Potential Energy and Work Done in uniform and non uniform Electric Field Questions in Gujarati

(B) વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત $V$ માંથી પ્રવેગિત થતા વિદ્યુતભારિત કણ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી ગતિઊર્જા $K = QV = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{2QV}{m}}$ થાય છે.
અહીં બંને કણોનું દળ $m$ સમાન છે અને તેઓ સમાન વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવત $V$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી ઝડપ એ વિદ્યુતભારના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે: $v \propto \sqrt{Q}$.
તેથી,તેમની ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{Q_A}{Q_B}}$ થશે.
આપેલ કિંમતો $Q_A = q$ અને $Q_B = 4q$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{q}{4q}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(D) બિંદુ $A$ પર રહેલા ઉદગમ વિદ્યુતભાર $Q$ ની હાજરીમાં વિદ્યુતભાર $q$ ને બિંદુ $B$ થી $C$ સુધી ખસેડવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય $W = q(V_C - V_B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$Q = 100\,\mu C = 100 \times 10^{-6}\,C$ અને $q = 5\,\mu C = 5 \times 10^{-6}\,C$ છે.
અંતર $AB = 40\,cm = 0.4\,m$ અને $BC = 30\,cm = 0.3\,m$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,અંતર $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{0.4^2 + 0.3^2} = 0.5\,m$ મળે.
બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = \frac{kQ}{AB} = 9 \times 10^9 \times \frac{100 \times 10^{-6}}{0.4} = 2.25 \times 10^6\,V$ છે.
બિંદુ $C$ પરનું સ્થિતિમાન $V_C = \frac{kQ}{AC} = 9 \times 10^9 \times \frac{100 \times 10^{-6}}{0.5} = 1.8 \times 10^6\,V$ છે.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = q(V_C - V_B) = 5 \times 10^{-6} \times (1.8 \times 10^6 - 2.25 \times 10^6) = 5 \times 10^{-6} \times (-0.45 \times 10^6) = -2.25\,J$ થાય.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ તંત્રની સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = U_f - U_i = k Q_1 Q_2 \left( \frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$
આપેલ છે:
$Q_1 = 12 \times 10^{-6}\,C$,$Q_2 = 8 \times 10^{-6}\,C$
પ્રારંભિક અંતર $r_i = 10\,cm = 0.1\,m$
અંતિમ અંતર $r_f = 4\,cm = 0.04\,m$
$k = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$
$W = (9 \times 10^9) \times (12 \times 10^{-6}) \times (8 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{0.04} - \frac{1}{0.1} \right)$
$W = 0.864 \times (25 - 10) = 0.864 \times 15 = 12.96\,J \approx 13\,J$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં $Q$ વિદ્યુતભારનું સ્થાનાંતર $\vec{r}$ થાય ત્યારે થયેલ કાર્ય $W$ એ ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = Q(\vec{E} \cdot \vec{r})$
અહીં $\vec{E} = e_1\hat{i} + e_2\hat{j} + e_3\hat{k}$ અને $\vec{r} = a\hat{i} + b\hat{j}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = Q[(e_1\hat{i} + e_2\hat{j} + e_3\hat{k}) \cdot (a\hat{i} + b\hat{j})]$
ડોટ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા ($\hat{i} \cdot \hat{i} = 1, \hat{j} \cdot \hat{j} = 1, \hat{i} \cdot \hat{j} = 0$,વગેરે):
$W = Q(e_1 \cdot a + e_2 \cdot b + e_3 \cdot 0)$
$W = Q(ae_1 + be_2)$

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સંરક્ષી ક્ષેત્ર છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે,માર્ગ પર નહીં.
થયેલ કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = q\vec{E} \cdot \vec{d}$,જ્યાં $\vec{d}$ એ સ્થાનાંતર સદિશ છે.
પ્રારંભિક સ્થાન $P(a, b, 0)$ છે અને અંતિમ સ્થાન $S(0, 0, 0)$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{S} - \vec{P} = (0 - a)\hat{i} + (0 - b)\hat{j} + (0 - 0)\hat{k} = -a\hat{i} - b\hat{j}$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E\hat{i}$ છે.
થયેલ કાર્ય $W = q(E\hat{i}) \cdot (-a\hat{i} - b\hat{j}) = qE(-a) = -qEa$.

(D) $q_1$ વિદ્યુતભારના વિદ્યુતક્ષેત્રમાં $q_2$ વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય સ્થિતિઊર્જાના ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_f - U_i = \frac{q_1 q_2}{4 \pi \epsilon_0} \left( \frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$.
અહીં,$q_1 = 10 \ \mu C = 10 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 2 \ \mu C = 2 \times 10^{-6} \ C$.
પ્રારંભિક અંતર $r_i = AB = 80 \ cm = 0.8 \ m$.
અંતિમ અંતર $r_f = AC = 60 \ cm = 0.6 \ m$.
$k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$ લેતા:
$W = (9 \times 10^9) \times (10 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{0.6} - \frac{1}{0.8} \right)$,
$W = 180 \times 10^{-3} \times \left( \frac{0.8 - 0.6}{0.48} \right)$,
$W = 0.18 \times \left( \frac{0.2}{0.48} \right) = 0.18 \times \frac{20}{48} = 0.18 \times \frac{5}{12} = 0.075 \ J$.

