Electric Field Questions in Hindi

(C) मान लीजिए कि समषट्भुज की भुजा की लंबाई $a$ है। किसी भी शीर्ष से केंद्र की दूरी $a$ है।
$1$. विपरीत शीर्षों पर रखे गए दो $+Q$ आवेशों पर विचार करें। प्रत्येक द्वारा केंद्र पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र परिमाण में समान $(E = \frac{kQ}{a^2})$ लेकिन दिशा में विपरीत है। अतः,वे एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
$2$. अब दो $-Q$ आवेशों पर विचार करें। प्रत्येक केंद्र पर $\frac{kQ}{a^2}$ परिमाण का विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है,जो संबंधित आवेश की दिशा में होता है। इन दो क्षेत्र सदिशों के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
$3$. परिणामी विद्युत क्षेत्र $E_R$ सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है:
$E_R = \sqrt{E^2 + E^2 + 2E^2 \cos 60^{\circ}}$
$E_R = \sqrt{2E^2 + 2E^2(0.5)} = \sqrt{3E^2} = E\sqrt{3}$
$4$. $E = \frac{kQ}{a^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E_R = \frac{kQ\sqrt{3}}{a^2}$

(C) एक चालक गोले के केंद्र से $r$ दूरी पर ($r > R$ होने पर) विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{kq}{r^2}$ है,जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2 \cdot C^{-2}$ है।
दिया गया है: $r = 20 \, cm = 0.2 \, m$.
विद्युत क्षेत्र त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर है,जिसका अर्थ है कि आवेश $q$ ऋणात्मक है। अतः,$E = -1.2 \times 10^3 \, N \cdot C^{-1}$.
$q$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $q = \frac{E \cdot r^2}{k}$.
मान रखने पर: $q = \frac{(-1.2 \times 10^3) \times (0.2)^2}{9 \times 10^9}$.
$q = \frac{-1.2 \times 10^3 \times 0.04}{9 \times 10^9} = \frac{-0.048 \times 10^3}{9 \times 10^9} = -0.00533 \times 10^{-6} \, C$.
$q \approx -5.3 \times 10^{-9} \, C$.

(B) एक नियमित षट्कोण के लिए,यदि विकर्ण रूप से विपरीत शीर्षों पर आवेश समान हैं,तो केंद्र पर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
स्थिति $(I)$ में,सभी आवेश $q$ हैं,इसलिए केंद्र पर क्षेत्र शून्य है।
स्थिति $(II)$ में,विकर्ण रूप से विपरीत शीर्षों पर आवेश $(q, -q)$,$(q, q)$ और $(q, q)$ हैं। $(q, -q)$ की जोड़ी केंद्र पर एक गैर-शून्य विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करती है।
अतः,सही विकल्प $(II)$ है।

(B) एक पूर्ण वलय के केंद्र पर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। यदि वलय में एक छोटा अंतराल है,तो केंद्र पर विद्युत क्षेत्र उस आवेश द्वारा उत्पन्न क्षेत्र के बराबर होता है जो अंतराल में होता,लेकिन विपरीत दिशा में।
रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \frac{Q}{2\pi R - l}$ है।
$l$ लंबाई के अंतराल में आवेश $q = \lambda l = \frac{Q l}{2\pi R - l}$ है।
यहाँ $Q = 1\, C$,$R = 0.5\, m$,और $l = 0.02\, m$ दिया गया है:
$q = \frac{1 \times 0.02}{2 \times 3.14159 \times 0.5 - 0.02} = \frac{0.02}{3.14159 - 0.02} \approx \frac{0.02}{3.12159} \approx 0.0064\, C$.
इस छोटे खंड के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{k q}{R^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 0.0064}{(0.5)^2} = \frac{5.76 \times 10^7}{0.25} = 2.304 \times 10^8\, N/C \approx 2.31 \times 10^8\, N/C$ है।

(B) केंद्र से $x$ दूरी पर आवेशित वलय की अक्ष पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Qx}{(x^2 + R^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम विद्युत क्षेत्र ज्ञात करने के लिए,हम $E$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dE}{dx} = 0$।
यह स्थिति तब संतुष्ट होती है जब $x = \frac{R}{\sqrt{2}}$ हो।
$x = \frac{R}{\sqrt{2}}$ को $E$ के व्यंजक में रखने पर:
$E_{\max} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q(R/\sqrt{2})}{((R/\sqrt{2})^2 + R^2)^{3/2}}$
$E_{\max} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{QR/\sqrt{2}}{(R^2/2 + R^2)^{3/2}} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{QR/\sqrt{2}}{(3R^2/2)^{3/2}}$
$E_{\max} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{QR/\sqrt{2}}{(3\sqrt{3}R^3 / 2\sqrt{2})} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{2Q}{3\sqrt{3}R^2}$।

(A) वर्ग के कोनों पर स्थित चार धनात्मक आवेश $Q$,$z$-अक्ष पर मूल बिंदु (वर्ग का केंद्र) की ओर निर्देशित विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
जब $z$-अक्ष पर केंद्र से $z$ की छोटी दूरी पर एक ऋणात्मक आवेश $-q$ रखा जाता है,तो उस पर लगने वाला परिणामी स्थिर विद्युत बल वर्ग के केंद्र की ओर होता है।
यह बल $F = -k z$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k$ एक धनात्मक नियतांक है।
चूंकि बल विस्थापन $z$ के समानुपाती है और संतुलन स्थिति (मूल बिंदु) की ओर निर्देशित है,इसलिए ऋणात्मक आवेश $z$-अक्ष पर मूल बिंदु के चारों ओर सरल आवर्त गति $(SHM)$ करेगा।
अतः,ऋणात्मक आवेश $z$-अक्ष के अनुदिश दोलन करता है।

(C) विद्युत क्षेत्र $E = 2x^2 - 4$ द्वारा दिया गया है। आवेश के लिए अनंत से न्यूनतम वेग के साथ मूल बिंदु को पार करने के लिए,इसे उस बिंदु तक पहुँचना चाहिए जहाँ विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाता है,क्योंकि क्षेत्र गति का विरोध करता है।
$E = 0$ रखने पर:
$2x^2 - 4 = 0$
$x^2 = 2$
$x = \sqrt{2} \, m$ (रुचि के क्षेत्र को ध्यान में रखते हुए)।
$x = \sqrt{2} \, m$ पर,विद्युत क्षेत्र अपनी दिशा बदलता है। चूँकि आवेश को अनंत से (जहाँ विभव शून्य है) छोड़ा जाता है और वह मूल बिंदु की ओर बढ़ता है,इसलिए यह $x = \sqrt{2} \, m$ तक पहुँचने तक एक मंदक बल का अनुभव करता है। न्यूनतम वेग की स्थिति के लिए,उस बिंदु पर गतिज ऊर्जा शून्य होनी चाहिए जहाँ विद्युत क्षेत्र शून्य है,जो कि $x = \sqrt{2} \, m$ है।

