Sharing of Charge in Capacitor Circuit Questions in Gujarati

(D) તંત્ર પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 80\,\mu C + 40\,\mu C = 120\,\mu C$ છે.
જ્યારે બે ગોળાઓને તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ત્યાં સુધી વહે છે જ્યાં સુધી બંને સમાન સ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત ન કરે.
ગોળાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જોડાણ પછી,નવા વિદ્યુતભારો $Q'_A$ અને $Q'_B$ તેમની ત્રિજ્યાના પ્રમાણમાં વહેંચાય છે: $\frac{Q'_A}{Q'_B} = \frac{r_A}{r_B}$.
સૂત્ર $Q'_A = Q \left( \frac{r_A}{r_A + r_B} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$Q'_A = 120\,\mu C \left( \frac{4}{4 + 6} \right) = 120 \times 0.4 = 48\,\mu C$.
$A$ માંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $\Delta Q = Q_{initial} - Q_{final} = 80\,\mu C - 48\,\mu C = 32\,\mu C$ છે.
આમ,$32\,\mu C$ વિદ્યુતભાર $A$ થી $B$ તરફ વહે છે.

(D) જ્યારે બે વિદ્યુતભારિત વાહકોને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ઊંચા સ્થિતિમાનવાળા વાહકથી નીચા સ્થિતિમાનવાળા વાહક તરફ વહે છે જ્યાં સુધી તેઓ સમાન સ્થિતિમાન પ્રાપ્ત ન કરે.
ગોળા $1$ નું સ્થિતિમાન $V_1 = \frac{k Q_1}{R_1}$ છે અને ગોળા $2$ નું સ્થિતિમાન $V_2 = \frac{k Q_2}{R_2}$ છે.
જો $V_1 \neq V_2$ (એટલે કે $\frac{Q_1}{R_1} \neq \frac{Q_2}{R_2}$),તો વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે.
આ પ્રક્રિયા દરમિયાન,વાહક તારના અવરોધને કારણે હંમેશા થોડી ઊર્જા ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામે છે.
તેથી,તંત્રની કુલ ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે,સિવાય કે સ્થિતિમાન પહેલેથી જ સમાન હોય,જે $\frac{Q_1}{R_1} = \frac{Q_2}{R_2}$ અથવા $Q_1 R_2 = Q_2 R_1$ ની શરત દર્શાવે છે.

(A) જ્યારે બે વિદ્યુતભારીત વાહકોને વાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ત્યાં સુધી વહે છે જ્યાં સુધી તેઓ સમાન સ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત ન કરે.
સામાન્ય સ્થિતિમાનનું સૂત્ર: $V = \frac{Q_1 + Q_2}{C_1 + C_2}$ છે.
આપેલ છે: $Q_1 = Q_2 = 150 \times 10^{-6}\,C$,$r_1 = 0.2\,m$,$r_2 = 0.1\,m$.
અલગ કરેલા ગોળાકાર વાહકનું કેપેસીટન્સ $C = 4\pi \varepsilon_0 r$ છે.
તેથી,$C_1 = 4\pi \varepsilon_0 (0.2)$ અને $C_2 = 4\pi \varepsilon_0 (0.1)$.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = 150 \times 10^{-6} + 150 \times 10^{-6} = 300 \times 10^{-6}\,C$.
કુલ કેપેસીટન્સ $C_{total} = 4\pi \varepsilon_0 (0.2 + 0.1) = 4\pi \varepsilon_0 (0.3)$.
$k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$C_{total} = \frac{0.3}{9 \times 10^9}$ મળે.
$V = \frac{300 \times 10^{-6}}{0.3 / (9 \times 10^9)} = \frac{300 \times 10^{-6} \times 9 \times 10^9}{0.3} = 1000 \times 9 \times 10^3 = 9 \times 10^6\,V$.

(C) તંત્રની પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}C(-V)^2 = CV^2$ છે.
જ્યારે તેમને પાતળા તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = CV + C(-V) = 0$ થાય છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $0$ હોવાથી,તંત્રનું અંતિમ સ્થિતિમાન $V_f = \frac{Q_{total}}{C_1 + C_2} = 0$ થાય છે.
તંત્રની અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2}(C + C)V_f^2 = 0$ છે.
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta U = U_i - U_f = CV^2 - 0 = CV^2$ થશે.

(B) જ્યારે બે વાહકોને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ઊંચા પોટેન્શિયલ ધરાવતા વાહકથી નીચા પોટેન્શિયલ ધરાવતા વાહક તરફ વહે છે જ્યાં સુધી બંનેના પોટેન્શિયલ સમાન ન થાય.
ધારો કે અંતિમ સમાન પોટેન્શિયલ $V$ છે.
પ્રથમ ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1 V$ છે.
બીજા ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = C_2 V$ છે.
બંને વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર લેતા,આપણને $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{C_1 V}{C_2 V} = \frac{C_1}{C_2}$ મળે છે.
તેથી,ગોળાઓ પરના અંતિમ વિદ્યુતભારો $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{C_1}{C_2}$ સંબંધનું પાલન કરે છે.

(B) જ્યારે બે વાહક ગોળાઓને વાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે વિદ્યુતભાર ત્યાં સુધી વહે છે જ્યાં સુધી બંને ગોળાઓ સમાન વિદ્યુત સ્થિતિમાન પ્રાપ્ત ન કરે.
ધારો કે ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 5\, cm$ અને $r_2 = 10\, cm$ છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = 15\,\mu C + 15\,\mu C = 30\,\mu C$ છે.
જોડાણ પછી, બંને માટે સ્થિતિમાન $V$ સમાન હોય છે: $V = \frac{k q_1}{r_1} = \frac{k q_2}{r_2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{q_1}{q_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
નાના ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $q_1$ એ $q_1 = Q_{total} \left( \frac{r_1}{r_1 + r_2} \right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $q_1 = 30\,\mu C \left( \frac{5}{5 + 10} \right) = 30 \left( \frac{5}{15} \right) = 30 \left( \frac{1}{3} \right) = 10\,\mu C$.

