Effect of Dielectric Inside Capacitor Questions in Gujarati

(B) જ્યારે કેપેસિટરને બેટરીથી અલગ કર્યા પછી તેમાં ડાયઇલેક્ટ્રિક દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
$1$. નવું કેપેસીટન્સ $C' = KC$ થાય છે,જ્યાં $K > 1$.
$2$. વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ હોવાથી,નવું પોટેન્શિયલ $V' = Q/C' = Q/(KC) = V/K$ થાય છે. $K > 1$ હોવાથી,$V' < V$,એટલે કે પોટેન્શિયલ ઘટે છે.
$3$. નવી ઉર્જા $E' = Q^2 / (2C') = Q^2 / (2KC) = E/K$ થાય છે. $K > 1$ હોવાથી,$E' < E$,એટલે કે ઉર્જા ઘટે છે.
તેથી,$V$ અને $E$ બંને ઘટે છે.

(A) હવા માધ્યમ ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$ થાય છે.
આપેલ છે કે કેપેસીટન્સમાં $50 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી નવું કેપેસીટન્સ $C' = C_0 + 0.5 C_0 = 1.5 C_0 = \frac{3}{2} C_0$ છે.
સમીકરણો મૂકતા,$\frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}} = \frac{3}{2} \frac{\epsilon_0 A}{d}$ મળે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{d - t + \frac{t}{3}} = \frac{3}{2d}$ મળે છે.
ગુણાકાર કરતા $2d = 3(d - t + \frac{t}{3}) = 3(d - \frac{2t}{3}) = 3d - 2t$ મળે છે.
$t$ માટે ગોઠવતા,$2t = 3d - 2d = d$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = \frac{d}{2}$.

(D) શરૂઆતમાં,બંને કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે અને તેઓ સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. તેથી,પ્રારંભિક સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq,i} = C + C = 2C$ થાય.
જ્યારે એક કેપેસિટરને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા પદાર્થથી ભરવામાં આવે,ત્યારે તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે. બીજું કેપેસિટર $C$ જ રહે છે.
સમાંતર જોડાણનું નવું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq,f} = KC + C = C(K+1)$ થાય.
અસરકારક કેપેસિટન્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta C = C_{eq,f} - C_{eq,i} = C(K+1) - 2C = CK + C - 2C = C(K-1)$ છે.

(C) ધારો કે પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. હવાના કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_p = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે જગ્યાને $d/2$ જાડાઈના બે સમાંતર ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્તરોથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ તરીકે વર્તે છે.
$C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_1 \epsilon_0 A}{d} = 2 K_1 C_p$.
$C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_2 \epsilon_0 A}{d} = 2 K_2 C_p$.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_K$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_K} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$.
$\frac{1}{C_K} = \frac{1}{2 K_1 C_p} + \frac{1}{2 K_2 C_p} = \frac{1}{2 C_p} \left( \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \right) = \frac{1}{2 C_p} \left( \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2} \right)$.
તેથી,$C_K = \frac{2 C_p K_1 K_2}{K_1 + K_2}$.
ગુણોત્તર $\frac{C_p}{C_K} = \frac{C_p}{\frac{2 C_p K_1 K_2}{K_1 + K_2}} = \frac{K_1 + K_2}{2 K_1 K_2}$.

(B) $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબવાળા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$.
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 50 \ cm^2 = 50 \times 10^{-4} \ m^2 = 5 \times 10^{-3} \ m^2$.
અંતર $d = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$.
ડાયલેક્ટ્રિકની જાડાઈ $t = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$.
ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = 4$.
કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{\epsilon_0 (5 \times 10^{-3})}{3 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3} + \frac{1 \times 10^{-3}}{4}}$
$C = \frac{\epsilon_0 (5 \times 10^{-3})}{2 \times 10^{-3} + 0.25 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{\epsilon_0 (5 \times 10^{-3})}{2.25 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{5 \epsilon_0}{2.25} = \frac{5 \epsilon_0}{9/4} = \frac{20 \epsilon_0}{9}$.

(C) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $t = \frac{2d}{3}$ જાડાઈની વાહક શીટ પ્લેટોની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અસરકારક અંતર ઘટે છે.
નવું કેપેસીટન્સ $C_1$ એ $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d - t}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$t = \frac{2d}{3}$ ની કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d - \frac{2d}{3}} = \frac{\epsilon_0 A}{\frac{d}{3}} = 3 \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right)$.
કારણ કે $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$,તેથી $C_1 = 3C$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{C_1}{C} = 3:1$ થાય છે.

(A) હવા ભરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે,જ્યાં $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ જગ્યા ભરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટરને સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટર તરીકે જોઈ શકાય છે.
એક ભાગમાં $A/2$ ક્ષેત્રફળમાં હવા છે,અને બીજા ભાગમાં $A/2$ ક્ષેત્રફળમાં $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું માધ્યમ છે.
હવા ભરેલા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{C_0}{2}$ છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક ભરેલા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K \epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{K C_0}{2}$ છે.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,નવું કેપેસિટન્સ $C_n = C_1 + C_2 = \frac{C_0}{2} + \frac{K C_0}{2} = C_0 \left(\frac{K+1}{2}\right)$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{C_n}{C_0} = \frac{K+1}{2}$ મળે છે.