(C) एकसमान आवेशित वलय की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E$ का मान इस प्रकार दिया जाता है:
$E = \frac{kQx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
त्रिज्या $R$,अक्षीय दूरी $x$ और वलय के किसी बिंदु से बिंदु $P$ तक की दूरी $r$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज की ज्यामिति से,हमारे पास है:
$r^2 = R^2 + x^2$
इसका अर्थ है कि $x = (r^2 - R^2)^{1/2}$।
इन मानों को विद्युत क्षेत्र के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{kQ(r^2 - R^2)^{1/2}}{(r^2)^{3/2}}$
$E = \frac{kQ(r^2 - R^2)^{1/2}}{r^3}$

(D) बिंदु आवेश $Q$ के कारण $R$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = \frac{k|Q|}{R^2} = 500 \, Vm^{-1}$ है।
बिंदु आवेश $Q$ के कारण $R$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{kQ}{R} = -3000 \, V$ है।
विभव का परिमाण लेने पर,$|V| = \frac{k|Q|}{R} = 3000 \, V$ है।
$E$ के समीकरण को $|V|$ के समीकरण से विभाजित करने पर:
$\frac{E}{|V|} = \frac{k|Q|/R^2}{k|Q|/R} = \frac{1}{R} = \frac{500}{3000} = \frac{1}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$R = 6 \, m$ है।
$R = 6 \, m$ का मान विभव के समीकरण में रखने पर:
$|V| = \frac{k|Q|}{R} \Rightarrow 3000 = \frac{9 \times 10^9 \times |Q|}{6}$.
$|Q| = \frac{3000 \times 6}{9 \times 10^9} = \frac{18000}{9 \times 10^9} = 2 \times 10^{-6} \, C = 2 \, \mu C$ है।
इस प्रकार,दूरी $6 \, m$ है और आवेश का परिमाण $2 \, \mu C$ है।

(A) $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाले एक समान रूप से आवेशित खोखले गोले के लिए,केंद्र पर (या गोले के अंदर कहीं भी) विभव $V = \frac{kQ}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
गोले के बाहर $r$ दूरी $(r > R)$ पर स्थित बिंदु के लिए,विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQ}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
पहले समीकरण से,हमें $kQ = VR$ प्राप्त होता है।
इस मान को विद्युत क्षेत्र के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \frac{VR}{r^2}$ प्राप्त होता है।

(A) सममिति अक्ष $PO$ के साथ $\theta$ कोण पर $dl = a d\theta$ लंबाई का एक छोटा अवयव लें। इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda dl = \lambda a d\theta$ है।
इस अवयव के कारण केंद्र $O$ पर विद्युत क्षेत्र $dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{a^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda a d\theta}{a^2} = \frac{\lambda d\theta}{4\pi \varepsilon_0 a}$ है।
सममिति के कारण,सममिति अक्ष $PO$ के लंबवत विद्युत क्षेत्र के घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जबकि $PO$ की दिशा में घटक जुड़ जाते हैं।
$PO$ की दिशा में $dE$ का घटक $dE_{\parallel} = dE \cos \theta = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 a} \cos \theta d\theta$ है।
$\theta = -\pi/2$ से $\pi/2$ तक समाकलन करने पर:
$E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 a} \cos \theta d\theta = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 a} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 a} (1 - (-1)) = \frac{2\lambda}{4\pi \varepsilon_0 a} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 a}$.

(C) अनंत लंबी आवेशित तार से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{2K\lambda}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
बाह्य बल द्वारा आवेश $q$ को स्थानांतरित करने के लिए किया गया कार्य $W_{ext} = \Delta U = -\int_{a}^{2a} \vec{F} \cdot d\vec{r} = -\int_{a}^{2a} q\vec{E} \cdot d\vec{r}$ है।
$E$ का मान रखने पर: $W_{ext} = -\int_{a}^{2a} q \left( \frac{2K\lambda}{r} \right) dr$.
$W_{ext} = -2K\lambda q \int_{a}^{2a} \frac{1}{r} dr$.
$W_{ext} = -2K\lambda q [\ln(r)]_{a}^{2a}$.
$W_{ext} = -2K\lambda q (\ln(2a) - \ln(a)) = -2K\lambda q \ln\left(\frac{2a}{a}\right)$.
$W_{ext} = -2K\lambda q \ln(2)$.

(A) बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\vec{r}_A = \hat{i} + 2\hat{k}$ है और बिंदु $B$ का स्थिति सदिश $\vec{r}_B = 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
$B$ से $A$ तक का विस्थापन सदिश $\vec{r} = \vec{r}_A - \vec{r}_B = (1-0)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
इस सदिश का परिमाण $|\vec{r}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{k q}{|\vec{r}|^3} \vec{r}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \, N\cdot m^2/C^2$ और $q = -20 \times 10^{-6} \, C$ है।
यदि हम दिए गए विकल्पों के अनुसार $|\vec{r}|=2$ मान लें,तो $\vec{E} = \frac{9 \times 10^9 \times (-20 \times 10^{-6})}{2^3} (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = -22.5 \times 10^3 (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) \, N/C$ प्राप्त होता है।

(A) अर्ध-वलय पर लंबाई $d\ell = R d\theta$ का एक छोटा अवयव लें।
इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda d\ell = \lambda R d\theta$ है,जहाँ $\lambda = \frac{q}{\pi R}$ रैखिक आवेश घनत्व है।
इस अवयव के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $dE = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{dq}{R^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\lambda R d\theta}{R^2} = \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} d\theta$ है।
सममिति के कारण,विद्युत क्षेत्र के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं और केवल ऊर्ध्वाधर घटक जुड़ते हैं।
ऊर्ध्वाधर घटक $dE_y = dE \cos \theta$ है।
$-\pi/2$ से $\pi/2$ तक समाकलन करने पर या $2 \int_{0}^{\pi/2} dE \cos \theta$ लेने पर:
$E = 2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} \cos \theta d\theta = \frac{2\lambda}{4\pi \varepsilon_0 R} [\sin \theta]_0^{\pi/2} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 R}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = \frac{q}{\pi R}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \frac{q/(\pi R)}{2\pi \varepsilon_0 R} = \frac{q}{2\pi^2 \varepsilon_0 R^2}$ प्राप्त होता है।

(D) असमान आवेश वितरण और $0$ कुल आवेश वाली एक पतली वृत्ताकार वलय के लिए,अक्ष पर किसी भी बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{dq}{r}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि कुल आवेश $\int dq = 0$ है और वलय पर सभी बिंदु अक्ष पर किसी भी बिंदु से समान दूरी $r$ पर हैं,इसलिए अक्ष पर प्रत्येक बिंदु पर विभव $V$ वास्तव में $0$ होता है।
हालाँकि,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ विभव का ऋणात्मक प्रवणता (gradient) है,$\vec{E} = -\nabla V$। यद्यपि अक्ष पर विभव हर जगह शून्य है,इसका मतलब यह नहीं है कि अक्ष के आसपास के क्षेत्र में विभव स्थिर है। वास्तव में,अक्ष पर विद्युत क्षेत्र आमतौर पर शून्य नहीं होता है और यह अक्ष के लंबवत दिशा में होता है। अतः,कथन गलत है और कारण सही है।

(B) पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ वाली एक अनंत समतल शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}$ होता है,जो शीट से दूर की दिशा में होता है।
मान लीजिए कि क्षैतिज शीट $x$-अक्ष पर है। इसका विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{1} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \hat{y}$ है।
दूसरी शीट $x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर है। इसका अभिलंब $x$-अक्ष के साथ $30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ}$ का कोण बनाता है।
दूसरी शीट के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{2} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} (\cos 120^{\circ} \hat{x} + \sin 120^{\circ} \hat{y}) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} (-\frac{1}{2} \hat{x} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{y})$ है।
कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} \hat{y} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} (-\frac{1}{2} \hat{x} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{y})$ है।
$\vec{E}_{net} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} [-\frac{1}{2} \hat{x} + (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) \hat{y}]$.

