Relation between Electric Field and Potential and Potential Gradient Questions in Gujarati

(A) વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V(x, y, z) = 4x^2 \text{ volt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \hat{i} \frac{\partial V}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial V}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial V}{\partial z} \right)$ છે.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{d}{dx}(4x^2) = 8x$
$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 0$
$\vec{E}$ ના સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$\vec{E} = -(8x \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}) = -8x \hat{i} \text{ V/m}$.
બિંદુ $(1 \text{ m}, 0, 2 \text{ m})$ પર,$x$-યામ $1 \text{ m}$ છે.
તેથી,$\vec{E} = -8(1) \hat{i} = -8 \hat{i} \text{ V/m}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $8 \text{ V/m}$ ના મૂલ્ય સાથે ઋણ $X$-અક્ષની દિશામાં છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન છે અને ધન $X$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી $E = E_0$ લેતા.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $E_0 = -\frac{dV}{dx}$.
સંકલન કરવા માટે પદોને ગોઠવતા: $dV = -E_0 dx$.
સંદર્ભ બિંદુ $x = 0$ (જ્યાં $V = 0$) થી બિંદુ $x$ (જ્યાં સ્થિતિમાન $V_x$ છે) સુધી બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{V_x} dV = -\int_{0}^{x} E_0 dx$.
$[V]_{0}^{V_x} = -E_0 [x]_{0}^{x}$.
$V_x - 0 = -E_0 (x - 0)$.
$V_x = -x E_0$.
તેથી,$x$ આગળ સ્થિતિમાન $-x E_0$ થશે.

(B) બે સમાંતર પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અને અંતર $d$ માટેના સૂત્ર $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે:
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 10\,V$
અંતર $d = 2\,cm = 2 \times 10^{-2}\,m$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{10}{2 \times 10^{-2}} = 5 \times 10^2 = 500\,N/C$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે: વિદ્યુતભાર $Q = 5\,C$,બળ $F = 5000\,N$,અંતર $d = 1\,cm = 10^{-2}\,m$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{F}{Q} = \frac{5000}{5} = 1000\,N/C$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અને અંતર $d$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{V}{d}$ છે.
તેથી,$V = E \times d$.
કિંમતો મૂકતા: $V = 1000 \times 10^{-2} = 10\,V$.
આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $10\,V$ છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = 5x^2 + 10x - 9$.
હવે,$V$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(5x^2 + 10x - 9) = 10x + 10$.
આ કિંમતને વિદ્યુતક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = -(10x + 10) = -10x - 10$.
$x = 1 \text{ m}$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા માટે,સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા:
$E = -10(1) - 10 = -10 - 10 = -20 \text{ V/m}$.

(A) બે સમાંતર પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સૂત્ર $E = \frac{\Delta V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta V$ એ પોટેન્શિયલ તફાવત છે અને $d$ એ અંતર છે.
આપેલ છે: પોટેન્શિયલ તફાવત $\Delta V = V_2 - V_1 = 30\, V - (-10\, V) = 40\, V$.
અંતર $d = 2\, cm = 2 \times 10^{-2}\, m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{40}{2 \times 10^{-2}} = 20 \times 10^2 = 2000\, V/m$.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $2000\, V/m$ છે.