(B) હવાના કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 1 \mu F$ છે.
આકૃતિ પરથી,બે ડાયલેક્ટ્રિક્સ સમાંતરમાં મૂકવામાં આવ્યા છે,જેમાંથી દરેક પ્લેટના અડધા ક્ષેત્રફળ $(A_1 = A_2 = A/2)$ ને રોકે છે અને પ્લેટો વચ્ચેનું સંપૂર્ણ અંતર $d$ ધરાવે છે.
બે ભાગોનું કેપેસિટન્સ નીચે મુજબ છે:
$C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 (A/2)}{d} = K_1 \frac{C_0}{2} = 8 \times \frac{1}{2} = 4 \mu F$
$C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 (A/2)}{d} = K_2 \frac{C_0}{2} = 4 \times \frac{1}{2} = 2 \mu F$
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 4 \mu F + 2 \mu F = 6 \mu F$ થાય.

(C) આ સિસ્ટમને શ્રેણી જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટર તરીકે જોઈ શકાય છે: એક ડાયલેક્ટ્રિક સાથે અને બીજું હવાના ગાળા સાથે.
$C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{t} = \frac{5 \varepsilon_0 \times 40 \times 10^{-4}}{1 \times 10^{-3}} = 20 \varepsilon_0 \ F$
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d-t} = \frac{\varepsilon_0 \times 40 \times 10^{-4}}{1 \times 10^{-3}} = 4 \varepsilon_0 \ F$
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{20 \varepsilon_0} + \frac{1}{4 \varepsilon_0}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1 + 5}{20 \varepsilon_0} = \frac{6}{20 \varepsilon_0} = \frac{3}{10 \varepsilon_0}$
$C_{eq} = \frac{10}{3} \varepsilon_0 \ F$

(C) હવા ભરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે, કેપેસિટન્સ $C = \frac{A \varepsilon_0}{d} = 9 \text{ pF}$ છે.
જ્યારે જગ્યાને $d_1$ અને $d_2$ જાડાઈના ડાયલેક્ટ્રિક્સ વડે ભરવામાં આવે છે, ત્યારે આ સિસ્ટમ શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે વર્તે છે.
પ્રથમ ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K_1 A \varepsilon_0}{d_1} = \frac{3 A \varepsilon_0}{d/3} = 9 \frac{A \varepsilon_0}{d} = 9C = 9 \times 9 \text{ pF} = 81 \text{ pF}$ છે.
બીજા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K_2 A \varepsilon_0}{d_2} = \frac{6 A \varepsilon_0}{2d/3} = 9 \frac{A \varepsilon_0}{d} = 9C = 9 \times 9 \text{ pF} = 81 \text{ pF}$ છે.
કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી, સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{\text{eq}}$ એ $\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ દ્વારા મળે છે.
$C_{\text{eq}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{81 \times 81}{81 + 81} = \frac{81}{2} = 40.5 \text{ pF}$.

(A) જ્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે ડાયઇલેક્ટ્રિક પદાર્થ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું ધ્રુવીભવન (polarization) થાય છે. આ ધ્રુવીભવન એક આંતરિક વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે જે પ્લેટો પરના વીજભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતા બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રનો વિરોધ કરે છે. પરિણામે,પ્લેટો વચ્ચેનું ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઘટે છે. પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સાથે $V = E \cdot d$ (જ્યાં $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે) દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઘટાડો થવાથી આપેલ વીજભાર $Q$ માટે પ્લેટો વચ્ચેના પોટેન્શિયલ તફાવતમાં ઘટાડો થાય છે. પરિણામે,કેપેસિટન્સ $C = Q/V$ વધે છે.

(A) સમાંતર પ્લેટ હવાના કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 1 \mu F$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિ પરથી,દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ બે અડધા ભાગમાં ($A/2$ અને $A/2$) વહેંચાયેલું છે,જ્યારે અંતર $d$ બંને માટે સમાન રહે છે. આ ગોઠવણી સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટર દર્શાવે છે.
પ્રથમ ડાયલેક્ટ્રિક $(K_1 = 4)$ માટે:
$C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 (A/2)}{d} = K_1 \times \frac{1}{2} \times C = 4 \times 0.5 \times 1 \mu F = 2 \mu F$.
બીજા ડાયલેક્ટ્રિક $(K_2 = 2)$ માટે:
$C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 (A/2)}{d} = K_2 \times \frac{1}{2} \times C = 2 \times 0.5 \times 1 \mu F = 1 \mu F$.
કેપેસિટર સમાંતરમાં હોવાથી,અસરકારક કેપેસિટન્સ:
$C_{\text{eff}} = C_1 + C_2 = 2 \mu F + 1 \mu F = 3 \mu F$ થાય છે.

