Parallel Plate Capacitor Questions in Gujarati

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરના કેપેસિટન્સનું સૂત્ર $C = \frac{\epsilon A}{d}$ છે,જ્યાં $\epsilon$ એ નિરપેક્ષ પરમિટિવિટી છે,$A$ એ ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
$\epsilon$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\epsilon = \frac{C \cdot d}{A}$ મળે છે.
કેપેસિટન્સ $C$ નો એકમ ફેરાડે $(F)$ છે,અંતર $d$ નો એકમ મીટર $(m)$ છે અને ક્ષેત્રફળ $A$ નો એકમ ચોરસ મીટર $(m^2)$ છે.
આ એકમોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\epsilon \text{ નો એકમ} = \frac{F \cdot m}{m^2} = F \cdot m^{-1}$.
તેથી,નિરપેક્ષ પરમિટિવિટીનો એકમ $F \cdot m^{-1}$ છે.

(A) બે સમાંતર પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે: $V = 50\,V$,$d = 5\,mm = 5 \times 10^{-3}\,m$.
$E = \frac{50}{5 \times 10^{-3}} = 10^4\,V/m$.
કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે: $q = 10^{-11}\,C$,$m = 10^{-15}\,kg$.
$a = \frac{10^{-11} \times 10^4}{10^{-15}} = \frac{10^{-7}}{10^{-15}} = 10^8\,m/s^2$.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ $C$ નું સૂત્ર $C = \frac{K\varepsilon_0 A}{d}$ છે,જ્યાં $K$ એ પ્લેટો વચ્ચેના માધ્યમનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે,$\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$A$ એ દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કેપેસિટન્સ એ પ્લેટોના ક્ષેત્રફળ,તેમની વચ્ચેના અંતર અને ડાયઇલેક્ટ્રિક માધ્યમ પર આધાર રાખે છે,પરંતુ તે પ્લેટોની જાડાઈ,પ્લેટો કઈ ધાતુની બનેલી છે અથવા તેના પર લાગુ પાડવામાં આવેલા સ્થિતિમાન પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી,કેપેસિટન્સ પ્લેટો વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની કેપેસિટન્સનું સૂત્ર $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે,જ્યાં $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર અડધું કરવામાં આવે,ત્યારે નવું અંતર $d' = d/2$ થાય છે.
નવી કેપેસિટન્સ $C'$ એ $C' = \frac{\varepsilon_0 A}{d'} = \frac{\varepsilon_0 A}{d/2}$ દ્વારા મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $C' = 2 \times \frac{\varepsilon_0 A}{d} = 2C$ મળે છે.
તેથી,નવી કેપેસિટન્સ $2C$ થશે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ સૂત્ર $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કેપેસિટન્સ $C$ એ પ્લેટોના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(C \propto A)$.
તેથી,જો પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ $A$ વધારવામાં આવે,તો કેપેસિટરની કેપેસિટી $C$ પણ વધે છે.

