Mix Examples - Electric Potential and Capacitance Questions in Gujarati

(B) જ્યારે સાબુના પરપોટાને ઋણ વીજભાર આપવામાં આવે છે,ત્યારે આ વીજભાર પરપોટાની સપાટી પર સમાન રીતે વહેંચાઈ જાય છે.
સપાટી પર સમાન પ્રકારના વીજભાર (ઋણ વીજભાર) હોવાને કારણે,તેમની વચ્ચે પરસ્પર અપાકર્ષણનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ લાગે છે.
આ બહારની તરફ લાગતું સ્થિત-વિદ્યુત દબાણ પરપોટાની અંદરના હવાના દબાણ ઉપરાંત કાર્ય કરે છે,જેના કારણે પરપોટો વિસ્તરે છે.
તેથી,સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા વધે છે.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત ડિસ્કના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે સ્થિતિમાન $V(x) = \frac{\sigma}{2\epsilon_0} (\sqrt{x^2 + R^2} - x)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
જેમ જેમ $+q$ વિદ્યુતભાર ડિસ્ક તરફ ગતિ કરે છે, તેમ તે અપાકર્ષી સ્થિત-વિદ્યુત બળ અનુભવે છે.
$x$ અંતરે વિદ્યુતભારની સ્થિતિઊર્જા $U(x) = qV(x)$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $E + U(\infty) = K(x) + U(x)$. અહીં $U(\infty) = 0$ હોવાથી, $E = K(x) + qV(x)$.
સૌથી નજીકના બિંદુએ, $K(x) = 0$ થાય, તેથી $E = qV(x)$.
$1$. જો $E$ ખૂબ મોટું હોય, તો વિદ્યુતભાર ડિસ્કને અથડાશે $(x=0)$.
$2$. જો $E$ સપાટી પરની સ્થિતિઊર્જા જેટલું જ હોય, તો તે ડિસ્કને સ્પર્શીને પાછો ફરશે.
$3$. જો $E$ નાનું હોય, તો વિદ્યુતભાર અમુક અંતરે $x > 0$ પર અટકી જશે અને ડિસ્કને સ્પર્શ્યા વગર પાછો ફરશે.
આમ, $E$ ના મૂલ્યના આધારે ત્રણેય પરિસ્થિતિઓ શક્ય છે.

(D) જ્યારે $n$ સમાન નાના ટીપાં,જે દરેકનો વીજભાર $q$ છે,તેમને ભેગા કરીને એક મોટું ટીપું બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વીજભારનું સંરક્ષણ થાય છે.
અહીં $64$ ટીપાં હોવાથી,મોટા ટીપા પરનો કુલ વીજભાર $Q$ એ બધા નાના ટીપાંના વીજભારના સરવાળા જેટલો થશે.
તેથી,$Q = n \times q$.
અહીં $n = 64$ આપેલ છે,તેથી $Q = 64\,q$.

(D) $r$ ત્રિજ્યા અને $q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ગોળાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ગોળાઓ પર સમાન વિદ્યુતભાર $q$ હોવાથી,તેમના સ્થિતિમાન $V_P = \frac{kq}{r_1}$ અને $V_Q = \frac{kq}{r_2}$ થશે.
આપેલ છે કે $r_1 > r_2$,તેથી $V_P < V_Q$ થાય.
જો વિદ્યુતભાર $q$ ધન હોય,તો સ્થિતિમાન $V_Q$ એ $V_P$ કરતા વધારે છે,તેથી ધન વિદ્યુતભાર $Q$ થી $P$ તરફ વહેશે.
જો વિદ્યુતભાર $q$ ઋણ હોય,તો સ્થિતિમાન $V_P$ એ $V_Q$ કરતા વધારે (ઓછું ઋણ) છે,તેથી ઋણ વિદ્યુતભાર $P$ થી $Q$ તરફ વહેશે.
અહીં વિદ્યુતભારનો પ્રકાર (ધન કે ઋણ) જણાવેલ ન હોવાથી,પ્રવાહની દિશા નક્કી કરી શકાતી નથી. તેથી,માહિતી અધૂરી છે.

(D) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે. પ્રારંભિક ચાર્જ $Q_i = CV$ છે.
જ્યારે અંતર અડધું $(d' = d/2)$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = 2C$ થાય છે.
બેટરી જોડાયેલી હોવાથી,કેપેસિટર પરનું પોટેન્શિયલ $V$ જ રહે છે.
કેપેસિટર પરનો નવો ચાર્જ $Q_f = C'V = 2CV$ છે.
બેટરી દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવેલ વધારાનો ચાર્જ $\Delta Q = Q_f - Q_i = 2CV - CV = CV$ છે.
બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતી ઉર્જા $W = \Delta Q \times V = (CV) \times V = CV^2$ છે.

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. દરેક નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ છે.
જ્યારે $N$ આવા ટીપાં ભેગા થઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદનું સંરક્ષણ થાય છે:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = N \times \frac{4}{3}\pi r^3 \implies R^3 = N r^3 \implies R = N^{1/3}r$.
મોટા ટીપા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = Nq$ છે.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V' = \frac{kQ}{R} = \frac{k(Nq)}{N^{1/3}r}$ થશે.
$V = \frac{kq}{r}$ મૂકતા,આપણને $V' = N^{1 - 1/3} \times V = N^{2/3}V$ મળે છે.