(D) दूरी पर स्थित आवेश $q'$ के कारण केंद्र $O$ पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q'}{d^2}$ होता है।
मान लीजिए कि धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $A, B, C$ के कोण $\theta_A = 30^{\circ}$,$\theta_B = 150^{\circ}$ और $\theta_C = -30^{\circ}$ हैं।
$x$-अक्ष की दिशा में विद्युत क्षेत्र के घटक:
$E_{Ax} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{|-4q|}{d^2} \cos(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3} q}{2 \pi \varepsilon_{0} d^2}$.
$E_{Bx} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2q}{d^2} \cos(150^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3} q}{4 \pi \varepsilon_{0} d^2}$.
$E_{Cx} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{|-2q|}{d^2} \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3} q}{4 \pi \varepsilon_{0} d^2}$.
$x$-दिशा में कुल विद्युत क्षेत्र $E_x = E_{Ax} + E_{Bx} + E_{Cx} = -\frac{\sqrt{3} q}{\pi \varepsilon_{0} d^2}$.
अतः इसका परिमाण $\frac{\sqrt{3} q}{\pi \varepsilon_{0} d^2}$ है।

(N/A) धनात्मक आवेश $q_{1}$ के कारण बिंदु $A$ पर विद्युत क्षेत्र सदिश $\mathbf{E}_{1A}$ दाईं ओर है और इसका परिमाण:
$E_{1A} = \frac{(9 \times 10^{9} \; N m^{2} C^{-2}) \times (10^{-8} \; C)}{(0.05 \; m)^{2}} = 3.6 \times 10^{4} \; N C^{-1}$
ऋणात्मक आवेश $q_{2}$ के कारण बिंदु $A$ पर विद्युत क्षेत्र सदिश $\mathbf{E}_{2A}$ भी दाईं ओर है और इसका परिमाण समान है। अतः,$A$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $E_{A}$ का परिमाण:
$E_{A} = E_{1A} + E_{2A} = 7.2 \times 10^{4} \; N C^{-1}$
$\mathbf{E}_{A}$ दाईं ओर निर्देशित है।
धनात्मक आवेश $q_{1}$ के कारण बिंदु $B$ पर विद्युत क्षेत्र सदिश $\mathbf{E}_{1B}$ बाईं ओर है और इसका परिमाण:
$E_{1B} = \frac{(9 \times 10^{9} \; N m^{2} C^{-2}) \times (10^{-8} \; C)}{(0.05 \; m)^{2}} = 3.6 \times 10^{4} \; N C^{-1}$
ऋणात्मक आवेश $q_{2}$ के कारण बिंदु $B$ पर विद्युत क्षेत्र सदिश $\mathbf{E}_{2B}$ दाईं ओर है और इसका परिमाण:
$E_{2B} = \frac{(9 \times 10^{9} \; N m^{2} C^{-2}) \times (10^{-8} \; C)}{(0.15 \; m)^{2}} = 4 \times 10^{3} \; N C^{-1}$
$B$ पर कुल विद्युत क्षेत्र का परिमाण:
$E_{B} = E_{1B} - E_{2B} = 3.2 \times 10^{4} \; N C^{-1}$
$\mathbf{E}_{B}$ बाईं ओर निर्देशित है।
बिंदु $C$ पर आवेशों $q_{1}$ और $q_{2}$ के कारण प्रत्येक विद्युत क्षेत्र सदिश का परिमाण:
$E_{1C} = E_{2C} = \frac{(9 \times 10^{9} \; N m^{2} C^{-2}) \times (10^{-8} \; C)}{(0.10 \; m)^{2}} = 9 \times 10^{3} \; N C^{-1}$
इन दो सदिशों का परिणामी:
$E_{C} = E_{1C} \cos(60^{\circ}) + E_{2C} \cos(60^{\circ}) = 2 \times (9 \times 10^{3}) \times 0.5 = 9 \times 10^{3} \; N C^{-1}$
$\mathbf{E}_{C}$ दाईं ओर निर्देशित है।

(N/A) स्थिति को चित्र में दर्शाया गया है। $O$ रेखा $AB$ का मध्य-बिंदु है।
दोनों आवेशों के बीच की दूरी,$AB = 20\; cm = 0.2\; m$.
$\therefore AO = OB = 10\; cm = 0.1\; m$.
आवेश $q_{A}$ $(+3\; \mu C)$ के कारण बिंदु $O$ पर विद्युत क्षेत्र:
$E_{A} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{|q_{A}|}{AO^{2}} = 9 \times 10^{9} \times \frac{3 \times 10^{-6}}{(0.1)^{2}} = 2.7 \times 10^{6}\; N/C$ ($A$ से $B$ की दिशा में)।
आवेश $q_{B}$ $(-3\; \mu C)$ के कारण बिंदु $O$ पर विद्युत क्षेत्र:
$E_{B} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{|q_{B}|}{OB^{2}} = 9 \times 10^{9} \times \frac{3 \times 10^{-6}}{(0.1)^{2}} = 2.7 \times 10^{6}\; N/C$ ($A$ से $B$ की दिशा में)।
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में हैं,इसलिए कुल विद्युत क्षेत्र $E = E_{A} + E_{B} = 5.4 \times 10^{6}\; N/C$ जो $OB$ की दिशा में है।
$(b)$ $O$ पर रखे गए परीक्षण आवेश $q = -1.5 \times 10^{-9}\; C$ पर बल $F$:
$F = qE = (-1.5 \times 10^{-9}) \times (5.4 \times 10^{6}) = -8.1 \times 10^{-3}\; N$.
ऋणात्मक चिह्न इंगित करता है कि बल विद्युत क्षेत्र के विपरीत दिशा में,अर्थात $OA$ की दिशा में कार्य करता है।

