Effect of Dielectric Inside Capacitor Questions in Gujarati

(B) જ્યારે ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતો ડાયઇલેક્ટ્રિક પદાર્થ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિકની સપાટી પર પ્રેરિત વિદ્યુતભારો એક આંતરિક વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે જે મૂળ બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રનો વિરોધ કરે છે.
જો મૂળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ હોય,તો નવું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{E_0}{K}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ ડાયઇલેક્ટ્રિક પદાર્થ માટે $K > 1$ હોવાથી,પરિણામી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ મૂળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ કરતા ઓછું હોય છે.
તેથી,પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર ઘટે છે.

(D) કોઈ માધ્યમનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ એ માધ્યમ સાથેના કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ $(C_m)$ અને હવા અથવા શૂન્યાવકાશ સાથેના કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ $(C_0)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
$C_0 = 2.0 \, \mu F$
$C_m = 12 \, \mu F$
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$K = \frac{C_m}{C_0}$
$K = \frac{12 \, \mu F}{2.0 \, \mu F} = 6$
તેથી,માધ્યમનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $6$ છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે,$\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $C \propto \frac{K}{d}$.
ધારો કે પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d_1}$ છે.
આપેલ છે: $d_2 = \frac{d_1}{2}$ અને $K_2 = 2K_1$.
નવું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{d_2} = \frac{(2K_1) \varepsilon_0 A}{d_1/2} = 4 \times \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d_1} = 4C_1$.
તેથી,કેપેસિટન્સ $4$ ગણું વધશે.

(B) આપેલ ગોઠવણીને સમાંતરમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય,જેમાં દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A/2$ અને પ્લેટ વચ્ચેનું અંતર $t$ છે.
ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $k_1$ ધરાવતા પ્રથમ કેપેસિટર માટે,કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{k_1 \varepsilon_0 (A/2)}{t} = \frac{k_1 \varepsilon_0 A}{2t}$ છે.
ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $k_2$ ધરાવતા બીજા કેપેસિટર માટે,કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{k_2 \varepsilon_0 (A/2)}{t} = \frac{k_2 \varepsilon_0 A}{2t}$ છે.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C = C_1 + C_2$ થશે.
$C = \frac{k_1 \varepsilon_0 A}{2t} + \frac{k_2 \varepsilon_0 A}{2t} = \frac{\varepsilon_0 A}{2t}(k_1 + k_2) = \frac{\varepsilon_0 A}{t} \cdot \frac{k_1 + k_2}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આ કેપેસિટરને શ્રેણી જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય,જેમાં દરેકનું પ્લેટ ક્ષેત્રફળ $A$ અને પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d/2$ છે.
પ્રથમ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_1 \varepsilon_0 A}{d}$ થાય.
બીજા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_2 \varepsilon_0 A}{d}$ થાય.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ માટે $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ સૂત્ર વપરાય.
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d}{2 K_1 \varepsilon_0 A} + \frac{d}{2 K_2 \varepsilon_0 A} = \frac{d}{2 \varepsilon_0 A} \left( \frac{1}{K_1} + \frac{1}{K_2} \right) = \frac{d}{2 \varepsilon_0 A} \left( \frac{K_1 + K_2}{K_1 K_2} \right)$.
તેથી,$C_{eq} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d} \left( \frac{K_1 K_2}{K_1 + K_2} \right)$ મળે.

(B) આ કેપેસિટરને ત્રણ કેપેસિટરના સંયોજન તરીકે જોઈ શકાય છે. ઉપરનો અડધો ભાગ $A/2$ ક્ષેત્રફળ અને $d/2$ અંતર ધરાવતા બે સમાંતર કેપેસિટરનો બનેલો છે,જેમના કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{k_1 \epsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{k_1 \epsilon_0 A}{d}$ અને $C_2 = \frac{k_2 \epsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{k_2 \epsilon_0 A}{d}$ છે.
આ બંને સમાંતર હોવાથી,તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{12} = C_1 + C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d} (k_1 + k_2)$ થાય.
નીચેનો અડધો ભાગ $A$ ક્ષેત્રફળ અને $d/2$ અંતર ધરાવતું કેપેસિટર છે,જેનું કેપેસિટન્સ $C_3 = \frac{k_3 \epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2k_3 \epsilon_0 A}{d}$ છે.
$C_{12}$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં હોવાથી,કુલ કેપેસિટન્સ $C$ માટે $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_{12}} + \frac{1}{C_3}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{C} = \frac{d}{\epsilon_0 A (k_1 + k_2)} + \frac{d}{2k_3 \epsilon_0 A} = \frac{d}{\epsilon_0 A} \left( \frac{1}{k_1 + k_2} + \frac{1}{2k_3} \right)$.
એક જ ડાયઇલેક્ટ્રિક $k$ માટે,$C = \frac{k \epsilon_0 A}{d}$,તેથી $\frac{1}{C} = \frac{d}{k \epsilon_0 A}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1 + k_2} + \frac{1}{2k_3}$ મળે છે.