(B) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{{\varepsilon _0}A}{d}$. પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = CV = \frac{{\varepsilon _0}AV}{d}$. બેટરી દૂર કરવામાં આવી હોવાથી,વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
$k$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી સ્લેબ દાખલ કર્યા પછી,નવું કેપેસિટન્સ $C' = kC = \frac{k{\varepsilon _0}A}{d}$ થાય છે.
નવો પોટેન્શિયલ તફાવત $V' = \frac{Q}{C'} = \frac{CV}{kC} = \frac{V}{k}$ થાય છે.
નવું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V'}{d} = \frac{V}{kd}$ થાય છે.
સિસ્ટમ પર થયેલ કાર્ય $W$ એ સંગ્રહિત ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $W = U_{final} - U_{initial}$.
$U_{initial} = \frac{1}{2}CV^2$.
$U_{final} = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(CV)^2}{2kC} = \frac{CV^2}{2k}$.
$W = \frac{CV^2}{2k} - \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}CV^2 \left( \frac{1}{k} - 1 \right) = -\frac{{\varepsilon _0}AV^2}{2d} \left( 1 - \frac{1}{k} \right)$.
આમ,વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને દરેક નાના ટીપાં પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે.
નાના ટીપાંનું સ્થિતિમાન $v = \frac{kq}{r} = 50\;V$ છે.
જ્યારે $n = 125$ ટીપાં ભેગા થઈને $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે.
તેથી,$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3$,જેનો અર્થ છે કે $R = n^{1/3}r$.
મોટા ટીપાં પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = nq$ છે.
મોટા ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \times \frac{kq}{r}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $V = (125)^{2/3} \times 50$.
$V = (5^3)^{2/3} \times 50 = 5^2 \times 50 = 25 \times 50 = 1250\;V$.

(D) કેપેસિટર તેની પ્લેટો વચ્ચે વિદ્યુતક્ષેત્રના સ્વરૂપમાં વિદ્યુત ઉર્જાનો સંગ્રહ કરે છે. પાવર સપ્લાય બંધ કર્યા પછી પણ,પ્લેટો પર ચાર્જ સંગ્રહિત રહે છે. જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ ટર્મિનલ્સને સ્પર્શ કરે છે,ત્યારે કેપેસિટર શરીર દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે,જે વિદ્યુત પ્રવાહ માટે માર્ગ તરીકે કાર્ય કરે છે. સંગ્રહિત ઉર્જાનું આ અચાનક ડિસ્ચાર્જ ગંભીર ઇલેક્ટ્રિક શોકનું કારણ બની શકે છે,જે માનવ સ્વાસ્થ્ય માટે જોખમી છે. તેથી,કેપેસિટર ઉર્જા ડિસ્ચાર્જ કરે છે અને વ્યક્તિને જોખમી રીતે અસર કરે છે.

(D) જ્યારે $d$ અંતર ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે $t$ જાડાઈની ધાતુની શીટ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $t > 0$ હોવાથી,છેદ $(d - t)$ એ $d$ કરતા નાનો છે,જેનો અર્થ છે કે $C' > C$. આમ,કેપેસિટન્સ વધે છે.
વધુમાં,કેપેસિટન્સ $C'$ નું સૂત્ર ધાતુની શીટના સ્થાન પર આધારિત નથી,જો તે પ્લેટોને સમાંતર મૂકવામાં આવે.
તેથી,વિધાન $(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તેનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. નાના ટીપાંનું સ્થિતિમાન $v = \frac{kq}{r}$ છે.
જ્યારે $n = 125$ ટીપાં ભેગા થઈને $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતું મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય છે: $Q = nq = 125q$.
કદનું પણ સંરક્ષણ થાય છે: $\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,જેનો અર્થ છે કે $R^3 = nr^3$,અથવા $R = n^{1/3}r$.
$n = 125$ માટે,$R = (125)^{1/3}r = 5r$.
મોટા ટીપાંનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \left(\frac{kq}{r}\right) = n^{2/3}v$ થાય.
અહીં $V = 2.5\, V$ અને $n = 125$ આપેલ છે,તેથી $2.5 = (125)^{2/3}v$.
$2.5 = (5^3)^{2/3}v = 5^2 v = 25v$.
આમ,$v = \frac{2.5}{25} = 0.1\, V$ મળે.

(A) પ્રારંભિક ઉર્જા $E_0 = \frac{1}{2} C_0 V_0^2$.
કિસ્સો $(i)$: બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે. વિદ્યુતભાર $Q = C_0 V_0$ અચળ રહે છે. જ્યારે અંતર $d$ બમણું થાય,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = C_0/2$ થાય. ઉર્જા $E_1 = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(C_0 V_0)^2}{2(C_0/2)} = C_0 V_0^2 = 2E_0$.
કિસ્સો $(ii)$: બેટરી જોડાયેલી રહે છે. પોટેન્શિયલ $V_0$ અચળ રહે છે. જ્યારે અંતર $d$ બમણું થાય,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = C_0/2$ થાય. ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2} C' V_0^2 = \frac{1}{2} (C_0/2) V_0^2 = \frac{1}{4} C_0 V_0^2 = E_0/2$.
તેથી,$E_1/E_2 = (2E_0) / (E_0/2) = 4$.

(A) ધારો કે દરેક કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C = 2\,\mu F$ છે. આપણે કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = \frac{10}{11}\,\mu F$ મેળવવું છે.
ધારો કે $n$ કેપેસીટરો સમાંતર જોડાણમાં છે અને $m$ કેપેસીટરો આ સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
સમાંતર જોડાણમાં $n$ કેપેસીટરોનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_p = nC = n(2)\,\mu F$ થાય.
કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ એ $C_p$ અને $m$ કેપેસીટરોના શ્રેણી જોડાણ દ્વારા મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_p} + \frac{m}{C} = \frac{1}{2n} + \frac{m}{2} = \frac{1 + nm}{2n}$.
આપેલ છે કે $C_{eq} = \frac{10}{11}\,\mu F$,તેથી $\frac{2n}{1 + nm} = \frac{10}{11}$.
$22n = 10 + 10nm \implies 11n = 5 + 5nm \implies 5nm = 11n - 5$.
કેપેસીટરોની કુલ સંખ્યા $n + m = 7$ હોવાથી,$m = 7 - n$ મળે.
$m$ ની કિંમત મૂકતા: $5n(7 - n) = 11n - 5 \implies 35n - 5n^2 = 11n - 5 \implies 5n^2 - 24n - 5 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $5n^2 - 25n + n - 5 = 0 \implies 5n(n - 5) + 1(n - 5) = 0 \implies (5n + 1)(n - 5) = 0$.
આમ,$n = 5$ અને $m = 7 - 5 = 2$.
આનો અર્થ એ છે કે $5$ કેપેસીટરો સમાંતર છે અને $2$ કેપેસીટરો આ સમાંતર જૂથ સાથે શ્રેણીમાં છે. આ આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવેલ ગોઠવણી સાથે મેળ ખાય છે.