(C) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે:
$\Delta K = W_{elec}$
$\frac{1}{2}m(v_B^2 - v_A^2) = q(V_A - V_B)$
આપેલ છે: $m = 1\, g = 10^{-3}\ kg$,$q = 10^{-8}\ C$,$V_A = 600\, V$,$V_B = 0\, V$,$v_B = 20\, cm/s = 0.2\, m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} \times 10^{-3} \times (0.2^2 - v_A^2) = 10^{-8} \times (600 - 0)$
$0.5 \times 10^{-3} \times (0.04 - v_A^2) = 6 \times 10^{-6}$
$0.04 - v_A^2 = \frac{6 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-3}} = 12 \times 10^{-3} = 0.012$
$v_A^2 = 0.04 - 0.012 = 0.028$
$v_A = \sqrt{0.028} \approx 0.1673\, m/s = 16.73\, cm/s \approx 16.8\, cm/s$.

(C) થયેલું કાર્ય $W$ એ સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_f - U_i$.
પ્રારંભિક અંતર $r_i = 10\ cm = 0.1\ m$.
અંતિમ અંતર $r_f = 10\ cm - 4\ cm = 6\ cm = 0.06\ m$.
વિદ્યુતભારો $q_1 = 12 \times 10^{-6}\ C$ અને $q_2 = 8 \times 10^{-6}\ C$.
$W = k q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $W = (9 \times 10^9) \times (12 \times 10^{-6}) \times (8 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{0.06} - \frac{1}{0.1} \right)$.
$W = 0.864 \times \left( 16.67 - 10 \right) = 0.864 \times 6.67 \approx 5.76\ J \approx 5.8\ J$.

(C) તંત્ર પર કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_f - U_i$.
બે બિંદુવત વિદ્યુતભારોની સ્થિતિઊર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$ છે,જ્યાં $k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$ છે.
આપેલ છે: $q_1 = 5 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 10 \times 10^{-6} \ C$,$r_i = 1 \ m$,$r_f = 0.5 \ m$.
$W = k q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$
$W = (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-6}) \times (10 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{0.5} - \frac{1}{1} \right)$
$W = 45 \times 10^{-2} \times (2 - 1)$
$W = 45 \times 10^{-2} \ J$.

(A) વિદ્યુતભાર $Q$ ને બિંદુ $C$ થી બિંદુ $D$ સુધી લઈ જવા માટે થતું કાર્ય $W = Q(V_D - V_C)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $C$ આગળ ($AB$ નું મધ્યબિંદુ):
$A$ થી અંતર $L$ છે અને $B$ થી અંતર $L$ છે.
$V_C = \frac{kq}{L} + \frac{k(-q)}{L} = 0$.
બિંદુ $D$ આગળ ($B$ થી અંતર $L$ અને $A$ થી અંતર $3L$ છે):
$V_D = \frac{kq}{3L} + \frac{k(-q)}{L} = \frac{kq}{L} (\frac{1}{3} - 1) = -\frac{2kq}{3L}$.
આ કિંમતોને કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = Q(V_D - V_C) = Q(-\frac{2kq}{3L} - 0) = -\frac{2kqQ}{3L}$.
અહીં $k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}$ હોવાથી:
$W = -\frac{2qQ}{3L(4\pi \epsilon_0)} = -\frac{qQ}{6\pi \epsilon_0 L}$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1 \, g = 10^{-3} \, kg$,વિદ્યુતભાર $q = 10^{-8} \, C$,$V_A = 600 \, V$,$V_B = 0 \, V$,$B$ આગળ વેગ $(v_B)$ = $20 \, cm/s = 0.2 \, m/s$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે:
$\Delta K = -q \Delta V$
$\frac{1}{2} m v_B^2 - \frac{1}{2} m v_A^2 = -q (V_B - V_A)$
$\frac{1}{2} \times 10^{-3} \times ((0.2)^2 - v_A^2) = -10^{-8} \times (0 - 600)$
$0.5 \times 10^{-3} \times (0.04 - v_A^2) = 6 \times 10^{-6}$
$0.04 - v_A^2 = \frac{6 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-3}}$
$0.04 - v_A^2 = 12 \times 10^{-3} = 0.012$
$v_A^2 = 0.04 - 0.012 = 0.028$
$v_A = \sqrt{0.028} \approx 0.1673 \, m/s$
$cm/s$ માં ફેરવતા: $v_A = 0.1673 \times 100 = 16.73 \, cm/s \approx 16.7 \, cm/s$.

(B) આપેલ છે: અંતર $d = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$, વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = 5 \times 10^5 \ V/m$, ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
સૌ પ્રથમ, પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $(V)$ શોધો: $V = E \times d = (5 \times 10^5 \ V/m) \times (10^{-3} \ m) = 500 \ V$.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta PE)$ નીચે મુજબ મળે છે: $\Delta PE = q \times V$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta PE = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (500 \ V) = 800 \times 10^{-19} \ J = 8 \times 10^{-17} \ J$.

