Basic of Capacitor and type of capacitor (Spherical, Cylindrical) Questions in Gujarati

(C) આંતરિક ત્રિજ્યા $a$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $b$ ધરાવતા નળાકાર કેપેસિટર માટે,અક્ષથી $r$ અંતરે $(a < r < b)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.
$r$ ત્રિજ્યા અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા નળાકાર સ્વરૂપની ગૌસિયન સપાટી ધ્યાનમાં લો.
ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q = \lambda L$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,$\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$.
$E(2\pi r L) = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0}$.
આમ,$E = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}$.
આ દર્શાવે છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું મૂલ્ય અક્ષથી અંતર $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાય છે,એટલે કે $E \propto 1/r$.

(D) ધારો કે અંદરના ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $+Q$ છે.
બહારના ગોળાને અર્થિંગ કરેલ હોવાથી,તેનું સ્થિતિમાન $0$ છે.
અંદરના ગોળાનું સ્થિતિમાન $V$ એ તેના પોતાના વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાન અને બહારના ગોળા પર પ્રેરિત વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
$V = \frac{Q}{r_1} - \frac{Q}{r_2}$
અહીં $r_1 = 4\, cm$,$r_2 = 6\, cm$,અને $V = 3\, e.s.u.$ આપેલ છે.
$3 = \frac{Q}{4} - \frac{Q}{6}$
$3 = Q \left( \frac{3 - 2}{12} \right)$
$3 = \frac{Q}{12}$
$Q = 36\, e.s.u.$

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ગોળાકાર વાહકની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R^2} = k \frac{Q}{R^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $E_{max} = 3 \times 10^6 \, V/m$,$R = 3 \, m$,અને $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ આપેલ છે.
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $3 \times 10^6 = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{3^2}$.
$3 \times 10^6 = 9 \times 10^9 \times \frac{Q}{9}$.
$3 \times 10^6 = 10^9 \times Q$.
$Q = \frac{3 \times 10^6}{10^9} = 3 \times 10^{-3} \, C$.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
જ્યારે $8$ નાના ટીપાં જોડાઈને એક મોટું ટીપું બનાવે છે ત્યારે કદ સંરક્ષિત રહે છે:
$8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$8r^3 = R^3$
$R = 2r$
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ટીપાંનું કેપેસિટન્સ $C = 4 \pi \epsilon_0 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,નાના ટીપાંનું કેપેસિટન્સ $C_{small} = 4 \pi \epsilon_0 r$ છે.
મોટા ટીપાંનું કેપેસિટન્સ $C_{big} = 4 \pi \epsilon_0 R = 4 \pi \epsilon_0 (2r) = 2 \times (4 \pi \epsilon_0 r) = 2 C_{small}$ થાય.
આમ,મોટા ટીપાંનું કેપેસિટન્સ દરેક નાના ટીપાં કરતા $2$ ગણું છે.

(D) આપેલ છે: બે ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર $(b - a) = 1\,mm = 1 \times 10^{-3}\,m$ ..... $(i)$
ગોલીય કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{ab}{b - a} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $C = 1\,\mu F = 1 \times 10^{-6}\,F$ અને $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$1 \times 10^{-6} = \frac{1}{9 \times 10^9} \left( \frac{ab}{10^{-3}} \right)$
$ab = 9 \times 10^9 \times 10^{-6} \times 10^{-3} = 9$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,$a = b - 10^{-3}$ મળે છે.
$(ii)$ માં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$(b - 10^{-3})b = 9$
$b^2 - 10^{-3}b - 9 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b = \frac{10^{-3} + \sqrt{(10^{-3})^2 - 4(1)(-9)}}{2} = \frac{10^{-3} + \sqrt{10^{-6} + 36}}{2}$
અહીં $10^{-6}$ એ $36$ ની સરખામણીમાં અવગણ્ય છે,તેથી $\sqrt{36.000001} \approx 6$.
$b \approx \frac{0.001 + 6}{2} \approx 3.0005\,m \approx 3\,m$.
આમ,બહારના ગોળાની ત્રિજ્યા $3\,m$ છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $q$ વિદ્યુતભારિત ગોલીય વાહકની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}$
કેપેસિટન્સ $C$ એ વિદ્યુતભાર અને સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર છે:
$C = \frac{q}{V}$
$V$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$C = \frac{q}{\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$C = 4 \pi \varepsilon_{0} R$
આમ,ગોલીય વાહકની કેપેસિટન્સ $4 \pi \varepsilon_{0} R$ છે.

