Effect of Dielectric Inside Capacitor Questions in Hindi

(B) जब कैपेसिटर को बैटरी से अलग करने के बाद उसमें परावैद्युत (dielectric) डाला जाता है,तो आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
$1$. नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है,जहाँ $K > 1$ है।
$2$. चूंकि आवेश $Q$ स्थिर है,नया विभव $V' = Q/C' = Q/(KC) = V/K$ होगा। चूंकि $K > 1$ है,इसलिए $V' < V$,यानी विभव घट जाता है।
$3$. नई ऊर्जा $E' = Q^2 / (2C') = Q^2 / (2KC) = E/K$ होगी। चूंकि $K > 1$ है,इसलिए $E' < E$,यानी ऊर्जा घट जाती है।
अतः,$V$ और $E$ दोनों घटते हैं।

(A) हवा माध्यम वाले समानांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
जब $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ होती है।
यह दिया गया है कि धारिता में $50 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नई धारिता $C' = C_0 + 0.5 C_0 = 1.5 C_0 = \frac{3}{2} C_0$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}} = \frac{3}{2} \frac{\epsilon_0 A}{d}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{d - t + \frac{t}{3}} = \frac{3}{2d}$ मिलता है।
वज्र गुणन करने पर $2d = 3(d - t + \frac{t}{3}) = 3(d - \frac{2t}{3}) = 3d - 2t$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए हल करने पर,$2t = 3d - 2d = d$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $t = \frac{d}{2}$।

(D) प्रारंभ में,दोनों संधारित्रों की धारिता $C$ है और वे समांतर क्रम में जुड़े हैं। अतः,प्रारंभिक तुल्य धारिता $C_{eq,i} = C + C = 2C$ है।
जब एक संधारित्र को $K$ परावैद्युतांक वाले पदार्थ से भर दिया जाता है,तो उसकी नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है। दूसरा संधारित्र $C$ ही रहता है।
समांतर संयोजन की नई तुल्य धारिता $C_{eq,f} = KC + C = C(K+1)$ है।
प्रभावी धारिता में परिवर्तन $\Delta C = C_{eq,f} - C_{eq,i} = C(K+1) - 2C = CK + C - 2C = C(K-1)$ है।

(C) मान लीजिए कि प्लेटों का क्षेत्रफल $A$ है और उनके बीच की दूरी $d$ है। वायु संधारित्र की धारिता $C_p = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
जब स्थान को $d/2$ मोटाई की दो समांतर परावैद्युत परतों से भरा जाता है,तो संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों $C_1$ और $C_2$ की तरह कार्य करता है।
$C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_1 \epsilon_0 A}{d} = 2 K_1 C_p$.
$C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_2 \epsilon_0 A}{d} = 2 K_2 C_p$.
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_K$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{C_K} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$.
$\frac{1}{C_K} = \frac{1}{2 K_1 C_p} + \frac{1}{2 K_2 C_p} = \frac{1}{2 C_p} \left( \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \right) = \frac{1}{2 C_p} \left( \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2} \right)$.
अतः,$C_K = \frac{2 C_p K_1 K_2}{K_1 + K_2}$.
अनुपात $\frac{C_p}{C_K} = \frac{C_p}{\frac{2 C_p K_1 K_2}{K_1 + K_2}} = \frac{K_1 + K_2}{2 K_1 K_2}$.

(B) $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाले परावैद्युत स्लैब युक्त समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र है: $C = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$.
दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 50 \ cm^2 = 50 \times 10^{-4} \ m^2 = 5 \times 10^{-3} \ m^2$.
दूरी $d = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$.
परावैद्युत की मोटाई $t = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$.
परावैद्युतांक $K = 4$.
मान रखने पर:
$C = \frac{\epsilon_0 (5 \times 10^{-3})}{3 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3} + \frac{1 \times 10^{-3}}{4}}$
$C = \frac{\epsilon_0 (5 \times 10^{-3})}{2 \times 10^{-3} + 0.25 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{\epsilon_0 (5 \times 10^{-3})}{2.25 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{5 \epsilon_0}{2.25} = \frac{5 \epsilon_0}{9/4} = \frac{20 \epsilon_0}{9}$.

(C) वायु वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब $t = \frac{2d}{3}$ मोटाई की एक चालक शीट प्लेटों के बीच रखी जाती है,तो प्लेटों के बीच की प्रभावी दूरी कम हो जाती है।
नई धारिता $C_1$ का सूत्र $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d - t}$ है।
सूत्र में $t = \frac{2d}{3}$ का मान रखने पर:
$C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{2d}{3}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d}{3}} = 3 \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right)$.
चूंकि $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$,इसलिए $C_1 = 3C$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{C_1}{C} = 3:1$ है।

(A) वायु-भरे समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है,जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ उनके बीच की दूरी है।
जब स्थान को चित्र में दिखाए अनुसार भरा जाता है,तो संधारित्र को समानांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में देखा जा सकता है।
एक भाग में $A/2$ क्षेत्रफल में हवा है,और दूसरे भाग में $A/2$ क्षेत्रफल में $K$ परावैद्युतांक वाला माध्यम है।
हवा वाले भाग की धारिता $C_1 = \frac{\epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{C_0}{2}$ है।
परावैद्युत वाले भाग की धारिता $C_2 = \frac{K \epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{K C_0}{2}$ है।
चूंकि वे समानांतर में हैं,इसलिए नई धारिता $C_n = C_1 + C_2 = \frac{C_0}{2} + \frac{K C_0}{2} = C_0 \left(\frac{K+1}{2}\right)$ होगी।
अतः,अनुपात $\frac{C_n}{C_0} = \frac{K+1}{2}$ है।

