थिर-वैद्युत दबाव बुलबुले के आंतरिक वायु दबाव के अतिरिक्त कार्य करता है,जिससे बुलबुला फैल जाता है।
अतः,साबुन के बुलबुले की त्रिज्या बढ़ जाती है।

(D) $R$ त्रिज्या वाली समान रूप से आवेशित डिस्क के केंद्र से $x$ दूरी पर विभव $V(x) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} (\sqrt{x^2 + R^2} - x)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\sigma$ पृष्ठ आवेश घनत्व है।
जैसे-जैसे $+q$ आवेश डिस्क की ओर बढ़ता है, यह प्रतिकर्षी स्थिर-वैद्युत बल का अनुभव करता है।
$x$ दूरी पर आवेश की स्थितिज ऊर्जा $U(x) = qV(x)$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, $E + U(\infty) = K(x) + U(x)$। चूँकि $U(\infty) = 0$, इसलिए $E = K(x) + qV(x)$।
निकटतम पहुँच के बिंदु पर, $K(x) = 0$ होता है, इसलिए $E = qV(x)$।
$1$. यदि $E$ बहुत अधिक है, तो आवेश डिस्क से टकराएगा $(x=0)$।
$2$. यदि $E$ सतह पर स्थितिज ऊर्जा के ठीक बराबर है, तो यह डिस्क को छूकर वापस लौट आएगा।
$3$. यदि $E$ कम है, तो आवेश कुछ दूरी $x > 0$ पर रुक जाएगा और डिस्क को छुए बिना अपने पथ पर वापस लौट आएगा।
अतः, $E$ के परिमाण के आधार पर तीनों स्थितियाँ संभव हैं।

(D) जब $n$ समान छोटी बूंदें,जिनमें से प्रत्येक का आवेश $q$ है,को मिलाकर एक बड़ी बूंद बनाई जाती है,तो कुल आवेश संरक्षित रहता है।
चूंकि $64$ बूंदें हैं,इसलिए बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q$ सभी छोटी बूंदों के आवेशों के योग के बराबर होगा।
अतः,$Q = n \times q$।
यहाँ $n = 64$ दिया गया है,इसलिए $Q = 64\,q$।

(D) $r$ त्रिज्या और $q$ आवेश वाले गोले का विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों गोलों पर समान आवेश $q$ है,इसलिए उनके विभव $V_P = \frac{kq}{r_1}$ और $V_Q = \frac{kq}{r_2}$ होंगे।
दिया गया है कि $r_1 > r_2$,इसलिए $V_P < V_Q$ होगा।
यदि आवेश $q$ धनात्मक है,तो विभव $V_Q$,$V_P$ से अधिक है,इसलिए धनात्मक आवेश $Q$ से $P$ की ओर प्रवाहित होगा।
यदि आवेश $q$ ऋणात्मक है,तो विभव $V_P$,$V_Q$ से अधिक (कम ऋणात्मक) है,इसलिए ऋणात्मक आवेश $P$ से $Q$ की ओर प्रवाहित होगा।
चूंकि आवेश की प्रकृति (धनात्मक या ऋणात्मक) निर्दिष्ट नहीं है,इसलिए प्रवाह की दिशा निर्धारित नहीं की जा सकती है। अतः,जानकारी अधूरी है।

(D) प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है। प्रारंभिक आवेश $Q_i = CV$ है।
जब दूरी को आधा $(d' = d/2)$ कर दिया जाता है,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = 2C$ हो जाती है।
चूंकि बैटरी जुड़ी हुई है,संधारित्र पर विभव $V$ ही रहता है।
संधारित्र पर नया आवेश $Q_f = C'V = 2CV$ है।
बैटरी द्वारा आपूर्ति किया गया अतिरिक्त आवेश $\Delta Q = Q_f - Q_i = 2CV - CV = CV$ है।
बैटरी द्वारा दी गई ऊर्जा $W = \Delta Q \times V = (CV) \times V = CV^2$ है।

(D) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और उसका आवेश $q$ है। प्रत्येक छोटी बूंद का विभव $V = \frac{kq}{r}$ है।
जब $N$ ऐसी बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = N \times \frac{4}{3}\pi r^3 \implies R^3 = N r^3 \implies R = N^{1/3}r$.
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = Nq$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V' = \frac{kQ}{R} = \frac{k(Nq)}{N^{1/3}r}$ होगा।
$V = \frac{kq}{r}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V' = N^{1 - 1/3} \times V = N^{2/3}V$ प्राप्त होता है।

(B) प्रारंभिक धारिता $C = \frac{{\varepsilon _0}A}{d}$ है। प्रारंभिक आवेश $Q = CV = \frac{{\varepsilon _0}AV}{d}$ है। चूंकि बैटरी हटा दी गई है,इसलिए आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
$k$ परावैद्युतांक वाले स्लैब को डालने के बाद,नई धारिता $C' = kC = \frac{k{\varepsilon _0}A}{d}$ है।
नया विभवांतर $V' = \frac{Q}{C'} = \frac{CV}{kC} = \frac{V}{k}$ है।
नया विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V'}{d} = \frac{V}{kd}$ है।
सिस्टम पर किया गया कार्य $W$ संचित ऊर्जा में परिवर्तन है: $W = U_{final} - U_{initial}$।
$U_{initial} = \frac{1}{2}CV^2$।
$U_{final} = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(CV)^2}{2kC} = \frac{CV^2}{2k}$।
$W = \frac{CV^2}{2k} - \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}CV^2 \left( \frac{1}{k} - 1 \right) = -\frac{{\varepsilon _0}AV^2}{2d} \left( 1 - \frac{1}{k} \right)$।
अतः,विकल्प $B$ गलत है।

(D) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और प्रत्येक छोटी बूंद पर आवेश $q$ है।
छोटी बूंद का विभव $v = \frac{kq}{r} = 50\;V$ है।
जब $n = 125$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाली एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है।
अतः,$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3$,जिसका अर्थ है $R = n^{1/3}r$।
बड़ी बूंद पर कुल आवेश $Q = nq$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \times \frac{kq}{r}$ होगा।
मान रखने पर: $V = (125)^{2/3} \times 50$।
$V = (5^3)^{2/3} \times 50 = 5^2 \times 50 = 25 \times 50 = 1250\;V$।

