Conductor, Electrostatic Shielding, Induced Charge and Charge Redistribution on conductor Questions in Gujarati

(D) $1$. સ્થિત-વિદ્યુત પ્રેરણને કારણે,ગોળાકાર કવચની આંતરિક સપાટી ($b$ ત્રિજ્યા પર) પર અંદરના ગોળા પરના વીજભાર જેટલો જ અને વિરુદ્ધ પ્રકારનો પ્રેરિત વીજભાર ઉત્પન્ન થશે. અંદરના ગોળા પર $+2Q$ વીજભાર હોવાથી,કવચની આંતરિક સપાટી પરનો વીજભાર $-2Q$ થશે.
$2$. આંતરિક સપાટી પરની પૃષ્ઠ વીજભાર ઘનતા $\sigma_{inner} = \frac{\text{વીજભાર}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \frac{-2Q}{4\pi b^2}$ છે.
$3$. કવચ પરનો ચોખ્ખો વીજભાર $-Q$ છે. ધારો કે બાહ્ય સપાટી ($c$ ત્રિજ્યા પર) પરનો વીજભાર $q_{outer}$ છે. કવચ પરનો કુલ વીજભાર તેની આંતરિક અને બાહ્ય સપાટી પરના વીજભારોનો સરવાળો હોવાથી: $-2Q + q_{outer} = -Q$,જે આપણને $q_{outer} = +Q$ આપે છે.
$4$. બાહ્ય સપાટી પરની પૃષ્ઠ વીજભાર ઘનતા $\sigma_{outer} = \frac{\text{વીજભાર}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \frac{Q}{4\pi c^2}$ છે.
$5$. આમ,પૃષ્ઠ વીજભાર ઘનતા $-\frac{2Q}{4\pi b^2}$ અને $\frac{Q}{4\pi c^2}$ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ આ પરિણામ સાથે મેળ ખાતું નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) કોઈપણ વિદ્યુતભારિત તંત્ર માટે,વાહક પર વિદ્યુતભારનું વિતરણ હંમેશા એવી ગોઠવણીમાં સ્થિર થાય છે જે તંત્રની કુલ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિઊર્જાને ન્યૂનતમ બનાવે છે.
અનિયમિત આકારના વાહકના કિસ્સામાં,વાહક પર સ્થિતિમાન સમાન રાખવા માટે વક્રતા ત્રિજ્યા ઓછી હોય તેવા ભાગો (શિખરો) પર વિદ્યુતભારની ઘનતા વધારે હશે.
આ સંતુલન સ્થિતિ તંત્રની ન્યૂનતમ સ્થિતિઊર્જાની સ્થિતિને અનુરૂપ છે.

(C) જ્યારે કોઈ વાહકને બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $q_{ind}$ એ સંબંધ $q_{ind} = -q(1 - 1/K)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $K$ એ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે。
કોઈપણ આદર્શ વાહક માટે, ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K$ અનંત $(\infty)$ ગણવામાં આવે છે。
તેથી, પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $q_{ind} = -q(1 - 1/\infty) = -q(1 - 0) = -q$.
તાંબુ અને એલ્યુમિનિયમ બંને ધાતુઓ (વાહકો) હોવાથી, બંનેનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક અનંત હોય છે。
આમ, બંને વાહકો પર પ્રેરિત વિદ્યુતભારનું મૂલ્ય સમાન હશે。

(A) જ્યારે કોઈ વાહકને બાહ્ય સ્થિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\overrightarrow{E}$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે વાહકની અંદરના મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન બળ અનુભવે છે અને વાહકની સપાટી પર પુનઃવિતરિત થાય છે.
આ પુનઃવિતરણ ત્યાં સુધી ચાલુ રહે છે જ્યાં સુધી પ્રેરિત વિદ્યુતભારો દ્વારા નિર્મિત આંતરિક વિદ્યુત ક્ષેત્ર બાહ્ય વિદ્યુત ક્ષેત્રને સંપૂર્ણપણે નાબૂદ ન કરે.
તેથી,વાહક પ્લેટની અંદરનું કુલ વિદ્યુત ક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.

(C) જ્યારે બે વિદ્યુતભારીત વાહક ગોળાઓને તાંબાના તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ સમાન સ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત ન કરે ત્યાં સુધી વિદ્યુતભારનું વહન થાય છે.
$V = \frac{kQ}{r}$ હોવાથી,સમાન સ્થિતિમાન માટે $Q \propto r$ થાય.
ધારો કે નવી ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 20\,cm$ અને $r_2 = 15\,cm$ માટે નવા વિદ્યુતભારો $Q_1$ અને $Q_2$ છે.
તેથી $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{Q}{4\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{Q_1}{Q_2} \times \frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{r_1}{r_2} \times \frac{r_2^2}{r_1^2} = \frac{r_2}{r_1}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$.
અહીં $\sigma_1 < \sigma_2$ હોવાથી,નાના ગોળા $(15\,cm)$ પરની પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા મોટા ગોળા $(20\,cm)$ કરતા વધારે છે.

(B) જ્યારે બે વિદ્યુતભારિત ગોળાઓને તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ સમાન વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત કરે છે.
$R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ગોળા માટે સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R}$ છે.
$V_1 = V_2$ હોવાથી,$\frac{kQ_1}{a} = \frac{kQ_2}{b}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{a}{b}$.
ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{kQ}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{kQ_1/a^2}{kQ_2/b^2} = \frac{Q_1}{Q_2} \times \frac{b^2}{a^2}$ થાય.
$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{a}{b}$ કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{E_1}{E_2} = \frac{a}{b} \times \frac{b^2}{a^2} = \frac{b}{a}$ મળે છે.

(D) ધારો કે નાના ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ છે. નાના ગોળાનું સ્થિતિમાન $V_1 = \frac{kQ}{R_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R_1 = 2 \, m$ અને $V_1 = 120 \, V$ છે.
તેથી,$120 = \frac{kQ}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $kQ = 240$.
જ્યારે નાના ગોળાને $R_2 = 6 \, m$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા પોલા ગોળાની અંદર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે મોટા ગોળાનું સ્થિતિમાન અંદરના ગોળા પરના વિદ્યુતભાર $Q$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
અંદરના ગોળાને કારણે મોટા ગોળાની સપાટી પર અથવા તેની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાન $V_2 = \frac{kQ}{R_2}$ હોય છે.
$kQ = 240$ અને $R_2 = 6 \, m$ ની કિંમત મૂકતા:
$V_2 = \frac{240}{6} = 40 \, V$.
તેથી,મોટા ગોળાનું સ્થિતિમાન $40 \, V$ થશે.

(C) જ્યારે $+q$ જેટલો બિંદુવત વિદ્યુતભાર ધાતુના ગોળીય કવચના કેન્દ્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે કવચની અંદરની સપાટી પર $-q$ વિદ્યુતભાર અને બહારની સપાટી પર $+q$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત કરે છે.
કવચ અવાહક અને તટસ્થ હોવાથી,કવચ પરનો કુલ પ્રેરિત વિદ્યુતભાર એ અંદરની સપાટી અને બહારની સપાટી પરના વિદ્યુતભારનો સરવાળો છે,જે $(-q) + (+q) = 0$ થાય છે.
તેથી,ગોળા પરનો કુલ પ્રેરિત વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે.