(A) ગોળીય કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$,જેની ત્રિજ્યા $a$ અને $b$ $(b > a)$ હોય અને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ હોય,તેનું સૂત્ર: $C = 4\pi \varepsilon_0 K \left( \frac{ab}{b - a} \right)$ છે.
આપેલ છે: $a = 9 \; cm = 9 \times 10^{-2} \; m$,$b = 12 \; cm = 12 \times 10^{-2} \; m$,$K = 6$,અને $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \; N \cdot m^2/C^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{6}{9 \times 10^9} \times \left( \frac{12 \times 10^{-2} \times 9 \times 10^{-2}}{12 \times 10^{-2} - 9 \times 10^{-2}} \right)$
$C = \frac{6}{9 \times 10^9} \times \left( \frac{108 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-2}} \right)$
$C = \frac{6}{9 \times 10^9} \times (36 \times 10^{-2})$
$C = \frac{216 \times 10^{-2}}{9 \times 10^9} = 24 \times 10^{-11} \; F$
$C = 240 \times 10^{-12} \; F = 240 \; pF$.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અલગ કરેલા ગોળાકાર વાહકનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C = 4\pi \varepsilon_0 r$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$,તેથી $4\pi \varepsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^9}$.
આપેલ છે કે $C = 1\,\mu F = 1 \times 10^{-6}\,F$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $1 \times 10^{-6} = \frac{r}{9 \times 10^9}$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $r = 1 \times 10^{-6} \times 9 \times 10^9 = 9 \times 10^3\,m$.
કિલોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $r = 9\,km$.

(D) આંતરિક ત્રિજ્યા $a$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $b$ ધરાવતા ભારિત ગોલીય કેપેસિટર માટે,કેન્દ્રથી $r$ અંતરે $(a < r < b)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ગૌસના નિયમ મુજબ $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $E \propto \frac{1}{r^2}$ હોવાથી,જેમ કેન્દ્રથી અંતર $r$ વધે છે તેમ વિદ્યુતક્ષેત્ર ઘટે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) જ્યારે બહારનો ગોળો અર્થિંગ કરેલો હોય,ત્યારે ગોલીય કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_1 = 4\pi \varepsilon_0 \frac{ab}{b - a}$
જ્યારે અંદરનો ગોળો અર્થિંગ કરેલો હોય,ત્યારે બહારનો ગોળો એક અલગ વાહક તરીકે વર્તે છે જેનું કેપેસિટન્સ $4\pi \varepsilon_0 b$ છે અને તે ગોલીય કેપેસિટર સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલું હોય છે. તેથી,કુલ કેપેસિટન્સ $C_2$ નીચે મુજબ થાય:
$C_2 = 4\pi \varepsilon_0 b + \frac{4\pi \varepsilon_0 ab}{b - a} = 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{b(b - a) + ab}{b - a} \right) = 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{b^2 - ab + ab}{b - a} \right) = 4\pi \varepsilon_0 \frac{b^2}{b - a}$
કેપેસિટન્સમાં તફાવત:
$C_2 - C_1 = 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{b^2}{b - a} - \frac{ab}{b - a} \right) = 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{b^2 - ab}{b - a} \right) = 4\pi \varepsilon_0 \frac{b(b - a)}{b - a} = 4\pi \varepsilon_0 b$

(C) ગોલીય કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$, જેની અંદરની ત્રિજ્યા $a$ અને બહારની ત્રિજ્યા $b$ હોય, તે $C = 4\pi\epsilon_0 \frac{ab}{b - a}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે, બહારના ગોળાની ત્રિજ્યા $b = R$.
ત્રિજ્યાઓનો તફાવત $b - a = x$ છે, તેથી અંદરની ત્રિજ્યા $a = R - x$ થશે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને $C = 4\pi\epsilon_0 \frac{(R - x)R}{x}$ મળે છે.
અહીં $4\pi\epsilon_0$ અચળાંક હોવાથી, કેપેસિટન્સ $C$ એ $\frac{R(R - x)}{x}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ટીપાનું કેપેસિટન્સ $C = 4\pi\epsilon_0 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા $n$ સમાન ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું એક મોટું ટીપું બનાવે છે, ત્યારે કદ સંરક્ષિત રહે છે.
તેથી, $n \times (\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$, જેનો અર્થ છે કે $R = n^{1/3}r$.
નવા ટીપાનું કેપેસિટન્સ $C' = 4\pi\epsilon_0 R = 4\pi\epsilon_0 (n^{1/3}r) = n^{1/3}C$ થાય.
$n = 2$ માટે, નવું કેપેસિટન્સ $C' = 2^{1/3}C$ થાય.
કારણ કે $1 < 2^{1/3} < 2$, તેથી પરિણામી કેપેસિટન્સ $C'$ એ $2C$ કરતા ઓછું પણ $C$ કરતા વધારે છે.

(C) અલગ કરેલા ગોળાકાર વાહકનું કેપેસીટન્સ $C$ જેની ત્રિજ્યા $R$ છે,તેનું સૂત્ર $C = 4\pi \varepsilon_0 R$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$,તેથી $4\pi \varepsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^9}$ થાય.
અહીં $C = 1/9\,F$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $R = \frac{C}{4\pi \varepsilon_0} = C \times (9 \times 10^9)$.
$R = (1/9) \times (9 \times 10^9) = 10^9\,m$.
તેથી,ગોળાની ત્રિજ્યા $10^9\,m$ છે.