(D) एक संधारित्र अपनी प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र के रूप में विद्युत ऊर्जा संग्रहीत करता है। बिजली की आपूर्ति बंद होने के बाद भी,प्लेटों पर आवेश (charge) बना रहता है। जब कोई व्यक्ति टर्मिनलों को छूता है,तो संधारित्र शरीर के माध्यम से डिस्चार्ज हो जाता है,जो विद्युत धारा के लिए एक पथ के रूप में कार्य करता है। संग्रहीत ऊर्जा का यह अचानक डिस्चार्ज गंभीर बिजली का झटका दे सकता है,जो मानव स्वास्थ्य के लिए खतरनाक है। इसलिए,संधारित्र ऊर्जा को डिस्चार्ज करता है और व्यक्ति को खतरनाक रूप से प्रभावित करता है।

(D) जब $d$ दूरी वाले समानांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच $t$ मोटाई की एक धातु की शीट डाली जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $t > 0$,हर $(d - t)$,$d$ से कम है,जिसका अर्थ है कि $C' > C$। अतः,धारिता बढ़ जाती है।
इसके अलावा,धारिता $C'$ का सूत्र धातु की शीट की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है,बशर्ते इसे प्लेटों के समानांतर रखा जाए।
इसलिए,कथन $(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(D) माना कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और उसका आवेश $q$ है। छोटी बूंद का विभव $v = \frac{kq}{r}$ है।
जब $n = 125$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो कुल आवेश संरक्षित रहता है: $Q = nq = 125q$.
आयतन भी संरक्षित रहता है: $\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,जिसका अर्थ है $R^3 = nr^3$,या $R = n^{1/3}r$.
$n = 125$ के लिए,$R = (125)^{1/3}r = 5r$.
बड़ी बूंद का विभव $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \left(\frac{kq}{r}\right) = n^{2/3}v$ है।
दिया गया है $V = 2.5\, V$ और $n = 125$,इसलिए $2.5 = (125)^{2/3}v$.
$2.5 = (5^3)^{2/3}v = 5^2 v = 25v$.
अतः,$v = \frac{2.5}{25} = 0.1\, V$ प्राप्त होता है।

(A) प्रारंभिक ऊर्जा $E_0 = \frac{1}{2} C_0 V_0^2$ है।
स्थिति $(i)$: बैटरी हटा दी जाती है। आवेश $Q = C_0 V_0$ स्थिर रहता है। जब दूरी $d$ दोगुनी हो जाती है,तो नई धारिता $C' = C_0/2$ हो जाती है। ऊर्जा $E_1 = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(C_0 V_0)^2}{2(C_0/2)} = C_0 V_0^2 = 2E_0$।
स्थिति $(ii)$: बैटरी जुड़ी रहती है। विभव $V_0$ स्थिर रहता है। जब दूरी $d$ दोगुनी हो जाती है,तो नई धारिता $C' = C_0/2$ हो जाती है। ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} C' V_0^2 = \frac{1}{2} (C_0/2) V_0^2 = \frac{1}{4} C_0 V_0^2 = E_0/2$।
अतः,$E_1/E_2 = (2E_0) / (E_0/2) = 4$।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = 2\,\mu F$ है। हमें कुल समतुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{10}{11}\,\mu F$ चाहिए।
मान लीजिए कि $n$ संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हैं और $m$ संधारित्र इस समानांतर संयोजन के साथ श्रेणी क्रम में जुड़े हैं।
समानांतर क्रम में $n$ संधारित्रों की समतुल्य धारिता $C_p = nC = n(2)\,\mu F$ है।
कुल समतुल्य धारिता $C_{eq}$,$C_p$ और $m$ संधारित्रों के श्रेणी संयोजन द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_p} + \frac{m}{C} = \frac{1}{2n} + \frac{m}{2} = \frac{1 + nm}{2n}$.
दिया है $C_{eq} = \frac{10}{11}\,\mu F$,इसलिए $\frac{2n}{1 + nm} = \frac{10}{11}$.
$22n = 10 + 10nm \implies 11n = 5 + 5nm \implies 5nm = 11n - 5$.
चूंकि संधारित्रों की कुल संख्या $n + m = 7$ है,इसलिए $m = 7 - n$ है।
$m$ का मान रखने पर: $5n(7 - n) = 11n - 5 \implies 35n - 5n^2 = 11n - 5 \implies 5n^2 - 24n - 5 = 0$.
द्विघात समीकरण को हल करने पर: $5n^2 - 25n + n - 5 = 0 \implies 5n(n - 5) + 1(n - 5) = 0 \implies (5n + 1)(n - 5) = 0$.
इस प्रकार,$n = 5$ और $m = 7 - 5 = 2$ है।
इसका मतलब है कि $5$ संधारित्र समानांतर में हैं और $2$ संधारित्र इस समानांतर समूह के साथ श्रेणी में हैं। यह चित्र $(a)$ में दिखाई गई व्यवस्था से मेल खाता है।

(B) $1$. समानांतर संयोजन में,कुल धारिता $C_p = nC$ है। संचित ऊर्जा $U_p = \frac{1}{2} (nC) V^2$ है।
$2$. जब संधारित्रों को अलग किया जाता है,तो प्रत्येक संधारित्र $q = CV$ आवेश बनाए रखता है।
$3$. जब इन $n$ संधारित्रों को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_s = \frac{C}{n}$ होती है।
$4$. श्रेणी संयोजन में कुल आवेश $q = CV$ है। श्रेणी संयोजन पर कुल विभवांतर $V' = \frac{q}{C_s} = \frac{CV}{C/n} = nV$ है।
$5$. श्रेणी संयोजन में संचित ऊर्जा $U_s = \frac{q^2}{2C_s} = \frac{(CV)^2}{2(C/n)} = \frac{nC^2V^2}{2C} = \frac{1}{2} nCV^2$ है।
$6$. $U_p$ और $U_s$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $U_p = U_s$ है। अतः,ऊर्जा समान रहती है और विभवांतर $nV$ हो जाता है।

