Effect of Dielectric Inside Capacitor Questions in Hindi

(A) संधारित्र को समानांतर में दो भागों के रूप में देखा जा सकता है।
एक भाग $A/2$ क्षेत्रफल और $d$ दूरी वाला हवा से भरा संधारित्र है। इसकी धारिता $C_{1} = \frac{\varepsilon_{0} (A/2)}{d} = \frac{\varepsilon_{0} A}{2d}$ है।
दूसरा भाग $A/2$ क्षेत्रफल और $d/2$ मोटाई वाली दो परावैद्युत स्लैब से बना है जो श्रेणीक्रम में हैं।
$K_{1}$ वाली स्लैब की धारिता $C_{2} = \frac{K_{1} \varepsilon_{0} (A/2)}{d/2} = \frac{K_{1} \varepsilon_{0} A}{d}$ है।
$K_{2}$ वाली स्लैब की धारिता $C_{3} = \frac{K_{2} \varepsilon_{0} (A/2)}{d/2} = \frac{K_{2} \varepsilon_{0} A}{d}$ है।
चूंकि ये दोनों श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनकी तुल्य धारिता $C_{s}$ इस प्रकार है: $\frac{1}{C_{s}} = \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}} = \frac{d}{K_{1} \varepsilon_{0} A} + \frac{d}{K_{2} \varepsilon_{0} A} = \frac{d}{\varepsilon_{0} A} \left( \frac{1}{K_{1}} + \frac{1}{K_{2}} \right) = \frac{d}{\varepsilon_{0} A} \left( \frac{K_{1} + K_{2}}{K_{1} K_{2}} \right)$.
अतः,$C_{s} = \frac{\varepsilon_{0} A}{d} \left( \frac{K_{1} K_{2}}{K_{1} + K_{2}} \right)$.
कुल धारिता $C_{eq}$,$C_{1}$ और $C_{s}$ का समानांतर संयोजन है:
$C_{eq} = C_{1} + C_{s} = \frac{\varepsilon_{0} A}{2d} + \frac{\varepsilon_{0} A}{d} \left( \frac{K_{1} K_{2}}{K_{1} + K_{2}} \right) = \frac{\varepsilon_{0} A}{d} \left( \frac{1}{2} + \frac{K_{1} K_{2}}{K_{1} + K_{2}} \right)$.

(D) प्रारंभिक धारिता $C_i = 200 \,\mu F = 200 \times 10^{-6} \,F$.
प्रारंभिक वोल्टेज $V = 200 \,V$.
प्रारंभिक स्थिर वैद्युत ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C_i V^2$.
जब बैटरी जुड़ी रहती है और $K = 2$ परावैद्युतांक वाली स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C_f = K C_i = 2 \times 200 \,\mu F = 400 \,\mu F$ हो जाती है।
वोल्टेज $V$ का मान $200 \,V$ पर स्थिर रहता है।
अंतिम स्थिर वैद्युत ऊर्जा $U_f = \frac{1}{2} C_f V^2$.
स्थिर वैद्युत ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i = \frac{1}{2} (C_f - C_i) V^2$.
$\Delta U = \frac{1}{2} (K - 1) C_i V^2$.
मान रखने पर: $\Delta U = \frac{1}{2} (2 - 1) \times (200 \times 10^{-6}) \times (200)^2$.
$\Delta U = \frac{1}{2} \times 1 \times 200 \times 10^{-6} \times 40000$.
$\Delta U = 100 \times 10^{-6} \times 40000 = 4 \,J$.

(B) बाईं प्लेट से $x$ $(x < d/2)$ दूरी पर $dx$ चौड़ाई का एक अवयव लें। इस अवयव की विभेदक धारिता $dC = \frac{\varepsilon(x) A}{dx}$ द्वारा दी जाती है।
संधारित्र के पहले आधे भाग ($0$ से $d/2$) के लिए,संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। तुल्य धारिता $C_1$ इस प्रकार है:
$\frac{1}{C_1} = \int_{0}^{d/2} \frac{1}{dC} = \frac{1}{A} \int_{0}^{d/2} \frac{dx}{\varepsilon_{0} + kx}$
इसका समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{kA} [\ln(\varepsilon_{0} + kx)]_{0}^{d/2} = \frac{1}{kA} \ln\left(\frac{\varepsilon_{0} + kd/2}{\varepsilon_{0}}\right) = \frac{1}{kA} \ln\left(\frac{2\varepsilon_{0} + kd}{2\varepsilon_{0}}\right)$
अतः,$C_1 = \frac{kA}{\ln\left(\frac{2\varepsilon_{0} + kd}{2\varepsilon_{0}}\right)}$.
समरूपता के कारण,दूसरे आधे भाग की धारिता $(C_2)$ भी $C_1$ के समान है। चूँकि दोनों भाग श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए कुल तुल्य धारिता $C_{eq}$ है:
$C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C_1}{2} = \frac{kA}{2 \ln \left(\frac{2\varepsilon_{0} + kd}{2\varepsilon_{0}}\right)}$.

(A) जब संधारित्र की प्लेटों के बीच एक परावैद्युत स्लैब रखा जाता है,तो परावैद्युत के अंदर परिणामी विद्युत क्षेत्र $E$,निर्वात में प्रारंभिक विद्युत क्षेत्र $E_{0}$ की तुलना में $k$ के कारक से कम हो जाता है।
परिणामी विद्युत क्षेत्र $E = E_{0} - E_{b}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $E_{b}$ प्रेरित (बद्ध) आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र है।
चूंकि $E = \frac{E_{0}}{k}$,इसलिए $\frac{E_{0}}{k} = E_{0} - E_{b}$ होता है।
इससे $E_{b} = E_{0} - \frac{E_{0}}{k} = E_{0} \left(1 - \frac{1}{k}\right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र पृष्ठीय आवेश घनत्व के समानुपाती होता है $(E = \frac{\sigma}{\epsilon_{0}})$,इसलिए बद्ध आवेश $q_{b}$ मुक्त आवेश $q_{f}$ से उसी कारक द्वारा संबंधित है:
$q_{b} = q_{f} \left(1 - \frac{1}{k}\right)$.

(C) प्रारंभ में,संधारित्रों को $V$ विभव की बैटरी से समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है। कुल संचित आवेश $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = (2C)V + (C)V = 3CV$ है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है और $C$ धारिता वाले संधारित्र में $K$ परावैद्युतांक वाला माध्यम भरा जाता है,तो इसकी नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
$2C$ धारिता वाला संधारित्र अपरिवर्तित रहता है।
चूंकि संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े हैं,इसलिए उनके सिरों पर समान विभवांतर $V'$ होगा। कुल आवेश संरक्षित रहता है,अतः $Q_{total} = 3CV$।
नई तुल्य धारिता $C_{eq} = 2C + KC = C(K+2)$ है।
संबंध $Q = C_{eq} V'$ का उपयोग करने पर:
$3CV = C(K+2) V'$
$V' = \frac{3CV}{C(K+2)} = \frac{3V}{K+2}$

(B) संधारित्र तीन परावैद्युत स्लैबों के श्रेणी संयोजन से बना है,जिनकी मोटाई $d_1 = d$,$d_2 = 2d$,$d_3 = 3d$ और परावैद्युतांक $K_1 = K$,$K_2 = 3K$,$K_3 = 5K$ हैं।
प्रत्येक भाग की धारिता $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d_{thickness}}$ द्वारा दी जाती है।
$C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$
$C_2 = \frac{3K \varepsilon_0 A}{2d}$
$C_3 = \frac{5K \varepsilon_0 A}{3d}$
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ का मान $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d}{K \varepsilon_0 A} + \frac{2d}{3K \varepsilon_0 A} + \frac{3d}{5K \varepsilon_0 A}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d}{K \varepsilon_0 A} [1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5}] = \frac{d}{K \varepsilon_0 A} [\frac{15 + 10 + 9}{15}] = \frac{34d}{15K \varepsilon_0 A}$
अतः,$C_{eq} = \frac{15K \varepsilon_0 A}{34d}$.