(A) કોઈ પદાર્થની વિદ્યુતભાર સંગ્રહ કરવાની ક્ષમતાને કેપેસિટન્સ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$C = \frac{Q}{V}$
જ્યાં $Q$ એ પદાર્થ પરનો વિદ્યુતભાર છે અને $V$ એ વિદ્યુત સ્થિતિમાન છે.
તેથી,વિદ્યુતભાર અને સ્થિતિમાનના ગુણોત્તરને કેપેસિટન્સ કહેવામાં આવે છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલીય વાહકનું કેપેસીટન્સ $C = 4\pi \varepsilon_0 R$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $C = 1 \text{ pF} = 1 \times 10^{-12} \text{ F}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2/\text{C}^2$.
તેથી,$R = C \times (9 \times 10^9) = 10^{-12} \times 9 \times 10^9 = 9 \times 10^{-3} \text{ m}$.
વ્યાસ $D = 2R = 2 \times 9 \times 10^{-3} \text{ m} = 18 \times 10^{-3} \text{ m}$ થાય.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ $64$ નાના ટીપાના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 64 r^3$
$R = 4r$
ગોળાકાર ટીપાની કેપેસીટન્સ $C = 4 \pi \epsilon_0 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,મોટા ટીપાની કેપેસીટન્સ $C'$ નીચે મુજબ છે:
$C' = 4 \pi \epsilon_0 R = 4 \pi \epsilon_0 (4r) = 4(4 \pi \epsilon_0 r) = 4C$.
આમ,મોટા ટીપાની કેપેસીટન્સ $4C$ થશે.

(D) વાહકનું કેપેસિટન્સ $C$ એ $Q = CV$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $Q$ એ વીજભાર છે અને $V$ એ પોટેન્શિયલ છે.
જોકે,કેપેસિટન્સ $C$ એ વાહકનો ભૌમિતિક ગુણધર્મ છે.
તે વાહકના આકાર,કદ અને તેની આસપાસના માધ્યમ (ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક) પર આધાર રાખે છે.
તે વાહકને આપવામાં આવેલા વીજભાર $Q$ અથવા તેના પર વિકસિત પોટેન્શિયલ $V$ પર આધાર રાખતું નથી.
વધુમાં,વાહક માટે,કેપેસિટન્સ એ વાહકના પોતાના પદાર્થથી સ્વતંત્ર છે,કારણ કે વીજભાર સપાટી પર રહે છે.
તેથી,ક્ષમતા વીજભાર,વોલ્ટેજ અથવા પદાર્થના પ્રકાર પર આધાર રાખતી નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $R_1$ અને $R_2$ $(R_2 > R_1)$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે સમકેન્દ્રીય વાહક ગોળાઓથી બનેલા ગોળીય કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$C = 4\pi \varepsilon_0 \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}$
અહીં $4\pi \varepsilon_0$ એ અચળાંક હોવાથી,કેપેસિટન્સ એ $\frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}$ પદના પ્રમાણમાં છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) જ્યારે અંદરના ગોળા $A$ (ત્રિજ્યા $a$) ને અર્થિંગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું સ્થિતિમાન $V_A$ શૂન્ય થાય છે.
ધારો કે ગોળા $A$ પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે અને ગોળા $B$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ છે.
ગોળા $A$ નું સ્થિતિમાન $V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{a} + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{b} = 0$ છે.
આના પરથી,આપણને $q = -Q \frac{a}{b}$ મળે છે.
ગોળા $B$ નું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{b} + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{b}$ છે.
$V_B$ ના સમીકરણમાં $q = -Q \frac{a}{b}$ મૂકતા:
$V_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( -Q \frac{a}{b^2} + \frac{Q}{b} \right) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 b} \left( 1 - \frac{a}{b} \right) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 b} \left( \frac{b - a}{b} \right) = \frac{Q(b - a)}{4\pi \varepsilon_0 b^2}$.
કેપેસિટન્સ $C$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $C = \frac{Q}{V_B}$ છે.
તેથી,$C = \frac{Q}{\frac{Q(b - a)}{4\pi \varepsilon_0 b^2}} = \frac{4\pi \varepsilon_0 b^2}{b - a}$.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અલગ કરેલા ગોળીય વાહકનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C = 4\pi \epsilon_0 R$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કુલંબ અચળાંક $k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ છે.
તેથી,$4\pi \epsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^9} \, F/m$ થાય.
અહીં $R = 1 \, m$ આપેલ છે,કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{1}{9 \times 10^9} \times 1 = 0.111 \times 10^{-9} \, F = 1.11 \times 10^{-10} \, F$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ સૂત્ર $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\varepsilon_0$ એ મુક્ત અવકાશની વિદ્યુત પરમિટિવિટી છે,$A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
$\varepsilon_0$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે $\varepsilon_0 = \frac{C \cdot d}{A}$.
એકમો મૂકતા: કેપેસિટન્સ $C$ નો એકમ $Farad$ $(F)$ છે,અંતર $d$ નો એકમ $m$ છે અને ક્ષેત્રફળ $A$ નો એકમ $m^2$ છે.
તેથી,$\varepsilon_0$ નો એકમ $= \frac{F \cdot m}{m^2} = F/m$ થાય છે.