(B) બિંદુ $C$ પર $q_3$ ની પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા:
$U_i = k q_3 \left( \frac{q_1}{AC} + \frac{q_2}{BC} \right)$
અહીં $AC = 0.8 \ m$,$AB = 0.6 \ m$. $\triangle ABC$ માં,$BC = \sqrt{0.8^2 + 0.6^2} = 1.0 \ m$.
$U_i = 9 \times 10^9 \times 0.2 \times 10^{-8} \left( \frac{2 \times 10^{-8}}{0.8} + \frac{-0.4 \times 10^{-8}}{1.0} \right) = 18 \left( 2.5 \times 10^{-8} - 0.4 \times 10^{-8} \right) = 37.8 \times 10^{-8} \ J$.
બિંદુ $D$ પર $q_3$ ની અંતિમ સ્થિતિઊર્જા:
$U_f = k q_3 \left( \frac{q_1}{AD} + \frac{q_2}{BD} \right)$
અહીં $AD = 0.8 \ m$ અને $BD = 0.8 - 0.6 = 0.2 \ m$.
$U_f = 9 \times 10^9 \times 0.2 \times 10^{-8} \left( \frac{2 \times 10^{-8}}{0.8} + \frac{-0.4 \times 10^{-8}}{0.2} \right) = 18 \left( 2.5 \times 10^{-8} - 2.0 \times 10^{-8} \right) = 9 \times 10^{-8} \ J$.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ટકાવારી ફેરફાર:
$\frac{U_f - U_i}{U_i} \times 100 = \frac{9 - 37.8}{37.8} \times 100 = \frac{-28.8}{37.8} \times 100 \approx -76.19\%$.
આમ,$76\%$ ઘટાડો થાય છે.

(D) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કણ $q$ ની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા લઘુત્તમ અંતરના બિંદુએ સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$v$ ઝડપ માટે,પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $\frac{1}{2}mv^2$ છે. લઘુત્તમ અંતર $r$ પર,સ્થિતિ ઉર્જા $\frac{kQq}{r}$ છે.
તેમને સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{kQq}{r} \implies r = \frac{2kQq}{mv^2}$.
આ દર્શાવે છે કે $r \propto \frac{1}{v^2}$.
જો ઝડપ બમણી કરીને $2v$ કરવામાં આવે,તો નવું લઘુત્તમ અંતર $r'$ નીચે મુજબ હશે:
$r' = \frac{2kQq}{m(2v)^2} = \frac{2kQq}{4mv^2} = \frac{r}{4}$.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ કણની ગતિ ઉર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_1 = \frac{kQq}{r_1}$ અને અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_2 = \frac{kQq}{r_2}$.
સ્થિતિ ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = U_1 - U_2 = kQq \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$.
આપેલ છે: $m = 0.1\, kg$,$q = 2 \times 10^{-6}\, C$,$Q = 5 \times 10^{-6}\, C$,$r_1 = 0.5\, m$,$r_2 = 3\, m$,$k = 9 \times 10^9\, N\cdot m^2/C^2$.
$\Delta U = (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{0.5} - \frac{1}{3} \right) = 0.09 \times (2 - 0.333) = 0.09 \times 1.666 = 0.15\, J$.
$\Delta U = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,$0.15 = \frac{1}{2} \times 0.1 \times v^2$.
$v^2 = \frac{0.15 \times 2}{0.1} = 3$.
$v = \sqrt{3} \approx 1.73\, m/s$.

(A) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કારણ કે તંત્રને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,કુલ વેગમાન શૂન્ય રહે છે: $m_1 v_1 = m_2 v_2$ .
અહીં $m_1 = m$ અને $m_2 = 4m$ આપેલ છે,તેથી $m v_Q = 4m v_{2Q}$,જેનો અર્થ છે કે $v_Q = 4 v_{2Q}$ .
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K.E._Q}{K.E._{2Q}} = \frac{\frac{1}{2} m v_Q^2}{\frac{1}{2} (4m) v_{2Q}^2} = \frac{m (4 v_{2Q})^2}{4m v_{2Q}^2} = \frac{16}{4} = 4$ થાય.
આમ,$K.E._Q = 4 \times K.E._{2Q}$ .
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા અનંત અંતરે કુલ ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $U_i = K.E._Q + K.E._{2Q}$ .
$U_i = \frac{K(Q)(2Q)}{r} = \frac{2KQ^2}{r}$ .
ઊર્જાના સમીકરણમાં $K.E._{2Q} = \frac{K.E._Q}{4}$ મૂકતા: $K.E._Q + \frac{K.E._Q}{4} = \frac{2KQ^2}{r}$ .
$\frac{5}{4} K.E._Q = \frac{2KQ^2}{r} \Rightarrow K.E._Q = \frac{8KQ^2}{5r}$ .