(D) मान लीजिए कि प्लेटों के बीच हवा वाले क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र $E$ है।
संतुलन स्थिति में, लोलक पर कार्य करने वाले बल तनाव $T$, गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ और विद्युत बल $qE$ हैं।
बलों को वियोजित करने पर:
$T \sin \theta = qE$
$T \cos \theta = mg$
इन समीकरणों को विभाजित करने पर, हमें $\tan \theta = \frac{qE}{mg}$ प्राप्त होता है।
यह निकाय श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों $C_{1}$ (हवा) और $C_{2}$ (परावैद्युत) के रूप में कार्य करता है।
प्लेटों के बीच विभवांतर $V = V_{1} + V_{2}$ है।
श्रेणी संयोजन पर आवेश $Q = \left[\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}\right](V_{1}+V_{2})$ है।
हवा वाले क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र $E = \frac{Q}{A\epsilon_{0}}$ द्वारा दिया जाता है।
$Q$ का मान रखने पर, $E = \left[\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}\right] \frac{(V_{1}+V_{2})}{A\epsilon_{0}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $C_{1} = \frac{\epsilon_{0}A}{d-t}$, इसलिए $\frac{1}{A\epsilon_{0}} = \frac{1}{C_{1}(d-t)}$ है।
इस मान को $E$ के समीकरण में रखने पर, $E = \frac{C_{2}(V_{1}+V_{2})}{(C_{1}+C_{2})(d-t)}$ प्राप्त होता है।
अतः, विक्षेपण कोण $\theta = \tan^{-1}\left[\frac{q}{mg} \times \frac{C_{2}(V_{1}+V_{2})}{(C_{1}+C_{2})(d-t)}\right]$ होगा।

(D) परावैद्युत द्वारा सहन किया जा सकने वाला अधिकतम विद्युत क्षेत्र $E$ उसकी परावैद्युत सामर्थ्य है,$E = 3.6 \times 10^{7} \, Vm^{-1}$।
परावैद्युत युक्त समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{K \varepsilon_{0} A}{d}$ होती है।
अधिकतम आवेश $q = CV = C(Ed) = \left( \frac{K \varepsilon_{0} A}{d} \right) Ed = K \varepsilon_{0} A E$ द्वारा दिया जाता है।
परावैद्युतांक $K$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$K = \frac{q}{\varepsilon_{0} A E}$।
दिया गया है: $q = 7 \times 10^{-6} \, C$,$A = 30 \pi \times 10^{-4} \, m^{2}$,$E = 3.6 \times 10^{7} \, Vm^{-1}$,और $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \, Nm^{2}C^{-2}$,जिसका अर्थ है $\varepsilon_{0} = \frac{1}{36 \pi \times 10^{9}}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $K = \frac{7 \times 10^{-6}}{\left( \frac{1}{36 \pi \times 10^{9}} \right) \times (30 \pi \times 10^{-4}) \times (3.6 \times 10^{7})}$।
$K = \frac{7 \times 10^{-6} \times 36 \pi \times 10^{9}}{30 \pi \times 10^{-4} \times 3.6 \times 10^{7}} = \frac{7 \times 36 \times 10^{3}}{30 \times 3.6 \times 10^{3}} = \frac{252}{108} = 2.33$।

(A) समांतर प्लेट संधारित्र की मूल धारिता $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब $t = \frac{d}{2}$ मोटाई की धातु की शीट को प्लेटों के बीच रखा जाता है,तो प्लेटों के बीच की प्रभावी दूरी कम हो जाती है।
नई धारिता $C_2$ का सूत्र $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - t}$ है।
$t = \frac{d}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{2}} = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$ प्राप्त होता है।
अतः,नई धारिता और मूल धारिता का अनुपात $\frac{C_2}{C_1} = \frac{2 \epsilon_0 A / d}{\epsilon_0 A / d} = \frac{2}{1}$ या $2:1$ है।

(C) मूल धारिता $C = \frac{A \varepsilon_0}{d} = 4 \, \mu F$ द्वारा दी जाती है।
जब स्थान को चित्र में दिखाए अनुसार भरा जाता है,तो निकाय श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों की तरह कार्य करता है,जिनमें से प्रत्येक का प्लेट पृथक्करण $d/2$ है।
पहले संधारित्र (वायु-भरे) की धारिता $C_1 = \frac{A \varepsilon_0}{d/2} = 2 \left( \frac{A \varepsilon_0}{d} \right) = 2C$ है।
दूसरे संधारित्र (परावैद्युत-भरे) की धारिता $C_2 = \frac{K A \varepsilon_0}{d/2} = 2K \left( \frac{A \varepsilon_0}{d} \right) = 2KC = 2(3)C = 6C$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{\text{new}}$ है:
$C_{\text{new}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(2C)(6C)}{2C + 6C} = \frac{12C^2}{8C} = 1.5C$.
$C = 4 \, \mu F$ रखने पर:
$C_{\text{new}} = 1.5 \times 4 \, \mu F = 6 \, \mu F$.

(A) बैटरी से जुड़े संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C V^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ है।
चूंकि बैटरी जुड़ी हुई है,इसलिए विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_1 = \frac{1}{2} (K_1 C_0) V^2$,जहाँ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ है।
अंतिम ऊर्जा $U_2 = \frac{1}{2} (K_2 C_0) V^2$ है।
ऊर्जा में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{U_2 - U_1}{U_1} \times 100 \%$ द्वारा प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $\frac{\frac{1}{2} K_2 C_0 V^2 - \frac{1}{2} K_1 C_0 V^2}{\frac{1}{2} K_1 C_0 V^2} \times 100 \% = \frac{K_2 - K_1}{K_1} \times 100 \%$.
यहाँ $K_1 = 10$ और $K_2 = 15$ दिया गया है,इसलिए परिवर्तन $\frac{15 - 10}{10} \times 100 \% = \frac{5}{10} \times 100 \% = 50 \%$ है।
अतः,ऊर्जा $50 \%$ बढ़ जाएगी।

(C) $1$. प्रारंभिक स्थिति: संधारित्र $C$ और $3C$ समानांतर में हैं और $18V$ की बैटरी से जुड़े हैं। सिस्टम में संचित कुल आवेश $Q_{total}$ है:
$Q_{total} = (C + 3C) \times 18V = 4C \times 18V = 72CV$.
$2$. बैटरी हटाने के बाद: कुल आवेश $Q_{total} = 72CV$ स्थिर रहता है क्योंकि सिस्टम पृथक है।
$3$. परावैद्युत डालना: $K=9$ स्थिरांक वाला एक परावैद्युत $C$ धारिता वाले संधारित्र में डाला जाता है। इसकी नई धारिता $C^{\prime} = K \times C = 9C$ हो जाती है। दूसरा संधारित्र $3C$ ही रहता है।
$4$. अंतिम स्थिति: संधारित्र अभी भी समानांतर में हैं। मान लीजिए कि नया सामान्य विभवांतर $V^{\prime}$ है। संयोजन की कुल धारिता $C_{eq} = C^{\prime} + 3C = 9C + 3C = 12C$ है।
$5$. आवेश का संरक्षण: $Q_{total} = C_{eq} \times V^{\prime}$
$72CV = 12C \times V^{\prime}$
$V^{\prime} = \frac{72CV}{12C} = 6V$.