(B) ડાયઇલેક્ટ્રિકથી ભરેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર વાહક માટે,કેપેસિટન્સ $C = 4 \pi \varepsilon_0 r$ છે.
બંને કેપેસિટન્સને સરખાવતા: $4 \pi \varepsilon_0 r = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$.
$r$ માટે સૂત્ર: $r = \frac{KA}{4 \pi d}$.
આપેલ છે: $A = 100 \, cm^2 = 100 \times 10^{-4} \, m^2 = 10^{-2} \, m^2$,$d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,અને $K = 6$.
કિંમતો મૂકતા: $r = \frac{6 \times 10^{-2}}{4 \times 3.14 \times 10^{-3}} = \frac{6 \times 10}{12.56} = \frac{60}{12.56} \approx 4.77 \, m$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે કેપેસિટર બેટરીથી અલગ થયેલ છે,તેથી વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
$Q = CV$ હોવાથી,$V = \frac{Q}{C} = \frac{Qd}{\epsilon_0 A}$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $V \propto d$.
તેથી,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{d_1}{d_2}$.
અહીં $V_1 = 60 \ V$,$d_1 = 4 \ mm$,અને $d_2 = 12 \ mm$ આપેલ છે.
$V_2 = \frac{V_1 \times d_2}{d_1} = \frac{60 \times 12}{4} = 180 \ V$.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{A\varepsilon_0}$ છે,જ્યાં $Q$ એ પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર છે,$A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ માત્ર પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ (અથવા વિદ્યુતભાર $Q$ અને ક્ષેત્રફળ $A$) પર આધાર રાખે છે અને તે પ્લેટો વચ્ચેના અંતર $d$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,જો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે,તો અંતર વધારવા છતાં વિદ્યુત તીવ્રતા અપરિવર્તિત રહે છે.
આમ,$E \propto d^0$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની એક પ્લેટ દ્વારા બીજી પ્લેટના સ્થાન પર ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0 K}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma = \frac{q}{A}$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
$\sigma$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $E = \frac{q}{2A\varepsilon_0 K}$ મળે છે.
આ વિદ્યુતક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F = qE$ છે.
તેથી,$F = q \times \left( \frac{q}{2A\varepsilon_0 K} \right) = \frac{q^2}{2\varepsilon_0 AK}$.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરમાં,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર તેમની વચ્ચેના વિદ્યુતક્ષેત્ર દ્વારા પ્રેરિત થાય છે.
સ્થિર વિદ્યુત પ્રેરણના સિદ્ધાંત મુજબ,કેપેસિટર સિસ્ટમની કુલ વિદ્યુતભાર તટસ્થતા જાળવી રાખવા માટે પ્લેટો પરના પ્રેરિત વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય સમાન અને વિરુદ્ધ હોવું જોઈએ.
ભલે પ્લેટોના ભૌતિક પરિમાણો (ક્ષેત્રફળ) અલગ હોય,બંને પ્લેટો પરના વિદ્યુતભાર $q$ નું મૂલ્ય સમાન રહે છે ($+q$ અને $-q$).
તેથી,નાની પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર મોટી પ્લેટ પરના વિદ્યુતભાર જેટલો જ હોય છે.

(B) શરૂઆતમાં,સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે. કણ પર લાગતું બળ $F = qE = \frac{q\sigma}{\varepsilon_0}$ છે.
જ્યારે એક પ્લેટ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર અસરકારક રીતે એક સિંગલ ચાર્જ્ડ શીટ બની જાય છે. એક સિંગલ ચાર્જ્ડ શીટને કારણે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E' = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,કણ પર લાગતું નવું બળ $F' = qE' = q \left( \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{q\sigma}{\varepsilon_0} \right) = \frac{F}{2}$ થશે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનું કેપેસિટન્સ $C_{sphere} = 4\pi \varepsilon_0 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R = 1\,m$ આપેલ છે,તેથી $C_{sphere} = 4\pi \varepsilon_0 \times 1 = 4\pi \varepsilon_0$.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_{parallel} = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
પ્લેટનો વ્યાસ $40\,mm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 20\,mm = 20 \times 10^{-3}\,m$.
બંને કેપેસિટન્સને સરખાવતા: $4\pi \varepsilon_0 = \frac{\varepsilon_0 \pi r^2}{d}$.
બંને બાજુથી $\pi \varepsilon_0$ દૂર કરતા,આપણને $4 = \frac{r^2}{d}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $d = \frac{r^2}{4}$.
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $d = \frac{(20 \times 10^{-3})^2}{4} = \frac{400 \times 10^{-6}}{4} = 100 \times 10^{-6}\,m = 0.1 \times 10^{-3}\,m = 0.1\,mm$.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$
જ્યાં:
$K$ એ પ્લેટો વચ્ચેના માધ્યમનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
$\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
$A$ એ દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ છે.
$d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કેપેસિટન્સ પ્લેટોના ક્ષેત્રફળ $(A)$,પ્લેટો વચ્ચેના માધ્યમ $(K)$ અને પ્લેટો વચ્ચેના અંતર $(d)$ પર આધાર રાખે છે.
તે પ્લેટો કઈ ધાતુની બનેલી છે તેના પર આધાર રાખતું નથી,જો પ્લેટો સુવાહક હોય તો.