(D) કેપેસિટરને ત્રણ કેપેસિટરોના સંયોજન તરીકે ગણી શકાય.
$K_1$ અને $K_2$ ડાયઇલેક્ટ્રિક ધરાવતા કેપેસિટરો એકબીજા સાથે સમાંતર જોડાયેલા છે,અને આ સંયોજન $K_3$ ડાયઇલેક્ટ્રિક ધરાવતા કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે.
ઉપરના ભાગ માટે,ક્ષેત્રફળ $A/2$ અને અંતર $d/2$ છે:
$C_1 = \frac{K_1 \varepsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d}$
$C_2 = \frac{K_2 \varepsilon_0 (A/2)}{d/2} = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{d}$
$C_1$ અને $C_2$ સમાંતરમાં હોવાથી,તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = C_1 + C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} (K_1 + K_2)$ થાય.
નીચેના ભાગ માટે,ક્ષેત્રફળ $A$ અને અંતર $d/2$ છે:
$C_3 = \frac{K_3 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_3 \varepsilon_0 A}{d}$.
હવે,$C_p$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં છે:
$C_{eq} = \frac{C_p C_3}{C_p + C_3} = \frac{\left[ \frac{\varepsilon_0 A}{d} (K_1 + K_2) \right] \left[ \frac{2 K_3 \varepsilon_0 A}{d} \right]}{\frac{\varepsilon_0 A}{d} (K_1 + K_2 + 2K_3)} = \frac{2 K_3 (K_1 + K_2)}{K_1 + K_2 + 2K_3} \frac{\varepsilon_0 A}{d}$.
આ અભિવ્યક્તિ આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈની સાથે મેળ ખાતી નથી,તેથી સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(A) હવાથી ભરેલા કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 10\,\mu F$ છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,આ કેપેસિટરને સમાંતર જોડાણમાં રહેલા ત્રણ કેપેસિટર્સ તરીકે ગણી શકાય: બે હવા-ભરેલા કેપેસિટર્સ ($C_1$ અને $C_3$) જે દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A/4$ અને અંતર $d$ છે,અને એક ડાયલેક્ટ્રિક-ભરેલું કેપેસિટર $(C_2)$ જેનું ક્ષેત્રફળ $A/2$,અંતર $d$ અને ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K=4$ છે.
કેપેસિટન્સ નીચે મુજબ છે:
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/4)}{d} = \frac{1}{4} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = \frac{1}{4} C_0 = 2.5\,\mu F$
$C_3 = \frac{\varepsilon_0 (A/4)}{d} = \frac{1}{4} C_0 = 2.5\,\mu F$
$C_2 = \frac{K \varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{K}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = \frac{4}{2} C_0 = 2 C_0 = 20\,\mu F$
તેઓ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 = 2.5 + 20 + 2.5 = 25\,\mu F$ થાય.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યાને $d/2$ જાડાઈના બે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્તરોથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ શ્રેણીમાં બે કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્રથમ સ્તરનું કેપેસિટન્સ $C_A = \frac{K_1 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_1 \varepsilon_0 A}{d} = 2 K_1 C$ છે.
બીજા સ્તરનું કેપેસિટન્સ $C_B = \frac{K_2 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 K_2 \varepsilon_0 A}{d} = 2 K_2 C$ છે.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{C_A} + \frac{1}{C_B} = \frac{1}{2 K_1 C} + \frac{1}{2 K_2 C} = \frac{K_1 + K_2}{2 K_1 K_2 C}$.
તેથી,$C_1 = \frac{2 K_1 K_2}{K_1 + K_2} C$.
આમ,$C_1/C$ નો ગુણોત્તર $\frac{2 K_1 K_2}{K_1 + K_2}$ થાય છે.

(B) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 100\,\mu F$ છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$
$K = 5$ મૂકતા:
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{5}} = \frac{\epsilon_0 A}{d - 0.8t}$
અહીં $t < d$ હોવાથી,છેદ $(d - 0.8t)$ એ $d$ કરતા નાનો છે. તેથી,$C' > C_0$.
વળી,જો સ્લેબ આખી જગ્યા ભરી દે $(t = d)$,તો કેપેસિટન્સ $K \times C_0 = 5 \times 100 = 500\,\mu F$ થાય.
આમ,$t < d$ હોવાથી,નવું કેપેસિટન્સ $C'$ એ $100\,\mu F$ કરતા વધારે પરંતુ $500\,\mu F$ કરતા ઓછું હશે.

(D) ઋણ પ્લેટ $x = 0$ પર છે અને ધન પ્લેટ $x = 3d$ પર છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા ધન પ્લેટથી ઋણ પ્લેટ તરફ હોય છે. તેથી,સમગ્ર વિસ્તારમાં વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશા $x = 3d$ થી $x = 0$ તરફ (એટલે કે,ઋણ $x$-દિશામાં) રહે છે. આમ,દિશા સમાન રહે છે.
હવામાં વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E_{air} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ છે અને ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબમાં $E_{dielectric} = \frac{\sigma}{K\varepsilon_0}$ છે. $K > 1$ હોવાથી,મૂલ્યો અલગ-અલગ છે.
વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સાથે $E = -\frac{dV}{dx}$ દ્વારા સંબંધિત છે. વિદ્યુતક્ષેત્ર ઋણ $x$-અક્ષ તરફ હોવાથી,$E_x < 0$ છે. તેથી,$-\frac{dV}{dx} < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dV}{dx} > 0$. આનો અર્થ એ છે કે જેમ આપણે $x = 0$ (ઋણ પ્લેટ) થી $x = 3d$ (ધન પ્લેટ) તરફ જઈએ છીએ તેમ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ સતત વધે છે.
તેથી,વિધાનો $(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(C) શરૂઆતમાં,સ્વીચ $S$ બંધ છે. બંને કેપેસિટર $A$ અને $B$ સમાંતરમાં $V$ પોટેન્શિયલ ધરાવતી બેટરી સાથે જોડાયેલા છે. દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક કુલ ઉર્જા:
$U_1 = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}CV^2 = CV^2$ --- $(i)$
જ્યારે સ્વીચ $S$ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $A$ બેટરી સાથે જોડાયેલ રહે છે,તેથી તેનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ રહે છે. કેપેસિટર $B$ બેટરીથી અલગ થઈ જાય છે,તેથી તેનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે. કેપેસિટર $B$ પરનો પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = CV$ હતો.
$K = 3$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું ડાયઇલેક્ટ્રિક ભર્યા પછી,દરેક કેપેસિટરનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC = 3C$ થાય છે.
કેપેસિટર $A$ માટે,પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ રહે છે. નવી ઉર્જા $U_{A}' = \frac{1}{2}C'V^2 = \frac{1}{2}(3C)V^2 = \frac{3}{2}CV^2$ છે.
કેપેસિટર $B$ માટે,વિદ્યુતભાર $Q = CV$ અચળ રહે છે. નવી ઉર્જા $U_{B}' = \frac{Q^2}{2C'} = \frac{(CV)^2}{2(3C)} = \frac{1}{6}CV^2$ છે.
સિસ્ટમમાં સંગ્રહિત અંતિમ કુલ ઉર્જા:
$U_2 = U_{A}' + U_{B}' = \frac{3}{2}CV^2 + \frac{1}{6}CV^2 = \left(\frac{9+1}{6}\right)CV^2 = \frac{10}{6}CV^2 = \frac{5}{3}CV^2$ --- (ii)
ડાયઇલેક્ટ્રિક પહેલા અને પછી કુલ સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{U_1}{U_2} = \frac{CV^2}{(5/3)CV^2} = \frac{3}{5}$