(C) ધારો કે મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે અને તેનું કેપેસીટન્સ $C = 4\pi\epsilon_0 R = 1\,\mu F$ છે.
ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે. કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાંનું કદ એ $8$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$ અથવા $r = R/2$.
દરેક નાના ટીપાંનું કેપેસીટન્સ $c = 4\pi\epsilon_0 r$ છે.
$r = R/2$ મૂકતા,આપણને $c = 4\pi\epsilon_0 (R/2) = C/2$ મળે છે.
$C = 1\,\mu F$ આપેલ હોવાથી,દરેક નાના ટીપાંનું કેપેસીટન્સ $c = 1/2 = 0.5\,\mu F$ થાય.

(A) કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ એ બે પ્લેટોના પોટેન્શિયલના તફાવત તરીકે ગણવામાં આવે છે.
$V = V_1 - V_2 = 10\,V - (-10\,V) = 20\,V$.
પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $(Q)$ $40\,C$ આપેલ છે.
કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $(C)$ એ સૂત્ર $C = \frac{Q}{V}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $C = \frac{40\,C}{20\,V} = 2\,F$ મળે છે.

(A) અને $b$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 4\pi \varepsilon_0 \frac{ab}{b - a}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં કવચ $A$ ને અર્થિંગ કરેલ હોવાથી,તેનું સ્થિતિમાન $V_A = 0$ થાય છે.
કવચ $B$ નું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{b} + \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_A}{b}$ છે,જ્યાં $q_A$ એ કવચ $A$ પર પ્રેરિત વિદ્યુતભાર છે.
ગ્રાઉન્ડેડ આંતરિક કવચ માટે,કેપેસિટન્સ એ બાહ્ય કવચ પરના વિદ્યુતભાર અને બંને કવચ વચ્ચેના સ્થિતિમાનના તફાવતનો ગુણોત્તર છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = V_B - V_A = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$ છે.
તેથી,$C = \frac{Q}{V} = \frac{4\pi \varepsilon_0}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = 4\pi \varepsilon_0 \frac{ab}{b - a}$.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ એ સૂત્ર $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે (જે કદ સાથે સંબંધિત છે),$d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે (જે જાડાઈ સાથે સંબંધિત છે),અને $\epsilon_0$ (અથવા $\epsilon$) એ પ્લેટો વચ્ચેના ડાયલેક્ટ્રિક દ્રવ્ય પર આધાર રાખે છે. આ તમામ પરિબળો કેપેસિટન્સને અસર કરતા હોવાથી,સાચો જવાબ એ છે કે તે ઉપરના બધા જ પરિબળો પર આધાર રાખે છે.

(D) $R_1$ અને $R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે સમકેન્દ્રી વાહક ગોળાઓ (જ્યાં $R_2 > R_1$) થી બનતા ગોળીય કેપેસિટરનો કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$C = 4 \pi \varepsilon_0 \frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}$
અહીં,$4 \pi \varepsilon_0$ એ અચળાંક છે.
તેથી,કેપેસિટન્સ $C$ એ $\frac{R_1 R_2}{R_2 - R_1}$ પદના સમપ્રમાણમાં છે.

(D) આપેલ છે કે ગોળાનો પરિઘ $2\pi R = 2 \ m$ છે.
તેથી,$R = \frac{1}{\pi} \ m$.
માધ્યમમાં ગોળાકાર વાહકનું કેપેસીટન્સ $C = 4\pi \varepsilon_0 K R$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,તેથી $4\pi \varepsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^9}$.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{1}{9 \times 10^9} \times 80 \times \frac{1}{\pi}$.
$C = \frac{80}{9 \times 3.14159 \times 10^9} \approx 2.828 \times 10^{-9} \ F$.
$pF$ માં રૂપાંતર કરતા $(1 \ F = 10^{12} \ pF)$: $C = 2.828 \times 10^{-9} \times 10^{12} \ pF = 2828 \ pF$.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ અને વિદ્યુતભાર $q$ છે. નાના ટીપાનું કેપેસિટન્સ $C_s = 4 \pi \epsilon_0 r$ છે.
જ્યારે $n = 8$ ટીપાં ભેગા થાય છે, ત્યારે કદ અચળ રહે છે. તેથી, $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$, જે પરથી $R = n^{1/3} r$ મળે છે.
$n = 8$ માટે, $R = 8^{1/3} r = 2r$.
મોટા ટીપાનું કેપેસિટન્સ $C_L = 4 \pi \epsilon_0 R = 4 \pi \epsilon_0 (2r) = 2 C_s$ થાય.
આમ, મોટા ટીપાનું કેપેસિટન્સ નાના ટીપા કરતા $2$ ગણું છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અલગ કરેલા ગોળાકાર વાહકનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C = 4\pi \epsilon_0 R$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
તેથી,$4\pi \epsilon_0 = \frac{1}{9 \times 10^9} \ F/m$.
અહીં $R = 1 \ m$ આપેલ છે,કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{1}{9 \times 10^9} \times 1 \ F$.
$C = 0.111 \times 10^{-9} \ F = 1.11 \times 10^{-10} \ F$.