(D) વિદ્યુત ક્ષેત્રના ઘટકો સ્થિતિમાનના ઋણ વિકલન દ્વારા મળે છે: $E_x = -\frac{\partial V}{\partial x}$,$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y}$,અને $E_z = -\frac{\partial V}{\partial z}$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$E_x = -\frac{\partial}{\partial x}(6x - 8xy^2 - 8y + 6yz - 4z^2) = -(6 - 8y^2) = 8y^2 - 6$.
$E_y = -\frac{\partial}{\partial y}(6x - 8xy^2 - 8y + 6yz - 4z^2) = -(-16xy - 8 + 6z) = 16xy + 8 - 6z$.
$E_z = -\frac{\partial}{\partial z}(6x - 8xy^2 - 8y + 6yz - 4z^2) = -(6y - 8z) = 8z - 6y$.
ઉગમબિંદુ $(x=0, y=0, z=0)$ પર:
$E_x = 8(0)^2 - 6 = -6 \, V/m$.
$E_y = 16(0)(0) + 8 - 6(0) = 8 \, V/m$.
$E_z = 8(0) - 6(0) = 0 \, V/m$.
વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2 + E_z^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, N/C$.
$q = 2 \, C$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું વિદ્યુત બળ $F = qE = 2 \times 10 = 20 \, N$ થાય.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્રના ઘટકો સ્થિતિમાનના ઋણ પ્રચલન (gradient) દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x}(-kxy) = ky$
$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -\frac{\partial}{\partial y}(-kxy) = kx$
વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $E$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2} = \sqrt{(ky)^2 + (kx)^2}$
$E = k\sqrt{x^2 + y^2}$
ઉગમબિંદુથી અંતર $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$E = kr$
તેથી,ક્ષેત્રની તીવ્રતા ઉગમબિંદુથી અંતર $r$ સાથે સીધા પ્રમાણમાં બદલાય છે,એટલે કે $E \propto r$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dR}$ છે, જે $V-R$ આલેખના ઢાળનું ઋણ મૂલ્ય દર્શાવે છે。
$R = 4\,m$ અને $R = 6\,m$ વચ્ચેના વિસ્તાર માટે, આલેખ એક સીધી રેખા છે જે $(4, 5)$ અને $(6, 0)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે。
આ રેખાનો ઢાળ $m = \frac{V_2 - V_1}{R_2 - R_1} = \frac{0 - 5}{6 - 4} = \frac{-5}{2} = -2.5\,V/m$ થાય。
તેથી, $R = 5\,m$ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = -(\text{ઢાળ}) = -(-2.5) = 2.5\,V/m$ મળે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ સ્થિતિમાન $V$ સાથે $E = -\frac{dV}{dx}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે. આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય એ $V-x$ આલેખના ઢાળ જેટલું હોય છે.
વિસ્તાર $1$,$3$ અને $5$ માં,સ્થિતિમાન $V$ અચળ છે,તેથી ઢાળ $\frac{dV}{dx} = 0$ થાય. આમ,${E_1} = {E_3} = {E_5} = 0$.
વિસ્તાર $2$ અને $4$ માં,સ્થિતિમાન રેખીય રીતે બદલાય છે. વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય આ વિસ્તારોમાં રેખાઓના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આલેખ પરથી,વિસ્તાર $4$ માં રેખાનો ઢાળ વિસ્તાર $2$ ની રેખાના ઢાળ કરતા વધારે છે. તેથી,વિસ્તાર $4$ માં વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય વિસ્તાર $2$ કરતા વધારે છે,એટલે કે ${E_2} < {E_4}$.
આમ,સાચો સંબંધ ${E_1} = {E_3} = {E_5} = 0$ અને ${E_2} < {E_4}$ છે.

(A) પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટને તારની લંબાઈ દીઠ એકમ લંબાઈ દીઠ સ્થિતિમાનમાં થતા ઘટાડા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે:
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $ = \frac{\text{સ્થિતિમાનનો તફાવત}}{\text{લંબાઈ}}$
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) બળ $F$ અને સ્થિતિ ઊર્જા $U$ વચ્ચેનો સંબંધ $F = - \frac{dU}{dr}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $U = - \frac{ke^2}{3r^3} = - \frac{ke^2}{3} r^{-3}$.
હવે,$U$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$F = - \frac{d}{dr} \left( - \frac{ke^2}{3} r^{-3} \right)$
$F = \frac{ke^2}{3} \frac{d}{dr} (r^{-3})$
$F = \frac{ke^2}{3} (-3 r^{-4})$
$F = - \frac{ke^2}{r^4}$.

(A) પગલું $1$: વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ ગ્રેડિયન્ટ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$.
આપેલ છે કે $V = 4x^2$,તેથી આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{d}{dx}(4x^2) = 8x$,$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$,અને $\frac{\partial V}{\partial z} = 0$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,$\vec{E} = -(8x) \hat{i} = -8x \hat{i} \ V/m$ મળે છે.
પગલું $2$: $(1, 0, 2)$ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્રની ગણતરી કરતા.
$x = 1$ લેતા,$\vec{E} = -8(1) \hat{i} = -8 \hat{i} \ V/m$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $(-x)$ અક્ષની દિશામાં $8 \ V/m$ ના મૂલ્ય સાથે છે.

(C) સ્થિતિમાન પ્રચલન એ અંતરની સાપેક્ષમાં સ્થિતિમાનમાં થતા ફેરફારનો દર છે,જેનું સૂત્ર $E = \frac{V}{d}$ છે.
આપેલ છે:
સ્થિતિમાન $V = 20 \ kV = 20,000 \ V = 2 \times 10^4 \ V$.
અંતર $d = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{2 \times 10^4 \ V}{2 \times 10^{-3} \ m} = 1 \times 10^{4 - (-3)} \ V/m = 10^7 \ V/m$.
આમ,સ્થિતિમાન પ્રચલન $10^7 \ V/m$ છે.