(B) જ્યારે કેપેસિટરને બેટરીથી ડિસ્કનેક્ટ કરવામાં આવે છે, ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ જેમ $L$ લંબાઈની ડાયઇલેક્ટ્રિક પ્લેટને $x$ અંતર સુધી બહાર ખેંચવામાં આવે છે, તેમ કેપેસિટરને સમાંતરમાં બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય: એક ડાયઇલેક્ટ્રિક સાથે (લંબાઈ $L-x$) અને એક હવા સાથે (લંબાઈ $x$).
જેમ $x$ વધે છે તેમ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C(x)$ ઘટે છે.
કારણ કે $V = \frac{Q}{C}$, અને $Q$ અચળ છે, તેથી જેમ $C$ ઘટે છે તેમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ વધે છે.
ચોક્કસ રીતે, $C(x) = \frac{\epsilon_0 w}{d} (L-x)K + \frac{\epsilon_0 w}{d} x = \frac{\epsilon_0 w}{d} [K(L-x) + x]$.
જેમ $x$ એ $0$ થી $L$ સુધી વધે છે, તેમ $C(x)$ રેખીય રીતે ઘટે છે, જેનો અર્થ છે કે $V(x) = \frac{Q}{C(x)}$ બિન-રેખીય રીતે વધશે (ખાસ કરીને, તે હાયપરબોલિક વળાંક $V \propto \frac{1}{a-bx}$ ને અનુસરે છે).
એકવાર ડાયઇલેક્ટ્રિક સંપૂર્ણપણે દૂર થઈ જાય $(x=L)$, ત્યારે કેપેસિટન્સ અચળ થઈ જાય છે $(C_{air} = \frac{\epsilon_0 A}{d})$, અને તેથી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ થઈ જાય છે.
આલેખ $B$ યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે કે $V$ બિન-રેખીય રીતે વધે છે અને પછી અચળ થઈ જાય છે.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
બીજી સ્થિતિમાં,પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યા બે ભાગમાં વહેંચાયેલી છે,જેમાં દરેકનું ક્ષેત્રફળ $A/2$ છે અને પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
આ બે ભાગો સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
એક કેપેસિટરમાં હવા ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક તરીકે છે,તેથી તેનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{C}{2}$ છે.
બીજા કેપેસિટરમાં $K$ અચળાંક ધરાવતું ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક પદાર્થ છે,તેથી તેનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K \epsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{KC}{2}$ છે.
તેઓ સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + C_2$ થશે.
$C_{eq} = \frac{C}{2} + \frac{KC}{2} = \frac{C}{2}(1 + K)$.

(C) હવામાં $r$ અંતરે રહેલા બે બિંદુવત વિદ્યુતભારો $q_1$ અને $q_2$ વચ્ચે લાગતું સ્થિત વિદ્યુત બળ:
$F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$
જ્યારે તેમને $K$ ડાયઈલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા માધ્યમમાં $r'$ અંતરે મૂકવામાં આવે,ત્યારે લાગતું બળ:
$F' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{(r')^2}$
અહીં બળ સમાન રાખવાનું હોવાથી,$F = F'$:
$\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{(r')^2}$
સમાન પદો દૂર કરતા:
$\frac{1}{r^2} = \frac{1}{K(r')^2}$
$r'$ માટે સાદું રૂપ આપતા:
$(r')^2 = \frac{r^2}{K}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$r' = \frac{r}{\sqrt{K}}$

(C) જ્યારે કેપેસિટર બેટરી સાથે જોડાયેલું રહે છે,ત્યારે તેની પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે.
જ્યારે $K$ ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું સ્તર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C$ થી વધીને $C' = KC$ થાય છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ થી વધીને $Q' = KCV$ થાય છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઊર્જા $U = \frac{1}{2}CV^2$ થી બદલાઈને $U' = \frac{1}{2}KCV^2$ થાય છે.
ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U' - U = \frac{1}{2}(K-1)CV^2$ છે,જે ધન છે,એટલે કે સંગ્રહિત ઊર્જામાં વધારો થાય છે.
બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $W_{battery} = \Delta Q \cdot V = (Q' - Q)V = (K-1)CV^2$ છે.
અહીં $W_{battery} = 2\Delta U$ હોવાથી,બેટરી સંગ્રહિત ઊર્જામાં વધારો કરવા માટે અને બાહ્ય બળ દ્વારા થતા કાર્ય માટે ઊર્જા પૂરી પાડે છે. આમ,આ પ્રક્રિયામાં બેટરીની ઊર્જા વપરાય છે.

(C) જ્યારે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરને બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે અને તે બેટરીના વોલ્ટેજ જેટલો જ હોય છે.
ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ ધરાવતું ચોસલું મૂકતા કેપેસિટરનું નવું કેપેસિટન્સ $C' = K C$ થાય છે,જ્યાં $C$ એ શરૂઆતનું કેપેસિટન્સ છે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક ચોસલું દાખલ કર્યા પછી,નવો વિદ્યુતભાર $Q'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Q' = C' V = (K C) V = K Q$.
બધા જ ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક પદાર્થો માટે ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક અચળાંક $K > 1$ હોવાથી,$Q' > Q$ થાય છે.
તેથી,પ્લેટો પરનો નવો વિદ્યુતભાર શરૂઆતના વિદ્યુતભાર કરતા વધારે હોય છે.

