Equipotential Surface Questions in Gujarati

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $+q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{kq}{r}$ છે.
અહીં બિંદુઓ $A, B, C, D$ અને $E$ બધા જ બિંદુવત વિદ્યુતભાર $+q$ થી સમાન અંતર $r$ પર આવેલા હોવાથી, તે બધા એક જ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર છે.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચે વિદ્યુતભાર $q_0$ ને ખસેડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q_0(V_{\text{અંતિમ}} - V_{\text{પ્રારંભિક}})$ છે.
આ પૃષ્ઠ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ માટે $V_{\text{અંતિમ}} = V_{\text{પ્રારંભિક}}$ હોવાથી, થયેલ કાર્ય $W = 0$ થાય છે.
તેથી, $AB, AC, AD$ અને $AE$ તમામ માર્ગો પર થયેલ કાર્ય શૂન્ય છે.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{kQ}{r}$ છે.
અહીં બિંદુઓ $A$ અને $B$ ધાતુના ગોળાથી સમાન અંતરે $(r = 100\,cm = 1\,m)$ આવેલા હોવાથી,બંને બિંદુઓ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન હશે,એટલે કે $V_A = V_B$.
વિદ્યુતભાર $q$ ને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$ છે.
$V_A = V_B$ હોવાથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_B - V_A = 0$ થાય.
તેથી,થયેલું કુલ કાર્ય $W = q(0) = 0\,joule$ થાય.

(C) $Q$ બિંદુવત વિદ્યુતભારથી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $q$ વિદ્યુતભારને $Q$ ની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે વર્તુળાકાર માર્ગ પરનું દરેક બિંદુ $Q$ થી સમાન અંતર $r$ પર હોય છે.
તેથી,આખો વર્તુળાકાર માર્ગ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ તરીકે વર્તે છે.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર બે બિંદુઓ વચ્ચે $q$ વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q(V_f - V_i)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $V_f = V_i$ હોવાથી,કરવામાં આવતું કાર્ય $W = 0$ થાય છે.

(C) વિદ્યુત બળની રેખાઓ હંમેશા દરેક બિંદુએ સ્થિતિમાન પૃષ્ઠને લંબ હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે જો વિદ્યુત ક્ષેત્રનો કોઈ ઘટક સપાટીને સમાંતર હોય,તો સપાટી પર વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે કાર્ય કરવું પડે,જે સ્થિતિમાન પૃષ્ઠની વ્યાખ્યા (જ્યાં સ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોય છે) સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે.
તેથી,વિદ્યુત બળની રેખાઓ અને સ્થિતિમાન પૃષ્ઠ વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભાર $q$ ને બિંદુ $A$ થી $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V_A$ અને $V_B$ એ અનુક્રમે બિંદુ $A$ અને $B$ પરના વિદ્યુત સ્થિતિમાન છે.
કેન્દ્રમાં વિદ્યુતભાર $Q$ હોવાથી,વર્તુળના પરિઘ પરના તમામ બિંદુઓ $(P, L, M, N)$ $Q$ થી સમાન અંતરે છે. તેથી,તેઓ સમાન વિદ્યુત સ્થિતિમાન પર છે.
પરિઘ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચે વિદ્યુતભારને ખસેડવાથી ($P$ થી $L$,$P$ થી $M$,અથવા $P$ થી $N$) કરવામાં આવતું કાર્ય શૂન્ય થાય છે કારણ કે સ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય છે.
બિંદુ $K$ વર્તુળની બહાર છે,જેનો અર્થ છે કે તે બિંદુ $P$ કરતા અલગ સ્થિતિમાન પર છે. $P$ થી $K$ સુધી વિદ્યુતભારને ખસેડવામાં સ્થિતિમાનમાં ફેરફાર થાય છે,જેના પરિણામે શૂન્ય સિવાયનું કાર્ય થાય છે. આમ,જ્યારે વિદ્યુતભારને $K$ સુધી લઈ જવામાં આવે ત્યારે કાર્ય મહત્તમ થાય છે.

(D) સ્થિતવિદ્યુત સંતુલનમાં રહેલા વાહકની સમગ્ર સપાટી સમસ્થિતિમાન સપાટી હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે વાહકની સપાટી પરના દરેક બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન હોય છે. કારણ કે બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ બધા પોલા વાહક ગોળાની સપાટી પર આવેલા છે,તેથી આ બિંદુઓ પરના સ્થિતિમાન સમાન હોવા જોઈએ. તેથી,$V_A = V_B = V_C$. આમ,સાચો સંબંધ $V_A = V_C$ છે.

(C) બે બિંદુઓ વચ્ચે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V$ હોય,ત્યારે $q$ વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ એવું પૃષ્ઠ છે કે જેના દરેક બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન હોય છે.
તેથી,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ માટે,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = 0$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$W = q \times 0 = 0$ મળે છે.
આમ,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.