(C) તંત્રની પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i$ એ ત્રણ વિદ્યુતભારની જોડીઓની સ્થિતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$U_i = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{(-q)(q)}{a} + \frac{(q)(q)}{a} + \frac{(q)(-q)}{a} \right) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left( -\frac{q^2}{a} + \frac{q^2}{a} - \frac{q^2}{a} \right) = -\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 a}$.
જ્યારે $-q$ વિદ્યુતભાર $BC$ ના મધ્યબિંદુ $M$ પર હોય,ત્યારે અંતર $AM = \sqrt{a^2 - (a/2)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a$,અને અંતર $BM = MC = a/2$ થાય.
અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f$ છે:
$U_f = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{(-q)(q)}{a/2} + \frac{(-q)(q)}{a/2} + \frac{(q)(q)}{a} \right) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left( -\frac{2q^2}{a} - \frac{2q^2}{a} + \frac{q^2}{a} \right) = -\frac{3q^2}{4\pi \epsilon_0 a}$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફારના ઋણ મૂલ્ય $-\Delta U$ જેટલો હોય છે:
$K_f - K_i = -(U_f - U_i) = U_i - U_f$.
વિદ્યુતભાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી $K_i = 0$.
$K_f = -\frac{q^2}{4\pi \epsilon_0 a} - \left( -\frac{3q^2}{4\pi \epsilon_0 a} \right) = \frac{2q^2}{4\pi \epsilon_0 a} = \frac{q^2}{2\pi \epsilon_0 a}$.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ માં મૂકવામાં આવેલા ઋણ વીજભારિત કણ પર સ્થિત-વિદ્યુત બળ $\vec{F} = q\vec{E}$ લાગે છે.
વીજભાર $q$ ઋણ હોવાથી,બળ $\vec{F}$ ની દિશા વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
જેમ કે કણને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તે બળની દિશામાં (વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ) પ્રવેગિત થાય છે.
જ્યારે કણ બળની દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ધન હોય છે.
વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = -W_{field}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ધન હોવાથી,વીજભારની સ્થિતિઊર્જા $U$ ઘટે છે.

(N/A) ઉગમબિંદુ પર મૂકેલા વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ નો વિચાર કરો.
આપણે એક પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q$ ને બિંદુ $R$ થી બિંદુ $P$ સુધી વિદ્યુતભાર $Q$ દ્વારા લાગતા અપાકર્ષી બળની વિરુદ્ધમાં લાવીએ છીએ. (જો $Q$ અને $q$ સમાન પ્રકારના વિદ્યુતભાર હોય તો આવું થાય છે).
ધારો કે $Q$ અને $q$ બંને ધન છે.
પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q$ એટલો નાનો છે કે તે મૂળ વિદ્યુતભારના તંત્રમાં કોઈ ખલેલ પહોંચાડતો નથી.
વિદ્યુતભાર $q$ ને $R$ થી $P$ સુધી લાવવા માટે,આપણે બાહ્ય બળ $\overrightarrow{F}_{\text{ext}}$ લગાડીએ છીએ,જ્યારે વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું અપાકર્ષી વિદ્યુતબળ $\overrightarrow{F}_{E}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે કોઈ ચોખ્ખું બળ લાગતું નથી,એટલે કે $\overrightarrow{F}_{\text{ext}} = -\overrightarrow{F}_{E}$. આનો અર્થ એ છે કે તેને ધીમી અને અચળ ઝડપથી લાવવામાં આવે છે અને તેનો પ્રવેગ શૂન્ય છે.
આ પરિસ્થિતિમાં,બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ વિદ્યુતબળ દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્યનું ઋણ મૂલ્ય છે અને તે સંપૂર્ણપણે વિદ્યુતભાર $q$ ની સ્થિતિ ઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
જો $P$ પર પહોંચ્યા પછી બાહ્ય બળ દૂર કરવામાં આવે,તો વિદ્યુતબળ વિદ્યુતભારને $Q$ થી દૂર ધકેલશે. $P$ પર સંગ્રહિત ઊર્જાનો ઉપયોગ વિદ્યુતભાર $q$ ને ગતિ ઊર્જા આપવા માટે એવી રીતે થાય છે કે જેથી ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જાનો સરવાળો સંરક્ષિત રહે.
વિદ્યુતભાર $q$ ને $R$ થી $P$ સુધી ખસેડવામાં બાહ્ય બળો દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય:
$W_{RP} = \int_{R}^{P} \overrightarrow{F}_{\text{ext}} \cdot d\overrightarrow{r}$
અને વિદ્યુતબળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય:
$W_{RP} = -\int_{R}^{P} \overrightarrow{F}_{E} \cdot d\overrightarrow{r}$
આ કરવામાં આવેલું કાર્ય વિદ્યુતભાર $q$ ની સ્થિતિ ઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે:
$\therefore U = \int_{R}^{P} \overrightarrow{F}_{\text{ext}} \cdot d\overrightarrow{r}$