(B) वायु संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 1 \mu F$ है।
चित्र से,दो परावैद्युत समानांतर में रखे गए हैं,जिनमें से प्रत्येक प्लेटों के आधे क्षेत्रफल $(A_1 = A_2 = A/2)$ को घेरता है और प्लेटों के बीच की पूरी दूरी $d$ को कवर करता है।
दो भागों की धारिता इस प्रकार है:
$C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 (A/2)}{d} = K_1 \frac{C_0}{2} = 8 \times \frac{1}{2} = 4 \mu F$
$C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 (A/2)}{d} = K_2 \frac{C_0}{2} = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \mu F$
चूंकि वे समानांतर में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2 = 4 \mu F + 2 \mu F = 6 \mu F$ है।

(C) इस निकाय को श्रेणी क्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में देखा जा सकता है: एक परावैद्युत के साथ और दूसरा वायु अंतराल के साथ।
$C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{t} = \frac{5 \varepsilon_0 \times 40 \times 10^{-4}}{1 \times 10^{-3}} = 20 \varepsilon_0 \ F$
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d-t} = \frac{\varepsilon_0 \times 40 \times 10^{-4}}{1 \times 10^{-3}} = 4 \varepsilon_0 \ F$
चूंकि वे श्रेणी क्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{20 \varepsilon_0} + \frac{1}{4 \varepsilon_0}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1 + 5}{20 \varepsilon_0} = \frac{6}{20 \varepsilon_0} = \frac{3}{10 \varepsilon_0}$
$C_{eq} = \frac{10}{3} \varepsilon_0 \ F$

(C) वायु से भरे समानांतर प्लेट संधारित्र के लिए, धारिता $C = \frac{A \varepsilon_0}{d} = 9 \text{ pF}$ है।
जब स्थान को $d_1$ और $d_2$ मोटाई के परावैद्युत पदार्थों से भरा जाता है, तो यह प्रणाली श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों की तरह कार्य करती है।
पहले भाग की धारिता $C_1 = \frac{K_1 A \varepsilon_0}{d_1} = \frac{3 A \varepsilon_0}{d/3} = 9 \frac{A \varepsilon_0}{d} = 9C = 9 \times 9 \text{ pF} = 81 \text{ pF}$ है।
दूसरे भाग की धारिता $C_2 = \frac{K_2 A \varepsilon_0}{d_2} = \frac{6 A \varepsilon_0}{2d/3} = 9 \frac{A \varepsilon_0}{d} = 9C = 9 \times 9 \text{ pF} = 81 \text{ pF}$ है।
चूंकि संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं, तुल्य धारिता $C_{\text{eq}}$ का मान $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$C_{\text{eq}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{81 \times 81}{81 + 81} = \frac{81}{2} = 40.5 \text{ pF}$।

(A) जब एक परावैद्युत पदार्थ को संधारित्र की प्लेटों के बीच रखा जाता है,तो यह ध्रुवीकृत (polarized) हो जाता है। यह ध्रुवीकरण एक आंतरिक विद्युत क्षेत्र बनाता है जो प्लेटों पर आवेशों द्वारा उत्पन्न बाहरी विद्युत क्षेत्र का विरोध करता है। परिणामस्वरूप,प्लेटों के बीच का कुल विद्युत क्षेत्र $E$ कम हो जाता है। चूंकि विभवांतर $V$,विद्युत क्षेत्र से $V = E \cdot d$ (जहाँ $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है) द्वारा संबंधित है,इसलिए विद्युत क्षेत्र में कमी आने से दिए गए आवेश $Q$ के लिए प्लेटों के बीच विभवांतर कम हो जाता है। फलस्वरूप,धारिता $C = Q/V$ बढ़ जाती है।

(A) समांतर प्लेट वायु संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 1 \mu F$ द्वारा दी जाती है।
चित्र से,प्रत्येक प्लेट का क्षेत्रफल दो हिस्सों ($A/2$ और $A/2$) में विभाजित है,जबकि दूरी $d$ दोनों के लिए समान रहती है। यह विन्यास समानांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों को दर्शाता है।
पहले परावैद्युत $(K_1 = 4)$ के लिए:
$C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 (A/2)}{d} = K_1 \times \frac{1}{2} \times C = 4 \times 0.5 \times 1 \mu F = 2 \mu F$.
दूसरे परावैद्युत $(K_2 = 2)$ के लिए:
$C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 (A/2)}{d} = K_2 \times \frac{1}{2} \times C = 2 \times 0.5 \times 1 \mu F = 1 \mu F$.
चूंकि संधारित्र समानांतर क्रम में हैं,प्रभावी धारिता होगी:
$C_{\text{eff}} = C_1 + C_2 = 2 \mu F + 1 \mu F = 3 \mu F$।