(C) શરૂઆતમાં,$C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતા બે કેપેસીટર શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \implies C_1 = \frac{C}{2}$
એક કેપેસીટરને $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા પદાર્થથી ભર્યા પછી,તેનું નવું કેપેસીટન્સ $KC$ થાય છે. નવું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_2$:
$\frac{1}{C_2} = \frac{1}{C} + \frac{1}{KC} = \frac{1}{C} \left(1 + \frac{1}{K}\right) = \frac{1}{C} \left(\frac{K+1}{K}\right) \implies C_2 = \frac{CK}{K+1}$
અસરકારક કેપેસીટન્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta C$:
$\Delta C = C_2 - C_1 = \frac{CK}{K+1} - \frac{C}{2}$
$\Delta C = C \left[ \frac{2K - (K+1)}{2(K+1)} \right] = \frac{C}{2} \left[ \frac{K-1}{K+1} \right]$

(D) શરૂઆતમાં,કેપેસિટરો શ્રેણીમાં છે જ્યાં કેપેસિટન્સ $C_A = C$ અને $C_B = KC$ છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{net} = \frac{C_A C_B}{C_A + C_B} = \frac{C \cdot KC}{C + KC} = \frac{KC}{K+1}$ છે.
શ્રેણીમાં દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_A = Q_B = C_{net}E = \frac{KCE}{K+1}$ છે.
ડાયલેક્ટ્રિક દૂર કર્યા પછી,$C_A = C$ અને $C_B = C$ થાય છે. નવું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{net}^{\prime} = \frac{C \cdot C}{C + C} = \frac{C}{2}$ છે.
દરેક કેપેસિટર પરનો નવો વિદ્યુતભાર $Q_A^{\prime} = Q_B^{\prime} = C_{net}^{\prime}E = \frac{CE}{2}$ છે.
ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{Q_B^{\prime}}{Q_B} = \frac{CE/2}{KCE/(K+1)} = \frac{K+1}{2K}$.

(D) હવાના કેપેસિટર માટે,$C_1 = \frac{A \varepsilon_0}{d}$.
જ્યારે બે ડાયલેક્ટ્રિક્સ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે આ ગોઠવણી શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે વર્તે છે,જેમાં દરેકનું પ્લેટ અંતર $d/2$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
પ્રથમ ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_{a} = \frac{K_1 A \varepsilon_0}{d/2} = \frac{2 K_1 A \varepsilon_0}{d} = 2 K_1 C_1$ છે.
બીજા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_{b} = \frac{K_2 A \varepsilon_0}{d/2} = \frac{2 K_2 A \varepsilon_0}{d} = 2 K_2 C_1$ છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_2} = \frac{1}{C_a} + \frac{1}{C_b} = \frac{1}{2 K_1 C_1} + \frac{1}{2 K_2 C_1} = \frac{1}{2 C_1} \left( \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \right) = \frac{1}{2 C_1} \left( \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2} \right)$.
તેથી,$C_2 = \frac{2 C_1 K_1 K_2}{K_1 + K_2}$.
ગુણોત્તર $\frac{C_1}{C_2} = \frac{C_1}{\frac{2 C_1 K_1 K_2}{K_1 + K_2}} = \frac{K_1 + K_2}{2 K_1 K_2}$.

(A) ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરની સ્થિતિ ઉર્જા $U_0 = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ પ્લેટો પરનો ચાર્જ છે અને $C$ એ પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ છે.
જ્યારે $K$ અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબને પ્લેટોની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
ધારો કે કેપેસિટર અલગ કરેલું છે (ચાર્જ $Q$ અચળ રહે છે),તો નવી સ્થિતિ ઉર્જા $U'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$U' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(KC)}$
$U' = \frac{1}{K} \left( \frac{Q^2}{2C} \right)$
$U' = \frac{U_0}{K}$

(D) આ કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડેલા બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય,જેમાં દરેકનું પ્લેટ ક્ષેત્રફળ $A$ છે અને ડાયઇલેક્ટ્રિકની જાડાઈ $d_1 = \frac{d}{4}$ અને $d_2 = \frac{3d}{4}$ છે.
પ્રથમ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ:
$C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d/4} = \frac{4 K_1 \varepsilon_0 A}{d}$
બીજા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ:
$C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{3d/4} = \frac{4 K_2 \varepsilon_0 A}{3d}$
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$
$\frac{1}{C} = \frac{d}{4 K_1 \varepsilon_0 A} + \frac{3d}{4 K_2 \varepsilon_0 A}$
$\frac{1}{C} = \frac{d}{4 \varepsilon_0 A} \left[\frac{1}{K_1} + \frac{3}{K_2}\right]$
$\frac{1}{C} = \frac{d}{4 \varepsilon_0 A} \left[\frac{K_2 + 3 K_1}{K_1 K_2}\right]$
તેથી,$C = \frac{4 \varepsilon_0 A}{d} \left[\frac{K_1 K_2}{3 K_1 + K_2}\right]$.