(B) $1$. સમાંતર જોડાણમાં,કુલ કેપેસિટન્સ $C_p = nC$ છે. સંગ્રહિત ઉર્જા $U_p = \frac{1}{2} (nC) V^2$ છે.
$2$. જ્યારે કેપેસિટર્સને અલગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક કેપેસિટર $q = CV$ જેટલો ચાર્જ જાળવી રાખે છે.
$3$. જ્યારે આ $n$ કેપેસિટર્સને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s = \frac{C}{n}$ થાય છે.
$4$. શ્રેણી જોડાણમાં કુલ ચાર્જ $q = CV$ છે. શ્રેણી જોડાણ પરનો કુલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V' = \frac{q}{C_s} = \frac{CV}{C/n} = nV$ છે.
$5$. શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_s = \frac{q^2}{2C_s} = \frac{(CV)^2}{2(C/n)} = \frac{nC^2V^2}{2C} = \frac{1}{2} nCV^2$ છે.
$6$. $U_p$ અને $U_s$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $U_p = U_s$. આમ,ઉર્જા સમાન રહે છે અને પોટેન્શિયલ તફાવત $nV$ થાય છે.

(D) આપેલ પરિપથ કેપેસિટરો માટે સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ છે.
બધા કેપેસિટરો સમાન કેપેસિટન્સ $(C = 10\,\mu F)$ ધરાવતા હોવાથી,વચ્ચેના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે.
તેથી,વચ્ચેના કેપેસિટરમાંથી કોઈ વિદ્યુતભાર વહેતો નથી,અને તેને પરિપથમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
હવે,પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે,જેમાં દરેક શાખામાં બે કેપેસિટરો શ્રેણીમાં છે.
ઉપરની શાખા માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1$ એ $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} \implies C_1 = 5\,\mu F$ દ્વારા મળે છે.
તે જ રીતે,નીચેની શાખા માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_2 = 5\,\mu F$ છે.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 5\,\mu F + 5\,\mu F = 10\,\mu F$ થાય.

(C) જ્યારે $C_1 = 1\,\mu F$ અને $C_2 = 1\,\mu F$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બે કેપેસિટરને સમાંતર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2 = 1\,\mu F + 1\,\mu F = 2\,\mu F = 2 \times 10^{-6}\,F$ થાય છે.
સપ્લાય વોલ્ટેજ $V = 200\,V$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-6}\,F) \times (200\,V)^2$.
$U = 10^{-6} \times 40000 = 0.04\,J$.

(C) પરિપથ આકૃતિ પરથી,કેપેસિટર $C_1$ એ $C_2$ અને $C_3$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
શ્રેણીમાં રહેલા કેપેસિટર્સ માટે,$C_1$ માંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_1$ એ સમાંતર શાખાઓ પરના વિદ્યુતભારોના સરવાળા જેટલો હોવો જોઈએ,તેથી $Q_1 = Q_2 + Q_3$.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા કેપેસિટર્સ માટે,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે,તેથી $V_2 = V_3$.
બેટરીનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ $C_1$ પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપ અને સમાંતર જોડાણ ($V_2$ અથવા $V_3$) પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપના સરવાળા જેટલું હોય છે.
તેથી,$V = V_1 + V_2$ (અથવા $V = V_1 + V_3$).

(C) જ્યારે બે કેપેસિટરોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ચાર્જ ઉચ્ચ પોટેન્શિયલ ધરાવતા કેપેસિટરથી નીચા પોટેન્શિયલ ધરાવતા કેપેસિટર તરફ વહે છે જ્યાં સુધી બંને સમાન પોટેન્શિયલ પ્રાપ્ત ન કરે.
આ ચાર્જના પુનઃવિતરણ દરમિયાન ઉર્જાનો વ્યય થાય છે.
ઉર્જામાં થતો ઘટાડો આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta U = \frac{C_1 C_2}{2(C_1 + C_2)} (V_1 - V_2)^2$.
ઉર્જાનો કોઈ વિનિમય કે વ્યય ન થાય તે માટે,$\Delta U$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $(V_1 - V_2)^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $V_1 = V_2$.
તેથી,જો પ્રારંભિક વોલ્ટેજ સમાન હોય,તો કોઈ ચાર્જ પ્રવાહ વહેતો નથી અને ઉર્જાનો કોઈ વ્યય થતો નથી.

(A) ધારો કે દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = 3\,\mu F$ છે.
$1$. $A$ અને $B$ વચ્ચેના સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_{AB})$ માટે:
જ્યારે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ને સ્ત્રોત સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે $A$ અને $B$ ની વચ્ચે સીધો રહેલો કેપેસિટર બાકીના ત્રણ કેપેસિટરના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતર હોય છે.
$C_{AB} = C + (C/3) = 3 + (3/3) = 3 + 1 = 4\,\mu F$.
$2$. $A$ અને $C$ વચ્ચેના સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $(C_{AC})$ માટે:
જ્યારે બિંદુઓ $A$ અને $C$ ને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓ બનાવે છે,જેમાં દરેક શાખામાં બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોય છે.
$C_{AC} = (C/2) + (C/2) = (3/2) + (3/2) = 1.5 + 1.5 = 3\,\mu F$.
$3$. ગુણોત્તર $C_{AB} : C_{AC} = 4 : 3$ થશે.

