Effect of Dielectric Inside Capacitor Questions in Gujarati

(B) શરૂઆતનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 15\ \mu F$ છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે કેપેસિટન્સનું સૂત્ર $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ છે.
અહીં $d = 2\ mm = 2 \times 10^{-3}\ m$,$t = 1\ mm = 1 \times 10^{-3}\ m$,અને $K = 2$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$C' = \frac{\varepsilon_0 A}{2 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3} + \frac{1 \times 10^{-3}}{2}}$
$C' = \frac{\varepsilon_0 A}{1 \times 10^{-3} + 0.5 \times 10^{-3}} = \frac{\varepsilon_0 A}{1.5 \times 10^{-3}}$.
કારણ કે $C = \frac{\varepsilon_0 A}{2 \times 10^{-3}} = 15\ \mu F$,તેથી $\varepsilon_0 A = 15 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3} = 30 \times 10^{-9}$.
તેથી,$C' = \frac{30 \times 10^{-9}}{1.5 \times 10^{-3}} = 20 \times 10^{-6}\ F = 20\ \mu F$.

(B) હવા ધરાવતા કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 1\,pF$ છે.
જ્યારે અંતર બમણું કરવામાં આવે $(d' = 2d)$ અને તેમની વચ્ચે $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું માધ્યમ ભરવામાં આવે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{K \epsilon_0 A}{d'}$ થાય.
સમીકરણમાં $d' = 2d$ મૂકતા,આપણને મળે $C' = \frac{K \epsilon_0 A}{2d} = \frac{K}{2} \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right) = \frac{K}{2} C$.
અહીં $C' = 2\,pF$ અને $C = 1\,pF$ આપેલ છે,તેથી $2 = \frac{K}{2} \times 1$.
$K$ માટે ઉકેલતા,આપણને $K = 2 \times 2 = 4$ મળે છે.

(D) કેપેસિટરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E \cdot d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે $t$ જાડાઈની ડાઇઇલેક્ટ્રિક પ્લેટ મૂકવામાં આવે,ત્યારે નવો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = E(d - t + t/K)$ થાય છે.
સમાન વોલ્ટેજ $V = V'$ જાળવી રાખવા માટે,$d = d - t + t/K$ થાય,જેનું સાદું રૂપ આપતા $t(1 - 1/K) = d_{new} - d_{old}$ મળે.
અહીં,અંતરમાં થતો વધારો $d' = t(1 - 1/K)$ છે.
$K$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $d'/t = 1 - 1/K$,તેથી $1/K = 1 - d'/t = (t - d')/t$.
આમ,$K = t / (t - d')$.
આપેલ છે કે $t = 4 \times 10^{-5} \ m$ અને $d' = 3.5 \times 10^{-5} \ m$:
$K = (4 \times 10^{-5}) / (4 \times 10^{-5} - 3.5 \times 10^{-5})$
$K = 4 / 0.5 = 8$.

(D) જ્યારે કેપેસિટરને બેટરીથી અલગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $K_1 = 3$,$Q_1 = Q_0$,$V_1 = V_0 = Q_0/C_1$,$E_1 = E_0 = V_0/d$.
નવી સ્થિતિ: $K_2 = 9$,$Q_2 = Q_0$ (કેપેસિટર અલગ હોવાથી).
નવું કેપેસિટન્સ $C_2 = K_2 C_0 = 9 C_0$ થાય,જ્યાં $C_0$ એ શૂન્યાવકાશમાં કેપેસિટન્સ છે.
નવો વોલ્ટેજ $V_2 = Q_0 / C_2 = Q_0 / (9 C_0) = (Q_0 / 3 C_0) / 3 = V_0 / 3$ થાય.
નવું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2 = V_2 / d = (V_0 / 3) / d = E_0 / 3$ થાય.
આમ,નવા મૂલ્યો $Q_0, V_0/3, E_0/3$ છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે $t = \frac{d}{4}$ જાડાઈ અને $\varepsilon_r$ સાપેક્ષ પરમિટિવિટી ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{\varepsilon_r}}$
સમીકરણમાં $t = \frac{d}{4}$ મૂકતા:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - \frac{d}{4} + \frac{d/4}{\varepsilon_r}} = \frac{\varepsilon_0 A}{\frac{3d}{4} + \frac{d}{4\varepsilon_r}} = \frac{\varepsilon_0 A}{\frac{d(3\varepsilon_r + 1)}{4\varepsilon_r}}$
$C = \frac{4\varepsilon_r \varepsilon_0 A}{d(3\varepsilon_r + 1)}$
આમ,$C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$C = C_0 \left( \frac{4\varepsilon_r}{3\varepsilon_r + 1} \right)$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{C}{C_0} = \frac{4\varepsilon_r}{3\varepsilon_r + 1}$ થાય છે.

(C) શરૂઆતમાં કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_i = C \times V = 10 \ \mu F \times 12 \ V = 120 \ \mu C$ છે.
જ્યારે $K = 5$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ મૂકવામાં આવે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = K \times C = 5 \times 10 \ \mu F = 50 \ \mu F$ થાય છે.
કેપેસિટર પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $Q_f = C' \times V = 50 \ \mu F \times 12 \ V = 600 \ \mu C$ છે.
બેટરીમાંથી કેપેસિટર પર જતો વધારાનો વિદ્યુતભાર $\Delta Q = Q_f - Q_i = 600 \ \mu C - 120 \ \mu C = 480 \ \mu C$ થાય.