(B) आवेशित गोले के केंद्र से $d$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{|q|}{d^{2}}$ है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर है,इसलिए आवेश $q$ ऋणात्मक होगा।
दिया गया है: $E = 1.5 \times 10^{3} \; N/C$,$d = 20 \; cm = 0.2 \; m$,और $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \; Nm^{2}/C^{2}$.
$q$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $|q| = E \cdot d^{2} \cdot (4 \pi \varepsilon_{0}) = \frac{E \cdot d^{2}}{9 \times 10^{9}}$.
मान रखने पर: $|q| = \frac{1.5 \times 10^{3} \times (0.2)^{2}}{9 \times 10^{9}} = \frac{1.5 \times 10^{3} \times 0.04}{9 \times 10^{9}} = \frac{0.06 \times 10^{3}}{9 \times 10^{9}} = \frac{60}{9 \times 10^{9}} \approx 6.67 \times 10^{-9} \; C$.
अतः,कुल आवेश का परिमाण $6.67 \; nC$ है।

(N/A) परीक्षण आवेश के संतुलन को स्थिर होने के लिए,आवेश को किसी भी दिशा में विस्थापित करने पर शून्य बिंदु की ओर एक प्रत्यानयन बल (restoring force) का अनुभव करना चाहिए। इसका अर्थ है कि शून्य बिंदु के आसपास विद्युत क्षेत्र रेखाएं अंदर की ओर होनी चाहिए। यदि ऐसा होता,तो शून्य बिंदु के चारों ओर एक बंद सतह से विद्युत क्षेत्र का कुल फ्लक्स अंदर की ओर होता। गॉस के नियम के अनुसार,$\oint E \cdot dA = q_{enclosed} / \epsilon_0$। चूंकि शून्य बिंदु पर कोई आवेश नहीं है $(q_{enclosed} = 0)$,इसलिए कुल फ्लक्स शून्य होना चाहिए। अतः,सभी दिशाओं में क्षेत्र रेखाओं का अंदर की ओर होना असंभव है,और संतुलन अनिवार्य रूप से अस्थिर है।
$(b)$ मान लीजिए कि समान परिमाण के दो धनात्मक आवेश $2a$ की दूरी पर रखे गए हैं। उनका मध्य बिंदु शून्य बिंदु है। यदि परीक्षण आवेश को आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश विस्थापित किया जाता है,तो वह एक प्रत्यानयन बल का अनुभव करता है। हालाँकि,यदि इसे इस रेखा के लंबवत विस्थापित किया जाता है,तो दोनों आवेशों के विद्युत बल के घटक परीक्षण आवेश को शून्य बिंदु से और दूर धकेलते हैं। चूंकि संतुलन सभी दिशाओं में स्थिर नहीं है,इसलिए यह अस्थिर है।

(A) आवेशित गोलीय चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र हमेशा शून्य होता है क्योंकि आवेश केवल बाहरी सतह पर रहते हैं और चालक के अंदर कुल स्थिर-विद्युत बल शून्य होता है।
$(b)$ चालक के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r = 0.12 \; m$,$q = 1.6 \times 10^{-7} \; C$,और $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \; N \cdot m^{2} \cdot C^{-2}$ है।
$E = \frac{9 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-7}}{(0.12)^{2}} = 10^{5} \; N \cdot C^{-1}$.
$(c)$ केंद्र से $d = 18 \; cm = 0.18 \; m$ की दूरी पर,गोला एक बिंदु आवेश की तरह कार्य करता है।
$E = \frac{9 \times 10^{9} \times 1.6 \times 10^{-7}}{(0.18)^{2}} = \frac{1440}{0.0324} \approx 4.44 \times 10^{4} \; N \cdot C^{-1}$.

(N/A) विद्युत क्षेत्र का स्रोत विद्युत आवेश है।
यदि $Q$ आवेश स्थिर है,तो इसके चारों ओर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र इस प्रकार है:
$\overrightarrow{E} = \frac{k Q}{r^{2}} \hat{r} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \hat{r}$
जहाँ $\hat{r}$ स्थिति सदिश $\vec{r}$ का इकाई सदिश है और $\overrightarrow{E}$ विद्युत क्षेत्र सदिश है।
विद्युत क्षेत्र में आवेशित कण $q$ पर लगने वाला बल इस प्रकार है:
$\overrightarrow{F} = q \overrightarrow{E} = \frac{k Q q}{r^{2}} \hat{r}$
विद्युत क्षेत्र ऊर्जा और संवेग का वहन करते हैं और एक सीमित गति से प्रसारित होते हैं। किसी भी बिंदु पर क्षेत्र एक या अधिक आवेशों के कारण हो सकता है,जहाँ कुल क्षेत्र व्यक्तिगत क्षेत्रों का सदिश योग होता है (अध्यारोपण का सिद्धांत)।
स्थिर आवेश केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं। गतिमान आवेश (धाराएं) विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करते हैं,जिसे $\overrightarrow{B}(\vec{r})$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चुंबकीय क्षेत्र एक सदिश राशि है जो अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित होती है और समय के साथ बदल सकती है। कई स्रोतों का चुंबकीय क्षेत्र प्रत्येक व्यक्तिगत स्रोत के चुंबकीय क्षेत्रों का सदिश योग होता है,जो अध्यारोपण के सिद्धांत का पालन करता है।

(N/A) $R$ त्रिज्या वाले वलय के केंद्र से उसकी अक्ष पर $x$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर रखे आवेश $q$ पर वलय के बिंदु $A$ पर स्थित आवेश अवयव $(-dQ)$ के कारण लगने वाला बल:
$dF = k \frac{(-dQ)q}{R^2 + x^2}$
चित्र में दिखाए अनुसार,$dF \sin \theta$ घटक परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं। परिणामी बल $F$,$dF \cos \theta$ घटकों का योग है,जो केंद्र $O$ की ओर निर्देशित हैं:
$F = \oint dF \cos \theta = \oint -k \frac{(dQ)q}{R^2 + x^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{R^2 + x^2}} = -\frac{kQqx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
जब $x \ll R$ हो,तो $R^2 + x^2 \approx R^2$,इसलिए $F \approx -\frac{kQq}{R^3} x$। चूँकि $F \propto -x$,इसलिए गति सरल आवर्त गति है।
$F = -m \omega^2 x$ से तुलना करने पर,$\omega^2 = \frac{kQq}{mR^3} = \frac{Qq}{4 \pi \epsilon_0 m R^3}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{4 \pi \epsilon_0 m R^3}{Qq}}$ है।