(C) प्रारंभ में,$C$ धारिता वाले दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_1$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \implies C_1 = \frac{C}{2}$
एक संधारित्र को $K$ परावैद्युतांक वाले पदार्थ से भरने के बाद,उसकी नई धारिता $KC$ हो जाती है। नई तुल्य धारिता $C_2$ है:
$\frac{1}{C_2} = \frac{1}{C} + \frac{1}{KC} = \frac{1}{C} \left(1 + \frac{1}{K}\right) = \frac{1}{C} \left(\frac{K+1}{K}\right) \implies C_2 = \frac{CK}{K+1}$
प्रभावी धारिता में परिवर्तन $\Delta C$ है:
$\Delta C = C_2 - C_1 = \frac{CK}{K+1} - \frac{C}{2}$
$\Delta C = C \left[ \frac{2K - (K+1)}{2(K+1)} \right] = \frac{C}{2} \left[ \frac{K-1}{K+1} \right]$

(D) प्रारंभ में,संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं जहाँ धारिता $C_A = C$ और $C_B = KC$ है। तुल्य धारिता $C_{net} = \frac{C_A C_B}{C_A + C_B} = \frac{C \cdot KC}{C + KC} = \frac{KC}{K+1}$ है।
श्रेणीक्रम में प्रत्येक संधारित्र पर आवेश $Q_A = Q_B = C_{net}E = \frac{KCE}{K+1}$ है।
परावैद्युत को हटाने के बाद,$C_A = C$ और $C_B = C$ हो जाता है। नई तुल्य धारिता $C_{net}^{\prime} = \frac{C \cdot C}{C + C} = \frac{C}{2}$ है।
प्रत्येक संधारित्र पर नया आवेश $Q_A^{\prime} = Q_B^{\prime} = C_{net}^{\prime}E = \frac{CE}{2}$ है।
अनुपात की गणना करने पर: $\frac{Q_B^{\prime}}{Q_B} = \frac{CE/2}{KCE/(K+1)} = \frac{K+1}{2K}$.

(D) वायु संधारित्र के लिए,$C_1 = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ है।
जब दो परावैद्युत को चित्र में दिखाए अनुसार डाला जाता है,तो यह संयोजन श्रेणीक्रम में दो संधारित्रों की तरह कार्य करता है,जिनमें से प्रत्येक का प्लेट पृथक्करण $d/2$ और क्षेत्रफल $A$ है।
पहले भाग की धारिता $C_{a} = \frac{K_1 A \varepsilon_0}{d/2} = \frac{2 K_1 A \varepsilon_0}{d} = 2 K_1 C_1$ है।
दूसरे भाग की धारिता $C_{b} = \frac{K_2 A \varepsilon_0}{d/2} = \frac{2 K_2 A \varepsilon_0}{d} = 2 K_2 C_1$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_2$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C_2} = \frac{1}{C_a} + \frac{1}{C_b} = \frac{1}{2 K_1 C_1} + \frac{1}{2 K_2 C_1} = \frac{1}{2 C_1} \left( \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \right) = \frac{1}{2 C_1} \left( \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2} \right)$।
अतः,$C_2 = \frac{2 C_1 K_1 K_2}{K_1 + K_2}$।
अनुपात $\frac{C_1}{C_2} = \frac{C_1}{\frac{2 C_1 K_1 K_2}{K_1 + K_2}} = \frac{K_1 + K_2}{2 K_1 K_2}$।

(A) एक आवेशित संधारित्र की स्थितिज ऊर्जा $U_0 = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $Q$ प्लेटों पर आवेश है और $C$ प्रारंभिक धारिता है।
जब $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब को प्लेटों के बीच रखा जाता है,तो नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
यह मानते हुए कि संधारित्र विलगित है (आवेश $Q$ स्थिर रहता है),नई स्थितिज ऊर्जा $U'$ इस प्रकार होगी:
$U' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(KC)}$
$U' = \frac{1}{K} \left( \frac{Q^2}{2C} \right)$
$U' = \frac{U_0}{K}$

(D) इस संधारित्र को श्रेणीक्रम (series) में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक का प्लेट क्षेत्रफल $A$ है और परावैद्युत मोटाई $d_1 = \frac{d}{4}$ और $d_2 = \frac{3d}{4}$ है।
पहले संधारित्र की धारिता:
$C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d/4} = \frac{4 K_1 \varepsilon_0 A}{d}$
दूसरे संधारित्र की धारिता:
$C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{3d/4} = \frac{4 K_2 \varepsilon_0 A}{3d}$
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$
$\frac{1}{C} = \frac{d}{4 K_1 \varepsilon_0 A} + \frac{3d}{4 K_2 \varepsilon_0 A}$
$\frac{1}{C} = \frac{d}{4 \varepsilon_0 A} \left[\frac{1}{K_1} + \frac{3}{K_2}\right]$
$\frac{1}{C} = \frac{d}{4 \varepsilon_0 A} \left[\frac{K_2 + 3 K_1}{K_1 K_2}\right]$
अतः,$C = \frac{4 \varepsilon_0 A}{d} \left[\frac{K_1 K_2}{3 K_1 + K_2}\right]$.