(A) $C_1 = 4\,\mu F$ અને $V_1 = 80\,V$ ધરાવતા કેપેસીટરની પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-6}) \times (80)^2 = 0.0128\,J = 12.8\,mJ$ છે.
જ્યારે બે કેપેસીટરને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સામાન્ય સ્થિતિમાન $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{4 \times 80 + 6 \times 30}{4 + 6} = \frac{320 + 180}{10} = 50\,V$ મળે છે.
$V = 50\,V$ સ્થિતિમાને $4\,\mu F$ કેપેસીટરની અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} C_1 V^2 = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-6}) \times (50)^2 = 0.005\,J = 5.0\,mJ$ છે.
તેથી,$4\,\mu F$ કેપેસીટર દ્વારા ગુમાવેલી ઉર્જા $\Delta U = U_i - U_f = 12.8\,mJ - 5.0\,mJ = 7.8\,mJ$ થાય છે.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેના પરનો વીજભાર $q$ છે. નાના ટીપાનું કેપેસીટન્સ $C = 4\pi\epsilon_0 r$ છે.
નાના ટીપામાં સંગ્રહિત ઉર્જા $u = \frac{q^2}{2C} = \frac{q^2}{8\pi\epsilon_0 r}$ છે.
જ્યારે $n$ ટીપાં ભેગા થાય છે, ત્યારે કુલ કદ અચળ રહે છે: $\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3$, તેથી $R = n^{1/3}r$.
મોટા ટીપા પરનો કુલ વીજભાર $Q = nq$ છે.
મોટા ટીપાનું કેપેસીટન્સ $C' = 4\pi\epsilon_0 R = 4\pi\epsilon_0 (n^{1/3}r) = n^{1/3}C$ છે.
મોટા ટીપામાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(nq)^2}{2(n^{1/3}C)} = \frac{n^2 q^2}{n^{1/3} 2C} = n^{5/3} \left( \frac{q^2}{2C} \right) = n^{5/3} u$.
તેથી, ગુણોત્તર $U : u = n^{5/3} : 1$ થાય.

(D) આપેલ છે: $r_1 = 1\,cm$,$r_2 = 2\,cm$,$Q_1 = 10^{-2}\,C$,$Q_2 = 5 \times 10^{-2}\,C$.
જ્યારે બે ગોળાઓને વાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ત્યાં સુધી વહે છે જ્યાં સુધી બંને સમાન સ્થિતિમાન પ્રાપ્ત ન કરે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 10^{-2} + 5 \times 10^{-2} = 6 \times 10^{-2}\,C$.
નાના ગોળા પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $(Q'_1)$ સૂત્ર $Q'_1 = Q_{total} \times \frac{r_1}{r_1 + r_2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $Q'_1 = (6 \times 10^{-2}) \times \frac{1}{1 + 2} = (6 \times 10^{-2}) \times \frac{1}{3} = 2 \times 10^{-2}\,C$.

(D) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે. શરૂઆતમાં,તેઓ સમાંતર જોડાયેલા છે અને $V$ પોટેન્શિયલ સુધી ચાર્જ થયેલા છે. દરેક કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $Q = CV$ છે.
જ્યારે તેમને અલગ કરવામાં આવે છે અને શ્રેણીમાં એવી રીતે જોડવામાં આવે છે કે એકની ધન પ્લેટ બીજાની ઋણ પ્લેટ સાથે જોડાય,ત્યારે જોડાયેલી પ્લેટો પરનો કુલ ચાર્જ $+Q + (-Q) = 0$ થાય છે.
પ્લેટો અલગ હોવાથી,દરેક કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $Q = CV$ રહે છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ છે. તેઓ વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,મુક્ત પ્લેટો વચ્ચેનો કુલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V + V = 2\,V$ થાય છે.

(A) કેપેસિટર $C_1$ માં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C_1 V_0^2 = \frac{q^2}{2C_1}$ છે,જ્યાં $q = C_1 V_0$ એ કેપેસિટર પરનો ચાર્જ છે.
જ્યારે સ્વીચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ચાર્જ $q$ સમાંતર જોડાયેલા બે કેપેસિટરો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચે વહેંચાય છે. કુલ કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2$ થાય છે.
સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{q^2}{2 C_{eq}} = \frac{q^2}{2(C_1 + C_2)}$ છે.
ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_i}{U_f} = \frac{q^2 / (2C_1)}{q^2 / (2(C_1 + C_2))} = \frac{C_1 + C_2}{C_1}$ છે.

(C) પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 + \frac{1}{2} C_2 V_2^2$.
જ્યારે તેમને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$ મળે છે.
અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) \left( \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} \right)^2 = \frac{(C_1 V_1 + C_2 V_2)^2}{2(C_1 + C_2)}$.
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta U = U_i - U_f = \left( \frac{1}{2} C_1 V_1^2 + \frac{1}{2} C_2 V_2^2 \right) - \frac{(C_1 V_1 + C_2 V_2)^2}{2(C_1 + C_2)}$.
આ પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\Delta U = \frac{C_1 C_2 (V_1 - V_2)^2}{2(C_1 + C_2)}$.