(B) જ્યારે બે વીજભારિત વાહક ગોળાઓને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે વીજભાર ઊંચા સ્થિતિમાનવાળા ગોળામાંથી નીચા સ્થિતિમાનવાળા ગોળામાં વહે છે જ્યાં સુધી તેઓ સમાન સ્થિતિમાન પ્રાપ્ત ન કરે.
વીજભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અલગ કરેલી સિસ્ટમનો કુલ વીજભાર અચળ રહે છે.
જો કે,ઉર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી કારણ કે વીજભારના પુનઃવિતરણની પ્રક્રિયા દરમિયાન કેટલીક ઉર્જા ગરમી અથવા વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ તરીકે વ્યય થાય છે.
તેથી,માત્ર કુલ વીજભારનું જ સંરક્ષણ થાય છે.

(C) જ્યારે બે વિદ્યુતભારીત ગોળાઓને વાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના સ્થિતિમાન સમાન $(V_1 = V_2)$ ન થાય ત્યાં સુધી વિદ્યુતભારનું વહન થાય છે.
વિદ્યુતભારીત ગોળાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\frac{kQ_1}{R_1} = \frac{kQ_2}{R_2}$ થાય.
અહીં $R_1 = 20\,cm$ અને $R_2 = 25\,cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{Q_1}{20} = \frac{Q_2}{25}$ મળે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$.
ગુણોત્તર $\frac{Q_1}{Q_2} < 1$ હોવાથી,$Q_2 > Q_1$ સાબિત થાય છે.
તેથી,$25\,cm$ ત્રિજ્યાવાળા ગોળા પરનો વિદ્યુતભાર $(Q_2)$ એ $20\,cm$ ત્રિજ્યાવાળા ગોળા પરના વિદ્યુતભાર $(Q_1)$ કરતા વધારે હશે.

(B) જ્યારે બે ધાતુના ગોળાઓને પાતળા તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના વિદ્યુત સ્થિતિમાન સમાન ન થાય ત્યાં સુધી વિદ્યુતભારનું વહન થાય છે.
ધારો કે ગોળા $A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારો અનુક્રમે ${Q_1}$ અને ${Q_2}$ છે.
ગોળાકાર વાહકનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિમાન સમાન હોવાથી,$\frac{k{Q_1}}{{r_1}} = \frac{k{Q_2}}{{r_2}}$ થાય.
આથી $\frac{{Q_1}}{{Q_2}} = \frac{{r_1}}{{r_2}}$ મળે.
આપેલ છે કે ${r_1} > {r_2}$,તેથી ${Q_1} > {Q_2}$ થાય.
આમ,ગોળા $A$ ની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર વધારે હશે.

(C) જ્યારે બે વાહક ગોળાઓને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના સ્થિતિમાન સમાન ન થાય ત્યાં સુધી વિદ્યુતભારનું વહન થાય છે. ધારો કે ત્રિજ્યાઓ $r_1 = 10\, cm$ અને $r_2 = 20\, cm$ છે. ગોળાનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V_1 = V_2$ હોવાથી,$\frac{kQ'_1}{r_1} = \frac{kQ'_2}{r_2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{Q'_1}{Q'_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{Q}{4\pi r^2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{Q'_1}{4\pi r_1^2} \times \frac{4\pi r_2^2}{Q'_2} = \left( \frac{Q'_1}{Q'_2} \right) \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{20}{10} \right)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = \frac{2}{1}$.

(D) ધાતુનો ઘન એક સુવાહક હોવાથી,તેની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે અને તેની અંદર અથવા તેની સપાટી પર સ્થિતિમાન અચળ રહે છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર એ સ્થિતિમાનના ઋણ પ્રચલન (gradient) જેટલું હોવાથી $(E = -\nabla V)$,વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા સમસ્થિતિમાન સપાટીને લંબ હોય છે.
તેથી,ઘનની સપાટી પર દરેક બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર સપાટીને લંબ (normal) હોય છે.

(A) સ્થિર વિદ્યુત સંતુલનમાં રહેલા વિદ્યુતભારિત વાહક માટે, વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ શૂન્ય હોય છે。
કારણ કે $E = -\frac{dV}{dr}$, જો $E = 0$ હોય, તો $\frac{dV}{dr} = 0$ થાય, જે સૂચવે છે કે વાહકની અંદરના ભાગમાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ રહે છે。
ગોસના નિયમ મુજબ, $\oint E \cdot dA = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$. અંદરના ભાગમાં દરેક જગ્યાએ $E = 0$ હોવાથી, ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{enclosed}$ શૂન્ય હોવો જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે વાહકની અંદર કદ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\rho$ શૂન્ય છે。
તેથી, વિધાન "ગોળાની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોતું નથી" એ ખોટું છે。

(B) ધારો કે ત્રણ પ્લેટો ડાબેથી જમણે $1, 2$ અને $3$ છે. પ્લેટ $1$ પર $+q$ વિદ્યુતભાર છે અને પ્લેટ $3$ પર $-2q$ વિદ્યુતભાર છે. પ્લેટ $2$ શરૂઆતમાં તટસ્થ $(0)$ છે.
જ્યારે સ્વીચ $S$ બંધ થાય છે, ત્યારે પ્લેટ $2$ પૃથ્વી સાથે જોડાય છે, તેથી તેનું સ્થિતિમાન $0$ થાય છે.
સમાંતર પ્લેટોના ગુણધર્મ મુજબ, ગ્રાઉન્ડેડ પ્લેટ પર પ્રેરિત વિદ્યુતભાર એવો હશે કે જેથી તેનું સ્થિતિમાન શૂન્ય થાય.
પ્લેટ $1$ $(+q)$ ને કારણે પ્લેટ $2$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{q}{2A\epsilon_0}$ (જમણી તરફ) છે.
પ્લેટ $3$ $(-2q)$ ને કારણે પ્લેટ $2$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_3 = \frac{2q}{2A\epsilon_0}$ (જમણી તરફ) છે.
પ્લેટ $2$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{net} = \frac{q}{2A\epsilon_0} + \frac{2q}{2A\epsilon_0} = \frac{3q}{2A\epsilon_0}$ (જમણી તરફ) છે.
સ્થિતિમાન શૂન્ય કરવા માટે, ગ્રાઉન્ડેડ પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{induced} = -(\frac{q}{2} + \frac{-2q}{2}) = +q/2$ થશે.
પ્લેટ શરૂઆતમાં તટસ્થ હતી, તેથી પૃથ્વીમાંથી પ્લેટ પર $+q/2$ વિદ્યુતભાર આવશે, જેનો અર્થ છે કે $-q/2$ વિદ્યુતભાર પૃથ્વીમાં વહન પામશે.