(D) વ્યાખ્યા મુજબ,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ એવું પૃષ્ઠ છે કે જેના દરેક બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન સમાન હોય છે.
ધારો કે પૃષ્ઠ $A$ નું સ્થિતિમાન $V_A$ છે અને પૃષ્ઠ $B$ નું સ્થિતિમાન $V_B$ છે.
કાર્યનું સૂત્ર $W = q(V_B - V_A)$ છે.
અહીં આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $W = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $V_A = V_B$ છે,એટલે કે બંને પૃષ્ઠો સમાન સ્થિતિમાન પર છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના કેન્દ્ર પર રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે વર્તુળના કોઈપણ બિંદુ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળ પરના તમામ બિંદુઓ માટે ત્રિજ્યા $r$ અચળ હોવાથી, પરિઘ પરના દરેક બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન હોય છે.
તેથી, આ વર્તુળ એક સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ તરીકે વર્તે છે.
બે બિંદુઓ વચ્ચે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V$ હોય, તો વિદ્યુતભાર $q_0$ ને ખસેડવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q_0 \Delta V$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતભારને વર્તુળની આસપાસ એકવાર ફેરવવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રારંભિક અને અંતિમ બિંદુ સમાન હોય છે, તેથી $\Delta V = 0$.
આમ, કરવામાં આવતું કાર્ય $W = 1 \times 0 = 0\,\text{એકમ}$ થાય છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ $x$-અક્ષની દિશામાં છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર અને સ્થિતિમાન વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
વિદ્યુતક્ષેત્ર માત્ર $x$-દિશામાં હોવાથી, સ્થિતિમાન $V$ માત્ર $x$ પર આધાર રાખે છે, એટલે કે $V = V(x)$।
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ એ એવી સપાટી છે જ્યાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ હોય છે।
$V(x) = \text{અચળ}$ માટે, $x$ અચળ હોવું જોઈએ।
$x = \text{અચળ}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સપાટી એ $yz$-સમતલને સમાંતર એક સમતલ છે।
ભલે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $x$-દિશામાં વધતું હોય, સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશાને લંબ (એટલે કે $yz$-સમતલને સમાંતર) સમતલો જ રહે છે, જોકે જેમ ક્ષેત્રની તીવ્રતા વધે તેમ તેમની વચ્ચેનું અંતર ઘટતું જશે।

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં વિદ્યુતસ્થિતિમાન ઘટે છે.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો એ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની દિશાને લંબ હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,રેખાખંડ $SR$ એ સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓને લંબ છે.
તેથી,રેખાખંડ $SR$ પરના તમામ બિંદુઓ સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન પર છે.
આમ,બિંદુઓ $S$ અને $R$ સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન ધરાવે છે.

(B) $1$. સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં,વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓને લંબ દિશામાં સ્થિતિમાન બદલાતું નથી. કારણ કે $AB$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓને લંબ છે,તેથી $A$ પરનું સ્થિતિમાન $B$ પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ છે,એટલે કે $V_A = V_B$.
$2$. વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન ઘટે છે. કારણ કે $BC$ એ વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓને સમાંતર છે અને ક્ષેત્રની દિશામાં છે,તેથી $C$ પરનું સ્થિતિમાન $B$ પરના સ્થિતિમાન કરતા ઓછું છે,એટલે કે $V_B > V_C$.
$3$. આ બંને પરિણામોને જોડતા,આપણને $V_A = V_B > V_C$ મળે છે.

(A) કેન્દ્રમાં રહેલા વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે ચોરસના કોઈપણ ખૂણા પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ કેન્દ્રથી કોઈપણ ખૂણા સુધીનું અંતર છે.
$a$ બાજુવાળા ચોરસમાં,વિકર્ણ $a\sqrt{2}$ છે,તેથી કેન્દ્રથી કોઈપણ ખૂણા સુધીનું અંતર $r = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ થાય.
ચારેય ખૂણાઓ માટે અંતર $r$ સમાન હોવાથી,વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ પણ ચારેય ખૂણાઓ પર સમાન હોય છે.
વિદ્યુતભાર $q$ ને બે બિંદુઓ વચ્ચે ખસેડવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V_{final} - V_{initial})$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $V_{final} = V_{initial}$ હોવાથી,કરવું પડતું કાર્ય $W = q(V - V) = 0$ થાય.

(A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ છે.
બિંદુ $A$ ના યામ $(0, a)$ છે,તેથી ઉગમબિંદુ $O$ થી તેનું અંતર $r_A = \sqrt{0^2 + a^2} = a$ છે.
બિંદુ $B$ ના યામ $(a, 0)$ છે,તેથી ઉગમબિંદુ $O$ થી તેનું અંતર $r_B = \sqrt{a^2 + 0^2} = a$ છે.
બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{a}$ છે.
બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{a}$ છે.
અહીં $V_A = V_B$ હોવાથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_B - V_A = 0$ થાય.
વિદ્યુતભાર $-Q$ ને $A$ થી $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = (-Q) \cdot \Delta V$ છે.
$\Delta V = 0$ મૂકતા,આપણને $W = (-Q) \cdot 0 = 0$ મળે છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન ઘટે છે.
અહીં વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ ધન $x$-દિશામાં હોવાથી,જેમ $x$ વધે તેમ સ્થિતિમાન ઘટે છે.
બિંદુ $A$ એ $x = 0$ પર છે અને બિંદુ $B$ એ $x = +1 \, cm$ પર છે. $A$ નો $x$-યામ $B$ કરતા ઓછો હોવાથી,$V_A > V_B$ થાય.
બિંદુઓ $A$ અને $C$ એક જ સમસ્થિતિમાન રેખા પર આવેલા છે (જે વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓને લંબ છે),તેથી $V_A = V_C$ થાય.
આમ,સાચો સંબંધ $V_A > V_B$ અને $V_A = V_C$ છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સ્થિતિમાનનો તફાવત $dV$ અને સ્થાનાંતર $dr$ સાથે $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે,આને $\Delta V = -E \Delta r \cos \theta$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $\theta$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ અને સ્થાનાંતર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{|\Delta V|}{\Delta r \cos \alpha}$ છે,જ્યાં $\alpha$ એ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠના લંબ અને સ્થાનાંતરની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આકૃતિ પરથી,$X$-અક્ષ પર $10 \, V$ અને $20 \, V$ ના સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો વચ્ચેનું અંતર $\Delta x = 10 \, cm = 0.1 \, m$ છે.
આ પૃષ્ઠો વચ્ચેનું લંબ અંતર $\Delta r = \Delta x \sin 30^\circ = 0.1 \times 0.5 = 0.05 \, m$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{\Delta V}{\Delta r} = \frac{20 - 10}{0.05} = \frac{10}{0.05} = 200 \, V/m$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠોને લંબ હોય છે. પૃષ્ઠો $X$-અક્ષ સાથે $30^\circ$ નો ખૂણો બનાવતા હોવાથી,આ પૃષ્ઠોને લંબ દિશા $X$-અક્ષ સાથે $90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$ નો ખૂણો બનાવશે.