(A) संधारित्र को समानांतर में दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है: एक हवा के साथ और दूसरा परावैद्युत स्लैब के साथ।
हवा वाले भाग का क्षेत्रफल $A_1 = (7\,cm \times 4\,cm) = 28\,cm^2 = 28 \times 10^{-4}\,m^2$.
परावैद्युत भाग का क्षेत्रफल $A_2 = (1\,cm \times 4\,cm) = 4\,cm^2 = 4 \times 10^{-4}\,m^2$.
दूरी $d = 4\,mm = 4 \times 10^{-3}\,m$.
हवा वाले भाग की धारिता $C_1 = \frac{\epsilon_0 A_1}{d} = \frac{\epsilon_0 (28 \times 10^{-4})}{4 \times 10^{-3}} = 0.7 \epsilon_0\,F$.
परावैद्युत भाग की धारिता $C_2 = \frac{K \epsilon_0 A_2}{d} = \frac{5 \epsilon_0 (4 \times 10^{-4})}{4 \times 10^{-3}} = 0.5 \epsilon_0\,F$.
कुल प्रभावी धारिता $C_{\text{eff}} = C_1 + C_2 = 0.7 \epsilon_0 + 0.5 \epsilon_0 = 1.2 \epsilon_0\,F$.
स्थिर-वैद्युत ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C_{\text{eff}} V^2 = \frac{1}{2} (1.2 \epsilon_0) (20)^2 = 0.6 \epsilon_0 \times 400 = 240 \epsilon_0\,J$.

(A) प्लेटों के बीच की कुल दूरी $d$ है। परावैद्युत स्लैब की मोटाई $t = \frac{3d}{4}$ है।
शेष वायु अंतराल $d - t = d - \frac{3d}{4} = \frac{d}{4}$ है।
$t$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली परावैद्युत स्लैब वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C$ का सूत्र है:
$C = \frac{\epsilon_{0}A}{d - t + \frac{t}{K}}$
दिए गए मान $t = \frac{3d}{4}$ और $C_{0} = \frac{\epsilon_{0}A}{d}$ रखने पर:
$C = \frac{\epsilon_{0}A}{d - \frac{3d}{4} + \frac{3d}{4K}}$
$C = \frac{\epsilon_{0}A}{\frac{d}{4} + \frac{3d}{4K}}$
$C = \frac{\epsilon_{0}A}{\frac{d}{4} \left(1 + \frac{3}{K}\right)} = \frac{4\epsilon_{0}A}{d \left(\frac{K+3}{K}\right)}$
$C = \frac{4\epsilon_{0}A}{d} \cdot \frac{K}{K+3}$
चूँकि $C_{0} = \frac{\epsilon_{0}A}{d}$,हमें प्राप्त होता है:
$C = \frac{4KC_{0}}{K+3}$

(A) माना प्रत्येक संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = 40\,\mu F$ है।
जब एक संधारित्र में $K$ परावैद्युतांक वाला पदार्थ भरा जाता है,तो उसकी नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
चूंकि दोनों संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ का सूत्र है:
$C_{eq} = \frac{C \cdot C'}{C + C'} = \frac{C \cdot (KC)}{C + KC} = \frac{KC}{K + 1}$
यहाँ $C_{eq} = 24\,\mu F$ और $C = 40\,\mu F$ दिया गया है,अतः:
$24 = \frac{K \cdot 40}{K + 1}$
$24(K + 1) = 40K$
$24K + 24 = 40K$
$16K = 24$
$K = \frac{24}{16} = 1.5$

(B) प्रारंभ में,तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C \cdot C}{C + C} = \frac{C}{2}$ है।
बैटरी द्वारा दिया गया आवेश $Q_1 = C_{eq} E = \frac{C E}{2}$ है।
जब एक संधारित्र को $k$ परावैद्युतांक वाले परावैद्युत से भरा जाता है,तो उसकी नई धारिता $kC$ हो जाती है। श्रेणी संयोजन की नई तुल्य धारिता:
$C'_{eq} = \frac{C \cdot (kC)}{C + kC} = \left( \frac{k}{k+1} \right) C$.
चूंकि बैटरी जुड़ी हुई है,संयोजन पर नया आवेश:
$Q_2 = C'_{eq} E = \left( \frac{k}{k+1} \right) C E$.
बैटरी से प्रवाहित होने वाला अतिरिक्त आवेश,आवेश में परिवर्तन है:
$\Delta Q = Q_2 - Q_1 = \left( \frac{k}{k+1} - \frac{1}{2} \right) C E$.
$\Delta Q = \left( \frac{2k - (k+1)}{2(k+1)} \right) C E = \frac{k-1}{2(k+1)} C E$.

(A) चित्र $A$ में, संधारित्र को समानांतर में दो संधारित्रों में विभाजित किया गया है, प्रत्येक का क्षेत्रफल $A/2$ और प्लेटों के बीच की दूरी $d$ है। एक में हवा $(K=1)$ है और दूसरे में परावैद्युत $(K=2)$ है।
$C_A = C_1 + C_2 = \frac{\varepsilon_0 (A/2)}{d} + \frac{K \varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{\varepsilon_0 A}{2d} (1 + K) = \frac{\varepsilon_0 A}{2d} (1 + 2) = \frac{3 \varepsilon_0 A}{2d}$.
चित्र $B$ में, संधारित्र श्रेणीक्रम में दो संधारित्रों के समतुल्य है, एक $(d-t)$ मोटाई की हवा के साथ और दूसरा $t$ मोटाई के परावैद्युत के साथ।
$C_B = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + t/K} = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + t/2} = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t/2}$.
$C_A = C_B$ को बराबर करने पर:
$\frac{3 \varepsilon_0 A}{2d} = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t/2} \implies \frac{3}{2d} = \frac{1}{d - t/2}$.
$3(d - t/2) = 2d \implies 3d - 3t/2 = 2d \implies d = 3t/2 \implies t = 2d/3$.

(A) संधारित्र $C_1$ और $C_2$ एक वोल्टेज स्रोत $V$ के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं। $C_1$ पर प्रारंभिक आवेश $q_1 = \frac{C_1 C_2 V}{C_1 + C_2}$ है।
जब $C_2$ में $K$ स्थिरांक का परावैद्युत डाला जाता है,तो इसकी नई धारिता $C_2^{\prime} = K C_2$ हो जाती है।
$C_1$ पर नया आवेश $q_1^{\prime} = \frac{C_1 C_2^{\prime} V}{C_1 + C_2^{\prime}} = \frac{K C_1 C_2 V}{C_1 + K C_2}$ हो जाता है।
अंश और हर को $K$ से विभाजित करने पर,हमें $q_1^{\prime} = \frac{C_1 C_2 V}{(C_1/K) + C_2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $K > 1$ के लिए $(C_1/K) + C_2 < C_1 + C_2$ होता है,इसलिए हर का मान कम हो जाता है,जिसका अर्थ है कि आवेश $q_1^{\prime}$,$q_1$ की तुलना में बढ़ जाता है।