(C) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ સ્થિતિમાનના ઋણ પ્રચલન (negative gradient) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x$-દિશામાં વિદ્યુત ક્ષેત્રના ઘટક માટે,આ સંબંધ $E_x = -\frac{dV}{dx}$ છે.
આ $x$-દિશામાં અંતરની સાપેક્ષે સ્થિતિમાનમાં થતા ફેરફારનો દર દર્શાવે છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_r$ અને સ્થિતિમાન $\phi$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_r = -\frac{d\phi}{dr}$ છે.
આપેલ છે કે $\phi = ar^2 + b$,તેથી $E_r = -\frac{d}{dr}(ar^2 + b) = -2ar$.
ગોસના પ્રમેયના વિકલિત સ્વરૂપ મુજબ,વિદ્યુતભારની ઘનતા $\rho = \varepsilon_0 (\nabla \cdot E)$ છે.
ગોલીય યામ પદ્ધતિમાં,ત્રિજ્યાવર્તી ક્ષેત્ર $E_r$ માટે ડાયવર્જન્સ $\nabla \cdot E = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 E_r)$ થાય છે.
$E_r = -2ar$ મૂકતા:
$\nabla \cdot E = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 (-2ar)) = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(-2ar^3) = \frac{1}{r^2} (-6ar^2) = -6a$.
તેથી,વિદ્યુતભારની ઘનતા $\rho = \varepsilon_0 (-6a) = -6a\varepsilon_0$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: અંતર $d = 5 \, mm = 5 \times 10^{-3} \, m$,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 50 \, V$,દળ $m = 10^{-15} \, kg$,વિદ્યુતભાર $q = 10^{-11} \, C$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d} = \frac{50}{5 \times 10^{-3}} = 10^4 \, V/m$.
કણ પર લાગતું બળ $F = qE$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $a = \frac{qE}{m}$.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{10^{-11} \times 10^4}{10^{-15}} = \frac{10^{-7}}{10^{-15}} = 10^8 \, m/s^2$.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$,વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અને અંતર $d$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $V = 10 \, V$ અને $d = 20 \, cm = 0.2 \, m$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{10}{0.2} = \frac{100}{2} = 50 \, V m^{-1}$.
તેથી,બે પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $50 \, V m^{-1}$ છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ છે.
આપેલ છે કે $V(x) = 20(x^2 - 4)^{-1}$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{dV}{dx} = 20 \cdot (-1) \cdot (x^2 - 4)^{-2} \cdot (2x) = -\frac{40x}{(x^2 - 4)^2}$.
તેથી,$E = -\left(-\frac{40x}{(x^2 - 4)^2}\right) = \frac{40x}{(x^2 - 4)^2}$.
$x = 4 \ \mu m$ મુકતા:
$E = \frac{40(4)}{(4^2 - 4)^2} = \frac{160}{(16 - 4)^2} = \frac{160}{12^2} = \frac{160}{144}$.
અપૂર્ણાંકને $16$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{10}{9} \ V/\mu m$.
મૂલ્ય ધન હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $+ve \ x$-દિશામાં છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ સ્થિતિમાન $V$ ના ઋણ પ્રચલન (negative gradient) દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z}\hat{k} \right)$.
આંશિક વિકલન (partial derivatives) ગણતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = -5$,$\frac{\partial V}{\partial y} = 3$,અને $\frac{\partial V}{\partial z} = \sqrt{15}$.
આ કિંમતોને $\vec{E}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{E} = -(-5\hat{i} + 3\hat{j} + \sqrt{15}\hat{k}) = 5\hat{i} - 3\hat{j} - \sqrt{15}\hat{k}$.
વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|\vec{E}| = \sqrt{(5)^2 + (-3)^2 + (-\sqrt{15})^2}$ થાય.
$|\vec{E}| = \sqrt{25 + 9 + 15} = \sqrt{49} = 7$ એકમ.

(A) બે સમાંતર પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ એ સ્થિતિમાનના ઢાળ (potential gradient) દ્વારા આપવામાં આવે છે: $E = \frac{|\Delta V|}{d}$.
અહીં,$V_1 = -10\, V$ અને $V_2 = +30\, V$ આપેલ છે.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_2 - V_1 = 30 - (-10) = 40\, V$.
અંતર $d = 2\, cm = 2 \times 10^{-2}\, m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{40}{2 \times 10^{-2}} = 20 \times 10^2 = 2000\, V/m$.

(B) $Y$-અક્ષ પરનો વિદ્યુતક્ષેત્રનો ઘટક $E_y$ એ સ્થિતિમાનના ઋણ પ્રચલન (potential gradient) દ્વારા મળે છે: $E_y = -\frac{\Delta V}{\Delta y}$.
આપેલ છે: $q = 4 \ \mu C = 4 \times 10^{-6} \ C$,$\Delta V = V_B - V_A = 54.8 \ V - 56 \ V = -1.2 \ V$,અને $\Delta y = y_B - y_A = 12.5 \ cm - 12.3 \ cm = 0.2 \ cm = 0.2 \times 10^{-2} \ m$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_y = -\frac{-1.2}{0.2 \times 10^{-2}} = \frac{1.2}{0.002} = 600 \ V/m$.
વિદ્યુતભાર $q$ પર લાગતું બળ $F_y = q E_y = (4 \times 10^{-6} \ C) \times (600 \ V/m) = 2400 \times 10^{-6} \ N = 24 \times 10^{-4} \ N$.