(B) કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સૂત્ર $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ સ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે:
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 100\,V$
અંતર $d = 1\,mm = 1 \times 10^{-3}\,m$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{100}{1 \times 10^{-3}} = 100 \times 10^3 = 100,000\,V/m$.
નોંધ: જ્યારે પ્લેટો વચ્ચે સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રાખવામાં આવે ત્યારે ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક વિદ્યુતક્ષેત્રની ગણતરીને અસર કરતું નથી.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર વાહકની કેપેસિટન્સ $C_1 = 4\pi \varepsilon_0 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ વ્યાસ $D = 20\,cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = 10\,cm = 0.1\,m$. આમ,$C_1 = 4\pi \varepsilon_0 (0.1)$.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ અને $r$ એ પ્લેટની ત્રિજ્યા છે. પ્લેટનો વ્યાસ $4\,cm$ આપેલ છે,તેથી $r = 2\,cm = 0.02\,m$. આમ,$A = \pi (0.02)^2 = 4\pi \times 10^{-4}\,m^2$.
બંને કેપેસિટન્સને સરખાવતા,$C_1 = C_2$:
$4\pi \varepsilon_0 (0.1) = \frac{\varepsilon_0 (4\pi \times 10^{-4})}{d}$
$0.1 = \frac{4 \times 10^{-4}}{d}$
$d = \frac{4 \times 10^{-4}}{0.1} = 4 \times 10^{-3}\,m$.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સૂત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે અને $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
કારણ કે $\sigma = \frac{Q}{A}$,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રને $E = \frac{Q}{A\epsilon_0}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આ સમીકરણમાં,$Q$ એ પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર છે,$A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે,અને $\epsilon_0$ એ અચળાંક છે.
આ સૂત્રમાં પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ આવતું ન હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન (uniform) છે અને તે પ્લેટો વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખતું નથી.

(A) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = 50\,\mu F = 50 \times 10^{-6}\,F$ અને પ્રારંભિક પોટેન્શિયલ $V = 100\;V$ છે.
પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $Q = CV = 50 \times 10^{-6} \times 100 = 5 \times 10^{-3}\,C$ છે.
કેપેસિટર બેટરીથી અલગ હોવાથી,વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર બમણું કરવામાં આવે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = C/2 = 25\,\mu F$ થાય છે.
નવું પોટેન્શિયલ $V' = Q/C' = Q/(C/2) = 2V = 200\;V$ થાય છે.
બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ સંગ્રહિત ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $W = U_f - U_i$.
$U_i = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 10^{-6} \times (100)^2 = 0.25\;J$.
$U_f = \frac{1}{2}C'V'^2 = \frac{1}{2} \times (C/2) \times (2V)^2 = \frac{1}{2} \times (C/2) \times 4V^2 = CV^2 = 0.50\;J$.
$W = 0.50 - 0.25 = 0.25\;J = 25 \times 10^{-2}\,J$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની કેપેસિટન્સનું સૂત્ર $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $A = \frac{Cd}{\varepsilon_0}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $C = 3\,F$,$d = 5\,mm = 5 \times 10^{-3}\,m$,અને $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\,F/m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$A = \frac{3 \times 5 \times 10^{-3}}{8.854 \times 10^{-12}}$
$A = \frac{15 \times 10^{-3}}{8.854 \times 10^{-12}}$
$A \approx 1.694 \times 10^9\,m^2$.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ છે.
આપેલ છે: $r = 0.08\,m$,$d = 1.0 \times 10^{-3}\,m$,$V = 100\,V$,અને $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\,F/m$.
પ્રથમ,ક્ષેત્રફળ $A = \pi (0.08)^2 = \pi \times 0.0064\,m^2$ ગણો.
હવે,કેપેસિટન્સ $C = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times \pi \times 0.0064}{1.0 \times 10^{-3}} \approx 1.78 \times 10^{-10}\,F$ ગણો.
વિદ્યુતભાર $Q = CV = (1.78 \times 10^{-10}) \times 100 = 1.78 \times 10^{-8}\,C \approx 1.8 \times 10^{-8}\,C$ થાય.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન (uniform) હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્લેટો વચ્ચેના દરેક બિંદુએ તેનું મૂલ્ય અને દિશા સમાન હોય છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં $q$ વિદ્યુતભાર દ્વારા અનુભવાતું બળ $F = qE$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $A$ અને $B$ બંને પ્રોટોન છે,તેથી તેમનો વિદ્યુતભાર $q = e$ સમાન છે.
પ્લેટો વચ્ચેના સમગ્ર વિસ્તારમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સમાન હોવાથી,બંને પ્રોટોન સમાન બળ અનુભવે છે.
તેથી,$F_A = F_B$.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની કેપેસિટન્સનું સૂત્ર $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે,જ્યાં $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $C \propto \frac{1}{d}$.
શરૂઆતની કેપેસિટન્સ $C_1 = 15\,\mu F$ જ્યારે અંતર $d_1 = 6\,cm$ છે.
નવું અંતર $d_2 = 2\,cm$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{C_2}{C_1} = \frac{d_1}{d_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{C_2}{15} = \frac{6}{2}$
$\frac{C_2}{15} = 3$
$C_2 = 15 \times 3 = 45\,\mu F$.
તેથી,નવી કેપેસિટન્સ $45\,\mu F$ થશે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની કેપેસિટન્સ $C$ નું સૂત્ર $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે,જ્યાં $A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ તેમની વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $C \propto \frac{1}{d}$.
તેથી,કેપેસિટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{C_1}{C_2} = \frac{d_2}{d_1}$ થશે.
આપેલ છે: $C_1 = 10\,\mu F$,$d_1 = 8\,cm$,અને $d_2 = 4\,cm$.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{10}{C_2} = \frac{4}{8}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{10}{C_2} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
$C_2$ માટે ઉકેલતા,આપણને $C_2 = 10 \times 2 = 20\,\mu F$ મળે છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની એક પ્લેટ પર બીજી પ્લેટ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ને કારણે લાગતું બળ $F = Q \times E_{plate}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = E_{plate} + E_{plate} = 2 E_{plate}$ હોવાથી,એક પ્લેટને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર $E_{plate} = E/2$ થાય.
તેથી,દરેક પ્લેટ પર લાગતું બળ $F = Q \times (E/2) = (Q \times E) / 2$ છે.
અહીં $Q = 1 \, \mu C = 10^{-6} \, C$ અને $E = 10^5 \, V/m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = (10^{-6} \times 10^5) / 2 = 10^{-1} / 2 = 0.1 / 2 = 0.05 \, N$.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = 12\,\mu F$ છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર બમણું કરવામાં આવે છે,ત્યારે $d' = 2d$.
જ્યારે પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ અડધું કરવામાં આવે છે,ત્યારે $A' = \frac{A}{2}$.
નવું કેપેસિટન્સ $C'$ નીચે મુજબ મળે છે: $C' = \frac{\varepsilon_0 A'}{d'} = \frac{\varepsilon_0 (A/2)}{2d} = \frac{1}{4} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = \frac{1}{4} C$.
$C$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $C' = \frac{1}{4} \times 12\,\mu F = 3\,\mu F$ મળે છે.