(N/A) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ અને તેને અનુરૂપ બાહ્ય સ્થિતિમાન $V$ દરેક બિંદુએ અલગ-અલગ હોઈ શકે છે.
વિદ્યુત સ્થિતિમાનની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $P$ આગળનું સ્થિતિમાન $V$ એ એકમ ધન વિદ્યુતભારને અનંત અંતરેથી બિંદુ $P$ સુધી લાવવા માટે કરેલા કાર્ય જેટલું હોય છે. (અનંત અંતરે સ્થિતિમાન શૂન્ય છે તેમ સ્વીકારીએ છીએ.)
તેથી,બાહ્ય ક્ષેત્રમાં $q$ વિદ્યુતભારને અનંત અંતરેથી બિંદુ $P$ સુધી લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = qV$ છે.
આ કાર્ય વિદ્યુતભાર $q$ ની સ્થિતિઊર્જા $U$ સ્વરૂપે સંગ્રહિત થાય છે.
$\therefore U = qV$.
જો બિંદુ $P$ નો ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ હોય,તો બિંદુ $P$ આગળ સ્થિતિઊર્જા $U(\vec{r}) = qV(\vec{r})$ થાય.
આમ,બાહ્ય ક્ષેત્રમાં સ્થિતિઊર્જા = વિદ્યુતભાર $\times$ બાહ્ય ક્ષેત્રમાં તે બિંદુએ વિદ્યુત સ્થિતિમાન.

(N/A) ધારો કે બે વિદ્યુતભારો $q_{1}$ અને $q_{2}$ ને અનંત અંતરેથી બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ માં અનુક્રમે સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r_{1}}$ અને $\overrightarrow{r_{2}}$ ધરાવતા બિંદુઓ પર લાવવામાં આવે છે.
વિદ્યુતભાર $q_{1}$ ને અનંત અંતરેથી $\overrightarrow{r_{1}}$ સ્થાન પર લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય:
$W_{1} = q_{1} V(\overrightarrow{r_{1}}) \quad \dots (1)$
ત્યારબાદ,વિદ્યુતભાર $q_{2}$ ને અનંત અંતરેથી $\overrightarrow{r_{2}}$ સ્થાન પર લાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય બે ક્ષેત્રોની વિરુદ્ધમાં થાય છે: બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ અને વિદ્યુતભાર $q_{1}$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર.
બાહ્ય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધમાં કરવું પડતું કાર્ય:
$W_{2} = q_{2} V(\overrightarrow{r_{2}}) \quad \dots (2)$
$q_{1}$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ક્ષેત્રની વિરુદ્ધમાં કરવું પડતું કાર્ય:
$W_{3} = \frac{k q_{1} q_{2}}{r_{12}} \quad \dots (3)$
જ્યાં $r_{12}$ એ $q_{1}$ અને $q_{2}$ વચ્ચેનું અંતર છે.
તંત્રની કુલ સ્થિતિઊર્જા $U$ એ આ ગોઠવણી કરવા માટે કરેલા કુલ કાર્યના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$U = W_{1} + W_{2} + W_{3}$
$U = q_{1} V(\overrightarrow{r_{1}}) + q_{2} V(\overrightarrow{r_{2}}) + \frac{k q_{1} q_{2}}{r_{12}}$

(N/A) બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું સ્થિત-વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સંરક્ષી ક્ષેત્ર છે.
સંરક્ષી ક્ષેત્રમાં,કોઈપણ બંધ પથ પર ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર પર વિદ્યુત બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે સંરક્ષી ક્ષેત્રમાં થયેલું કાર્ય માત્ર વિદ્યુતભારના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન પર આધાર રાખે છે,તે કયા પથ પર ગતિ કરે છે તેના પર નહીં.
બંને પથ બંધ લૂપ હોવાથી,બંને કિસ્સામાં પરીક્ષણ વિદ્યુતભાર $q$ નું સ્થાનાંતર સમાન બિંદુએ શરૂ થાય છે અને સમાન બિંદુએ પૂર્ણ થાય છે.
તેથી,બંને કિસ્સામાં વિદ્યુત બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય શૂન્ય છે,અને તે બંને એકબીજાને સમાન છે.

(C) વિદ્યુતભારોને અનંત અંતરેથી તેમના સંબંધિત સ્થાનો પર લાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય એ તંત્રની સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ધારો કે ગોળીય કવચ એ વિદ્યુતભાર $1$ છે,$+q$ એ વિદ્યુતભાર $2$ છે અને $-q$ એ વિદ્યુતભાર $3$ છે.
સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળીય કવચની અંદર સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે $V = kQ/R$ જેટલું હોય છે,જ્યાં $k = 1 / (4 \pi \varepsilon_0)$.
$1$. $+q$ વિદ્યુતભારને $x = -a/2$ પર લાવવા માટે થયેલ કાર્ય: $W_1 = q \times V_{\text{shell}} = q(kQ/R)$.
$2$. $-q$ વિદ્યુતભારને $x = +a/2$ પર લાવવા માટે થયેલ કાર્ય: $W_2 = (-q) \times V_{\text{shell}} + (-q) \times V_{\text{charge } q} = (-q)(kQ/R) + (-q)(kq / a) = -kQq/R - kq^2/a$.
કુલ કાર્ય $W = W_1 + W_2 = (kQq/R) - (kQq/R) - kq^2/a = -kq^2/a$.
થયેલા કાર્યનું મૂલ્ય $|W| = | -kq^2/a | = q^2 / (4 \pi \varepsilon_0 a)$ થાય.