(D) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\overrightarrow{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$ છે.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 6 - 8y^2$
$\frac{\partial V}{\partial y} = -16xy - 8 + 6z$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 6y - 8z$
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ આગળ:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 6 - 0 = 6$
$\frac{\partial V}{\partial y} = 0 - 8 + 0 = -8$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 0 - 0 = 0$
તેથી,ઉગમબિંદુ આગળ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\overrightarrow{E} = -(6 \hat{i} - 8 \hat{j} + 0 \hat{k}) = -6 \hat{i} + 8 \hat{j} \, N/C$ મળે.
વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|\overrightarrow{E}| = \sqrt{(-6)^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, N/C$ થાય.
$2 \, C$ ના વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $F = q|\overrightarrow{E}| = 2 \times 10 = 20 \, N$ થાય.

(A) સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_B - V_A$ એ $V_B - V_A = - \int_{A}^{B} E \cdot dx$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$A = 10 \, m$ અને $B = 20 \, m$ છે.
$V_{20} - V_{10} = - \int_{10}^{20} \frac{100}{x^2} \, dx$.
$V_{20} - V_{10} = - 100 \left[ -\frac{1}{x} \right]_{10}^{20}$.
$V_{20} - V_{10} = 100 \left[ \frac{1}{20} - \frac{1}{10} \right]$.
$V_{20} - V_{10} = 100 \left[ \frac{1 - 2}{20} \right] = 100 \left( -\frac{1}{20} \right) = -5 \, V$.
સ્થિતિમાનના તફાવતનું મૂલ્ય $|V_{10} - V_{20}| = 5 \, V$ થાય.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકો $E_x = -\frac{\partial V}{\partial x}$,$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y}$,અને $E_z = -\frac{\partial V}{\partial z}$ દ્વારા મળે છે.
આંશિક વિકલન કરતા:
$E_x = -\frac{\partial}{\partial x}(6x - 8xy^2 - 8y + 6yz - 4z^2) = -(6 - 8y^2) = 8y^2 - 6$
$E_y = -\frac{\partial}{\partial y}(6x - 8xy^2 - 8y + 6yz - 4z^2) = -(-16xy - 8 + 6z) = 16xy + 8 - 6z$
$E_z = -\frac{\partial}{\partial z}(6x - 8xy^2 - 8y + 6yz - 4z^2) = -(6y - 8z) = 8z - 6y$
ઉગમબિંદુ $(x=0, y=0, z=0)$ પાસે:
$E_x = 8(0)^2 - 6 = -6 \ V/m$
$E_y = 16(0)(0) + 8 - 6(0) = 8 \ V/m$
$E_z = 8(0) - 6(0) = 0 \ V/m$
વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2 + E_z^2} = \sqrt{(-6)^2 + 8^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \ N/C$.
વિદ્યુતબળ $F = qE = 2 \ C \times 10 \ N/C = 20 \ N$ થાય.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $dV$ વચ્ચેનો સંબંધ $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{r} = -E \, dr \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં વિદ્યુતસ્થિતિમાન વધે છે. $x$-અક્ષ પર $20 \, V$ અને $30 \, V$ ની સમસ્થિતિમાન રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $dr = (20 - 10) \, cm = 10 \times 10^{-2} \, m$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને $x$-અક્ષ પરના સ્થાનાંતર સદિશ $d\vec{r}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$ છે (અથવા લંબ અંતરની રીતનો ઉપયોગ કરતા,$E = \frac{dV}{dr_{\perp}}$ જ્યાં $dr_{\perp} = dr \sin 30^\circ$).
$E = \frac{\Delta V}{\Delta r \sin \theta} = \frac{30 - 20}{0.1 \times \sin 30^\circ} = \frac{10}{0.1 \times 0.5} = \frac{10}{0.05} = 200 \, V/m$ મળે છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V$ છે.
આપેલ છે કે $V = axy$,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકો:
$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -ay$
$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -ax$
વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2}$ છે.
ઘટકોની કિંમત મૂકતા,$E = \sqrt{(-ay)^2 + (-ax)^2} = \sqrt{a^2y^2 + a^2x^2} = a\sqrt{x^2 + y^2}$.
ઉગમબિંદુથી અંતર $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ હોવાથી,$E = ar$ મળે.
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ એ $r$ ના સપ્રમાણમાં છે $(E \propto r)$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ છે.
અહીં $V = 4x^2$ આપેલ છે.
વિકલન કરતા: $E = -\frac{d}{dx}(4x^2) = -8x$.
બિંદુ $(1 \ m, 0, 2 \ m)$ પર,$x$-યામ $1 \ m$ છે.
$E$ ના સમીકરણમાં $x = 1$ મૂકતા: $E = -8(1) = -8 \ V/m$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $-X$-અક્ષની દિશામાં છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $8 \ V/m$ અને દિશા $-X$-અક્ષ છે.