(N/A) विद्युत क्षेत्र की परिभाषा: किसी विद्युत आवेश के चारों ओर का वह क्षेत्र जिसमें कोई अन्य आवेश उसके प्रभाव का अनुभव कर सके,उस आवेश का विद्युत क्षेत्र कहलाता है।
बिंदु आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र:
मान लीजिए कि मुक्त आकाश में मूल बिंदु $O$ पर एक बिंदु आवेश $Q$ स्थित है। यदि $r$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर एक अन्य आवेश $q$ रखा जाए (जहाँ $OP = r$),तो कूलॉम के नियम के अनुसार $q$ पर लगने वाला बल:
$\overrightarrow{F} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{Q q}{r^{2}} \hat{r}$
किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ को उस बिंदु पर रखे गए एकांक धनात्मक परीक्षण आवेश पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\overrightarrow{E} = \frac{\overrightarrow{F}}{q}$
बल का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$\overrightarrow{E} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{Q}{r^{2}} \hat{r}$ या $E = \frac{k Q}{r^{2}}$
मुख्य गुण:
$1$. विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ को विद्युत क्षेत्र की तीव्रता भी कहा जाता है।
$2$. स्थिति सदिश $\vec{r}$ पर स्थित आवेश $q$ पर लगने वाला बल $\overrightarrow{F}(\vec{r}) = q \overrightarrow{E}(\vec{r})$ है।
$3$. विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का $SI$ मात्रक $N C^{-1}$ या $V m^{-1}$ है।
$4$. इसका विमीय सूत्र $[M^{1} L^{1} T^{-3} A^{-1}]$ है।

(N/A) विद्युत क्षेत्र की विशेषताएँ निम्नलिखित हैं:
$(i)$ वह आवेश $Q$,जो विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है,उसे स्रोत आवेश कहा जाता है और वह आवेश $q$,जो स्रोत आवेश के प्रभाव का परीक्षण करता है,उसे परीक्षण आवेश कहा जाता है।
हालाँकि,यदि किसी आवेश $q$ को $Q$ के चारों ओर किसी भी बिंदु पर लाया जाता है,तो वह $Q$ के कारण विद्युत बल का अनुभव करेगा और गति करने की प्रवृत्ति रखेगा। इस कठिनाई का समाधान यह है कि $q$ को नगण्य रूप से छोटा बनाया जाए। तब बल $\vec{F}$ नगण्य रूप से छोटा होता है,लेकिन अनुपात $\frac{F}{q}$ परिमित होता है और विद्युत क्षेत्र को परिभाषित करता है: $\overrightarrow{E} = \lim_{q \rightarrow 0} \frac{\overrightarrow{F}}{q}$.
$(ii)$ ध्यान दें कि $Q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$,भले ही इसे किसी परीक्षण आवेश $q$ के संदर्भ में परिभाषित किया गया हो,$q$ से स्वतंत्र है। ऐसा इसलिए है क्योंकि $\vec{F}$,$q$ के समानुपाती है,इसलिए अनुपात $F/q$ $q$ पर निर्भर नहीं करता है। यह क्षेत्र त्रिविमीय अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर मौजूद होता है।
$(iii)$ धनात्मक आवेश के लिए,विद्युत क्षेत्र आवेश से त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर निर्देशित होता है,जैसा कि चित्र $(a)$ में दिखाया गया है। ऋणात्मक आवेश के लिए,प्रत्येक बिंदु पर विद्युत क्षेत्र सदिश त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर निर्देशित होता है,जैसा कि चित्र $(b)$ में दिखाया गया है।
$(iv)$ चूँकि आवेश $Q$ के कारण आवेश $q$ पर लगने वाले बल $F$ का परिमाण केवल $Q$ से $q$ की दूरी $r$ पर निर्भर करता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ का परिमाण भी केवल दूरी $r$ पर ही निर्भर करेगा। अतः,$E \propto \frac{1}{r^2}$.

(N/A) अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,आवेशों के एक निकाय के कारण किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र उस बिंदु पर प्रत्येक व्यक्तिगत आवेश द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग होता है।
मान लीजिए कि मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}, \ldots, \vec{r}_{n}$ स्थिति सदिशों वाले स्थानों पर $n$ बिंदु आवेश $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ स्थित हैं।
स्थिति सदिश $\vec{r}$ वाले बिंदु $P$ पर आवेश $q_{1}$ के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{1}$ है:
$\vec{E}_{1} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{q_{1}}{r_{1P}^{2}} \hat{r}_{1P}$
जहाँ $r_{1P} = |\vec{r} - \vec{r}_{1}|$ और $\hat{r}_{1P}$ आवेश $q_{1}$ से $P$ की दिशा में इकाई सदिश है।
इसी प्रकार,किसी भी आवेश $q_{i}$ के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{i}$ है:
$\vec{E}_{i} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{q_{i}}{r_{iP}^{2}} \hat{r}_{iP}$
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ व्यक्तिगत क्षेत्रों का सदिश योग है:
$\vec{E} = \vec{E}_{1} + \vec{E}_{2} + \ldots + \vec{E}_{n} = \sum_{i=1}^{n} \vec{E}_{i}$
$\vec{E}_{i}$ के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \sum_{i=1}^{n} \frac{q_{i}}{r_{iP}^{2}} \hat{r}_{iP}$
यहाँ,$\vec{E}$ एक सदिश राशि है जो अंतरिक्ष में बिंदु-दर-बिंदु बदलती रहती है,और यह स्रोत आवेशों की स्थिति और परिमाण द्वारा निर्धारित होती है।

(N/A) आवेशों के निकाय के चारों ओर के स्थान में किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र को उस बिंदु पर रखे गए एक इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,बिना मूल आवेश निकाय को प्रभावित किए।
विद्युत क्षेत्र आवेशों के निकाय का एक अभिलक्षणिक गुण है और यह परीक्षण आवेश से स्वतंत्र होता है।
क्षेत्र को अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर परिभाषित किया गया है और इसका मान तथा दिशा बिंदु-दर-बिंदु भिन्न हो सकते हैं।
चूंकि बल एक सदिश राशि है,इसलिए विद्युत क्षेत्र भी एक सदिश क्षेत्र है।
आवेशों की त्वरित गति विद्युत चुम्बकीय तरंगें उत्पन्न करती है,जो प्रकाश की गति $c$ के साथ अंतरिक्ष में प्रसारित होती हैं।
इस प्रकार,विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों का पता आवेशों पर उनके प्रभावों (बलों) द्वारा लगाया जा सकता है।

(A) विद्युत क्षेत्र को एक आवेशित कण या वस्तु के चारों ओर के उस क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके भीतर अन्य आवेशित कणों या वस्तुओं पर बल लगाया जाता है।
गणितीय रूप से,किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $E$ को उस बिंदु पर रखे परीक्षण आवेश $q_0$ द्वारा अनुभव किए गए बल $F$ और उस परीक्षण आवेश के परिमाण के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$E = \frac{F}{q_0}$
यह एक सदिश राशि है और इसका $SI$ मात्रक $N/C$ (न्यूटन प्रति कूलॉम) है।

(N/A) किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता को उस बिंदु पर रखे गए एकांक धनात्मक परीक्षण आवेश द्वारा अनुभव किए गए स्थिर विद्युत बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप में,इसे $\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है,जहाँ $\vec{F}$ परीक्षण आवेश $q_0$ पर लगने वाला बल है।
विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का $SI$ मात्रक $\text{न्यूटन प्रति कूलॉम}$ $(N/C)$ या $\text{वोल्ट प्रति मीटर}$ $(V/m)$ है।