(A) जब एक बैटरी समांतर प्लेट संधारित्र से जुड़ी रहती है,तो प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ को सूत्र $E = V/d$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
चूंकि बैटरी जुड़ी हुई है,इसलिए $V$ स्थिर है। जब परावैद्युत स्लैब को डाला जाता है,तो धारिता बढ़ जाती है,लेकिन प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ बैटरी के वोल्टेज के बराबर ही रहता है।
जब परावैद्युत स्लैब को बाहर निकाला जाता है,तो प्रणाली अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाती है क्योंकि बैटरी हर समय विभवांतर $V$ को बनाए रखती है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र $E$ वही रहता है जो स्लैब डालने से पहले था।

(C) हवा से भरे समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_1 = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब स्थान को $K = 8$ परावैद्युतांक से भर दिया जाता है और दूरी को बदलकर $d'$ कर दिया जाता है,तो नई धारिता $C_2 = \frac{K A \varepsilon_0}{d'} = \frac{8 A \varepsilon_0}{d'}$ होती है।
यह दिया गया है कि धारिता $16$ गुना बढ़ जाती है,इसलिए $C_2 = 16 C_1$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{8 A \varepsilon_0}{d'} = 16 \left( \frac{A \varepsilon_0}{d} \right)$ प्राप्त होता है।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{8}{d'} = \frac{16}{d}$।
$d'$ के लिए हल करने पर,$d' = \frac{8d}{16} = \frac{d}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) वायु-भरे समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 10 \mu F$ है।
जब क्षेत्रफल को दो बराबर भागों में विभाजित किया जाता है और उनमें $K_1$ और $K_2$ परावैद्युत भरे जाते हैं,तो ये दो भाग समांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों की तरह कार्य करते हैं।
प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल $A' = \frac{A}{2}$ है और प्लेटों के बीच की दूरी $d$ समान रहती है।
पहले भाग की धारिता $C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A'}{d} = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{2d} = \frac{K_1}{2} C$ है।
दूसरे भाग की धारिता $C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A'}{d} = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{2d} = \frac{K_2}{2} C$ है।
चूंकि वे समांतर क्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 = \frac{C}{2} (K_1 + K_2)$ होगी।
दिए गए मानों को रखने पर: $C_{\text{eq}} = \frac{10 \mu F}{2} (2 + 4) = 5 \mu F \times 6 = 30 \mu F$.

(B) वायु-भरे समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता इस प्रकार दी जाती है:
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \quad --- (1)$
जब संधारित्र की प्लेटों के बीच $K$ परावैद्युतांक और $t$ मोटाई की एक स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C_2$ इस प्रकार होती है:
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$
धातु की शीट के लिए,परावैद्युतांक $K = \infty$ होता है। दिया गया है $t = \frac{d}{2}$,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d - \frac{d}{2} + \frac{d/2}{\infty}} = \frac{\varepsilon_0 A}{\frac{d}{2} + 0} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d}$
$C_2 = 2 \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = 2 C_1$
अतः,अनुपात $C_2 : C_1 = 2 : 1$ है।

(A) जब एक विलगित (isolated) समानांतर प्लेट संधारित्र में परावैद्युत स्लैब डाला जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि सिस्टम बैटरी से जुड़ा नहीं होता है।
जैसे ही धारिता बढ़कर $C' = KC$ हो जाती है,विभवांतर $V' = Q/C' = V/K$ कम हो जाता है।
विद्युत क्षेत्र $E' = V'/d = E/K$ भी कम हो जाता है।
संचित ऊर्जा $U' = Q^2/(2C') = U/K$ कम हो जाती है।
इसलिए,संधारित्र पर आवेश ही एकमात्र ऐसी राशि है जो नहीं बदलती है।

(A) वायु-भरे समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ होती है।
जब $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C'$ इस प्रकार दी जाती है:
$C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$.
यह दिया गया है कि नई धारिता मूल मान की एक-तिहाई है,अर्थात $C' = \frac{C_0}{3}$:
$\frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}} = \frac{1}{3} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right)$.
दोनों पक्षों से $\varepsilon_0 A$ को हटाने पर:
$\frac{1}{d - t + \frac{t}{K}} = \frac{1}{3d}$.
$3d = d - t + \frac{t}{K}$.
$2d + t = \frac{t}{K}$.
$K = \frac{t}{2d + t}$.

(B) माना प्लेटों के बीच प्रारंभिक दूरी $d$ है। प्रारंभिक धारिता $C = \frac{A \epsilon_0}{d}$ है।
जब $t = 2 \,mm$ मोटाई की एक परावैद्युत प्लेट डाली जाती है, तो नई धारिता $C_1 = \frac{A \epsilon_0}{d - t + \frac{t}{k}}$ होती है।
जब समान विभवांतर (जिसका अर्थ है कि धारिता $C_2 = C$ रहती है) बनाए रखने के लिए प्लेटों के बीच की दूरी $x = 1.6 \,mm$ बढ़ाई जाती है, तो नई दूरी $d' = d + x$ हो जाती है।
नई धारिता $C_2 = \frac{A \epsilon_0}{d + x - t + \frac{t}{k}}$ है।
चूंकि $C_2 = C$, इसलिए $d + x - t + \frac{t}{k} = d$ होगा।
इसे सरल करने पर, $x - t + \frac{t}{k} = 0$ या $t - x = \frac{t}{k}$ प्राप्त होता है।
$t = 2 \,mm$ और $x = 1.6 \,mm$ का मान रखने पर:
$2 - 1.6 = \frac{2}{k}$
$0.4 = \frac{2}{k}$
$k = \frac{2}{0.4} = 5$.