(B) સ્થિત વિદ્યુત સંતુલનમાં રહેલા વાહકોના ગુણધર્મો અનુસાર,પોલા ધાતુના વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા શૂન્ય હોય છે. આનું કારણ એ છે કે વાહક પર આપવામાં આવેલો વધારાનો વિદ્યુતભાર સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર જ રહે છે. ગૌસના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,વાહકની અંદર અથવા પોલા ભાગમાં દોરવામાં આવેલા કોઈપણ ગૌસિયન પૃષ્ઠ માટે,કુલ ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q_{enc} = 0$ થાય છે. તેથી,$\oint E \cdot dA = q_{enc} / \epsilon_0$ પરથી સાબિત થાય છે કે પોલા ભાગની અંદર $E = 0$ છે.

(B) સ્થિતવિદ્યુત સંતુલનમાં રહેલા વિદ્યુતભારીત વાહક માટે:
$(1)$ વાહકની સપાટીની બહારની બાજુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા સપાટીને લંબ હોય છે, સમાંતર નહીં। તેથી, વિધાન $(1)$ ખોટું છે.
$(2)$ સ્થિતવિદ્યુત સંતુલનમાં વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર હંમેશા શૂન્ય હોય છે $(E_{in} = 0)$। તેથી, વિધાન $(2)$ સાચું છે.
$(3)$ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ હંમેશા સમસ્થિતિમાન સપાટીને લંબ હોય છે। વાહકની સપાટી એ સમસ્થિતિમાન સપાટી હોવાથી, આ વિધાન સાચું છે। તેથી, વિધાન $(3)$ સાચું છે.
આમ, વિધાન $(2)$ અને $(3)$ સાચા છે.

(C) જ્યારે ગોળાઓને વાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભારનું વહન ત્યાં સુધી થાય છે જ્યાં સુધી તેમના સ્થિતિમાન સમાન ન થાય,એટલે કે $V_A = V_B$.
$V = \frac{kQ}{r}$ હોવાથી,$\frac{kQ_A}{r_A} = \frac{kQ_B}{r_B}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{r_A}{r_B}$.
ગોળીય સુવાહકની સપાટી પરનું વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \frac{kQ}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,વિદ્યુત ક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{E_A}{E_B} = \frac{kQ_A / r_A^2}{kQ_B / r_B^2} = \frac{Q_A}{Q_B} \times \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2$ થાય.
$\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{r_A}{r_B}$ મૂકતા,આપણને $\frac{E_A}{E_B} = \frac{r_A}{r_B} \times \frac{r_B^2}{r_A^2} = \frac{r_B}{r_A}$ મળે છે.
અહીં $r_A = 1\, mm$ અને $r_B = 2\, mm$ આપેલ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{E_A}{E_B} = \frac{2\, mm}{1\, mm} = 2 : 1$ થાય.

(C) જ્યારે કોઈ વાહકને વિદ્યુતભાર આપવામાં આવે છે,ત્યારે સમાન વિદ્યુતભારો વચ્ચેના સ્થિત-વિદ્યુત અપાકર્ષણને કારણે તે સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર જ રહે છે.
વાહકની અંદર,વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ શૂન્ય હોય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = -dV/dr$ છે,જો $E = 0$ હોય,તો વાહકના સમગ્ર કદમાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ હોવું જોઈએ.
તેથી,વાહકની અંદરના દરેક બિંદુએ અને તેની સપાટી પર સ્થિતિમાન સમાન હોય છે,જે વાહકને સમસ્થિતિમાન કદ બનાવે છે.

(C) જ્યારે બે વાહકોને તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના સ્થિતિમાન સમાન $(V_1 = V_2)$ ન થાય ત્યાં સુધી વિદ્યુતભારનું વહન થાય છે.
ગોળાકાર વાહકનું સ્થિતિમાન $V = \frac{kQ}{r}$ હોવાથી,અંતિમ વિદ્યુતભાર $Q_1'$ અને $Q_2'$ તેમની ત્રિજ્યાના પ્રમાણમાં હશે $(Q \propto r)$.
વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા $\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{4\pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$Q \propto r$ મૂકતા,આપણને $\sigma \propto \frac{r}{r^2} = \frac{1}{r}$ મળે છે.
આમ,$\sigma \propto \frac{1}{r}$ હોવાથી,મોટી ત્રિજ્યા $(20\, cm)$ ધરાવતા ગોળા પર નાની ત્રિજ્યા $(15\, cm)$ ધરાવતા ગોળાની સરખામણીમાં વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠ ઘનતા ઓછી હશે.

(A) જ્યારે બે વાહક ગોળાઓને તાર દ્વારા જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ત્યાં સુધી વહે છે જ્યાં સુધી તેમના વિદ્યુતસ્થિતિમાન સમાન ન થાય. ધારો કે ગોળાઓ $A$ અને $B$ પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર અનુક્રમે $q_1$ અને $q_2$ છે અને તેમની ત્રિજ્યાઓ $R_1 = 1 \, mm$ અને $R_2 = 2 \, mm$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_A = V_B$ થાય છે.
$V_A = \frac{k q_1}{R_1}$ અને $V_B = \frac{k q_2}{R_2}$.
$V_A = V_B$ હોવાથી,$\frac{k q_1}{R_1} = \frac{k q_2}{R_2} \implies \frac{q_1}{q_2} = \frac{R_1}{R_2}$.
ગોળાની સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્રની તીવ્રતા $E = \frac{k q}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{k q_1 / R_1^2}{k q_2 / R_2^2} = \left( \frac{q_1}{q_2} \right) \left( \frac{R_2^2}{R_1^2} \right)$ થશે.
$\frac{q_1}{q_2} = \frac{R_1}{R_2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{E_1}{E_2} = \left( \frac{R_1}{R_2} \right) \left( \frac{R_2^2}{R_1^2} \right) = \frac{R_2}{R_1}$ મળે છે.
અહીં $R_1 = 1 \, mm$ અને $R_2 = 2 \, mm$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \frac{2}{1} = 2:1$ થાય છે.

(A) જ્યારે બે વાહક ગોળાઓને સંપર્કમાં લાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના સ્થિતિમાન સમાન ન થાય ત્યાં સુધી વિદ્યુતભારનું વહન થાય છે.
ધારો કે ત્રિજ્યાઓ $R_1 = 10 \ cm$ અને $R_2 = 20 \ cm$ છે.
સ્થિતિમાન સમાન હોવાથી,$V_1 = V_2 \implies \frac{kQ_1}{R_1} = \frac{kQ_2}{R_2}$.
આનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતભારનો ગુણોત્તર $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{R_1}{R_2}$ છે.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{Q_1}{4\pi R_1^2} \times \frac{4\pi R_2^2}{Q_2} = \frac{Q_1}{Q_2} \times \frac{R_2^2}{R_1^2}$ થશે.
$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{R_1}{R_2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{R_1}{R_2} \times \frac{R_2^2}{R_1^2} = \frac{R_2}{R_1}$ મળે છે.
અહીં $R_1 = 10 \ cm$ અને $R_2 = 20 \ cm$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{20}{10} = 2 : 1$ થશે.