(B) વાહકનું કેપેસિટન્સ $C$ એ સૂત્ર $C = \frac{Q}{V}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $Q = 50\ \mu C = 50 \times 10^{-6}\ C$
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 5\, V$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{50\ \mu C}{5\, V} = 10\ \mu F$.

(C) ધારો કે મોટા બુંદની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના બુંદની ત્રિજ્યા $r$ છે. ગોળાકાર બુંદનું કેપેસીટન્સ $C = 4 \pi \epsilon_0 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મોટા બુંદનું કદ $8$ નાના બુંદના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $R^3 = 8 r^3$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $R = 2r$.
મોટા બુંદનું કેપેસીટન્સ $C = 4 \pi \epsilon_0 R = 1 \ \mu F$ છે.
દરેક નાના બુંદનું કેપેસીટન્સ $c = 4 \pi \epsilon_0 r$ છે.
$r = R/2$ મૂકતા,આપણને $c = 4 \pi \epsilon_0 (R/2) = C/2$ મળે છે.
તેથી,$c = 1 \ \mu F / 2 = 0.5 \ \mu F$.

(B) સ્થળાંતરિત થયેલ વિદ્યુતભાર $Q = ne$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 6.25 \times 10^{15}$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ છે.
$Q = (6.25 \times 10^{15}) \times (1.6 \times 10^{-19}) = 10 \times 10^{-4} = 10^{-3} \, C$.
કેપેસિટન્સ $C$ નું સૂત્ર $C = \frac{Q}{V}$ છે.
અહીં $V = 100 \, V$ આપેલ છે,તેથી $C = \frac{10^{-3}}{100} = 10^{-5} \, F$.
તેને $\mu F$ માં ફેરવતા,$C = 10^{-5} \times 10^6 \, \mu F = 10 \, \mu F$ મળે છે.

(B) અને $b$ $(b > a)$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $k$ ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમથી ભરેલા ગોળાકાર કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$C = \frac{4\pi \epsilon_0 k ab}{b - a}$
આપેલ છે: $a = 0.5 \ m$,$b = 0.6 \ m$,$k = 6$,અને $\frac{1}{4\pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{6 \times 0.5 \times 0.6}{9 \times 10^9 \times (0.6 - 0.5)}$
$C = \frac{1.8}{9 \times 10^9 \times 0.1}$
$C = \frac{1.8}{0.9 \times 10^9}$
$C = 2 \times 10^{-9} \ F$.

(D) નળાકારીય કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{2\pi \varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ લંબાઈ છે,$b$ એ બાહ્ય ત્રિજ્યા છે અને $a$ એ આંતરિક ત્રિજ્યા છે.
કેપેસિટન્સ $C$ અચળ હોવાથી,$L \propto \ln(b/a)$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યાઓ $a_1$ અને $b_1$ છે,જ્યાં $b_1/a_1 = 10$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,નવી આંતરિક ત્રિજ્યા $a_2 = a_1/2$ છે. બાહ્ય ત્રિજ્યા $b_2$ એ $b_1$ જેટલી જ રહે છે (એટલે કે $b_2 = b_1 = 10a_1$).
તેથી,નવો ગુણોત્તર $b_2/a_2 = (10a_1) / (a_1/2) = 20$ થાય.
કેપેસિટન્સ સમાન લેતા: $L_1 \ln(b_1/a_1) = L_2 \ln(b_2/a_2)$.
તેથી,લંબાઈનો ગુણોત્તર $L_2/L_1 = \frac{\ln(b_1/a_1)}{\ln(b_2/a_2)}$ એ ખોટું છે,સાચું સૂત્ર $L_2/L_1 = \frac{\ln(b_2/a_2)}{\ln(b_1/a_1)}$ છે.
$L_2/L_1 = \frac{\ln(20)}{\ln(10)} = \frac{2.995}{2.302} \approx 1.301$.
આમ,લંબાઈમાં આશરે $1.3$ ગણો વધારો કરવો જોઈએ.

(A) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 15\,cm = 0.15\,m$,આંતરિક ત્રિજ્યા $a = 1.4\,cm = 0.014\,m$,બાહ્ય ત્રિજ્યા $b = 1.5\,cm = 0.015\,m$,વિદ્યુતભાર $q = 3.5\,\mu C = 3.5 \times 10^{-6}\,C$.
નળાકારીય કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{2\pi \epsilon_0 l}{\ln(b/a)} = \frac{2\pi \epsilon_0 l}{2.303 \log_{10}(b/a)}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{2 \times 3.14159 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 0.15}{2.303 \times \log_{10}(1.5/1.4)} \approx \frac{8.345 \times 10^{-12}}{2.303 \times 0.0299} \approx 1.21 \times 10^{-10}\,F$.
અર્થિંગ કરેલા બાહ્ય નળાકારની સાપેક્ષમાં અંદરના નળાકારનું સ્થિતિમાન $V = \frac{q}{C}$ છે.
$V = \frac{3.5 \times 10^{-6}}{1.21 \times 10^{-10}} \approx 2.89 \times 10^4\,V$.