(C) $1$. જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે કારણ કે વિદ્યુતભારના વહન માટે કોઈ માર્ગ હોતો નથી.
$2$. જ્યારે $K > 1$ ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C$ સૂત્ર $C' = KC$ મુજબ વધે છે.
$3$. $Q = CV$ હોવાથી,નવો વોલ્ટેજ $V' = Q / C'$ થાય છે. $C' > C$ હોવાથી,વોલ્ટેજ $V'$ ઘટે છે $(V' = V/K)$.
$4$. સ્થિતિ વિદ્યુત ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = Q^2 / (2C)$ છે. $C$ વધે છે અને $Q$ અચળ રહે છે,તેથી સ્થિતિ વિદ્યુત ઊર્જા $U$ ઘટે છે $(U' = U/K)$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચે $K$ ડાઈ-ઈલેક્ટ્રીક અચળાંક ધરાવતું માધ્યમ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ડાઈ-ઈલેક્ટ્રીકની સપાટી પર પ્રેરિત વિદ્યુતભારો વિરુદ્ધ દિશામાં વિદ્યુત ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે.
ડાઈ-ઈલેક્ટ્રીકની અંદરનું પરિણામી વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E' = \frac{E}{K}$ થાય છે.
કોઈપણ ડાઈ-ઈલેક્ટ્રીક પદાર્થ માટે $K > 1$ હોવાથી,નવું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E'$ એ મૂળ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ કરતા ઓછું હોય છે.
તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા ઘટે છે.

(A) $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા સ્લેબવાળા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t + t/K}$
આને આ રીતે ફરીથી લખી શકાય:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t(1 - 1/K)}$
અહીં,ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક સ્લેબની હાજરીને કારણે પ્લેટો વચ્ચેનું અસરકારક અંતર ઘટે છે. પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ હવાના ગાળા $(d-t)$ અને ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક સ્લેબ $t$ માં થતા સ્થિતિમાનના ઘટાડાનો સરવાળો છે:
$V = E_{\text{air}}(d-t) + E_{\text{medium}}(t)$
જ્યાં $E_{\text{air}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ અને $E_{\text{medium}} = \frac{\sigma}{K\varepsilon_0}$,અને $\sigma = \frac{Q}{A}$:
$V = \frac{Q}{A\varepsilon_0}(d-t) + \frac{Q}{A\varepsilon_0 K}(t) = \frac{Q}{A\varepsilon_0} [d - t + t/K] = \frac{Q}{A\varepsilon_0} [d - t(1 - 1/K)]$
$C = \frac{Q}{V}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t(1 - 1/K)}$ મળે છે.

(A) $t_1$ અને $t_2$ જાડાઈ ધરાવતી ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક સ્લેબવાળા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરને શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે ગણી શકાય.
$t$ જાડાઈ અને $K$ ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની કેપેસિટી $C = \frac{\varepsilon_0 A}{t/K}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે સ્લેબ માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટી $C_{eq}$ એ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{t_1}{\varepsilon_0 A K_1} + \frac{t_2}{\varepsilon_0 A K_2}$ મળે છે.
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{\varepsilon_0 A} (\frac{t_1}{K_1} + \frac{t_2}{K_2})$.
તેથી,$C_{eq} = \frac{\varepsilon_0 A}{\frac{t_1}{K_1} + \frac{t_2}{K_2}}$.

(B) શરૂઆતનું કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 20 \ \mu F$ છે,જ્યાં $d = 2 \ mm$ છે.
જ્યારે $t = 1 \ mm$ જાડાઈ અને $K = 2$ ડાય-ઈલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું ચોસલું દાખલ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C'$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + \frac{t}{K}}$
કિંમતો મૂકતા:
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3} - 1 \times 10^{-3} + \frac{1 \times 10^{-3}}{2}}$
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{1 \times 10^{-3} + 0.5 \times 10^{-3}} = \frac{\epsilon_0 A}{1.5 \times 10^{-3}}$
અહીં $\frac{\epsilon_0 A}{2 \times 10^{-3}} = 20 \ \mu F$ હોવાથી,$\epsilon_0 A = 40 \times 10^{-9} \ F \cdot m$ મળે.
તેથી,$C' = \frac{40 \times 10^{-9}}{1.5 \times 10^{-3}} = 26.66 \ \mu F \approx 26.6 \ \mu F$.

(B) કેપેસિટર $C_1$ અને $C_2$ બેટરી સાથે સમાંતર જોડાણમાં છે. તેથી,બંને કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન છે,એટલે કે $V_1 = V_2 = V$.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટર $C_1$ માટે,વિદ્યુતભાર $Q_1 = C_1 V$ છે.
કેપેસિટર $C_2$ માટે,વિદ્યુતભાર $Q_2 = C_2 V$ છે.
$C_2$ ની પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યા $K > 1$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા પદાર્થથી ભરેલી હોવાથી,તેનું કેપેસિટન્સ વધે છે જેથી $C_2 = K C_1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $C_2 > C_1$.
અહીં $V$ અચળ હોવાથી અને $C_2 > C_1$ હોવાથી,$C_2 V > C_1 V$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $Q_2 > Q_1$ અથવા $Q_1 < Q_2$.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર અડધું કરવામાં આવે $(d' = d/2)$ અને પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યામાં $K$ ડાઈઈલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું માધ્યમ ભરવામાં આવે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{K \epsilon_0 A}{d'}$ થાય છે.
સમીકરણમાં $d' = d/2$ મૂકતા,આપણને $C' = \frac{K \epsilon_0 A}{d/2} = \frac{2K \epsilon_0 A}{d}$ મળે છે.
આપેલ છે કે નવું કેપેસિટન્સ $C' = 3C$ છે,તેથી:
$3 \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right) = \frac{2K \epsilon_0 A}{d}$.
બંને બાજુથી $\frac{\epsilon_0 A}{d}$ ને દૂર કરતા,આપણને $3 = 2K$ મળે છે.
તેથી,$K = \frac{3}{2} = 1.5$.