(D) दिया गया परिपथ संधारित्रों के लिए एक संतुलित व्हीटस्टोन सेतु है।
चूंकि सभी संधारित्रों की धारिता समान $(C = 10\,\mu F)$ है,इसलिए मध्य संधारित्र के सिरों पर विभवांतर शून्य है।
अतः,मध्य संधारित्र से कोई आवेश प्रवाहित नहीं होता है,और इसे परिपथ से हटाया जा सकता है।
अब,परिपथ में दो समानांतर शाखाएँ हैं,जिनमें से प्रत्येक में दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं।
ऊपरी शाखा के लिए,तुल्य धारिता $C_1$ का मान $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} \implies C_1 = 5\,\mu F$ है।
इसी प्रकार,निचली शाखा के लिए,तुल्य धारिता $C_2 = 5\,\mu F$ है।
चूंकि ये दोनों शाखाएँ समानांतर क्रम में हैं,इसलिए कुल तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 5\,\mu F + 5\,\mu F = 10\,\mu F$ होगी।

(C) जब $C_1 = 1\,\mu F$ और $C_2 = 1\,\mu F$ धारिता वाले दो संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 1\,\mu F + 1\,\mu F = 2\,\mu F = 2 \times 10^{-6}\,F$ होती है।
आपूर्ति वोल्टेज $V = 200\,V$ है।
संधारित्रों में संचित कुल ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ है।
मान रखने पर: $U = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-6}\,F) \times (200\,V)^2$.
$U = 10^{-6} \times 40000 = 0.04\,J$.

(C) परिपथ आरेख से,संधारित्र $C_1$,$C_2$ और $C_3$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है।
श्रेणीक्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए,$C_1$ से प्रवाहित होने वाला कुल आवेश $Q_1$,समानांतर शाखाओं पर आवेशों के योग के बराबर होना चाहिए,इसलिए $Q_1 = Q_2 + Q_3$।
समानांतर क्रम में जुड़े संधारित्रों के लिए,उनके सिरों पर विभवांतर समान होता है,इसलिए $V_2 = V_3$।
बैटरी का कुल विभव $V$,$C_1$ के सिरों पर विभव पतन और समानांतर संयोजन ($V_2$ या $V_3$) के सिरों पर विभव पतन के योग के बराबर होता है।
इसलिए,$V = V_1 + V_2$ (या $V = V_1 + V_3$)।

(C) जब दो संधारित्रों को समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो आवेश उच्च विभव वाले संधारित्र से निम्न विभव वाले संधारित्र की ओर तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि दोनों समान विभव प्राप्त न कर लें।
आवेश के इस पुनर्वितरण के दौरान ऊर्जा की हानि होती है।
ऊर्जा में हानि का सूत्र है: $\Delta U = \frac{C_1 C_2}{2(C_1 + C_2)} (V_1 - V_2)^2$.
ऊर्जा का कोई आदान-प्रदान या हानि न हो,इसके लिए $\Delta U$ का मान $0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $(V_1 - V_2)^2 = 0$,जिसका तात्पर्य है $V_1 = V_2$।
अतः,यदि प्रारंभिक वोल्टेज समान हैं,तो कोई आवेश प्रवाह नहीं होगा और ऊर्जा की कोई हानि नहीं होगी।

(A) माना प्रत्येक संधारित्र की धारिता $C = 3\,\mu F$ है।
$1$. $A$ और $B$ के बीच तुल्य धारिता $(C_{AB})$ के लिए:
जब बिंदुओं $A$ और $B$ को एक स्रोत से जोड़ा जाता है,तो $A$ और $B$ के बीच स्थित संधारित्र अन्य तीन संधारित्रों के श्रेणी संयोजन के साथ समानांतर में होता है।
$C_{AB} = C + (C/3) = 3 + (3/3) = 3 + 1 = 4\,\mu F$.
$2$. $A$ और $C$ के बीच तुल्य धारिता $(C_{AC})$ के लिए:
जब बिंदुओं $A$ और $C$ को जोड़ा जाता है,तो परिपथ दो समानांतर शाखाएं बनाता है,जिनमें से प्रत्येक में दो संधारित्र श्रेणीक्रम में होते हैं।
$C_{AC} = (C/2) + (C/2) = (3/2) + (3/2) = 1.5 + 1.5 = 3\,\mu F$.
$3$. अनुपात $C_{AB} : C_{AC} = 4 : 3$ होगा।

(D) $1$. परिपथ का विश्लेषण करने पर,हम देख सकते हैं कि $10\;\mu F$,$5\;\mu F$,और $9\;\mu F$ के संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हैं।
$2$. इस समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता $C_p = 10 + 5 + 9 = 24\;\mu F$ है।
$3$. अब,परिपथ तीन संधारित्रों के श्रेणी क्रम में सरल हो जाता है: $12\;\mu F$,$24\;\mu F$,और $8\;\mu F$।
$4$. तुल्य धारिता $C_{eq}$ का मान $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{8} = \frac{2 + 1 + 3}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ है। अतः,$C_{eq} = 4\;\mu F$।
$5$. परिपथ से प्रवाहित कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = 4\;\mu F \times 60\;V = 240\;\mu C$ है।
$6$. यह आवेश $Q$,$12\;\mu F$ और $8\;\mu F$ संधारित्रों से होकर गुजरता है और समानांतर संयोजन में विभाजित हो जाता है।
$7$. $5\;\mu F$ संधारित्र पर आवेश $Q'$,उसकी धारिता और कुल समानांतर धारिता के अनुपात द्वारा निर्धारित होता है: $Q' = Q \times \frac{5}{10 + 5 + 9} = 240 \times \frac{5}{24} = 50\;\mu C$।