(D) પોલો વાહક ગોળો એક સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ છે.
કારણ કે $A$,$B$ અને $C$ ત્રણેય બિંદુઓ એક જ વાહક ગોળાની સપાટી પર આવેલા છે,તેથી આ બિંદુઓ આગળ વિદ્યુત સ્થિતિમાન સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,$V_A = V_B = V_C$.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V$ છે.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ માટે,પૃષ્ઠના દરેક બિંદુએ સ્થિતિમાન $V$ અચળ હોય છે.
તેથી,પૃષ્ઠ પરના કોઈપણ સ્થાનાંતર $d\vec{l}$ માટે સ્થિતિમાનમાં થતો ફેરફાર $dV$ શૂન્ય થાય છે $(dV = 0)$.
કારણ કે $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{l} = 0$,આ સૂચવે છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ એ પૃષ્ઠ પરના સ્થાનાંતર સદિશ $d\vec{l}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠને લંબ ($90^{\circ}$ ના ખૂણે) હોય છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભાર $q$ ને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = q(V_B - V_A)$
જ્યાં $V_A$ અને $V_B$ એ અનુક્રમે બિંદુ $A$ અને $B$ પરના વિદ્યુત સ્થિતિમાન છે.
આપેલ છે કે બંને સપાટીઓ $A$ અને $B$ સમાન સ્થિતિમાન $V'$ પર છે,તેથી $V_A = V_B = V'$ થાય.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = q(V' - V') = q(0) = 0$
તેથી,વિદ્યુતભારને $A$ થી $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $0$ છે.

(C) સમાંતર સમસ્થિતિમાન રેખાઓ આ વિસ્તારમાં સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રની હાજરી સૂચવે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ સમસ્થિતિમાન સપાટીઓને લંબ હોય છે અને તે ઊંચા સ્થિતિમાનથી નીચા સ્થિતિમાન તરફ હોય છે.
સમસ્થિતિમાન રેખાઓનો ઢાળ $m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2-1}{6-4} = \frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ સમસ્થિતિમાન રેખા $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે. તેથી $\tan \theta = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ અને $\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
બે સમસ્થિતિમાન રેખાઓ વચ્ચેનું લંબ અંતર $d$ (સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = 4 \ V - 2 \ V = 2 \ V$) ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે. અચળ $Y$ પર રેખાઓ વચ્ચેનું આડું અંતર $\Delta x = 6 - 4 = 2 \ cm = 0.02 \ m$ છે.
તેથી,$d = \Delta x \sin \theta = 0.02 \times \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{0.02}{\sqrt{5}} \ m$.
$\Delta V = E d$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $2 = E \times \frac{0.02}{\sqrt{5}}$ મળે છે,જે $E = \frac{2 \sqrt{5}}{0.02} = 100 \sqrt{5} \ V/m$ આપે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $4 \ V$ થી $2 \ V$ તરફ (ઉગમબિંદુ તરફ) નિર્દેશ કરે છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ ઋણ $X$-અક્ષ સાથે જે ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે તે $\theta$ છે. તેથી,$E_x = -E \sin \theta = -(100 \sqrt{5}) \times \frac{1}{\sqrt{5}} = -100 \ V/m$.
અને $E_y = E \cos \theta = (100 \sqrt{5}) \times \frac{2}{\sqrt{5}} = 200 \ V/m$.
તેથી,$E_x = -100 \ V/m$ અને $E_y = 200 \ V/m$. સાચો વિકલ્પ $(C)$ છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને અંતર $dr$ પર સ્થિતિમાનનો તફાવત $dV$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dr}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,કોઈપણ બે ક્રમિક સમસ્થિતિમાન રેખાઓ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત અચળ છે,એટલે કે $dV = 10 \ V$.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સમસ્થિતિમાન રેખાઓ વચ્ચેના અંતર $dr$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(E \propto \frac{1}{dr})$.
$B$ બિંદુએ,સમસ્થિતિમાન રેખાઓ એકબીજાની સૌથી નજીક છે,જેનો અર્થ છે કે અંતર $dr$ ન્યૂનત્તમ છે.
જેহেতু $B$ બિંદુએ $dr$ ન્યૂનત્તમ છે,તેથી $B$ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ મહત્તમ હશે.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બિંદુઓ $A, B, C, D$ અને $E$ બધા વર્તૂળના પરિઘ પર આવેલા છે, જેનું કેન્દ્ર $Q$ છે, તેથી આ બધા બિંદુઓ વિદ્યુતભાર $Q$ થી સમાન અંતરે $r$ આવેલા છે.
આથી, આ બધા બિંદુઓ એક સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ (equipotential surface) પર આવેલા છે, જેનો અર્થ છે કે દરેક બિંદુ પર સ્થિતિમાન સમાન છે $(V_A = V_B = V_C = V_D = V_E)$।
કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચે વિદ્યુતભાર $q$ ને લઈ જવા માટે થતું કાર્ય $W = q(V_{\text{અંતિમ}} - V_{\text{પ્રારંભિક}})$ છે.
અહીં સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_{\text{અંતિમ}} - V_{\text{પ્રારંભિક}} = 0$ હોવાથી, કોઈપણ પથ માટે થતું કાર્ય $W = q \times 0 = 0$ થશે.
આમ, બધા પથો પર થતું કાર્ય શૂન્ય હશે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $\phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $\overrightarrow{E} = -\nabla \phi$ છે.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ એ એવું પૃષ્ઠ છે જ્યાં સ્થિતિમાન $\phi$ અચળ હોય છે,જેનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ દરેક બિંદુએ પૃષ્ઠને લંબ હોવું જોઈએ.
અહીં વિદ્યુત ક્ષેત્ર $x$-અક્ષની દિશામાં હોવાથી,આ ક્ષેત્રને લંબ પૃષ્ઠો બાકીના બે અક્ષો એટલે કે $y$ અને $z$ અક્ષો દ્વારા બનતા સમતલમાં હોવા જોઈએ.
તેથી,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો એ $yz$-સમતલને સમાંતર સમતલો છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી,સ્થિતિમાન ધન $x$-દિશામાં વધે છે.
સ્થિતિમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = 10 \,\, V - 0 \,\, V = 10 \,\, V$.
અંતરમાં થતો ફેરફાર $\Delta x = 1 \,\, cm - 0 \,\, cm = 1 \,\, cm = 10^{-2} \,\, m$.
વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \frac{\Delta V}{\Delta x} = \frac{10 \,\, V}{1 \,\, cm} = 10 \,\, V/cm$ થાય.
વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા ઊંચા સ્થિતિમાનથી નીચા સ્થિતિમાન તરફ હોય છે,અને અહીં જેમ $x$ વધે છે તેમ સ્થિતિમાન વધે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર ઋણ $x$-દિશામાં હોવું જોઈએ.
તેથી,$\vec{E} = -10 \,\, \hat{i} \,\, V/cm = -1000 \,\, \hat{i} \,\, V/m$.