(B) આ તંત્ર બે શ્રેણીબદ્ધ ભાગોનું બનેલું છે: ઉપરનો ભાગ (જેમાં $K_1$ અને $K_2$ સમાંતરમાં છે) અને નીચેનો ભાગ (જેમાં $K_3$ છે).
$1$. ઉપરના ભાગમાં બે કેપેસિટર સમાંતરમાં છે,જે દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A/2$ અને અંતર $d/2$ છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{top} = \frac{\epsilon_0 (A/2) K_1}{d/2} + \frac{\epsilon_0 (A/2) K_2}{d/2} = \frac{\epsilon_0 A}{d} (K_1 + K_2)$ છે.
$2$. નીચેનો ભાગ એક કેપેસિટર છે જેનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને અંતર $d/2$ છે,જેમાં ડાઇઇલેક્ટ્રિક $K_3$ ભરેલું છે. તેનું કેપેસિટન્સ $C_{bottom} = \frac{\epsilon_0 A K_3}{d/2} = \frac{2 \epsilon_0 A K_3}{d}$ છે.
$3$. આ બંને ભાગો શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ માટે $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_{top}} + \frac{1}{C_{bottom}}$ થાય.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d}{\epsilon_0 A (K_1 + K_2)} + \frac{d}{2 \epsilon_0 A K_3} = \frac{d}{\epsilon_0 A} \left[ \frac{1}{K_1 + K_2} + \frac{1}{2K_3} \right]$.
$5$. આખા તંત્રનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ છે.
$6$. $1/C_{eq}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{d}{K \epsilon_0 A} = \frac{d}{\epsilon_0 A} \left[ \frac{1}{K_1 + K_2} + \frac{1}{2K_3} \right]$.
$7$. તેથી,$\frac{1}{K} = \frac{1}{K_1 + K_2} + \frac{1}{2K_3}$.

(D) શરૂઆતમાં,$C$ અને $2C$ કેપેસિટરને $V$ વોલ્ટની બેટરી સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે છે. સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq}V = (C + 2C)V = 3CV$ થાય છે.
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 3CV$ અચળ રહે છે.
$C$ કેપેસિટરને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંકથી ભર્યા પછી,તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
સમાંતર જોડાણનું નવું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C'_{eq} = KC + 2C = (K + 2)C$ થાય છે.
કેપેસિટર વચ્ચેનો નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = \frac{Q}{C'_{eq}} = \frac{3CV}{(K + 2)C} = \frac{3V}{K + 2}$ મળે છે.

(A) શૂન્યાવકાશમાં બે સમાંતર ધાતુની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
જ્યારે પ્લેટોને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા કેરોસીન ઓઈલ જેવા માધ્યમમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E'$ એ $E' = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}K}$ બને છે.
કેરોસીન ઓઈલ માટે ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ એ $1$ કરતા વધારે હોવાથી $(K > 1)$,નવું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E'$ એ મૂળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ કરતા ઓછું થશે $(E' < E)$.
તેથી,પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર ઘટશે.

(D) શરૂઆતમાં,કેપેસિટર $q = CV$ જેટલો ચાર્જ થાય છે. જ્યારે સેલને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કર્યા પછી,નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
પ્લેટો વચ્ચેનો નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = \frac{q}{C'} = \frac{CV}{KC} = \frac{V}{K}$ થાય છે. આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $K$ ગણો ઘટે છે.
શરૂઆતની સંગ્રહિત ઉર્જા $U_1 = \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
અંતિમ સંગ્રહિત ઉર્જા $U_2 = \frac{q^2}{2C'} = \frac{q^2}{2KC} = \frac{U_1}{K}$ છે. આમ,ઉર્જા $K$ ગણી ઘટે છે.
ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{q^2}{2KC} - \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2}CV^2\left(\frac{1}{K} - 1\right)$ છે.
કેપેસિટરને સેલથી દૂર કરવામાં આવ્યું હોવાથી,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $q$ અચળ (સંરક્ષિત) રહે છે. તેથી,વિદ્યુતભાર સંરક્ષિત નથી તેવું વિધાન ખોટું છે.

(A) કેપેસિટરને ચાર નાના કેપેસિટરોના સંયોજન તરીકે ગણી શકાય. $d/2$ જાડાઈ ધરાવતો ઉપરનો ભાગ ત્રણ ભાગમાં વહેંચાયેલો છે,જેમાંથી દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A/3$ છે. આ ત્રણ કેપેસિટરો $(C_1, C_2, C_3)$ સમાંતર જોડાણમાં છે.
$C_1 = \frac{\epsilon_0 K_1 (A/3)}{d/2} = \frac{2\epsilon_0 K_1 A}{3d}$
$C_2 = \frac{2\epsilon_0 K_2 A}{3d}$
$C_3 = \frac{2\epsilon_0 K_3 A}{3d}$
તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = C_1 + C_2 + C_3 = \frac{2\epsilon_0 A}{3d}(K_1 + K_2 + K_3)$.
આ સમાંતર જોડાણ નીચેના કેપેસિટર $C_4$ સાથે શ્રેણીમાં છે,જેની જાડાઈ $d/2$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
$C_4 = \frac{\epsilon_0 K_4 A}{d/2} = \frac{2\epsilon_0 K_4 A}{d}$.
કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ માટે $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_p} + \frac{1}{C_4}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{C} = \frac{3d}{2\epsilon_0 A(K_1 + K_2 + K_3)} + \frac{d}{2\epsilon_0 K_4 A}$.
એક જ ડાયઇલેક્ટ્રિક $K$ માટે,$C = \frac{K\epsilon_0 A}{d}$,તેથી $\frac{1}{C} = \frac{d}{K\epsilon_0 A}$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{d}{K\epsilon_0 A} = \frac{d}{\epsilon_0 A} [\frac{3}{2(K_1 + K_2 + K_3)} + \frac{1}{2K_4}]$.
$\frac{1}{K} = \frac{3}{2(K_1 + K_2 + K_3)} + \frac{1}{2K_4}$.
$2$ વડે ગુણતા: $\frac{2}{K} = \frac{3}{K_1 + K_2 + K_3} + \frac{1}{K_4}$.

(C) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે,જ્યાં $d = 3\,mm$ છે.
જ્યારે $t = 1\,mm$ જાડાઈ અને $K = 2$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મૂળ કેપેસિટન્સ $C_0$ પુનઃસ્થાપિત કરવા માટે,આપણે અંતર $d$ ને નવા મૂલ્ય $d'$ માં બદલવું જોઈએ જેથી અસરકારક અંતર મૂળ હવા-ભરેલા કેપેસિટર જેટલું જ રહે.
અસરકારક અંતર $d_{eff} = d' - t + \frac{t}{K}$ એ મૂળ અંતર $d = 3\,mm$ જેટલું હોવું જોઈએ.
કિંમતો મૂકતા: $d' - 1 + \frac{1}{2} = 3$.
$d' - 0.5 = 3$.
$d' = 3.5\,mm$.