(D) प्रारंभ में,धारिता $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ है और संधारित्र पर आवेश $q = CV$ है।
जब बैटरी को हटा दिया जाता है,तो आवेश $q$ स्थिर रहता है।
$\frac{d}{2}$ मोटाई और $K = 2$ परावैद्युतांक वाली परावैद्युत स्लैब के साथ नई धारिता $C'$ इस प्रकार है:
$C' = \frac{A \varepsilon_0}{d - t(1 - \frac{1}{K})} = \frac{A \varepsilon_0}{d - \frac{d}{2}(1 - \frac{1}{2})} = \frac{A \varepsilon_0}{d - \frac{d}{4}} = \frac{A \varepsilon_0}{\frac{3d}{4}} = \frac{4}{3} \frac{A \varepsilon_0}{d} = \frac{4}{3}C$.
चूंकि आवेश $q$ संरक्षित है,इसलिए $q = CV = C'V'$।
$C' = \frac{4}{3}C$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $CV = \frac{4}{3}C V'$ प्राप्त होता है।
अतः,नया विभवांतर $V' = \frac{3V}{4}$ होगा।

(C) संधारित्र को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है: ऊपरी भाग परावैद्युत $K_1 = 6$ के साथ और निचला भाग दो समांतर संधारित्रों से बना है जिनमें परावैद्युत $K_2 = 3$ और $K_3 = 6$ हैं।
ऊपरी भाग के लिए,क्षेत्रफल $A/2$ है और दूरी $d$ है। अतः,$C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{6 \varepsilon_0 A}{2d} = \frac{3 \varepsilon_0 A}{d}$।
निचले भाग के लिए,क्षेत्रफल $A/2$ है और यह समांतर में दो संधारित्रों में विभाजित है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $A/2$ और दूरी $d/2$ है।
$C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{3 \varepsilon_0 A}{d}$।
$C_3 = \frac{K_3 \varepsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{6 \varepsilon_0 A}{d}$।
निचले भाग की तुल्य धारिता $C_{bottom} = C_2 + C_3 = \frac{3 \varepsilon_0 A}{d} + \frac{6 \varepsilon_0 A}{d} = \frac{9 \varepsilon_0 A}{d}$ है।
चूंकि ऊपरी भाग और निचला भाग श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए कुल धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_{bottom}} = \frac{d}{3 \varepsilon_0 A} + \frac{d}{9 \varepsilon_0 A} = \frac{3d + d}{9 \varepsilon_0 A} = \frac{4d}{9 \varepsilon_0 A}$।
अतः,$C_{eq} = \frac{9 \varepsilon_0 A}{4d} = 2.25 \frac{\varepsilon_0 A}{d}$।
यदि परावैद्युतांक $K$ वाला कोई पदार्थ पूरे संधारित्र में भर दिया जाए,तो $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ होगा।
दोनों की तुलना करने पर,$K = 2.25$ प्राप्त होता है।

(A) हवा वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी को दोगुना किया जाता है,तो नई दूरी $d' = 2d$ हो जाती है।
जब स्थान को $K = 6$ परावैद्युतांक वाले परावैद्युत से भरा जाता है,तो नई धारिता $C' = \frac{K A \varepsilon_0}{d'}$ होती है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $C' = \frac{6 A \varepsilon_0}{2d} = 3 \left( \frac{A \varepsilon_0}{d} \right)$.
चूंकि $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$,इसलिए $C' = 3C$ होगा।

(D) इस व्यवस्था को तीन संधारित्रों में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. संधारित्र $C_1$ (वायु) जिसका क्षेत्रफल $A/2$ और पृथक्करण $d/2$ है: $C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$.
$2$. संधारित्र $C_2$ (परावैद्युत $K$) जिसका क्षेत्रफल $A/2$ और पृथक्करण $d/2$ है: $C_2 = \frac{K \varepsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$.
$3$. संधारित्र $C_3$ (परावैद्युत $K$) जिसका क्षेत्रफल $A/2$ और पृथक्करण $d$ है: $C_3 = \frac{K \varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{K \varepsilon_0 A}{2d}$.
$C_1$ और $C_2$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए उनकी समतुल्य धारिता $C_{12} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(\frac{\varepsilon_0 A}{d})(\frac{K \varepsilon_0 A}{d})}{\frac{\varepsilon_0 A}{d} + \frac{K \varepsilon_0 A}{d}} = \frac{K \varepsilon_0 A}{d(K+1)}$.
$C_{12}$ और $C_3$ समानांतर क्रम में हैं,इसलिए $C_{eq} = C_{12} + C_3 = \frac{K \varepsilon_0 A}{d(K+1)} + \frac{K \varepsilon_0 A}{2d} = \frac{K \varepsilon_0 A}{d} [\frac{1}{K+1} + \frac{1}{2}] = \frac{K \varepsilon_0 A}{d} [\frac{2 + K + 1}{2(K+1)}] = \frac{K(K+3) \varepsilon_0 A}{2(K+1)d}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) हवा वाले समानांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 15 \, pF$ है।
जब प्लेटों के बीच की दूरी को दोगुना किया जाता है,तो नई दूरी $d' = 2d$ हो जाती है।
जब स्थान को $K = 3.5$ परावैद्युतांक वाले माध्यम से भरा जाता है,तो नई धारिता $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d'} = \frac{K \epsilon_0 A}{2d}$ होती है।
मान रखने पर,हमें $C = \frac{3.5}{2} \times C_0 = \frac{3.5}{2} \times 15 \, pF$ प्राप्त होता है।
$C = \frac{3.5 \times 15}{2} \, pF = \frac{52.5}{2} \, pF = \frac{105}{4} \, pF$ है।
इसकी तुलना $\frac{x}{4} \, pF$ से करने पर,हमें $x = 105$ प्राप्त होता है।

(C) इस निकाय को श्रेणी क्रम में दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है: एक $t = 1\,mm$ मोटाई के परावैद्युत के साथ और दूसरा $(d - t) = 1\,mm$ मोटाई की हवा के साथ।
श्रेणी क्रम में संधारित्रों के लिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$
जहाँ $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{t}$ और $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t}$ है।
मान रखने पर:
$A = 40\,cm^2 = 40 \times 10^{-4}\,m^2$
$d = 2\,mm = 2 \times 10^{-3}\,m$
$t = 1\,mm = 1 \times 10^{-3}\,m$
$K = 5$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{t}{K \varepsilon_0 A} + \frac{d - t}{\varepsilon_0 A}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1 \times 10^{-3}}{5 \varepsilon_0 \times 40 \times 10^{-4}} + \frac{1 \times 10^{-3}}{\varepsilon_0 \times 40 \times 10^{-4}}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{20 \varepsilon_0} + \frac{1}{4 \varepsilon_0} = \frac{1 + 5}{20 \varepsilon_0} = \frac{6}{20 \varepsilon_0} = \frac{3}{10 \varepsilon_0}$
अतः,$C_{eq} = \frac{10}{3} \varepsilon_0\,F$।

(B) वायु वाले समानांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 5 \mu F$ है।
जब $t = \frac{d}{2}$ मोटाई और $K = 1.5$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C_{\text{new}}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$C_{\text{new}} = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$C_{\text{new}} = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{2} + \frac{d/2}{1.5}}$
$C_{\text{new}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d}{2} + \frac{d}{3}}$
$C_{\text{new}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{3d + 2d}{6}} = \frac{6 \epsilon_0 A}{5 d}$
चूंकि $\frac{\epsilon_0 A}{d} = 5 \mu F$,इसलिए:
$C_{\text{new}} = \frac{6}{5} \times 5 \mu F = 6 \mu F$.