(D) परावैद्युत माध्यम से भरे समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ परावैद्युतांक $K = 3$ दिया गया है,इसलिए प्रारंभिक धारिता $C = \frac{3 \varepsilon_0 A}{d}$ है।
जब तेल (परावैद्युत) को हटा दिया जाता है,तो प्लेटों के बीच का माध्यम हवा (या निर्वात) हो जाता है,जिसके लिए परावैद्युतांक $K' = 1$ होता है।
नई धारिता $C'$ का मान $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ होता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $C' = \frac{C}{3}$।

(B) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{k A \varepsilon_0}{d}$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभ में,वायु-भरे संधारित्र के लिए,$C_1 = \frac{A \varepsilon_0}{d_1} = 2 \ pF$,जहाँ $k_1 = 1$ है।
अंत में,प्लेटों के बीच की दूरी दोगुनी कर दी जाती है $(d_2 = 2d_1)$ और स्थान को $k_2 = k$ परावैद्युतांक वाले पदार्थ से भर दिया जाता है। नई धारिता $C_2 = \frac{k A \varepsilon_0}{d_2} = 6 \ pF$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{C_2}{C_1} = \frac{k \cdot A \varepsilon_0 / (2d_1)}{A \varepsilon_0 / d_1} = \frac{k}{2}$।
दिया गया है कि $\frac{C_2}{C_1} = \frac{6}{2} = 3$।
अतः,$\frac{k}{2} = 3$,जिससे $k = 6$ प्राप्त होता है।

(C) प्रारंभ में,दोनों संधारित्रों की धारिता $C$ है। जब एक संधारित्र को $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में रखा जाता है,तो उसकी नई धारिता $C_1 = KC$ हो जाती है,जबकि दूसरा संधारित्र $C_2 = C$ ही रहता है।
चूंकि संधारित्र $V$ emf की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए संधारित्र $C_2$ के सिरों पर विभवांतर $V_2$ वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा प्राप्त होता है:
$V_2 = V \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right)$
मान रखने पर:
$V_2 = V \left( \frac{KC}{KC + C} \right) = V \left( \frac{KC}{C(K + 1)} \right)$
$V_2 = \frac{KV}{K + 1}$

(D) जब बैटरी को हटा दिया जाता है,तो संधारित्र की प्लेटों पर आवेश $q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
जब प्लेटों के बीच $k$ परावैद्युतांक वाला एक परावैद्युत स्लैब रखा जाता है,तो संधारित्र की धारिता $C$ से बढ़कर $C' = kC$ हो जाती है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{q^2}{2C}$ होता है।
चूंकि $q$ स्थिर है और $C$ का मान बढ़ रहा है,इसलिए अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{q^2}{2kC}$ प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{q^2}{2C}$ से कम होगी।
अतः,संचित ऊर्जा घट जाती है।

(D) यह व्यवस्था श्रेणीक्रम में जुड़े तीन संधारित्रों से बनी है।
$t$ मोटाई और $k$ परावैद्युत स्थिरांक वाले परावैद्युत स्लैब के साथ एक समानांतर प्लेट संधारित्र के लिए,धारिता $C = \frac{k \varepsilon_0 A}{t}$ होती है।
चूंकि स्लैब श्रेणीक्रम में रखे गए हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ को $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{t_1}{k_1 \varepsilon_0 A} + \frac{t_2}{k_2 \varepsilon_0 A} + \frac{t_3}{k_3 \varepsilon_0 A}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{\varepsilon_0 A}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{\varepsilon_0 A} \left[\frac{t_1}{k_1} + \frac{t_2}{k_2} + \frac{t_3}{k_3}\right]$।
अतः,परिणामी धारिता $C_{eq} = \frac{A \varepsilon_0}{\left[\frac{t_1}{k_1} + \frac{t_2}{k_2} + \frac{t_3}{k_3}\right]}$ है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C$ है। जब एक संधारित्र को $K$ परावैद्युतांक वाले पदार्थ से भरा जाता है,तो उसकी नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
दोनों संधारित्र $V$ e.m.f. की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
मान लीजिए $C_1 = KC$ परावैद्युत भरे संधारित्र की धारिता है और $C_2 = C$ वायु भरे संधारित्र की धारिता है।
श्रेणीक्रम संयोजन में वायु भरे संधारित्र $(C_2)$ के सिरों पर विभवांतर वोल्टेज विभाजक नियम द्वारा दिया जाता है:
$V_2 = V \times \frac{C_1}{C_1 + C_2}$
मान रखने पर:
$V_2 = V \times \frac{KC}{KC + C}$
$V_2 = V \times \frac{KC}{C(K + 1)}$
$V_2 = \frac{KV}{K + 1}$

