Effect of Dielectric Inside Capacitor Questions in Gujarati

(D) હવા માધ્યમ ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{Q}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $Q = 10\,\mu C$ અને $V = 10\,V$ આપેલ છે,તેથી $C = \frac{10\,\mu C}{10\,V} = 1\,\mu F$ મળે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચે $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું માધ્યમ ભરવામાં આવે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
નવો વિદ્યુતભાર $Q' = C'V = KCV = KQ$ થાય.
અહીં $Q' = 100\,\mu C$ અને $Q = 10\,\mu C$ આપેલ છે,તેથી $100\,\mu C = K \times 10\,\mu C$ થાય.
આમ,$K = \frac{100}{10} = 10$ મળે.
તેથી,તેલનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $10$ છે.

(C) જ્યારે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરને બેટરી સાથે જોડેલું રાખવામાં આવે અને તેની પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે કારણ કે તે બેટરીના $EMF$ જેટલો હોય છે.
કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ એ $K$ (ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક) ના ગુણાંકમાં વધે છે,જ્યાં $C = K C_0$ થાય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
અહીં $V$ અચળ હોવાથી અને $C$ માં વધારો થતો હોવાથી,સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ માં વધારો થાય છે.

(C) ધારો કે પ્લેટો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d$ છે. સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે $t = 3 \, mm$ જાડાઈ અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત જાળવી રાખવા માટે,અસરકારક કેપેસિટન્સ સમાન રહેવું જોઈએ. પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $\Delta d = 2.4 \, mm$ જેટલું વધારવામાં આવે છે,તેથી નવું અંતર $d' = d + 2.4$ થાય છે.
સ્લેબ સાથેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d' - t + \frac{t}{K}} = \frac{\varepsilon_0 A}{d + 2.4 - 3 + \frac{3}{K}} = \frac{\varepsilon_0 A}{d - 0.6 + \frac{3}{K}}$ છે.
કેપેસિટન્સ બદલાય નહીં તે માટે,આપણી પાસે $d = d - 0.6 + \frac{3}{K}$ હોવું જોઈએ.
આનું સાદું રૂપ આપતા $0.6 = \frac{3}{K}$ મળે છે.
તેથી,$K = \frac{3}{0.6} = 5$.

(C) સ્લેબ પર લાગતું વિદ્યુત બળ $F = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
કેપેસિટરને સમાંતરમાં બે કેપેસિટર તરીકે જોઈ શકાય છે: એક $x$ લંબાઈના ડાયલેક્ટ્રિક સાથે અને બીજું $(l-x)$ લંબાઈના ડાયલેક્ટ્રિક વગર.
$C = C_1 + C_2 = \frac{K \varepsilon_0 w x}{d} + \frac{\varepsilon_0 w (l-x)}{d} = \frac{\varepsilon_0 w}{d} [x(K-1) + l]$.
$C$ ની કિંમત ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{Q^2 d}{2 \varepsilon_0 w [x(K-1) + l]}$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$F = -\frac{dU}{dx} = -\frac{Q^2 d}{2 \varepsilon_0 w} \cdot \frac{d}{dx} [x(K-1) + l]^{-1}$.
$F = -\frac{Q^2 d}{2 \varepsilon_0 w} \cdot (-1) [x(K-1) + l]^{-2} \cdot (K-1)$.
$F = \frac{Q^2 d (K-1)}{2 \varepsilon_0 w [x(K-1) + l]^2}$.
ધાર પર $(x=0)$:
$F = \frac{Q^2 d (K-1)}{2 \varepsilon_0 w l^2}$.

(C) ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K(x) = K_0 + \lambda x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતર $x$ પર $dx$ જાડાઈનો એક નાનો ઘટક ધ્યાનમાં લો. આ $dC = \frac{\epsilon_0 K(x) A}{dx}$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ ઘટકો શ્રેણીમાં હોવાથી,કુલ કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C} = \int_0^d \frac{1}{dC} = \int_0^d \frac{dx}{\epsilon_0 A (K_0 + \lambda x)}$.
સંકલન કરતા: $\frac{1}{C} = \frac{1}{\epsilon_0 A} \int_0^d \frac{dx}{K_0 + \lambda x} = \frac{1}{\epsilon_0 A \lambda} [\ln(K_0 + \lambda x)]_0^d$.
$\frac{1}{C} = \frac{1}{\epsilon_0 A \lambda} \ln \left( \frac{K_0 + \lambda d}{K_0} \right) = \frac{1}{\epsilon_0 A \lambda} \ln \left( 1 + \frac{\lambda d}{K_0} \right)$.
શૂન્યાવકાશ કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ હોવાથી,$\epsilon_0 A = C_0 d$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા: $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_0 d \lambda} \ln \left( 1 + \frac{\lambda d}{K_0} \right)$.
તેથી,$C = \frac{\lambda d}{\ln(1 + \lambda d / K_0)} C_0$.

(D) ધારો કે પરમિટિવિટી $\varepsilon(x)$ એક પ્લેટ $(x=0)$ થી બીજી પ્લેટ $(x=d)$ સુધી અંતર $x$ સાથે રેખીય રીતે બદલાય છે:
$\varepsilon(x) = \varepsilon_1 + \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d} x$
$dx$ જાડાઈ ધરાવતા એક પાતળા સ્તરને ધ્યાનમાં લો. આ એક કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે જેનું કેપેસિટન્સ $dC = \frac{\varepsilon(x) A}{dx}$ છે.
આ કેપેસિટરો શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ માટે: $\frac{1}{C} = \int_0^d \frac{1}{dC} = \int_0^d \frac{dx}{\varepsilon(x) A}$.
$\frac{1}{C} = \frac{1}{A} \int_0^d \frac{dx}{\varepsilon_1 + \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d} x}$
$u = \varepsilon_1 + \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d} x$ લેતા,$du = \frac{\varepsilon_2 - \varepsilon_1}{d} dx$ મળે.
$\frac{1}{C} = \frac{1}{A} \cdot \frac{d}{\varepsilon_2 - \varepsilon_1} \int_{\varepsilon_1}^{\varepsilon_2} \frac{du}{u} = \frac{d}{A(\varepsilon_2 - \varepsilon_1)} [\ln u]_{\varepsilon_1}^{\varepsilon_2} = \frac{d \ln(\varepsilon_2/\varepsilon_1)}{A(\varepsilon_2 - \varepsilon_1)}$.
તેથી,$C = \frac{A(\varepsilon_2 - \varepsilon_1)}{d \ln(\varepsilon_2/\varepsilon_1)}$.