(B) બેટરી સાથે જોડાયેલ સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ અચળ રહે છે.
કેપેસિટરમાં શ્રેણીમાં બે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્તરો હોવાથી,દરેક ડાયઇલેક્ટ્રિકમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ એ $E = \frac{V}{d_{eff}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d_{eff}$ એ અસરકારક જાડાઈ છે.
ચોક્કસ રીતે,ડાયઇલેક્ટ્રિક માધ્યમમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{E_0}{K}$ છે,જ્યાં $E_0$ એ શૂન્યાવકાશમાં ક્ષેત્ર છે અને $K$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
પ્રથમ વિસ્તારમાં $(0 < x < d)$,ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K_1 = 2$ છે. તેથી,$E_1 = \frac{E_0}{2}$.
બીજા વિસ્તારમાં $(d < x < 3d)$,ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K_2 = 4$ છે. તેથી,$E_2 = \frac{E_0}{4}$.
$K_1 < K_2$ હોવાથી,$E_1 > E_2$ થાય છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર પ્રથમ વિસ્તારમાં વધારે અને બીજા વિસ્તારમાં ઓછું હોય છે,અને તે દરેક ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્તરની અંદર અચળ રહે છે.
આ તે આલેખને અનુરૂપ છે જ્યાં $x = d$ પર ક્ષેત્રનું મૂલ્ય ઘટે છે અને બંને વિસ્તારોમાં અચળ રહે છે.

(C) પ્લેટો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d = 5 \ cm$ છે અને વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 200 \ V/cm$ છે.
જ્યારે $t = 2 \ cm$ પહોળાઈનો મેટલ બાર દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V = E(d - t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અચળ રહે છે કારણ કે પ્લેટો પરનો ચાર્જ સમાન રહે છે અને મેટલ બાર એક સમસ્થિતિમાન વિસ્તાર તરીકે કાર્ય કરે છે જ્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = 200 \ V/cm \times (5 \ cm - 2 \ cm)$.
$V = 200 \times 3 = 600 \ V$.

(D) ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરતા પહેલા,કેપેસિટર્સ શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C \times C}{C + C} = \frac{C}{2}$ છે.
સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{eq} = C_{eq} E = \frac{CE}{2}$ છે.
બેટરી જોડાયેલી હોવાથી,સંયોજન પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $E$ અચળ રહે છે.
એક કેપેસિટરમાં $K$ અચળાંક ધરાવતું ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કર્યા પછી,તેનું કેપેસિટન્સ $KC$ થાય છે. નવું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C'_{eq} = \frac{(KC)C}{KC + C} = \frac{K}{K + 1} C$ થાય છે.
નવો કુલ વિદ્યુતભાર $Q'_{eq} = C'_{eq} E = \frac{KCE}{K + 1}$ છે.
બેટરીમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $\Delta Q = Q'_{eq} - Q_{eq} = \frac{KCE}{K + 1} - \frac{CE}{2} = CE \left( \frac{2K - (K + 1)}{2(K + 1)} \right) = \frac{(K - 1)CE}{2(K + 1)}$ છે.
અહીં $Q'_{eq} > Q_{eq}$ હોવાથી,વિદ્યુતભાર બેટરીમાંથી કેપેસિટર્સ તરફ વહે છે,જે બેટરી દ્વારા $C$ થી $B$ ની દિશામાં છે.

(C) ધારો કે દરેક સમાન કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
જ્યારે કેપેસિટર $2$ માં $k$ અચળાંક ધરાવતી ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કેપેસિટન્સ $kC$ થાય છે.
કેપેસિટરો શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C \cdot kC}{C + kC} = \frac{kC}{k + 1}$ થાય છે.
શ્રેણીમાં દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર બેટરી દ્વારા પૂરા પાડવામાં આવતા કુલ વિદ્યુતભાર જેટલો હોય છે: $Q_1 = Q_2 = Q_{eq} = C_{eq}E = \frac{kCE}{k + 1}$.
જ્યારે ડાયલેક્ટ્રિક દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $2$ નું કેપેસિટન્સ $C$ થઈ જાય છે.
નવું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C'_{eq} = \frac{C \cdot C}{C + C} = \frac{C}{2}$ થાય છે.
દરેક કેપેસિટર પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q'_1 = Q'_2 = Q'_{eq} = C'_{eq}E = \frac{CE}{2}$ છે.
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{Q'_1}{Q_1} = \frac{Q'_2}{Q_2} = \frac{CE/2}{kCE/(k+1)} = \frac{k+1}{2k}$.
આ પરિણામ આપેલા વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{A \epsilon_{0}}{d}$ છે.
પ્રારંભિક સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q = CV = 60 \mu C$ છે.
જ્યારે $k$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતો પદાર્થ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C^{\prime} = kC$ થાય છે.
નવો સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q^{\prime} = C^{\prime}V = kCV = kQ$ થાય છે.
બેટરીમાંથી વહેતો વધારાનો વિદ્યુતભાર $\Delta Q = Q^{\prime} - Q = 120 \mu C$ છે.
$Q^{\prime} = kQ$ મૂકતા,આપણને $kQ - Q = 120 \mu C$ મળે છે.
$Q(k - 1) = 120 \mu C$.
અહીં $Q = 60 \mu C$ આપેલ હોવાથી,$60(k - 1) = 120$.
$k - 1 = 2$,તેથી $k = 3$ મળે છે.