(D) $1$. दो $4\,\mu F$ संधारित्र समानांतर क्रम में हैं,इसलिए उनकी तुल्य धारिता $C_p = 4\,\mu F + 4\,\mu F = 8\,\mu F$ है।
$2$. अब,परिपथ में तीन संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं: $20\,\mu F$,$8\,\mu F$ (समानांतर संयोजन),और $12\,\mu F$.
$3$. तुल्य धारिता $C_{eq}$ के लिए $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{6 + 15 + 10}{120} = \frac{31}{120}\,\mu F^{-1}$,अतः $C_{eq} = \frac{120}{31}\,\mu F$.
$4$. $300\,V$ स्रोत द्वारा प्रदान किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} \times V = \frac{120}{31} \times 300 = \frac{36000}{31} \approx 1161.29\,\mu C$.
$5$. चूंकि संधारित्र श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए प्रत्येक शाखा से समान आवेश $Q$ प्रवाहित होता है। यह आवेश $Q$ दो समानांतर $4\,\mu F$ संधारित्रों के बीच समान रूप से विभाजित होता है क्योंकि उनकी धारिता समान है।
$6$. प्रत्येक $4\,\mu F$ संधारित्र पर आवेश $q = \frac{Q}{2} = \frac{1161.29}{2} \approx 580.6\,\mu C$.
$7$. $4\,\mu F$ संधारित्र पर विभवांतर $V' = \frac{q}{C} = \frac{580.6}{4} \approx 145.15\,V$. निकटतम विकल्प $D$ है।

(B) $1$. सबसे पहले,$4\,\mu F$ और $8\,\mu F$ के समानांतर संयोजन की तुल्य धारिता ज्ञात करें: $C_p = 4\,\mu F + 8\,\mu F = 12\,\mu F$.
$2$. अब,यह $C_p$,$12\,\mu F$ के संधारित्र के साथ श्रेणी क्रम में है। कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ है: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{12\,\mu F} + \frac{1}{12\,\mu F} = \frac{2}{12\,\mu F} = \frac{1}{6\,\mu F}$,इसलिए $C_{eq} = 6\,\mu F$.
$3$. $20\;V$ के स्रोत द्वारा आपूर्ति किया गया कुल आवेश $Q$ है: $Q = C_{eq} \times V = 6\,\mu F \times 20\;V = 120\,\mu C$.
$4$. यह आवेश $Q$ श्रेणी संयोजन से होकर गुजरता है। $4\,\mu F$ के संधारित्र पर आवेश $Q'$,समानांतर परिपथ में आवेश विभाजन के नियम द्वारा निर्धारित होता है: $Q' = Q \times \frac{C_1}{C_1 + C_2} = 120\,\mu C \times \frac{4\,\mu F}{4\,\mu F + 8\,\mu F} = 120\,\mu C \times \frac{4}{12} = 40\,\mu C$.

(A) और $B$ के बीच तुल्य धारिता ज्ञात करने के लिए,हम परिपथ को दाईं ओर से चरण-दर-चरण सरल करते हैं।
$1$. सबसे दाईं ओर का $3\, \mu F$ संधारित्र और निचली शाखा में स्थित $3\, \mu F$ संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। उनका तुल्य $C_1 = (3 \times 3) / (3 + 3) = 1.5\, \mu F$ है।
$2$. यह $C_1$,$2\, \mu F$ संधारित्र के साथ समांतर क्रम में है,जिससे $C_2 = 1.5 + 2 = 3.5\, \mu F$ प्राप्त होता है।
$3$. यह $C_2$,ऊपर की मध्य शाखा में स्थित $3\, \mu F$ संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में है,जिससे $C_3 = (3.5 \times 3) / (3.5 + 3) = 10.5 / 6.5 \approx 1.61\, \mu F$ प्राप्त होता है।
$4$. पूरे लैडर नेटवर्क के लिए इस सरलीकरण प्रक्रिया को जारी रखने पर,$A$ और $B$ के बीच तुल्य धारिता $1\, \mu F$ प्राप्त होती है।

(B) चरण $1$: श्रेणीक्रम में तुल्य धारिता की गणना करें।
$\frac{1}{C_s} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}\,pF^{-1}$,इसलिए $C_s = 2\,pF$.
चरण $2$: श्रेणीक्रम संयोजन में संचित कुल आवेश की गणना करें।
$Q = C_s \times V = 2 \times 10^{-12}\,F \times 5000\,V = 10^{-8}\,C$.
चरण $3$: जब उन्हें अलग करके समांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल आवेश $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 10^{-8} + 10^{-8} = 2 \times 10^{-8}\,C$ हो जाता है।
नई तुल्य धारिता $C_p = 3 + 6 = 9\,pF$ है।
चरण $4$: समांतर संयोजन के लिए नया विभवांतर $V' = \frac{Q_{total}}{C_p} = \frac{2 \times 10^{-8}}{9 \times 10^{-12}} = \frac{20000}{9} \approx 2222\,V$.

(C) इस परिपथ में चार संधारित्र हैं। मान लीजिए संधारित्र $C_1 = 2\,\mu F$ (ऊपर),$C_2 = 2\,\mu F$ (मध्य में लंबवत),$C_3 = 12\,\mu F$ (ऊपर दाईं ओर),और $C_4 = 2\,\mu F$ (नीचे दाईं ओर) हैं।
परिपथ का विश्लेषण करने पर,हम देख सकते हैं कि $2\,\mu F$ संधारित्र (ऊपर) और $2\,\mu F$ संधारित्र (मध्य में लंबवत) श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_{12}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \implies C_{12} = 1\,\mu F$.
इस परिपथ का मानक सरलीकरण इस प्रकार है:
$C_{eq} = \frac{(2+2) \times 12}{(2+2) + 12} + 2 = \frac{4 \times 12}{16} + 2 = 3 + 2 = 5\,\mu F$.