(B) શરૂઆતનું કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે દ્રવ્ય બદલવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટર તરીકે વર્તે છે.
પ્રથમ કેપેસિટરનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = \frac{1}{3}A$,ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K_1 = 2K$ અને અંતર $d$ છે. તેનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 A_1}{d} = \frac{(2K) \epsilon_0 (A/3)}{d} = \frac{2}{3} \frac{K \epsilon_0 A}{d} = \frac{2}{3} C_0$ થાય.
બીજા કેપેસિટરનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = \frac{2}{3}A$,ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K_2 = K$ અને અંતર $d$ છે. તેનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 A_2}{d} = \frac{K \epsilon_0 (2A/3)}{d} = \frac{2}{3} \frac{K \epsilon_0 A}{d} = \frac{2}{3} C_0$ થાય.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ કેપેસિટન્સ $C = C_1 + C_2 = \frac{2}{3} C_0 + \frac{2}{3} C_0 = \frac{4}{3} C_0$ થાય.
તેથી,$\frac{C}{C_0} = \frac{4}{3}$.

(A) ડાબી બાજુથી $x$ અંતરે $dx$ પહોળાઈની એક નાની પટ્ટી ધ્યાનમાં લો. ડાયલેક્ટ્રિક ભાગની ઊંચાઈ $y = (d/a)x$ છે.
આ પટ્ટી શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે: એક હવા સાથે (જાડાઈ $d-y$) અને એક ડાયલેક્ટ્રિક સાથે (જાડાઈ $y$).
હવાના ભાગનું કેપેસિટન્સ $dC_1 = \frac{\varepsilon_0 a dx}{d-y}$ અને ડાયલેક્ટ્રિક ભાગનું $dC_2 = \frac{K\varepsilon_0 a dx}{y}$ છે.
પટ્ટીનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $dC$ આ રીતે મળે છે: $\frac{1}{dC} = \frac{1}{dC_1} + \frac{1}{dC_2} = \frac{d-y}{\varepsilon_0 a dx} + \frac{y}{K\varepsilon_0 a dx} = \frac{Kd - Ky + y}{K\varepsilon_0 a dx} = \frac{Kd - (K-1)y}{K\varepsilon_0 a dx}$.
આમ,$dC = \frac{K\varepsilon_0 a dx}{Kd - (K-1)(d/a)x}$.
$x=0$ થી $x=a$ સુધી સંકલન કરતા:
$C = \int_0^a \frac{K\varepsilon_0 a dx}{Kd - \frac{(K-1)d}{a}x} = \frac{K\varepsilon_0 a}{d} \int_0^a \frac{dx}{K - \frac{(K-1)}{a}x}$.
ધારો કે $u = K - \frac{(K-1)}{a}x$,તો $du = -\frac{(K-1)}{a} dx$.
$C = \frac{K\varepsilon_0 a}{d} \left( -\frac{a}{K-1} \right) [\ln(K - \frac{(K-1)}{a}x)]_0^a = \frac{-K\varepsilon_0 a^2}{d(K-1)} [\ln(1) - \ln(K)] = \frac{K\varepsilon_0 a^2}{d(K-1)} \ln K$.

(C) કેપેસિટરને $d/2$ જાડાઈના બે શ્રેણીબદ્ધ કેપેસિટર તરીકે જોઈ શકાય છે.
પ્રથમ અડધા ભાગ માટે (જાડાઈ $d/2$),આપણી પાસે $L^2/2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે સમાંતર કેપેસિટર છે:
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 K_1 (L^2/2)}{d/2} + \frac{\varepsilon_0 K_3 (L^2/2)}{d/2} = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d} (K_1 + K_3)$.
બીજા અડધા ભાગ માટે (જાડાઈ $d/2$),આપણી પાસે $L^2/2$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા બે સમાંતર કેપેસિટર છે:
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 K_2 (L^2/2)}{d/2} + \frac{\varepsilon_0 K_4 (L^2/2)}{d/2} = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d} (K_2 + K_4)$.
આ બે ભાગ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{d}{\varepsilon_0 L^2 (K_1 + K_3)} + \frac{d}{\varepsilon_0 L^2 (K_2 + K_4)}$.
વળી,$C = \frac{\varepsilon_0 K L^2}{d}$ હોવાથી:
$\frac{d}{\varepsilon_0 K L^2} = \frac{d}{\varepsilon_0 L^2} \left( \frac{1}{K_1 + K_3} + \frac{1}{K_2 + K_4} \right)$.
$\frac{1}{K} = \frac{(K_2 + K_4) + (K_1 + K_3)}{(K_1 + K_3)(K_2 + K_4)}$.
તેથી,$K = \frac{(K_1 + K_3)(K_2 + K_4)}{K_1 + K_2 + K_3 + K_4}$.

(C) કેપેસિટરને ત્રણ સમાંતર કેપેસિટરમાં વિભાજિત કરવામાં આવ્યું છે,જેમાં દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A' = A/3$ અને પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ સમાન છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{net}$ એ વ્યક્તિગત કેપેસિટન્સનો સરવાળો છે:
$C_{net} = C_1 + C_2 + C_3$
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરના સૂત્ર $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{K_{eq} \epsilon_0 A}{d} = \frac{K_1 \epsilon_0 (A/3)}{d} + \frac{K_2 \epsilon_0 (A/3)}{d} + \frac{K_3 \epsilon_0 (A/3)}{d}$
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{\epsilon_0 A}{3d}$ ને દૂર કરતા:
$K_{eq} = \frac{K_1 + K_2 + K_3}{3}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$K_{eq} = \frac{10 + 12 + 14}{3} = \frac{36}{3} = 12$
આમ,સમતુલ્ય ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $12$ છે.

(B) પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C = 12 \, pF$,પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V = 10 \, V$.
પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = CV = 12 \, pF \times 10 \, V = 120 \, pC$.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{Q^2}{2C} = \frac{(120)^2}{2 \times 12} = \frac{14400}{24} = 600 \, pJ$.
જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = kC = 6.5 \times 12 = 78 \, pF$ થાય છે.
બેટરી દૂર કરવામાં આવી હોવાથી,વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2kC} = \frac{U_i}{k} = \frac{600}{6.5} \approx 92.31 \, pJ$.
કેપેસીટર દ્વારા સ્લેબ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો છે: $W = U_i - U_f = 600 - 92.31 = 507.69 \, pJ$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $508 \, pJ$ મળે છે.