(D) $x$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाले परावैद्युत स्लैब के साथ समानांतर प्लेट संधारित्र की धारिता इस प्रकार दी जाती है:
$C = \frac{\epsilon_0 A}{d - x + \frac{x}{K}}$
यहाँ $K = 4$ दिया गया है,इसलिए सूत्र:
$C = \frac{\epsilon_0 A}{d - x + \frac{x}{4}} = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{3x}{4}}$
$x = \frac{d}{3}$ के लिए:
$C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{3}{4}(\frac{d}{3})} = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{4}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{3d}{4}} = \frac{4}{3} \frac{\epsilon_0 A}{d}$
चूंकि $C_1 = 2 \mu F$ दिया गया है,हमें मिलता है $\frac{4}{3} \frac{\epsilon_0 A}{d} = 2 \mu F \implies \frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{6}{4} = 1.5 \mu F$.
$x = \frac{2d}{3}$ के लिए:
$C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{3}{4}(\frac{2d}{3})} = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{d}{2}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d}{2}} = 2 \frac{\epsilon_0 A}{d}$
$\frac{\epsilon_0 A}{d} = 1.5 \mu F$ रखने पर:
$C_2 = 2 \times 1.5 \mu F = 3 \mu F$.

(C) हवा माध्यम वाले समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है।
जब प्लेटों के बीच $t = \frac{2d}{3}$ मोटाई की धातु की शीट रखी जाती है,तो प्लेटों के बीच की प्रभावी दूरी कम हो जाती है।
$t$ मोटाई वाली परावैद्युत स्लैब (या धातु की शीट) वाले संधारित्र की धारिता $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
धातु की शीट के लिए,परावैद्युतांक $K = \infty$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{2d}{3} + \frac{2d/3}{\infty}} = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{2d}{3} + 0} = \frac{\epsilon_0 A}{d/3} = 3 \frac{\epsilon_0 A}{d}$.
चूंकि $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$,इसलिए $C_2 = 3C_1$.
अतः,अनुपात $\frac{C_2}{C_1} = 3:1$ है।

(B) माना प्रारंभिक धारिता $C_0 = \frac{A \epsilon_0}{d}$ है,जहाँ $d = 5 \ mm$ है।
प्रारंभिक आवेश $Q_0 = C_0 V = \frac{A \epsilon_0 V}{d}$ है।
जब $t = 2 \ mm$ मोटाई और $K$ परावैद्युत स्थिरांक वाली एक परावैद्युत शीट डाली जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{A \epsilon_0}{d - t + \frac{t}{K}}$ होती है।
नया आवेश $Q' = C' V = \frac{A \epsilon_0 V}{d - t + \frac{t}{K}}$ है।
दिया गया है कि संधारित्र $25 \%$ अधिक आवेश खींचता है,इसलिए $Q' = 1.25 Q_0$ है।
समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{A \epsilon_0 V}{d - t + \frac{t}{K}} = 1.25 \frac{A \epsilon_0 V}{d}$।
इसे सरल करने पर: $\frac{1}{d - t + \frac{t}{K}} = \frac{1.25}{d} = \frac{5}{4d}$।
अतः,$4d = 5(d - t + \frac{t}{K})$।
$d = 5 \ mm$ और $t = 2 \ mm$ रखने पर,$4(5) = 5(5 - 2 + \frac{2}{K})$।
$20 = 5(3 + \frac{2}{K}) \Rightarrow 4 = 3 + \frac{2}{K}$।
$1 = \frac{2}{K} \Rightarrow K = 2$।

(C) प्रारंभिक धारिता $C_0 = 12.5 \ pF$ और प्रारंभिक विभवांतर $V = 12.0 \ V$ है।
प्रारंभिक आवेश $Q = C_0 V = 12.5 \times 10^{-12} \times 12 = 150 \times 10^{-12} \ C$ है।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2} C_0 V^2 = \frac{1}{2} \times 12.5 \times 10^{-12} \times (12)^2 = 900 \times 10^{-12} \ J$ है।
बैटरी को हटाने के बाद,आवेश $Q$ स्थिर रहता है। जब परावैद्युत स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C_f = \epsilon_r C_0 = 6 \times 12.5 \ pF = 75 \ pF$ हो जाती है।
अंतिम ऊर्जा $U_f = \frac{Q^2}{2 C_f} = \frac{Q^2}{2 \epsilon_r C_0} = \frac{U_i}{\epsilon_r} = \frac{900 \times 10^{-12}}{6} = 150 \times 10^{-12} \ J$ है।
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_i - U_f = 900 \times 10^{-12} - 150 \times 10^{-12} = 750 \times 10^{-12} \ J$ है।

(C) संधारित्र को दो समानांतर संधारित्रों $C_1$ और $C_2$ में विभाजित किया गया है,जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल $A/2$ है।
$C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{2 \epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{d}$
$C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{3 \epsilon_0 (A/2)}{d} = 1.5 \frac{\epsilon_0 A}{d}$
प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 10 \mu F$ दी गई है,इसलिए $C_1 = 10 \mu F$ और $C_2 = 15 \mu F$ है।
संधारित्र की प्लेटों के बीच बल $F = \frac{Q^2}{2 \epsilon_0 A}$ होता है। परावैद्युत से भरे संधारित्र के लिए,बल $F = \frac{K \epsilon_0 A V^2}{2 d^2}$ होता है।
कुल बल $F = F_1 + F_2 = \frac{\epsilon_0 A V^2}{4 d^2} (K_1 + K_2)$।
दिए गए मानों $A = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2$,$d = 10^{-2} \text{ m}$,$K_1+K_2 = 5$,$F = 8 \text{ N}$ का उपयोग करने पर,
गणना करने पर $V = 60 \text{ V}$ प्राप्त होता है।

(A) हवा से भरे संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $A = 12 \,cm^2$ और $d = 0.6 \,cm$ है。
जब $t = 0.6 \,cm$ मोटाई और $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब डाली जाती है, और प्लेटों के बीच की दूरी $0.2 \,cm$ बढ़ा दी जाती है (नई दूरी $d' = 0.6 + 0.2 = 0.8 \,cm$), तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d' - t + t/K}$ होती है。
यह दिया गया है कि $C = C'$, इसलिए $\frac{\epsilon_0 A}{d} = \frac{\epsilon_0 A}{d' - t + t/K}$。
मान रखने पर: $\frac{1}{0.6} = \frac{1}{0.8 - 0.6 + 0.6/K}$。
$0.6 = 0.2 + \frac{0.6}{K}$。
$0.4 = \frac{0.6}{K}$。
$K = \frac{0.6}{0.4} = 1.5$。

(A) संधारित्र को श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है: एक परावैद्युत $(K=2)$ से भरा हुआ और दूसरा हवा $(K=1)$ वाला।
माना परावैद्युत की मोटाई $x(t) = \frac{d}{3} - Vt$ है और हवा के अंतराल की मोटाई $y(t) = d - x(t) = \frac{2d}{3} + Vt$ है।
परावैद्युत भाग की धारिता $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{x(t)} = \frac{2 \varepsilon_0}{(\frac{d}{3} - Vt)}$ है।
हवा वाले भाग की धारिता $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{y(t)} = \frac{\varepsilon_0}{(\frac{2d}{3} + Vt)}$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ होगी।
$C_{eq} = \frac{\frac{2 \varepsilon_0}{\frac{d}{3} - Vt} \cdot \frac{\varepsilon_0}{\frac{2d}{3} + Vt}}{\frac{2 \varepsilon_0}{\frac{d}{3} - Vt} + \frac{\varepsilon_0}{\frac{2d}{3} + Vt}} = \frac{2 \varepsilon_0^2 / [(\frac{d}{3} - Vt)(\frac{2d}{3} + Vt)]}{\varepsilon_0 [\frac{2(\frac{2d}{3} + Vt) + (\frac{d}{3} - Vt)}{(\frac{d}{3} - Vt)(\frac{2d}{3} + Vt)}]} = \frac{2 \varepsilon_0}{\frac{4d}{3} + 2Vt + \frac{d}{3} - Vt} = \frac{2 \varepsilon_0}{\frac{5d}{3} + Vt} = \frac{6 \varepsilon_0}{5d + 3Vt}$.
समय नियतांक $\tau = C_{eq} R = \frac{6 \varepsilon_0 R}{5d + 3Vt}$ है।