(C) समानांतर क्रम में जुड़े $100$ संधारित्रों की कुल धारिता $C_{eq} = 100 \times 10\,\mu F = 1000\,\mu F = 10^{-3}\,F$ है।
विभवांतर $V = 100\,kV = 10^5\,V$ है।
संधारित्रों में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ है।
$U = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times (10^5)^2 = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 10^{10} = 0.5 \times 10^7 = 5 \times 10^6\,J$ है।
दिया गया है कि $1\,kWh = 3.6 \times 10^6\,J$ और लागत $108\;paise\;per\;kWh$ है।
आवेशित करने की लागत $\text{Cost} = \frac{U}{3.6 \times 10^6} \times 108$ है।
$\text{Cost} = \frac{5 \times 10^6}{3.6 \times 10^6} \times 108 = \frac{5}{3.6} \times 108 = 5 \times 30 = 150\;paise$ है।

(C) दिए गए परिपथ में चार संधारित्र हैं। मान लीजिए संधारित्र $C_1 = 1\,\mu F$ (ऊपर बाएँ),$C_2 = 1\,\mu F$ (मध्य में लंबवत),$C_3 = 1\,\mu F$ (ऊपर दाएँ),और $C_4 = 2\,\mu F$ (नीचे दाएँ) हैं।
सबसे पहले,ध्यान दें कि संधारित्र $C_1$ और $C_2$ समानांतर क्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_{12} = C_1 + C_2 = 1 + 1 = 2\,\mu F$ है।
अब,यह संयोजन $C_{12}$,$C_3$ के साथ श्रेणी क्रम में है। इस शाखा की तुल्य धारिता $C_{123} = \frac{C_{12} \times C_3}{C_{12} + C_3} = \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3}\,\mu F$ है।
अंत में,यह शाखा $C_4$ के साथ समानांतर क्रम में है। इसलिए $x$ और $y$ के बीच कुल प्रभावी धारिता $C_{xy} = C_{123} + C_4 = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3}\,\mu F$ है।

(C) स्थायी अवस्था में,संधारित्र एक खुले परिपथ के रूप में कार्य करता है,इसलिए संधारित्र वाली शाखा (लाइन $1$) से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
अतः,परिपथ में कुल धारा $i$ केवल ऊपरी शाखा (लाइन $2$) से प्रवाहित होती है जिसमें दो $1\,\Omega$ के प्रतिरोधक श्रेणीक्रम में हैं।
परिपथ का कुल प्रतिरोध $R_{eq} = 1\,\Omega + 1\,\Omega + 0.5\,\Omega = 2.5\,\Omega$ है।
कुल धारा $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2.5\,V}{2.5\,\Omega} = 1\,A$ है।
ऊपरी शाखा के सिरों पर विभवांतर $V_{upper} = i \times (1\,\Omega + 1\,\Omega) = 1\,A \times 2\,\Omega = 2\,V$ है।
चूंकि संधारित्र शाखा ऊपरी शाखा के समानांतर है,इसलिए संधारित्र के सिरों पर विभवांतर ऊपरी शाखा के विभवांतर के बराबर यानी $2\,V$ होगा।
संधारित्र पर आवेश $Q = C \times V = 5\,\mu F \times 2\,V = 10\,\mu C$ है।

(B) स्थिर अवस्था में,संधारित्र $C$ एक ओपन सर्किट के रूप में कार्य करता है,जिसका अर्थ है कि संधारित्र वाली शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है।
इसलिए,परिपथ बैटरी $V$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े प्रतिरोधों $R_1$ और $R_2$ के संयोजन में सरल हो जाता है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{R_1 + R_2}$ द्वारा दी जाती है।
प्रतिरोध $R_2$ पर वोल्टेज $V_{R_2} = I \cdot R_2 = \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right) V$ है।
चूंकि संधारित्र $R_2$ के समानांतर है,इसलिए संधारित्र $C$ पर स्थिर अवस्था का वोल्टेज $R_2$ पर वोल्टेज के बराबर होता है।
इस प्रकार,संधारित्र पर वोल्टेज $V_C = \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right) V$ है।
यह अंश केवल $R_1$ और $R_2$ पर निर्भर करता है। इसलिए,सही विकल्प $(b)$ है।

(B) परिपथ की तुल्य धारिता $C_{eq}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
सबसे पहले,$C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनकी तुल्य धारिता $C_{12} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 6}{2 + 6} = \frac{12}{8} = 1.5\,\mu F$ है।
फिर,$C_{12}$ और $C_3$ समांतर क्रम में हैं,इसलिए $C_{eq} = C_{12} + C_3 = 1.5 + 4 = 5.5\,\mu F$ है।
बैटरी द्वारा आपूर्ति किया गया कुल आवेश $Q = C_{eq} V = 5.5 \times 10^{-6} \times 2 = 11 \times 10^{-6}\,C$ है।
बैटरी द्वारा आपूर्ति की गई कुल ऊर्जा $E = QV = (11 \times 10^{-6}) \times 2 = 22 \times 10^{-6}\,J$ है।
संधारित्रों में संचित स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2 = \frac{1}{2} \times 5.5 \times 10^{-6} \times (2)^2 = 11 \times 10^{-6}\,J$ है।
बैटरी द्वारा ह्रास हुई ऊर्जा,आपूर्ति की गई ऊर्जा और संधारित्रों में संचित ऊर्जा के बीच का अंतर है: $\Delta E = E - U = 22 \times 10^{-6} - 11 \times 10^{-6} = 11 \times 10^{-6}\,J$।

(B) दिया गया परिपथ एक व्हीटस्टोन ब्रिज नेटवर्क है।
मान लीजिए कि नोड्स को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि ब्रिज $C_1, C_4, C_3, C_5$ द्वारा बनता है और $C_2$ केंद्रीय संधारित्र है।
संतुलित व्हीटस्टोन ब्रिज के लिए,भुजाओं में धारिता का अनुपात समान होना चाहिए: $\frac{C_1}{C_4} = \frac{C_3}{C_5}$।
दिया गया है $C_1 = C_3 = C_4 = C_5 = 4\,\mu F$,इसलिए $\frac{4}{4} = \frac{4}{4}$,जो $1 = 1$ है।
चूंकि ब्रिज संतुलित है,इसलिए केंद्रीय संधारित्र $C_2$ से कोई आवेश प्रवाहित नहीं होता है।
अतः,$C_2$ को परिपथ से हटाया जा सकता है।
परिपथ दो श्रेणी शाखाओं के समानांतर संयोजन में सरल हो जाता है।
ऊपरी शाखा में $C_1$ और $C_4$ श्रेणी में हैं,और निचली शाखा में $C_3$ और $C_5$ श्रेणी में हैं।
ऊपरी शाखा की तुल्य धारिता $C_{up} = \frac{C_1 \cdot C_4}{C_1 + C_4} = \frac{4 \cdot 4}{4 + 4} = 2\,\mu F$।
निचली शाखा की तुल्य धारिता $C_{low} = \frac{C_3 \cdot C_5}{C_3 + C_5} = \frac{4 \cdot 4}{4 + 4} = 2\,\mu F$।
ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए $C_{eq} = C_{up} + C_{low} = 2 + 2 = 4\,\mu F$।