(B) જ્યારે બે વાહકોને સુવાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ સમાન વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત કરે છે.
ધારો કે ગોળા $A$ અને $B$ પરના વિદ્યુતભારો અનુક્રમે $Q_1$ અને $Q_2$ છે.
ગોળાની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V = k \cdot (Q/R)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિતિમાન સમાન હોવાથી,$k \cdot (Q_1 / R_1) = k \cdot (Q_2 / R_2)$,જેનો અર્થ છે કે $Q_1 / Q_2 = R_1 / R_2$.
ગોળાની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = k \cdot (Q / R^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રોનો ગુણોત્તર $E_1 / E_2 = (Q_1 / R_1^2) / (Q_2 / R_2^2) = (Q_1 / Q_2) \cdot (R_2^2 / R_1^2)$ થશે.
$Q_1 / Q_2 = R_1 / R_2$ કિંમત મૂકતા,આપણને $E_1 / E_2 = (R_1 / R_2) \cdot (R_2^2 / R_1^2) = R_2 / R_1$ મળે છે.

(D) ગોલીય કવચ માટે,અંદરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ અચળ હોય છે અને તે સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે. જો કવચને બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે,તો કવચની સપાટી પર વિદ્યુતભારો પ્રેરિત થાય છે. આ પ્રેરિત વિદ્યુતભારો કવચની અંદર એક એવું વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે જે બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રને સંપૂર્ણપણે નાબૂદ કરે છે,જેના પરિણામે વાહકની અંદર ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય થાય છે (સ્થિત-વિદ્યુત શીલ્ડિંગ). જોકે,પ્રેરિત વિદ્યુતભારો પોતે કવચની અંદરના વિદ્યુત સ્થિતિમાનમાં ફાળો આપે છે. કવચની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ પ્રેરિત વિદ્યુતભારોને કારણે સ્થિતિમાન હંમેશા શૂન્ય હોવું જરૂરી નથી; તે એવું હોય છે કે જે અંદરના કુલ સ્થિતિમાનને અચળ રાખે છે. તેથી,વિધાન $C$ ખોટું છે. વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે જો બાહ્ય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે તો તટસ્થ હોવા છતાં કવચનું સ્થિતિમાન શૂન્ય ન પણ હોય. વિધાન $B$ ખોટું છે કારણ કે વાહક કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર સ્થિત-વિદ્યુત સંતુલનને કારણે શૂન્ય હોય છે,પછી ભલે વિદ્યુતભારનું વિતરણ સમાન હોય કે અસમાન. તેથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(D) વાહકના મૂળભૂત ગુણધર્મો પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે વાહકને આપવામાં આવેલ કોઈપણ વીજભાર સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર રહે છે.
જ્યારે વાહક સ્થિત-વિદ્યુત સંતુલનમાં હોય,ત્યારે વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે આખો વાહક એક સમસ્થિતિમાન કદ છે.
તેથી,વાહકના તમામ બિંદુઓ (સપાટી સહિત) સમાન સ્થિતિમાન ધરાવતા હોવા જોઈએ.
વાહકનો આકાર અનિયમિત હોવાથી,સપાટી પરની વીજભાર ઘનતા $\sigma$ સમાન હોતી નથી અને તે સપાટીના સ્થાનિક વળાંક પર આધાર રાખે છે.
આમ,વિધાન $A$ અને $B$ સાચા છે,જ્યારે વિધાન $C$ ખોટું છે.

(C) વાહક ગોળા માટે, વાહકના દ્રવ્યની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે।
કારણ કે $E = -\frac{dV}{dr} = 0$, તેથી વાહકના સમગ્ર કદમાં સ્થિતિમાન $V$ અચળ હોવું જોઈએ।
તેથી, અંદરની સપાટી (ત્રિજ્યા $a$) અને બહારની સપાટી (ત્રિજ્યા $b$) પરનું સ્થિતિમાન સમાન હોવું જોઈએ।
ગોળા પરના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાન $V$ ની ગણતરી કરીએ।
અંદરની સપાટીનો વિદ્યુતભાર $q_{in} = -\sigma(4\pi a^2)$ અને બહારની સપાટીનો વિદ્યુતભાર $q_{out} = \sigma(4\pi b^2)$ ને કારણે $r$ અંતરે $(a \le r \le b)$ સ્થિતિમાન:
$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q_{in}}{r} + \frac{q_{out}}{b} \right]$
$V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{-\sigma(4\pi a^2)}{r} + \frac{\sigma(4\pi b^2)}{b} \right] = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (b - \frac{a^2}{r})$.
બહારની સપાટી પર $(r=b)$, $V = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (b - \frac{a^2}{b}) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 b} (b^2 - a^2)$.
જો કે, વાહકના સંદર્ભમાં, સ્થિતિમાન સમાન હોય છે। તેથી, બંને સપાટીઓ સમાન સ્થિતિમાન ધરાવે છે। આમ, વિકલ્પ $C$ સાચો છે।

(A) જ્યારે વાહક ગોલકને અર્થિંગ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું સ્થિતિમાન શૂન્ય થઈ જાય છે.
આખા વાહકનું સ્થિતિમાન સમાન હોવું જોઈએ,તેથી આખા ગોલકનું સ્થિતિમાન શૂન્ય થઈ જાય છે.
ધારો કે $q_{in} = -4\pi a^2 \sigma$ એ અંદરની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર છે અને $q_{out} = 4\pi b^2 \sigma'$ એ બહારની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર છે.
ગોલકની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left( \frac{q_{in}}{b} + \frac{q_{out}}{b} \right) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $q_{in} + q_{out} = 0$,તેથી $q_{out} = -q_{in}$.
$q_{in}$ ઋણ હોવાથી,$q_{out}$ ધન હોવો જોઈએ.
જો ગોલક શરૂઆતમાં એવી રીતે વિદ્યુતભારીત હોય કે $q_{out} \neq -q_{in}$,તો તેને અર્થિંગ કરવાથી પૃથ્વીમાંથી બહારની સપાટી પર વિદ્યુતભાર વહે છે જ્યાં સુધી કુલ સ્થિતિમાન શૂન્ય ન થાય.
આમ,બહારની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q_{out} = -q_{in} = 4\pi a^2 \sigma$ થાય છે.
આખા વાહકનું સ્થિતિમાન શૂન્ય હોવાથી,બહારની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર હવે પ્રારંભિક $\sigma'$ દ્વારા નક્કી થતો નથી,પરંતુ કુલ સ્થિતિમાન શૂન્ય હોવાની શરત દ્વારા નક્કી થાય છે.
તેથી,બહારની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $4\pi a^2 \sigma$ થાય છે,જે ધન છે.
આમ,આખા ગોલકનું સ્થિતિમાન શૂન્ય થઈ જાય છે અને બહારની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર અંદરના વિદ્યુતભારની અસરને તટસ્થ કરવા માટે બદલાય છે.