(D) $1$. પરિપથનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $10\;\mu F$,$5\;\mu F$,અને $9\;\mu F$ ના કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે.
$2$. આ સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_p = 10 + 5 + 9 = 24\;\mu F$ થાય.
$3$. હવે,પરિપથ ત્રણ કેપેસિટરના શ્રેણી જોડાણમાં ફેરવાય છે: $12\;\mu F$,$24\;\mu F$,અને $8\;\mu F$.
$4$. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ માટે $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \frac{1}{8} = \frac{2 + 1 + 3}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$ થાય. તેથી,$C_{eq} = 4\;\mu F$.
$5$. પરિપથમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V = 4\;\mu F \times 60\;V = 240\;\mu C$ થાય.
$6$. આ વિદ્યુતભાર $Q$ એ $12\;\mu F$ અને $8\;\mu F$ કેપેસિટરમાંથી પસાર થાય છે અને સમાંતર જોડાણમાં વહેંચાય છે.
$7$. $5\;\mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q'$ એ તેના કેપેસીટન્સ અને કુલ સમાંતર કેપેસીટન્સના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે: $Q' = Q \times \frac{5}{10 + 5 + 9} = 240 \times \frac{5}{24} = 50\;\mu C$.

(D) $1$. બે $4\,\mu F$ કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_p = 4\,\mu F + 4\,\mu F = 8\,\mu F$ થાય.
$2$. હવે,પરિપથમાં ત્રણ કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે: $20\,\mu F$,$8\,\mu F$ (સમાંતર જોડાણ),અને $12\,\mu F$.
$3$. સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ માટે $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{20} + \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{6 + 15 + 10}{120} = \frac{31}{120}\,\mu F^{-1}$,તેથી $C_{eq} = \frac{120}{31}\,\mu F$.
$4$. $300\,V$ ના સ્ત્રોત દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V = \frac{120}{31} \times 300 = \frac{36000}{31} \approx 1161.29\,\mu C$.
$5$. કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી,દરેક શાખામાંથી સમાન વિદ્યુતભાર $Q$ વહે છે. આ વિદ્યુતભાર $Q$ બે સમાંતર $4\,\mu F$ કેપેસિટર વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાય છે કારણ કે તેમની કેપેસીટન્સ સમાન છે.
$6$. દરેક $4\,\mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = \frac{Q}{2} = \frac{1161.29}{2} \approx 580.6\,\mu C$.
$7$. $4\,\mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = \frac{q}{C} = \frac{580.6}{4} \approx 145.15\,V$. સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) $1$. સૌ પ્રથમ,$4\,\mu F$ અને $8\,\mu F$ ના સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ શોધો: $C_p = 4\,\mu F + 8\,\mu F = 12\,\mu F$.
$2$. હવે,આ $C_p$ એ $12\,\mu F$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ આ મુજબ છે: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{12\,\mu F} + \frac{1}{12\,\mu F} = \frac{2}{12\,\mu F} = \frac{1}{6\,\mu F}$,તેથી $C_{eq} = 6\,\mu F$.
$3$. $20\;V$ ના સ્ત્રોત દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ છે: $Q = C_{eq} \times V = 6\,\mu F \times 20\;V = 120\,\mu C$.
$4$. આ વિદ્યુતભાર $Q$ શ્રેણી જોડાણમાંથી વહે છે. $4\,\mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q'$ સમાંતર પરિપથમાં વિદ્યુતભાર વિભાજનના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે: $Q' = Q \times \frac{C_1}{C_1 + C_2} = 120\,\mu C \times \frac{4\,\mu F}{4\,\mu F + 8\,\mu F} = 120\,\mu C \times \frac{4}{12} = 40\,\mu C$.

(A) અને $B$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ શોધવા માટે,આપણે પરિપથને જમણી બાજુથી સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સરળ બનાવીએ છીએ.
$1$. સૌથી જમણી બાજુનો $3\, \mu F$ કેપેસીટર અને નીચેની શાખામાં રહેલો $3\, \mu F$ કેપેસીટર શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય $C_1 = (3 \times 3) / (3 + 3) = 1.5\, \mu F$ થાય.
$2$. આ $C_1$ એ $2\, \mu F$ કેપેસીટર સાથે સમાંતરમાં છે,તેથી $C_2 = 1.5 + 2 = 3.5\, \mu F$ મળે.
$3$. આ $C_2$ એ ઉપરની વચ્ચેની શાખામાં રહેલા $3\, \mu F$ કેપેસીટર સાથે શ્રેણીમાં છે,તેથી $C_3 = (3.5 \times 3) / (3.5 + 3) = 10.5 / 6.5 \approx 1.61\, \mu F$ મળે.
$4$. આ સંપૂર્ણ લેડર નેટવર્ક માટે આ સરળીકરણની પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,$A$ અને $B$ વચ્ચેનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $1\, \mu F$ મળે છે.

(B) પગલું $1$: શ્રેણી જોડાણમાં સમતુલ્ય કેપેસિટન્સની ગણતરી કરો.
$\frac{1}{C_s} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}\,pF^{-1}$,તેથી $C_s = 2\,pF$.
પગલું $2$: શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભારની ગણતરી કરો.
$Q = C_s \times V = 2 \times 10^{-12}\,F \times 5000\,V = 10^{-8}\,C$.
પગલું $3$: જ્યારે તેમને છૂટા પાડીને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = Q_1 + Q_2 = 10^{-8} + 10^{-8} = 2 \times 10^{-8}\,C$ થાય છે.
નવું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 3 + 6 = 9\,pF$ છે.
પગલું $4$: સમાંતર જોડાણ માટે નવું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V' = \frac{Q_{total}}{C_p} = \frac{2 \times 10^{-8}}{9 \times 10^{-12}} = \frac{20000}{9} \approx 2222\,V$.

(C) આ સર્કિટમાં ચાર કેપેસિટર છે. ધારો કે કેપેસિટર $C_1 = 2\,\mu F$ (ઉપર),$C_2 = 2\,\mu F$ (મધ્યમાં ઉભું),$C_3 = 12\,\mu F$ (ઉપર જમણી બાજુ),અને $C_4 = 2\,\mu F$ (નીચે જમણી બાજુ) છે.
સર્કિટનું વિશ્લેષણ કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $2\,\mu F$ કેપેસિટર (ઉપર) અને $2\,\mu F$ કેપેસિટર (મધ્યમાં ઉભું) શ્રેણીમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{12}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \implies C_{12} = 1\,\mu F$.
આ સર્કિટનું પ્રમાણિત સરળીકરણ નીચે મુજબ છે:
$C_{eq} = \frac{(2+2) \times 12}{(2+2) + 12} + 2 = \frac{4 \times 12}{16} + 2 = 3 + 2 = 5\,\mu F$.