(A) માધ્યમમાં કેપેસિટરની કેપેસિટન્સનું સૂત્ર $C_{medium} = K \cdot C_{air}$ છે,જ્યાં $K$ એ માધ્યમનો ડાય-ઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
આપેલ છે:
$C_{air} = 50 \,\mu F$
$C_{medium} = 110 \,\mu F$
તેથી,ડાય-ઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ ની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$K = \frac{C_{medium}}{C_{air}}$
$K = \frac{110}{50} = 2.2$
આમ,તેલનો ડાય-ઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $2.2$ છે.

(A) ડાઈઈલેક્ટ્રિક ભરેલા કેપેસિટન્સનું સૂત્ર $C = K C_0$ છે,જ્યાં $C_0$ એ હવા (અથવા શૂન્યાવકાશ) ભરેલા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ છે.
અહીં $K = 2$ આપેલ છે અને ડાઈઈલેક્ટ્રિક સાથેનું કેપેસિટન્સ $C$ છે,તેથી $C = 2 C_0$ થાય.
આથી,તેલ કાઢી લેતા (ડાઈઈલેક્ટ્રિક વગર) તેનું કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{C}{2}$ થશે.

(C) શ્રેણીમાં રહેલા ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક સ્તરો ધરાવતા કેપેસિટરનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $C = \frac{\varepsilon_0 A}{\sum \frac{d_i}{k_i}}$.
આપેલ છે: $d_1 = 6 \ mm = 6 \times 10^{-3} \ m$,$k_1 = 10$,$d_2 = 4 \ mm = 4 \times 10^{-3} \ m$,$k_2 = 5$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{\frac{6 \times 10^{-3}}{10} + \frac{4 \times 10^{-3}}{5}}$
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{0.6 \times 10^{-3} + 0.8 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{1.4 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{1000}{1.4} \varepsilon_0 A = \frac{10000}{14} \varepsilon_0 A = \frac{5000}{7} \varepsilon_0 A$.

(B) ડાઈઈલેક્ટ્રિક માધ્યમ ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{d}$.
અહીં,$C = 2 \times 10^{-4} \, \mu F = 2 \times 10^{-4} \times 10^{-6} \, F = 2 \times 10^{-10} \, F$.
ક્ષેત્રફળ $A = 0.01 \, m^2$,અંતર $d = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$,અને શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, F/m$ છે.
ડાઈઈલેક્ટ્રિક અચળાંક $\varepsilon_r$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\varepsilon_r = \frac{C \cdot d}{\varepsilon_0 \cdot A}$
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon_r = \frac{(2 \times 10^{-10}) \times (2 \times 10^{-3})}{(8.85 \times 10^{-12}) \times (0.01)}$
$\varepsilon_r = \frac{4 \times 10^{-13}}{8.85 \times 10^{-14}}$
$\varepsilon_r = \frac{40}{8.85} \approx 4.52$.

(A) કેપેસીટરને શ્રેણીમાં બે ભાગમાં વહેંચવામાં આવ્યું છે,જેમાં દરેકનું પ્લેટ અંતર $d/2$ અને ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
પ્રથમ ભાગ માટે,ડાઇઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $k_1 = 1$ છે,તેથી કેપેસીટન્સ $C_1 = \frac{k_1 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{1 \cdot \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 \varepsilon_0 A}{d}$ થાય.
બીજા ભાગ માટે,ડાઇઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $k_2 = 2$ છે,તેથી કેપેસીટન્સ $C_2 = \frac{k_2 \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{2 \cdot \varepsilon_0 A}{d/2} = \frac{4 \varepsilon_0 A}{d}$ થાય.
તેઓ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq}$ માટે $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d}{2 \varepsilon_0 A} + \frac{d}{4 \varepsilon_0 A} = \frac{2d + d}{4 \varepsilon_0 A} = \frac{3d}{4 \varepsilon_0 A}$.
તેથી,$C_{eq} = \frac{4 \varepsilon_0 A}{3d}$ મળે.

(C) જ્યારે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં અલગ-અલગ જાડાઈ $t_i$ અને ડાઇ-ઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $k_i$ ધરાવતી ડાઇ-ઇલેક્ટ્રિક શીટ્સ હોય,ત્યારે તેનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{\sum \frac{t_i}{k_i}}$
આપેલ છે:
$t_1 = 6 \, mm = 6 \times 10^{-3} \, m$
$t_2 = 4 \, mm = 4 \times 10^{-3} \, m$
$k_1 = 10$
$k_2 = 5$
કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{\frac{6 \times 10^{-3}}{10} + \frac{4 \times 10^{-3}}{5}}$
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{0.6 \times 10^{-3} + 0.8 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{1.4 \times 10^{-3}}$
$C = \frac{1000}{1.4} \varepsilon_0 A = \frac{10000}{14} \varepsilon_0 A = \frac{5000}{7} \varepsilon_0 A$

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{k \epsilon_0 A}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = l \times b$ છે.
આપેલ છે: $C = 2 \ \mu F = 2 \times 10^{-6} \ F$,$k = 2.5$,$d = 0.15 \ mm = 0.15 \times 10^{-3} \ m$,$b = 400 \ mm = 0.4 \ m$,અને $\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2 \times 10^{-6} = \frac{2.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times (l \times 0.4)}{0.15 \times 10^{-3}}$
$2 \times 10^{-6} = \frac{2.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.4 \times l}{0.15 \times 10^{-3}}$
$2 \times 10^{-6} = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times l}{0.15 \times 10^{-3}}$
$l = \frac{2 \times 10^{-6} \times 0.15 \times 10^{-3}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$l = \frac{0.3 \times 10^{-9}}{8.85 \times 10^{-12}} = \frac{300}{8.85} \approx 33.9 \ m$.