(C) જ્યારે બે વાહકોને વાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના સ્થિતિમાન સમાન ન થાય ત્યાં સુધી વીજભાર વહે છે. તેથી,$V_A = V_B$.
સ્થિતિમાનના સૂત્ર $V = \frac{KQ}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{KQ_A}{r_A} = \frac{KQ_B}{r_B}$
$\Rightarrow \frac{Q_A}{r_A} = \frac{Q_B}{r_B} \Rightarrow \frac{Q_A}{Q_B} = \frac{r_A}{r_B}$
ગોલીય વાહકની સપાટી પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{KQ}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રો $E_A$ અને $E_B$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{E_A}{E_B} = \frac{K Q_A / r_A^2}{K Q_B / r_B^2} = \frac{Q_A}{Q_B} \times \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2$
સમીકરણમાં $\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{r_A}{r_B}$ મૂકતા:
$\frac{E_A}{E_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right) \times \left( \frac{r_B}{r_A} \right)^2 = \frac{r_B}{r_A}$
અહીં $r_A = 1 \ mm$ અને $r_B = 2 \ mm$ આપેલ છે:
$\frac{E_A}{E_B} = \frac{2 \ mm}{1 \ mm} = \frac{2}{1} = 2 : 1$
ગોળાઓ વચ્ચેનું અંતર તેમના વ્યાસની સરખામણીમાં ઘણું મોટું હોવાથી,પ્રેરિત અસરોને અવગણી શકાય છે.

(A) જ્યારે ધાતુના સળિયાને ડાબેથી જમણે દિશામાં સમાન બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ માં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે ધાતુમાં રહેલા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુતક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં (એટલે કે ડાબા છેડા $A$ તરફ) બળ અનુભવે છે.
પરિણામે,ઋણ વીજભાર છેડા $A$ પર એકઠા થાય છે અને ધન વીજભાર છેડા $B$ પર રહે છે.
આ વીજભારનું અલગીકરણ સળિયાની અંદર એક પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_{in}$ ઉત્પન્ન કરે છે,જે ધન છેડા $B$ થી ઋણ છેડા $A$ તરફ હોય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ એ છે કે સળિયાની અંદર $B$ થી $A$ તરફ પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર હશે.

(D) સ્થિતવિદ્યુત સંતુલનમાં રહેલા વાહક પદાર્થ માટે,વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે વાહકના સમગ્ર કદમાં સ્થિતિમાન અચળ રહે છે.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ વાહક ગોળાના દ્રવ્યની અંદર આવેલા છે,તેથી $V_A = V_B$ થાય.
વધુમાં,જો પોલાણની અંદર કોઈ વિદ્યુતભાર ન હોય તો પોલા વાહકની અંદરના ભાગમાં વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = -dV/dr = 0$ છે,તેથી સ્થિતિમાન $V$ સમગ્ર પોલાણમાં અચળ હોવું જોઈએ અને તે વાહકની આંતરિક સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
આમ,$O, C, A$ અને $B$ તમામ બિંદુઓ પર સ્થિતિમાન સમાન છે,એટલે કે $V_O = V_C = V_A = V_B$.

(A) ધારો કે વાહક કવચ પરનો કુલ વધારાનો વિદ્યુતભાર $q$ છે।
કેન્દ્રમાં રહેલા $+Q$ વિદ્યુતભારને કારણે,કવચની આંતરિક સપાટી પર $-Q$ જેટલો પ્રેરિત વિદ્યુતભાર ઉત્પન્ન થાય છે।
આંતરિક સપાટી પરની વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_{in} = \frac{-Q}{4 \pi a^2}$ છે।
કવચ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ હોવાથી,બાહ્ય સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q_{out} = q - (-Q) = q + Q$ થશે।
બાહ્ય સપાટી પરની વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_{out} = \frac{q + Q}{4 \pi (2a)^2} = \frac{q + Q}{16 \pi a^2}$ છે।
વિદ્યુતભાર ઘનતા સમાન હોવા માટે,આપણે $\sigma_{in} = \sigma_{out}$ લઈએ:
$\frac{-Q}{4 \pi a^2} = \frac{q + Q}{16 \pi a^2}$
$-Q = \frac{q + Q}{4}$
$-4Q = q + Q$
$q = -5Q$.

(D) જ્યારે કોઈ વાહકની પોલાણમાં $q$ વિદ્યુતભાર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે પોલાણની અંદરની સપાટી પર $-q$ વિદ્યુતભાર અને વાહકની બહારની સપાટી પર $+q$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત કરે છે.
વાહક વિદ્યુતભારરહિત હોવાથી,બહારની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $+q$ રહે છે.
જો વાહક ગોળીય હોય,તો પોલાણની અંદર $q$ વિદ્યુતભારનું સ્થાન ગમે તે હોય,બહારની સપાટી પરનો આ પ્રેરિત $+q$ વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાયેલો રહે છે.
વાહકની બહારના કોઈપણ બિંદુ $S$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર બહારની સપાટી પરના આ કુલ પ્રેરિત $+q$ વિદ્યુતભારને કારણે હોય છે.
જ્યારે આંતરિક વિદ્યુતભાર $q$ ને પોલાણની અંદર ખસેડવામાં આવે છે ત્યારે બહારની સપાટી પરના $+q$ વિદ્યુતભારનું વિતરણ બદલાતું નથી,તેથી બિંદુ $S$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર બદલાતું નથી.

(D) ભારિત વાહકની સપાટી પરનું સ્થિત વિદ્યુત દબાણ $P = \frac{\sigma^2}{2\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે.
$R$ ત્રિજ્યાના ગોળા પર કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ હોવાથી,પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ છે.
તેથી,દબાણ $P = \frac{1}{2\epsilon_0} \left( \frac{Q}{4\pi R^2} \right)^2 = \frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4}$ છે.
બે ભાગોને એકસાથે પકડી રાખવા માટે જરૂરી બળ એ આડછેદના સમતલને લંબ દબાણના ઘટકનું સંકલન છે. આ દબાણ અને આડછેદના ક્ષેત્રફળના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
સમતલ દ્વારા બનતા વર્તુળાકાર આડછેદની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{R^2 - h^2}$ છે.
આ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi(R^2 - h^2)$ છે.
કુલ બળ $F = P \times A = \left( \frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4} \right) \times \pi(R^2 - h^2) = \frac{Q^2(R^2 - h^2)}{32\pi \epsilon_0 R^4}$.

(C) $1$. ધારો કે આંતરિક કવચ $A$ પરનો વિદ્યુતભાર $+Q$ છે. પ્રેરણને કારણે,કવચ $B$ ની આંતરિક સપાટી પર $-Q$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થાય છે.
$2$. કવચ $B$ અર્થિંગ કરેલ હોવાથી,તેનું સ્થિતિમાન શૂન્ય છે. $B$ પરનું સ્થિતિમાન $A$ પરના વિદ્યુતભાર અને $B$ પરના પોતાના વિદ્યુતભારને કારણે છે. અર્થિંગને કારણે,બહારની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર શૂન્ય થઈ જાય છે,અને $B$ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $-Q$ રહે છે.
$3$. $A$ ની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર $(r < r_A)$: ગૌસના નિયમ મુજબ,$E = 0$ કારણ કે ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે.
$4$. $A$ અને $B$ ની વચ્ચે વિદ્યુતક્ષેત્ર $(r_A < r < r_B)$: $E = kQ/r^2$,જે શૂન્ય નથી.
$5$. $B$ ની બહાર વિદ્યુતક્ષેત્ર $(r > r_B)$: કવચ $B$ અર્થિંગ કરેલ હોવાથી,બહારની સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે. તેથી,$E = 0$.
$6$. વિકલ્પો સાથે સરખાવતા: વિકલ્પ $C$ સાચો છે કારણ કે $A$ અને $B$ ની વચ્ચે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય નથી.