(B) ગોળીય કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 4\pi \varepsilon_0 \frac{ab}{b - a}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે $= 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$.
બાહ્ય ત્રિજ્યા $b$ એ સ્ટ્રેટોસ્ફિયર સુધીનું અંતર છે $= 6400 \ km + 50 \ km = 6450 \ km = 6.45 \times 10^6 \ m$.
આપેલ છે કે $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{1}{9 \times 10^9} \times \frac{(6.4 \times 10^6) \times (6.45 \times 10^6)}{6.45 \times 10^6 - 6.4 \times 10^6}$
$C = \frac{1}{9 \times 10^9} \times \frac{41.28 \times 10^{12}}{0.05 \times 10^6}$
$C = \frac{41.28 \times 10^{12}}{9 \times 10^9 \times 0.05 \times 10^6} = \frac{41.28 \times 10^{12}}{0.45 \times 10^{15}} \approx 0.0917 \ F \approx 0.09 \ F$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અલગ ગોળાકાર વાહકનું કેપેસિટન્સ $C$ સૂત્ર $C = 4\pi \varepsilon_0 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,મુક્ત અવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ ને $\varepsilon_0 = \frac{C}{4\pi R}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
કેપેસિટન્સ $C$ નો એકમ $Farad$ $(F)$ છે અને ત્રિજ્યા $R$ નો એકમ $meter$ $(m)$ હોવાથી,$\varepsilon_0$ નો એકમ $Farad / meter$ $(F/m)$ થાય છે.

(C) વાહકની વિદ્યુતભાર ધારણ કરવાની ક્ષમતા તેની કેપેસિટન્સ (capacitance) પર આધાર રાખે છે। $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર વાહક માટે, કેપેસિટન્સ $C = 4 \pi \epsilon_0 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
ઘન ગોળો અને પોલો ગોળો બંને સમાન ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતા હોવાથી, તેમનું કેપેસિટન્સ સમાન હોય છે।
વધુમાં, વિદ્યુતભારિત વાહક માટે, વિદ્યુતભાર સંપૂર્ણપણે વાહકની બહારની સપાટી પર જ રહે છે।
તેથી, બંને ગોળાઓ વિદ્યુતભાર ધારણ કરવાની સમાન ક્ષમતા ધરાવે છે।

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$8$ નાના ટીપાનું કુલ કદ એ મોટા ટીપાના કદ જેટલું થાય:
$8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$.
ગોળાકાર ટીપાનું કેપેસિટન્સ $C = 4 \pi \epsilon_0 r$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોટા ટીપા માટે,કેપેસિટન્સ $C' = 4 \pi \epsilon_0 R = 4 \pi \epsilon_0 (2r) = 2 \times (4 \pi \epsilon_0 r) = 2C$.
તેથી,મોટા ટીપાનું કેપેસિટન્સ $2C$ થશે.

(B) ધારો કે અંદરની કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1$ અને બહારની કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2$ છે.
અંદરની કવચ $(R_1)$ પરનો વોલ્ટેજ $V_1 = \frac{k Q_1}{R_1} + \frac{k Q_2}{R_2}$ છે.
બહારની કવચ $(R_2)$ પરનો વોલ્ટેજ $V_2 = \frac{k Q_1}{R_2} + \frac{k Q_2}{R_2}$ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $V_1 - V_2 = k Q_1 (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = k Q_1 \frac{R_2 - R_1}{R_1 R_2}$.
તેથી,$k Q_1 = \frac{(V_1 - V_2) R_1 R_2}{R_2 - R_1}$.
$x$ અંતરે $(R_1 < x < R_2)$ વોલ્ટેજ $V(x) = \frac{k Q_1}{x} + \frac{k Q_2}{R_2}$ છે.
$V_2 = \frac{k Q_1}{R_2} + \frac{k Q_2}{R_2}$ હોવાથી,$\frac{k Q_2}{R_2} = V_2 - \frac{k Q_1}{R_2}$ મળે.
આ કિંમત $V(x)$ માં મૂકતા: $V(x) = k Q_1 (\frac{1}{x} - \frac{1}{R_2}) + V_2 = k Q_1 \frac{R_2 - x}{x R_2} + V_2$.
$k Q_1$ ની કિંમત મૂકતા: $V(x) = \frac{(V_1 - V_2) R_1 R_2}{R_2 - R_1} \cdot \frac{R_2 - x}{x R_2} + V_2$.
સાદું રૂપ આપતા: $V(x) = \frac{V_1 R_1 (R_2 - x) + V_2 R_2 (x - R_1)}{x (R_2 - R_1)}$.