(D) परिपथ में $2\,V$ की बैटरी के साथ समानांतर में जुड़ी दो शाखाएँ हैं。
शाखा $1$ में $1\,\mu F$ का संधारित्र है। इस शाखा के सिरों पर विभवांतर $2\,V$ है। अतः, $1\,\mu F$ के संधारित्र पर आवेश $Q_1 = C_1 V = (1\,\mu F) \times (2\,V) = 2\,\mu C$ होगा。
शाखा $2$ में श्रेणीक्रम में दो $2\,\mu F$ के संधारित्र हैं। इस शाखा की तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{2\,\mu F \times 2\,\mu F}{2\,\mu F + 2\,\mu F} = 1\,\mu F$ है। इस शाखा के सिरों पर भी विभवांतर $2\,V$ है। अतः, $2\,\mu F$ के प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q_2 = C_{eq} V = (1\,\mu F) \times (2\,V) = 2\,\mu C$ होगा。
इस प्रकार, $2\,\mu F$ के किसी भी एक संधारित्र पर आवेश $2\,\mu C$ है और $1\,\mu F$ के संधारित्र पर आवेश $2\,\mu C$ है। सही विकल्प $D$ है。

(C) परिपथ में $3\, \mu F$ का संधारित्र, $4\, \mu F$ और $2\, \mu F$ के समांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है।
सबसे पहले, समांतर भाग की तुल्य धारिता की गणना करें: $C_{eq} = 4\, \mu F + 2\, \mu F = 6\, \mu F$।
अब, परिपथ बिंदु $A$ और $B$ के बीच $3\, \mu F$ और $6\, \mu F$ के संधारित्रों के श्रेणीक्रम में बदल जाता है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं, प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q$ समान रहता है।
$Q = CV$ सूत्र का उपयोग करते हुए, हमारे पास है: $C_1(V_A - V_P) = C_{eq}(V_P - V_B)$।
यहाँ $V_A = 1200\, V$, $V_B = 0\, V$, $C_1 = 3\, \mu F$, और $C_{eq} = 6\, \mu F$ है:
$3(1200 - V_P) = 6(V_P - 0)$
$1200 - V_P = 2V_P$
$3V_P = 1200$
$V_P = 400\, V$।

(B) $1$. सबसे पहले,$1\,\mu F$ और $5\,\mu F$ संधारित्रों के समांतर संयोजन की पहचान करें। उनकी तुल्य धारिता $C_p = 1\,\mu F + 5\,\mu F = 6\,\mu F$ है।
$2$. अब,परिपथ $4\,\mu F$ संधारित्र और इस $6\,\mu F$ तुल्य संधारित्र के श्रेणी संयोजन में सरल हो जाता है,जो $10\,V$ स्रोत से जुड़ा है।
$3$. इस श्रेणी शाखा की तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{4\,\mu F \times 6\,\mu F}{4\,\mu F + 6\,\mu F} = \frac{24}{10}\,\mu F = 2.4\,\mu F$ है।
$4$. चूंकि श्रेणी संयोजन में आवेश समान रहता है,इसलिए $4\,\mu F$ संधारित्र पर आवेश $Q = C_{eq} \times V = 2.4\,\mu F \times 10\,V = 24\,\mu C$ होगा।

(D) परिपथ आरेख से,हम देख सकते हैं कि मध्य शाखा में दो संधारित्र श्रेणीक्रम (series) में जुड़े हुए हैं। मान लीजिए उनकी तुल्य धारिता $C_s$ है। चूंकि वे समान हैं,$C_s = \frac{C_1 \times C_1}{C_1 + C_1} = \frac{C_1}{2}$ होगा।
यह तुल्य संधारित्र $C_s$ ऊपर वाले संधारित्र $C_1$ और नीचे वाले संधारित्र $C_1$ के साथ समांतर क्रम (parallel) में है।
इसलिए,बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ है:
$C_{eq} = C_1 + C_s + C_1 = C_1 + \frac{C_1}{2} + C_1 = \frac{5}{2} C_1$.
दिया गया है कि बैटरी वोल्टेज $V = 6 \, V$ और कुल आवेश $Q = 1.5 \, \mu C$ है,हम सूत्र $Q = C_{eq} V$ का उपयोग करते हैं:
$1.5 \times 10^{-6} \, C = (\frac{5}{2} C_1) \times 6 \, V$.
$1.5 \times 10^{-6} = 15 \, C_1$.
$C_1 = \frac{1.5 \times 10^{-6}}{15} = 0.1 \times 10^{-6} \, F = 0.1 \, \mu F$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) स्थिर अवस्था में,संधारित्र (capacitors) खुले परिपथ (open circuit) की तरह कार्य करते हैं,इसलिए संधारित्र शाखाओं से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। परिपथ $100\,V$ के वोल्टेज स्रोत के रूप में सरल हो जाता है जो संधारित्र नेटवर्क से जुड़ा है।
परिपथ को देखने पर,$3\,\mu F$ और $3\,\mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,जिससे तुल्य धारिता $1.5\,\mu F$ प्राप्त होती है। इसी प्रकार,$1\,\mu F$ और $1\,\mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं,जिससे $0.5\,\mu F$ प्राप्त होता है।
ये दोनों शाखाएं एक-दूसरे के समानांतर हैं,और यह संयोजन $1\,\mu F$ के संधारित्र के साथ श्रेणीक्रम में है।
विभव विभाजक (potential divider) की गणना करने पर: नेटवर्क पर कुल विभवांतर $100\,V$ है।
आवेश वितरण की गणना करने पर: विभवांतर ${V_{AB}} = 25\,V$ और ${V_{BC}} = 75\,V$ प्राप्त होता है।