(D) લઘુત્તમ અંતરના બિંદુએ,વિદ્યુતભાર $q$ ની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$v$ ઝડપ માટેના પ્રારંભિક કિસ્સામાં:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{kqQ}{r}$ --- $(1)$
$2v$ ઝડપ માટેના બીજા કિસ્સામાં,ધારો કે નવું લઘુત્તમ અંતર $r'$ છે:
$\frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{kqQ}{r'}$
$\frac{1}{2}m(4v^2) = \frac{kqQ}{r'}$
$2mv^2 = \frac{kqQ}{r'}$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\frac{1}{2}mv^2}{2mv^2} = \frac{\frac{kqQ}{r}}{\frac{kqQ}{r'}}$
$\frac{1}{4} = \frac{r'}{r}$
$r' = \frac{r}{4}$
આમ,લઘુત્તમ અંતર $\frac{r}{4}$ થશે.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_E = q \vec{E} \cdot \vec{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\vec{d}$ એ સ્થાનાંતર સદિશ છે.
આપેલ છે: $q = 2 \times 10^{-2} \, C$,$\vec{E} = 30 \hat{i} \, N C^{-1}$.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{S} - \vec{P} = (0 - 1)\hat{i} + (0 - 2)\hat{j} + (0 - 0)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} \, m$.
હવે,$W_E = (2 \times 10^{-2}) \times (30 \hat{i}) \cdot (-\hat{i} - 2\hat{j})$.
$W_E = (2 \times 10^{-2}) \times (-30) \, J$.
$W_E = -60 \times 10^{-2} \, J = -0.6 \, J$.
કારણ કે $1 \, J = 1000 \, mJ$,તેથી $W_E = -0.6 \times 1000 \, mJ = -600 \, mJ$.

(D) સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં વિદ્યુતભારને ખસેડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ એ તંત્રની સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = U_f - U_i$
શરૂઆતમાં,વિદ્યુતભાર $(-q)$ બિંદુ $A$ પર છે અને $(+Q)$ બિંદુ $B$ પર છે,જે $\ell$ અંતરે અલગ થયેલા છે. પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(-q)(Q)}{\ell} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{\ell}$ છે.
અંતે,વિદ્યુતભાર $(-q)$ ને બિંદુ $C$ પર ખસેડવામાં આવે છે,જ્યારે $(+Q)$ બિંદુ $B$ પર જ રહે છે. $C$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર પણ $\ell$ છે કારણ કે $ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(-q)(Q)}{\ell} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{\ell}$ છે.
તેથી,થયેલું કુલ કાર્ય $W = U_f - U_i = (-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{\ell}) - (-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Qq}{\ell}) = 0$ થાય.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારને વિદ્યુતક્ષેત્રના કુલંબ બળની વિરુદ્ધ દિશામાં ખસેડવામાં આવે છે, ત્યારે સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણ કે આકર્ષણને દૂર કરવા માટે બાહ્ય એજન્ટે વિદ્યુતભાર પર ધન કાર્ય કરવું પડે છે.
કાર્ય-ઉર્જા પ્રમેય મુજબ, બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $(W_{\text{agent}})$ એ તંત્રની સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર $(\Delta U = U_f - U_i)$ જેટલું હોય છે.
કારણ કે કાર્ય વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ કરવામાં આવે છે, તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થતું કાર્ય $(W_{\text{field}})$ ઋણ હોય છે $(W_{\text{field}} = -W_{\text{agent}})$.
આથી, તંત્રની સ્થિતિ ઉર્જા વધે છે અને આ ઉર્જા બાહ્ય બળ દ્વારા પૂરી પાડવામાં આવે છે.
તેથી, સાચું વિધાન એ છે કે કોઈ બાહ્ય બળ પાસેથી ઉર્જા લેવામાં આવે છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ દ્વારા $Q$ વિદ્યુતભાર પર સ્થાનાંતર $\vec{r}$ દરમિયાન થતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = Q (\vec{E} \cdot \vec{r})$
અહીં $\vec{E} = e_1 \hat{i} + e_2 \hat{j} + e_3 \hat{k}$ અને $\vec{r} = a \hat{i} + b \hat{j} + 0 \hat{k}$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને અદિશ ગુણાકારમાં મૂકતા:
$W = Q [(e_1 \hat{i} + e_2 \hat{j} + e_3 \hat{k}) \cdot (a \hat{i} + b \hat{j} + 0 \hat{k})]$
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ અને અન્ય પદો $0$ થાય છે:
$W = Q (e_1 a + e_2 b + e_3 \cdot 0)$
$W = Q (ae_1 + be_2)$

(C) બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો વચ્ચેનું અંતર બદલવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ તેમની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર $\Delta U$ જેટલું હોય છે.
બે વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{k q_1 q_2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $q_1 = 5 \times 10^{-6} \ C$,$q_2 = 10 \times 10^{-6} \ C$,$r_1 = 1 \ m$,$r_2 = 0.5 \ m$,અને $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
કરવું પડતું કાર્ય $W = U_2 - U_1 = k q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} \right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-6}) \times (10 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{0.5} - \frac{1}{1} \right)$
$W = (9 \times 10^9) \times (50 \times 10^{-12}) \times (2 - 1)$
$W = 450 \times 10^{-3} \ J = 0.45 \ J = 45 \times 10^{-2} \ J$.