(A) વિધુતક્ષેત્ર $E$ અને વિધુતસ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = 5x^2 + 10x - 9$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}(5x^2 + 10x - 9) = 10x + 10$.
તેથી,$E = -(10x + 10)$.
$x = 1 \ m$ માટે,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = -(10(1) + 10) = -(10 + 10) = -20 \ V/m$.

(B) વિધુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ છે.
આપેલ છે કે $V = 4x + 3y$.
વિધુતક્ષેત્રનો $x$-ઘટક $E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{\partial}{\partial x}(4x + 3y) = -4 \, \text{V/m}$ થાય.
વિધુતક્ષેત્રનો $y$-ઘટક $E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -\frac{\partial}{\partial y}(4x + 3y) = -3 \, \text{V/m}$ થાય.
વિધુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$E = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, \text{V/m}$ (અથવા $\text{N/C}$).

(A) વિદ્યુતસ્થિતિમાન પ્રચલન એ એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે,જે $E = \frac{V}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઓમના નિયમ મુજબ,$V = iR$,જ્યાં $R = \rho \frac{L}{A}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાન પ્રચલનના સૂત્રમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \frac{i \rho L}{A L} = \frac{i \rho}{A}$.
આપેલ કિંમતો: $i = 0.2 \, A$,$\rho = 40 \times 10^{-8} \, \Omega \, m$,અને $A = 8 \times 10^{-6} \, m^2$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$E = \frac{0.2 \times 40 \times 10^{-8}}{8 \times 10^{-6}}$.
$E = \frac{8 \times 10^{-8}}{8 \times 10^{-6}} = 10^{-2} \, V/m$.

(C) $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = Q \times 10^{11} \, V$,તેથી $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r} = Q \times 10^{11}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{r} = 4 \pi \varepsilon_0 \times 10^{11}$ મળે છે.
તે બિંદુએ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2} = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r} \right) \cdot \frac{1}{r}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$E = (Q \times 10^{11}) \times (4 \pi \varepsilon_0 \times 10^{11})$.
તેથી,$E = 4 \pi \varepsilon_0 Q \times 10^{22} \, V/m$.

(D) વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = -x^2y - xz^3 + 4$ આપેલ છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\vec{\nabla} V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z}\hat{k} \right)$ છે.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-x^2y - xz^3 + 4) = -2xy - z^3$
$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-x^2y - xz^3 + 4) = -x^2$
$\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(-x^2y - xz^3 + 4) = -3xz^2$
આ કિંમતો $\vec{E}$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{E} = -[(-2xy - z^3)\hat{i} + (-x^2)\hat{j} + (-3xz^2)\hat{k}]$
$\vec{E} = (2xy + z^3)\hat{i} + x^2\hat{j} + 3xz^2\hat{k}$.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V$ છે.
જ્યાં $\nabla = \hat{i} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z}$ છે.
તેથી,$\vec{E} = -\left[ \hat{i} \frac{\partial V}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial V}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial V}{\partial z} \right]$.
આપેલ છે કે $V = 4x^2$,તેથી આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 8x$,$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$,અને $\frac{\partial V}{\partial z} = 0$.
આ કિંમતો $\vec{E}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{E} = -(8x \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}) = -8x \hat{i} \text{ V/m}$.
બિંદુ $(1, 0, 2)$ પર,$x = 1$ મૂકતા:
$\vec{E} = -8(1) \hat{i} = -8 \hat{i} \text{ V/m}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $8 \text{ V/m}$ ના મૂલ્ય સાથે ઋણ $X-$ અક્ષની દિશામાં છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ ના ઋણ પ્રચલન (gradient) દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$.
આપેલ છે $V(x, y, z) = 6x - 8xy - 8y + 6yz$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -(6 - 8y) = -6 + 8y$.
$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -(-8x - 8 + 6z) = 8x + 8 - 6z$.
$E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} = -(6y) = -6y$.
બિંદુ $(1, 1, 1)$ પર:
$E_x = -6 + 8(1) = 2 \ V/m$.
$E_y = 8(1) + 8 - 6(1) = 10 \ V/m$.
$E_z = -6(1) = -6 \ V/m$.
આમ,$\vec{E} = 2\hat{i} + 10\hat{j} - 6\hat{k} \ V/m$.
વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|\vec{E}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 100 + 36} = \sqrt{140} = 2\sqrt{35} \ V/m$.
વિદ્યુત બળ $\vec{F} = q\vec{E}$. આપેલ છે $q = 2 \ C$,તેથી બળનું મૂલ્ય $F = q|\vec{E}| = 2 \times 2\sqrt{35} = 4\sqrt{35} \ N$.