(D) આપેલ છે:
વોલ્ટેજ રેટિંગ $V = 500\,V$
મહત્તમ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E_{\max} = 10^6\,V/m$
પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A = 10^{-4}\,m^2$
કેપેસિટન્સ $C = 15\,pF = 15 \times 10^{-12}\,F$
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0 = 8.86 \times 10^{-12}\,C^2/Nm^2$
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,મહત્તમ વોલ્ટેજ $V$ એ પ્લેટો વચ્ચેના અંતર $d$ અને મહત્તમ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E_{\max}$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$V = E_{\max} \times d$
$d = \frac{V}{E_{\max}} = \frac{500}{10^6} = 5 \times 10^{-4}\,m$
ડાયલેક્ટ્રિક ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ:
$C = \frac{k \epsilon_0 A}{d}$
જ્યાં $k$ એ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
$k$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$k = \frac{C \times d}{\epsilon_0 \times A}$
કિંમતો મૂકતા:
$k = \frac{15 \times 10^{-12} \times 5 \times 10^{-4}}{8.86 \times 10^{-12} \times 10^{-4}}$
$k = \frac{15 \times 5}{8.86} = \frac{75}{8.86} \approx 8.465$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$k \approx 8.5$ મળે છે.

(C) $1$. શરૂઆતમાં,કેપેસિટર્સ $V$ વોલ્ટેજની બેટરી સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total}$ નીચે મુજબ છે:
$Q_{total} = C V + n C V = (n + 1) C V$
$2$. બેટરી દૂર કર્યા પછી,સિસ્ટમમાં કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total}$ સંરક્ષિત રહે છે.
$3$. જ્યારે પ્રથમ કેપેસિટરમાં $K$ અચળાંક ધરાવતું ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = K C$ થાય છે. બીજું કેપેસિટર $n C$ કેપેસિટન્સ સાથે યથાવત રહે છે.
$4$. કેપેસિટર્સ સમાંતરમાં હોવાથી,તેઓ સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_c$ ધરાવે છે. સિસ્ટમનું કુલ કેપેસિટન્સ $C_{eq} = K C + n C = (K + n) C$ થાય છે.
$5$. નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_c$ નીચે મુજબ મળે છે:
$V_c = \frac{Q_{total}}{C_{eq}} = \frac{(n + 1) C V}{(K + n) C} = \frac{(n + 1) V}{K + n}$

(B) કેપેસિટર $(I)$ માટે,ડાયઇલેક્ટ્રિક્સ શ્રેણીમાં છે. દરેક ભાગનું કેપેસીટન્સ $C_i = \frac{3 \varepsilon_0 A K_i}{d}$ છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{d}{3 \varepsilon_0 A} (\frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} + \frac{1}{K_3}) = \frac{d(K_2 K_3 + K_3 K_1 + K_1 K_2)}{3 \varepsilon_0 A K_1 K_2 K_3}$.
આમ,$C_{eq} = \frac{3 \varepsilon_0 A K_1 K_2 K_3}{d(K_1 K_2 + K_2 K_3 + K_3 K_1)}$.
કેપેસિટર $(II)$ માટે,ડાયઇલેક્ટ્રિક્સ સમાંતરમાં છે. દરેક ભાગનું કેપેસીટન્સ $C_i' = \frac{\varepsilon_0 (A/3) K_i}{d} = \frac{\varepsilon_0 A K_i}{3d}$ છે.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,$C_{eq}' = C_1' + C_2' + C_3' = \frac{\varepsilon_0 A}{3d} (K_1 + K_2 + K_3)$.
સંગ્રહિત ઉર્જા $E = \frac{1}{2} C V^2$ છે. તેથી,$\frac{E_1}{E_2} = \frac{C_{eq}}{C_{eq}'} = \frac{3 \varepsilon_0 A K_1 K_2 K_3}{d(K_1 K_2 + K_2 K_3 + K_3 K_1)} \cdot \frac{3d}{\varepsilon_0 A (K_1 + K_2 + K_3)} = \frac{9 K_1 K_2 K_3}{(K_1 + K_2 + K_3)(K_1 K_2 + K_2 K_3 + K_3 K_1)}$.

(C) ડાયલેક્ટ્રિક વગર કેપેસીટરની પ્લેટો પરનો પ્રારંભિક ચાર્જ:
$Q = CV = (5\,\mu F) \times (1\,V) = 5\,\mu C$
$d$ પ્લેટ સેપરેશન ધરાવતા કેપેસીટરમાં $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કર્યા પછીનું કેપેસીટન્સ $C'$ નીચે મુજબ છે:
$C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}} = \frac{C}{1 - \frac{t}{d}(1 - \frac{1}{K})}$
આપેલ કિંમતો $(C = 5\,\mu F, d = 6\,cm, t = 4\,cm, K = 4)$ મૂકતા:
$C' = \frac{5\,\mu F}{1 - \frac{4}{6}(1 - \frac{1}{4})} = \frac{5\,\mu F}{1 - \frac{2}{3}(\frac{3}{4})} = \frac{5\,\mu F}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{5\,\mu F}{0.5} = 10\,\mu F$
કેપેસીટરની પ્લેટો પરનો નવો ચાર્જ:
$Q' = C'V = (10\,\mu F) \times (1\,V) = 10\,\mu C$
બેટરીમાંથી વહેતો વધારાનો ચાર્જ:
$\Delta Q = Q' - Q = 10\,\mu C - 5\,\mu C = 5\,\mu C$

(A) જ્યારે કેપેસિટરને સ્ત્રોતથી અલગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે કારણ કે વિદ્યુતભારના વહન માટે કોઈ માર્ગ હોતો નથી.
ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવાથી કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ વધે છે,કારણ કે $C = K C_0$,જ્યાં $K > 1$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
જેમ કે વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ છે અને કેપેસિટન્સ $C$ વધે છે,તેથી પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ $V = Q / C$ સંબંધ મુજબ બદલાય છે. જેમ $C$ વધે છે,તેમ $V$ ઘટે છે.
તેથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(i)$ અને કેપેસિટન્સ $(ii)$ બદલાય છે,જ્યારે વિદ્યુતભાર $(iii)$ અચળ રહે છે.