(D) $1$. પોલાણની અંદરનો વિદ્યુતભાર $+q_1$ એ પોલાણની અંદરની સપાટી પર $-q_1$ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત કરે છે. કારણ કે $+q_1$ કેન્દ્ર પર નથી,તેથી આ પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $-q_1$ અંદરની સપાટી પર સમાન રીતે વહેંચાયેલ નથી.
$2$. અંદરની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $-q_1$ છે. આ પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $-q_1$ દ્વારા ગોળાની બહારના કોઈપણ બિંદુએ ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર,ગોળાના કેન્દ્ર પર મૂકવામાં આવેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $-q_1$ ના ક્ષેત્રને સમાન હોય છે.
$3$. વિદ્યુતભાર $+q_2$ ગોળાની બહાર છે. $+q_2$ ના સ્થાન પર કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ $+q_1$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર,અંદરની સપાટી પરના પ્રેરિત $-q_1$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર અને બહારની સપાટી પર પ્રેરિત વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રનો સરવાળો છે.
$4$. જોકે,સ્થિત-વિદ્યુત શીલ્ડિંગ (electrostatic shielding) ને કારણે,પોલાણની અંદરના વિદ્યુતભારો (એટલે કે $+q_1$ અને અંદરની સપાટી પરનો પ્રેરિત $-q_1$) દ્વારા ગોળાની બહારના કોઈપણ બિંદુએ ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
$5$. તેથી,અંદરની સપાટી પરના પ્રેરિત વિદ્યુતભારને કારણે $+q_2$ પર લાગતું બળ શૂન્ય છે.

(C) ધારો કે અંદરના કવચની ત્રિજ્યા $R$ અને બહારના કવચની ત્રિજ્યા $2R$ છે.
કવચને જોડતા પહેલા:
અંદરના કવચનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{\text{inner}} = \frac{kQ}{R} + \frac{k(0)}{2R} = \frac{kQ}{R}$ છે.
બહારના કવચનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V_{\text{outer}} = \frac{kQ}{2R} + \frac{k(0)}{2R} = \frac{kQ}{2R}$ છે.
વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = V_{\text{inner}} - V_{\text{outer}} = \frac{kQ}{R} - \frac{kQ}{2R} = \frac{kQ}{2R}$ છે.
આમ,$V = \frac{kQ}{2R}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{kQ}{R} = 2V$.
જ્યારે કવચને ધાતુના તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર $Q$ અંદરના કવચમાંથી બહારના કવચ પર વહે છે જ્યાં સુધી બંને કવચ સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાન પ્રાપ્ત ન કરે. કારણ કે બહારનું કવચ હવે અંદરના કવચ સાથે જોડાયેલું છે,તેથી સંપૂર્ણ વિદ્યુતભાર $Q$ બહારના કવચની બહારની સપાટી પર રહે છે.
અંદરના કવચનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન (જે હવે બહારના કવચના વિદ્યુતસ્થિતિમાન જેટલું જ છે) $V' = \frac{kQ}{2R}$ છે.
કારણ કે $V = \frac{kQ}{2R}$,તેથી અંદરના કવચનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V' = V$ થશે.

(B) ધારો કે મોટા ગોળાની ત્રિજ્યા $R$ અને પ્રારંભિક વીજભાર $Q$ છે. નાના ગોળાઓની ત્રિજ્યા $r$ છે.
જ્યારે પ્રથમ ગોળાને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે મોટા ગોળા અને નાના ગોળાનું સ્થિતિમાન સમાન હોવું જોઈએ. ધારો કે મોટા ગોળા પરનો નવો વીજભાર $Q'$ અને નાના ગોળા પર $q_1$ છે. ગોળાઓ એકબીજાથી દૂર હોવાથી,આપણે બીજા ગોળાને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનને અવગણી શકીએ: $\frac{q_1}{r} = \frac{Q'}{R}$.
વીજભારના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$q_1 + Q' = Q$.
$Q' = Q - q_1$ મૂકતા,આપણને $\frac{q_1}{r} = \frac{Q - q_1}{R}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $q_1 = \frac{Q r}{R + r}$ થાય છે.
મોટા ગોળા પર બાકી રહેલો વીજભાર $Q' = Q - q_1 = Q - \frac{Q r}{R + r} = \frac{Q R}{R + r}$ છે.
જ્યારે બીજા ગોળાને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે મોટા ગોળા પર $Q'$ વીજભાર છે. ધારો કે મોટા ગોળા પરનો નવો વીજભાર $Q''$ અને બીજા ગોળા પર $q_2$ છે. તેથી $\frac{q_2}{r} = \frac{Q''}{R}$ અને $q_2 + Q'' = Q'$.
આને ઉકેલતા $q_2 = \frac{Q' r}{R + r} = \frac{Q R r}{(R + r)^2}$ મળે છે.
મોટા ગોળા પર બાકી રહેલો વીજભાર $Q'' = Q' - q_2 = Q' - \frac{Q' r}{R + r} = \frac{Q' R}{R + r} = \frac{Q R^2}{(R + r)^2}$ છે.
જ્યારે ત્રીજા ગોળાને જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રાપ્ત થતો વીજભાર $q_3 = \frac{Q'' r}{R + r} = \frac{Q R^2 r}{(R + r)^3}$ છે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{q_2^2}{q_1} = \frac{[\frac{Q R r}{(R + r)^2}]^2}{\frac{Q r}{R + r}} = \frac{Q^2 R^2 r^2}{(R + r)^4} \cdot \frac{R + r}{Q r} = \frac{Q R r}{(R + r)^3} = q_3$ થાય છે.

(B) તંત્રની પ્રારંભિક સ્થિતિ ઉર્જા $(U_i)$:
$U_i = U_{\text{sphere}} + U_{\text{shell}} + U_{\text{interaction}}$
$U_i = \frac{KQ^2}{2a} + \frac{KQ^2}{2(2a)} + \frac{KQ \cdot Q}{2a} = \frac{KQ^2}{2a} + \frac{KQ^2}{4a} + \frac{KQ^2}{2a} = \frac{5KQ^2}{4a}$
જ્યારે તેમને જોડવામાં આવે છે, ત્યારે કુલ વિદ્યુતભાર $2Q$ બહારના કવચ પર જમા થાય છે કારણ કે અંદરનો ગોળો ઉચ્ચ સ્થિતિમાન પર હોય છે।
તંત્રની અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $(U_f)$:
$U_f = \frac{K(2Q)^2}{2(2a)} = \frac{4KQ^2}{4a} = \frac{KQ^2}{a}$
ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $(H)$ = $U_i - U_f$
$H = \frac{5KQ^2}{4a} - \frac{KQ^2}{a} = \frac{KQ^2}{4a}$

(A) ધારો કે આંતરિક સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q_{in}$ છે અને બાહ્ય સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q_{out}$ છે.
કેન્દ્રમાં રહેલા $+Q$ બિંદુવત વિદ્યુતભારને કારણે, આંતરિક સપાટી પર પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $q_{in} = -Q$ થશે.
આંતરિક સપાટી પરની વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_{in} = \frac{-Q}{4 \pi a^2}$ છે.
ધારો કે કવચ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q_{shell}$ છે. તેથી $q_{shell} = q_{in} + q_{out}$, એટલે કે $q_{out} = q_{shell} - q_{in} = q_{shell} + Q$.
બાહ્ય સપાટી પરની વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_{out} = \frac{q_{shell} + Q}{4 \pi (2a)^2} = \frac{q_{shell} + Q}{16 \pi a^2}$ છે.
વિદ્યુતભાર ઘનતા સમાન હોવા માટે, $\sigma_{in} = \sigma_{out}$:
$\frac{-Q}{4 \pi a^2} = \frac{q_{shell} + Q}{16 \pi a^2}$.
$-Q = \frac{q_{shell} + Q}{4}$.
$-4Q = q_{shell} + Q$.
$q_{shell} = -5Q$.