(C) સમાંતર જોડેલા $100$ કેપેસિટરોનું કુલ કેપેસીટન્સ $C_{eq} = 100 \times 10\,\mu F = 1000\,\mu F = 10^{-3}\,F$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 100\,kV = 10^5\,V$ છે.
કેપેસિટરોમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ છે.
$U = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times (10^5)^2 = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 10^{10} = 0.5 \times 10^7 = 5 \times 10^6\,J$.
આપેલ છે કે $1\,kWh = 3.6 \times 10^6\,J$ અને ખર્ચ $108\;paise\;per\;kWh$ છે.
ચાર્જ કરવાનો ખર્ચ $\text{Cost} = \frac{U}{3.6 \times 10^6} \times 108$ છે.
$\text{Cost} = \frac{5 \times 10^6}{3.6 \times 10^6} \times 108 = \frac{5}{3.6} \times 108 = 5 \times 30 = 150\;paise$.

(C) આપેલ સર્કિટમાં ચાર કેપેસિટર છે. ધારો કે કેપેસિટર $C_1 = 1\,\mu F$ (ઉપર ડાબે),$C_2 = 1\,\mu F$ (મધ્યમાં ઊભું),$C_3 = 1\,\mu F$ (ઉપર જમણે),અને $C_4 = 2\,\mu F$ (નીચે જમણે) છે.
પ્રથમ,નોંધો કે કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{12} = C_1 + C_2 = 1 + 1 = 2\,\mu F$ થાય.
હવે,આ સંયોજન $C_{12}$ એ $C_3$ સાથે શ્રેણી જોડાણમાં છે. આ શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{123} = \frac{C_{12} \times C_3}{C_{12} + C_3} = \frac{2 \times 1}{2 + 1} = \frac{2}{3}\,\mu F$ થાય.
અંતે,આ શાખા $C_4$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી $x$ અને $y$ વચ્ચેનું કુલ અસરકારક કેપેસીટન્સ $C_{xy} = C_{123} + C_4 = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3}\,\mu F$ થાય.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસીટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસીટર ધરાવતી શાખા (લાઇન $1$) માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,પરિપથમાં કુલ પ્રવાહ $i$ ફક્ત ઉપરની શાખા (લાઇન $2$) માંથી વહે છે જેમાં બે $1\,\Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = 1\,\Omega + 1\,\Omega + 0.5\,\Omega = 2.5\,\Omega$ છે.
કુલ પ્રવાહ $i = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{2.5\,V}{2.5\,\Omega} = 1\,A$ મળે છે.
ઉપરની શાખામાં સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{upper} = i \times (1\,\Omega + 1\,\Omega) = 1\,A \times 2\,\Omega = 2\,V$ છે.
કેપેસીટરની શાખા ઉપરની શાખા સાથે સમાંતર હોવાથી,કેપેસીટર પરનો સ્થિતિમાનનો તફાવત ઉપરની શાખાના સ્થિતિમાનના તફાવત જેટલો જ એટલે કે $2\,V$ થાય.
કેપેસીટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C \times V = 5\,\mu F \times 2\,V = 10\,\mu C$ થાય.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર $C$ ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટર ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,પરિપથ બેટરી $V$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા અવરોધો $R_1$ અને $R_2$ માં સરળ બને છે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_1 + R_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવરોધ $R_2$ પરનો વોલ્ટેજ $V_{R_2} = I \cdot R_2 = \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right) V$ છે.
કેપેસિટર $R_2$ સાથે સમાંતર હોવાથી,કેપેસિટર $C$ પરનો સ્થાયી અવસ્થાનો વોલ્ટેજ $R_2$ પરના વોલ્ટેજ જેટલો જ હોય છે.
આમ,કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = \left( \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right) V$ છે.
આ અંશ માત્ર $R_1$ અને $R_2$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) પરિપથનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
પ્રથમ,$C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{12} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{2 \times 6}{2 + 6} = \frac{12}{8} = 1.5\,\mu F$ થાય.
ત્યારબાદ,$C_{12}$ એ $C_3$ સાથે સમાંતરમાં છે,તેથી $C_{eq} = C_{12} + C_3 = 1.5 + 4 = 5.5\,\mu F$ થાય.
બેટરી દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવેલ કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} V = 5.5 \times 10^{-6} \times 2 = 11 \times 10^{-6}\,C$ છે.
બેટરી દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલ કુલ ઉર્જા $E = QV = (11 \times 10^{-6}) \times 2 = 22 \times 10^{-6}\,J$ છે.
કેપેસિટરોમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2 = \frac{1}{2} \times 5.5 \times 10^{-6} \times (2)^2 = 11 \times 10^{-6}\,J$ છે.
બેટરી દ્વારા વ્યય થતી ઉર્જા એ પૂરી પાડવામાં આવેલ ઉર્જા અને કેપેસિટરોમાં સંગ્રહિત ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta E = E - U = 22 \times 10^{-6} - 11 \times 10^{-6} = 11 \times 10^{-6}\,J$.

(B) આપેલ સર્કિટ એ વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ નેટવર્ક છે.
ધારો કે નોડ્સ એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યા છે કે બ્રિજ $C_1, C_4, C_3, C_5$ દ્વારા રચાય છે અને $C_2$ એ મધ્ય કેપેસિટર છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,આર્મ્સમાં કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ: $\frac{C_1}{C_4} = \frac{C_3}{C_5}$.
આપેલ છે કે $C_1 = C_3 = C_4 = C_5 = 4\,\mu F$,તેથી $\frac{4}{4} = \frac{4}{4}$,જે $1 = 1$ થાય છે.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી,મધ્ય કેપેસિટર $C_2$ માંથી કોઈ વિદ્યુતભાર વહેતો નથી.
તેથી,$C_2$ ને સર્કિટમાંથી દૂર કરી શકાય છે.
સર્કિટ બે શ્રેણી શાખાઓમાં સમાંતર રીતે સરળ બને છે.
ઉપરની શાખામાં $C_1$ અને $C_4$ શ્રેણીમાં છે,અને નીચેની શાખામાં $C_3$ અને $C_5$ શ્રેણીમાં છે.
ઉપરની શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{up} = \frac{C_1 \cdot C_4}{C_1 + C_4} = \frac{4 \cdot 4}{4 + 4} = 2\,\mu F$.
નીચેની શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{low} = \frac{C_3 \cdot C_5}{C_3 + C_5} = \frac{4 \cdot 4}{4 + 4} = 2\,\mu F$.
આ બે શાખાઓ સમાંતરમાં છે,તેથી $C_{eq} = C_{up} + C_{low} = 2 + 2 = 4\,\mu F$.