(D) આ કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટરોનું બનેલું છે,જેમાં દરેક ડાયલેક્ટ્રિક સ્તર ધરાવે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ સ્તર માટે (ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K_1 = 2$,જાડાઈ $d$): $C_1 = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$.
બીજા સ્તર માટે (ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K_2 = 6$,જાડાઈ $2d$): $C_2 = \frac{6 \epsilon_0 A}{2d} = \frac{3 \epsilon_0 A}{d}$.
કેપેસિટરો શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન રહેશે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = Q/C$ છે.
તેથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનો ગુણોત્તર $\frac{V_1}{V_2} = \frac{Q/C_1}{Q/C_2} = \frac{C_2}{C_1}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{3 \epsilon_0 A / d}{2 \epsilon_0 A / d} = \frac{3}{2} = 1.5$.

(A) ધારો કે દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. હવામાં કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યાને $d/2$ અંતર સુધી $\varepsilon_r$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા પદાર્થથી ભરવામાં આવે,ત્યારે આ કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડેલા બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય.
એક કેપેસિટરમાં હવા ડાયલેક્ટ્રિક તરીકે છે જેની જાડાઈ $d_1 = d/2$ છે,તેથી તેની કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{d/2} = 2C$ થાય.
બીજા કેપેસિટરમાં ડાયલેક્ટ્રિક પદાર્થ છે જેની જાડાઈ $d_2 = d/2$ છે,તેથી તેની કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 A}{d/2} = 2\varepsilon_r C$ થાય.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ માટે $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ સૂત્ર વપરાય છે.
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{2C} + \frac{1}{2\varepsilon_r C} = \frac{1}{2C} \left(1 + \frac{1}{\varepsilon_r}\right) = \frac{1}{2C} \left(\frac{\varepsilon_r + 1}{\varepsilon_r}\right)$.
તેથી,$C_{eq} = \frac{2\varepsilon_r C}{\varepsilon_r + 1}$.

(D) કેપેસિટરને ત્રણ ભાગમાં વહેંચી શકાય છે. ધારો કે કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ અને અંતર $d$ છે.
$1$. ડાબી બાજુ બે કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે,જેનું ક્ષેત્રફળ $A/2$ અને અંતર $d/2$ છે.
$C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d}$
$C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{d}$
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{12}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{d}{\varepsilon_0 A} (\frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2}) = \frac{d}{\varepsilon_0 A} (\frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2})$
તેથી,$C_{12} = \frac{\varepsilon_0 A}{d} (\frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2})$
$2$. જમણી બાજુનું કેપેસિટર $C_3$ છે જેનું ક્ષેત્રફળ $A/2$ અને અંતર $d$ છે.
$C_3 = \frac{K_3 \varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{K_3 \varepsilon_0 A}{2d}$
$3$. $C_{12}$ અને $C_3$ સમાંતર જોડાણમાં છે. પરિણામી કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_{12} + C_3 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} (\frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2} + \frac{K_3}{2})$.

(A) શરૂઆતમાં,કેપેસિટર સમાંતર જોડાયેલા છે અને $V$ પોટેન્શિયલ સુધી ચાર્જ થયેલા છે. સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{\text{total}} = (2C)V + (C)V = 3CV$ છે.
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{\text{total}} = 3CV$ અચળ રહે છે.
કેપેસિટર $C$ ને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમથી ભર્યા પછી,તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
સમાંતર જોડાણનું નવું કુલ કેપેસિટન્સ $C_{\text{eq}} = 2C + KC = C(K + 2)$ છે.
સમાંતર જોડાણ પરનો નવો પોટેન્શિયલ તફાવત $V' = \frac{Q_{\text{total}}}{C_{\text{eq}}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$V' = \frac{3CV}{C(K + 2)} = \frac{3V}{K + 2}$.

(C) હવાથી ભરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 9 \, pF$ છે.
જ્યારે જગ્યાને $d_1 = d/3$ અને $d_2 = 2d/3$ જાડાઈના બે ડાયલેક્ટ્રિક્સ વડે ભરવામાં આવે છે,ત્યારે આ તંત્ર શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે વર્તે છે.
પ્રથમ ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d_1} = \frac{3 \varepsilon_0 A}{d/3} = 9 \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 9 \times 9 = 81 \, pF$ છે.
બીજા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{d_2} = \frac{6 \varepsilon_0 A}{2d/3} = 9 \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 9 \times 9 = 81 \, pF$ છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{81} + \frac{1}{81} = \frac{2}{81}$.
તેથી,$C_{eq} = \frac{81}{2} = 40.5 \, pF$ થાય.

(D) જ્યારે કેપેસિટરને બેટરી સાથે જોડેલું રાખવામાં આવે અને તેમાં $\epsilon_r$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે કારણ કે તે બેટરી દ્વારા નક્કી થાય છે.
નવું કેપેસિટન્સ $C' = \epsilon_r C$ થાય છે. $\epsilon_r > 1$ હોવાથી,કેપેસિટન્સમાં વધારો થાય છે.
કેપેસિટર પર સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q = CV$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $V$ અચળ છે અને $C$ વધે છે,તેથી પ્લેટો પર સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q$ વધશે $(Q' = \epsilon_r Q)$.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = Q^2 / (2C)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,કેપેસિટન્સ $C = \epsilon_0 A / d$ છે.
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
$d$ જાડાઈ અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કર્યા પછી,નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
નવી સંગ્રહિત ઉર્જા $U' = Q^2 / (2C') = Q^2 / (2KC)$ છે.
તેથી,પહેલા અને પછીની ઉર્જાનો ગુણોત્તર $U / U' = (Q^2 / 2C) / (Q^2 / 2KC) = K$ થાય છે.

(A) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 8\,\mu F$ છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર ઘટાડીને $d' = \frac{d}{2}$ કરવામાં આવે અને $K = 6$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું દ્રવ્ય ભરવામાં આવે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C'$ નીચે મુજબ મળે:
$C' = \frac{K \varepsilon_0 A}{d'} = \frac{K \varepsilon_0 A}{d/2} = 2K \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$C' = 2 \times 6 \times C = 12 \times 8\,\mu F = 96\,\mu F$.