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
वायु माध्यम के लिए,धारिता $C_{0} = \frac{\varepsilon_{0} A}{d} = 3 \mu F$ है।
जब एक परावैद्युत माध्यम रखा जाता है,तो नई धारिता $C = \frac{\varepsilon A}{d} = 15 \mu F$ हो जाती है।
दोनों धारिताओं का अनुपात लेने पर:
$\frac{C}{C_{0}} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}} = K$ (जहाँ $K$ परावैद्युतांक है)।
$\frac{15}{3} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}} \implies 5 = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}$.
अतः,माध्यम की विद्युतशीलता $\varepsilon = 5 \times \varepsilon_{0}$ है।
$\varepsilon = 5 \times 8.85 \times 10^{-12} = 44.25 \times 10^{-12} \text{ F/m}$.
वैज्ञानिक संकेतन में बदलने पर: $\varepsilon = 0.4425 \times 10^{-10} \text{ F/m}$।

(A) समांतर प्लेट वायु संधारित्र की धारिता $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, $\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है, $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी को घटाकर $d_1 = \frac{d}{4}$ कर दिया जाता है और उनके बीच $K = 2$ परावैद्युतांक वाला माध्यम भर दिया जाता है, तो नई धारिता $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d_1}$ हो जाती है।
समीकरण में $d_1 = \frac{d}{4}$ और $K = 2$ रखने पर:
$C = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d/4} = 8 \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = 8 C_0$.
दिया गया है कि $C_0 = 4 \mu F$, अतः नई धारिता $C = 8 \times 4 \mu F = 32 \mu F$ होगी।

(A) प्रारंभ में,$C$ धारिता वाले दो संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_1$ इस प्रकार है: $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$,इसलिए $C_1 = \frac{C}{2}$.
एक संधारित्र को $K$ परावैद्युतांक वाले पदार्थ से भरने के बाद,उसकी नई धारिता $KC$ हो जाती है। नई तुल्य धारिता $C_2$ इस प्रकार है: $\frac{1}{C_2} = \frac{1}{C} + \frac{1}{KC} = \frac{1}{C} \left(1 + \frac{1}{K}\right) = \frac{K+1}{KC}$.
अतः,$C_2 = \frac{KC}{K+1}$.
प्रभावी धारिता में परिवर्तन $\Delta C = C_2 - C_1 = \frac{KC}{K+1} - \frac{C}{2}$.
$\Delta C = C \left[ \frac{K}{K+1} - \frac{1}{2} \right] = C \left[ \frac{2K - (K+1)}{2(K+1)} \right] = \frac{C}{2} \left[ \frac{K-1}{K+1} \right]$.

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C$ है। जब उन्हें $V$ emf की बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो दोनों संधारित्रों पर आवेश $q$ समान होता है।
मान लीजिए $V_1$ वायु संधारित्र (धारिता $C$) के सिरों पर विभवांतर है और $V_2$ परावैद्युत-भरे संधारित्र (धारिता $KC$) के सिरों पर विभवांतर है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,$V_1 + V_2 = V$ होगा।
$q = CV$ का उपयोग करते हुए,$V_1 = \frac{q}{C}$ और $V_2 = \frac{q}{KC}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को योग समीकरण में रखने पर: $\frac{q}{C} + \frac{q}{KC} = V$।
$\frac{q}{C} (1 + \frac{1}{K}) = V \Rightarrow \frac{q}{C} (\frac{K+1}{K}) = V$।
अतः,आवेश $q = \frac{CKV}{K+1}$।
वायु संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_1 = \frac{q}{C} = \frac{KV}{K+1}$ होगा।

(D) जब बैटरी को हटाने के बाद एक आवेशित समांतर प्लेट संधारित्र में $K$ नियतांक वाला परावैद्युत स्लैब डाला जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
अन्य भौतिक राशियों में परिवर्तन इस प्रकार हैं:
$1$. धारिता: $C' = KC$ (बढ़ती है)।
$2$. आवेश: $Q' = Q$ (स्थिर रहता है)।
$3$. विभवांतर: $V' = V/K$ (घटता है)।
$4$. विद्युत क्षेत्र की तीव्रता: $E' = E/K$ (घटती है)।
$5$. संचित ऊर्जा: $U' = U/K$ (घटती है)।
अतः,आवेश $Q$ वह राशि है जो स्थिर रहती है।

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{Q^2}{2C}$ होता है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है,तो संधारित्र की प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
यदि दूरी $d$ को बढ़ाकर $d' = 4d$ कर दिया जाए,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{4d} = \frac{C}{4}$ हो जाती है।
नई संचित ऊर्जा $U'$ का मान $U' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(C/4)} = 4 \times \frac{Q^2}{2C} = 4U$ होगा।
अतः,संचित ऊर्जा $4U$ हो जाती है।