(N/A) एक बिंदु आवेश $q$ द्वारा उससे $r$ दूरी पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E$ का समीकरण है: $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}$,जहाँ $\epsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता (permittivity) है।
दूरी पर निर्भरता:
विद्युत क्षेत्र $E$ बिंदु आवेश से दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $E \propto \frac{1}{r^2}$। इसका अर्थ यह है कि जैसे-जैसे दूरी $r$ बढ़ती है,विद्युत क्षेत्र का परिमाण तेजी से घटता है।

(N/A) अध्यारोपण के सिद्धांत (principle of superposition) के अनुसार,$\vec{r}_1, \vec{r}_2, ..., \vec{r}_n$ स्थितियों पर स्थित $n$ बिंदु आवेशों $q_1, q_2, ..., q_n$ के निकाय के कारण किसी बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र,प्रत्येक आवेश द्वारा उत्पन्न व्यक्तिगत विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग होता है।
स्थिति सदिश $\vec{r}$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\vec{E}(\vec{r}) = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i}{|\vec{r} - \vec{r}_i|^3} (\vec{r} - \vec{r}_i)$
जहाँ:
- $\epsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता (permittivity) है।
- $q_i$ $i$-वें आवेश का परिमाण है।
- $\vec{r}_i$ $i$-वें आवेश का स्थिति सदिश है।
- $\vec{r}$ उस बिंदु का स्थिति सदिश है जहाँ विद्युत क्षेत्र की गणना की जानी है।

(N/A) विद्युत क्षेत्र एक $\text{सदिश}$ (vector) राशि है।
इसे क्षेत्र में किसी बिंदु पर रखे गए इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से, $\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}$।
चूंकि बल $(\vec{F})$ एक सदिश राशि है और विद्युत क्षेत्र का परिमाण और दिशा (धनात्मक परीक्षण आवेश पर बल की दिशा) दोनों निश्चित होते हैं, इसलिए यह एक सदिश राशि की सभी शर्तों को पूरा करता है।

(A) किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $\vec{E}$ को उस बिंदु पर रखे गए इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश $q_0$ द्वारा अनुभव किए गए बल $\vec{F}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}$।
चूंकि $q_0$ एक धनात्मक अदिश राशि है,इसलिए विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $\vec{E}$ की दिशा वही होती है जो धनात्मक परीक्षण आवेश पर लगने वाले बल $\vec{F}$ की दिशा होती है।

(C) क्षेत्र के लंबवत रखे गए इकाई क्षेत्रफल से गुजरने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $(E)$ का माप है।
एक बिंदु आवेश $(q)$ के लिए,$r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता कूलम्ब के नियम के अनुसार $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि क्षेत्र रेखाओं का घनत्व विद्युत क्षेत्र के परिमाण के समानुपाती होता है $(E \propto \text{रेखाओं का घनत्व})$,इसलिए प्रति इकाई क्षेत्रफल क्षेत्र रेखाओं की संख्या बिंदु आवेश से दूरी के वर्ग $(r^2)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

(N/A) विद्युत बल को संरक्षी माना जाता है क्योंकि दो बिंदुओं के बीच गति करने वाले आवेश पर विद्युत बल द्वारा किया गया कार्य केवल आवेश की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति पर निर्भर करता है,न कि अपनाए गए पथ पर।
गणितीय रूप से,एक संरक्षी बल $\vec{F}$ के लिए,किया गया कार्य $W = \int_{A}^{B} \vec{F} \cdot d\vec{l}$ पथ से स्वतंत्र होता है।
इसके अतिरिक्त,किसी भी बंद लूप (closed loop) में आवेश को घुमाने में विद्युत बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है,अर्थात $\oint \vec{F} \cdot d\vec{l} = 0$।
यह गुण इस तथ्य का सीधा परिणाम है कि विद्युत क्षेत्र एक अदिश विभव फलन (scalar potential function) की प्रवणता (gradient) है,$\vec{E} = -\nabla V$,जो यह दर्शाता है कि बल संरक्षी है।

(N/A) $(i)$ पंचभुज का केंद्र $O$,सभी शीर्षों पर स्थित आवेशों से समान दूरी पर है। नियमित पंचभुज की घूर्णी सममिति के कारण,प्रत्येक आवेश द्वारा $O$ पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र सदिश एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। अतः,$O$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $0$ है।
$(ii)$ मान लीजिए $A$ पर स्थित आवेश के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_A$ है। सभी पाँच आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र का योग $\vec{E}_{total} = \vec{E}_A + \vec{E}_B + \vec{E}_C + \vec{E}_D + \vec{E}_E = 0$ है। यदि $A$ पर स्थित आवेश को हटा दिया जाए,तो शेष क्षेत्र $\vec{E}' = \vec{E}_B + \vec{E}_C + \vec{E}_D + \vec{E}_E = -\vec{E}_A$ होगा। चूँकि $\vec{E}_A$,$A$ से $O$ की ओर है,इसलिए $-\vec{E}_A$,$O$ से $A$ की ओर होगा। इसका परिमाण $E = \frac{kq}{r^2}$ है,जहाँ $r$ केंद्र से शीर्ष की दूरी है।
$(iii)$ यदि $A$ पर स्थित आवेश को $-q$ से बदल दिया जाए,तो नया क्षेत्र $\vec{E}'' = \vec{E}' + \vec{E}_{-q}$ होगा। चूँकि $\vec{E}' = -\vec{E}_A$ और $\vec{E}_{-q} = -\vec{E}_A$,इसलिए कुल क्षेत्र $\vec{E}'' = -2\vec{E}_A$ होगा। इसका परिमाण $\frac{2kq}{r^2}$ है जो $O$ से $A$ की दिशा में है।
$(b)$ $n$-भुजा वाले नियमित बहुभुज के लिए,प्रत्येक शीर्ष पर समान आवेश $q$ होने पर,सममिति यह सुनिश्चित करती है कि केंद्र पर विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग हमेशा $0$ रहता है। इसलिए,तर्क वही रहता है और $(a)$ के उत्तर प्रभावित नहीं होते हैं।

(A) पतले अनंत समान रूप से आवेशित समतल एक समान विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं। इसलिए,विद्युत क्षेत्र रेखाएं समानांतर सीधी रेखाएं होनी चाहिए,जो विकल्प $B$ और $C$ को गलत साबित करती हैं क्योंकि वे वक्र क्षेत्र रेखाएं दिखाती हैं।
धनात्मक आवेशित शीट के कारण विद्युत क्षेत्र उससे दूर की दिशा में होता है,और ऋणात्मक आवेशित शीट के कारण क्षेत्र उसकी ओर होता है। विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\left|\sigma_{+}\right| > \left|\sigma_{-}\right|$,धनात्मक आवेशित शीट द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र का परिमाण ऋणात्मक आवेशित शीट द्वारा उत्पन्न क्षेत्र से अधिक है। इसका अर्थ है कि धनात्मक शीट से निकलने वाली क्षेत्र रेखाओं का घनत्व ऋणात्मक शीट पर समाप्त होने वाली क्षेत्र रेखाओं के घनत्व से अधिक है। विकल्प $A$ सही ढंग से धनात्मक शीट से निकलने वाली और ऋणात्मक शीट पर समाप्त होने वाली क्षेत्र रेखाओं को उचित सापेक्ष घनत्व के साथ दर्शाता है,इसलिए यह सही प्रतिनिधित्व है।