(A) ડાયઇલેક્ટ્રિક માધ્યમ ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C = \frac{\varepsilon_{0} \varepsilon_{r} A}{d}$.
આપેલ કિંમતો:
$C = 2 \times 10^{-4}\,\mu F = 2 \times 10^{-10}\,F$
$A = 0.01\,m^2$
$d = 2\,mm = 2 \times 10^{-3}\,m$
$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12}\,F/m$
ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $\varepsilon_{r}$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\varepsilon_{r} = \frac{C \cdot d}{\varepsilon_{0} \cdot A}$
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon_{r} = \frac{(2 \times 10^{-10}) \times (2 \times 10^{-3})}{(8.85 \times 10^{-12}) \times (0.01)}$
$\varepsilon_{r} = \frac{4 \times 10^{-13}}{8.85 \times 10^{-14}}$
$\varepsilon_{r} = \frac{40}{8.85} \approx 4.52$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેની અડધી જગ્યામાં $K$ અચળાંક ધરાવતું ડાયલેક્ટ્રિક માધ્યમ પ્લેટોને સમાંતર ભરવામાં આવે છે,ત્યારે આ કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડેલા બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય,જેમાં દરેકનું પ્લેટ અંતર $d/2$ છે.
ડાયલેક્ટ્રિકથી ભરેલા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K \epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2K \epsilon_0 A}{d} = 2KC$ છે.
હવાથી ભરેલા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d} = 2C$ છે.
આ બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{2KC} + \frac{1}{2C} = \frac{1}{2C} \left( \frac{1}{K} + 1 \right) = \frac{1}{2C} \left( \frac{1+K}{K} \right)$.
તેથી,$C_{eq} = \frac{2CK}{K+1}$.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0$ છે અને પ્રારંભિક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_0$ છે. જ્યારે $d$ જાડાઈ (પ્લેટના અંતર જેટલી) ધરાવતી ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C = K C_0$ થાય છે,જ્યાં $K$ એ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહેતો હોવાથી $(Q = C_0 V_0 = C V)$,આપણને મળે છે $V = Q/C = (C_0 V_0) / (K C_0) = V_0 / K$.
આપેલ છે કે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત મૂળ મૂલ્યના $1/8$ જેટલો ઘટે છે,તેથી $V = V_0 / 8$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$V_0 / K = V_0 / 8$,જે દર્શાવે છે કે $K = 8$.

(B) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે કેપેસિટરને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ શ્રેણીમાં $K=5$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિક વડે અડધું ભરવામાં આવે છે,ત્યારે આ તંત્ર બે શ્રેણીબદ્ધ કેપેસિટર્સ તરીકે વર્તે છે,જેમાં દરેકનું પ્લેટ અંતર $d/2$ છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક ભાગનું કેપેસિટન્સ: $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K \varepsilon_0 A}{d} = \frac{10 \varepsilon_0 A}{d}$.
હવાના ભાગનું કેપેસિટન્સ: $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d}$.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C'} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{d}{10 \varepsilon_0 A} + \frac{d}{2 \varepsilon_0 A} = \frac{d}{\varepsilon_0 A} \left( \frac{1}{10} + \frac{1}{2} \right) = \frac{d}{\varepsilon_0 A} \left( \frac{1+5}{10} \right) = \frac{6d}{10 \varepsilon_0 A} = \frac{3d}{5 \varepsilon_0 A}$.
તેથી,$C' = \frac{5}{3} \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{5}{3} C$.
કેપેસિટન્સમાં ટકાવારી વધારો = $\frac{C' - C}{C} \times 100 = \left( \frac{5/3 C - C}{C} \right) \times 100 = \left( \frac{5}{3} - 1 \right) \times 100 = \frac{2}{3} \times 100 = 66.67\% \approx 66.6\%$.

(B) જ્યારે કેપેસિટરને ચાર્જ કરીને બેટરીથી અલગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
જ્યારે પ્લેટોની વચ્ચે $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતો ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટન્સ વધીને $C' = KC$ થાય છે.
$Q$ અચળ હોવાથી,નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = \frac{Q}{C'} = \frac{Q}{KC} = \frac{V}{K}$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત ઘટે છે.
સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ બદલાઈને $U' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2KC} = \frac{U}{K}$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે સંગ્રહિત ઉર્જા ઘટે છે.
તેથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અને સંગ્રહિત ઉર્જા ઘટે છે,જ્યારે વિદ્યુતભાર અપરિવર્તિત રહે છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે કે નવું અંતર $d' = \frac{d}{2}$ અને નવો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K' = 3K$ છે.
નવું કેપેસીટન્સ $C'$ એ $C' = \frac{(3K) \epsilon_0 A}{(d/2)} = 6 \left( \frac{K \epsilon_0 A}{d} \right) = 6C$ થાય છે.
આમ,વિધાન સાચું છે.
કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ પ્લેટો વચ્ચે રાખેલા પદાર્થના ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $(K)$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,કારણ ખોટું છે.

(C) જ્યારે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરને બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે $(V = V_0)$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્લેટોની વચ્ચે $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસીટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
તેથી,નવી સંગ્રહિત ઉર્જા $U' = \frac{1}{2} (KC) V^2 = K U$ થાય છે. આમ,સંગ્રહિત ઉર્જા $K$ ગણી થાય છે.
$Q = CV$ હોવાથી,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q' = KCV = KQ$ થાય છે.
વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma = \frac{Q}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $Q$ એ $K$ ના ગુણાંકમાં વધતું હોવાથી,પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma' = \frac{KQ}{A} = K\sigma_0$ પણ $K$ ના ગુણાંકમાં વધે છે.
તેથી,કારણ ખોટું છે કારણ કે વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા અચળ રહેતી નથી.