(D) સ્થિત વિદ્યુત બળ દ્વારા કણ પર થયેલું કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
કાર્ય $W = \int_{r_1}^{r_2} \frac{k q_1 q_2}{r^2} dr = k q_1 q_2 \left[ -\frac{1}{r} \right]_{1}^{10} = k q_1 q_2 \left( 1 - \frac{1}{10} \right) = k q_1 q_2 \left( \frac{9}{10} \right)$.
અહીં $k = 9 \times 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}$, $q_1 = 1 \times 10^{-6} \text{ C}$, $q_2 = 2 \times 10^{-3} \text{ C}$, $m = 1 \times 10^{-3} \text{ kg}$ છે.
$W = (9 \times 10^9) \times (1 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^{-3}) \times 0.9 = 18 \times 0.9 = 16.2 \text{ J}$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $W = \frac{1}{2} m v^2$.
$16.2 = \frac{1}{2} \times (1 \times 10^{-3}) \times v^2$.
$v^2 = \frac{16.2 \times 2}{10^{-3}} = 32.4 \times 10^3 = 32400$.
$v = \sqrt{32400} = 180 \text{ m s}^{-1}$.

(A) ધારો કે $q = 5 \mu C = 5 \times 10^{-6} \text{ C}$ અને $Q = -5 \mu C = -5 \times 10^{-6} \text{ C}$. અંતર $AC = CB = 3 \text{ m}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે.
$C$ આગળ સ્થિતિઊર્જા $U_C = 2 \times \frac{k q Q}{r}$ છે,જ્યાં $r = 3 \text{ m}$.
$D$ આગળ સ્થિતિઊર્જા $U_D = 2 \times \frac{k q Q}{\sqrt{r^2 + x^2}}$ છે,જ્યાં $x = CD$.
સ્થિતિઊર્જામાં ઘટાડો = $U_C - U_D = 2kq|Q| \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{\sqrt{r^2 + x^2}} \right) = K_{initial} = 0.06 \text{ J}$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \times (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-6}) \times (5 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{3^2 + x^2}} \right) = 0.06$.
$0.45 \times \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{9 + x^2}} \right) = 0.06$.
$\frac{1}{3} - \frac{1}{\sqrt{9 + x^2}} = \frac{0.06}{0.45} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$.
$\frac{1}{\sqrt{9 + x^2}} = \frac{1}{3} - \frac{2}{15} = \frac{5-2}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$.
$\sqrt{9 + x^2} = 5 \implies 9 + x^2 = 25 \implies x^2 = 16 \implies x = 4 \text{ m}$.

(B) જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ પ્રવેગિત થાય છે,ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ દળ $m$ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલી ગતિઊર્જા જેટલું હોય છે.
કરવામાં આવેલું કાર્ય $W = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રાપ્ત થયેલી ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{1}{2}mv^2 = qV$.
આપેલ કિંમતો: $m = 1 \ kg$,$q = 2 \ C$,$V = 1 \ V$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{2} \times 1 \times v^2 = 2 \times 1$.
$\frac{1}{2}v^2 = 2$.
$v^2 = 4$.
$v = 2 \ m \ s^{-1}$.
તેથી,પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલો વેગ $2 \ m \ s^{-1}$ છે.

(A) આપેલ છે: $q_A = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$,$q_B = 1 \times 10^{-9} \text{ C}$,પ્રારંભિક અંતર $d_i = 5 \times 10^{-2} \text{ m}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $U_i = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_A q_B}{d_i} = (9 \times 10^9) \frac{(3 \times 10^{-9})(1 \times 10^{-9})}{5 \times 10^{-2}} = \frac{27 \times 10^{-9}}{5 \times 10^{-2}} = 5.4 \times 10^{-7} \text{ J}$.
વિદ્યુતભાર $B$ ને $A$ તરફ $1 \text{ cm}$ ખસેડ્યા પછી,નવું અંતર $d_f = 4 \times 10^{-2} \text{ m}$ થાય.
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_A q_B}{d_f} = (9 \times 10^9) \frac{(3 \times 10^{-9})(1 \times 10^{-9})}{4 \times 10^{-2}} = \frac{27 \times 10^{-9}}{4 \times 10^{-2}} = 6.75 \times 10^{-7} \text{ J}$.
કરવું પડતું કાર્ય $W = U_f - U_i = (6.75 - 5.4) \times 10^{-7} \text{ J} = 1.35 \times 10^{-7} \text{ J}$.