(C) વારાફરતી જોડાયેલી $n$ પ્લેટોના સ્ટેકમાં, પ્લેટો સમાંતર જોડાણમાં $(n - 1)$ કેપેસિટર બનાવે છે.
દરેક પાસપાસેની પ્લેટોની જોડી $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા એક કેપેસિટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ $(n - 1)$ કેપેસિટરો સમાંતરમાં જોડાયેલા હોવાથી, સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_R$ એ વ્યક્તિગત કેપેસિટન્સનો સરવાળો છે.
તેથી, $C_R = C + C + ... + (n - 1) \text{ વખત} = (n - 1)C$.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = l \times b$ છે.
આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ $C = 2 \times 10^{-6}\,F$
ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K = 2.5$
જાડાઈ $d = 0.15 \times 10^{-3}\,m$
પહોળાઈ $b = 400 \times 10^{-3}\,m = 0.4\,m$
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,F/m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$2 \times 10^{-6} = \frac{2.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times (l \times 0.4)}{0.15 \times 10^{-3}}$
$2 \times 10^{-6} = \frac{2.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.4 \times l}{0.15 \times 10^{-3}}$
$2 \times 10^{-6} = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times l}{0.15 \times 10^{-3}}$
$l = \frac{2 \times 10^{-6} \times 0.15 \times 10^{-3}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$l = \frac{0.3 \times 10^{-9}}{8.85 \times 10^{-12}} = \frac{300}{8.85} \approx 33.9\,m$.