(C) પ્રારંભિક સ્થિતિ: વિદ્યુતભાર $Q_i = 60 \ \mu C$,કેપેસિટન્સ $C_i = 2 \ \mu F$. બેટરીનો વોલ્ટેજ $V = Q_i / C_i = 60 \ \mu C / 2 \ \mu F = 30 \ V$.
અંતિમ સ્થિતિ: બેટરીમાંથી વધારાનો $120 \ \mu C$ વિદ્યુતભાર વહે છે,તેથી અંતિમ વિદ્યુતભાર $Q_f = Q_i + 120 \ \mu C = 60 \ \mu C + 120 \ \mu C = 180 \ \mu C$.
અંતિમ કેપેસિટન્સ $C_f = Q_f / V = 180 \ \mu C / 30 \ V = 6 \ \mu F$.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C_i V^2 = \frac{1}{2} \times 2 \ \mu F \times (30 \ V)^2 = 900 \ \mu J$.
અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} C_f V^2 = \frac{1}{2} \times 6 \ \mu F \times (30 \ V)^2 = 2700 \ \mu J$.
બેટરી દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_b = (Q_f - Q_i) V = 120 \ \mu C \times 30 \ V = 3600 \ \mu J$.
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = W_b - (U_f - U_i) = 3600 \ \mu J - (2700 \ \mu J - 900 \ \mu J) = 3600 \ \mu J - 1800 \ \mu J = 1800 \ \mu J$.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{A \epsilon_0}{d}$ છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક સાથેના સમાંતર પ્લેટ કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C' = \frac{A k \epsilon_0}{d} = k C = 2C$ છે.
પ્લેટ $1$ અને $2$ એ $C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતું કેપેસીટર બનાવે છે,પ્લેટ $2$ અને $3$ એ $C' = 2C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતું કેપેસીટર બનાવે છે,અને પ્લેટ $3$ અને $4$ એ $C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતું કેપેસીટર બનાવે છે.
પ્લેટ $1$ અને $4$ જોડાયેલ હોવાથી,$1$ અને $3$ વચ્ચેની સિસ્ટમમાં $1-2$ અને $2-3$ વચ્ચેના કેપેસીટર શ્રેણીમાં છે. તેથી,$C_1 = \frac{C \cdot C'}{C + C'} = \frac{C \cdot 2C}{C + 2C} = \frac{2C}{3}$.
$2$ અને $4$ વચ્ચેની સિસ્ટમમાં $2-3$ અને $3-4$ વચ્ચેના કેપેસીટર શ્રેણીમાં છે. તેથી,$C_2 = \frac{C' \cdot C}{C' + C} = \frac{2C \cdot C}{2C + C} = \frac{2C}{3}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{C_1}{C_2} = \frac{2C/3}{2C/3} = 1$ થાય.

(B) કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે કારણ કે તે અચળ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ છે.
સૂત્ર $V = E \cdot d$ મુજબ,જ્યાં $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે,અને $V$ તથા $d$ અચળ હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ બદલાતી નથી.
જ્યારે ડાયલેક્ટ્રિક દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C$ વધે છે ($C = K C_0$,જ્યાં $K > 1$).
$Q = C V$ હોવાથી અને $V$ અચળ હોવાથી,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ વધે છે.
તેથી,સ્ત્રોતમાંથી થોડો વધારાનો વિદ્યુતભાર કેપેસિટરમાં વહેશે.

(D) જ્યારે $l$ જાડાઈની તાંબાની શીટને સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો (અંતર $d$) ની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તાંબાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
આ અસરકારક રીતે પ્લેટો વચ્ચેના અંતરને $(d-l)$ સુધી ઘટાડે છે.
મૂળ કેપેસીટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
નવું કેપેસીટન્સ $C_{eq} = \frac{\epsilon_0 A}{d-l}$ છે.
કારણ કે $(d-l) < d$,તેથી $C_{eq} > C$ થાય છે.
વધુમાં,કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ માત્ર જાડાઈ $l$ પર આધાર રાખે છે અને પ્લેટોની વચ્ચે શીટના સ્થાન પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,કેપેસીટન્સ પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા વધારે છે અને પ્લેટોની વચ્ચે શીટના તમામ સ્થાનો માટે અપરિવર્તિત રહે છે.

(D) જ્યારે વોલ્ટેજ સોર્સ જોડાયેલ હોય ત્યારે $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું ડાયલેક્ટ્રિક મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે.
$1$. કેપેસીટન્સ: નવું કેપેસીટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
$2$. વિદ્યુતભાર: નવો વિદ્યુતભાર $Q' = C'V = (KC)V = KQ$. આમ,વિદ્યુતભાર $K$-ગણો વધે છે.
$3$. ઉર્જા: પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2}CV^2$. અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2}C'V^2 = \frac{1}{2}(KC)V^2 = KU_i$. આમ,ઉર્જા $K$-ગણી વધે છે.
$4$. બળ: પ્લેટો વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ $F = \frac{Q^2}{2A\epsilon_0}$ મુજબ,જો $Q$ એ $KQ$ થાય,તો નવું બળ $F' = \frac{(KQ)^2}{2A\epsilon_0} = K^2 F$ થાય છે. તેથી,તમામ વિધાનો સાચા છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,કેપેસિટન્સ $C = \frac{A \epsilon_{0}}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બેટરી દૂર કરવામાં આવી હોવાથી,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{Q^{2}}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $U = \frac{Q^{2} d}{2 A \epsilon_{0}}$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે ઉર્જા $U$ એ પ્લેટો વચ્ચેના અંતર $d$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(U \propto d)$.
જ્યારે પ્લેટોને નજીક લાવવામાં આવે છે,ત્યારે અંતર $d$ ઘટે છે.
પરિણામે,કેપેસિટરની ઉર્જા $U$ ઘટશે.

(B) જ્યારે એક અલગ કરેલા (isolated) ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો ચાર્જ $q$ અચળ રહે છે કારણ કે સિસ્ટમ અલગ કરેલી છે (કોઈ ચાર્જ અંદર આવી કે બહાર જઈ શકતો નથી).
$1$. વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ ઘટે છે કારણ કે ડાયઇલેક્ટ્રિક વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રેરિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
$2$. વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ ઘટે છે કારણ કે $V = E \cdot d$ છે,અને $E$ ઘટ્યું છે.
$3$. સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{q^2}{2C}$ ઘટે છે કારણ કે ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરવાથી કેપેસિટન્સ $C$ વધે છે અને $q$ અચળ રહે છે.
તેથી,માત્ર કેપેસિટર પરનો ચાર્જ અપરિવર્તિત રહે છે.