(B) माना $A$ पर आवेश $Q_{1}$ के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र $E_{1}$ है और $B$ पर आवेश $Q_{2}$ के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र $E_{2}$ है।
$E_{1} = \frac{k|Q_{1}|}{x_{1}^{2}}$ ($OA$ की दिशा में)।
$E_{2} = \frac{k|Q_{2}|}{x_{2}^{2}}$ ($OB$ की दिशा में)।
माना $\angle OAB = \alpha$ है। तो $\angle OBA = 90^{\circ} - \alpha$ होगा।
परिणामी विद्युत क्षेत्र $E_{net}$ कर्ण $AB$ के लंबवत है।
त्रिभुज की ज्यामिति से,परिणामी क्षेत्र $E_{net}$ द्वारा $E_{1}$ के साथ बनाया गया कोण $\alpha$ है और $E_{2}$ के साथ $90^{\circ} - \alpha$ है।
सदिश योग के नियम का उपयोग करते हुए,$\tan(\alpha) = \frac{E_{2}}{E_{1}}$।
त्रिभुज $OAB$ से,$\tan(\alpha) = \frac{OB}{OA} = \frac{x_{2}}{x_{1}}$।
$\tan(\alpha)$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \frac{x_{2}}{x_{1}}$
$\frac{k|Q_{2}| / x_{2}^{2}}{k|Q_{1}| / x_{1}^{2}} = \frac{x_{2}}{x_{1}}$
$\frac{|Q_{2}| x_{1}^{2}}{|Q_{1}| x_{2}^{2}} = \frac{x_{2}}{x_{1}}$
$\frac{|Q_{1}|}{|Q_{2}|} = \frac{x_{1}^{2}}{x_{2}^{2}} \cdot \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{x_{1}^{3}}{x_{2}^{3}}$
अतः,$Q_{1} / Q_{2}$ का मान $\frac{x_{1}^{3}}{x_{2}^{3}}$ के समानुपाती है।

(C) गोलाकार चालक के बाहर किसी बिंदु के लिए,चालक अपने केंद्र पर स्थित बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है।
दिया गया है: आवेश $Q = 3.2 \times 10^{-7} \, C$,दूरी $r = 15 \, cm = 0.15 \, m$,और $k = 9 \times 10^{9} \, Nm^{2}/C^{2}$.
विद्युत क्षेत्र का सूत्र $E = \frac{kQ}{r^{2}}$ है।
मान रखने पर: $E = \frac{9 \times 10^{9} \times 3.2 \times 10^{-7}}{(0.15)^{2}}$.
$E = \frac{28.8 \times 10^{2}}{0.0225} = \frac{2880}{0.0225} = 1.28 \times 10^{5} \, N/C$.

(C) मान लीजिए अर्ध-वलय की त्रिज्या $R$ है। सममिति की अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर $dl$ लंबाई का एक छोटा अवयव (element) लें,जिस पर आवेश $dq$ है।
$dl = R d\theta$
अवयव पर आवेश $dq = \lambda dl = \lambda R d\theta$
इस अवयव के कारण केंद्र पर रखे $1\, C$ आवेश पर लगने वाला विद्युत बल $dF$ कूलम्ब के नियम के अनुसार है:
$dF = \frac{k dq}{R^2} = \frac{k (\lambda R d\theta)}{R^2} = \frac{k \lambda}{R} d\theta$
अर्ध-वलय की सममिति के कारण,सममिति की अक्ष के लंबवत बल के घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जबकि अक्ष की दिशा में घटक जुड़ जाते हैं।
अक्ष की दिशा में बल का घटक $dF \cos \theta$ है।
कुल बल $F$,$-\pi/2$ से $\pi/2$ तक $dF \cos \theta$ का समाकलन है:
$F = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{k \lambda}{R} \cos \theta d\theta$
$F = \frac{k \lambda}{R} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}$
$F = \frac{k \lambda}{R} [\sin(\pi/2) - \sin(-\pi/2)]$
$F = \frac{k \lambda}{R} [1 - (-1)] = \frac{2 k \lambda}{R}$

(B) मान लीजिए $r$ प्रत्येक शीर्ष से समबाहु त्रिभुज के केंद्र तक की दूरी है।
केंद्र पर विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण उत्पन्न विभवों का बीजगणितीय योग है:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left( \frac{2q}{r} + \frac{-q}{r} + \frac{-q}{r} \right)$
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0} r} (2q - q - q) = 0$
केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है। चूंकि आवेश परिमाण में समान नहीं हैं और इस तरह से व्यवस्थित नहीं हैं कि उनके क्षेत्र सदिश एक-दूसरे को निरस्त कर दें,इसलिए परिणामी विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ शून्य नहीं है।
विशेष रूप से,$2q$ के कारण क्षेत्र उससे दूर इंगित करता है,जबकि दो $-q$ आवेशों के कारण क्षेत्र उनकी ओर इंगित करते हैं। इन सदिशों का योग शून्य नहीं होता है।
इसलिए,क्षेत्र शून्य नहीं है लेकिन विभव शून्य है।

(B) हम मूल बिंदु पर $-Q$ आवेश को $+Q$ और $-2Q$ जोड़कर प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अब,घन के सभी $8$ कोनों पर $+Q$ आवेशों के कारण,सममिति (symmetry) से घन के केंद्र पर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
अतः,केंद्र पर कुल विद्युत क्षेत्र केवल मूल बिंदु पर रखे $-2Q$ आवेश के कारण है।
मूल बिंदु के सापेक्ष घन के केंद्र का स्थिति सदिश $\vec{r} = \frac{a}{2}\hat{x} + \frac{a}{2}\hat{y} + \frac{a}{2}\hat{z} = \frac{a}{2}(\hat{x} + \hat{y} + \hat{z})$ है।
मूल बिंदु से केंद्र की दूरी $r = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ है।
बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^3} \vec{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$q = -2Q$ और सदिश $\vec{r}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{E} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{-2Q}{(\frac{a\sqrt{3}}{2})^3} \cdot \frac{a}{2}(\hat{x} + \hat{y} + \hat{z})$
$\vec{E} = \frac{-2Q}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{8}{3\sqrt{3}a^3} \cdot \frac{a}{2}(\hat{x} + \hat{y} + \hat{z})$
$\vec{E} = \frac{-2Q}{3\sqrt{3}\pi\varepsilon_0 a^2}(\hat{x} + \hat{y} + \hat{z})$