(B) $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી પ્લેટ માટે સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + t/K}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધાતુની પ્લેટ માટે,ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = \infty$ હોય છે.
અહીં $t = d/2$ આપેલ છે,તેથી નવું કેપેસિટન્સ $C'$:
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - d/2 + (d/2)/\infty} = \frac{\epsilon_0 A}{d/2 + 0} = \frac{2\epsilon_0 A}{d}$.
મૂળ કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ હોવાથી,$C' = 2C$ થાય.
આમ,કેપેસિટન્સ બમણું થાય છે.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{K \epsilon_0 A}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$C_1 = 2\ \mu F$,$d_1 = 0.4\ cm$,અને $K_1 = 1$ (હવા માટે).
અંતે,$d_2 = \frac{d_1}{2} = 0.2\ cm$ અને $K_2 = 2.8$.
કેપેસીટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{C_2}{C_1} = \frac{K_2}{K_1} \times \frac{d_1}{d_2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{C_2}{2} = \frac{2.8}{1} \times \frac{0.4}{0.2}$.
$\frac{C_2}{2} = 2.8 \times 2 = 5.6$.
$C_2 = 5.6 \times 2 = 11.2\ \mu F$.

(C) શરૂઆતમાં,બંને કેપેસિટરો $A$ અને $B$ બેટરી સાથે સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. દરેકનું કેપેસિટન્સ $C$ છે.
કુલ પ્રારંભિક ઊર્જા $U_i = \frac{1}{2}CV^2 + \frac{1}{2}CV^2 = CV^2$.
જ્યારે સ્વિચ $S$ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $A$ બેટરી સાથે જોડાયેલું રહે છે,તેથી તેનો પોટેન્શિયલ $V$ રહે છે અને તેનું કેપેસિટન્સ $KC$ થાય છે. કેપેસિટર $B$ બેટરીથી અલગ થઈ જાય છે,તેથી તેનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ અચળ રહે છે અને તેનું કેપેસિટન્સ $KC$ થાય છે.
કેપેસિટર $A$ માં અંતિમ ઊર્જા: $U_{Af} = \frac{1}{2}(KC)V^2 = \frac{3}{2}CV^2$.
કેપેસિટર $B$ માં અંતિમ ઊર્જા: $U_{Bf} = \frac{Q^2}{2(KC)} = \frac{(CV)^2}{2(3C)} = \frac{CV^2}{6}$.
કુલ અંતિમ ઊર્જા $U_f = U_{Af} + U_{Bf} = \frac{3}{2}CV^2 + \frac{1}{6}CV^2 = \frac{9+1}{6}CV^2 = \frac{10}{6}CV^2 = \frac{5}{3}CV^2$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_i}{U_f} = \frac{CV^2}{(5/3)CV^2} = \frac{3}{5}$ છે.

(A) કેપેસિટરો સમાંતર જોડાણમાં સમાન બેટરી સાથે જોડાયેલા હોવાથી,બંને કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ સમાન રહેશે.
કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = CV$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C_1$ (હવા ભરેલ) માટે,કેપેસિટન્સ $C_1 = C_0$ છે.
$C_2$ (અવાહક દ્રવ્ય ભરેલ) માટે,કેપેસિટન્સ $C_2 = KC_0$ છે,જ્યાં $K > 1$ છે.
તેથી,$q_1 = C_1 V = C_0 V$ અને $q_2 = C_2 V = KC_0 V$ થાય.
$K > 1$ હોવાથી,$KC_0 V > C_0 V$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $q_2 > q_1$ અથવા $q_1 < q_2$.

(A) વર્તુળાકાર પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (8 \times 10^{-2} \ m)^2 = 64\pi \times 10^{-4} \ m^2 \approx 0.0201 \ m^2$ છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$ છે.
ડાઈઈલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = 6$ છે.
ડાઈઈલેક્ટ્રિક ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{6 \times 8.854 \times 10^{-12} \times 0.0201}{1 \times 10^{-3}}$.
$C = \frac{1.068 \times 10^{-12}}{10^{-3}} = 1.068 \times 10^{-9} \ F$.

(A) પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ હવાના ગાળા અને ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતનો સરવાળો છે.
$V = V_{air} + V_{medium} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}(d - t) + \frac{\sigma}{K\varepsilon_0}t$
કારણ કે $\sigma = \frac{Q}{A}$,તેથી:
$V = \frac{Q}{A\varepsilon_0} \left( (d - t) + \frac{t}{K} \right)$
$V = \frac{Q}{A\varepsilon_0} \left( d - t + \frac{t}{K} \right) = \frac{Q}{A\varepsilon_0} \left( d - t(1 - \frac{1}{K}) \right)$
કેપેસીટન્સ $C$ એ $C = \frac{Q}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$C = \frac{Q}{\frac{Q}{A\varepsilon_0} (d - t(1 - \frac{1}{K}))} = \frac{\varepsilon_0 A}{d - t(1 - \frac{1}{K})}$

(A) હવાવાળા કેપેસિટર માટે,પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_0 = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 9 \ pF$ છે.
જ્યારે બે ડાઈઈલેક્ટ્રિક સ્લેબ શ્રેણીમાં મૂકવામાં આવે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C'$ માટેનું સૂત્ર $\frac{1}{C'} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ છે.
પ્રથમ સ્લેબનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 A}{d/3} = \frac{3 K_1 \epsilon_0 A}{d} = 3 K_1 C_0 = 3 \times 3 \times 9 \ pF = 81 \ pF$ થાય.
બીજા સ્લેબનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 A}{2d/3} = \frac{3 K_2 \epsilon_0 A}{2d} = \frac{3}{2} K_2 C_0 = \frac{3}{2} \times 6 \times 9 \ pF = 81 \ pF$ થાય.
$C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C' = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{81 \times 81}{81 + 81} = \frac{81}{2} = 40.5 \ pF$ મળે.