(D) જ્યારે કેપેસિટરને સ્ત્રોતથી અલગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે કારણ કે વિદ્યુતભારના વહન માટે કોઈ માર્ગ હોતો નથી.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_{0} A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ વધારવામાં આવે,તો કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે.
પ્લેટો વચ્ચેનો પોટેન્શિયલ ડિફરન્સ $V$ એ $V = \frac{Q}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $Q$ અચળ છે અને $C$ ઘટે છે,તેથી પોટેન્શિયલ ડિફરન્સ $V$ વધવો જોઈએ.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) બેટરી દૂર કરવામાં આવી હોવાથી,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = C V = \frac{\varepsilon_0 A}{d} V$.
જ્યારે $K$ અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC = \frac{K\varepsilon_0 A}{d}$ થાય છે.
નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = \frac{Q}{C'} = \frac{Q}{KC} = \frac{V}{K}$ થાય છે.
નવું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V'}{d} = \frac{V}{Kd}$ થાય છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{\varepsilon_0 AV^2}{2d}$ છે.
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2}C'V'^2 = \frac{1}{2}(KC) \left(\frac{V}{K}\right)^2 = \frac{1}{2} \frac{CV^2}{K} = \frac{\varepsilon_0 AV^2}{2Kd}$ છે.
સિસ્ટમ પર થયેલ કાર્ય $W = U_f - U_i = \frac{\varepsilon_0 AV^2}{2Kd} - \frac{\varepsilon_0 AV^2}{2d} = -\frac{\varepsilon_0 AV^2}{2d} \left(1 - \frac{1}{K}\right)$ થાય છે.

(A) બેટરી જોડાયેલી હોવાથી,પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અચળ રહે છે. તેથી,$V = V_0$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = V/d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $V$ અને પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ બદલાતું ન હોવાથી,$E = E_0$ થાય છે.
ધારો કે પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0$ છે. જ્યારે $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતો સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C = K C_0$ થાય છે,જ્યાં $K > 1$.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV = (K C_0) V_0 = K Q_0$ છે. $K > 1$ હોવાથી,$Q > Q_0$ મળે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = (1/2) CV^2 = (1/2) (K C_0) V_0^2 = K U_0$ છે. $K > 1$ હોવાથી,$U > U_0$ મળે છે.
આમ,સાચો સંબંધ $Q > Q_0$ છે.

(A) જ્યારે કેપેસિટરને ચાર્જ કરવામાં આવે અને બેટરી દૂર કરવામાં આવે,ત્યારે પ્લેટો પરનો ચાર્જ $q$ અચળ રહે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે પ્લેટોને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે અંતર $d$ વધે છે,તેથી કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે.
ચાર્જ $q$ અચળ હોવાથી અને $C$ ઘટતું હોવાથી,પોટેન્શિયલ તફાવત $V = \frac{q}{C}$ વધશે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $W = \frac{q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $C$ ઘટે છે અને $q$ અચળ છે,તેથી સંગ્રહિત ઉર્જા $W$ વધે છે.

(D) હવાથી ભરેલા કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 9 \ pF$ છે.
જ્યારે જગ્યાને $d_1 = d/3$ અને $d_2 = 2d/3$ જાડાઈના બે ડાયલેક્ટ્રિક્સથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે આ સિસ્ટમ શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્રથમ ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{k_1 \epsilon_0 A}{d_1} = \frac{3 \epsilon_0 A}{d/3} = 9 \frac{\epsilon_0 A}{d} = 9 C_0 = 9 \times 9 = 81 \ pF$ છે.
બીજા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{k_2 \epsilon_0 A}{d_2} = \frac{6 \epsilon_0 A}{2d/3} = 9 \frac{\epsilon_0 A}{d} = 9 C_0 = 9 \times 9 = 81 \ pF$ છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ એ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{81} + \frac{1}{81} = \frac{2}{81}$.
તેથી,$C_{eq} = \frac{81}{2} = 40.5 \ pF$ થાય છે.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે ડાયલેક્ટ્રિકની હાજરીમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E = \frac{\sigma}{K \varepsilon_0}$
જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે,$K$ એ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક છે,અને $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\sigma = K \varepsilon_0 E$
આપેલ કિંમતો:
$K = 2.2$
$\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$
$E = 3 \times 10^4 \ V/m$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sigma = 2.2 \times (8.85 \times 10^{-12}) \times (3 \times 10^4)$
$\sigma = 2.2 \times 8.85 \times 3 \times 10^{-8}$
$\sigma \approx 58.41 \times 10^{-8} \ C/m^2$
$\sigma \approx 5.84 \times 10^{-7} \ C/m^2$
નજીકની કિંમત લેતા,આપણને $\sigma \approx 6 \times 10^{-7} \ C/m^2$ મળે છે.

(D) કેપેસીટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q_i = CV = 90 \ pF \times 20 \ V = 1800 \ pC = 1.8 \ nC$ છે.
$K = \frac{5}{3}$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું ડાયઇલેક્ટ્રિક મૂક્યા પછી,નવું કેપેસીટન્સ $C' = KC = \frac{5}{3} \times 90 \ pF = 150 \ pF$ થાય છે.
કેપેસીટર પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q_f = C'V = 150 \ pF \times 20 \ V = 3000 \ pC = 3.0 \ nC$ છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક પરના પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $Q_{ind}$ નું મૂલ્ય અંતિમ વિદ્યુતભાર અને પ્રારંભિક વિદ્યુતભારના તફાવત જેટલું હોય છે:
$Q_{ind} = Q_f - Q_i = (K-1)CV$
$Q_{ind} = \left(\frac{5}{3} - 1\right) \times 90 \ pF \times 20 \ V$
$Q_{ind} = \left(\frac{2}{3}\right) \times 1800 \ pC = 1200 \ pC = 1.2 \ nC$.

(A) ધારો કે પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે, તેમની વચ્ચેનું અંતર $d$ છે અને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $k$ છે। કેપેસિટરને સમાંતરમાં બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય: એક ડાયઇલેક્ટ્રિક સાથે અને એક ડાયઇલેક્ટ્રિક વગર।
જો સ્લેબને અચળ ઝડપ $v$ થી બહાર ખેંચવામાં આવે, તો સમય $t$ પર કેપેસિટરની અંદર સ્લેબની લંબાઈ $l' = l - vt$ હશે, જ્યાં $l$ એ સ્લેબની પ્રારંભિક લંબાઈ છે।
સમય $t$ પર કેપેસીટન્સ $C$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$C(t) = \frac{\epsilon_0 (A - lw) + \epsilon_0 k (lw)}{d}$, જ્યાં $w$ એ પ્લેટની પહોળાઈ છે।
જેમ સ્લેબ બહાર ખેંચાય છે, તેમ ડાયઇલેક્ટ્રિક દ્વારા રોકાયેલ ક્ષેત્રફળ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે: $A_{dielectric} = w(l - vt)$।
આમ, $C(t) = \frac{\epsilon_0}{d} [ (A - wl) + k \cdot w(l - vt) ]$।
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ $C(t) = C_0 - \frac{\epsilon_0 w k v}{d} t$ થાય છે।
કેમ કે $C(t)$ એ સમયનું રેખીય વિધેય છે અને તેનો ઢાળ ઋણ છે, તેથી જેમ સ્લેબ બહાર ખેંચાય છે તેમ કેપેસીટન્સ રેખીય રીતે ઘટે છે। તેથી, આલેખ ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા છે।