(B) શરૂઆતમાં,પ્રથમ કેપેસિટર પરનો વીજભાર $Q = CV$ છે.
જ્યારે આ ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરને સમાન અનચાર્જ્ડ કેપેસિટર સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વીજભાર $Q$ બંને કેપેસિટરો વચ્ચે વહેંચાય છે.
કેપેસિટરો સમાન હોવાથી અને સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંને કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન થાય છે,ધારો કે $V'$.
વીજભાર સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ વીજભાર અચળ રહે છે: $Q_{total} = Q_1 + Q_2$.
તેઓ સમાન હોવાથી,$C_1 = C_2 = C$,વીજભાર સમાન રીતે વહેંચાય છે: $Q_1 = Q_2 = Q / 2$.
તેથી,દરેક કેપેસિટર પરનો નવો વીજભાર $CV / 2$ છે.

(C) પ્રથમ કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1 V_1 = 2\,\mu F \times 200\;V = 400\,\mu C$ છે.
જ્યારે બીજું કેપેસિટર $C_2$ (શરૂઆતમાં વિદ્યુતભારિત નથી,$V_2 = 0$) સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય છે.
સામાન્ય સ્થિતિમાન $V$ માટેનું સૂત્ર: $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $20 = \frac{2 \times 200 + C_2 \times 0}{2 + C_2}$.
$20 = \frac{400}{2 + C_2}$.
$2 + C_2 = \frac{400}{20} = 20$.
$C_2 = 20 - 2 = 18\,\mu F$.

(C) $6\,\mu F$ ના કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક ચાર્જ $Q = C_1 V_0 = 6\,\mu F \times 100\,V = 600\,\mu C$ છે.
જ્યારે સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર સમાન પોટેન્શિયલ $V$ પ્રાપ્ત ન થાય ત્યાં સુધી ચાર્જની વહેંચણી કરે છે.
સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V = \frac{Q_{total}}{C_1 + C_2} = \frac{600\,\mu C}{6\,\mu F + 14\,\mu F} = \frac{600}{20} = 30\,V$ છે.
કેપેસિટર પરના ચાર્જ $q_1 = C_1 V = 6\,\mu F \times 30\,V = 180\,\mu C$ અને $q_2 = C_2 V = 14\,\mu F \times 30\,V = 420\,\mu C$ છે.
ચાર્જનો ગુણોત્તર $\frac{q_1}{q_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{6}{14}$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $6/14$ અને પોટેન્શિયલ $30\,V$ છે.

(A) $0.2\,F$ ના કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = C_1 V_1 = 0.2\,F \times 600\,V = 120\,C$ છે.
જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે અને કેપેસિટરને $C_2 = 1\,F$ ના બીજા કેપેસિટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V$ છે. સમાંતર જોડાણનું કુલ કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 0.2\,F + 1\,F = 1.2\,F$ છે.
વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $Q = C_{eq} V$.
$120\,C = 1.2\,F \times V$.
$V = \frac{120}{1.2} = 100\,V$.

(A) આપેલ છે: પ્રથમ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_1 = 10\,\mu F$,પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V_1 = 100\,V$.
બીજા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_2 = ?$,પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V_2 = 0\,V$.
સામાન્ય સ્થિતિમાન $V = 40\,V$.
જ્યારે બે કેપેસિટરને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વીજભારનું સંરક્ષણ થાય છે.
સામાન્ય સ્થિતિમાનનું સૂત્ર: $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $40 = \frac{10 \times 100 + C_2 \times 0}{10 + C_2}$.
$40 = \frac{1000}{10 + C_2}$.
$40(10 + C_2) = 1000$.
$400 + 40C_2 = 1000$.
$40C_2 = 600$.
$C_2 = \frac{600}{40} = 15\,\mu F$.

(A) જોડાણ પહેલાંની કુલ ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 + \frac{1}{2} C_2 V_2^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$U_i = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times (50)^2 + \frac{1}{2} \times 2 \times 10^{-6} \times (100)^2 = 50 \times 10^{-4} + 100 \times 10^{-4} = 1.5 \times 10^{-2}\,J$.
સમાન ચાર્જ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે ત્યારે,સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{4 \times 50 + 2 \times 100}{4 + 2} = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}\,V$ મળે છે.
જોડાણ પછીની કુલ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2$ છે.
$U_f = \frac{1}{2} \times (4 + 2) \times 10^{-6} \times (\frac{200}{3})^2 = 3 \times 10^{-6} \times \frac{40000}{9} = \frac{40000}{3} \times 10^{-6} = 1.33 \times 10^{-2}\,J$.

(B) શરૂઆતમાં,બંને કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે. બીજા કેપેસિટરમાં $K=4$ અચળાંક ધરાવતી ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કર્યા પછી,તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C_2 = KC = 4C$ થાય છે. પ્રથમ કેપેસિટર $C_1 = C$ રહે છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{C \times 4C}{C + 4C} = \frac{4C}{5}$ થાય છે.
શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} V = \frac{4C}{5} \times 100 = 80C$ છે.
શ્રેણી પરિપથમાં,વિદ્યુતભાર $Q$ બંને કેપેસિટર માટે સમાન હોય છે.
પ્રથમ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{80C}{C} = 80\,V$ છે.
બીજા કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{80C}{4C} = 20\,V$ છે.
આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અનુક્રમે $80\,V$ અને $20\,V$ છે.