(C) पहले संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश: $q_1 = CV$।
दूसरे संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश: $q_2 = (2C)(2V) = 4CV$।
चूंकि उन्हें विपरीत ध्रुवता (धनात्मक से ऋणात्मक) के साथ जोड़ा गया है,इसलिए कुल आवेश $Q_{net} = q_2 - q_1 = 4CV - CV = 3CV$ होगा।
समांतर संयोजन की कुल धारिता $C_{eq} = C + 2C = 3C$ है।
उभयनिष्ठ विभव $V_{common} = \frac{Q_{net}}{C_{eq}} = \frac{3CV}{3C} = V$ है।
विन्यास की अंतिम ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C_{eq} V_{common}^2 = \frac{1}{2} (3C) (V)^2 = \frac{3CV^2}{2}$।

(B) संधारित्र $A$ पर आवेश $Q_1 = 15 \times 10^{-6} \times 100 = 15 \times 10^{-4}\,C$ द्वारा दिया जाता है।
संधारित्र $B$ पर आवेश $Q_2 = 1 \times 10^{-6} \times 100 = 10^{-4}\,C$ द्वारा दिया जाता है।
परावैद्युत को हटाने के बाद संधारित्र $A$ की धारिता $C_A = \frac{15\,\mu F}{15} = 1\,\mu F$ होती है।
जब दोनों संधारित्र समानांतर में जुड़े होते हैं,तो उनकी तुल्य धारिता $C_{eq} = C_A + C_B = 1\,\mu F + 1\,\mu F = 2\,\mu F$ होती है।
सामान्य विभव $V = \frac{Q_1 + Q_2}{C_{eq}} = \frac{15 \times 10^{-4} + 1 \times 10^{-4}}{2 \times 10^{-6}} = \frac{16 \times 10^{-4}}{2 \times 10^{-6}} = 800\,V$।

(C) यह परिपथ एक $5 \, \mu F$ संधारित्र और संधारित्रों के एक समानांतर संयोजन के श्रेणीक्रम से बना है।
समानांतर भाग की समतुल्य धारिता: $C_p = 10 \, \mu F + 10 \, \mu F$ (श्रेणीक्रम में) = $5 \, \mu F$. फिर यह $10 \, \mu F$ के साथ समानांतर में है, इसलिए $C_{eq} = 5 \, \mu F + 10 \, \mu F = 15 \, \mu F$।
अब परिपथ $5 \, \mu F$ और $15 \, \mu F$ के श्रेणीक्रम संयोजन जैसा दिखता है।
यहाँ $V_A = 2000 \, V$ और $V_C = 0 \, V$ है।
संधारित्रों के लिए वोल्टेज विभाजन नियम के अनुसार, $V_B = V_A \times \frac{C_{eq2}}{C_{eq1} + C_{eq2}} = 2000 \times \frac{5}{5 + 15} = 2000 \times \frac{5}{20} = 500 \, V$।

(D) प्रारंभ में,संधारित्र इस प्रकार आवेशित हैं: $Q_1 = C_1 V_1 = (2\,pF)(30\,V) = 60\,pC$ और $Q_2 = C_2 V_2 = (3\,pF)(20\,V) = 60\,pC$।
जब स्विच $S_1$ और $S_3$ बंद किए जाते हैं,तो प्लेटें ग्राउंड से जुड़ जाती हैं। $C_1$ के सिरों पर विभवांतर $30\,V$ बना रहता है (क्योंकि बाईं प्लेट ग्राउंडेड है और दाईं प्लेट जंक्शन के विभव से जुड़ी है) और $C_2$ के सिरों पर $20\,V$ बना रहता है क्योंकि संधारित्रों पर आवेश फंसा रहता है और बदलता नहीं है,क्योंकि परिपथ किसी बाहरी स्रोत के साथ बंद लूप नहीं बनाता है जिससे आवेश का पुनर्वितरण हो सके।
अतः,विभवांतर $V_1 = 30\,V$ और $V_2 = 20\,V$ अपरिवर्तित रहते हैं।

(B) एक पूर्णतः आवेशित संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2}CV^2$ द्वारा दी जाती है।
जब संधारित्र कुंडली के माध्यम से निरावेशित होता है,तो यह विद्युत ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ब्लॉक द्वारा अवशोषित ऊष्मीय ऊर्जा $Q = ms\Delta T$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,संधारित्र में संचित विद्युत ऊर्जा ब्लॉक द्वारा प्राप्त ऊष्मीय ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2}CV^2 = ms\Delta T$
$V$ के लिए हल करने पर:
$V^2 = \frac{2ms\Delta T}{C}$
$V = \sqrt{\frac{2ms\Delta T}{C}}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) परिपथ में दो समानांतर शाखाएं हैं जो $V$ विभव की बैटरी से जुड़ी हैं।
शाखा $1$ में संधारित्र $C_1, C_2$ और $C_3$ श्रेणीक्रम में हैं। इस शाखा की तुल्य धारिता $C_{eq1}$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_{eq1}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{3C} = \frac{6+3+2}{6C} = \frac{11}{6C}$
अतः,$C_{eq1} = \frac{6C}{11}$।
इस श्रेणी शाखा में प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q_1 = C_{eq1} V = \frac{6CV}{11}$ है।
चूंकि $C_1, C_2$ और $C_3$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए $C_2$ पर आवेश $Q_{C2} = Q_1 = \frac{6CV}{11}$ होगा।
शाखा $2$ में केवल संधारित्र $C_4$ है जो सीधे बैटरी से जुड़ा है। $C_4$ पर आवेश $Q_{C4} = C_4 V = 4CV$ है।
$C_2$ और $C_4$ पर आवेशों का अनुपात:
$\frac{Q_{C2}}{Q_{C4}} = \frac{\frac{6CV}{11}}{4CV} = \frac{6}{11 \times 4} = \frac{6}{44} = \frac{3}{22}$।