(B) $t = 10 \text{ s}$ में भरे गए द्रव का आयतन $V = 250 \text{ cm}^3 \text{ s}^{-1} \times 10 \text{ s} = 2500 \text{ cm}^3$ है।
पात्र के आधार का क्षेत्रफल $50 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} = 250 \text{ cm}^2$ है।
द्रव स्तंभ की ऊँचाई $h = \frac{V}{\text{आधार का क्षेत्रफल}} = \frac{2500 \text{ cm}^3}{250 \text{ cm}^2} = 10 \text{ cm}$ है।
संधारित्र को समानांतर में दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है: एक द्रव (परावैद्युत) से भरा और दूसरा हवा से भरा।
द्रव भाग के लिए: क्षेत्रफल $A_d = 50 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} = 500 \text{ cm}^2 = 500 \times 10^{-4} \text{ m}^2$, दूरी $d = 5 \text{ cm} = 5 \times 10^{-2} \text{ m}$, $k = 3$.
$C_d = \frac{k \epsilon_0 A_d}{d} = \frac{3 \times 9 \times 10^{-12} \times 500 \times 10^{-4}}{5 \times 10^{-2}} = 27 \times 10^{-12} \text{ F} = 27 \text{ pF}$.
हवा वाले भाग के लिए: क्षेत्रफल $A_a = 50 \text{ cm} \times (50 - 10) \text{ cm} = 50 \text{ cm} \times 40 \text{ cm} = 2000 \text{ cm}^2 = 2000 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
$C_a = \frac{\epsilon_0 A_a}{d} = \frac{9 \times 10^{-12} \times 2000 \times 10^{-4}}{5 \times 10^{-2}} = 36 \times 10^{-12} \text{ F} = 36 \text{ pF}$.
कुल धारिता $C = C_d + C_a = 27 \text{ pF} + 36 \text{ pF} = 63 \text{ pF}$.

(A) संधारित्र $N$ संधारित्रों के श्रेणी संयोजन के बराबर है,प्रत्येक की मोटाई $\delta = dx = \frac{d}{N}$ है।
बड़े $N$ के लिए,हम इसे एक निरंतर परिवर्तन के रूप में मान सकते हैं जहाँ $\frac{m}{N} = \frac{x}{d}$ है।
परावैद्युतांक $K(x) = K(1 + \frac{x}{d})$ के रूप में बदलता है।
श्रेणी में जुड़े संधारित्रों के लिए समतुल्य धारिता $C_{eq}$ को $\frac{1}{C_{eq}} = \int \frac{dx}{C(x)}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $C(x) = \frac{K(x) \varepsilon_0 A}{dx}$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{C_{eq}} = \int_0^d \frac{dx}{\frac{K(1 + x/d) \varepsilon_0 A}{dx}} = \frac{1}{K \varepsilon_0 A} \int_0^d \frac{dx}{1 + x/d}$.
मान लीजिए $u = 1 + \frac{x}{d}$,तो $du = \frac{dx}{d}$,इसलिए $dx = d \cdot du$.
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d}{K \varepsilon_0 A} \int_1^2 \frac{du}{u} = \frac{d}{K \varepsilon_0 A} [\ln u]_1^2 = \frac{d}{K \varepsilon_0 A} \ln 2$.
इस प्रकार,$C_{eq} = \frac{K \varepsilon_0 A}{d \ln 2}$.
इसे दिए गए समीकरण $C = \alpha \left( \frac{K \varepsilon_0 A}{d \ln 2} \right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।

(D) संधारित्र को समानांतर में दो संधारित्रों के रूप में माना जा सकता है,एक परावैद्युत के साथ और एक बिना परावैद्युत के।
परावैद्युत भाग का क्षेत्रफल $A_1 = A/3$,वायु वाले भाग का क्षेत्रफल $A_2 = 2A/3$ है।
परावैद्युत के साथ धारिता: $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{3d}$।
बिना परावैद्युत के धारिता: $C_2 = \frac{\varepsilon_0 (2A/3)}{d} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{3d}$।
कुल धारिता $C = C_1 + C_2 = \frac{K \varepsilon_0 A}{3d} + \frac{2 \varepsilon_0 A}{3d} = \frac{(K+2) \varepsilon_0 A}{3d}$।
अनुपात $\frac{C}{C_1} = \frac{(K+2) \varepsilon_0 A / 3d}{K \varepsilon_0 A / 3d} = \frac{K+2}{K}$। अतः,$(D)$ सही है।
चूंकि प्लेटें समान विभवांतर $V$ से जुड़ी हैं,इसलिए दोनों भागों में विद्युत क्षेत्र $E_1 = E_2 = V/d$ है। अतः,$\frac{E_1}{E_2} = 1$। अतः,$(A)$ सही है।
आवेश $Q_1 = C_1 V$ और $Q_2 = C_2 V$ हैं। अनुपात $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{K \varepsilon_0 A / 3d}{2 \varepsilon_0 A / 3d} = \frac{K}{2}$। अतः,$(C)$ गलत है।
सही विकल्प $(A)$ और $(D)$ हैं।

(D) हवा में धारिता $C_1 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}$ है।
संधारित्र को समानांतर में दो भागों के रूप में मॉडल किया जा सकता है। एक भाग में $\varepsilon_1$ परावैद्युत के साथ $S/2$ क्षेत्रफल है,और दूसरे भाग में $S/2$ क्षेत्रफल है जिसमें श्रृंखला में दो परावैद्युत हैं,प्रत्येक की मोटाई $d/2$ और विद्युतशीलता $\varepsilon_1$ और $\varepsilon_2$ है।
$\varepsilon_1$ परावैद्युत वाली समानांतर शाखा के लिए: $C_A = \frac{\varepsilon_1 \varepsilon_0 (S/2)}{d} = \frac{2 \varepsilon_0 S}{2d} = \frac{\varepsilon_0 S}{d} = C_1$.
दूसरी शाखा के लिए,हमारे पास श्रृंखला में दो संधारित्र $C_B$ और $C_C$ हैं,प्रत्येक का क्षेत्रफल $S/2$ और मोटाई $d/2$ है:
$C_B = \frac{\varepsilon_1 \varepsilon_0 (S/2)}{d/2} = \varepsilon_1 \frac{\varepsilon_0 S}{d} = 2 C_1$
$C_C = \frac{\varepsilon_2 \varepsilon_0 (S/2)}{d/2} = \varepsilon_2 \frac{\varepsilon_0 S}{d} = 4 C_1$
इस श्रृंखला शाखा की समतुल्य धारिता $C_{series} = \frac{C_B C_C}{C_B + C_C} = \frac{(2 C_1)(4 C_1)}{2 C_1 + 4 C_1} = \frac{8 C_1^2}{6 C_1} = \frac{4}{3} C_1$ है।
कुल धारिता $C_2 = C_A + C_{series} = C_1 + \frac{4}{3} C_1 = \frac{7}{3} C_1$.
अतः,अनुपात $\frac{C_2}{C_1} = \frac{7}{3}$ है।