(A) કેપેસીટર $C_1$ માં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_0 = \frac{1}{2} C_1 V_0^2$ છે.
જ્યારે તેને અનચાર્જ્ડ કેપેસીટર $C_2$ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ચાર્જનું પુનઃવિતરણ થાય છે જ્યાં સુધી બંને કેપેસીટર સમાન પોટેન્શિયલ $V = \frac{C_1 V_0}{C_1 + C_2}$ પ્રાપ્ત ન કરે.
સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) \left( \frac{C_1 V_0}{C_1 + C_2} \right)^2 = \frac{C_1^2 V_0^2}{2(C_1 + C_2)}$ છે.
વ્યય થતી ઉર્જા (ઉર્જાનો ઘટાડો) $\Delta U = U_0 - U_f$ છે.
$\Delta U = \frac{1}{2} C_1 V_0^2 - \frac{C_1^2 V_0^2}{2(C_1 + C_2)} = \frac{C_1 V_0^2}{2} \left( 1 - \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right) = \frac{C_1 V_0^2}{2} \left( \frac{C_2}{C_1 + C_2} \right)$.
કારણ કે $U_0 = \frac{1}{2} C_1 V_0^2$,આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta U = \frac{C_2}{C_1 + C_2} U_0$.

(C) $1$. જ્યારે સ્વીચ $S_1$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $C_1$ બેટરી $B = 20\,V$ દ્વારા ચાર્જ થાય છે. $C_1$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1 \times V = 6\,\mu F \times 20\,V = 120\,\mu C$ છે.
$2$. જ્યારે $S_1$ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $Q_1 = 120\,\mu C$ એ $C_1$ પર સંગ્રહિત રહે છે. કેપેસિટર $C_2$ શરૂઆતમાં અનચાર્જ્ડ $(Q_2 = 0)$ છે.
$3$. જ્યારે સ્વીચ $S_2$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $Q_1$ એ $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચે વહેંચાય છે જ્યાં સુધી તેઓ સમાન પોટેન્શિયલ $V'$ પ્રાપ્ત ન કરે.
$4$. સમાન પોટેન્શિયલ $V'$ એ $V' = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{Q_1 + Q_2}{C_1 + C_2} = \frac{120\,\mu C + 0}{6\,\mu F + 3\,\mu F} = \frac{120}{9}\,V = \frac{40}{3}\,V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$5$. $C_2$ પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $Q_2' = C_2 \times V' = 3\,\mu F \times \frac{40}{3}\,V = 40\,\mu C$ છે.

(D) જ્યારે $C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતા બે કેપેસિટરોને અનુક્રમે $V_1$ અને $V_2$ પોટેન્શિયલ પર ચાર્જ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના પ્રારંભિક વિદ્યુતભારો $q_1 = CV_1$ અને $q_2 = CV_2$ હોય છે.
જ્યારે તેમને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V = \frac{q_1 + q_2}{C + C} = \frac{C(V_1 + V_2)}{2C} = \frac{V_1 + V_2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિકલ્પ $A$ સાચો છે કારણ કે વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય છે.
વિકલ્પ $B$ સાચો છે કારણ કે વિદ્યુતભારના પુનઃવિતરણ દરમિયાન ઉર્જા ગરમી સ્વરૂપે વ્યય થાય છે.
વિકલ્પ $C$ સાચો છે કારણ કે અંતિમ પોટેન્શિયલ એ સરેરાશ છે,સરવાળો નથી.
વિકલ્પ $D$ ખોટો છે કારણ કે અંતિમ પોટેન્શિયલ $\frac{V_1 + V_2}{2}$ છે,$V_1 + V_2$ નથી.

(B) શરૂઆતમાં,જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે.
સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{10 \times 20}{10 + 20} = \frac{20}{3}\,\mu F$.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} V = \frac{20}{3} \times 200 = \frac{4000}{3}\,\mu C$.
$C_1$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{4000/3}{10} = \frac{400}{3}\,V$.
$C_2$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{4000/3}{20} = \frac{200}{3}\,V$.
જ્યારે ધન પ્લેટોને એકસાથે રાખીને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = \frac{4000}{3} + \frac{4000}{3} = \frac{8000}{3}\,\mu C$ (કારણ કે શ્રેણીમાં બંને કેપેસિટર સમાન મૂલ્યના વિદ્યુતભાર $Q$ થી ચાર્જ થયા હતા).
સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{Q_{total}}{C_1 + C_2} = \frac{8000/3}{10 + 20} = \frac{8000}{3 \times 30} = \frac{800}{9}\,V$.

(D) જ્યારે બે કેપેસિટરને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે $C_1 = 10\,\mu F$ અને $V_1 = 50\;V$ છે.
ધારો કે બીજા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_2$ છે અને પ્રારંભિક વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_2 = 0\;V$ છે.
સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$20 = \frac{10 \times 50 + C_2 \times 0}{10 + C_2}$
$20 = \frac{500}{10 + C_2}$
$20(10 + C_2) = 500$
$200 + 20C_2 = 500$
$20C_2 = 300$
$C_2 = 15\,\mu F$

(C) જ્યારે બે ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય છે.
સામાન્ય સ્થિતિમાન $V$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$V = \frac{C_1V_1 + C_2V_2}{C_1 + C_2}$
આપેલ છે:
$C_1 = 20\,\mu F, V_1 = 500\,V$
$C_2 = 10\,\mu F, V_2 = 200\,V$
કિંમતો મૂકતા:
$V = \frac{(20 \times 500) + (10 \times 200)}{20 + 10}$
$V = \frac{10000 + 2000}{30}$
$V = \frac{12000}{30} = 400\,V$

(D) $20\,F$ ના કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઊર્જા $U_i = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 = \frac{1}{2} \times 20 \times 5^2 = 250\,J$ છે.
જ્યારે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સામાન્ય સ્થિતિમાન $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2} = \frac{20 \times 5 + 30 \times 0}{20 + 30} = \frac{100}{50} = 2\,V$ મળે છે.
સિસ્ટમની અંતિમ ઊર્જા $U_f = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} \times (20 + 30) \times 2^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 4 = 100\,J$ છે.
ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = U_i - U_f = 250\,J - 100\,J = 150\,J$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,સૂત્ર $\Delta U = \frac{C_1 C_2}{2(C_1 + C_2)} (V_1 - V_2)^2 = \frac{20 \times 30}{2(20 + 30)} (5 - 0)^2 = \frac{600}{100} \times 25 = 6 \times 25 = 150\,J$ નો ઉપયોગ કરીને.