(C) संधारित्र को तीन भागों में विभाजित किया गया है। मान लीजिए कुल क्षेत्रफल $A$ और दूरी $d$ है।
$1$. बाएं भाग का क्षेत्रफल $A/2$ और परावैद्युतांक $K_1 = 4$ है। इसकी धारिता $C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{4 \epsilon_0 A}{2d} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$ है।
$2$. दाईं ओर का भाग दो भागों में श्रेणीक्रम में विभाजित है,प्रत्येक का क्षेत्रफल $A/2$ और दूरी $d/2$ है। परावैद्युतांक $K_2 = 3$ और $K_3 = 6$ हैं।
$3$. ऊपर वाले दाएं भाग की धारिता: $C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{3 \epsilon_0 A}{d}$।
$4$. नीचे वाले दाएं भाग की धारिता: $C_3 = \frac{K_3 \epsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{6 \epsilon_0 A}{d}$।
$5$. $C_2$ और $C_3$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनकी तुल्य धारिता $C_{23}$ का मान $\frac{1}{C_{23}} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{d}{3 \epsilon_0 A} + \frac{d}{6 \epsilon_0 A} = \frac{2d + d}{6 \epsilon_0 A} = \frac{3d}{6 \epsilon_0 A} = \frac{d}{2 \epsilon_0 A}$ होगा। अतः,$C_{23} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$।
$6$. $C_1$ और $C_{23}$ समांतर क्रम में हैं। इसलिए,कुल तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_{23} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d} + \frac{2 \epsilon_0 A}{d} = \frac{4 \epsilon_0 A}{d}$ है।

(C) निर्वात में एक आवेशित चालक की सतह के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र $E_0 = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठ आवेश घनत्व है।
जब चालक को $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में रखा जाता है,तो विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0 K} = \frac{E_0}{K}$ हो जाता है।
यहाँ $E_0 = 10^3 \ V/m$ और $K = 4$ दिया गया है।
अतः,$E = \frac{10^3}{4} \ V/m = 250 \ V/m$।

(B) किसी माध्यम में दो बिंदु आवेशों के बीच का बल $F_{\text{medium}} = \frac{F_{\text{air}}}{K}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F_{\text{air}}$ निर्वात (या वायु) में उन्हीं आवेशों के बीच का बल है और $K$ माध्यम का परावैद्युतांक है।
यह दिया गया है कि माध्यम में बल $F$ है,इसलिए $F = \frac{F_{\text{air}}}{K}$।
जब पदार्थ को हटा दिया जाता है तो बल (अर्थात वायु में बल) ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं:
$F_{\text{air}} = F \times K$।
अतः,बल $FK$ हो जाएगा।

(D) हवा वाले समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता इस प्रकार है:
$C_0 = \frac{A \varepsilon_0}{d} = 4 \ pF$
जब प्लेटों के बीच की दूरी को आधा कर दिया जाता है,तो नई दूरी $d' = \frac{d}{2}$ हो जाती है।
जब स्थान को $K = 6$ परावैद्युतांक वाले पदार्थ से भरा जाता है,तो नई धारिता $C$ इस प्रकार होगी:
$C = K \frac{A \varepsilon_0}{d'}$
$d' = \frac{d}{2}$ और $K = 6$ रखने पर:
$C = 6 \times \frac{A \varepsilon_0}{d/2} = 12 \times \frac{A \varepsilon_0}{d}$
चूंकि $\frac{A \varepsilon_0}{d} = C_0 = 4 \ pF$,इसलिए:
$C = 12 \times 4 \ pF = 48 \ pF$.

(C) परावैद्युत की अनुपस्थिति में,दो प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E_0 = \frac{V_0}{d}$ है।
जब परावैद्युत स्लैब को डाला जाता है,तो परावैद्युत के अंदर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{E_0}{K}$ हो जाता है,जहाँ $K=3$ परावैद्युतांक है।
परावैद्युत स्लैब की मोटाई $t = \frac{3}{4}d$ है और वायु अंतराल की मोटाई $d - t = d - \frac{3}{4}d = \frac{1}{4}d$ है।
नया विभवांतर $V$,वायु अंतराल और परावैद्युत स्लैब के पार विभवांतर का योग है:
$V = E_0 \left(\frac{1}{4}d\right) + E \left(\frac{3}{4}d\right)$
$V = E_0 \left(\frac{1}{4}d\right) + \frac{E_0}{K} \left(\frac{3}{4}d\right)$
$V = E_0 d \left[ \frac{1}{4} + \frac{3}{4K} \right]$
चूँकि $E_0 d = V_0$ और $K = 3$ है:
$V = V_0 \left[ \frac{1}{4} + \frac{3}{4 \times 3} \right]$
$V = V_0 \left[ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right]$
$V = V_0 \left( \frac{2}{4} \right) = \frac{V_0}{2}$

(C) सही विकल्प $C$ है।
जब बैटरी को डिस्कनेक्ट किया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है क्योंकि आवेश के प्रवाह के लिए कोई मार्ग नहीं होता है।
समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ प्लेटों का क्षेत्रफल है,$\varepsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है,और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी $d$ बढ़ाई जाती है,तो धारिता $C$ घट जाती है।
चूंकि आवेश $Q$ स्थिर रहता है और $Q = CV$ होता है,इसलिए विभवांतर $V = \frac{Q}{C}$ बढ़ जाएगा क्योंकि $C$ घट रहा है।