(C) શરૂઆતનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 9 \ pF$ છે.
પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યાને $d_1 = d/3$ અને $d_2 = 2d/3$ જાડાઈના બે સ્તરોમાં વહેંચવામાં આવે છે,જે શ્રેણીમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્રથમ સ્તરનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 A}{d_1} = \frac{3 \epsilon_0 A}{d/3} = 9 \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right) = 9 \times 9 = 81 \ pF$ છે.
બીજા સ્તરનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 A}{d_2} = \frac{6 \epsilon_0 A}{2d/3} = \frac{18}{2} \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right) = 9 \times 9 = 81 \ pF$ છે.
$C_1$ અને $C_2$ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{81 \times 81}{81 + 81} = \frac{81 \times 81}{162} = 40.5 \ pF$.

(C) હવા ધરાવતા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈની ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d - t(1 - 1/K)}$ થાય છે. $K > 1$ હોવાથી,છેદ ઘટે છે,તેથી $C_2 > C_1$ મળે છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈની વાહક સ્લેબ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અસરકારક અંતર $(d - t)$ થાય છે. નવી કેપેસિટન્સ $C_3 = \frac{\epsilon_0 A}{d - t}$ થાય છે. $(d - t) < d$ હોવાથી,$C_3 > C_1$ મળે છે.
$C_2$ અને $C_3$ ની સરખામણી કરતા: વાહક સ્લેબ માટે $K = \infty$ હોય છે. ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિકના સૂત્રમાં $K = \infty$ મૂકતા $C_3 = \frac{\epsilon_0 A}{d - t}$ મળે છે. વાહક સ્લેબ સમાન જાડાઈના ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક કરતા અંતરને વધુ અસરકારક રીતે ઘટાડે છે,તેથી $C_3 > C_2$ થાય છે.
આમ,સાચો ક્રમ $C_3 > C_2 > C_1$ છે.

(A) હવામાં રહેલા કેપેસીટરની પ્રારંભિક ક્ષમતા $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 10 \ \mu F$ છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ,આ કેપેસીટરને ત્રણ કેપેસીટરના સમાંતર જોડાણ તરીકે ગણી શકાય:
$C_1$ જેનું ક્ષેત્રફળ $A/4$ અને હવા ડાઇ-ઇલેક્ટ્રિક $(K=1)$ છે,
$C_2$ જેનું ક્ષેત્રફળ $A/2$ અને ડાઇ-ઇલેક્ટ્રિક $(K=4)$ છે,
$C_3$ જેનું ક્ષેત્રફળ $A/4$ અને હવા ડાઇ-ઇલેક્ટ્રિક $(K=1)$ છે.
કેપેસીટન્સ નીચે મુજબ છે:
$C_1 = \frac{\varepsilon_0 (A/4)}{d} = \frac{1}{4} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = \frac{10}{4} = 2.5 \ \mu F$
$C_2 = \frac{K \varepsilon_0 (A/2)}{d} = \frac{4 \varepsilon_0 A}{2d} = 2 \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = 2 \times 10 = 20 \ \mu F$
$C_3 = \frac{\varepsilon_0 (A/4)}{d} = \frac{1}{4} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = \frac{10}{4} = 2.5 \ \mu F$
તેઓ સમાંતર હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 = 2.5 + 20 + 2.5 = 25 \ \mu F$ થાય.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,પ્રારંભિક સ્થિતિમાન તફાવત $V = E \times d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $E = 3 \times 10^4\, V/m$ અને $d = 0.05\, m$ આપેલ છે,તેથી $V = 3 \times 10^4 \times 0.05 = 1500\, V = 1.5\, kV$.
કેપેસિટરને બેટરીથી અલગ કરવામાં આવ્યું હોવાથી,વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
$t$ જાડાઈ અને $K$ ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી પ્લેટ દાખલ કર્યા પછીનો સ્થિતિમાન તફાવત $V' = V \times \frac{(d - t) + (t/K)}{d}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$K = 2$ અને $t = 0.01\, m$ માટે:
$V' = 1.5 \times \frac{(0.05 - 0.01) + (0.01/2)}{0.05}$
$V' = 1.5 \times \frac{0.04 + 0.005}{0.05}$
$V' = 1.5 \times \frac{0.045}{0.05}$
$V' = 1.5 \times 0.9 = 1.35\, kV$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યામાં પ્લેટોને સમાંતર $K$ અચળાંક ધરાવતું ડાય-ઇલેક્ટ્રિક માધ્યમ ભરવામાં આવે છે,ત્યારે તે બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોય તેમ વર્તે છે,જેમાં દરેકનું પ્લેટ અંતર $d/2$ છે.
ડાય-ઇલેક્ટ્રિક ધરાવતા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K \epsilon_0 A}{d/2} = 2KC$ છે.
હવા ધરાવતા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = 2C$ છે.
આ બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{total}$ નીચે મુજબ મળે:
$C_{total} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{(2KC)(2C)}{2KC + 2C} = \frac{4KC^2}{2C(K + 1)} = \frac{2KC}{K + 1}$.

