Energy Stored in a Capacitor Questions in Gujarati

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
અહીં $\frac{1}{2}$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક હોવાથી,$CV^2$ ના પરિમાણો એ ઉર્જાના પરિમાણો સમાન જ હોય છે.
ઉર્જા એટલે બળ ગુણ્યા સ્થાનાંતર,તેથી તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M L T^{-2}] \times [L] = [M L^2 T^{-2}]$ થાય છે.
આમ,$CV^2$ ના પરિમાણો $[M L^2 T^{-2}]$ છે.

(B) સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $u$ ને વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતાનું સૂત્ર $u = \frac{dU}{dV} = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ છે,જ્યાં $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે અને $E$ એ વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા એ વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $u \propto E^2$.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = CV$ હોવાથી,આપણે $V = \frac{q}{C}$ લખી શકીએ છીએ.
$V$ ની આ કિંમતને ઉર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2}C\left(\frac{q}{C}\right)^2 = \frac{1}{2}C\left(\frac{q^2}{C^2}\right) = \frac{q^2}{2C}$.
તેથી,સાચું સમીકરણ $\frac{q^2}{2C}$ છે.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 4 \times 10^{-6} \, F$
પોટેન્શિયલ $V = 100 \, V$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-6}) \times (100)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times 10000$
$U = 2 \times 10^{-6} \times 10^4$
$U = 2 \times 10^{-2} \, J$
$U = 0.02 \, J$
તેથી,મુક્ત થતી ઉર્જા $0.02 \, J$ છે.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} CV^2$ અથવા $U = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$ છે.
પ્લેટો વચ્ચેના વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના સંદર્ભમાં,ઉર્જા ઘનતા $u$ નું સૂત્ર $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ છે.
આદર્શ સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે અને ક્ષેત્ર માત્ર પ્લેટોની વચ્ચેના વિસ્તારમાં જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી કુલ ઉર્જા પ્લેટોની વચ્ચેના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત થાય છે.

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા એ તેને ચાર્જ કરવા માટે કરેલા કાર્ય જેટલી હોય છે.
જો $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટરને $V$ પોટેન્શિયલ સુધી ચાર્જ કરવામાં આવે,તો વધારાનો $dq$ ચાર્જ લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $dW = V' dq$ છે,જ્યાં $V' = q/C$ છે.
આનું $0$ થી $Q$ (જ્યાં $Q = CV$) સુધી સંકલન કરતા:
$U = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C} dq = \frac{1}{C} \left[ \frac{q^2}{2} \right]_{0}^{Q} = \frac{Q^2}{2C}$.
$Q = CV$ મૂકતા,આપણને $U = \frac{(CV)^2}{2C} = \frac{1}{2} CV^2$ મળે છે.

(A) કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ માટેનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસીટન્સ $C = 50\,\mu F = 50 \times 10^{-6}\,F$.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 10\;V$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (50 \times 10^{-6}) \times (10)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 50 \times 10^{-6} \times 100$
$U = 25 \times 10^{-4} = 2.5 \times 10^{-3}\,J$.
આમ,સંગ્રહિત ઉર્જા $2.5 \times 10^{-3}\,J$ છે.

(A) ચાર્જ થયેલું કેપેસિટર તેની પ્લેટો વચ્ચે સ્થિત-વિદ્યુત ક્ષેત્રના સ્વરૂપમાં ઉર્જાનો સંગ્રહ કરે છે.
કેપેસિટરની પ્લેટો પરના વિદ્યુતભારો સ્થિર હોવાથી,તેઓ માત્ર વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં કેપેસિટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી,તેથી ત્યાં કોઈ ચુંબકીય ક્ષેત્ર હોતું નથી.
આથી,ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરની ઉર્જા માત્ર વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં જ રહેલી હોય છે.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $W = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભાર વધારીને $2Q$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી ઉર્જા $W'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$W' = \frac{(2Q)^2}{2C} = \frac{4Q^2}{2C}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $W = \frac{Q^2}{2C}$,તેથી આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$W' = 4 \times \left( \frac{Q^2}{2C} \right) = 4W$.
આમ,સંગ્રહિત ઉર્જા $4W$ થશે.