(B) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $+q$ ને કારણે $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A(0, a)$ આગળ,ઉગમબિંદુથી અંતર $r_A = a$ છે. તેથી,સ્થિતિમાન $V_A = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{a}$ થાય.
બિંદુ $B(a, 0)$ આગળ,ઉગમબિંદુથી અંતર $r_B = a$ છે. તેથી,સ્થિતિમાન $V_B = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q}{a}$ થાય.
વિદ્યુતભાર $-Q$ ને $A$ થી $B$ સુધી લઈ જતાં થતું કાર્ય $W = (-Q)(V_B - V_A)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $V_A = V_B$ હોવાથી,સ્થિતિમાનનો તફાવત $(V_B - V_A) = 0$ થાય.
તેથી,થતું કાર્ય $W = (-Q)(0) = 0$ થાય.

(D) પોલો વાહક ગોળો એ સમસ્થિતિમાન પદાર્થ છે.
કારણ કે બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ બધા એક જ વાહક ગોળાની સપાટી પર આવેલા છે,તેથી આ તમામ બિંદુઓ પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,$V_A = V_B = V_C$.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,વિધાન $V_A = V_C$ સાચું છે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ ઊંચા સ્થિતિમાનથી નીચા સ્થિતિમાન તરફ હોય છે.
અહીં વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન છે અને જમણી દિશામાં છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં આગળ વધતા સ્થિતિમાન ઘટે છે.
બિંદુઓ $A$ અને $C$ વિદ્યુતક્ષેત્રને લંબ એક જ શિરોલંબ રેખા પર આવેલા છે,તેથી તેમનું સ્થિતિમાન સમાન છે,એટલે કે $V_A = V_C$.
બિંદુ $D$ એવા સ્થાને છે જ્યાં સ્થિતિમાન બિંદુ $B$ કરતા વધારે છે કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $D$ થી $B$ તરફની દિશામાં છે. તેથી,$V_D > V_B$ અથવા $V_B < V_D$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $V_A = V_C$ અને $V_B < V_D$ મળે છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ સાથે $E = -\frac{dV}{dr}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો વચ્ચેના અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto \frac{1}{dr}$.
આપેલ સમસ્થિતિમાન રેખાઓને જોતા,બિંદુ $A$ ની નજીક સમસ્થિતિમાન રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર સૌથી ઓછું છે (જ્યાં રેખાઓ સૌથી વધુ ગીચ છે).
બિંદુ $A$ પાસે રેખાઓ સૌથી નજીક હોવાથી,પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ સૌથી વધુ છે,અને તેથી બિંદુ $A$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર મહત્તમ છે.