(A) હવામાં બે પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = E \cdot d = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈ અને $K$ ડાય-ઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી પ્લેટ દાખલ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું સ્થિતિમાન $V' = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (d - t + \frac{t}{K})$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સમાન સ્થિતિમાન જાળવવા માટે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d' = 1.6 \ mm$ વધારવામાં આવે છે,તેથી નવું સ્થિતિમાન $V_{new} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} ((d + d') - t + \frac{t}{K})$ થાય છે.
સ્થિતિમાન સમાન હોવાથી $V = V_{new}$,જે દર્શાવે છે કે $d = d + d' - t + \frac{t}{K}$.
પદોને ગોઠવતા,$d' = t - \frac{t}{K} = t(1 - \frac{1}{K})$.
આપેલ કિંમતો $t = 2 \ mm$ અને $d' = 1.6 \ mm$ મૂકતા:
$1.6 = 2(1 - \frac{1}{K}) \implies 0.8 = 1 - \frac{1}{K} \implies \frac{1}{K} = 1 - 0.8 = 0.2$.
તેથી,$K = \frac{1}{0.2} = 5$.

(D) ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક ભરેલા કેપેસિટરની અંદરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{Q}{K A \varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ વિદ્યુતભાર છે,$K$ એ ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક અચળાંક છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક બ્રેકડાઉન ટાળવા માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ $E_{max} = 1.9 \times 10^7 \ V/m$ થી વધવું જોઈએ નહીં.
તેથી,$Q_{max} = E_{max} \cdot K \cdot A \cdot \varepsilon_0$.
આપેલ છે: $A = 100 \ cm^2 = 10^{-2} \ m^2$,$K = 5.0$,$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$,અને $E_{max} = 1.9 \times 10^7 \ V/m$.
કિંમતો મૂકતા:
$Q_{max} = (1.9 \times 10^7) \times 5.0 \times 10^{-2} \times 8.85 \times 10^{-12}$
$Q_{max} = 8.4075 \times 10^{-6} \ C \approx 8.4 \times 10^{-6} \ C$.

(B) હવા કેપેસિટરનું પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d} = 10 \ \mu F$ છે.
જ્યારે કેપેસિટરને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનું ક્ષેત્રફળ $A/2$ થાય છે અને અંતર $d$ સમાન રહે છે. આ બે ભાગો સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્રથમ ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K_1 \epsilon_0 (A/2)}{d} = K_1 \times (C/2) = 2 \times (10/2) = 10 \ \mu F$ છે.
બીજા ભાગનું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{K_2 \epsilon_0 (A/2)}{d} = K_2 \times (C/2) = 4 \times (10/2) = 20 \ \mu F$ છે.
આ બે કેપેસિટર સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{new} = C_1 + C_2$ થશે.
તેથી,$C_{new} = 10 \ \mu F + 20 \ \mu F = 30 \ \mu F$.

(B) ધારો કે શરૂઆતનું કેપેસિટન્સ $C_1 = C$ અને $C_2 = C$ છે. જ્યારે બીજા કેપેસિટરમાં $K = 4$ ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતું સ્તર દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું નવું કેપેસિટન્સ $C_2' = K \cdot C = 4C$ થાય છે.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન હોય છે. $Q = CV$ હોવાથી,$V = Q/C$ મળે,જે દર્શાવે છે કે $V \propto 1/C$.
કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર $C_1 : C_2' = C : 4C = 1 : 4$ છે.
તેથી,સ્થિતિમાન તફાવતનો ગુણોત્તર $V_1 : V_2 = 1/C_1 : 1/C_2' = 1/C : 1/4C = 4 : 1$ થશે.
કુલ સ્થિતિમાન તફાવત $V = 100 \ V$ છે.
પ્રથમ કેપેસિટર પરનો સ્થિતિમાન તફાવત $(V_1)$: $V_1 = \frac{4}{4+1} \times 100 \ V = \frac{4}{5} \times 100 \ V = 80 \ V$.
બીજા કેપેસિટર પરનો સ્થિતિમાન તફાવત $(V_2)$: $V_2 = \frac{1}{4+1} \times 100 \ V = \frac{1}{5} \times 100 \ V = 20 \ V$.
આમ,સ્થિતિમાન તફાવત અનુક્રમે $80 \ V$ અને $20 \ V$ હશે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની કેપેસિટી $C = Q/V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જ્યારે ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક મૂકવામાં આવે ત્યારે વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે,તેથી $C_0 V_0 = C V$,જ્યાં $C_0$ અને $V_0$ એ પ્રારંભિક કેપેસિટી અને સ્થિતિમાન છે,અને $C$ અને $V$ એ ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક મૂક્યા પછીની કિંમતો છે.
આપેલ છે કે $V = V_0 / 8$,તેથી આપણે લખી શકીએ $C_0 V_0 = C (V_0 / 8)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $C = 8 C_0$ મળે છે.
નવી કેપેસિટી $C$ અને પ્રારંભિક કેપેસિટી $C_0$ વચ્ચેનો સંબંધ ડાઈ-ઈલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ સાથે $C = K C_0$ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $K = 8$ મળે છે.

(B) હવામાં રહેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $t$ જાડાઈનું વાહક (કોપર) ચોસલું પ્લેટો વચ્ચે દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t}$ થાય છે.
અહીં કોપરના ચોસલાની જાડાઈ $t = d/2$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - d/2} = \frac{\epsilon_0 A}{d/2} = 2 \left( \frac{\epsilon_0 A}{d} \right)$.
આમ,$C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ હોવાથી,$C' = 2C$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $C'/C = 2$ થાય છે.

(A) આ તંત્રમાં બે કેપેસિટરો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે,જેમાં દરેકનું પ્લેટ અંતર $d_1$ અને $d_2$ છે,જ્યાં $d_1 + d_2 = a - b$ થાય.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટન્સનું સૂત્ર $C = \frac{{\varepsilon _0}A}{d}$ છે.
શ્રેણી જોડાણમાં સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ માટે,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{d_1}{{\varepsilon _0}A} + \frac{d_2}{{\varepsilon _0}A} = \frac{d_1 + d_2}{{\varepsilon _0}A}$ મળે.
અહીં $d_1 + d_2 = a - b$ હોવાથી,$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{a - b}{{\varepsilon _0}A}$ થાય.
તેથી,$C_{eq} = \frac{{\varepsilon _0}A}{a - b}$.