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
ઉર્જામાં થતો વધારો $\Delta E$ એ $\Delta E = E_{Final} - E_{Initial} = \frac{1}{2}C(V_{Final}^2 - V_{Initial}^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $C = 6\,\mu F = 6 \times 10^{-6}\,F$,$V_{Initial} = 10\,V$,$V_{Final} = 20\,V$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta E = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^{-6}) \times (20^2 - 10^2)$
$\Delta E = 3 \times 10^{-6} \times (400 - 100)$
$\Delta E = 3 \times 10^{-6} \times 300$
$\Delta E = 900 \times 10^{-6}\,J = 9 \times 10^{-4}\,J$.

(B) જ્યારે $C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતા કેપેસિટરને $V$ $EMF$ ધરાવતી બેટરી દ્વારા ચાર્જ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $W = QV = (CV)V = CV^2$ છે.
જોકે,કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા એ બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલા કુલ કાર્ય (પૂરી પાડવામાં આવેલી ઉર્જા) કરતા બરાબર અડધી છે.
બાકીની અડધી ઉર્જા સર્કિટના વાયરોમાં અથવા આંતરિક અવરોધમાં ગરમી સ્વરૂપે વ્યય થાય છે.

(C) ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
જ્યારે કેપેસિટરની પ્લેટોને વાહક તાર દ્વારા જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સંગ્રહિત તમામ ઉર્જા ઉષ્મા સ્વરૂપે મુક્ત થાય છે.
આપેલ છે: $C = 2\,\mu F = 2 \times 10^{-6}\,F$ અને $V = 100\,V$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-6}) \times (100)^2$
$U = 10^{-6} \times 10^4$
$U = 10^{-2}\,J = 0.01\,J$.
તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $0.01\,J$ છે.

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ એ તેને ચાર્જ કરવા માટે કરવામાં આવેલા કાર્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $V$ સ્થિતિમાન પર $C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતા કેપેસિટરમાં $Q$ જેટલો વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રક્રિયા દરમિયાન સરેરાશ સ્થિતિમાન $\frac{V}{2}$ હોય છે.
તેથી,સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \text{સરેરાશ સ્થિતિમાન} \times \text{વિદ્યુતભાર}$.
$U = \frac{1}{2}V \times Q = \frac{1}{2}QV$.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 2.0 \; \mu F = 2.0 \times 10^{-6} \; F$
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 200 \; V$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (2.0 \times 10^{-6} \; F) \times (200 \; V)^2$
$U = 1.0 \times 10^{-6} \times 40000$
$U = 4 \times 10^{-2} \; J$
જ્યારે કેપેસિટરને અવરોધક તાર દ્વારા ડિસ્ચાર્જ કરવામાં આવે છે,ત્યારે સંગ્રહિત તમામ ઉર્જા ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થાય છે. તેથી,ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $4 \times 10^{-2} \; J$ છે.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 10 \, pF = 10 \times 10^{-12} \, F = 10^{-11} \, F$.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 50 \, V$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (10 \times 10^{-12} \, F) \times (50 \, V)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 10^{-11} \times 2500$
$U = 0.5 \times 2.5 \times 10^{-8} \, J$
$U = 1.25 \times 10^{-8} \, J$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 700\,pF = 700 \times 10^{-12}\,F = 7 \times 10^{-10}\,F$.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 50\,V$.
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (700 \times 10^{-12}) \times (50)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 700 \times 10^{-12} \times 2500$
$U = 350 \times 2500 \times 10^{-12}$
$U = 875000 \times 10^{-12}\,J$
$U = 8.75 \times 10^{-7}\,J$.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
કેપેસિટર $V = 100 \ V$ ના અચળ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ હોવાથી,ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ નીચે મુજબ મળે:
$\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{1}{2}C_2V^2 - \frac{1}{2}C_1V^2 = \frac{1}{2}V^2(C_2 - C_1)$.
અહીં $C_1 = 2 \ \mu F = 2 \times 10^{-6} \ F$,$C_2 = 10 \ \mu F = 10 \times 10^{-6} \ F$,અને $V = 100 \ V$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = \frac{1}{2} \times (100)^2 \times (10 - 2) \times 10^{-6} \ J$
$\Delta U = \frac{1}{2} \times 10000 \times 8 \times 10^{-6} \ J$
$\Delta U = 5000 \times 8 \times 10^{-6} \ J = 40000 \times 10^{-6} \ J = 4 \times 10^{-2} \ J$.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $U$ માટેનું સૂત્ર: $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 12\,pF = 12 \times 10^{-12}\,F$.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 50\,V$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (12 \times 10^{-12}) \times (50)^2$
$U = 6 \times 10^{-12} \times 2500$
$U = 6 \times 2500 \times 10^{-12}$
$U = 15000 \times 10^{-12}\,J$
$U = 1.5 \times 10^4 \times 10^{-12}\,J$
$U = 1.5 \times 10^{-8}\,J$.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે।
આપેલ ઉર્જા $U = 24 \, \text{watt-hour}$ છે।
ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવતા: $U = 24 \times 60 \times 60 \, \text{J} = 86400 \, \text{J}$.
આપેલ વોલ્ટેજ $V = 1200 \, \text{V}$ છે।
કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $86400 = \frac{1}{2} \times C \times (1200)^2$.
$86400 = \frac{1}{2} \times C \times 1440000$.
$86400 = C \times 720000$.
$C = \frac{86400}{720000} \, \text{F} = 0.12 \, \text{F}$.
મિલીફેરાડમાં ફેરવતા: $C = 0.12 \times 1000 \, \text{mF} = 120 \, \text{mF}$.