(C) $r$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ પર રહેલા $q$ વિદ્યુતભારના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U = 3 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L$ બાજુ ધરાવતી પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $U_i = \frac{3}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L}$ છે.
$\frac{L}{2}$ બાજુ ધરાવતી અંતિમ સ્થિતિઊર્જા $U_f = \frac{3}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L/2} = \frac{6}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L}$ છે.
કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = U_f - U_i$.
$W = \frac{6}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L} - \frac{3}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L} = \frac{3}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q^2}{L}$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા થયેલું કાર્ય પથ પર આધારિત નથી કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સંરક્ષી ક્ષેત્ર છે. થયેલું કાર્ય $W$ એ $W = q \Delta V = -q \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d\vec{r} = -q \vec{E} \cdot \vec{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (3-0)\hat{k} = (1\hat{i} - 1\hat{j} + 3\hat{k}) \ m$ ની ગણતરી કરો.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = (10\hat{i} + 30\hat{j}) \ Vm^{-1}$ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_B - V_A = -\vec{E} \cdot \vec{d} = -[(10)(1) + (30)(-1) + (0)(3)] = -[10 - 30] = 20 \ V$.
થયેલું કાર્ય $W = q \Delta V = (0.8 \ C)(20 \ V) = 16 \ J$ છે.

(A) $r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q$ અને $e$ ના તંત્રની સ્થિતિઊર્જા $U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q e}{r}$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો એ ગતિઊર્જામાં થતા વધારા બરાબર હોય છે:
$\Delta U = \Delta K$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} q e \left( \frac{1}{r_i} - \frac{1}{r_f} \right) = \frac{1}{2} m v^2$
આપેલ છે: $q = 20 \times 10^{-9} \ C$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$r_i = 4 \ m$,$r_f = 2 \ m$,$m = 9 \times 10^{-31} \ kg$,$k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2 \ C^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$9 \times 10^9 \times 20 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19} \times \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \times 9 \times 10^{-31} \times v^2$
નોંધ: ઇલેક્ટ્રોન અપાકર્ષણ અનુભવે છે,તેથી કાર્યનું મૂલ્ય $W = k q e (\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i})$ લેતા:
$9 \times 10^9 \times 20 \times 10^{-9} \times 1.6 \times 10^{-19} \times (0.5 - 0.25) = 0.5 \times 9 \times 10^{-31} \times v^2$
$9 \times 20 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 0.25 = 4.5 \times 10^{-31} \times v^2$
$72 \times 10^{-19} \times 0.25 = 4.5 \times 10^{-31} \times v^2$
$18 \times 10^{-19} = 4.5 \times 10^{-31} \times v^2$
$v^2 = \frac{18 \times 10^{-19}}{4.5 \times 10^{-31}} = 4 \times 10^{12}$
$v = 2 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$.

(C) બાહ્ય ક્ષેત્ર $E = \frac{A}{r^2}$ ને કારણે સ્થિતિમાન $V$ એ $V = -\int_{\infty}^{r} E \cdot dr = -\int_{\infty}^{r} \frac{A}{r^2} dr = \frac{A}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$r_1 = 9 \ cm = 0.09 \ m$ અને $r_2 = 9 \ cm = 0.09 \ m$ છે.
કુલ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા $U$ એ બાહ્ય ક્ષેત્રમાં દરેક વિદ્યુતભારની સ્થિતિ ઊર્જા અને તેમની પરસ્પર આંતરક્રિયા ઊર્જાનો સરવાળો છે:
$U = q_1 V(r_1) + q_2 V(r_2) + \frac{k q_1 q_2}{r_{12}}$
$U = (7 \times 10^{-6}) \left( \frac{9 \times 10^5}{0.09} \right) + (-2 \times 10^{-6}) \left( \frac{9 \times 10^5}{0.09} \right) + \frac{(9 \times 10^9) (7 \times 10^{-6}) (-2 \times 10^{-6})}{0.18}$
$U = (7 \times 10^{-6}) (10^7) - (2 \times 10^{-6}) (10^7) - \frac{126 \times 10^{-3}}{0.18}$
$U = 70 - 20 - 0.7 = 49.3 \ J$.

(C) બાહ્ય એજન્ટ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય એ તંત્રની સ્થિતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W_{\text{ext}} = \Delta U = U_f - U_i$
$W_{\text{ext}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} q_1 q_2 \left( \frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i} \right)$
આપેલ છે:
$q_1 = 10^{-8} \text{ C}$,$q_2 = 2 \times 10^{-6} \text{ C}$
$r_i = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6 \text{ m}$
$r_f = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \text{ m}$
કિંમતો મૂકતા:
$W_{\text{ext}} = (9 \times 10^9) \times (10^{-8} \times 2 \times 10^{-6}) \times \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \right)$
$W_{\text{ext}} = (9 \times 10^9) \times (2 \times 10^{-14}) \times \left( \frac{2-1}{6} \right)$
$W_{\text{ext}} = 18 \times 10^{-5} \times \frac{1}{6} = 3 \times 10^{-5} \text{ J}$
$W_{\text{ext}} = 30 \times 10^{-6} \text{ J}$