(B) શરૂઆતમાં,કેપેસિટરને બેટરી દ્વારા $V_{old}$ વિદ્યુતસ્થિતિમાન સુધી ચાર્જ કરવામાં આવે છે. પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C_{old} V_{old}$ છે.
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે અંતર $d$ ને અડધું કરીને $d' = \frac{d}{2}$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C_{new} = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = 2 \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right) = 2 C_{old}$ થાય છે.
વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ હોવાથી,નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{new} = \frac{Q}{C_{new}}$ થાય છે.
$Q = C_{old} V_{old}$ અને $C_{new} = 2 C_{old}$ મૂકતા,આપણને $V_{new} = \frac{C_{old} V_{old}}{2 C_{old}} = \frac{1}{2} V_{old}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{V_{new}}{V_{old}} = 0.5$ છે.

(A) જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે કારણ કે વિદ્યુતભારના વહન માટે કોઈ માર્ગ હોતો નથી.
જ્યારે પ્લેટોની વચ્ચે $K > 1$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતો ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C' = KC$ સૂત્ર મુજબ વધે છે.
$Q$ અચળ હોવાથી અને $C' = KC$ હોવાથી,નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = Q/C' = Q/(KC) = V/K$ થાય છે. આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત ઘટે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = Q^2 / (2C)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $C$ વધતું હોવાથી,સંગ્રહિત ઉર્જા $U' = Q^2 / (2C') = U/K$ ઘટે છે.
તેથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અને સંગ્રહિત ઉર્જા ઘટે છે,જ્યારે વિદ્યુતભાર સમાન રહે છે.

(A) સમાન જાડાઈ ધરાવતા ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં,પ્લેટો પરની સપાટી પરની વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ બધા ડાયલેક્ટ્રિક માટે સમાન હોય છે. ડાયલેક્ટ્રિકમાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0 k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\sigma$ અને $\epsilon_0$ અચળ હોવાથી,$E \propto \frac{1}{k}$ થાય.
આપેલ છે કે $k_3 > k_2 > k_1$,તેથી $E_3 < E_2 < E_1$ મળે.
દરેક ડાયલેક્ટ્રિકમાં પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $\Delta V = E \cdot t$ છે,જ્યાં $t$ એ દરેક સ્લેબની જાડાઈ છે.
બધા માટે $t$ સમાન હોવાથી,$\Delta V \propto E$ થાય.
તેથી,$\Delta V_3 < \Delta V_2 < \Delta V_1$.
આમ,સાચું વિધાન $E_3 < E_2 < E_1$ અને $\Delta V_3 < \Delta V_2 < \Delta V_1$ છે.

(A) ડાયલેક્ટ્રિક સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{\max} = 20 \ MVm^{-1} = 20 \times 10^6 \ Vm^{-1}$ છે.
કેપેસિટર પરનો મહત્તમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{\max} = E_{\max} \times d$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $d = 40 \ \mu m = 40 \times 10^{-6} \ m$.
$V_{\max} = 20 \times 10^6 \times 40 \times 10^{-6} = 800 \ V$.
કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $K = 4.0$,$A = (80 \times 10^{-3} \ m)^2 = 6400 \times 10^{-6} \ m^2$,અને $\epsilon_0 = 9 \times 10^{-12} \ Fm^{-1}$.
$C = \frac{4.0 \times 9 \times 10^{-12} \times 6400 \times 10^{-6}}{40 \times 10^{-6}} = 4.0 \times 9 \times 10^{-12} \times 160 = 5760 \times 10^{-12} \ F = 5.76 \times 10^{-9} \ F$.
મહત્તમ વિદ્યુતભાર $Q_{\max} = C \times V_{\max} = 5.76 \times 10^{-9} \times 800 = 4608 \times 10^{-9} \ C = 4.6 \ \mu C$.

(D) $1$. પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$.
$2$. પ્રારંભિક ચાર્જ $Q = C_0 V = \frac{\epsilon_0 A V}{d}$.
$3$. પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C_0 V^2 = \frac{1}{2} \frac{\epsilon_0 A}{d} V^2$.
$4$. બેટરી દૂર કર્યા પછી,ચાર્જ $Q$ અચળ રહે છે.
$5$. જ્યારે $t = d/2$ જાડાઈની ધાતુની સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C_f = \frac{\epsilon_0 A}{d - t} = \frac{\epsilon_0 A}{d - d/2} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d} = 2 C_0$ થાય છે.
$6$. અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2 C_f} = \frac{(C_0 V)^2}{2(2 C_0)} = \frac{1}{4} C_0 V^2 = \frac{1}{4} \frac{\epsilon_0 A}{d} V^2$.
$7$. બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = U_f - U_i = \frac{1}{4} C_0 V^2 - \frac{1}{2} C_0 V^2 = - \frac{1}{4} C_0 V^2 = - \frac{1}{4} \frac{\epsilon_0 A}{d} V^2$.

(C) હવાથી ભરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 9 \ pF$ છે.
જ્યારે જગ્યાને $d_1 = \frac{d}{3}$ અને $d_2 = \frac{2d}{3}$ જાડાઈના બે ડાયલેક્ટ્રિક્સથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્રથમ ભાગનું કેપેસીટન્સ $C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 A}{d_1} = \frac{6 \epsilon_0 A}{d/3} = 18 \left(\frac{\epsilon_0 A}{d}\right) = 18 \times 9 = 162 \ pF$ છે.
બીજા ભાગનું કેપેસીટન્સ $C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 A}{d_2} = \frac{12 \epsilon_0 A}{2d/3} = \frac{18 \epsilon_0 A}{d} = 18 \times 9 = 162 \ pF$ છે.
શ્રેણીમાં જોડેલા કેપેસિટર માટે સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ એ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{162 \times 162}{162 + 162} = \frac{162}{2} = 81 \ pF$.