(D) આ પરિપથમાં $2\,V$ ની બેટરી સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલી બે શાખાઓ છે。
શાખા $1$ માં $1\,\mu F$ નું કેપેસિટર છે। આ શાખા પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $2\,V$ છે। તેથી, $1\,\mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1 V = (1\,\mu F) \times (2\,V) = 2\,\mu C$ થશે。
શાખા $2$ માં શ્રેણીમાં બે $2\,\mu F$ ના કેપેસિટર છે। આ શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{2\,\mu F \times 2\,\mu F}{2\,\mu F + 2\,\mu F} = 1\,\mu F$ છે। આ શાખા પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત પણ $2\,V$ છે। તેથી, $2\,\mu F$ ના દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2 = C_{eq} V = (1\,\mu F) \times (2\,V) = 2\,\mu C$ થશે。
આમ, $2\,\mu F$ ના કોઈપણ એક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $2\,\mu C$ અને $1\,\mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $2\,\mu C$ છે। સાચો વિકલ્પ $D$ છે。

(C) આ પરિપથમાં $3\, \mu F$ નો કેપેસિટર, $4\, \mu F$ અને $2\, \mu F$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે.
પ્રથમ, સમાંતર ભાગનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ ગણો: $C_{eq} = 4\, \mu F + 2\, \mu F = 6\, \mu F$.
હવે, પરિપથ બિંદુ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે $3\, \mu F$ અને $6\, \mu F$ ના કેપેસિટરના શ્રેણી જોડાણમાં ઘટાડવામાં આવે છે.
શ્રેણી જોડાણમાં હોવાથી, દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન રહે છે.
$Q = CV$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે: $C_1(V_A - V_P) = C_{eq}(V_P - V_B)$.
અહીં $V_A = 1200\, V$, $V_B = 0\, V$, $C_1 = 3\, \mu F$, અને $C_{eq} = 6\, \mu F$ છે:
$3(1200 - V_P) = 6(V_P - 0)$
$1200 - V_P = 2V_P$
$3V_P = 1200$
$V_P = 400\, V$.

(B) $1$. પ્રથમ,$1\,\mu F$ અને $5\,\mu F$ કેપેસિટરનું સમાંતર જોડાણ ઓળખો. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 1\,\mu F + 5\,\mu F = 6\,\mu F$ થાય છે.
$2$. હવે,પરિપથ $4\,\mu F$ કેપેસિટર અને આ $6\,\mu F$ સમતુલ્ય કેપેસિટરના શ્રેણી જોડાણમાં ફેરવાય છે,જે $10\,V$ ના સોર્સ સાથે જોડાયેલ છે.
$3$. આ શ્રેણી શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{4\,\mu F \times 6\,\mu F}{4\,\mu F + 6\,\mu F} = \frac{24}{10}\,\mu F = 2.4\,\mu F$ થાય છે.
$4$. શ્રેણી જોડાણમાં વિદ્યુતભાર સમાન રહેતો હોવાથી,$4\,\mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V = 2.4\,\mu F \times 10\,V = 24\,\mu C$ થાય છે.

(D) પરિપથ આકૃતિ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વચ્ચેની શાખામાં રહેલા બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. ધારો કે તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_s$ છે. તેઓ સમાન હોવાથી,$C_s = \frac{C_1 \times C_1}{C_1 + C_1} = \frac{C_1}{2}$ થાય.
આ સમતુલ્ય કેપેસિટર $C_s$ એ ઉપરના કેપેસિટર $C_1$ અને નીચેના કેપેસિટર $C_1$ સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે.
તેથી,બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$C_{eq} = C_1 + C_s + C_1 = C_1 + \frac{C_1}{2} + C_1 = \frac{5}{2} C_1$.
આપેલ છે કે બેટરીનો વોલ્ટેજ $V = 6 \, V$ અને કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 1.5 \, \mu C$ છે,તેથી આપણે $Q = C_{eq} V$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1.5 \times 10^{-6} \, C = (\frac{5}{2} C_1) \times 6 \, V$.
$1.5 \times 10^{-6} = 15 \, C_1$.
$C_1 = \frac{1.5 \times 10^{-6}}{15} = 0.1 \times 10^{-6} \, F = 0.1 \, \mu F$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,કેપેસિટર ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી કેપેસિટર શાખાઓમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. સર્કિટ $100\,V$ ના વોલ્ટેજ સ્ત્રોત તરીકે સરળ બને છે જે કેપેસિટર નેટવર્ક સાથે જોડાયેલ છે.
આકૃતિ જોતા,$3\,\mu F$ અને $3\,\mu F$ ના કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,જેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $1.5\,\mu F$ થાય છે. તેવી જ રીતે,$1\,\mu F$ અને $1\,\mu F$ ના કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે,જેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $0.5\,\mu F$ થાય છે.
આ બે શાખાઓ એકબીજા સાથે સમાંતર છે,અને આ સંયોજન $1\,\mu F$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે.
પોટેન્શિયલ ડિવાઈડરની ગણતરી કરતા: નેટવર્ક પરનો કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $100\,V$ છે.
ચાર્જ વિતરણની ગણતરી કરતા: વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત ${V_{AB}} = 25\,V$ અને ${V_{BC}} = 75\,V$ મળે છે.