(A) વિદ્યુત ઉર્જા ઘનતા $u$ એ એકમ કદ દીઠ ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ છે,જ્યાં $\sigma = \frac{q}{A}$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં $E$ ની કિંમત મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{\sigma}{\varepsilon_0} \right)^2 = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$.
હવે $\sigma = \frac{q}{A}$ મૂકતા:
$u = \frac{(q/A)^2}{2\varepsilon_0} = \frac{q^2}{2\varepsilon_0 A^2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
અહીં,$Q = 40\,\mu C = 40 \times 10^{-6}\,C$ અને $C = 10\,\mu F = 10 \times 10^{-6}\,F$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,$U = \frac{(40 \times 10^{-6})^2}{2 \times 10 \times 10^{-6}} = \frac{1600 \times 10^{-12}}{20 \times 10^{-6}} = 80 \times 10^{-6}\,J = 8 \times 10^{-5}\,J$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1\,J = 10^7\,erg$,તેથી ઉર્જા $erg$ માં $U = 8 \times 10^{-5} \times 10^7\,erg = 800\,erg$ થશે.

(C) જ્યારે કેપેસિટરને બેટરીથી અલગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ પ્લેટોને અલગ કરવામાં આવે છે,તેમ અંતર $d$ વધે છે,તેથી કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
$Q$ અચળ હોવાથી અને $C$ ઘટતું હોવાથી,ઉર્જા $U$ વધે છે.
બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ કેપેસિટરની સ્થિતિ ઉર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta U = U_f - U_i$.
જો કેપેસિટન્સ $C$ થી બદલાઈને $C'$ થાય,તો કાર્ય $W = \frac{Q^2}{2C'} - \frac{Q^2}{2C}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું પ્રમાણિત સૂત્ર $\frac{1}{2}CV^2$ છે.

(D) શરૂઆતનું કેપેસિટન્સ $C_i = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$. શરૂઆતની ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2} C_i V_0^2 = \frac{1}{2} \frac{\varepsilon_0 A}{d} V_0^2$.
બેટરી દૂર કરવામાં આવી હોવાથી,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે. $Q = C_i V_0 = \frac{\varepsilon_0 A V_0}{d}$.
નવું અંતર $d' = 3d$. નવું કેપેસિટન્સ $C_f = \frac{\varepsilon_0 A}{3d} = \frac{C_i}{3}$.
અંતિમ ઉર્જા $U_f = \frac{Q^2}{2 C_f} = \frac{(C_i V_0)^2}{2 (C_i/3)} = \frac{3}{2} C_i V_0^2 = 3 U_i$.
થયેલું કાર્ય $W = U_f - U_i = 3 U_i - U_i = 2 U_i$.
$W = 2 \times (\frac{1}{2} \frac{\varepsilon_0 A}{d} V_0^2) = \frac{\varepsilon_0 A V_0^2}{d}$.