(A) જ્યારે બેટરી સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર સાથે જોડાયેલી રહે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સૂત્ર $E = V/d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
બેટરી જોડાયેલી હોવાથી,$V$ અચળ છે. જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસીટન્સ વધે છે,પરંતુ પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ બેટરીના વોલ્ટેજ જેટલો જ રહે છે.
જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબને બહાર કાઢવામાં આવે છે,ત્યારે સિસ્ટમ તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછી આવે છે કારણ કે બેટરી દરેક સમયે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ જાળવી રાખે છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સ્લેબ દાખલ કર્યા પહેલા હતું તેટલું જ રહે છે.

(C) હવાથી ભરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C_1 = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે જગ્યામાં $K = 8$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ભરવામાં આવે અને અંતર બદલીને $d'$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવી કેપેસીટન્સ $C_2 = \frac{K A \varepsilon_0}{d'} = \frac{8 A \varepsilon_0}{d'}$ થાય છે.
આપેલ છે કે કેપેસીટન્સ $16$ ગણી વધે છે,તેથી $C_2 = 16 C_1$.
સમીકરણો મૂકતા,$\frac{8 A \varepsilon_0}{d'} = 16 \left( \frac{A \varepsilon_0}{d} \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{8}{d'} = \frac{16}{d}$.
$d'$ માટે ઉકેલતા,$d' = \frac{8d}{16} = \frac{d}{2}$ મળે છે.

(C) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 10 \mu F$ છે.
જ્યારે ક્ષેત્રફળને બે સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે અને તેમાં $K_1$ અને $K_2$ ડાયઇલેક્ટ્રિક ભરવામાં આવે છે,ત્યારે આ બે ભાગો સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટર તરીકે વર્તે છે.
દરેક ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A' = \frac{A}{2}$ છે અને પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ સમાન રહે છે.
પ્રથમ ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A'}{d} = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{2d} = \frac{K_1}{2} C$ થાય.
બીજા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A'}{d} = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{2d} = \frac{K_2}{2} C$ થાય.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 = \frac{C}{2} (K_1 + K_2)$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $C_{\text{eq}} = \frac{10 \mu F}{2} (2 + 4) = 5 \mu F \times 6 = 30 \mu F$.

(B) હવાથી ભરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \quad --- (1)$
જ્યારે કેપેસીટરની પ્લેટો વચ્ચે $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક અને $t$ જાડાઈ ધરાવતી સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$
ધાતુની શીટ માટે,ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = \infty$ હોય છે. આપેલ છે કે $t = \frac{d}{2}$,આ કિંમતો મૂકતા:
$C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d - \frac{d}{2} + \frac{d/2}{\infty}} = \frac{\varepsilon_0 A}{\frac{d}{2} + 0} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d}$
$C_2 = 2 \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = 2 C_1$
તેથી,ગુણોત્તર $C_2 : C_1 = 2 : 1$ થાય છે.

(A) જ્યારે એક અલગ કરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે કારણ કે સિસ્ટમ બેટરીથી અલગ થયેલી છે.
જેમ કેપેસીટન્સ વધીને $C' = KC$ થાય છે,તેમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = Q/C' = V/K$ ઘટે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E' = V'/d = E/K$ પણ ઘટે છે.
સંગ્રહિત ઉર્જા $U' = Q^2/(2C') = U/K$ ઘટે છે.
તેથી,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર એ એકમાત્ર રાશિ છે જે બદલાતી નથી.

(A) હવાથી ભરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$.
આપેલ છે કે નવું કેપેસીટન્સ મૂળ મૂલ્યના એક-તૃતીયાંશ છે,એટલે કે $C' = \frac{C_0}{3}$:
$\frac{\varepsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}} = \frac{1}{3} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right)$.
બંને બાજુથી $\varepsilon_0 A$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{d - t + \frac{t}{K}} = \frac{1}{3d}$.
$3d = d - t + \frac{t}{K}$.
$2d + t = \frac{t}{K}$.
$K = \frac{t}{2d + t}$.

(B) ધારો કે પ્લેટો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d$ છે. પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{A \epsilon_0}{d}$ છે.
જ્યારે $t = 2 \,mm$ જાડાઈની ડાયલેક્ટ્રિક પ્લેટ દાખલ કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{A \epsilon_0}{d - t + \frac{t}{k}}$ થાય છે.
જ્યારે સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત (જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટન્સ $C_2 = C$ રહે છે) જાળવવા માટે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $x = 1.6 \,mm$ વધારવામાં આવે છે, ત્યારે નવું અંતર $d' = d + x$ થાય છે.
નવું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{A \epsilon_0}{d + x - t + \frac{t}{k}}$ છે.
$C_2 = C$ હોવાથી, $d + x - t + \frac{t}{k} = d$ મળે.
આને સાદું રૂપ આપતા, $x - t + \frac{t}{k} = 0$ અથવા $t - x = \frac{t}{k}$ મળે.
$t = 2 \,mm$ અને $x = 1.6 \,mm$ કિંમતો મૂકતા:
$2 - 1.6 = \frac{2}{k}$
$0.4 = \frac{2}{k}$
$k = \frac{2}{0.4} = 5$.