(C) પ્રથમ કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર: $q_1 = CV$.
બીજા કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર: $q_2 = (2C)(2V) = 4CV$.
તેમને વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા (ધન સાથે ઋણ) સાથે જોડવામાં આવ્યા હોવાથી,કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{net} = q_2 - q_1 = 4CV - CV = 3CV$.
સમાંતર જોડાણનું કુલ કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C + 2C = 3C$ છે.
સામાન્ય વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{common} = \frac{Q_{net}}{C_{eq}} = \frac{3CV}{3C} = V$.
ગોઠવણીની અંતિમ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C_{eq} V_{common}^2 = \frac{1}{2} (3C) (V)^2 = \frac{3CV^2}{2}$.

(B) કેપેસિટર $A$ પરનો ચાર્જ $Q_1 = 15 \times 10^{-6} \times 100 = 15 \times 10^{-4}\,C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટર $B$ પરનો ચાર્જ $Q_2 = 1 \times 10^{-6} \times 100 = 10^{-4}\,C$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક દૂર કર્યા પછી કેપેસિટર $A$ ની કેપેસીટન્સ $C_A = \frac{15\,\mu F}{15} = 1\,\mu F$ થાય છે.
જ્યારે બંને કેપેસિટર સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે તેમની સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C_A + C_B = 1\,\mu F + 1\,\mu F = 2\,\mu F$ થાય છે.
સામાન્ય પોટેન્શિયલ $V = \frac{Q_1 + Q_2}{C_{eq}} = \frac{15 \times 10^{-4} + 1 \times 10^{-4}}{2 \times 10^{-6}} = \frac{16 \times 10^{-4}}{2 \times 10^{-6}} = 800\,V$.

(C) આ પરિપથમાં એક $5 \, \mu F$ કેપેસિટર શ્રેણીમાં અને બાકીના કેપેસિટરો સમાંતર જોડાણમાં છે।
સમાંતર ભાગનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ: $C_p = 10 \, \mu F + 10 \, \mu F$ (શ્રેણીમાં) = $5 \, \mu F$. ત્યારબાદ આ $10 \, \mu F$ સાથે સમાંતરમાં છે, તેથી $C_{eq} = 5 \, \mu F + 10 \, \mu F = 15 \, \mu F$.
હવે પરિપથ $5 \, \mu F$ અને $15 \, \mu F$ ના શ્રેણી જોડાણ જેવો બને છે।
અહીં $V_A = 2000 \, V$ અને $V_C = 0 \, V$ છે।
કેપેસિટર માટે વોલ્ટેજ વિભાજનના નિયમ મુજબ, $V_B = V_A \times \frac{C_{eq2}}{C_{eq1} + C_{eq2}} = 2000 \times \frac{5}{5 + 15} = 2000 \times \frac{5}{20} = 500 \, V$.

(D) શરૂઆતમાં,કેપેસિટર્સ $Q_1 = C_1 V_1 = (2\,pF)(30\,V) = 60\,pC$ અને $Q_2 = C_2 V_2 = (3\,pF)(20\,V) = 60\,pC$ તરીકે ચાર્જ થયેલા છે.
જ્યારે સ્વીચો $S_1$ અને $S_3$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો ગ્રાઉન્ડ સાથે જોડાય છે. $C_1$ ની આજુબાજુનો પોટેન્શિયલ તફાવત $30\,V$ રહે છે (કારણ કે ડાબી પ્લેટ ગ્રાઉન્ડ થયેલ છે અને જમણી પ્લેટ જંકશનના પોટેન્શિયલ સાથે જોડાયેલ છે) અને $C_2$ ની આજુબાજુ $20\,V$ રહે છે કારણ કે કેપેસિટર્સ પરનો ચાર્જ ફસાયેલો રહે છે અને બદલાતો નથી,કારણ કે પરિપથ બાહ્ય સ્ત્રોત સાથે બંધ લૂપ બનાવતો નથી જેથી ચાર્જનું પુનઃવિતરણ થાય.
આમ,પોટેન્શિયલ તફાવત $V_1 = 30\,V$ અને $V_2 = 20\,V$ બદલાયા વગરના રહે છે.

(B) સંપૂર્ણ ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટર કોઈલ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે,ત્યારે આ વિદ્યુત ઉર્જા ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
બ્લોક દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા ઉર્જા $Q = ms\Delta T$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત વિદ્યુત ઉર્જા એ બ્લોક દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2}CV^2 = ms\Delta T$
$V$ માટે ઉકેલતા:
$V^2 = \frac{2ms\Delta T}{C}$
$V = \sqrt{\frac{2ms\Delta T}{C}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આ પરિપથમાં બે સમાંતર શાખાઓ છે જે $V$ પોટેન્શિયલ ધરાવતી બેટરી સાથે જોડાયેલ છે.
શાખા $1$ માં $C_1, C_2$ અને $C_3$ કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે. આ શાખાનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq1}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_{eq1}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{3C} = \frac{6+3+2}{6C} = \frac{11}{6C}$
તેથી,$C_{eq1} = \frac{6C}{11}$.
આ શ્રેણી શાખામાં દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_{eq1} V = \frac{6CV}{11}$ છે.
$C_1, C_2$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં હોવાથી,$C_2$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{C2} = Q_1 = \frac{6CV}{11}$ થશે.
શાખા $2$ માં માત્ર $C_4$ કેપેસિટર છે જે સીધું બેટરી સાથે જોડાયેલ છે. $C_4$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{C4} = C_4 V = 4CV$ છે.
$C_2$ અને $C_4$ પરના વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર:
$\frac{Q_{C2}}{Q_{C4}} = \frac{\frac{6CV}{11}}{4CV} = \frac{6}{11 \times 4} = \frac{6}{44} = \frac{3}{22}$.