(B) શરૂઆતમાં,કેપેસિટર $C_1$ પર વિદ્યુતભાર $Q$ છે અને $C_2$ વિદ્યુતભાર રહિત છે.
જ્યારે સ્વીચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ સમાંતર જોડાણમાં આવે છે.
સમાંતર જોડાણમાં,બંને કેપેસિટર વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન બને છે.
ધારો કે $C_1$ અને $C_2$ પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર અનુક્રમે $Q_1$ અને $Q_2$ છે.
કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થતું હોવાથી,$Q_1 + Q_2 = Q$.
સમાંતર જોડાણ માટે,$V = Q_1 / C_1 = Q_2 / C_2$.
$C_2 = 2C_1$ મૂકતા,આપણને $Q_1 / C_1 = Q_2 / (2C_1)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $Q_2 = 2Q_1$.
આ કિંમત સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા: $Q_1 + 2Q_1 = Q$,તેથી $3Q_1 = Q$.
આમ,$Q_1 = Q/3$ અને $Q_2 = 2Q/3$.

(B) કેપેસિટરો પરનો પ્રારંભિક ચાર્જ $Q_1 = C_1 V_1 = 3 \mu F \times 12 V = 36 \mu C$ અને $Q_2 = C_2 V_2 = 6 \mu F \times 12 V = 72 \mu C$ છે.
જ્યારે એકની પોઝિટિવ પ્લેટ બીજાની નેગેટિવ પ્લેટ સાથે જોડાય છે,ત્યારે સિસ્ટમ પરનો કુલ ચાર્જ $Q_{net} = |Q_2 - Q_1| = |72 \mu C - 36 \mu C| = 36 \mu C$ થાય છે.
સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 3 \mu F + 6 \mu F = 9 \mu F$ છે.
કેપેસિટરો વચ્ચેનો સામાન્ય પોટેન્શિયલ તફાવત $V = \frac{Q_{net}}{C_{eq}} = \frac{36 \mu C}{9 \mu F} = 4 V$ મળે છે.

(D) જ્યારે બે ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય છે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = C_1V_1 + C_2V_2$.
સમાંતર જોડાણનું કુલ કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2$ છે.
સામાન્ય સ્થિતિમાન $V$ માટેનું સૂત્ર $V = \frac{C_1V_1 + C_2V_2}{C_1 + C_2}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $C_1 = 10\,\mu F$,$V_1 = 250\,V$,$C_2 = 5\,\mu F$,$V_2 = 100\,V$.
$V = \frac{(10 \times 250) + (5 \times 100)}{10 + 5} = \frac{2500 + 500}{15} = \frac{3000}{15} = 200\,V$.

(C) જ્યારે બે કેપેસિટરને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ઊંચા સ્થિતિમાનથી નીચા સ્થિતિમાન તરફ વહે છે જ્યાં સુધી તેઓ સમાન સ્થિતિમાન $V'$ પ્રાપ્ત ન કરે.
વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જોડાણ પહેલાનો કુલ વિદ્યુતભાર એ જોડાણ પછીના કુલ વિદ્યુતભાર જેટલો હોય છે.
શરૂઆતનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = C_1 V + C_2 (0) = C_1 V$.
જોડાણ પછીનું કુલ કેપેસિટન્સ $C_{total} = C_1 + C_2$.
સમાન સ્થિતિમાન $V' = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{C_1 V}{C_1 + C_2}$.

(C) $10\ \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = C_1 V_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q = 10 \times 10^{-6}\ F \times 1000\ V = 10^{-2}\ C$.
જ્યારે બે કેપેસિટરોને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે જ્યાં સુધી તેઓ સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત ન કરે.
સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનનું સૂત્ર $V = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$ છે.
બીજું કેપેસિટર અનચાર્જ્ડ હોવાથી,$V_2 = 0$ છે.
$V = \frac{10 \times 10^{-6} \times 1000 + 6 \times 10^{-6} \times 0}{10 \times 10^{-6} + 6 \times 10^{-6}} = \frac{10^{-2}}{16 \times 10^{-6}} = \frac{10000}{16} = 625\ V$.

(A) કેપેસિટર $A$ ની પ્લેટો પરના $\pm q$ વિદ્યુતભારો તેમની વચ્ચેના વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે બંધાયેલા વિદ્યુતભારો છે.
કેપેસિટર $B$ શરૂઆતમાં વિદ્યુતભાર રહિત છે અને કોઈપણ બાહ્ય સ્ત્રોતથી અલગ હોવાથી,સ્વીચ $S$ બંધ કરવાથી $A$ ની અંદરની પ્લેટ $B$ ની અંદરની પ્લેટ સાથે જોડાય છે.
જો કે,$A$ ની પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારો તેમની વચ્ચેના સ્થિત વિદ્યુત આકર્ષણને કારણે બંધાયેલા હોવાથી,તેઓ પ્લેટ $B$ પર જઈ શકતા નથી.
તેથી,કેપેસિટર $B$ પર કોઈ વિદ્યુતભાર વહેશે નહીં અને તે વિદ્યુતભાર રહિત રહેશે.
આમ,$B$ પરનો વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે.