(C) કેપેસિટર અચળ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ ધરાવતી બેટરી સાથે જોડાયેલું છે.
પ્લેટો સીધી બેટરી સાથે જોડાયેલી હોવાથી,કેપેસિટરના કોઈપણ ઉભા આડછેદ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરીના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ જેટલો જ હોવો જોઈએ.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અને અંતર $D$ સાથે $V = E \cdot D$ અથવા $E = \frac{V}{D}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલું છે.
આ સંબંધ ડાયઇલેક્ટ્રિકથી ભરેલા વિસ્તાર (બિંદુ $P$) અને હવાવાળા વિસ્તાર (બિંદુ $P'$) બંને માટે સાચો છે,કારણ કે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમગ્ર કેપેસિટરમાં સમાન રહે છે.
તેથી,બિંદુ $P$ અને $P'$ બંને પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $\frac{V}{D}$ જેટલું સમાન છે.

(C) ધારો કે દરેક સમાન કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
શરૂઆતમાં,કેપેસિટર $1$ નું કેપેસિટન્સ $C$ છે અને કેપેસિટર $2$ નું કેપેસિટન્સ $KC$ છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C \cdot KC}{C + KC} = \frac{KC}{K+1}$ થાય.
દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = Q_2 = Q_{eq} = C_{eq} V_0 = \frac{KCV_0}{K+1}$ છે.
ડાયલેક્ટ્રિક દૂર કર્યા પછી,બંને કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ થાય છે.
નવું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C'_{eq} = \frac{C \cdot C}{C + C} = \frac{C}{2}$ થાય.
દરેક કેપેસિટર પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q'_1 = Q'_2 = Q'_{eq} = C'_{eq} V_0 = \frac{CV_0}{2}$ છે.
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{Q'_1}{Q_1} = \frac{Q'_2}{Q_2} = \frac{CV_0/2}{KCV_0/(K+1)} = \frac{K+1}{2K}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) શરૂઆતમાં,$C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતા બે કેપેસીટર શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq,i} = \frac{C}{2}$ છે. દરેક કેપેસીટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q_i = C_{eq,i} V = \frac{CV}{2}$ છે. સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = 2 \times \frac{1}{2} C (V/2)^2 = \frac{CV^2}{4}$ છે.
એક કેપેસીટરમાં ડાયઇલેક્ટ્રિક $(K=2)$ દાખલ કર્યા પછી,તેનું નવું કેપેસીટન્સ $C' = KC = 2C$ થાય છે. નવું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq,f} = \frac{C \times 2C}{C + 2C} = \frac{2C}{3}$ છે. સર્કિટ પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q_f = C_{eq,f} V = \frac{2CV}{3}$ છે.
બેટરી દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવેલ વિદ્યુતભાર $\Delta q = q_f - q_i = \frac{2CV}{3} - \frac{CV}{2} = \frac{CV}{6}$ છે.
બેટરી દ્વારા થયેલ કાર્ય $W_b = \Delta q V = \frac{CV^2}{6}$ છે.
અંતિમ સંગ્રહિત ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} C (V_1)^2 + \frac{1}{2} (2C) (V_2)^2$ છે. કેપેસીટર શ્રેણીમાં હોવાથી,$V_1 + V_2 = V$ અને $q_f = C V_1 = 2C V_2$,તેથી $V_1 = 2V_2$. આમ $3V_2 = V$,$V_2 = V/3$ અને $V_1 = 2V/3$.
$U_f = \frac{1}{2} C (2V/3)^2 + \frac{1}{2} (2C) (V/3)^2 = \frac{1}{2} C (4V^2/9) + C (V^2/9) = \frac{2CV^2}{9} + \frac{CV^2}{9} = \frac{CV^2}{3}$.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $W_b = \Delta U + H$,જ્યાં $H$ એ ઉષ્માનો વ્યય છે.
$H = W_b - (U_f - U_i) = \frac{CV^2}{6} - (\frac{CV^2}{3} - \frac{CV^2}{4}) = \frac{CV^2}{6} - \frac{CV^2}{12} = \frac{CV^2}{12}$.

(C) શરૂઆતમાં,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_{0} = C_{0}V = 60\,\mu C$ છે.
જ્યારે $K$ અચળાંક ધરાવતું ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C = KC_{0}$ થાય છે.
કેપેસિટર પરનો નવો વિદ્યુતભાર $q = CV = KC_{0}V = Kq_{0}$ થાય છે.
બેટરીમાંથી વહેતો વધારાનો વિદ્યુતભાર $\Delta q = q - q_{0} = 120\,\mu C$ છે.
તેથી,$q = q_{0} + \Delta q = 60\,\mu C + 120\,\mu C = 180\,\mu C$.
સંબંધ $q = Kq_{0}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $K = \frac{q}{q_{0}} = \frac{180\,\mu C}{60\,\mu C} = 3$ મળે છે.

(A) જ્યારે કળ $K$ બંધ હોય,ત્યારે બંને કેપેસિટર $V$ વોલ્ટેજની બેટરી સાથે સમાંતર જોડાયેલા હોય છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + C = 2C$ છે. સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U_1 = \frac{1}{2} (2C) V^2 = CV^2$ છે.
જ્યારે કળ $K$ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે બેટરી સાથે જોડાયેલ કેપેસિટર $V$ વોલ્ટેજ પર રહે છે,જ્યારે બીજું કેપેસિટર $Q = CV$ જેટલા વિદ્યુતભાર સાથે અલગ થઈ જાય છે.
પ્રથમ કેપેસિટર (બેટરી સાથે જોડાયેલ) માટે,નવું કેપેસિટન્સ $C' = \epsilon_r C$ છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $U_{2,1} = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} \epsilon_r C V^2$ છે.
બીજા કેપેસિટર (અલગ થયેલ) માટે,વિદ્યુતભાર $Q = CV$ અચળ રહે છે. નવું કેપેસિટન્સ $C' = \epsilon_r C$ છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $U_{2,2} = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(CV)^2}{2 \epsilon_r C} = \frac{CV^2}{2 \epsilon_r}$ છે.
સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U_2 = U_{2,1} + U_{2,2} = \frac{1}{2} \epsilon_r C V^2 + \frac{CV^2}{2 \epsilon_r} = \frac{CV^2}{2} \left( \epsilon_r + \frac{1}{\epsilon_r} \right) = \frac{CV^2}{2} \left( \frac{\epsilon_r^2 + 1}{\epsilon_r} \right)$ છે.
ગુણોત્તર $U_1/U_2 = \frac{CV^2}{\frac{CV^2}{2} \left( \frac{\epsilon_r^2 + 1}{\epsilon_r} \right)} = \frac{2 \epsilon_r}{1 + \epsilon_r^2}$ થાય છે.