(C) આઇસોલેટેડ કેપેસિટર માટે,ચાર્જ $Q$ અચળ રહે છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું બળ $F = \frac{Q^2}{2A\epsilon_0 K}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ડાયઇલેક્ટ્રિક માટે $K > 1$ હોવાથી,બળ $F$ ઘટે છે.
આમ,વિધાન સાચું છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $E = \frac{\sigma}{K\epsilon_0} = \frac{E_0}{K}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $K > 1$ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ $E$ ઘટે છે.
તેથી,કારણ ખોટું છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $k(x)$ અંતર $x$ સાથે બદલાતો હોવાથી,આપણે એક પ્લેટથી $x$ અંતરે $dx$ જાડાઈની એક પાતળી તત્વ સ્લાઈસ વિચારીએ છીએ.
આ તત્વ સ્લાઈસનું કેપેસિટન્સ $dC = \frac{\varepsilon_0 k(x) A}{dx} = \frac{\varepsilon_0 K(1+\alpha x) A}{dx}$ છે.
આ તમામ તત્વ કેપેસિટર્સ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C} = \int_0^d \frac{1}{dC} = \int_0^d \frac{dx}{\varepsilon_0 K A (1+\alpha x)}$.
આનું સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{\varepsilon_0 K A} \left[ \frac{\ln(1+\alpha x)}{\alpha} \right]_0^d = \frac{1}{\alpha \varepsilon_0 K A} \ln(1+\alpha d)$.
$u = \alpha d << 1$ માટે ટેલર વિસ્તરણ $\ln(1+u) \approx u - \frac{u^2}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{C} \approx \frac{1}{\alpha \varepsilon_0 K A} (\alpha d - \frac{(\alpha d)^2}{2}) = \frac{d}{\varepsilon_0 K A} (1 - \frac{\alpha d}{2})$.
$C$ શોધવા માટે વ્યસ્ત લેતા અને દ્વિપદી અંદાજ $(1-u)^{-1} \approx 1+u$ નો ઉપયોગ કરતા:
$C \approx \frac{\varepsilon_0 K A}{d} (1 - \frac{\alpha d}{2})^{-1} \approx \frac{\varepsilon_0 K A}{d} (1 + \frac{\alpha d}{2})$.

(N/A) ધારો કે જ્યારે કોઈ ડાયલેક્ટ્રિક ન હોય અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{0}$ હોય,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{0} = V_{0} / d$ છે.
જો હવે ડાયલેક્ટ્રિક દાખલ કરવામાં આવે,તો ડાયલેક્ટ્રિકમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_{0} / K$ થશે.
ત્યારબાદ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ નીચે મુજબ થશે:
$V = E_{0} \left(\frac{1}{4} d\right) + \frac{E_{0}}{K} \left(\frac{3}{4} d\right)$
$V = E_{0} d \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{4K}\right) = V_{0} \left(\frac{K+3}{4K}\right)$
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(K+3) / 4K$ ના અવયવ દ્વારા ઘટે છે,જ્યારે પ્લેટો પરનો મુક્ત વિદ્યુતભાર $Q_{0}$ અપરિવર્તિત રહે છે.
આમ,કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ વધે છે:
$C = \frac{Q_{0}}{V} = \frac{Q_{0}}{V_{0} \left(\frac{K+3}{4K}\right)} = \left(\frac{4K}{K+3}\right) C_{0}$

(C) હવા માધ્યમ ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 8 \;pF$ છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર ઘટાડીને $d' = \frac{d}{2}$ કરવામાં આવે અને તેમની વચ્ચે $k = 6$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું માધ્યમ ભરવામાં આવે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C'$ નીચે મુજબ મળે:
$C' = \frac{k \varepsilon_0 A}{d'} = \frac{6 \varepsilon_0 A}{d/2} = 12 \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right)$.
પ્રારંભિક કિંમત $C = 8 \;pF$ મૂકતા:
$C' = 12 \times 8 \;pF = 96 \;pF$.
આમ,નવું કેપેસિટન્સ $96 \;pF$ થશે.

(A) માઈકા શીટનો ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક,$k = 6$.
જો વોલ્ટેજ સપ્લાય જોડાયેલ રહે,તો પ્લેટો વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત અચળ રહે છે. સપ્લાય વોલ્ટેજ,$V = 100 \, V$.
પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ,$C = 17.71 \, pF = 1.771 \times 10^{-11} \, F$.
નવું કેપેસિટન્સ,$C_{1} = k \cdot C = 6 \times 17.71 \, pF = 106.26 \, pF$.
નવો વિદ્યુતભાર,$q_{1} = C_{1} \cdot V = 106.26 \times 10^{-12} \, F \times 100 \, V = 1.0626 \times 10^{-8} \, C$.
પ્લેટો વચ્ચેનું સ્થિતિમાન $100 \, V$ રહે છે.
$(b)$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક,$k = 6$.
પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર,$q = C \cdot V = 17.71 \times 10^{-12} \, F \times 100 \, V = 1.771 \times 10^{-9} \, C$.
નવું કેપેસિટન્સ,$C_{1} = k \cdot C = 6 \times 17.71 \, pF = 106.26 \, pF$.
જો સપ્લાય દૂર કરવામાં આવે,તો વિદ્યુતભાર અચળ રહે છે,$q = 1.771 \times 10^{-9} \, C$.
પ્લેટો વચ્ચેનું નવું સ્થિતિમાન $V_{1} = \frac{q}{C_{1}} = \frac{1.771 \times 10^{-9} \, C}{106.26 \times 10^{-12} \, F} \approx 16.67 \, V$ થાય છે.

(N/A) ધારો કે $A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતી બે મોટી પ્લેટો $d$ અંતરે રહેલી છે. પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $\pm Q$ છે,જે પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\pm \sigma$ ને અનુરૂપ છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચે શૂન્યાવકાશ હોય ત્યારે:
$E_{0} = \frac{\sigma}{\epsilon_{0}}$
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{0}$ નીચે મુજબ છે:
$V_{0} = E_{0} d$
જો $C_{0}$ એ કેપેસિટન્સ હોય તો:
$C_{0} = \frac{Q}{V_{0}} = \frac{\sigma A}{E_{0} d} = \frac{\epsilon_{0} A}{d} \quad \dots(1)$
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે બાહ્ય ક્ષેત્ર દ્વારા ધ્રુવીભૂત થાય છે,જેનાથી પ્રેરિત પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\pm \sigma_{P}$ ઉદભવે છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$E = E_{0} - E_{P} = \frac{\sigma - \sigma_{P}}{\epsilon_{0}}$
નવો સ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V = E d = \frac{(\sigma - \sigma_{P}) d}{\epsilon_{0}}$
રેખીય ડાયઇલેક્ટ્રિક માટે,આપણે ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ ને એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ કે પરિણામી ક્ષેત્ર $K$ ના અવયવથી ઘટે છે:
$E = \frac{E_{0}}{K} \implies \sigma - \sigma_{P} = \frac{\sigma}{K}$
આ કિંમત સ્થિતિમાનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$V = \frac{\sigma d}{\epsilon_{0} K} = \frac{Q d}{A \epsilon_{0} K}$
નવું કેપેસિટન્સ $C$:
$C = \frac{Q}{V} = \frac{A \epsilon_{0} K}{d} = K C_{0}$
આમ,ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ ને $K = \frac{C}{C_{0}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

(N/A) શૂન્યાવકાશમાં સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું ડાયઇલેક્ટ્રિક મટીરીયલ પ્લેટોની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C = K C_0$ થાય છે.
આપેલ છે કે $K = 2$,તેથી કેપેસિટન્સનું સૂત્ર $C = 2 C_0 = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$ થશે.