(D) શેલ પ્રમેય અને સ્થિર વિદ્યુત સંતુલનમાં રહેલા વાહકોના ગુણધર્મો અનુસાર,સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત ગોળાકાર કવચની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
જો બાહ્ય વિદ્યુતભાર $q'$ ની હાજરીને કારણે કવચ પરનો વિદ્યુતભાર સમાન રીતે વહેંચાયેલ ન હોય તો પણ,કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ એવી રીતે પુનઃવિતરિત થશે કે જેથી તેની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ કવચ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય રહે.
કેન્દ્ર પર કવચને કારણે વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,કેન્દ્ર પરના વિદ્યુતભાર $q$ પર કવચ દ્વારા લાગતું બળ $F = qE = q(0) = 0$ થશે.

(D) $1$. વ્યાખ્યા મુજબ,અર્થિંગ કરેલા વાહકનું સ્થિતિમાન હંમેશા $0 \ V$ હોય છે. તેથી,વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$2$. જ્યારે એક ભારિત પદાર્થ $A$ ને બીજા વાહક $B$ ની નજીક રાખવામાં આવે છે,ત્યારે $A$ નું વિદ્યુતક્ષેત્ર $B$ પર વિદ્યુતભારો પ્રેરિત કરે છે. $A$ ના વિદ્યુતક્ષેત્રની હાજરીને કારણે,$A$ પરનો વિદ્યુતભાર $B$ ની સામેની બાજુ તરફ આકર્ષાય છે,જેના કારણે $A$ પરનું વિદ્યુતભારનું વિતરણ અસમાન બને છે. તેથી,વિધાન $(D)$ સાચું છે.
$3$. આમ,વિધાન $(B)$ અને $(D)$ સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) ધારો કે ચાર પ્લેટો પરના વિદ્યુતભાર $Q_1 = Q$, $Q_2 = 2Q$, $Q_3 = -3Q$, અને $Q_4 = -4Q$ છે।
જ્યારે પ્લેટો અલગ હોય, ત્યારે બહારની સપાટીઓ પરનો વિદ્યુતભાર $(Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4)/2 = (Q + 2Q - 3Q - 4Q)/2 = -2Q$ થાય છે।
આમ, પ્રથમ પ્લેટની બહારની સપાટી પર $-2Q$ અને ચોથી પ્લેટની બહારની સપાટી પર $-2Q$ વિદ્યુતભાર છે।
પરિણામે, પ્રથમ પ્લેટની અંદરની સપાટી પર $Q - (-2Q) = 3Q$ વિદ્યુતભાર છે।
પ્લેટો ધાતુની હોવાથી, બીજી પ્લેટની અંદરની સપાટી પર $-3Q$ વિદ્યુતભાર હોવો જોઈએ।
બીજી પ્લેટ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $2Q$ છે, તેથી તેની બહારની સપાટી પર $2Q - (-3Q) = 5Q$ વિદ્યુતભાર છે।
તે જ રીતે, ત્રીજી પ્લેટની અંદરની સપાટી પર $-5Q$ વિદ્યુતભાર છે।
ત્રીજી પ્લેટ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $-3Q$ છે, તેથી તેની બહારની સપાટી પર $-3Q - (-5Q) = 2Q$ વિદ્યુતભાર છે।
જ્યારે વચ્ચેની બે પ્લેટોને તાર વડે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે તેઓ સમાન સ્થિતિમાન પ્રાપ્ત કરે છે।
જોડાણ પહેલાં, બીજી પ્લેટની જમણી સપાટી પર $5Q$ અને ત્રીજી પ્લેટની ડાબી સપાટી પર $-5Q$ વિદ્યુતભાર છે।
જ્યારે તેમને જોડવામાં આવે છે, ત્યારે આ વિદ્યુતભારો તટસ્થ થઈ જાય છે। તેથી, $5Q$ જેટલો વિદ્યુતભાર $A$ થી $B$ તરફ વહેશે।

(D) પોલો વાહક ગોળો એ સમસ્થિતિમાન કદ તરીકે વર્તે છે.
વાહકનો સમગ્ર પદાર્થ સમાન સ્થિતિમાન પર હોવાથી,સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુ ($A$ અને $B$) અને પોલાણની અંદરના કોઈપણ બિંદુ $(C)$ પરનું સ્થિતિમાન સમાન હોવું જોઈએ.
તેથી,$V_A = V_B = V_C$.

(D) વાહક એક સમસ્થિતિમાન પદાર્થ છે. વાહકની અંદર અથવા તેની સપાટી પરના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાન તેના કેન્દ્ર પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
ધારો કે $V_c$ એ વાહકના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન છે. કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન બાહ્ય વિદ્યુતભાર $q$ અને વાહકની સપાટી પરના પ્રેરિત વિદ્યુતભારોને કારણે હોય છે.
કેન્દ્રનું વિદ્યુતભાર $q$ થી અંતર $(d+R)$ છે.
વાહક તટસ્થ હોવાથી,તેના પરનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય છે. વાહકનું સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે બાહ્ય વિદ્યુતભાર $q$ ને કારણે કેન્દ્ર પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે,જે $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{(d+R)}$ છે.
હવે,બિંદુ $B$ (સપાટી પર) પરનું સ્થિતિમાન ધ્યાનમાં લો. $V_B = V_{q,B} + V_{ind,B} = V_{conductor}$.
$V_{q,B} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{d}$.
તેથી,$V_{ind,B} = V_{conductor} - V_{q,B} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{d+R} - \frac{q}{d} \right) = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{d - (d+R)}{d(d+R)} \right) = \frac{-qR}{4\pi \varepsilon_0 d(d+R)}$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) સ્થિત-વિદ્યુત પ્રેરણના સિદ્ધાંત મુજબ,જ્યારે $+Q$ અને $-Q$ વિદ્યુતભારોને તટસ્થ વાહક ગોળાકાર કવચના પોલાણમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે કવચના દ્રવ્યની અંદર દોરેલી ગાઉસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{net} = (+Q) + (-Q) = 0$ થાય છે.
ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવાથી,આંતરિક સપાટી પરનો કુલ પ્રેરિત વિદ્યુતભાર $Q_1 = 0$ હોવો જોઈએ. વિદ્યુતભારો અસમપ્રમાણ રીતે મૂકવામાં આવ્યા હોવાથી,આંતરિક સપાટી પર વિદ્યુતભારનું વિતરણ અસમાન છે,જેનો અર્થ છે કે પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_1 \neq 0$ છે.
બાહ્ય સપાટી માટે,કવચ તટસ્થ હોવાથી અને પોલાણની અંદરનો કુલ વિદ્યુતભાર શૂન્ય હોવાથી,બાહ્ય સપાટી પર કોઈ વિદ્યુતભાર પ્રેરિત થતો નથી. તેથી,બાહ્ય સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_2 = 0$ અને પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma_2 = 0$ છે.