(D) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}$ છે.
બિંદુ $A$ એ બિંદુ $B$ (જ્યાં $+Q$ વિદ્યુતભાર છે) થી $l$ અંતરે છે,તેથી $A$ પાસે સ્થિતિમાન $V_A = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{l}$ થાય.
બિંદુ $C$ પણ બિંદુ $B$ થી $l$ અંતરે છે,તેથી $C$ પાસે સ્થિતિમાન $V_C = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{l}$ થાય.
અહીં $V_A = V_C$ હોવાથી,બિંદુ $A$ અને $C$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_C - V_A = 0$ થાય.
કોઈ વિદ્યુતભાર $q'$ ને બે બિંદુઓ વચ્ચે લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q' \Delta V$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$(-q)$ વિદ્યુતભારને $A$ થી $C$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = (-q) \times 0 = 0$ થાય.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A(5a, 0)$ માટે,ઉદ્ગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $r_A = \sqrt{(5a)^2 + 0^2} = 5a$ છે.
તેથી,$A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A = \frac{kQ}{5a}$ થાય.
બિંદુ $B(-3a, 4a)$ માટે,ઉદ્ગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતર $r_B = \sqrt{(-3a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{9a^2 + 16a^2} = \sqrt{25a^2} = 5a$ છે.
તેથી,$B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{kQ}{5a}$ થાય.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = \frac{kQ}{5a} - \frac{kQ}{5a} = 0$ થાય.

(A) વિદ્યુતભાર $q$ ને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q(V_B - V_A) = q \Delta V$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલી ચારેય આકૃતિઓમાં:
- આકૃતિ $(I)$: $V_A = 10 \text{ V}$ અને $V_B = 40 \text{ V}$,તેથી $\Delta V = 40 - 10 = 30 \text{ V}$.
- આકૃતિ $(II)$: $V_A = 10 \text{ V}$ અને $V_B = 40 \text{ V}$,તેથી $\Delta V = 40 - 10 = 30 \text{ V}$.
- આકૃતિ $(III)$: $V_A = 10 \text{ V}$ અને $V_B = 40 \text{ V}$,તેથી $\Delta V = 40 - 10 = 30 \text{ V}$.
- આકૃતિ $(IV)$: $V_A = 10 \text{ V}$ અને $V_B = 40 \text{ V}$,તેથી $\Delta V = 40 - 10 = 30 \text{ V}$.
ચારેય કિસ્સાઓમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = 30 \text{ V}$ હોવાથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = q(30 \text{ V})$ દરેક આકૃતિ માટે સમાન છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધીના વિદ્યુતભાર $q$ પર કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q(V_A - V_B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q = -e$,જ્યાં $e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ છે.
$A$ થી $B$ સુધી ગતિ કરવા માટે આપેલ કાર્ય $W = 6.4 \times 10^{-19} \, J$ છે.
જેহেতু $B$ અને $C$ એક જ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ $\phi_2$ પર આવેલા છે,તેથી $V_B = V_C$ થાય.
આમ,$W = -e(V_A - V_B) = e(V_B - V_A) = e(V_C - V_A)$.
કિંમતો મૂકતા: $6.4 \times 10^{-19} = (1.6 \times 10^{-19}) \times (V_C - V_A)$.
તેથી,$(V_C - V_A) = \frac{6.4 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 4 \, V$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ હંમેશા સમસ્થિતિમાન રેખાને લંબ હોય છે.
સમસ્થિતિમાન રેખાનું સમીકરણ $y = 2x$ છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{dy}{dx} = 2$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E} = E_x \hat{i} + E_y \hat{j}$ રેખાને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m_2$ એ $m_1 \cdot m_2 = -1$ શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,$m_2 = -\frac{1}{2}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશનો ઢાળ $\frac{E_y}{E_x} = -\frac{1}{2}$ દ્વારા મળે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $D$ માટે,$\vec{E} = -8 \hat{i} + 4 \hat{j}$,ઢાળ $\frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}$ થાય છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $-8 \hat{i} + 4 \hat{j}$ હોઈ શકે છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E_x \hat{i} + E_y \hat{j}$ તરીકે આપેલ છે.
રેખા $y = x + 3$ છે,જેને $x - y + 3 = 0$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $1$ છે,તેથી ખૂણો $\theta = 45^\circ$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E} = 100 \cos(45^\circ) \hat{i} + 100 \sin(45^\circ) \hat{j} = 50\sqrt{2} \hat{i} + 50\sqrt{2} \hat{j}$ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{r}$.
અહીં,$d\vec{r} = (x_B - x_A) \hat{i} + (y_B - y_A) \hat{j} = (1 - 3) \hat{i} + (3 - 1) \hat{j} = -2 \hat{i} + 2 \hat{j}$.
$V_B - V_A = -[(50\sqrt{2} \hat{i} + 50\sqrt{2} \hat{j}) \cdot (-2 \hat{i} + 2 \hat{j})]$.
$V_B - V_A = -[50\sqrt{2}(-2) + 50\sqrt{2}(2)] = -[-100\sqrt{2} + 100\sqrt{2}] = 0 \ V$.
આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $0 \ V$ છે.

(D) વાહક ગોળા માટે,વિદ્યુતભાર તેની સપાટી પર રહે છે.
બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની ગેરહાજરીમાં,પરસ્પર અપાકર્ષણને કારણે વિદ્યુતભાર સપાટી પર સમાન રીતે વહેંચાયેલું હોય છે.
જો કે,આ ગુણધર્મ કે આખો વાહક એક સમસ્થિતિમાન કદ છે (અને તેથી સપાટી એક સમસ્થિતિમાન સપાટી છે) તે બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની હાજરી હોવા છતાં પણ સાચું રહે છે.
તેથી,વાહક ગોળાની સપાટી પરના દરેક બિંદુએ સ્થિતિમાન સમાન હોવું જોઈએ.