(D) કેપેસિટરની સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
આપેલ છે: $C = 2\,\mu F = 2 \times 10^{-6}\,F$ અને $V = 50\,V$.
કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-6}) \times (50)^2$.
$U = 10^{-6} \times 2500 = 2500 \times 10^{-6} = 2.5 \times 10^{-3}\,J$.
$1\,J = 10^7\,erg$ હોવાથી,ઉર્જાને $erg$ માં ફેરવતા:
$U = 2.5 \times 10^{-3} \times 10^7\,erg = 2.5 \times 10^4\,erg$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ગણતરી $25 \times 10^3\,erg$ મેળવવા માટે $2.5 \times 10^{-3}\,J = 25 \times 10^{-4}\,J$ ને $10^7$ વડે ગુણતા $25 \times 10^3\,erg$ મળે છે.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 5\,\mu F = 5 \times 10^{-6}\,F$.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 20\,kV = 20 \times 10^3\,V$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-6}) \times (20 \times 10^3)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^{-6} \times 400 \times 10^6$
$U = \frac{1}{2} \times 5 \times 400 \times 10^0$
$U = 1000\,J = 1\,kJ$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસીટન્સ $C = 6 \, \mu F = 6 \times 10^{-6} \, F$
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 100 \, V$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^{-6}) \times (100)^2$
$U = 3 \times 10^{-6} \times 10,000$
$U = 3 \times 10^{-6} \times 10^4$
$U = 3 \times 10^{-2} \, J$
$U = 0.03 \, J$
તેથી,કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $0.03 \, J$ છે.

(D) જ્યારે ચાર્જ થયેલ કેપેસિટરને અવરોધ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ કરવામાં આવે છે, ત્યારે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત સંપૂર્ણ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જા અવરોધમાં ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 10\, \mu F = 10 \times 10^{-6}\, F = 10^{-5}\, F$.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 500\, V$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (10^{-5}) \times (500)^2$
$U = \frac{1}{2} \times 10^{-5} \times 250,000$
$U = 0.5 \times 2.5 = 1.25\, J$.
તેથી, અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $1.25\, J$ છે.

(A) કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા,જે તેને ચાર્જ કરવા માટે કરેલા કાર્યની બરાબર હોય છે,તે સૂત્ર $W = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $Q = 8 \times 10^{-18} \, C$
કેપેસીટન્સ $C = 100 \, \mu F = 100 \times 10^{-6} \, F = 10^{-4} \, F$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{(8 \times 10^{-18})^2}{2 \times 10^{-4}}$
$W = \frac{64 \times 10^{-36}}{2 \times 10^{-4}}$
$W = 32 \times 10^{-32} \, J$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે. સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_i = \frac{q^2}{2C}$ છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર બમણું કરવામાં આવે $(d' = 2d)$,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C}{2}$ થાય છે.
કેપેસિટર અલગ હોવાથી,વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે. નવી સંગ્રહિત ઉર્જા $U_f = \frac{q^2}{2C'} = \frac{q^2}{2(C/2)} = \frac{q^2}{C}$ થાય છે.
બાહ્ય બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય એ સ્થિતિ ઉર્જામાં થયેલા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_f - U_i$.
$W = \frac{q^2}{C} - \frac{q^2}{2C} = \frac{q^2}{2C}$.

(C) આપેલ છે: વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 200\,V$ અને વિદ્યુતભાર $Q = 0.1\,C$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}QV$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{0.1 \times 200}{2}$
$U = \frac{20}{2}$
$U = 10\,J$.
તેથી,ડિસ્ચાર્જ થતી વખતે મુક્ત થતી ઉર્જા $10\,J$ છે.