(C) કિસ્સો $1$: જ્યારે $b$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બહારની કવચ ગ્રાઉન્ડ કરેલી હોય,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C_1$ નું સૂત્ર: $C_1 = 4\pi \varepsilon_0 \frac{ab}{b-a}$ થાય.
કિસ્સો $2$: જ્યારે $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અંદરની કવચ ગ્રાઉન્ડ કરેલી હોય,ત્યારે આ તંત્ર સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટર જેવું વર્તે છે: અંદરની કવચ અને બહારની કવચ ($b$ ત્રિજ્યાનો ગોળો). કુલ કેપેસિટન્સ $C_2$ એ બહારની કવચનું કેપેસિટન્સ $(4\pi \varepsilon_0 b)$ અને બંને વચ્ચેનું મ્યુચ્યુઅલ કેપેસિટન્સ $(4\pi \varepsilon_0 \frac{ab}{b-a})$ નો સરવાળો છે. તેથી,$C_2 = 4\pi \varepsilon_0 b + 4\pi \varepsilon_0 \frac{ab}{b-a} = 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{b^2 - ab + ab}{b-a} \right) = 4\pi \varepsilon_0 \frac{b^2}{b-a}$ થાય.
તફાવત $C_2 - C_1 = 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{b^2}{b-a} - \frac{ab}{b-a} \right) = 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{b(b-a)}{b-a} \right) = 4\pi \varepsilon_0 b$ મળે.

(B) ડાયઇલેક્ટ્રિક માધ્યમ ધરાવતા ગોલીય કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = K \cdot 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1} \right)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $r_1 = 9 \times 10^{-2}\,m$,$r_2 = 10 \times 10^{-2}\,m$,$K = 6$,અને $q = 18 \times 10^{-9}\,C$.
કિંમતો મૂકતા: $C = 6 \times \frac{1}{9 \times 10^9} \times \left( \frac{9 \times 10^{-2} \times 10 \times 10^{-2}}{10 \times 10^{-2} - 9 \times 10^{-2}} \right)$.
$C = \frac{6}{9 \times 10^9} \times \left( \frac{90 \times 10^{-4}}{1 \times 10^{-2}} \right) = \frac{6}{9 \times 10^9} \times 90 \times 10^{-2} = 6 \times 10^{-10}\,F$.
અર્થિંગ કરેલા બહારના ગોળાની સાપેક્ષમાં અંદરના ગોળાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{q}{C}$ થશે.
$V = \frac{18 \times 10^{-9}}{6 \times 10^{-10}} = 3 \times 10 = 30\,V$.

(B) ત્રિજ્યા ધરાવતા અલગ કરેલા વાહક ગોળાનું કેપેસિટન્સ $C_0 = 4\pi \varepsilon_0 a$ છે.
જ્યારે આ ગોળાને $b$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અર્થિંગ કરેલા સમકેન્દ્રી ગોળા દ્વારા આવરી લેવામાં આવે $(b > a)$,ત્યારે આ તંત્ર ગોળીય કેપેસિટર તરીકે વર્તે છે.
ગોળીય કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 4\pi \varepsilon_0 \left( \frac{ab}{b-a} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે તેને $C = 4\pi \varepsilon_0 a \left( \frac{b}{b-a} \right)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
અંશ અને છેદને $a$ વડે ભાગતા,આપણને $C = 4\pi \varepsilon_0 a \left( \frac{b/a}{b/a - 1} \right)$ મળે છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{b}{a} = n$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$C = (4\pi \varepsilon_0 a) \left( \frac{n}{n-1} \right) = C_0 \left( \frac{n}{n-1} \right)$.
આમ,કેપેસિટન્સ $\frac{n}{n-1}$ ના અવયવ જેટલું વધશે.

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટરો ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે તેમાંથી કોઈ વિદ્યુતપ્રવાહ વહેતો નથી.
બધી શાખાઓ બેટરીના $EMF$ $E$ સાથે સમાંતર જોડાયેલી હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બેટરીના $EMF$ $E$ જેટલો જ હોય છે.
પ્રથમ કેપેસિટર $(C_1 = C)$ માં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q_1 = C \times E$ છે.
$n^{th}$ કેપેસિટર $(C_n = nC)$ માં સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q_n = (nC) \times E$ છે.
તેથી,પ્રથમ કેપેસિટર અને $n^{th}$ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુતભારનો ગુણોત્તર $\frac{Q_1}{Q_n} = \frac{CE}{nCE} = \frac{1}{n}$ થાય છે.

(C) જ્યારે બે વાહક ગોળીય કવચોને વાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ સમાન સ્થિતિમાન પ્રાપ્ત કરે છે.
અંદરના કવચને બહારના કવચ સાથે જોડવામાં આવતું હોવાથી,તંત્રને આપવામાં આવેલો સમગ્ર વિદ્યુતભાર બહારના કવચની બહારની સપાટી પર જમા થાય છે.
આમ,આ તંત્ર $b$ ત્રિજ્યા ધરાવતા એક અલગ ગોળીય વાહક જેવું વર્તે છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અલગ ગોળીય વાહકનું કેપેસિટન્સ $C = 4 \pi \varepsilon_0 R$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,આપેલ તંત્ર માટે કેપેસિટન્સ $C = 4 \pi \varepsilon_0 b$ થશે.