(A) $1$. કેપેસિટન્સ $(C)$: ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ ધરાવતા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $K > 1$ હોવાથી,ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબને દૂર કરવાથી (તેને હવા $K=1$ વડે બદલવાથી) કેપેસિટન્સ $C$ ઘટશે.
$2$. વિદ્યુતભાર $(q)$: ડાયલેક્ટ્રિક દૂર કરતા પહેલા બેટરીને ડિસ્કનેક્ટ કરવામાં આવી હોવાથી,કેપેસિટર અલગ થઈ જાય છે. તેથી,પ્લેટો પર સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
$3$. સંગ્રહિત ઉર્જા $(U)$: સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{q^2}{2C}$ દ્વારા મળે છે. $q$ અચળ છે અને $C$ ઘટે છે,તેથી $U$ વધશે.
$4$. વોલ્ટેજ $(V)$: સંબંધ $q = CV$ પરથી,$V = \frac{q}{C}$ મળે છે. $q$ અચળ છે અને $C$ ઘટે છે,તેથી પ્લેટો વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V$ વધશે.
$5$. વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$: પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ છે. $V$ વધે છે અને $d$ અચળ રહે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ વધશે.

(C) ધારો કે $C_0$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક વગરના કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ છે.
પ્રથમ કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $Q_0 = C_0 U_0 = 78 C_0$ છે.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને કેપેસિટર પરનો અંતિમ વોલ્ટેજ $U$ સમાન હોય છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક સાથેના બીજા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \varepsilon_r C_0 = \varepsilon C_0 = (\alpha U) C_0$ છે.
કુલ ચાર્જનું સંરક્ષણ થાય છે: $Q_0 = C_0 U + C U = C_0 U + (\alpha U) C_0 U = C_0 U (1 + \alpha U)$.
કિંમતો મૂકતા: $78 C_0 = C_0 U (1 + 2U)$.
$78 = U + 2U^2 \implies 2U^2 + U - 78 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા $U = \frac{-1 \pm 25}{4}$ મળે છે.
વોલ્ટેજ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $U = 6 \ V$ મળે છે.

(C) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_i = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{\varepsilon_0 (lw)}{d}$.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C_i V^2$.
$x$ લંબાઈની સ્લેબ દાખલ કર્યા પછી,કેપેસિટર સમાંતરમાં બે કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે: એક ડાયલેક્ટ્રિક સાથે (લંબાઈ $x$) અને એક હવા સાથે (લંબાઈ $l-x$).
$C_f = C_1 + C_2 = \frac{k \varepsilon_0 (xw)}{d} + \frac{\varepsilon_0 ((l-x)w)}{d}$.
આપેલ છે કે $U_f = 2 U_i$,અને $V$ અચળ હોવાથી,$C_f = 2 C_i$.
$\frac{\varepsilon_0 w}{d} [kx + l - x] = 2 \frac{\varepsilon_0 lw}{d}$.
$kx + l - x = 2l$.
$k = 4$ મૂકતા: $4x + l - x = 2l$.
$3x = l \Rightarrow x = \frac{l}{3}$.

(D) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_{0} = 6\, \mu F$ છે.
જ્યારે ડાયલેક્ટ્રિક માધ્યમ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C_{m} = 30\, \mu F$ થાય છે.
ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $\epsilon_{r}$ એ માધ્યમ સાથેના કેપેસિટન્સ અને હવા સાથેના કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર છે:
$\epsilon_{r} = \frac{C_{m}}{C_{0}} = \frac{30}{6} = 5$.
માધ્યમની પરમિટિવિટી $\epsilon$ એ $\epsilon = \epsilon_{0} \cdot \epsilon_{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\epsilon = 8.85 \times 10^{-12} \times 5 = 44.25 \times 10^{-12} = 0.4425 \times 10^{-10} \approx 0.44 \times 10^{-10} C^{2} N^{-1} m^{-2}$.

(C) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું મૂળ કેપેસિટન્સ $C_{0} = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબને પ્લેટો વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d - t + \frac{t}{K}}$
અહીં $t = \frac{d}{2}$ અને $K = 4$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d - \frac{d}{2} + \frac{d/2}{4}}$
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{\frac{d}{2} + \frac{d}{8}}$
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{\frac{4d + d}{8}} = \frac{\varepsilon_{0} A}{\frac{5d}{8}}$
$C = \frac{8}{5} \frac{\varepsilon_{0} A}{d} = \frac{8}{5} C_{0}$
તેથી,નવા કેપેસિટન્સ અને મૂળ કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{C}{C_{0}} = \frac{8}{5}$ થાય છે.

(B) ધારો કે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $E = 20 \, MV/m = 20 \times 10^{6} \, V/m$ અને $V = 20 \, V$.
કિંમતો મૂકતા: $20 \times 10^{6} = \frac{20}{d}$,તેથી $d = 10^{-6} \, m$.
કેપેસીટન્સ $C = \frac{\varepsilon_{0} A \varepsilon_{r}}{d}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $9 \times 10^{-9} = \frac{(8.85 \times 10^{-12}) \times A \times 2.4}{10^{-6}}$.
$A$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $A = \frac{9 \times 10^{-9} \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12} \times 2.4}$.
$A = \frac{9 \times 10^{-15}}{21.24 \times 10^{-12}} \approx 4.237 \times 10^{-4} \, m^{2}$.
આમ,પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ $4.2 \times 10^{-4} \, m^{2}$ છે.