(D) ડાયલેક્ટ્રિક માધ્યમ ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = 3$ આપેલ છે,તેથી પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{3 \varepsilon_0 A}{d}$ થાય.
જ્યારે ઓઈલ (ડાયલેક્ટ્રિક) દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું માધ્યમ હવા (અથવા શૂન્યાવકાશ) બની જાય છે,જેના માટે ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K' = 1$ હોય છે.
નવું કેપેસિટન્સ $C'$ એ $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા મળે છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $C' = \frac{C}{3}$ મળે છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{k A \varepsilon_0}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,હવા ભરેલા કેપેસિટર માટે,$C_1 = \frac{A \varepsilon_0}{d_1} = 2 \ pF$,જ્યાં $k_1 = 1$ છે.
અંતે,પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર બમણું કરવામાં આવે છે $(d_2 = 2d_1)$ અને જગ્યામાં $k_2 = k$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક વાળો પદાર્થ ભરવામાં આવે છે. નવું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{k A \varepsilon_0}{d_2} = 6 \ pF$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{C_2}{C_1} = \frac{k \cdot A \varepsilon_0 / (2d_1)}{A \varepsilon_0 / d_1} = \frac{k}{2}$.
આપેલ છે કે $\frac{C_2}{C_1} = \frac{6}{2} = 3$.
તેથી,$\frac{k}{2} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $k = 6$.

(C) શરૂઆતમાં,બંને કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે. જ્યારે એક કેપેસિટરને $K$ અચળાંક ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિકથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C_1 = KC$ થાય છે,જ્યારે બીજું કેપેસિટર $C_2 = C$ રહે છે.
કેપેસિટરો $V$ emf ધરાવતી બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,કેપેસિટર $C_2$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2$ વોલ્ટેજ ડિવાઇડરના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$V_2 = V \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$V_2 = V \left( \frac{KC}{KC + C} \right) = V \left( \frac{KC}{C(K + 1)} \right)$
$V_2 = \frac{KV}{K + 1}$

(D) જ્યારે બેટરી ડિસ્કનેક્ટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે કારણ કે વિદ્યુતભારના વહન માટે કોઈ માર્ગ હોતો નથી.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચે $k$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતો ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ થી વધીને $C' = kC$ થાય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{q^2}{2C}$ છે.
અહીં $q$ અચળ છે અને $C$ વધે છે,તેથી અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{q^2}{2kC}$ એ પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{q^2}{2C}$ કરતા ઓછી હશે.
તેથી,સંગ્રહિત ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે.

(D) આ ગોઠવણી શ્રેણીમાં જોડાયેલા ત્રણ કેપેસિટરની બનેલી છે.
$t$ જાડાઈ અને $k$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબવાળા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,કેપેસીટન્સ $C = \frac{k \varepsilon_0 A}{t}$ છે.
કે સ્લેબ શ્રેણીમાં મૂકવામાં આવ્યા હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ એ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{t_1}{k_1 \varepsilon_0 A} + \frac{t_2}{k_2 \varepsilon_0 A} + \frac{t_3}{k_3 \varepsilon_0 A}$ મળે છે.
$\frac{1}{\varepsilon_0 A}$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{\varepsilon_0 A} \left[\frac{t_1}{k_1} + \frac{t_2}{k_2} + \frac{t_3}{k_3}\right]$.
તેથી,પરિણામી કેપેસીટન્સ $C_{eq} = \frac{A \varepsilon_0}{\left[\frac{t_1}{k_1} + \frac{t_2}{k_2} + \frac{t_3}{k_3}\right]}$ છે.

(B) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C$ છે. જ્યારે એક કેપેસિટરને $K$ અચળાંક ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિકથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
બંને કેપેસિટર $V$ e.m.f. ધરાવતી બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
ધારો કે $C_1 = KC$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક ભરેલા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ છે અને $C_2 = C$ એ હવા ભરેલા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં હવા ભરેલા કેપેસિટર $(C_2)$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત વોલ્ટેજ ડિવાઇડરના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ મળે છે:
$V_2 = V \times \frac{C_1}{C_1 + C_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$V_2 = V \times \frac{KC}{KC + C}$
$V_2 = V \times \frac{KC}{C(K + 1)}$
$V_2 = \frac{KV}{K + 1}$

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવા માધ્યમ માટે,કેપેસિટન્સ $C_{0} = \frac{\varepsilon_{0} A}{d} = 3 \mu F$ છે.
જ્યારે ડાયલેક્ટ્રિક માધ્યમ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon A}{d} = 15 \mu F$ થાય છે.
બંને કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{C}{C_{0}} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}} = K$ (જ્યાં $K$ એ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક છે).
$\frac{15}{3} = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}} \implies 5 = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_{0}}$.
તેથી,માધ્યમની પરમિટિવિટી $\varepsilon = 5 \times \varepsilon_{0}$ છે.
$\varepsilon = 5 \times 8.85 \times 10^{-12} = 44.25 \times 10^{-12} \text{ F/m}$.
વૈજ્ઞાનિક સંકેતમાં ફેરવતા: $\varepsilon = 0.4425 \times 10^{-10} \text{ F/m}$.