(C) ઉગમબિંદુથી બિંદુ $A(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ નું અંતર:
$OA = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2 \text{ એકમ}$.
ઉગમબિંદુથી બિંદુ $B(2, 0)$ નું અંતર:
$OB = \sqrt{(2)^2 + (0)^2} = \sqrt{4} = 2 \text{ એકમ}$.
બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને બિંદુઓ $A$ અને $B$ ઉગમબિંદુ પર મૂકેલા વિદ્યુતભાર $Q = 10^{-3} \mu C$ થી સમાન અંતરે $(r = 2 \text{ એકમ})$ આવેલા હોવાથી,આ બિંદુઓ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન હશે:
$V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{OA}$ અને $V_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{OB}$.
$OA = OB = 2$ હોવાથી,$V_A = V_B$ થાય.
તેથી,બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત:
$V_A - V_B = 0 \text{ V}$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ એ $y = x + 3$ રેખાની દિશામાં છે,જેનો ઢાળ $m_1 = 1$ છે. વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}}$ છે.
તેથી,$\vec{E} = 100 \left( \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) = 50\sqrt{2}(\hat{i} + \hat{j}) \ V/m$.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (1 - 3)\hat{i} + (3 - 1)\hat{j} = -2\hat{i} + 2\hat{j}$.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = \vec{E} \cdot \vec{r}_{AB}$ દ્વારા મળે છે.
$V_A - V_B = [50\sqrt{2}(\hat{i} + \hat{j})] \cdot [-2\hat{i} + 2\hat{j}] = 50\sqrt{2}(-2 + 2) = 0 \ V$.
સ્થાનાંતર સદિશ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશને લંબ હોવાથી,બિંદુઓ $A$ અને $B$ એક જ સમસ્થિતિમાન રેખા પર આવેલા છે.

(D) સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો એવા વિસ્તારો દર્શાવે છે જ્યાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ હોય છે. સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર મૂકવામાં આવેલા ત્રણ સમાન વિદ્યુતભારોની સિસ્ટમ માટે,વિદ્યુતભાર વિતરણની સમપ્રમાણતા સમસ્થિતિમાન રેખાઓમાં પ્રતિબિંબિત થવી જોઈએ.
$1$. દરેક વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારની નજીક,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો આશરે વર્તુળાકાર હોય છે,કારણ કે સ્થિતિમાન નજીકના વિદ્યુતભાર દ્વારા પ્રભુત્વ ધરાવે છે.
$2$. જેમ જેમ આપણે વિદ્યુતભારોથી દૂર જઈએ છીએ,તેમ ત્રણેય વિદ્યુતભારોના સ્થિતિમાનના સુપરપોઝિશનને કારણે વ્યક્તિગત સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો એકબીજામાં ભળી જાય છે.
$3$. કારણ કે વિદ્યુતભારો સમાન છે અને સમબાજુ ત્રિકોણમાં ગોઠવાયેલા છે,પરિણામી સમસ્થિતિમાન પેટર્ન ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રની આસપાસ $C_3$ પરિભ્રમણીય સમપ્રમાણતા દર્શાવવી જોઈએ.
$4$. આલેખ $(d)$ એકમાત્ર એવો આલેખ છે જે આ ત્રિ-ગણી સમપ્રમાણતા દર્શાવે છે,જ્યાં સમસ્થિતિમાન રેખાઓ મોટા અંતરે ત્રણેય વિદ્યુતભારોને સામૂહિક રીતે ઘેરી લે છે જ્યારે દરેક વિદ્યુતભારની નજીક અલગ વર્તુળાકાર પેટર્ન જાળવી રાખે છે.
તેથી,આલેખ $(d)$ સાચું નિરૂપણ છે.

(B) બે સમાન ધન વિદ્યુતભારોના તંત્ર માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ દરેક વિદ્યુતભારમાંથી બહાર નીકળે છે અને એકબીજાને અપાકર્ષે છે.
સમસ્થિતિમાન સપાટીઓ એવી સપાટીઓ છે જ્યાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન અચળ હોય છે.
દરેક વ્યક્તિગત વિદ્યુતભારની નજીક,સમસ્થિતિમાન સપાટીઓ આશરે ગોળાકાર હોય છે.
જેમ જેમ આપણે વિદ્યુતભારોથી દૂર જઈએ છીએ,તેમ તેમ સપાટીઓ વિકૃત થાય છે અને અંતે એક મોટી,આશરે લંબગોળ આકારની સપાટી બનાવે છે જે બંને વિદ્યુતભારોને આવરી લે છે.
આકૃતિ $B$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જ્યાં અંદરની સપાટીઓ દરેક વિદ્યુતભારની આસપાસ કેન્દ્રિત છે,અને બહારની સપાટીઓ બંને વિદ્યુતભારોને આવરી લે છે,જે બે ધન વિદ્યુતભારોના અપાકર્ષણના સ્વભાવને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

(B) $1$. બે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો ક્યારેય એકબીજાને છેદી શકતા નથી કારણ કે જો તેઓ છેદે,તો છેદબિંદુ પર બે અલગ-અલગ સ્થિતિમાનના મૂલ્યો મળે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
$2$. સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો ખરેખર સમતલ પૃષ્ઠો હોઈ શકે છે (દા.ત.,સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે). તેથી,વિધાન કે તેઓ સમતલ પૃષ્ઠો હોઈ શકે નહીં તે ખોટું છે.
$3$. વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -dV/dx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ સૂચવે છે કે નિશ્ચિત સ્થિતિમાન તફાવત $dV$ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ પૃષ્ઠો વચ્ચેના અંતર $dx$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. આમ,જ્યાં પૃષ્ઠો સૌથી નજીક હોય ત્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર મહત્તમ હોય છે.
$4$. વ્યાખ્યા મુજબ,વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ (બળરેખાઓ) હંમેશા સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠોને લંબ હોય છે.
$5$. વિધાન $(B)$ એકમાત્ર ખોટું વિધાન હોવાથી,તે સાચો જવાબ છે.