(C) આપેલ સ્થિતિમાન વિધેય: $V = 6xy - y + 2yz$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 6y$
$\frac{\partial V}{\partial y} = 6x - 1 + 2z$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 2y$
તેથી,$\vec{E} = -[ (6y)\hat{i} + (6x - 1 + 2z)\hat{j} + (2y)\hat{k} ]$.
બિંદુ $(1, 1, 0)$ પર કિંમત મૂકતા:
$\vec{E}_{(1, 1, 0)} = -[ (6 \times 1)\hat{i} + (6 \times 1 - 1 + 2 \times 0)\hat{j} + (2 \times 1)\hat{k} ]$
$\vec{E}_{(1, 1, 0)} = -(6\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}) \ N/C$.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ સમાન છે અને ધન $x$-અક્ષની દિશામાં છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં ઘટે છે.
જેহেতু વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન $x$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી જેમ આપણે $x$-અક્ષ પર ડાબેથી જમણે જઈએ તેમ સ્થિતિમાન ઘટે છે.
આપેલા બિંદુઓના $x$-યામની સરખામણી કરતા:
બિંદુ $C$ એ $x = -a$ પર છે.
બિંદુઓ $B$ અને $D$ એ $x = 0$ પર છે.
બિંદુ $A$ એ $x = a$ પર છે.
જેમ $x$ વધે છે તેમ સ્થિતિમાન ઘટે છે,તેથી સ્થિતિમાન $C$ પર મહત્તમ અને $A$ પર ન્યૂનતમ હશે.

(B) આપેલ છે,$V = k[2x^2 - y^2 + z^2]$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સ્થિતિમાનના ઋણ પ્રચલન (gradient) દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{E} = -\nabla V = -\left(\frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k}\right)$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = k(4x)$
$\frac{\partial V}{\partial y} = k(-2y)$
$\frac{\partial V}{\partial z} = k(2z)$
તેથી,$\vec{E} = -k(4x \hat{i} - 2y \hat{j} + 2z \hat{k})$.
બિંદુ $(1, 1, 1)$ પર,વિદ્યુતક્ષેત્ર:
$\vec{E}_{(1,1,1)} = -k(4(1) \hat{i} - 2(1) \hat{j} + 2(1) \hat{k}) = -k(4 \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k})$.
વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય:
$|\vec{E}| = \sqrt{(-4k)^2 + (2k)^2 + (-2k)^2} = \sqrt{16k^2 + 4k^2 + 4k^2} = \sqrt{24k^2} = 2k\sqrt{6}$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_x$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_x = -\frac{dV}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્ર એ $V-x$ આલેખના ઢાળનું ઋણ મૂલ્ય છે.
બિંદુ $A$ પર, ઢાળ $\frac{dV}{dx}$ ધન છે, તેથી $E_x = -(\text{ધન}) = \text{ઋણ}$. આમ, $A$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં છે.
બિંદુ $B$ પર, આલેખ તેની ટોચ પર પહોંચે છે, તેથી ઢાળ $\frac{dV}{dx} = 0$, જેનો અર્થ છે કે $E_x = 0$.
બિંદુ $C$ પર, ઢાળ $\frac{dV}{dx}$ ઋણ છે, તેથી $E_x = -(\text{ઋણ}) = \text{ધન}$. આમ, $C$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર ધન $x$-અક્ષની દિશામાં છે.
તેથી, સાચું વિધાન એ છે કે બિંદુ $C$ પર $x$-ઘટક ધન $x$-અક્ષની દિશામાં છે.