(C) $L$ लंबाई और $Q$ कुल आवेश वाली एक समान रूप से आवेशित छड़ के लंब समद्विभाजक पर उसके केंद्र से $a$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार दिया जाता है:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{a \sqrt{a^2 + (L/2)^2}}$
यहाँ $a = \frac{\sqrt{3}}{2} L$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{(\frac{\sqrt{3}}{2} L) \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2} L)^2 + (L/2)^2}}$
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{(\frac{\sqrt{3}}{2} L) \sqrt{\frac{3}{4} L^2 + \frac{1}{4} L^2}}$
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{(\frac{\sqrt{3}}{2} L) \sqrt{L^2}}$
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{(\frac{\sqrt{3}}{2} L) \cdot L} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{\frac{\sqrt{3}}{2} L^2}$
$E = \frac{2 Q}{4 \sqrt{3} \pi \varepsilon_{0} L^2} = \frac{Q}{2 \sqrt{3} \pi \varepsilon_{0} L^2}$

(B) $R$ त्रिज्या और $\theta$ कोण वाले समान रूप से आवेशित चाप के कारण उसके केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{2k\lambda}{R} \sin(\frac{\theta}{2})$ द्वारा दिया जाता है,जो आवेश के ऋणात्मक होने के कारण चाप की दिशा में होता है।
यहाँ,चाप $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए विद्युत क्षेत्र के ऊर्ध्वाधर घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। परिणामी क्षेत्र धनात्मक $x$-दिशा में है।
कुल कोण $\theta = 120^{\circ} = \frac{2\pi}{3}$ रेडियन है।
रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \frac{-Q}{R\theta} = \frac{-Q}{R(2\pi/3)} = \frac{-3Q}{2\pi R}$ है।
विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = \frac{2k}{R} \cdot |\lambda| \cdot \sin(\frac{\theta}{2}) = \frac{2}{4\pi\varepsilon_{0}R} \cdot \frac{3Q}{2\pi R} \cdot \sin(60^{\circ})$.
$E = \frac{1}{2\pi\varepsilon_{0}R} \cdot \frac{3Q}{2\pi R} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}Q}{8\pi^{2}\varepsilon_{0}R^{2}}$.
चूंकि आवेश ऋणात्मक है,इसलिए क्षेत्र चाप की ओर यानी धनात्मक $x$-दिशा $(\hat{i})$ में होगा।

(B) मान लीजिए कि तीसरे आवेश $q$ को $-5\, \mu C$ आवेश से $x$ दूरी पर,$20\, \mu C$ आवेश की विपरीत दिशा में रखा गया है।
कुल विद्युत बल शून्य होने के लिए,उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र शून्य होना चाहिए।
$20\, \mu C$ आवेश के कारण $(5+x)$ दूरी पर और $-5\, \mu C$ आवेश के कारण $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए।
$\frac{k(20\, \mu C)}{(5+x)^2} = \frac{k(5\, \mu C)}{x^2}$
$\frac{20}{(5+x)^2} = \frac{5}{x^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{\sqrt{20}}{5+x} = \frac{\sqrt{5}}{x}$
$\frac{2\sqrt{5}}{5+x} = \frac{\sqrt{5}}{x}$
$2x = 5+x$
$x = 5\, cm$
अतः,यह बिंदु $-5\, \mu C$ आवेश से दाईं ओर $5\, cm$ की दूरी पर स्थित है।

(B) बिंदु $O$ पर विद्युत क्षेत्र प्रत्येक कोने पर स्थित आवेशों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग है।
मान लीजिए $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}$ है।
सभी आवेश $O$ से $l$ दूरी पर स्थित हैं।
क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर खंडों के लिए,$l$ दूरी पर स्थित आवेशों के विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग करके कुल विद्युत क्षेत्र की गणना की जा सकती है।
दी गई संरचना और समरूपता के आधार पर,बिंदु $O$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$E = \frac{k q}{2l^{2}}(2 \sqrt{2}-1)$.

(B) माना आवेश $q_A = +8 \times 10^{-6}\,C$ और $q_B = -8 \times 10^{-6}\,C$ हैं। उनके बीच की दूरी $d$ है। मध्य बिंदु $O$ प्रत्येक आवेश से $r = d/2$ की दूरी पर है।
आवेश $A$ के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र $E_A = \frac{K|q_A|}{r^2} = \frac{Kq}{(d/2)^2}$ है,जो $B$ की दिशा में है।
आवेश $B$ के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र $E_B = \frac{K|q_B|}{r^2} = \frac{Kq}{(d/2)^2}$ है,जो भी $B$ की दिशा में है।
$O$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $E_0 = E_A + E_B = 2 \times \frac{Kq}{(d/2)^2} = \frac{8Kq}{d^2}$ है।
दिया गया है $E_0 = 6.4 \times 10^4\,NC^{-1}$,$K = 9 \times 10^9\,Nm^2C^{-2}$,और $q = 8 \times 10^{-6}\,C$:
$6.4 \times 10^4 = \frac{8 \times (9 \times 10^9) \times (8 \times 10^{-6})}{d^2}$
$d^2 = \frac{8 \times 9 \times 10^9 \times 8 \times 10^{-6}}{6.4 \times 10^4} = \frac{576 \times 10^3}{6.4 \times 10^4} = \frac{576}{64} = 9$
$d = \sqrt{9} = 3\,m$.

(A) माना वर्ग की भुजा $a$ है। कोने $A$ पर स्थित आवेश $(q/2)$ के कारण कोने $D$ पर विद्युत क्षेत्र $E_A = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q/2}{a^2} = \frac{kq}{2a^2}$ ($AD$ की दिशा में) है।
कोने $C$ पर स्थित आवेश $(q/2)$ के कारण कोने $D$ पर विद्युत क्षेत्र $E_C = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q/2}{a^2} = \frac{kq}{2a^2}$ ($CD$ की दिशा में) है।
$E_A$ और $E_C$ का परिणामी विद्युत क्षेत्र $E_{AC} = \sqrt{E_A^2 + E_C^2} = \sqrt{(\frac{kq}{2a^2})^2 + (\frac{kq}{2a^2})^2} = \frac{kq}{2a^2} \sqrt{2} = \frac{kq}{\sqrt{2}a^2}$ (विकर्ण $BD$ की दिशा में) है।
कोने $B$ पर स्थित आवेश $(q)$ के कारण कोने $D$ पर विद्युत क्षेत्र $E_B = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{(\sqrt{2}a)^2} = \frac{kq}{2a^2}$ (विकर्ण $BD$ की दिशा में) है।
चूंकि $E_{AC}$ और $E_B$ दोनों एक ही विकर्ण $BD$ की दिशा में हैं,इसलिए $D$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $E_{net} = E_{AC} + E_B = \frac{kq}{\sqrt{2}a^2} + \frac{kq}{2a^2} = \frac{kq}{a^2} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2})$ होगा।
$k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ रखने पर,हमें $E_{net} = \frac{q}{4 \pi \epsilon_0 a^2} (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2})$ प्राप्त होता है।