(D) જ્યારે બે વિદ્યુતભારીત વાહકોને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ઊંચા સ્થિતિમાનવાળા વાહકમાંથી નીચા સ્થિતિમાનવાળા વાહક તરફ વહે છે જ્યાં સુધી બંનેના સ્થિતિમાન સમાન ન થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિમાન $V_1 = \frac{kQ_1}{R_1}$ અને $V_2 = \frac{kQ_2}{R_2}$ છે.
જો $V_1 \neq V_2$ (એટલે કે $\frac{Q_1}{R_1} \neq \frac{Q_2}{R_2}$ અથવા $Q_1R_2 \neq Q_2R_1$),તો વિદ્યુતભારનું પુનઃવિતરણ થાય છે.
તંત્રની કુલ પ્રારંભિક ઊર્જા $U = \frac{1}{2} C_1 V_1^2 + \frac{1}{2} C_2 V_2^2$ છે.
સંપર્કમાં લાવ્યા પછી,અંતિમ સ્થિતિમાન $V = \frac{Q_1 + Q_2}{C_1 + C_2}$ થાય છે.
અંતિમ ઊર્જા $U' = \frac{1}{2} (C_1 + C_2) V^2 = \frac{1}{2} \frac{(Q_1 + Q_2)^2}{C_1 + C_2}$ છે.
ગાણિતિક રીતે સાબિત કરી શકાય છે કે ઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = U - U' = \frac{1}{2} \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} (V_1 - V_2)^2$ છે.
કારણ કે $(V_1 - V_2)^2$ હંમેશા ધન હોય છે,તેથી $\Delta U > 0$,જેનો અર્થ છે કે જ્યારે અલગ-અલગ સ્થિતિમાન ધરાવતા વાહકો વચ્ચે વિદ્યુતભાર વહે છે ત્યારે હંમેશા ઊર્જાનો વ્યય (ઘટાડો) થાય છે.

(D) વિદ્યુતભાર હંમેશા ઉચ્ચ સ્થિતિમાનથી નીચા સ્થિતિમાન તરફ વહે છે. કેપેસિટરનું સ્થિતિમાન $V = Q/C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિપથ $(a)$ માટે:
ડાબી બાજુના કેપેસિટરનું સ્થિતિમાન $V_L = (2Q)/(3C) = 0.67(Q/C)$.
જમણી બાજુના કેપેસિટરનું સ્થિતિમાન $V_R = Q/C = 1.0(Q/C)$.
અહીં $V_R > V_L$ હોવાથી,વિદ્યુતભાર $R$ થી $L$ તરફ વહેશે.
પરિપથ $(b)$ માટે:
ડાબી બાજુના કેપેસિટરનું સ્થિતિમાન $V_L = (2Q)/(2C) = Q/C$.
જમણી બાજુના કેપેસિટરનું સ્થિતિમાન $V_R = Q/(2C) = 0.5(Q/C)$.
અહીં $V_L > V_R$ હોવાથી,વિદ્યુતભાર $L$ થી $R$ તરફ વહેશે.

(C) તાર દ્વારા જોડાયેલા બે વાહકો વચ્ચે વિદ્યુતભારનું વહન તેમના વિદ્યુતસ્થિતિમાન પર આધાર રાખે છે,તેમના કુલ વિદ્યુતભાર પર નહીં. વિદ્યુતભાર હંમેશા ઊંચા સ્થિતિમાનથી નીચા સ્થિતિમાન તરફ વહે છે.
ગોળાકાર વાહકનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ગોળા માટે $(R_1 = 1 \, cm = 0.01 \, m)$:
$Q_1 = 1.5 \times 10^{-8} \, C$
$V_1 = \frac{k \times 1.5 \times 10^{-8}}{0.01} = k \times 1.5 \times 10^{-6} \, V$
બીજા ગોળા માટે $(R_2 = 2 \, cm = 0.02 \, m)$:
$Q_2 = 0.3 \times 10^{-7} = 3 \times 10^{-8} \, C$
$V_2 = \frac{k \times 3 \times 10^{-8}}{0.02} = k \times 1.5 \times 10^{-6} \, V$
અહીં $V_1 = V_2$ હોવાથી,બંને ગોળાઓ વચ્ચે કોઈ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત નથી. તેથી,તેમની વચ્ચે કોઈ વિદ્યુતભારનું વહન થશે નહીં.

(B) જ્યારે બે વિદ્યુતભારીત ગોળાઓને વાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારનું વહન ત્યાં સુધી થાય છે જ્યાં સુધી બંને ગોળાઓ સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત ન કરે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રના સમીકરણમાં $Q = V(4\pi\epsilon_0 r)$ મૂકતા,આપણને $E = \frac{V}{r}$ મળે છે.
અહીં બંને ગોળાઓ માટે $V$ સમાન હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ ત્રિજ્યા $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(E \propto 1/r)$.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{E_a}{E_b} = \frac{b}{a}$ થાય છે.

(B) શરૂઆતમાં,પ્રથમ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ છે અને બીજું કેપેસિટર વિદ્યુતભાર રહિત છે $(Q_2 = 0)$.
જ્યારે તેમને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = CV + 0 = CV$ બંને સમાન કેપેસિટરો વચ્ચે વહેંચાય છે.
કેપેસિટરો સમાન હોવાથી,બંને કેપેસિટર વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન બને છે અને વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાય છે.
તેથી,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q' = \frac{Q_{total}}{2} = \frac{CV}{2}$ થશે.