(A) સમાંતર પ્લેટ એર કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે, $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર ઘટાડીને $d_1 = \frac{d}{4}$ કરવામાં આવે છે અને તેમની વચ્ચે $K = 2$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું માધ્યમ ભરવામાં આવે છે, ત્યારે નવી કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d_1}$ થાય છે.
સમીકરણમાં $d_1 = \frac{d}{4}$ અને $K = 2$ મૂકતા:
$C = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d/4} = 8 \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = 8 C_0$.
આપેલ છે કે $C_0 = 4 \mu F$, તેથી નવી કેપેસિટન્સ $C = 8 \times 4 \mu F = 32 \mu F$ થશે.

(A) શરૂઆતમાં,$C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતા બે કેપેસીટરો શ્રેણીમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}$,તેથી $C_1 = \frac{C}{2}$.
એક કેપેસીટરને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા પદાર્થથી ભર્યા પછી,તેનું નવું કેપેસીટન્સ $KC$ થાય છે. નવું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_2$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_2} = \frac{1}{C} + \frac{1}{KC} = \frac{1}{C} \left(1 + \frac{1}{K}\right) = \frac{K+1}{KC}$.
આમ,$C_2 = \frac{KC}{K+1}$.
અસરકારક કેપેસીટન્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta C = C_2 - C_1 = \frac{KC}{K+1} - \frac{C}{2}$.
$\Delta C = C \left[ \frac{K}{K+1} - \frac{1}{2} \right] = C \left[ \frac{2K - (K+1)}{2(K+1)} \right] = \frac{C}{2} \left[ \frac{K-1}{K+1} \right]$.

(A) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C$ છે. જ્યારે તેમને $V$ emf ધરાવતી બેટરી સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ સમાન હોય છે.
ધારો કે $V_1$ એ હવાવાળા કેપેસિટર (કેપેસિટન્સ $C$) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $V_2$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિકથી ભરેલા કેપેસિટર (કેપેસિટન્સ $KC$) પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,$V_1 + V_2 = V$.
$q = CV$ નો ઉપયોગ કરતા,$V_1 = \frac{q}{C}$ અને $V_2 = \frac{q}{KC}$ મળે.
આ કિંમતોને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{q}{C} + \frac{q}{KC} = V$.
$\frac{q}{C} (1 + \frac{1}{K}) = V \Rightarrow \frac{q}{C} (\frac{K+1}{K}) = V$.
તેથી,વિદ્યુતભાર $q = \frac{CKV}{K+1}$.
હવાવાળા કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = \frac{q}{C} = \frac{KV}{K+1}$ થશે.

(D) જ્યારે બેટરી દૂર કર્યા પછી ચાર્જ થયેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં $K$ અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વીજભાર $Q$ અચળ રહે છે કારણ કે વીજભારના વહન માટે કોઈ માર્ગ હોતો નથી.
અન્ય ભૌતિક રાશિઓમાં થતા ફેરફારો નીચે મુજબ છે:
$1$. કેપેસિટન્સ: $C' = KC$ (વધે છે).
$2$. વીજભાર: $Q' = Q$ (અચળ રહે છે).
$3$. સ્થિતિમાનનો તફાવત: $V' = V/K$ (ઘટે છે).
$4$. વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા: $E' = E/K$ (ઘટે છે).
$5$. સંગ્રહિત ઉર્જા: $U' = U/K$ (ઘટે છે).
તેથી,વીજભાર $Q$ એ એવી રાશિ છે જે અચળ રહે છે.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
જો અંતર $d$ ને વધારીને $d' = 4d$ કરવામાં આવે,તો નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{4d} = \frac{C}{4}$ થાય છે.
નવી સંગ્રહિત ઉર્જા $U'$ એ $U' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{Q^2}{2(C/4)} = 4 \times \frac{Q^2}{2C} = 4U$ છે.
તેથી,સંગ્રહિત ઉર્જા $4U$ થાય છે.