(A) કેપેસીટન્સનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$C = \frac{A \varepsilon_{0} \varepsilon_{r}}{d} \quad ......(I)$
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અને અંતર $d$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$E = \frac{V}{d} \implies d = \frac{V}{E}$
અહીં $V = 30 \, V$ અને $E = 30 \times 10^{6} \, V/m$ આપેલ છે:
$d = \frac{30}{30 \times 10^{6}} = 10^{-6} \, m$
હવે,$C = 15 \times 10^{-9} \, F$,$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$,$\varepsilon_{r} = 2.5$,અને $d = 10^{-6} \, m$ ને સમીકરણ $(I)$ માં મૂકતા:
$15 \times 10^{-9} = \frac{A \times (8.85 \times 10^{-12}) \times 2.5}{10^{-6}}$
$A = \frac{15 \times 10^{-9} \times 10^{-6}}{8.85 \times 10^{-12} \times 2.5}$
$A = \frac{15 \times 10^{-15}}{22.125 \times 10^{-12}}$
$A \approx 0.678 \times 10^{-3} \, m^{2} = 6.78 \times 10^{-4} \, m^{2}$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$A = 6.7 \times 10^{-4} \, m^{2}$ મળે છે.

(B) કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_{0} = \frac{\varepsilon_{0} A}{d}$ છે.
કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q_{0} = C_{0} V = \frac{\varepsilon_{0} A}{d} V$ છે.
જ્યારે બેટરી જોડાયેલી રહે ત્યારે પ્લેટોની વચ્ચે $k$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે.
નવું કેપેસિટન્સ $C = k C_{0} = \frac{k \varepsilon_{0} A}{d}$ થાય છે.
કેપેસિટર પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $q = C V = \left( \frac{k \varepsilon_{0} A}{d} \right) V = k q_{0}$ થશે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું મૂળ કેપેસિટન્સ $C_{0} = \frac{\epsilon_{0} A}{d}$ છે.
જ્યારે $t = \frac{3}{4}d$ જાડાઈનો ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે આ તંત્રને શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર $C_{1}$ અને $C_{2}$ તરીકે ગણી શકાય.
$C_{1}$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિકથી ભરેલા ભાગનું કેપેસિટન્સ છે: $C_{1} = \frac{K \epsilon_{0} A}{3d/4} = \frac{4 K \epsilon_{0} A}{3d}$.
$C_{2}$ એ હવાના ગાળાનું કેપેસિટન્સ છે: $C_{2} = \frac{\epsilon_{0} A}{d - 3d/4} = \frac{\epsilon_{0} A}{d/4} = \frac{4 \epsilon_{0} A}{d}$.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C'$ એ $\frac{1}{C'} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{C'} = \frac{3d}{4 K \epsilon_{0} A} + \frac{d}{4 \epsilon_{0} A}$.
$\frac{1}{C'} = \frac{d}{4 \epsilon_{0} A} \left( \frac{3}{K} + 1 \right) = \frac{d}{4 \epsilon_{0} A} \left( \frac{3+K}{K} \right)$.
તેથી,$C' = \frac{4 K \epsilon_{0} A}{d(3+K)} = \frac{4K}{3+K} C_{0}$.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C V^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $U_i = \frac{1}{2} \times 14 \, pF \times (12 \, V)^2 = \frac{1}{2} \times 14 \times 144 = 1008 \, pJ$.
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
$k = 7$ ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કર્યા પછી,નવું કેપેસિટન્સ $C' = kC = 7 \times 14 \, pF = 98 \, pF$ થાય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત નવી ઉર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(kC)} = \frac{U_i}{k}$ છે.
$U_f = \frac{1008 \, pJ}{7} = 144 \, pJ$.
વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જામાં થયેલો ઘટાડો સ્લેબની યાંત્રિક ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
યાંત્રિક ઉર્જા $= U_i - U_f = 1008 \, pJ - 144 \, pJ = 864 \, pJ$.

(B) કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય: એક ડાયઇલેક્ટ્રિક સાથે $(C_{1})$ અને બીજું હવા સાથે $(C_{2})$.
આપેલ છે: $A = 100\, m^{2}$,$d = 10\, m$,$t = 5\, m$,$K = 10$,$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} F \cdot m^{-1}$.
ડાયઇલેક્ટ્રિકની જાડાઈ $t = 5\, m$ છે અને હવાના ગાળાની જાડાઈ $d - t = 10 - 5 = 5\, m$ છે.
$C_{1} = \frac{K \varepsilon_{0} A}{t} = \frac{10 \times \varepsilon_{0} \times 100}{5} = 200 \varepsilon_{0}$.
$C_{2} = \frac{\varepsilon_{0} A}{d - t} = \frac{\varepsilon_{0} \times 100}{5} = 20 \varepsilon_{0}$.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$C_{eq} = \frac{C_{1} C_{2}}{C_{1} + C_{2}} = \frac{(200 \varepsilon_{0})(20 \varepsilon_{0})}{200 \varepsilon_{0} + 20 \varepsilon_{0}} = \frac{4000 \varepsilon_{0}^{2}}{220 \varepsilon_{0}} = \frac{400}{22} \varepsilon_{0} = \frac{200}{11} \varepsilon_{0}$.
$\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12} F \cdot m^{-1}$ મૂકતા:
$C_{eq} = \frac{200}{11} \times 8.85 \times 10^{-12} F = 18.1818 \times 8.85 \times 10^{-12} F \approx 160.909 \times 10^{-12} F$.
$1\, pF = 10^{-12} F$ હોવાથી,$C_{eq} \approx 160.909\, pF$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$x = 161$.

(C) $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબવાળા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$C = \frac{\varepsilon_{0} A}{d - t + \frac{t}{K}}$
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \, m^{2}$
કુલ અંતર $d = 1 \, m$
ડાયલેક્ટ્રિકની જાડાઈ $t = 0.5 \, m$
ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = 3.2$
કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{\varepsilon_{0} \times 2}{1 - 0.5 + \frac{0.5}{3.2}}$
$C = \frac{2 \varepsilon_{0}}{0.5 + 0.15625}$
$C = \frac{2 \varepsilon_{0}}{0.65625}$
$C \approx 3.047 \, \varepsilon_{0}$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $3 \, \varepsilon_{0}$ મળે છે.