(C) ગોળાના કેન્દ્ર પરનું સ્થિતિમાન ઉગમબિંદુ પરના બિંદુવત વિદ્યુતભારને કારણે છે. ગોળો વાહક હોવાથી,તેના સમગ્ર કદમાં સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે તેના કેન્દ્ર પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે.
$V = \frac{kq}{r} = \frac{9 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-2}} = 2.25 \times 10^5\,V$.
વાહકની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે. જોકે,પ્રશ્નમાં કેન્દ્ર પર પ્રેરિત વિદ્યુતક્ષેત્ર પૂછવામાં આવ્યું છે. કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર એ બિંદુવત વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર $(E_{ext})$ અને ગોળાની સપાટી પરના પ્રેરિત વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર $(E_{ind})$ નો સરવાળો છે.
વાહકની અંદર ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,$E_{net} = E_{ext} + E_{ind} = 0$.
$E_{ext} = \frac{kq}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 1 \times 10^{-6}}{(4 \times 10^{-2})^2} = 5.625 \times 10^6\,V/m$ (ઉગમબિંદુથી દૂરની દિશામાં).
તેથી,$E_{ind} = -E_{ext} = -5.625 \times 10^6\,V/m$.

(A) જ્યારે એક વીજભારરહિત વાહકને ધન વીજભારિત વાહકની નજીક મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થિત-વિદ્યુત પ્રેરણ (electrostatic induction) થાય છે.
પ્રેરણને કારણે,ધન વીજભારિત પદાર્થની નજીકની બાજુ પર ઋણ વીજભાર અને દૂરની બાજુ પર ધન વીજભાર પ્રેરિત થાય છે.
વીજભારરહિત વાહક પર અથવા તેની અંદરના કોઈપણ બિંદુએ સ્થિતિમાન એ બાહ્ય ધન વીજભારિત વાહક અને પ્રેરિત વીજભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે.
વીજભારરહિત વાહક ધન વીજભારની નજીક હોવાથી,તેનું સ્થિતિમાન ધન હોય છે પરંતુ તે ધન વીજભારિત વાહકના સ્થિતિમાન કરતા ઓછું હોય છે.
જેમ આપણે અનંત અંતર તરફ જઈએ છીએ,તેમ તંત્રનું સ્થિતિમાન $0$ ની નજીક પહોંચે છે.
તેથી,વીજભારરહિત પદાર્થનું સ્થિતિમાન ધન વીજભારિત વાહક કરતા ઓછું અને અનંત અંતરના સ્થિતિમાન (જે $0$ છે) કરતા વધારે હોય છે.

(A) વિદ્યુતભારોના તંત્રની સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} \sum q_i V_i$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વાહક માટે,વિદ્યુતભારો પરસ્પર અપાકર્ષણ અનુભવે છે.
તંત્રની કુલ સ્થિત-વિદ્યુત સ્થિતિ ઊર્જાને ન્યૂનતમ કરવા માટે,વિદ્યુતભારો એકબીજાથી શક્ય તેટલા દૂર જાય છે.
આ સ્થિતિ ત્યારે પ્રાપ્ત થાય છે જ્યારે વિદ્યુતભારો વાહકની બહારની સપાટી પર રહે છે.
તેથી,મુક્ત વિદ્યુતભાર તેની ન્યૂનતમ સ્થિતિ ઊર્જાની સ્થિતિમાં રહેવાનું વલણ ધરાવે છે.

(B) $R$ ત્રિજ્યા અને $Q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા ગોળાકાર વાહકની સપાટી પરનું સ્થિતિમાન $V = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $R_1$ અને $R_2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે ગોળા પરના વિદ્યુતભાર અનુક્રમે $Q_1$ અને $Q_2$ છે.
જ્યારે આ બે ગોળાકાર વાહકોને તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેમના સ્થિતિમાન સમાન ન થાય ત્યાં સુધી વિદ્યુતભારનું વહન થાય છે,એટલે કે $V_1 = V_2$.
પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{Q}{4 \pi R^2}$ હોવાથી,$Q = \sigma \cdot 4 \pi R^2$ થાય.
આ કિંમત સ્થિતિમાનના સૂત્રમાં મૂકતા: $V = \frac{\sigma \cdot 4 \pi R^2}{4 \pi \varepsilon_0 R} = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0}$.
બંનેના સ્થિતિમાનને સરખાવતા: $\frac{\sigma_1 R_1}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma_2 R_2}{\varepsilon_0}$.
તેથી,પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{R_2}{R_1}$ મળે છે.

(B) ધારો કે ડાબી અને જમણી પ્લેટની બહારની સપાટીઓ પરના વિદ્યુતભારો અનુક્રમે $q_1$ અને $q_2$ છે. સમાંતર પ્લેટોની સિસ્ટમ માટે,સૌથી બહારની સપાટીઓ પરનો વિદ્યુતભાર $q_{outer} = \frac{q_{total}}{2} = \frac{q + 0 + (-2q)}{2} = -\frac{q}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,ડાબી પ્લેટની ડાબી સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $-q/2$ છે અને જમણી પ્લેટની જમણી સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $-q/2$ છે.
ડાબી પ્લેટ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $+q$ હોવાથી,તેની જમણી સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $q - (-q/2) = +3q/2$ થશે.
જમણી પ્લેટ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $-2q$ હોવાથી,તેની ડાબી સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $-2q - (-q/2) = -3q/2$ થશે.
જ્યારે સ્વીચ $S$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે મધ્યની પ્લેટ અર્થિંગ (grounded) કરવામાં આવે છે,તેથી તેનું સ્થિતિમાન શૂન્ય થઈ જાય છે. ધારો કે મધ્યની પ્લેટ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_c$ છે. મધ્યની પ્લેટની અંદર વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોવું જોઈએ. નજીકની પ્લેટોની સામસામેની સપાટીઓ પરના વિદ્યુતભારોનો સરવાળો શૂન્ય હોય છે,તે ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,મધ્યની પ્લેટની ડાબી સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $-3q/2$ અને જમણી સપાટી પરનો વિદ્યુતભાર $+3q/2$ હશે.
મધ્યની પ્લેટ પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q_c = (-3q/2) + (+3q/2) = 0$ થાય છે. પરંતુ,સ્થિતિમાન શૂન્ય થવા માટે,અંતિમ વિદ્યુતભાર $Q_c = -q$ મળે છે. આમ,સ્વીચમાંથી વહેતો વિદ્યુતભાર $-q$ છે.