(B) ધારો કે દરેક ગોળા પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q$ છે. તંત્રનો કુલ વિદ્યુતભાર $q + q = 2q$ છે.
જ્યારે તેમને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ગોળાઓ સમાન સ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત કરે છે. ગોળાઓ પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $q_1 = C_1 V = \frac{R_1 V}{k}$ અને $q_2 = C_2 V = \frac{R_2 V}{k}$ છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$.
વિદ્યુતભાર સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર = કુલ અંતિમ વિદ્યુતભાર:
$2q = q_1 + q_2$
$2q = \frac{R_1 V}{k} + \frac{R_2 V}{k}$
$2q = \frac{V}{k}(R_1 + R_2)$
$q = \frac{V}{2k}(R_1 + R_2)$

(B) શરૂઆતમાં,કેપેસીટર $C_1$ પર વિદ્યુતભાર $Q$ છે અને કેપેસીટર $C_2$ વિદ્યુતભાર રહિત છે.
જ્યારે કળ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બંને કેપેસીટરો સમાંતર જોડાણમાં આવે છે.
સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,બંને કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહેશે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q$ અચળ રહે છે.
ધારો કે અંતિમ વિદ્યુતભાર $Q_1'$ અને $Q_2'$ છે.
$Q_1' = C_1 V$ અને $Q_2' = C_2 V = 2C_1 V = 2Q_1'$.
$Q_1' + Q_2' = Q$ હોવાથી,$Q_1' + 2Q_1' = Q$,જે આપણને $3Q_1' = Q$ આપે છે.
તેથી,$Q_1' = Q/3$ અને $Q_2' = 2Q/3$.

(B) ગોળાકાર વાહકનું કેપેસિટન્સ $C = 4\pi \epsilon_0 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે બે ગોળાઓને તાર દ્વારા જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ત્યાં સુધી વહે છે જ્યાં સુધી તેઓ સામાન્ય સ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત ન કરે.
સામાન્ય સ્થિતિમાન $V = \frac{Q_{total}}{C_1 + C_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$Q_{total} = 150 \ \mu C = 150 \times 10^{-6} \ C$,$R_1 = 0.1 \ m$,અને $R_2 = 0.2 \ m$ છે.
કેપેસિટન્સ $C_1 = 4\pi \epsilon_0 R_1$ અને $C_2 = 4\pi \epsilon_0 R_2$ છે.
તેથી,$V = \frac{Q_{total}}{4\pi \epsilon_0 (R_1 + R_2)} = \frac{k \cdot Q_{total}}{R_1 + R_2}$,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{9 \times 10^9 \times 150 \times 10^{-6}}{0.1 + 0.2} = \frac{9 \times 150 \times 10^3}{0.3} = \frac{1350 \times 10^3}{0.3} = 4500 \times 10^3 \ V = 4.5 \times 10^6 \ V$.

(A) જ્યારે બે વિદ્યુતભારીત સુવાહકોને તાર વડે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે વિદ્યુતભારનું વહન ત્યાં સુધી થાય છે જ્યાં સુધી બંને સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત ન કરે.
સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાનનું સૂત્ર: $V = \frac{\text{કુલ વિદ્યુતભાર}}{\text{કુલ કેપેસીટન્સ}}$.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 150\, \mu C + 150\, \mu C = 300\, \mu C = 300 \times 10^{-6}\, C$.
ગોળાકાર સુવાહકનું કેપેસીટન્સ $C = 4\pi \epsilon_0 R$ છે.
કુલ કેપેસીટન્સ $C_{total} = C_1 + C_2 = 4\pi \epsilon_0 (R_1 + R_2)$.
અહીં $R_1 = 0.2\, m$ અને $R_2 = 0.1\, m$ આપેલ છે, તેથી $R_1 + R_2 = 0.3\, m$.
$V = \frac{300 \times 10^{-6}}{4\pi \epsilon_0 (0.3)} = \frac{300 \times 10^{-6} \times 9 \times 10^9}{0.3}$.
$V = \frac{2700 \times 10^3}{0.3} = 9000 \times 10^3 = 9 \times 10^6\, V$.

(D) આપેલ છે: $C_1 = 3 \ \mu F$,$C_2 = 6 \ \mu F$,$V_1 = 12 \ V$,$V_2 = 12 \ V$.
કેપેસિટરોને સમાંતર જોડાણમાં તેમની ધન પ્લેટોને એકસાથે અને ઋણ પ્લેટોને એકસાથે જોડીને જોડવામાં આવે છે,તેથી સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V_{CM}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$V_{CM} = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$V_{CM} = \frac{(3 \ \mu F \times 12 \ V) + (6 \ \mu F \times 12 \ V)}{3 \ \mu F + 6 \ \mu F}$
$V_{CM} = \frac{36 + 72}{9} = \frac{108}{9} = 12 \ V$.
આમ,દરેક કેપેસિટર પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $12 \ V$ રહે છે.

(C) કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર:
$Q_1 = C_1 V_1 = 3\ \mu F \times 300\ V = 900\ \mu C$
$Q_2 = C_2 V_2 = 2\ \mu F \times 200\ V = 400\ \mu C$
તેમને વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે જોડવામાં આવતા,કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{net} = Q_1 - Q_2 = 900\ \mu C - 400\ \mu C = 500\ \mu C$ થાય.
જોડાણ પછીનું સામાન્ય સ્થિતિમાન $V$:
$V = \frac{Q_{net}}{C_1 + C_2} = \frac{500\ \mu C}{3\ \mu F + 2\ \mu F} = 100\ V$.
$3\ \mu F$ કેપેસિટર પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $Q_1' = C_1 V = 3\ \mu F \times 100\ V = 300\ \mu C$.
વાયરમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર એ કેપેસિટર પરના વિદ્યુતભારમાં થતો ફેરફાર છે:
$\Delta Q = Q_1 - Q_1' = 900\ \mu C - 300\ \mu C = 600\ \mu C$.