(D) વ્યાખ્યા મુજબ,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ એવું પૃષ્ઠ છે કે જેના દરેક બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન સમાન હોય છે.
જો આપણે $q$ વિદ્યુતભારને સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર એક બિંદુથી બીજા બિંદુએ લઈ જઈએ,તો થયેલું કાર્ય $W = q(V_2 - V_1)$ થાય છે.
અહીં,જો પૃષ્ઠ $A$ અને $B$ સમાન સ્થિતિમાન ધરાવતા હોય અથવા જો પ્રશ્નનો અર્થ પૃષ્ઠ પર જ ગતિ કરાવવાનો હોય,તો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_B - V_A = 0$ થાય છે.
તેથી,થયેલું કુલ કાર્ય $W = q \times 0 = 0$ થાય છે.

(C) વિધાન-$1$ સાચું છે: વ્યાખ્યા મુજબ,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ એ એવું પૃષ્ઠ છે જ્યાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ તમામ બિંદુઓ પર સમાન હોય છે. બે બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચે વિદ્યુતભાર $q$ ને ખસેડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q(V_B - V_A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર $V_A = V_B$ હોવાથી,$W = 0$ થાય છે.
વિધાન-$2$ ખોટું છે: વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠને લંબ હોય છે,એકબીજાને નહીં. વિધાનમાં દાવો કરવામાં આવ્યો છે કે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો પર વિદ્યુત બળ રેખાઓ એકબીજાને પરસ્પર લંબ હોય છે,જે ખોટું છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ હંમેશા વિદ્યુત સ્થિતિમાન ઘટવાની દિશામાં હોય છે. જેમ આપણે ડાબેથી જમણે જઈએ છીએ તેમ સ્થિતિમાન $80 \text{ V}$ થી $40 \text{ V}$ સુધી ઘટે છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર જમણી તરફ છે.
બે બિંદુઓ વચ્ચે વિદ્યુતભાર $q$ ને ખસેડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q \Delta V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઇલેક્ટ્રોન માટે,$q = -e$,તેથી કરેલા કાર્યનું મૂલ્ય $|W| = e |\Delta V|$ છે.
દરેક માર્ગ માટે સ્થિતિમાનનો તફાવત $|\Delta V|$ ગણતા:
માર્ગ $1$: $80 \text{ V}$ થી શરૂ થાય છે,$40 \text{ V}$ પર સમાપ્ત થાય છે. $|\Delta V_1| = |40 - 80| = 40 \text{ V}$.
માર્ગ $2$: $70 \text{ V}$ થી શરૂ થાય છે,$60 \text{ V}$ પર સમાપ્ત થાય છે. $|\Delta V_2| = |60 - 70| = 10 \text{ V}$.
માર્ગ $3$: $80 \text{ V}$ થી શરૂ થાય છે,$60 \text{ V}$ પર સમાપ્ત થાય છે. $|\Delta V_3| = |60 - 80| = 20 \text{ V}$.
માર્ગ $4$: $70 \text{ V}$ થી શરૂ થાય છે,$50 \text{ V}$ પર સમાપ્ત થાય છે. $|\Delta V_4| = |50 - 70| = 20 \text{ V}$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $|\Delta V_1| = 40 \text{ V}$,$|\Delta V_3| = 20 \text{ V}$,$|\Delta V_4| = 20 \text{ V}$,$|\Delta V_2| = 10 \text{ V}$.
તેથી,કરેલા કાર્યના મૂલ્યનો ક્રમ $1 > 3 = 4 > 2$ છે.

(C) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ થી $r$ અંતરે વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,બિંદુઓ $A, B, C, D$ અને $E$ બધા જ બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ ને કેન્દ્ર તરીકે ધરાવતા વર્તુળની પરિઘ પર આવેલા છે,તેથી તેઓ વિદ્યુતભારથી સમાન અંતર $r$ પર છે.
આથી,આ તમામ બિંદુઓ સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન ધરાવે છે,જેનો અર્થ છે કે પથ $ABCDE$ એક સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,સમાન સ્થિતિમાન ધરાવતા બે બિંદુઓ વચ્ચે વિદ્યુતભાર $q_0$ ને ખસેડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q_0(V_f - V_i) = q_0(V - V) = 0$ થાય છે.
તેથી,વિદ્યુતભારને બિંદુ $A$ થી $B, C, D$ અથવા $E$ માંથી કોઈપણ બિંદુ પર લઈ જવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય શૂન્ય છે.