(A) આપેલ સ્થિતિમાન વિધેય $V(x) = \frac{20}{x^2 - 4} \text{ volt}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ છે.
$E = -\frac{d}{dx} \left( 20(x^2 - 4)^{-1} \right) = -20 \cdot (-1)(x^2 - 4)^{-2} \cdot (2x) = \frac{40x}{(x^2 - 4)^2}$.
હવે,$E$ ના સમીકરણમાં $x = 4 \mu m$ મૂકતા:
$E = \frac{40(4)}{(4^2 - 4)^2} = \frac{160}{(16 - 4)^2} = \frac{160}{12^2} = \frac{160}{144}$.
અંશ અને છેદને $16$ વડે ભાગતા,આપણને $E = \frac{10}{9} \text{ V/}\mu m$ મળે છે.
પરિણામ ધન હોવાથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $+ve \ x$ દિશામાં છે.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં બે બિંદુઓ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $dV = -\vec{E} \cdot d\vec{x}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણનું ઉગમબિંદુ $(x = 0)$ થી $x = 2 \ m$ બિંદુ સુધી સંકલન કરતા:
$V_A - V_O = -\int_{0}^{2} 30x^2 dx$
$V_A - V_O = -[10x^3]_{0}^{2}$
$V_A - V_O = -(10(2)^3 - 10(0)^3)$
$V_A - V_O = -(10 \times 8) = -80 \ V$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ અને સ્થિતિમાન $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ $E_x = -\frac{dV}{dx}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્રના $x$-ઘટકનું મૂલ્ય,$|E_x|$,એ $V-X$ આલેખના ઢાળના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું છે,એટલે કે $|E_x| = |\frac{dV}{dx}|$.
જે વિસ્તારમાં વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય મહત્તમ હોય તે શોધવા માટે,આપણે તે વિસ્તારને ઓળખવો પડશે જ્યાં $V-X$ આલેખનો ઢાળ સૌથી વધુ તીવ્ર (એટલે કે સૌથી મોટું નિરપેક્ષ મૂલ્ય) હોય.
આલેખ જોતા:
- વિસ્તાર $1$ અને $4$ માં,સ્થિતિમાન અચળ છે,તેથી ઢાળ $0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $E_x = 0$.
- વિસ્તાર $2$ અને $3$ માં,સ્થિતિમાન અંતર સાથે બદલાય છે,તેથી ઢાળ શૂન્ય નથી.
- વિસ્તાર $2$ અને $3$ માં રેખાઓની તીવ્રતાની સરખામણી કરતા,વિસ્તાર $2$ માં રેખા વિસ્તાર $3$ ની રેખા કરતા ઘણી વધારે તીવ્ર છે.
તેથી,ઢાળનું મૂલ્ય વિસ્તાર $2$ માં મહત્તમ છે,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય વિસ્તાર $2$ માં મહત્તમ છે.

(D) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$ છે.
આપેલ છે $V = -5x + 3y + \sqrt{15}z$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -(-5) = 5$
$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -(3) = -3$
$E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} = -(\sqrt{15}) = -\sqrt{15}$
તેથી,$\vec{E} = 5\hat{i} - 3\hat{j} - \sqrt{15}\hat{k}$.
વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|\vec{E}| = \sqrt{E_x^2 + E_y^2 + E_z^2}$ છે.
$|\vec{E}| = \sqrt{(5)^2 + (-3)^2 + (-\sqrt{15})^2} = \sqrt{25 + 9 + 15} = \sqrt{49} = 7$.