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
આપેલ છે: $C = 40 \, \mu F = 40 \times 10^{-6} \, F$,$V = 3000 \, V$,અને $t = 2 \, ms = 2 \times 10^{-3} \, s$.
પ્રથમ,સંગ્રહિત ઉર્જાની ગણતરી કરો:
$U = \frac{1}{2} \times (40 \times 10^{-6}) \times (3000)^2$
$U = 20 \times 10^{-6} \times 9 \times 10^6 = 180 \, J$.
પાવર $P$ એ એકમ સમયમાં આપવામાં આવતી ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$P = \frac{U}{t} = \frac{180 \, J}{2 \times 10^{-3} \, s} = 90 \times 10^3 \, W = 90 \, kW$.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{Q^2}{2C}$ છે.
જ્યારે ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરને બેટરીથી અલગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
જેમ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ વધે છે,તેમ કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે કારણ કે $C \propto \frac{1}{d}$.
આમ,$U = \frac{Q^2}{2C}$ હોવાથી અને $C$ છેદમાં હોવાથી,$C$ માં ઘટાડો થવાથી સંગ્રહિત ઉર્જા $U$ માં વધારો થાય છે.
તેથી,ઉર્જા વધે છે.

(B) જ્યારે $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટરમાં $q$ વિદ્યુતભાર આપીને તેને $V$ સ્થિતિમાન સુધી ચાર્જ કરવામાં આવે છે,ત્યારે આ પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય ઉર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
સ્થિતિમાન $V$ એ $V = \frac{q}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વધારાનો વિદ્યુતભાર $dq$ લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $dW = V dq = \frac{q}{C} dq$ છે.
આનું $0$ થી $Q$ સુધી સંકલન કરતા,કુલ સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \int_{0}^{Q} \frac{q}{C} dq = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} = \frac{1}{2} CV^2$ મળે છે.
આ ઉર્જા કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જાના સ્વરૂપમાં સંગ્રહિત થાય છે.

(B) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 6 \times 10^{-6} \,F$,પ્રારંભિક પોટેન્શિયલ $V_1 = 10 \,V$ અને અંતિમ પોટેન્શિયલ $V_2 = 20 \,V$.
ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{1}{2}C(V_2^2 - V_1^2)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta U = \frac{1}{2} \times (6 \times 10^{-6}) \times (20^2 - 10^2)$.
$\Delta U = 3 \times 10^{-6} \times (400 - 100)$.
$\Delta U = 3 \times 10^{-6} \times 300 = 900 \times 10^{-6} \,J$.
$\Delta U = 9 \times 10^{-4} \,J$.

(B) જ્યારે ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરને અવરોધ દ્વારા જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા અવરોધમાં ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 4\, \mu F = 4 \times 10^{-6}\, F$
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 400\, V$
કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-6}) \times (400)^2$
$U = 2 \times 10^{-6} \times 160000$
$U = 2 \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^5$
$U = 3.2 \times 10^{-1} = 0.32\, J$.
આમ,અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $0.32\, J$ છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની ઉર્જા ઘનતા $u$ નું સૂત્ર: $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ છે.
અહીં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ હોવાથી,ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{V}{d} \right)^2$ લખી શકાય.
આપેલ કિંમતો: $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$,$V = 300 \, V$,અને $d = 2 \times 10^{-3} \, m$.
આ કિંમતો મૂકતા: $u = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times \left( \frac{300}{2 \times 10^{-3}} \right)^2$.
$u = 0.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times (1.5 \times 10^5)^2$.
$u = 4.425 \times 10^{-12} \times 2.25 \times 10^{10}$.
$u \approx 9.956 \times 10^{-2} \approx 0.1 \, J/m^3$.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ છે.
જ્યારે વોલ્ટેજ $V$ અચળ હોય,ત્યારે ઉર્જા $U$ એ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ઉર્જા $U$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ ને મહત્તમ કરવું પડશે.
$C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા ત્રણ સમાન કેપેસિટરો માટે:
$1$. શ્રેણી જોડાણમાં: $C_{eq} = \frac{C}{3}$.
$2$. સમાંતર જોડાણમાં: $C_{eq} = 3C$.
$3$. બે સમાંતરમાં અને એક શ્રેણીમાં: $C_{eq} = \frac{2}{3}C$.
$4$. બે શ્રેણીમાં અને એક સમાંતરમાં: $C_{eq} = 1.5C$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,સમાંતર જોડાણ $(3C)$ સૌથી વધુ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ આપે છે. તેથી,ત્રણેય કેપેસિટરોને સમાંતરમાં જોડવાથી સૌથી વધુ ઉર્જાનો સંગ્રહ થાય છે.