(D) ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है,जो $Y$ और $X$ के बीच व्युत्क्रमानुपाती संबंध को प्रदर्शित करता है,अर्थात $Y \propto \frac{1}{X}$।
विकल्प $(d)$ में,हमारे पास संबंध $V = \frac{Q}{C}$ है।
नियत आवेश $Q$ के लिए,विभव $V$ धारिता $C$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $V \propto \frac{1}{C}$।
अतः,यदि $Y$ विभव $(V)$ को दर्शाता है और $X$ धारिता $(C)$ को दर्शाता है,तो ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय होगा।

(A) आवेश $Q$,धारिता $C$ और विभवांतर $V$ के बीच का संबंध सूत्र $Q = CV$ द्वारा दिया जाता है,जिसे $V = \frac{Q}{C}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है,$C = 2\,\mu F = 2 \times 10^{-6}\,F$ और अंतिम आवेश $Q = 5\,C$ है।
$Q = 5\,C$ पर विभवांतर $V = \frac{5}{2 \times 10^{-6}} = 2.5 \times 10^6\,V$ होगा।
चूंकि $V$,$Q$ के सीधे आनुपातिक $(V \propto Q)$ है,इसलिए $V$ बनाम $Q$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होनी चाहिए।
$Q = 5\,C$ पर,विभव $V$ का मान $2.5 \times 10^6\,V$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A$ में दिया गया ग्राफ इस रैखिक संबंध को सही अंतिम बिंदु के साथ दर्शाता है।

(A) छोटी बूंद का विभव $V_{\text{small}} = k \frac{q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है। चूंकि आयतन संरक्षित रहता है,इसलिए $\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$ होगा।
इसे सरल करने पर $R^3 = 1000 r^3$ प्राप्त होता है,जिससे $R = 10r$ मिलता है।
बड़ी बूंद का कुल आवेश $Q = 1000q$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V_{\text{large}} = k \frac{Q}{R} = k \frac{1000q}{10r} = 100 \left( k \frac{q}{r} \right)$ होगा।
अतः,$V_{\text{large}} = 100 V_{\text{small}} = 10^2 V_{\text{small}}$।
इस प्रकार,बड़ी बूंद का विभव छोटी बूंद के विभव का $10^2$ गुना है।

(A) माना वर्ग की भुजा की लंबाई $2a$ है। आवेश कोनों पर रखे गए हैं। धनात्मक आवेशों वाली भुजा $y=2a$ पर है। इस भुजा का मध्य-बिंदु $(a, 2a)$ है। वर्ग का केंद्र $(a, a)$ है।
मध्य-बिंदु $i(a, 2a)$ पर प्रारंभिक विभव:
दो धनात्मक आवेशों से दूरी $a$ और $a$ है। दो ऋणात्मक आवेशों से दूरी $\sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$ और $a\sqrt{5}$ है।
$V_i = \frac{kq}{a} + \frac{kq}{a} - \frac{kq}{a\sqrt{5}} - \frac{kq}{a\sqrt{5}} = \frac{2kq}{a} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$.
केंद्र $f(a, a)$ पर अंतिम विभव:
प्रत्येक चार कोनों से दूरी $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ है।
$V_f = \frac{kq}{a\sqrt{2}} + \frac{kq}{a\sqrt{2}} - \frac{kq}{a\sqrt{2}} - \frac{kq}{a\sqrt{2}} = 0$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta K = W_{ext} = -W_{electric} = -Q(V_f - V_i) = Q(V_i - V_f)$.
चूंकि आवेश विरामावस्था से शुरू होता है,$K_i = 0$,इसलिए $K_f = Q(V_i - V_f) = Q \left[ \frac{2kq}{a} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right) - 0 \right] = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{2qQ}{a} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$.

(B) संतुलन की स्थिति में,विद्युत बल गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है: $QE = mg$.
$E = V/d$ और $m = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $Q(V/d) = (\frac{4}{3}\pi r^3 \rho)g$.
अतः,$Q \propto \frac{r^3}{V}$.
दो बूंदों के लिए,$\frac{Q_1}{Q_2} = (\frac{r_1}{r_2})^3 \times \frac{V_2}{V_1}$.
यहाँ $Q_1 = Q$,$r_1 = r$,$r_2 = r/2$,$V_1 = 2400\, V$,और $V_2 = 600\, V$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $\frac{Q}{Q_2} = (\frac{r}{r/2})^3 \times \frac{600}{2400} = (2)^3 \times \frac{1}{4} = 8 \times \frac{1}{4} = 2$.
इसलिए,$Q_2 = Q/2$.

(B) श्रेणीक्रम संयोजन में, तुल्य धारिता $C_s = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3 \, pF$ होती है।
श्रेणीक्रम संयोजन में संचित कुल आवेश $Q = C_s \times V = 3 \times 10^{-12} \, F \times 5000 \, V = 1.5 \times 10^{-8} \, C$ होता है।
जब संधारित्रों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है, तो नई तुल्य धारिता $C_p = 6 \, pF + 6 \, pF = 12 \, pF$ होती है।
नया विभवांतर $V' = \frac{Q}{C_p} = \frac{1.5 \times 10^{-8} \, C}{12 \times 10^{-12} \, F} = 1250 \, V$ प्राप्त होता है।

$1$. स्प्रिंग नियतांक $K$ की गणना: $F = Kx \Rightarrow K = F/x = 5000 / 0.2 = 25000\ N/m$.
$2$. स्प्रिंग में संचित स्थितिज ऊर्जा $U_{spring}$ की गणना: $U_{spring} = (1/2) K x^2 = (1/2) \times 25000 \times (0.2)^2 = 12500 \times 0.04 = 500\ J$.
$3$. संधारित्र में संचित स्थितिज ऊर्जा $U_{cap}$ की गणना: $U_{cap} = (1/2) C V^2 = (1/2) \times (10 \times 10^{-6}) \times (10000)^2 = 5 \times 10^{-6} \times 10^8 = 500\ J$.
$4$. अनुपात की गणना: $U_{spring} / U_{cap} = 500 / 500 = 1$.