(C) કેપેસિટરને ત્રણ ભાગમાં વહેંચવામાં આવ્યું છે. ધારો કે કુલ ક્ષેત્રફળ $A$ અને અંતર $d$ છે.
$1$. ડાબા ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A/2$ અને ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K_1 = 4$ છે. તેનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{4 \epsilon_0 A}{2d} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$ છે.
$2$. જમણી બાજુ બે ભાગમાં શ્રેણીમાં વહેંચાયેલી છે,દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A/2$ અને અંતર $d/2$ છે. ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K_2 = 3$ અને $K_3 = 6$ છે.
$3$. ઉપરના જમણા ભાગનું કેપેસિટન્સ: $C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{3 \epsilon_0 A}{d}$.
$4$. નીચેના જમણા ભાગનું કેપેસિટન્સ: $C_3 = \frac{K_3 \epsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{6 \epsilon_0 A}{d}$.
$5$. $C_2$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{23}$ એ $\frac{1}{C_{23}} = \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{d}{3 \epsilon_0 A} + \frac{d}{6 \epsilon_0 A} = \frac{2d + d}{6 \epsilon_0 A} = \frac{3d}{6 \epsilon_0 A} = \frac{d}{2 \epsilon_0 A}$ દ્વારા મળે છે. આમ,$C_{23} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d}$.
$6$. $C_1$ અને $C_{23}$ સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_{23} = \frac{2 \epsilon_0 A}{d} + \frac{2 \epsilon_0 A}{d} = \frac{4 \epsilon_0 A}{d}$ છે.

(C) શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતભારિત વાહકની સપાટીની બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0 = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
જ્યારે વાહકને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0 K} = \frac{E_0}{K}$ થાય છે.
અહીં $E_0 = 10^3 \ V/m$ અને $K = 4$ આપેલ છે.
તેથી,$E = \frac{10^3}{4} \ V/m = 250 \ V/m$.

(B) માધ્યમમાં બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ $F_{\text{medium}} = \frac{F_{\text{air}}}{K}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F_{\text{air}}$ એ શૂન્યાવકાશ (અથવા હવા) માં સમાન વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું બળ છે અને $K$ એ માધ્યમનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
આપેલ છે કે માધ્યમમાં બળ $F$ છે,તેથી $F = \frac{F_{\text{air}}}{K}$.
જ્યારે માધ્યમને દૂર કરવામાં આવે ત્યારે બળ (એટલે કે હવામાં બળ) શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ:
$F_{\text{air}} = F \times K$.
તેથી,બળ $FK$ થશે.

(D) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ નીચે મુજબ છે:
$C_0 = \frac{A \varepsilon_0}{d} = 4 \ pF$
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર અડધું કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું અંતર $d' = \frac{d}{2}$ થાય છે.
જ્યારે જગ્યામાં $K = 6$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું દ્રવ્ય ભરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે:
$C = K \frac{A \varepsilon_0}{d'}$
$d' = \frac{d}{2}$ અને $K = 6$ મૂકતા:
$C = 6 \times \frac{A \varepsilon_0}{d/2} = 12 \times \frac{A \varepsilon_0}{d}$
કારણ કે $\frac{A \varepsilon_0}{d} = C_0 = 4 \ pF$,તેથી:
$C = 12 \times 4 \ pF = 48 \ pF$.

(C) ડાયઇલેક્ટ્રિકની ગેરહાજરીમાં,બે પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0 = \frac{V_0}{d}$ છે.
જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિકની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{E_0}{K}$ થાય છે,જ્યાં $K=3$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબની જાડાઈ $t = \frac{3}{4}d$ છે અને હવાના ગાળાની જાડાઈ $d - t = d - \frac{3}{4}d = \frac{1}{4}d$ છે.
નવો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ હવાના ગાળા અને ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ પરના સ્થિતિમાનના તફાવતનો સરવાળો છે:
$V = E_0 \left(\frac{1}{4}d\right) + E \left(\frac{3}{4}d\right)$
$V = E_0 \left(\frac{1}{4}d\right) + \frac{E_0}{K} \left(\frac{3}{4}d\right)$
$V = E_0 d \left[ \frac{1}{4} + \frac{3}{4K} \right]$
કારણ કે $E_0 d = V_0$ અને $K = 3$ છે:
$V = V_0 \left[ \frac{1}{4} + \frac{3}{4 \times 3} \right]$
$V = V_0 \left[ \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right]$
$V = V_0 \left( \frac{2}{4} \right) = \frac{V_0}{2}$

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
જ્યારે બેટરીને ડિસ્કનેક્ટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે કારણ કે વિદ્યુતભારના વહન માટે કોઈ માર્ગ હોતો નથી.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{A \varepsilon_0}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે,$\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે.
જેમ કે વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે અને $Q = CV$ છે,તેથી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{Q}{C}$ વધશે કારણ કે $C$ ઘટે છે.

(D) $1$. જ્યારે $K$ અચળાંક ધરાવતો ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ હાજર હોય,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ થાય છે.
$2$. કેપેસિટર બેટરી સાથે જોડાયેલું રહેતું હોવાથી,પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અચળ રહે છે,તેથી $V_1 = V_2 = V$ થાય છે.
$3$. જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ થાય છે.
$4$. $K > 1$ હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે $C_1 > C_2$ થાય છે.
$5$. બેટરી હજુ પણ જોડાયેલી હોવાથી,પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બદલાતો નથી,તેથી $V_1 = V_2$ થાય છે.