(B) આકૃતિ પરથી, પ્લેટો $A$ અને $C$ એકબીજા સાથે જોડાયેલ છે, અને પ્લેટ $B$ બેટરીના બીજા ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે। આ સમાંતરમાં બે કેપેસિટર બનાવે છે, એક $A$ અને $B$ વચ્ચે, અને બીજું $B$ અને $C$ વચ્ચે.
આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 50 \, cm^2 = 50 \times 10^{-4} \, m^2$, અંતર $d = 3 \, mm = 3 \times 10^{-3} \, m$, અને વોલ્ટેજ $V = 12 \, V$.
દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી, કુલ કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_0 + C_0 = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$C_{eq} = \frac{2 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 50 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-3}} \approx 2.95 \times 10^{-11} \, F$.
સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C_{eq} V^2 = \frac{1}{2} \times (2.95 \times 10^{-11}) \times (12)^2$.
$U = 0.5 \times 2.95 \times 10^{-11} \times 144 = 2.124 \times 10^{-9} \, J \approx 2.1 \times 10^{-9} \, J$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્રની ઉર્જા ઘનતા $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાદળ અને પૃથ્વી વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ છે,જ્યાં $V = 10^5 \, V$ અને $d = 0.75 \, km = 750 \, m$ છે.
વાદળ અને પૃથ્વી વચ્ચેની જગ્યાનું કદ $Volume = A \times d$ છે,જ્યાં $A = 25 \times 10^6 \, m^2$ છે.
કુલ ઉર્જા $U = u \times Volume = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{V}{d} \right)^2 \times (A \times d) = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \frac{V^2 A}{d}$.
કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{1}{2} \times (8.85 \times 10^{-12}) \times \frac{(10^5)^2 \times 25 \times 10^6}{750}$.
$U = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times \frac{10^{10} \times 25 \times 10^6}{750} = \frac{8.85 \times 25 \times 10^4}{1500} = \frac{221.25 \times 10^4}{1500} \approx 1475 \, J$.

(A) બેટરી સાથે જોડાયેલ સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{x}$ હોવાથી,$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{x} \right) V^2$ થાય.
ઉર્જામાં સમય સાથે થતો ફેરફાર શોધવા માટે,આપણે $U$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dU}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2x} \right) = \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2} \frac{d}{dt} (x^{-1})$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dU}{dt} = \frac{\varepsilon_0 A V^2}{2} (-x^{-2}) \frac{dx}{dt}$.
પ્લેટોને સમાન ઝડપે દૂર ખેંચવામાં આવતી હોવાથી,$\frac{dx}{dt} = v$ (અચળ).
તેથી,$\frac{dU}{dt} = -\frac{\varepsilon_0 A V^2 v}{2} x^{-2}$.
આ દર્શાવે છે કે $\frac{dU}{dt} \propto x^{-2}$.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}QV$ છે.
આપેલ આલેખમાં,$Q$ ને $X$-અક્ષ પર અને $V$ ને $Y$-અક્ષ પર દર્શાવેલ છે.
ત્રિકોણ $OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,પાયો $OB = Q$ છે અને વેધ $AB = V$ છે.
તેથી,$\text{Area} = \frac{1}{2} \times Q \times V = \frac{1}{2}QV$.
આ પદ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા દર્શાવે છે.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C V^2$ છે।
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $C = 200 \, \mu F = 200 \times 10^{-6} \, F$ અને $V = 200 \, V$.
$U = \frac{1}{2} \times (200 \times 10^{-6}) \times (200)^2 = 100 \times 10^{-6} \times 40000 = 4 \, J$.
જ્યારે કેપેસિટર કોઈ અવરોધમાંથી ડિસ્ચાર્જ થાય છે, ત્યારે સંગ્રહિત તમામ ઉર્જા અવરોધમાં ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય પામે છે, જે અવરોધના મૂલ્ય પર આધારિત નથી।
તેથી, બંને કિસ્સામાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $4 \, J$ હશે।