(B) चित्र $(a)$ में,संधारित्र $d$ मोटाई के परावैद्युत से भरा है। धारिता $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ है।
चित्र $(b)$ में,प्लेटों के बीच की कुल दूरी $2d$ है। $d$ मोटाई का परावैद्युत स्लैब प्लेटों के बीच है,जो $d$ की निर्वात जगह (प्रत्येक तरफ $d/2$) छोड़ता है। यह प्रणाली श्रेणीक्रम में जुड़े दो संधारित्रों के रूप में कार्य करती है: एक परावैद्युत के साथ (मोटाई $d$,धारिता $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$) और एक हवा के साथ (मोटाई $d$,धारिता $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$)।
तुल्य धारिता $C'$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{C'} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{d}{K \varepsilon_0 A} + \frac{d}{\varepsilon_0 A} = \frac{d}{\varepsilon_0 A} (\frac{1}{K} + 1) = \frac{d(K+1)}{K \varepsilon_0 A}$.
इस प्रकार,$C' = \frac{K \varepsilon_0 A}{d(K+1)} = \frac{C}{K+1}$.
अतः,धारिता $(K+1)$ के कारक से कम हो जाती है,जिसका अर्थ है कि यह $\frac{1}{K+1}$ से गुणा हो जाती है। इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(C) प्रारंभिक धारिता $C = 40 \mu F$,वोल्टेज $V = 100 V$,परावैद्युतांक $K = 2$ है।
नई धारिता $C' = KC = 2 \times 40 \mu F = 80 \mu F$ होगी।
अतिरिक्त आवेश $\Delta q = q' - q = (C' - C)V = (80 - 40) \times 10^{-6} \times 100 = 40 \times 10^{-6} \times 100 = 4 \times 10^{-3} C = 4 mC$ होगा।
स्थिर-विद्युत ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U' - U = \frac{1}{2}C'V^2 - \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}(K-1)CV^2$ होगा।
$\Delta U = \frac{1}{2} \times (2-1) \times 40 \times 10^{-6} \times (100)^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times 40 \times 10^{-6} \times 10000 = 20 \times 10^{-2} J = 0.2 J$ होगा।
अतः,अतिरिक्त आवेश $4 mC$ है और ऊर्जा में परिवर्तन $0.2 J$ है।

(B) पहली विन्यास में,दो परावैद्युत श्रेणीक्रम में हैं। प्रत्येक भाग की धारिता $C_a = \frac{2 \varepsilon_1 \varepsilon_0 A}{d}$ और $C_b = \frac{2 \varepsilon_2 \varepsilon_0 A}{d}$ है।
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,तुल्य धारिता $C_1$ इस प्रकार दी जाती है:
$C_1 = \frac{C_a C_b}{C_a + C_b} = \frac{(\frac{2 \varepsilon_1 \varepsilon_0 A}{d})(\frac{2 \varepsilon_2 \varepsilon_0 A}{d})}{\frac{2 \varepsilon_1 \varepsilon_0 A}{d} + \frac{2 \varepsilon_2 \varepsilon_0 A}{d}} = \frac{2 \varepsilon_1 \varepsilon_2 \varepsilon_0 A}{d(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)}$.
दूसरी विन्यास में,दो परावैद्युत समांतर क्रम में हैं। प्रत्येक भाग की धारिता $C_c = \frac{\varepsilon_1 \varepsilon_0 (A/2)}{d}$ और $C_d = \frac{\varepsilon_2 \varepsilon_0 (A/2)}{d}$ है।
चूंकि वे समांतर क्रम में हैं,तुल्य धारिता $C_2$ इस प्रकार दी जाती है:
$C_2 = C_c + C_d = \frac{\varepsilon_0 A}{2d} (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)$.
अब,अनुपात $\frac{C_1}{C_2}$ है:
$\frac{C_1}{C_2} = \frac{2 \varepsilon_1 \varepsilon_2 \varepsilon_0 A}{d(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)} \times \frac{2d}{\varepsilon_0 A (\varepsilon_1 + \varepsilon_2)} = \frac{4 \varepsilon_1 \varepsilon_2}{(\varepsilon_1 + \varepsilon_2)^2}$.

(C) प्रारंभ में,सभी संधारित्रों की धारिता $C = 5 \mu F$ है।
जब $C_1$ में $K = 4$ परावैद्युतांक वाला परावैद्युत डाला जाता है,तो इसकी नई धारिता $C_1' = K \times C = 4 \times 5 \mu F = 20 \mu F$ हो जाती है।
संधारित्र $C_2$ और $C_3$ अपरिवर्तित रहते हैं,इसलिए $C_2 = 5 \mu F$ और $C_3 = 5 \mu F$।
परिपथ आरेख से,$C_1'$ और $C_2$ श्रेणी क्रम में जुड़े हुए हैं। मान लीजिए उनकी तुल्य धारिता $C_{12}$ है।
$C_{12} = \frac{C_1' \times C_2}{C_1' + C_2} = \frac{20 \times 5}{20 + 5} = \frac{100}{25} = 4 \mu F$।
यह संयोजन $C_{12}$,$C_3$ के साथ समानांतर क्रम में जुड़ा हुआ है।
अतः,प्रभावी धारिता $C_{eq} = C_{12} + C_3 = 4 \mu F + 5 \mu F = 9 \mu F$ होगी।

(A) विद्युत क्षेत्र में रखे गए परावैद्युत स्लैब पर प्रेरित आवेश $Q_{in}$ को सूत्र $Q_{in} = Q \left(1 - \frac{1}{K}\right)$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $Q$ संधारित्र की प्लेटों पर आवेश है और $K$ परावैद्युतांक है。
दिया गया है: $Q = 5 \times 10^{-6} \ C$ और $Q_{in} = 4 \times 10^{-6} \ C$.
सूत्र में मान रखने पर:
$4 \times 10^{-6} = 5 \times 10^{-6} \left(1 - \frac{1}{K}\right)$
$0.8 = 1 - \frac{1}{K}$
$\frac{1}{K} = 1 - 0.8 = 0.2$
$K = \frac{1}{0.2} = 5$.
अतः, स्लैब का परावैद्युतांक $5$ है।

(A) हवा वाले समांतर प्लेट संधारित्र की प्रारंभिक धारिता $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
जब $t_1 = \frac{3}{8}d$ और $t_2 = \frac{d}{2}$ मोटाई वाली दो परावैद्युत स्लैब डाली जाती हैं,तो शेष हवा का अंतराल $t_{air} = d - (\frac{3}{8}d + \frac{1}{2}d) = d - \frac{7}{8}d = \frac{1}{8}d$ होता है।
नई धारिता $C_2$ को कई परावैद्युत स्लैब वाले संधारित्र के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{\frac{t_1}{K_1} + \frac{t_2}{K_2} + t_{air}} = \frac{\varepsilon_0 A}{\frac{3d}{8K_1} + \frac{d}{2K_2} + \frac{d}{8}}.$
दिया गया है कि $K_1 = 1.25 K_2 = \frac{5}{4} K_2,$ इसलिए $K_2 = \frac{4}{5} K_1 = 0.8 K_1.$
$C_2$ के व्यंजक में $K_2$ का मान रखने पर:
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d \left( \frac{3}{8K_1} + \frac{1}{2(0.8K_1)} + \frac{1}{8} \right)} = \frac{\varepsilon_0 A}{d \left( \frac{3}{8K_1} + \frac{1}{1.6K_1} + \frac{1}{8} \right)} = \frac{\varepsilon_0 A}{d \left( \frac{3}{8K_1} + \frac{5}{8K_1} + \frac{1}{8} \right)} = \frac{\varepsilon_0 A}{d \left( \frac{8}{8K_1} + \frac{1}{8} \right)} = \frac{\varepsilon_0 A}{d \left( \frac{1}{K_1} + \frac{1}{8} \right)}.$
दिया गया है कि $C_2 = 2 C_1,$ इसलिए:
$\frac{\varepsilon_0 A}{d (\frac{1}{K_1} + \frac{1}{8})} = 2 \frac{\varepsilon_0 A}{d} \Rightarrow \frac{1}{\frac{1}{K_1} + \frac{1}{8}} = 2 \Rightarrow \frac{1}{K_1} + \frac{1}{8} = \frac{1}{2}.$
$\frac{1}{K_1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{4-1}{8} = \frac{3}{8}.$
अतः,$K_1 = \frac{8}{3} \approx 2.66.$