(C) આપેલ પરિપથમાં $4$ કેપેસિટર સમાંતર જોડાણમાં છે. દરેક કેપેસિટર $A$ ક્ષેત્રફળ અને $d$ અંતર ધરાવતી બે પાસપાસેની પ્લેટો દ્વારા બને છે. દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
પ્લેટ $1$ બેટરીના ધન ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે. તે પ્લેટ $2$ સાથે એક કેપેસિટર બનાવે છે. પ્લેટ $1$ પરનો વિદ્યુતભાર $q_1 = +CV = +\frac{\varepsilon_0 AV}{d}$ છે.
પ્લેટ $4$ બેટરીના ઋણ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે. તે બે કેપેસિટર માટે એક પ્લેટ તરીકે કાર્ય કરે છે: એક પ્લેટ $3$ સાથે અને બીજી પ્લેટ $5$ સાથે. પ્લેટ $4$ ઋણ ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ હોવાથી,પ્લેટ $4$ ની બંને બાજુઓ પરનો વિદ્યુતભાર ઋણ હશે. પ્લેટ $4$ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q_4 = -CV - CV = -2CV = -\frac{2\varepsilon_0 AV}{d}$ છે.
આમ,પ્લેટ $1$ અને $4$ પરનો વિદ્યુતભાર અનુક્રમે $\frac{\varepsilon_0 AV}{d}$ અને $-\frac{2\varepsilon_0 AV}{d}$ છે.

(D) ધારો કે દરેક પાસપાસેની પ્લેટોની જોડીનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{{\varepsilon _0}A}{d}$ છે.
આપેલ પરિપથ આકૃતિ પરથી,આપણે કેપેસિટર્સની ગોઠવણીને ઓળખી શકીએ છીએ.
ઉપરની પ્લેટ અને બીજી પ્લેટ એક કેપેસિટર $C_1$ બનાવે છે.
બીજી પ્લેટ અને ત્રીજી પ્લેટ બીજું કેપેસિટર $C_2$ બનાવે છે.
ત્રીજી પ્લેટ અને ચોથી પ્લેટ ત્રીજું કેપેસિટર $C_3$ બનાવે છે.
જોડાણોના આધારે,કેપેસિટર $C_1$ એ $C_2$ અને $C_3$ ના શ્રેણી જોડાણ સાથે સમાંતરમાં છે.
આમ,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = C_1 + \frac{C_2 \cdot C_3}{C_2 + C_3} = C + \frac{C \cdot C}{C + C} = C + \frac{C}{2} = \frac{3C}{2}$ થાય.
$C = \frac{{\varepsilon _0}A}{d}$ મૂકતા,આપણને $C_{eq} = \frac{3{\varepsilon _0}A}{2d}$ મળે છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,એકબીજાની સામે રહેલી આંતરિક સપાટીઓ પરના વિદ્યુતભારો મૂલ્યમાં સમાન અને ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ હોવા જોઈએ. તેથી,$Q_2 = -Q_3$.
કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ ધન પ્લેટની આંતરિક સપાટી પરના વિદ્યુતભાર અને કેપેસિટન્સ $C$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = \frac{Q_2}{C}$
કારણ કે $Q_3 = -Q_2$,આપણે $Q_2 = \frac{Q_2 - Q_3}{2}$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતના સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{Q_2 - Q_3}{2C}$

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે,$A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં કેપેસીટન્સમાં થતો ફેરફાર શોધવા માટે,આપણે $C$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{dC}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) = \varepsilon_0 A \frac{d}{dt} (d^{-1})$.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{dC}{dt} = \varepsilon_0 A (-d^{-2}) \frac{dd}{dt}$.
પ્લેટોને $v$ વેગથી દૂર ખેંચવામાં આવતી હોવાથી,અંતરમાં થતો ફેરફાર $\frac{dd}{dt} = v$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{dC}{dt} = -\frac{\varepsilon_0 A}{d^2} v$ મળે છે.
ફેરફારના દરનું મૂલ્ય $\left| \frac{dC}{dt} \right| = \frac{\varepsilon_0 A v}{d^2}$ થાય છે.
આમ,$\left| \frac{dC}{dt} \right| \propto \frac{1}{d^2}$.

(D) $t$ જાડાઈ ધરાવતી ડાયલેક્ટ્રિક સ્લેબવાળા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d - t + (t/K)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધાતુના પતરા (એલ્યુમિનિયમ) માટે,ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ અનંત હોય છે $(K = \infty)$.
અહીં જાડાઈ $t$ અવગણ્ય છે $(t \approx 0)$,પરંતુ જો આપણે $t$ જાડાઈનું વાહક પતરું મૂકીએ,તો પ્લેટો વચ્ચેનું અસરકારક અંતર $(d - t)$ થઈ જાય છે.
નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{d - t}$ થાય છે.
જેમ કે $(d - t) < d$,છેદની કિંમત ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે કેપેસિટન્સ $C'$ વધે છે.
તેથી,કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ વધે છે.