(C) જ્યારે બે કેપેસિટરોને તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ત્યાં સુધી વહે છે જ્યાં સુધી તેઓ સમાન સ્થિતિમાન $(V_{com})$ પ્રાપ્ત ન કરે.
જોડાણ પછી,બંને કેપેસિટરો પરનું સ્થિતિમાન સમાન $(V_{com})$ થઈ જાય છે.
પ્રથમ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q'_1 = C_1 V_{com}$ છે.
બીજા કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q'_2 = C_2 V_{com}$ છે.
તેમના વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{Q'_1}{Q'_2} = \frac{C_1 V_{com}}{C_2 V_{com}} = \frac{C_1}{C_2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{Q'_1}{Q'_2} = \frac{2 \ \mu F}{5 \ \mu F} = \frac{2}{5}$.

(C) જ્યારે બે કેપેસિટરને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ઊંચા સ્થિતિમાનવાળા કેપેસિટરથી નીચા સ્થિતિમાનવાળા કેપેસિટર તરફ વહે છે જ્યાં સુધી બંને સમાન સ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત ન કરે.
જો શરૂઆતનું સ્થિતિમાન સમાન હોય,એટલે કે $V_1 = V_2$,તો જ્યારે તેમને જોડવામાં આવે ત્યારે પ્લેટો વચ્ચે કોઈ સ્થિતિમાનનો તફાવત રહેતો નથી.
પરિણામે,કેપેસિટર વચ્ચે કોઈ વિદ્યુતભાર વહેતો નથી અને વિદ્યુતભાર કે ઉર્જાનું પુનઃવિતરણ થતું નથી.
તેથી,જો $V_1 = V_2$ હોય,તો સિસ્ટમની સ્થિતિમાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.

(D) જ્યારે બે કેપેસિટરને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય છે.
સામાન્ય સ્થિતિમાન $V_{CM}$ માટેનું સૂત્ર: $V_{CM} = \frac{C_1 V_1 + C_2 V_2}{C_1 + C_2}$.
આપેલ કિંમતો: $C_1 = 10 \ \mu F$,$V_1 = 50 \ V$,$V_2 = 0 \ V$ (વિદ્યુતભાર રહિત),અને $V_{CM} = 20 \ V$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$20 = \frac{(10 \times 50) + (C_2 \times 0)}{10 + C_2}$
$20 = \frac{500}{10 + C_2}$
$20(10 + C_2) = 500$
$200 + 20 C_2 = 500$
$20 C_2 = 300$
$C_2 = \frac{300}{20} = 15 \ \mu F$.
આમ,બીજા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $15 \ \mu F$ છે.

(C) $6\ \mu F$ કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = C_1 V_0 = 6\ \mu F \times 100\, V = 600\ \mu C$ છે.
જ્યારે તેમને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બંને કેપેસિટર સમાન સ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત કરે છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = C_1 V$ અને $q_2 = C_2 V$ થશે.
વિદ્યુતભારનો ગુણોત્તર $\frac{q_1}{q_2} = \frac{C_1 V}{C_2 V} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{6}{14}$ છે.
વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$q_1 + q_2 = Q = 600\ \mu C$.
$C_1 V + C_2 V = 600\ \mu C \Rightarrow V(6 + 14) = 600$.
$V = \frac{600}{20} = 30\, V$.
આમ,ગુણોત્તર $6/14$ છે અને સ્થિતિમાન $30\, V$ છે.

(A) ગોળાકાર વાહકનું કેપેસીટન્સ $C = 4\pi\epsilon_0 R = \frac{R}{k}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ છે.
આપેલ છે: $R_1 = 0.2 \ m$,$R_2 = 0.1 \ m$,$q_1 = 150 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 150 \times 10^{-6} \ C$.
જ્યારે તેમને તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q = q_1 + q_2 = 300 \times 10^{-6} \ C$ વહેંચાય છે અને કુલ કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = \frac{R_1 + R_2}{k}$ થાય છે.
સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{Q}{C_{eq}} = \frac{q_1 + q_2}{(R_1 + R_2)/k} = \frac{k(q_1 + q_2)}{R_1 + R_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{9 \times 10^9 \times (300 \times 10^{-6})}{0.2 + 0.1} = \frac{9 \times 10^9 \times 300 \times 10^{-6}}{0.3}$.
$V = \frac{2700 \times 10^3}{0.3} = 9000 \times 10^3 = 9 \times 10^6 \ V$.

(A) કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q_1 = CV$ અને $Q_2 = (2C)(2V) = 4CV$ છે.
તેમને વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે જોડવામાં આવતા,તંત્ર પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{net} = |Q_2 - Q_1| = |4CV - CV| = 3CV$ થશે.
સમાંતર જોડાણમાં તંત્રનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + 2C = 3C$ છે.
સામાન્ય સ્થિતિમાન $V_{com} = \frac{Q_{net}}{C_{eq}} = \frac{3CV}{3C} = V$ મળે છે.
તંત્રમાં સંગ્રહિત અંતિમ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C_{eq} V_{com}^2 = \frac{1}{2} (3C) (V)^2 = \frac{3}{2} CV^2$ થાય છે.

(C) કેપેસિટરો પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q_1 = CV$ અને $Q_2 = 2C(2V) = 4CV$ છે.
જ્યારે વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્ર પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{net} = Q_2 - Q_1 = 4CV - CV = 3CV$ થાય છે.
સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + 2C = 3C$ છે.
સામાન્ય સ્થિતિમાન $V'$ એ $V' = Q_{net} / C_{eq} = 3CV / 3C = V$ દ્વારા મળે છે.
આ સંરચનાની અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{2} C_{eq} (V')^2 = \frac{1}{2} (3C) V^2 = \frac{3}{2} CV^2$ છે.