(D) આલેખ લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે,જે $Y$ અને $X$ વચ્ચે વ્યસ્ત સંબંધ દર્શાવે છે,એટલે કે $Y \propto \frac{1}{X}$.
વિકલ્પ $(d)$ માં,આપણી પાસે સંબંધ $V = \frac{Q}{C}$ છે.
અચળ વિદ્યુતભાર $Q$ માટે,સ્થિતિમાન $V$ એ કેપેસીટન્સ $C$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $V \propto \frac{1}{C}$.
આમ,જો $Y$ એ સ્થિતિમાન $(V)$ દર્શાવે અને $X$ એ કેપેસીટન્સ $(C)$ દર્શાવે,તો આલેખ લંબચોરસ અતિવલય હશે.

(A) વિદ્યુતભાર $Q$,કેપેસીટન્સ $C$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $Q = CV$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેને $V = \frac{Q}{C}$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ છે કે,$C = 2\,\mu F = 2 \times 10^{-6}\,F$ અને અંતિમ વિદ્યુતભાર $Q = 5\,C$ છે.
$Q = 5\,C$ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{5}{2 \times 10^{-6}} = 2.5 \times 10^6\,V$ થાય.
અહીં $V$ એ $Q$ ના સમપ્રમાણમાં $(V \propto Q)$ હોવાથી,$V$ વિરુદ્ધ $Q$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા હોવો જોઈએ.
$Q = 5\,C$ પર,વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ એ $2.5 \times 10^6\,V$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $A$ માં આપેલો આલેખ આ રેખીય સંબંધને યોગ્ય અંતિમ બિંદુ સાથે દર્શાવે છે.

(A) નાના ટીપાનું સ્થિતિમાન $V_{\text{small}} = k \frac{q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે. કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $R^3 = 1000 r^3$ મળે,તેથી $R = 10r$.
મોટા ટીપાનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 1000q$ થાય.
મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન $V_{\text{large}} = k \frac{Q}{R} = k \frac{1000q}{10r} = 100 \left( k \frac{q}{r} \right)$ થાય.
તેથી,$V_{\text{large}} = 100 V_{\text{small}} = 10^2 V_{\text{small}}$.
આમ,મોટા ટીપાનું સ્થિતિમાન નાના ટીપાના સ્થિતિમાન કરતા $10^2$ ગણું વધારે છે.

(A) ધારો કે ચોરસની બાજુની લંબાઈ $2a$ છે. વિદ્યુતભારો ખૂણાઓ પર મૂકેલા છે. ધન વિદ્યુતભારો ધરાવતી બાજુ $y=2a$ પર છે. આ બાજુનું મધ્યબિંદુ $(a, 2a)$ છે. ચોરસનું કેન્દ્ર $(a, a)$ છે.
મધ્યબિંદુ $i(a, 2a)$ પર પ્રારંભિક સ્થિતિમાન:
બે ધન વિદ્યુતભારોથી અંતર $a$ અને $a$ છે. બે ઋણ વિદ્યુતભારોથી અંતર $\sqrt{a^2 + (2a)^2} = a\sqrt{5}$ અને $a\sqrt{5}$ છે.
$V_i = \frac{kq}{a} + \frac{kq}{a} - \frac{kq}{a\sqrt{5}} - \frac{kq}{a\sqrt{5}} = \frac{2kq}{a} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$.
કેન્દ્ર $f(a, a)$ પર અંતિમ સ્થિતિમાન:
દરેક ચાર ખૂણાઓથી અંતર $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ છે.
$V_f = \frac{kq}{a\sqrt{2}} + \frac{kq}{a\sqrt{2}} - \frac{kq}{a\sqrt{2}} - \frac{kq}{a\sqrt{2}} = 0$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta K = W_{ext} = -W_{electric} = -Q(V_f - V_i) = Q(V_i - V_f)$.
વિદ્યુતભાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $K_i = 0$,એટલે કે $K_f = Q(V_i - V_f) = Q \left[ \frac{2kq}{a} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right) - 0 \right] = \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}} \frac{2qQ}{a} \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{5}} \right)$.

(B) સંતુલન સ્થિતિમાં,વિદ્યુત બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણ બળને સંતુલિત કરે છે: $QE = mg$.
$E = V/d$ અને $m = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho$ મૂકતા,આપણને મળે છે $Q(V/d) = (\frac{4}{3}\pi r^3 \rho)g$.
આમ,$Q \propto \frac{r^3}{V}$.
બે ટીપાં માટે,$\frac{Q_1}{Q_2} = (\frac{r_1}{r_2})^3 \times \frac{V_2}{V_1}$.
અહીં $Q_1 = Q$,$r_1 = r$,$r_2 = r/2$,$V_1 = 2400\, V$,અને $V_2 = 600\, V$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{Q}{Q_2} = (\frac{r}{r/2})^3 \times \frac{600}{2400} = (2)^3 \times \frac{1}{4} = 8 \times \frac{1}{4} = 2$.
તેથી,$Q_2 = Q/2$.

(B) શ્રેણી જોડાણમાં, સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_s = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3 \, pF$ થાય.
શ્રેણી જોડાણમાં સંગ્રહિત કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_s \times V = 3 \times 10^{-12} \, F \times 5000 \, V = 1.5 \times 10^{-8} \, C$ થાય.
જ્યારે કેપેસીટરોને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે, ત્યારે નવું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_p = 6 \, pF + 6 \, pF = 12 \, pF$ થાય.
નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = \frac{Q}{C_p} = \frac{1.5 \times 10^{-8} \, C}{12 \times 10^{-12} \, F} = 1250 \, V$ મળે.

$1$. સ્પ્રિંગ અચળાંક $K$ ની ગણતરી: $F = Kx \Rightarrow K = F/x = 5000 / 0.2 = 25000\ N/m$.
$2$. સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $U_{spring}$ ની ગણતરી: $U_{spring} = (1/2) K x^2 = (1/2) \times 25000 \times (0.2)^2 = 12500 \times 0.04 = 500\ J$.
$3$. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઊર્જા $U_{cap}$ ની ગણતરી: $U_{cap} = (1/2) C V^2 = (1/2) \times (10 \times 10^{-6}) \times (10000)^2 = 5 \times 10^{-6} \times 10^8 = 500\ J$.
$4$. ગુણોત્તરની ગણતરી: $U_{spring} / U_{cap} = 500 / 500 = 1$.