(A) કેપેસિટર બેટરી સાથે જોડાયેલ હોવાથી પ્લેટો વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અચળ રહે છે.
પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = V/d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે.
જેમ પ્લેટોને દૂર ખસેડવામાં આવે છે,તેમ $d$ વધે છે,તેથી $E = V/d$ ઘટે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \epsilon_0 A / d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ $d$ વધે છે,તેમ કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે.
પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q = CV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેમ કે $C$ ઘટે છે અને $V$ અચળ છે,તેથી પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ પણ ઘટે છે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા અને પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર બંને ઘટે છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
આ ક્ષેત્ર બે અલગ-અલગ પ્લેટો દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલા ક્ષેત્રોનું સંપાતપણું છે,જેમાં દરેક પ્લેટ $E_{plate} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ જેટલું યોગદાન આપે છે.
$F = qE$ હોવાથી,પરિક્ષણ વિદ્યુતભાર $q$ દ્વારા અનુભવાતું બળ $F = q \left( \frac{\sigma}{\epsilon_0} \right)$ થાય છે.
જ્યારે એક પ્લેટ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E' = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ થઈ જાય છે,જે મૂળ ક્ષેત્ર કરતા અડધું છે.
તેથી,પરિક્ષણ વિદ્યુતભાર દ્વારા અનુભવાતું નવું બળ $F' = qE' = q \left( \frac{\sigma}{2\epsilon_0} \right) = \frac{F}{2}$ થશે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બેટરી દૂર કરવામાં આવી હોવાથી,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ અચળ રહે છે.
જ્યારે પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C$ ઘટે છે કારણ કે $C \propto \frac{1}{d}$.
પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ એ $V = \frac{Q}{C}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $Q$ અચળ છે અને $C$ ઘટે છે,તેથી વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ વધશે.
આથી,સાચું વિધાન એ છે કે પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત વધે છે.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$
જ્યાં:
$A$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે,
$d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે,
$K$ એ પ્લેટો વચ્ચેના માધ્યમનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે,
$\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કેપેસિટન્સ પ્લેટોના ક્ષેત્રફળ,તેમની વચ્ચેના અંતર અને ડાયઇલેક્ટ્રિક માધ્યમ પર આધાર રાખે છે,પરંતુ તે પ્લેટની ધાતુ (પદાર્થ) પર આધાર રાખતું નથી.

(B) આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 400 \, cm^2 = 400 \times 10^{-4} \, m^2 = 4 \times 10^{-2} \, m^2$.
અંતર $d = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$.
સ્થિતિમાન તફાવત $V = 200 \, V$.
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, F/m$.
કેપેસિટન્સ $C$ નું સૂત્ર $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 4 \times 10^{-2}}{2 \times 10^{-3}} = 17.708 \times 10^{-11} \, F$.
વિદ્યુતભાર $Q$ નું સૂત્ર $Q = CV$ છે.
$Q = (17.708 \times 10^{-11}) \times 200 = 3541.6 \times 10^{-11} \, C = 3.5416 \times 10^{-8} \, C$.
આમ,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર આશરે $3.54 \times 10^{-8} \, C$ છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A_1}{d_1}$ છે.
આપેલ છે: નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = 2A_1$ અને નવું અંતર $d_2 = \frac{d_1}{2}$ છે.
નવું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A_2}{d_2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $C_2 = \frac{\varepsilon_0 (2A_1)}{(d_1/2)} = 4 \times \frac{\varepsilon_0 A_1}{d_1} = 4C_1$.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $C \propto \frac{1}{d}$.
તેથી,કેપેસીટન્સનો ગુણોત્તર $\frac{C_1}{C_2} = \frac{d_2}{d_1}$ થશે.
આપેલ છે: $C_1 = 15\ \mu F$,$d_1 = 6\, cm$,અને $d_2 = 2\, cm$.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{15}{C_2} = \frac{2}{6}$
$\frac{15}{C_2} = \frac{1}{3}$
$C_2 = 15 \times 3 = 45\ \mu F$.
આમ,નવું કેપેસીટન્સ $45\ \mu F$ થશે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C_p = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ પ્લેટોનું ક્ષેત્રફળ છે અને $r$ એ પ્લેટોની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ વ્યાસ $= 40\, mm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 20\, mm = 20 \times 10^{-3}\, m$ થાય.
અલગ કરેલા ધાતુના ગોળાનું કેપેસિટન્સ $C_s = 4\pi \epsilon_0 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R = 1\, mm = 1 \times 10^{-3}\, m$ છે.
બંને કેપેસિટન્સને સરખાવતા: $\frac{\epsilon_0 A}{d} = 4\pi \epsilon_0 R$.
$A = \pi r^2$ મૂકતા: $\frac{\pi r^2}{d} = 4\pi R$.
$d$ માટે ઉકેલતા: $d = \frac{r^2}{4R}$.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{(20 \times 10^{-3})^2}{4 \times 1 \times 10^{-3}} = \frac{400 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-3}} = 100 \times 10^{-3}\, m = 0.1\, mm$.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસીટરના કેપેસીટન્સનું સૂત્ર $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
આપેલ પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C = 12 \ \mu F$ છે.
જ્યારે ક્ષેત્રફળ $A$ અડધું $(A' = A/2)$ અને અંતર $d$ બમણું $(d' = 2d)$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C'$ નીચે મુજબ મળે:
$C' = \frac{\varepsilon_0 A'}{d'} = \frac{\varepsilon_0 (A/2)}{2d} = \frac{1}{4} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right)$.
પ્રારંભિક $C$ ની કિંમત મૂકતા:
$C' = \frac{1}{4} C = \frac{12 \ \mu F}{4} = 3 \ \mu F$.