(B) કેન્દ્ર પર રહેલા $q_{2}$ વિદ્યુતભારને કારણે $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{2}}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $q_{2}$ અને $r$ અચળ હોવાથી,વર્તુળાકાર પથના તમામ બિંદુઓ પર સ્થિતિમાન $V$ સમાન રહે છે,તેથી આ પથ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ છે.
$q_{1}$ વિદ્યુતભારને બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ સુધી લઈ જવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = q_{1}(V_{B} - V_{A})$ છે.
પથ સમસ્થિતિમાન હોવાથી,શરૂઆતના બિંદુ અને એક પૂર્ણ ચક્ર પછીના અંતિમ બિંદુએ સ્થિતિમાન સમાન હોય છે,એટલે કે $V_{A} = V_{B}$.
તેથી,કરવું પડતું કાર્ય $W = q_{1}(V - V) = 0$ થાય.

(C) કેન્દ્રમાં રહેલા $+q$ વિદ્યુતભારને કારણે $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળના પરિઘ પરના કોઈપણ બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિઘ પરના તમામ બિંદુઓ પર સ્થિતિમાન સમાન હોવાથી,આ વર્તુળ એક સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ (equipotential surface) દર્શાવે છે.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ પર બે બિંદુઓ $B$ અને $C$ વચ્ચે $q_0$ વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે થયેલું કાર્ય $W = q_0(V_C - V_B)$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $V_B = V_C$ હોવાથી,થયેલું કાર્ય $W = q_0(0) = 0$ થશે.

(C) વિધાન સાચું છે કારણ કે જો બે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો એકબીજાને છેદે,તો છેદબિંદુ પાસે વિદ્યુત સ્થિતિમાનના બે અલગ-અલગ મૂલ્યો મળે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે.
કારણ ખોટું છે કારણ કે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો હંમેશા એકબીજાને સમાંતર હોવા જરૂરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે,બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો કેન્દ્રીય ગોળાઓ હોય છે,અને રેખીય વિદ્યુતભાર માટે તે સમઅક્ષીય નળાકારો હોય છે. વિદ્યુતભારના વિતરણના આધારે તેનો આકાર ગમે તે હોઈ શકે છે.

(N/A) આ તંત્રમાં $6 \; cm$ ના અંતરે રહેલા બે સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રકારના વિદ્યુતભારોનો સમાવેશ થાય છે.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ એટલે એવી સપાટી કે જેના દરેક બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન સમાન હોય.
બે સમાન અને વિરુદ્ધ પ્રકારના વિદ્યુતભારોના તંત્ર (વિદ્યુત ડાયપોલ) માટે,બંને વિદ્યુતભારોને જોડતી રેખાને લંબ દ્વિભાજક સમતલ એ $0 \; V$ સ્થિતિમાન ધરાવતું સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ છે.
આ સમતલ રેખા $AB$ ના મધ્યબિંદુ પર આવેલું છે,એટલે કે દરેક વિદ્યુતભારથી $3 \; cm$ ના અંતરે છે.
$(b)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા ધન વિદ્યુતભારથી શરૂ થઈને ઋણ વિદ્યુતભાર પર સમાપ્ત થાય છે.
સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ (લંબ દ્વિભાજક સમતલ) પરના કોઈપણ બિંદુએ,વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ ધન વિદ્યુતભારથી ઋણ વિદ્યુતભાર તરફની દિશામાં હોય છે.
તેથી,આ પૃષ્ઠ પરના દરેક બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા સમતલને લંબ અને રેખા $AB$ ની દિશામાં ($A$ થી $B$ તરફ) હોય છે.

(N/A) $x-y$ સમતલને સમાંતર અને સમાન અંતરે આવેલા સમતલો એ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો છે.
$(b)$ $x-y$ સમતલને સમાંતર સમતલો એ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો છે,પરંતુ જેમ ક્ષેત્રનું મૂલ્ય વધે તેમ તેમની વચ્ચેનું અંતર ઘટતું જાય છે.
$(c)$ ઉગમબિંદુને કેન્દ્ર ગણીને દોરેલા સમકેન્દ્રી ગોળાઓ એ સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો છે.
$(d)$ જાળીની નજીક,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠોનો આકાર આવર્તનીય રીતે બદલાતો હોય છે. જાળીથી વધુ અંતરે,આ પૃષ્ઠો ધીમે ધીમે જાળીને સમાંતર સમતલોમાં ફેરવાઈ જાય છે.

(N/A) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં આવેલું એવું કાલ્પનિક પૃષ્ઠ કે જેના દરેક બિંદુએ વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન હોય,તેને સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠ કહે છે.
$(1)$ એક બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q$ માટે,$r$ અંતરે સ્થિતિમાન $V = \frac{kq}{r}$ છે. $r$ અચળ હોય ત્યારે $V$ અચળ રહે છે,તેથી સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો વિદ્યુતભારને કેન્દ્રમાં રાખીને બનાવેલા સમકેન્દ્રી ગોળાઓ છે.
$(2)$ ડાયપોલ ($+q$ અને $-q$) માટે,મધ્ય સમતલ પર સ્થિતિમાન શૂન્ય હોય છે. સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો વિકૃત ગોળાઓ જેવા હોય છે,જે વિદ્યુતભારોની નજીક એકબીજાની નજીક અને મધ્યમાં દૂર હોય છે.
$(3)$ બે સમાન વિદ્યુતભારો ($+q$ અને $+q$) માટે,વિદ્યુતભારોની નજીક સ્થિતિમાન વધારે હોય છે. સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો વિકૃત ગોળાઓ છે જે મધ્ય સમતલને છેદતા નથી.
$(4)$ સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે,સમસ્થિતિમાન પૃષ્ઠો વિદ્યુતક્ષેત્રની રેખાઓને લંબ એવા સમાંતર સમતલોનો સમૂહ છે.