(B) चूंकि बैटरी संधारित्र से जुड़ी रहती है,इसलिए प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
जब $K$ परावैद्युतांक वाली एक परावैद्युत स्लैब को प्लेटों के बीच के पूरे स्थान को भरने के लिए डाला जाता है,तो नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
आवेश के संबंध $q = CV$ का उपयोग करते हुए,प्लेटों पर नया आवेश $q' = C'V = (KC)V = K(CV) = Kq$ होता है।
इसलिए,प्लेटों पर आवेश मूल आवेश का $K$ गुना हो जाता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) डाइलेक्ट्रिक माध्यम में विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 K} = \frac{Q}{A \varepsilon_0 K}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि $K_1, K_2, K_3$ डाइलेक्ट्रिक स्थिरांक वाले क्षेत्रों में विद्युत क्षेत्र क्रमशः $E_1, E_2, E_3$ हैं।
ग्राफ से,विद्युत क्षेत्र में परिवर्तन $x = E_1 - E_2 = \frac{Q}{A \varepsilon_0 K_1} - \frac{Q}{A \varepsilon_0 K_2}$ है।
इसी प्रकार,विद्युत क्षेत्र में परिवर्तन $y = E_2 - E_3 = \frac{Q}{A \varepsilon_0 K_2} - \frac{Q}{A \varepsilon_0 K_3}$ है।
दी गई शर्त $2x = y$ का उपयोग करते हुए:
$2 \left( \frac{Q}{A \varepsilon_0 K_1} - \frac{Q}{A \varepsilon_0 K_2} \right) = \frac{Q}{A \varepsilon_0 K_2} - \frac{Q}{A \varepsilon_0 K_3}$.
दोनों पक्षों को $\frac{Q}{A \varepsilon_0}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2 \left( \frac{1}{K_1} - \frac{1}{K_2} \right) = \frac{1}{K_2} - \frac{1}{K_3}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{2}{K_1} - \frac{2}{K_2} = \frac{1}{K_2} - \frac{1}{K_3}$.
$\frac{2}{K_1} + \frac{1}{K_3} = \frac{1}{K_2} + \frac{2}{K_2} = \frac{3}{K_2}$.
अतः,संबंध $\frac{3}{K_2} = \frac{2}{K_1} + \frac{1}{K_3}$ है।

(A) बैटरी से जुड़े संधारित्र में परावैद्युत माध्यम के भीतर विद्युत क्षेत्र $(E)$ को $E = \frac{V}{d_{eff}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ प्लेटों के बीच विभवांतर है और $d_{eff}$ प्रभावी दूरी है।
मोटाई $t$ और परावैद्युतांक $K$ वाले परावैद्युत स्लैब के लिए,विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{K \cdot d_{total}}$ होता है।
अधिक सरलता से,प्लेटों पर सतह आवेश घनत्व $\sigma$ के लिए,परावैद्युतांक $K$ वाले माध्यम में विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{K \epsilon_0}$ होता है।
चूंकि संधारित्र एक बैटरी से जुड़ा है,इसलिए प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
प्रथम क्षेत्र में $(0 < x < d)$,परावैद्युतांक $K_1 = 2$ है। अतः,$E_1 = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}$।
द्वितीय क्षेत्र में $(d < x < 3d)$,परावैद्युतांक $K_2 = 4$ है। अतः,$E_2 = \frac{\sigma}{4 \epsilon_0}$।
दोनों की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $E_1 = 2 E_2$ है।
इसलिए,प्रथम क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र,द्वितीय क्षेत्र के विद्युत क्षेत्र का दोगुना है,और दोनों अपने संबंधित क्षेत्रों में स्थिर हैं।
यह उस ग्राफ के अनुरूप है जहाँ $0 < x < d$ के लिए विद्युत क्षेत्र अधिक है और $d < x < 3d$ के लिए कम है।

(C) संधारित्र को श्रेणीक्रम में दो भागों में विभाजित किया गया है,जिनमें से प्रत्येक का प्लेट पृथक्करण $d/2$ और क्षेत्रफल $A$ है।
मान लीजिए $C_1$ और $C_2$ दो भागों की धारिताएँ हैं:
$C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_1 \varepsilon_0 A}{d}$
$C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_2 \varepsilon_0 A}{d}$
चूंकि वे श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार दी जाती है:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{d}{2 K_1 \varepsilon_0 A} + \frac{d}{2 K_2 \varepsilon_0 A}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d}{2 \varepsilon_0 A} \left( \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \right) = \frac{d}{2 \varepsilon_0 A} \left( \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2} \right)$
$C_{eq} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d} \left( \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2} \right)$

(C) संधारित्र में संचित स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि बैटरी जुड़ी रहती है,इसलिए प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ स्थिर रहता है।
अतः,$U \propto C$.
जब एक परावैद्युत पदार्थ डाला जाता है,तो धारिता $C$ बढ़ जाती है $(C = K C_0)$।
जैसे-जैसे $C$ बढ़ता है,स्थितिज ऊर्जा $U$ भी बढ़ती है।
इस प्रकार,कथन सत्य है।
हालाँकि,जब बैटरी जुड़ी रहती है,तो आवेश $Q = CV$ बदल जाता है क्योंकि $V$ स्थिर रहता है और $C$ बदल जाता है।
इसलिए,कारण असत्य है।

(B) $1$. जब संधारित्र को अलग कर दिया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $Q$ स्थिर रहता है।
$2$. समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि दूरी $d$ बढ़ाई जाती है,इसलिए धारिता $C$ घट जाती है।
$3$. प्लेटों के बीच विभवांतर $V$ का मान $V = \frac{Q}{C}$ द्वारा दिया जाता है।
$4$. चूंकि $Q$ स्थिर है और $C$ घट रहा है,इसलिए विभवांतर $V$ बढ़ना चाहिए।
$5$. अतः,यह कथन कि विभवांतर घट जाता है,गलत है।

(B) दिया गया है कि प्रारंभिक धारिता $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 2.5 \mu F$ है।
जब संधारित्र को चित्र में दिखाए अनुसार परावैद्युत से आधा भरा जाता है,तो यह समांतर क्रम में जुड़े दो संधारित्रों की तरह कार्य करता है,जिनमें से प्रत्येक का प्लेट क्षेत्रफल $A/2$ और दूरी $d$ है।
पहला भाग हवा से भरा है (परावैद्युतांक $K_1 = 1$):
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = \frac{2.5 \mu F}{2} = 1.25 \mu F$.
दूसरा भाग परावैद्युत से भरा है (परावैद्युतांक $K_2 = K$):
$C_2 = \frac{K \varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{K}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = K \times 1.25 \mu F$.
चूंकि वे समांतर क्रम में हैं,इसलिए तुल्य धारिता $C_{eq} = C_1 + C_2$ होगी।
दिया गया है $C_{eq} = 5 \mu F$:
$5 = 1.25 + 1.25 K$
$3.75 = 1.25 K$
$K = \frac{3.75}{1.25} = 3$.
अतः,परावैद्युतांक $3$ है।