(D) ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્ટ્રેન્થ $E$ એ મહત્તમ વિદ્યુતક્ષેત્ર છે જે ડાયઇલેક્ટ્રિક સહન કરી શકે છે. પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{V}{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો $V = 12 \times 10^3 \; V$ અને $E = 10^9 \; Vm^{-1}$ મૂકતા,આપણને $d = \frac{12 \times 10^3}{10^9} = 12 \times 10^{-6} \; m$ મળે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$A = \frac{C d}{K \varepsilon_0} = \frac{C V}{K E \varepsilon_0}$.
કિંમતો $C = 80 \times 10^{-12} \; F$,$V = 12 \times 10^3 \; V$,$K = 5$,$E = 10^9 \; Vm^{-1}$,અને $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \; Fm^{-1}$ મૂકતા:
$A = \frac{80 \times 10^{-12} \times 12 \times 10^3}{5 \times 10^9 \times 8.85 \times 10^{-12}} = \frac{960 \times 10^{-9}}{44.25 \times 10^{-3}} \approx 21.69 \times 10^{-6} \; m^2$.
આમ,લઘુત્તમ ક્ષેત્રફળ આશરે $21.7 \times 10^{-6} \; m^2$ છે.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસીટરની ઊર્જા ઘનતા $(u)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 = \frac{1}{2} \epsilon_0 \left( \frac{V}{d} \right)^2$
આપેલ છે:
$V = 300 \ V$
$d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$
$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$
કિંમતો મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times 8.85 \times 10^{-12} \times \left( \frac{300}{2 \times 10^{-3}} \right)^2$
$u = 0.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times (1.5 \times 10^5)^2$
$u = 0.5 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 2.25 \times 10^{10}$
$u \approx 0.1 \ J/m^3$

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસીટરનું કેપેસીટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $A = \frac{Cd}{\varepsilon_0}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $C = 3 \ F$,$d = 5 \ mm = 5 \times 10^{-3} \ m$,અને $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$A = \frac{3 \times 5 \times 10^{-3}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$A = \frac{15 \times 10^{-3}}{8.85 \times 10^{-12}}$
$A \approx 1.694 \times 10^9 \ m^2$.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસીટર માટે,સામસામેની સપાટીઓ પરના વિદ્યુતભારો સમાન મૂલ્યના અને વિરુદ્ધ ચિહ્નના હોય છે. તેથી,$Q_2 = -Q_3$ થાય.
કેપેસીટરની પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{Q}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Q$ એ ધન પ્લેટની અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર છે.
અહીં,પ્રથમ પ્લેટની અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $Q_2$ છે. તેથી,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = \frac{Q_2}{C}$ થાય.
ચૂંક $Q_2 = -Q_3$ હોવાથી,આપણે $Q_2 = \frac{Q_2 - Q_3}{2}$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \frac{Q_2 - Q_3}{2C}$.