(D) $1$. जब $K$ नियतांक वाला परावैद्युत स्लैब उपस्थित होता है,तो धारिता $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ होती है।
$2$. चूंकि संधारित्र बैटरी से जुड़ा रहता है,इसलिए प्लेटों के बीच विभवांतर स्थिर रहता है,अतः $V_1 = V_2 = V$ होता है।
$3$. जब परावैद्युत स्लैब को हटा दिया जाता है,तो नई धारिता $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ हो जाती है।
$4$. चूंकि $K > 1$ है,इसलिए यह स्पष्ट है कि $C_1 > C_2$ है।
$5$. चूंकि बैटरी अभी भी जुड़ी हुई है,इसलिए प्लेटों के बीच विभवांतर नहीं बदलता है,अतः $V_1 = V_2$ है।

(A) जब एक आवेशित संधारित्र को बैटरी से अलग किया जाता है और प्लेटों के बीच एक कांच की स्लैब (परावैद्युत पदार्थ) रखी जाती है,तो आवेश $(Q)$ स्थिर रहता है क्योंकि परिपथ खुला होता है।
धारिता $(C)$ बढ़ जाती है क्योंकि $C = KC_0$,जहाँ $K$ परावैद्युतांक है।
विभवांतर $(V)$ घट जाता है क्योंकि $V = \frac{V_0}{K}$,क्योंकि $V = \frac{Q}{C}$ और $Q$ स्थिर रहने पर $C$ के बढ़ने से $V$ घटता है।
संचित ऊर्जा $(U)$ घट जाती है क्योंकि $U = \frac{Q^2}{2C} = \frac{U_0}{K}$,क्योंकि $Q$ स्थिर रहने पर $C$ के बढ़ने से $U$ घटता है।
अतः,विभवांतर और संचित ऊर्जा में कमी आती है।

(B) माना $t$ परावैद्युत स्लैब की मोटाई है और $K$ परावैद्युतांक है।
जब $t$ मोटाई की परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो समान धारिता बनाए रखने के लिए प्लेटों के बीच प्रभावी दूरी $x = t(1 - 1/K)$ बढ़ जाती है।
दिया गया है,$x = 3.5 \times 10^{-3} \ m$ और $t = 4 \times 10^{-3} \ m$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$3.5 \times 10^{-3} = 4 \times 10^{-3} \left(1 - \frac{1}{K}\right)$
दोनों पक्षों को $4 \times 10^{-3}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3.5}{4} = 1 - \frac{1}{K}$
$0.875 = 1 - \frac{1}{K}$
$\frac{1}{K} = 1 - 0.875 = 0.125$
$K = \frac{1}{0.125} = 8$।
अतः,पदार्थ का परावैद्युतांक $8$ है।

(A) हवा से भरे समानांतर प्लेट संधारित्र की मूल धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
जब $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब को एक-चौथाई क्षेत्रफल में डाला जाता है,तो संधारित्र को समानांतर में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है।
एक संधारित्र में हवा परावैद्युत के रूप में है,जिसका क्षेत्रफल $\frac{3A}{4}$ और प्लेटों के बीच की दूरी $d$ है। इसकी धारिता $C_1 = \frac{\varepsilon_0 (3A/4)}{d} = \frac{3}{4} \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{3C}{4}$ है।
दूसरे संधारित्र में $K$ परावैद्युत है,जिसका क्षेत्रफल $\frac{A}{4}$ और प्लेटों के बीच की दूरी $d$ है। इसकी धारिता $C_2 = \frac{K \varepsilon_0 (A/4)}{d} = \frac{K}{4} \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{KC}{4}$ है।
चूंकि ये दो संधारित्र समानांतर में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{net} = C_1 + C_2$ होगी।
$C_{net} = \frac{3C}{4} + \frac{KC}{4} = \frac{C}{4}(K+3)$।

(B) हम जानते हैं कि यदि बैटरी को हटा दिया जाए तो संधारित्र पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है,या धारिता के आधार पर विभवांतर बदल जाता है। $Q = CV$ होने के कारण,हमारे पास $V = Q/C$ है,जिसका अर्थ है $V \propto 1/C$।
हवा के साथ धारिता $C_0 = \epsilon_0 A / d$ है।
परावैद्युत स्लैब के साथ धारिता $C = K C_0$ है,जहाँ $K$ परावैद्युतांक है।
इसलिए,विभव का अनुपात $V_{dielectric} / V_0 = C_0 / C = C_0 / (K C_0) = 1/K$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V_0 = 4 \ V$ और $V_{dielectric} = 2 \ V$।
मान रखने पर: $2 / 4 = 1/K$।
इससे $1/2 = 1/K$ प्राप्त होता है,इसलिए $K = 2$।

(D) हवा में $r$ दूरी पर स्थित दो समान आवेशों $q$ के बीच प्रारंभिक बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \quad (1)$ है।
जब आवेशों के बीच $t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक पट्टी रखी जाती है,तो प्रभावी दूरी $r_{eff} = (r - t) + t\sqrt{K}$ हो जाती है।
यहाँ,$t = r/2$ और $K = 4$ है।
इन मानों को रखने पर,$r_{eff} = (r - r/2) + (r/2)\sqrt{4} = r/2 + (r/2)(2) = r/2 + r = 3r/2$ प्राप्त होता है।
नया बल $F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(r_{eff})^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(3r/2)^2}$ होगा।
$F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(9/4)r^2} = \frac{4}{9} \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \right)$।
समीकरण $(1)$ का उपयोग करने पर,$F' = \frac{4}{9}F$ प्राप्त होता है।