(B) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dx}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્રનું મૂલ્ય એ સ્થિતિમાનના ઢાળના મૂલ્ય જેટલું હોય છે,$|E| = |\frac{dV}{dx}|$.
આપેલ આકૃતિમાં,વિદ્યુત ક્ષેત્ર રેખાઓ $X$ ની નજીક એકબીજાની નજીક છે અને જેમ આપણે $Y$ તરફ જઈએ છીએ તેમ તે વધુ ફેલાયેલી (સમાન) થાય છે.
આ સૂચવે છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્રની તીવ્રતા $|E|$ એ $X$ ની નજીક વધુ છે અને જેમ આપણે $Y$ તરફ જઈએ છીએ તેમ તે ઘટે છે.
કારણ કે $|E| = |\frac{dV}{dx}|$,તેથી સ્થિતિમાન $V$ વિરુદ્ધ અંતર $d$ ના આલેખનો ઢાળ $X$ ની નજીક વધુ હોવો જોઈએ અને જેમ આપણે $Y$ તરફ જઈએ છીએ તેમ તે ઓછો થવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,વિકલ્પ $B$ માંનો આલેખ $X$ ની નજીક $V$ માં તીવ્ર ઘટાડો (વધારે ઢાળ) અને $Y$ તરફ જતાં ઓછો ઘટાડો (ઓછો ઢાળ) દર્શાવે છે,જે સ્થિતિમાનના પરિવર્તનને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E_x$ એ સ્થિતિમાન $V$ સાથે $E_x = -\frac{dV}{dx}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે.
$1$. $x < -d$ માટે,$V = 0$,તેથી $E_x = -\frac{d(0)}{dx} = 0$.
$2$. $-d \le x < 0$ માટે,$V = -V_0(1 + \frac{x}{d})^2$.
$E_x = -\frac{d}{dx}[-V_0(1 + \frac{x}{d})^2] = V_0 \cdot 2(1 + \frac{x}{d}) \cdot \frac{1}{d} = \frac{2V_0}{d}(1 + \frac{x}{d})$.
$x = -d$ પર,$E_x = 0$. $x = 0$ પર,$E_x = \frac{2V_0}{d}$.
$3$. $0 \le x < d$ માટે,$V = -V_0(1 + 2\frac{x}{d})$.
$E_x = -\frac{d}{dx}[-V_0(1 + 2\frac{x}{d})] = V_0 \cdot \frac{2}{d} = \frac{2V_0}{d}$.
આ એક અચળ મૂલ્ય છે.
$4$. $x \ge d$ માટે,$V = -3V_0$,તેથી $E_x = -\frac{d(-3V_0)}{dx} = 0$.
આ પરિણામોની આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $A$ માંનો આલેખ $x$ ના વિધેય તરીકે $E_x$ ને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) સમસ્થિતિમાન રેખાઓનું સમીકરણ $V = ax + by + c$ છે. આલેખ પરથી,$V = 2 \, V$ માટે,રેખા $(6, 2)$ અને $(4, 1)$ માંથી પસાર થાય છે. ઢાળ $m = \frac{1-2}{4-6} = \frac{-1}{-2} = 0.5$ છે. સમીકરણ $y - 1 = 0.5(x - 4) \Rightarrow y = 0.5x - 1 \Rightarrow 0.5x - y = 1$ છે. $2$ વડે ગુણતા,આપણને $x - 2y = 2$ મળે છે. આમ,$V = k(x - 2y)$. $V = 2$ માટે,$2 = k(6 - 2(2)) = 2k \Rightarrow k = 1$. તેથી,$V = x - 2y$.
વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકો $E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -1 \, V/\text{cm} = -100 \, V/m$ અને $E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -(-2) = +2 \, V/\text{cm} = +200 \, V/m$ છે.
આમ,$E_x = -100 \, V/m$ અને $E_y = +200 \, V/m$ છે.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E} = E \cos 45^\circ \hat{i} + E \sin 45^\circ \hat{j} = \frac{400}{\sqrt{2}} (\hat{i} + \hat{j}) \, V/m$ છે.
બિંદુઓ $A(0, 0.02 \, m)$ અને $B(0.03 \, m, 0)$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $V_A - V_B = \vec{E} \cdot \vec{r}_{BA}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\vec{r}_{BA} = \vec{r}_A - \vec{r}_B = -0.03 \hat{i} + 0.02 \hat{j} \, m$.
$V_A - V_B = \left[ \frac{400}{\sqrt{2}} (\hat{i} + \hat{j}) \right] \cdot (-0.03 \hat{i} + 0.02 \hat{j})$
$V_A - V_B = \frac{400}{\sqrt{2}} (-0.03 + 0.02) = \frac{400}{\sqrt{2}} (-0.01) = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2} \approx -2.828 \, V$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકનું મૂલ્ય $2.8 \, V$ છે.

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ ગ્રેડિયન્ટ સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $\overrightarrow{E} = -\nabla V = -\left[ \hat{i} \frac{\partial V}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial V}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial V}{\partial z} \right]$.
આપેલ છે કે $V = 4x^2$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{d}{dx}(4x^2) = 8x$
$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 0$
આ કિંમતોને વિદ્યુત ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\overrightarrow{E} = -[\hat{i}(8x) + \hat{j}(0) + \hat{k}(0)] = -8x \hat{i}$.
બિંદુ $(1 \, m, 0, 2 \, m)$ પર,$x$ ની કિંમત $1 \, m$ છે.
તેથી,$\overrightarrow{E} = -8(1) \hat{i} = -8 \hat{i} \, V/m$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $8 \, V/m$ ના મૂલ્ય સાથે ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં છે.

(D) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $E = -\frac{dV}{dr}$ છે.
આપેલ છે કે $V = b - ar^2$,તેથી $E = -\frac{d}{dr}(b - ar^2) = 2ar$.
ગોસના નિયમના વિકલન સ્વરૂપ મુજબ,વીજભાર ઘનતા $\rho = \varepsilon_0 (\nabla \cdot E)$ દ્વારા મળે છે.
ગોલીય યામ પદ્ધતિમાં,ત્રિજ્યાવર્તી ક્ષેત્ર $E(r)$ માટે ડાયવર્જન્સ $\nabla \cdot E = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 E)$ થાય છે.
$E = 2ar$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\nabla \cdot E = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(r^2 \cdot 2ar) = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr}(2ar^3) = \frac{1}{r^2} (6ar^2) = 6a$.
તેથી,વીજભાર ઘનતા $\rho = \varepsilon_0 (6a) = 6a\varepsilon_0$ થાય.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ છે.
આપેલ છે કે $V = 5x^2 + 5xy$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -(10x + 5y)$.
બિંદુ $(1, -2)$ પર,$E_x = -(10(1) + 5(-2)) = -(10 - 10) = 0$.
$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -(5x) = -5x$.
બિંદુ $(1, -2)$ પર,$E_y = -5(1) = -5$.
તેથી,બિંદુ $(1, -2)$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = 0 \hat{i} - 5 \hat{j} = -5 \hat{j} \, V/m$ મળે છે.