(B) ધારો કે $C = \frac{{\varepsilon _0}A}{d}$ એ પાસપાસેની પ્લેટોની એક જોડીનું કેપેસિટન્સ છે.
આકૃતિ પરથી,પ્લેટ $2$ એ $A$ સાથે જોડાયેલ છે. પ્લેટ $1, 3, 5$ એ $B$ સાથે જોડાયેલ છે. પ્લેટ $4$ એ પ્લેટ $1$ સાથે જોડાયેલ હોવાથી તે પણ $B$ ના સ્થિતિમાને છે.
આમ,આપણી પાસે $4$ કેપેસિટર્સ સમાંતર જોડાણમાં મળે છે: $C_{21}, C_{23}, C_{43}$ અને $C_{45}$.
સમાંતર જોડાણ માટે,$C_{eq} = C_{21} + C_{23} + C_{43} + C_{45} = 4C = \frac{4{\varepsilon _0}A}{d}$.

(A) $n$ પ્લેટોને એકાંતરે જોડીને બનાવેલી સિસ્ટમમાં,આપણે સમાંતર જોડાણમાં $(n - 1)$ કેપેસિટર્સ બનાવીએ છીએ.
દરેક કેપેસિટર બે પાસપાસેની પ્લેટો દ્વારા બને છે,અને આવી દરેક જોડીનું કેપેસિટન્સ $C$ આપેલ છે.
પ્લેટો એકાંતરે જોડાયેલી હોવાથી,આ તમામ $(n - 1)$ કેપેસિટર્સ સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમાંતર જોડાણમાં રહેલા કેપેસિટર્સ માટે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ એ વ્યક્તિગત કેપેસિટન્સનો સરવાળો છે:
$C_{eq} = C_1 + C_2 + ... + C_{n-1}$
દરેક $C_i = C$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$C_{eq} = (n - 1)C$.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C$ શોધવાનું સૂત્ર $C = \frac{\epsilon_0 A}{d}$ છે.
અહીં,ક્ષેત્રફળ $A = 5 \, km \times 5 \, km = (5 \times 10^3 \, m) \times (5 \times 10^3 \, m) = 25 \times 10^6 \, m^2$.
અંતર $d = 1 \, km = 10^3 \, m$.
શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી $\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \, F/m$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$C = \frac{8.854 \times 10^{-12} \times 25 \times 10^6}{10^3}$
$C = 8.854 \times 25 \times 10^{-12+6-3}$
$C = 221.35 \times 10^{-9} \, F$
$C = 0.22135 \times 10^{-6} \, F = 0.22 \, \mu F$.

(B) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્લેટનો વ્યાસ $4 \ cm$ આપેલ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$ થાય.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi (2 \times 10^{-2})^2 = 4\pi \times 10^{-4} \ m^2$ થાય.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનું કેપેસિટન્સ $C = 4\pi \varepsilon_0 R$ છે.
ગોળાનો વ્યાસ $20 \ cm$ આપેલ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$ થાય.
બંને કેપેસિટન્સને સરખાવતા: $\frac{\varepsilon_0 A}{d} = 4\pi \varepsilon_0 R$.
$\frac{A}{d} = 4\pi R$.
$d = \frac{A}{4\pi R} = \frac{4\pi \times 10^{-4}}{4\pi \times 0.1} = \frac{10^{-4}}{10^{-1}} = 10^{-3} \ m$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રની ઊર્જા ઘનતા $u$ નું સૂત્ર $u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટર માટે,પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{A \varepsilon_0}$ થાય છે.
$E$ ની આ કિંમતને ઊર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{Q}{A \varepsilon_0} \right)^2$
$u = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{Q^2}{A^2 \varepsilon_0^2} \right)$
$u = \frac{Q^2}{2 \varepsilon_0 A^2}$.

(A) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે લાગતું બળ $F = \frac{Q^2}{2\varepsilon_0 A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વિદ્યુતભાર $Q = CV$ હોવાથી,આપણે તેને સૂત્રમાં મૂકીએ:
$F = \frac{(CV)^2}{2\varepsilon_0 A} = \frac{C^2V^2}{2\varepsilon_0 A}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$,જેનો અર્થ છે કે $\varepsilon_0 A = Cd$.
હવે $\varepsilon_0 A = Cd$ ને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{C^2V^2}{2(Cd)} = \frac{CV^2}{2d}$.
આમ,પ્લેટો વચ્ચે લાગતું બળ $\frac{CV^2}{2d}$ છે.