(B) મોટા અંતર $L$ માટે,ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરને વિદ્યુત ડાયપોલ તરીકે ગણી શકાય.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની ડાયપોલ મોમેન્ટ $p$ એ $p = qd$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ પ્લેટો પરનો ચાર્જ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે. આમ,$p \propto d$.
$L$ અંતરે રહેલા બે ડાયપોલ વચ્ચે લાગતું આંતરક્રિયા બળ $F$ એ $F \propto \frac{p_1 p_2}{L^4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$p \propto d$ મૂકતા,આપણને મળે છે $F \propto \frac{d \cdot d}{L^4} = \frac{d^2}{L^4}$.
તેથી,આંતરક્રિયા બળ $d^2/L^4$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) વિવિધ રચનાઓ માટે કેપેસીટન્સના સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$1$. $\ell$ લંબાઈ અને $r_1, r_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નળાકાર કેપેસિટર માટે,કેપેસીટન્સ $C = \frac{2\pi \epsilon_0 \ell}{\ln(r_2/r_1)}$ છે. તેથી,$A \rightarrow iii$.
$2$. $r_1$ આંતરિક ત્રિજ્યા અને $r_2$ બાહ્ય ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોલીય કેપેસિટર માટે,કેપેસીટન્સ $C = \frac{4\pi \epsilon_0 r_1 r_2}{r_2 - r_1}$ છે. તેથી,$B \rightarrow iv$.
$3$. $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,કેપેસીટન્સ $C = \frac{K A \epsilon_0}{d}$ છે. તેથી,$C \rightarrow ii$.
$4$. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અલગ કરેલ ગોલીય વાહક માટે,કેપેસીટન્સ $C = 4\pi \epsilon_0 R$ છે. તેથી,$D \rightarrow i$.
આમ,સાચી જોડ $A-(iii), B-(iv), C-(ii), D-(i)$ છે.

(D) ગોળાકાર વાહકનું કેપેસિટન્સ $C = 4 \pi \epsilon_0 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C = 1 \, F$ માટે,જરૂરી ત્રિજ્યા $r = \frac{C}{4 \pi \epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, m$ છે.
આ ત્રિજ્યા પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $(6.4 \times 10^6 \, m)$ કરતા આશરે $1500$ ગણી મોટી છે,તેથી આવો ગોળો બનાવવો ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
તેથી,વિધાન $1$ સાચું છે.
વિધાન $2$ દાવો કરે છે કે પૃથ્વી માટે તે શક્ય છે,પરંતુ પૃથ્વીનું કેપેસિટન્સ માત્ર $C = 4 \pi \epsilon_0 R_e \approx 711 \, \mu F$ છે,જે $1 \, F$ કરતા ઘણું ઓછું છે.
આમ,વિધાન $2$ ખોટું છે.

(B) ધારો કે અલગ કરેલા ગોળાની ત્રિજ્યા $a$ છે અને અર્થિંગ કરેલા ગોળાની ત્રિજ્યા $b$ છે.
અલગ કરેલા ગોળાની કેપેસીટન્સ $C = 4 \pi \epsilon_0 a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે આ ગોળાને $b$ ત્રિજ્યાના અર્થિંગ કરેલા સમકેન્દ્રિત ગોળા દ્વારા ઘેરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કેપેસીટન્સ $C' = \frac{4 \pi \epsilon_0 a b}{b - a}$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ક્ષમતા $n$ ગણી વધે છે,તેથી $C' = nC$.
સમીકરણો મૂકતા,$n(4 \pi \epsilon_0 a) = \frac{4 \pi \epsilon_0 a b}{b - a}$.
બંને બાજુ $4 \pi \epsilon_0 a$ વડે ભાગતા,આપણને $n = \frac{b}{b - a}$ મળે છે.
સમીકરણને ગોઠવતા: $n(b - a) = b$,જેનો અર્થ છે $nb - na = b$.
$b$ વાળા પદોને એકસાથે લેતા: $nb - b = na$,અથવા $b(n - 1) = na$.
તેથી,તેમની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{b}{a} = \frac{n}{n - 1}$ છે.

(B) વોલ્ટમીટર ડાબી બાજુના બે કેપેસિટર સાથે જોડાયેલું છે. આ બે કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,દરેક પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $200\,V$ છે.
આપેલ છે,કેપેસિટન્સ $C = 25\,\mu F = 25 \times 10^{-6}\,F$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 200\,V$.
કેપેસિટરની દરેક પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$Q = \pm CV$
કિંમતો મૂકતા:
$Q = \pm (25 \times 10^{-6}\,F) \times (200\,V)$
$Q = \pm 5000 \times 10^{-6}\,C$
$Q = \pm 5 \times 10^{-3}\,C$