(B) કેપેસીટરને ચાર્જ કરવા માટે કરેલું કાર્ય તેમાં સ્થિતિ ઉર્જા $U$ તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
$C$ કેપેસીટન્સ ધરાવતા કેપેસીટરને $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાન સુધી ચાર્જ કરવા માટે,ઉર્જા $U$ એ પ્લેટો પર નાનો વીજભાર $dq$ લાવવા માટે કરેલા કાર્યનું સંકલન છે:
$U = \int_0^V q \, dV = \int_0^V (CV) \, dV$
$U = C \int_0^V V \, dV$
$U = C \left[ \frac{V^2}{2} \right]_0^V$
$U = \frac{1}{2}CV^2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) $\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $Area = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Area = \frac{1}{2} \times OB \times AB = \frac{1}{2} \times Q \times V$.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહીત ઊર્જા $U = \frac{1}{2} QV$ હોવાથી, $V-Q$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ કેપેસિટરમાં સંગ્રહીત ઊર્જા દર્શાવે છે.

(A) કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતભાર $q = CV$,તેથી $V = \frac{q}{C}$ થાય.
આ કિંમત ઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા,$U = \frac{1}{2} C \left( \frac{q}{C} \right)^2 = \frac{1}{2} C \left( \frac{q^2}{C^2} \right) = \frac{q^2}{2C}$ મળે છે.
આમ,સાચું સૂત્ર $\frac{q^2}{2C}$ છે.

(B) ધારો કે કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે અને બેટરીનું ઈલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $V$ છે.
જ્યારે કેપેસિટરને બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $W = QV = (CV)V = CV^2$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ છે.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જા એ બેટરી દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવેલ કુલ ઊર્જા કરતા બરાબર અડધી છે $(U = \frac{1}{2} W)$.
બાકીની અડધી ઊર્જા જોડાણના વાયરોમાં અથવા ચાર્જિંગ પ્રક્રિયા દરમિયાન ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થાય છે.

(A) પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = q/A$ ધરાવતી એકલ ચાર્જ થયેલી પ્લેટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2 \epsilon_0} = \frac{q}{2 A \epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં,પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર બંને પ્લેટોને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સરવાળો છે: $E_{total} = \frac{q}{2 A \epsilon_0} + \frac{q}{2 A \epsilon_0} = \frac{q}{A \epsilon_0}$.
વિદ્યુતીય ઊર્જા ઘનતા $u$ ને $u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ઊર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં $E_{total}$ ની કિંમત મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \frac{q}{A \epsilon_0} \right)^2 = \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \frac{q^2}{A^2 \epsilon_0^2} \right) = \frac{q^2}{2 \epsilon_0 A^2}$.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 2 \times 10^{-4} \, \mu F = 2 \times 10^{-4} \times 10^{-6} \, F = 2 \times 10^{-10} \, F$.
સ્થિતિમાન $V = 20 \, kV = 20 \times 10^3 \, V = 2 \times 10^4 \, V$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{-10}) \times (2 \times 10^4)^2$
$U = 10^{-10} \times (4 \times 10^8)$
$U = 4 \times 10^{-2} \, J$.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા સંપૂર્ણપણે બ્લોકમાં ઉષ્મા ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બ્લોક દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા ઉર્જા $Q = mS\Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ઉર્જાઓને સરખાવતા: $\frac{1}{2}CV^2 = mS\Delta T$.
સ્થિતિમાન તફાવત $V$ માટે ઉકેલતા: $V^2 = \frac{2mS\Delta T}{C}$.
તેથી,$V = \sqrt{\frac{2mS\Delta T}{C}}$.