(A) ધારો કે પ્લેટો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d$ છે. વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E_0 d$ છે,જ્યાં $E_0$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર છે.
જ્યારે $t = 2\,mm$ જાડાઈ અને $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ મૂકવામાં આવે છે,અને પ્લેટનું અંતર $\Delta d = 1.6\,mm$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે નવું અંતર $d' = d + 1.6\,mm$ થાય છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહે છે. હવાના ગાળામાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ છે અને ડાયલેક્ટ્રિકમાં $E_0/K$ છે.
નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E_0(d' - t) + \frac{E_0}{K}t$ છે.
$V = E_0 d$ હોવાથી,આપણને મળે છે $E_0 d = E_0(d + 1.6 - 2) + \frac{E_0}{K}(2)$.
$E_0$ વડે ભાગતા,$d = d - 0.4 + \frac{2}{K}$ મળે છે.
$0.4 = \frac{2}{K}$.
$K = \frac{2}{0.4} = 5$.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
જ્યારે $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક અને $d$ જાડાઈ ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
નવી સંગ્રહિત ઉર્જા $U' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(KC)} = \frac{1}{K} \left( \frac{Q^2}{2C} \right) = \frac{U}{K}$ થાય છે.
તેથી,સ્લેબ દાખલ કર્યા પહેલા અને પછી સંગ્રહિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U}{U'} = K$ છે.

(B) ધારો કે દરેક સમાન કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે. જ્યારે તેમને $V_0$ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C/2$ થાય છે.
શરૂઆતમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = V_2 = V_0/2$ હોય છે.
જ્યારે એક કેપેસિટરને $K$ અચળાંક ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિકમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
બીજું કેપેસિટર $C$ જ રહે છે. કેપેસિટર્સ હજુ પણ શ્રેણીમાં છે.
$C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટર પરનો નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{other}$ વોલ્ટેજ ડિવાઇડરના નિયમ મુજબ:
$V_{other} = V_0 \left( \frac{C'}{C + C'} \right) = V_0 \left( \frac{KC}{C + KC} \right)$
$V_{other} = V_0 \left( \frac{KC}{C(1 + K)} \right) = \left( \frac{K}{K+1} \right) V_0$.

(C) ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં,વિદ્યુત સ્થાનાંતર ક્ષેત્ર $D$ સ્લેબમાં અચળ રહે છે કારણ કે પ્લેટો પરની સપાટી વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ સમાન રહે છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિકમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ $E = \frac{D}{K \epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t$ જાડાઈ ધરાવતી સ્લેબ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = E \cdot t = \frac{D \cdot t}{K \epsilon_0}$ છે.
બંને સ્લેબ માટે જાડાઈ $t$ સમાન હોવાથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $V \propto \frac{1}{K}$.
તેથી,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{K_2}{K_1}$.
આપેલ છે કે $K_1 = 2K_2$,તેથી $\frac{V_1}{V_2} = \frac{K_2}{2K_2} = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $V_2 = 2V_1$ અથવા $2V_1 = V_2$.

(D) હવાથી ભરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યાને $K=5$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિકથી અડધી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે તે શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે,જેમાં દરેકનું પ્લેટ અંતર $d/2$ છે.
પ્રથમ ભાગ (હવા) નું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = 2C$ છે.
બીજા ભાગ (ડાયઇલેક્ટ્રિક) નું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K \epsilon_0 A}{d/2} = 2KC = 2(5)C = 10C$ છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ માટે,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{2C} + \frac{1}{10C} = \frac{6}{10C} = \frac{3}{5C}$.
તેથી,$C_{eq} = \frac{5}{3}C \approx 1.67C$.
ટકાવારી વધારો $\frac{C_{eq} - C}{C} \times 100 = 67\%$ થાય.
*નોંધ: જો ડાયઇલેક્ટ્રિક પ્લેટોને સમાંતર ભરવામાં આવે (જેમ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે),તો ઉપરની ગણતરી લાગુ પડે છે. જો ડાયઇલેક્ટ્રિક પ્લેટોને લંબ ભરવામાં આવે,તો $C_{eq} = \frac{C}{2} + \frac{KC}{2} = 3C$ થાય,જે $200\%$ વધારો આપે છે. આપેલા વિકલ્પોને જોતા,આકૃતિ હોવા છતાં,અપેક્ષિત જવાબ $200\%$ છે,તેથી વિકલ્પ $D$ સાચો છે.*

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\varepsilon_{0} \varepsilon_{r} A}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર અડધું કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું અંતર $d' = \frac{d}{2}$ થાય છે.
જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક બમણો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $\varepsilon_{r}' = 2 \varepsilon_{r}$ થાય છે.
નવું કેપેસીટન્સ $C'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C' = \frac{\varepsilon_{0} \varepsilon_{r}' A}{d'} = \frac{\varepsilon_{0} (2 \varepsilon_{r}) A}{d/2}$.
આ પદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$C' = 4 \times \frac{\varepsilon_{0} \varepsilon_{r} A}{d} = 4C$.
તેથી,કેપેસીટન્સ મૂળ મૂલ્ય કરતા ચાર ગણું થઈ જશે.

(C) પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C$ છે અને પ્રારંભિક ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ છે,જ્યાં $Q$ એ પ્લેટો પરનો અચળ વિદ્યુતભાર છે.
જ્યારે $K = 6$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = KC = 6C$ થાય છે.
વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહેતો હોવાથી,નવી ઉર્જા $U' = \frac{Q^2}{2C'}$ દ્વારા મળે છે.
$C' = 6C$ મૂકતા,આપણને $U' = \frac{Q^2}{2(6C)} = \frac{1}{6} \left( \frac{Q^2}{2C} \right) = \frac{U}{6}$ મળે છે.
તેથી,નવી ઉર્જા $\frac{U}{6}$ અને નવું કેપેસીટન્સ $6C$ થશે.