(A) જ્યારે ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરને બેટરીથી અલગ કરવામાં આવે છે અને પ્લેટોની વચ્ચે કાચની સ્લેબ (ડાયલેક્ટ્રિક પદાર્થ) મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $(Q)$ અચળ રહે છે કારણ કે પરિપથ ખુલ્લો છે.
કેપેસીટન્સ $(C)$ વધે છે કારણ કે $C = KC_0$,જ્યાં $K$ એ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ ઘટે છે કારણ કે $V = \frac{V_0}{K}$,કારણ કે $V = \frac{Q}{C}$ અને $Q$ અચળ હોવાથી $C$ વધતા $V$ ઘટે છે.
સંગ્રહિત ઉર્જા $(U)$ ઘટે છે કારણ કે $U = \frac{Q^2}{2C} = \frac{U_0}{K}$,કારણ કે $Q$ અચળ હોવાથી $C$ વધતા $U$ ઘટે છે.
તેથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત અને સંગ્રહિત ઉર્જામાં ઘટાડો થાય છે.

(B) ધારો કે $t$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબની જાડાઈ છે અને $K$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈનો ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સમાન કેપેસીટન્સ જાળવી રાખવા માટે પ્લેટો વચ્ચેનું અસરકારક અંતર $x = t(1 - 1/K)$ જેટલું વધે છે.
આપેલ છે કે,$x = 3.5 \times 10^{-3} \ m$ અને $t = 4 \times 10^{-3} \ m$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$3.5 \times 10^{-3} = 4 \times 10^{-3} \left(1 - \frac{1}{K}\right)$
બંને બાજુ $4 \times 10^{-3}$ વડે ભાગતા:
$\frac{3.5}{4} = 1 - \frac{1}{K}$
$0.875 = 1 - \frac{1}{K}$
$\frac{1}{K} = 1 - 0.875 = 0.125$
$K = \frac{1}{0.125} = 8$.
આમ,પદાર્થનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $8$ છે.

(A) હવા ભરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું મૂળ કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે $K$ અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબને એક-ચતુર્થાંશ ક્ષેત્રફળમાં દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટરને સમાંતરમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય.
એક કેપેસિટર જેમાં હવા ડાયઇલેક્ટ્રિક તરીકે છે,તેનું ક્ષેત્રફળ $\frac{3A}{4}$ અને પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. તેનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\varepsilon_0 (3A/4)}{d} = \frac{3}{4} \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{3C}{4}$ છે.
બીજા કેપેસિટર જેમાં $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક છે,તેનું ક્ષેત્રફળ $\frac{A}{4}$ અને પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. તેનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K \varepsilon_0 (A/4)}{d} = \frac{K}{4} \frac{\varepsilon_0 A}{d} = \frac{KC}{4}$ છે.
આ બે કેપેસિટર સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{net} = C_1 + C_2$ થશે.
$C_{net} = \frac{3C}{4} + \frac{KC}{4} = \frac{C}{4}(K+3)$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે જો બેટરી દૂર કરવામાં આવે તો કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે,અથવા કેપેસીટન્સના આધારે સ્થિતિમાનનો તફાવત બદલાય છે. $Q = CV$ હોવાથી,આપણને $V = Q/C$ મળે છે,જે સૂચવે છે કે $V \propto 1/C$.
હવા સાથેનું કેપેસીટન્સ $C_0 = \epsilon_0 A / d$ છે.
ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબ સાથેનું કેપેસીટન્સ $C = K C_0$ છે,જ્યાં $K$ એ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
તેથી,સ્થિતિમાનનો ગુણોત્તર $V_{dielectric} / V_0 = C_0 / C = C_0 / (K C_0) = 1/K$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V_0 = 4 \ V$ અને $V_{dielectric} = 2 \ V$.
કિંમતો મૂકતા: $2 / 4 = 1/K$.
આનાથી $1/2 = 1/K$ મળે છે,તેથી $K = 2$.

(D) હવામાં $r$ અંતરે રહેલા બે સમાન વિદ્યુતભારો $q$ વચ્ચેનું પ્રારંભિક બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \quad (1)$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભારો વચ્ચે $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી સ્લેબ મૂકવામાં આવે,ત્યારે અસરકારક અંતર $r_{eff} = (r - t) + t\sqrt{K}$ થાય છે.
અહીં,$t = r/2$ અને $K = 4$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$r_{eff} = (r - r/2) + (r/2)\sqrt{4} = r/2 + (r/2)(2) = r/2 + r = 3r/2$.
નવું બળ $F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(r_{eff})^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(3r/2)^2}$ થશે.
$F' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{(9/4)r^2} = \frac{4}{9} \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r^2} \right)$.
સમીકરણ $(1)$ નો ઉપયોગ કરતા,$F' = \frac{4}{9}F$ મળે છે.