Electric Field Questions in Hindi

(B) मान लीजिए आवेशों $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d$ है। मान लीजिए कि जिस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र शून्य है,वह आवेश $A$ से $x$ दूरी पर स्थित है।
विद्युत क्षेत्र को शून्य होने के लिए,दोनों आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र के परिमाण समान होने चाहिए और उनकी दिशाएं विपरीत होनी चाहिए।
$1$. $A$ और $B$ के बीच: $+Q$ और $-2 Q$ के कारण क्षेत्र एक ही दिशा में हैं,इसलिए कुल क्षेत्र शून्य नहीं हो सकता।
$2$. $B$ के दाईं ओर: $-2 Q$ के कारण क्षेत्र हमेशा $+Q$ के कारण क्षेत्र से अधिक शक्तिशाली होता है क्योंकि $-2 Q$ का परिमाण बड़ा है और यह इस क्षेत्र के किसी भी बिंदु के करीब है। अतः,कुल क्षेत्र शून्य नहीं हो सकता।
$3$. $A$ के बाईं ओर: मान लीजिए बिंदु $A$ से $x$ दूरी पर है। $+Q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_A = \frac{kQ}{x^2}$ (बाईं ओर) है और $-2 Q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_B = \frac{k(2Q)}{(d+x)^2}$ (दाईं ओर) है।
$E_A = E_B$ रखने पर,हमें $\frac{kQ}{x^2} = \frac{2kQ}{(d+x)^2}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(d+x)^2 = 2x^2$ या $d+x = \sqrt{2}x$ हो जाता है। इससे $x = \frac{d}{\sqrt{2}-1}$ प्राप्त होता है,जो एक सीमित दूरी है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र $A$ के बाईं ओर एक बिंदु पर शून्य होता है।

(D) किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $\vec{E}$ को उस बिंदु पर रखे गए इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश $q_0$ द्वारा अनुभव किए गए बल $\vec{F}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,यह $\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0}$ संबंध द्वारा दी जाती है।
अतः,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता उस बल के बराबर होती है जो एक इकाई धनात्मक आवेश उस बिंदु पर रखे जाने पर अनुभव करेगा।

(B) माना कि बिंदु $P$,आवेश $e$ से $x$ दूरी पर स्थित है। अतः $P$ की $3e$ आवेश से दूरी $(r-x)$ होगी।
बिंदु $P$ पर नेट विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,दोनों आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होनी चाहिए।
$E_1 = E_2$
$\frac{ke}{x^2} = \frac{k(3e)}{(r-x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{3}{(r-x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3}}{r-x}$
$r-x = \sqrt{3}x$
$r = x(1+\sqrt{3})$
$x = \frac{r}{(1+\sqrt{3})}$
अतः,वह बिंदु आवेश $e$ से $\frac{r}{(1+\sqrt{3})}$ की दूरी पर स्थित है।

(A) शून्य बिंदु $N$ पर,परीक्षण आवेश $q$ पर कुल विद्युत बल शून्य है,इसलिए यह संतुलन में है।
यदि परीक्षण आवेश $q$ को दोनों आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश थोड़ा विस्थापित किया जाता है,तो उस पर एक प्रत्यानयन बल कार्य करेगा,जिसका अर्थ है कि यह इस अक्ष के अनुदिश स्थिर संतुलन में है।
हालाँकि,यदि परीक्षण आवेश $q$ को दोनों आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत थोड़ा विस्थापित किया जाता है,तो $Q_1$ और $Q_2$ से विद्युत बलों के घटक विस्थापन की दिशा में ही कार्य करेंगे,जो आवेश को शून्य बिंदु से और दूर धकेल देंगे।
चूंकि आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत विस्थापन के लिए संतुलन अस्थिर है,इसलिए संतुलन की समग्र स्थिति को अस्थिर माना जाता है।

(D) विद्युत क्षेत्र $E$ द्वारा आवेश $q$ पर क्षेत्र के साथ $\theta$ कोण पर $d$ विस्थापन के लिए किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = q E d \cos \theta$
दिया गया है:
$q = 0.2 \, C$
$d = 2 \, m$
$\theta = 60^{\circ}$
$W = 4 \, J$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$4 = (0.2) \times E \times 2 \times \cos(60^{\circ})$
चूंकि $\cos(60^{\circ}) = 0.5$:
$4 = 0.2 \times E \times 2 \times 0.5$
$4 = 0.2 \times E$
$E = \frac{4}{0.2} = 20 \, N / C$
अतः,$E$ का मान $20 \, N / C$ है।

(A) मान लीजिए कि आवेश $q_1 = 10\,\mu C$,$x_1 = 0$ पर है और आवेश $q_2 = 40\,\mu C$,$x_0$ पर है।
बिंदु $P$ $(x = 2\,cm)$ पर $q_1$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{K q_1}{r_1^2} = \frac{K \times 10}{(2)^2}$ (दाहिनी ओर की दिशा में) है।
बिंदु $P$ पर $q_2$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{K q_2}{r_2^2} = \frac{K \times 40}{(x_0 - 2)^2}$ (बाईं ओर की दिशा में) है।
$P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,$E_1 = E_2$ होना चाहिए।
$\frac{K \times 10}{2^2} = \frac{K \times 40}{(x_0 - 2)^2}$
$\frac{10}{4} = \frac{40}{(x_0 - 2)^2}$
$(x_0 - 2)^2 = \frac{40 \times 4}{10} = 16$
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर,$x_0 - 2 = 4$ (क्योंकि विद्युत क्षेत्रों को एक-दूसरे को निरस्त करने के लिए आवेश को $P$ के दाईं ओर होना चाहिए)।
$x_0 = 6\,cm$.

(B) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E} = \frac{A}{x^2} \hat{i} + \frac{B}{y^3} \hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ का $SI$ मात्रक $N \, C^{-1}$ (न्यूटन प्रति कूलम्ब) है।
प्रथम पद के लिए: $[\frac{A}{x^2}] = N \, C^{-1}$। यहाँ $x$ दूरी है जिसे मीटर $(m)$ में मापा जाता है,इसलिए $[A] = N \, C^{-1} \cdot m^2 = N \, m^2 \, C^{-1}$।
द्वितीय पद के लिए: $[\frac{B}{y^3}] = N \, C^{-1}$। यहाँ $y$ दूरी है जिसे मीटर $(m)$ में मापा जाता है,इसलिए $[B] = N \, C^{-1} \cdot m^3 = N \, m^3 \, C^{-1}$।
अतः,$A$ और $B$ के मात्रक क्रमशः $N \, m^2 \, C^{-1}$ और $N \, m^3 \, C^{-1}$ हैं।

(A) $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत विभव $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि निकाय में सभी आवेश धनात्मक हैं,इसलिए विभव $V = \sum \frac{kq_i}{r_i}$ हमेशा धनात्मक पदों का योग होगा,जो अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर (अनंत को छोड़कर) कभी शून्य नहीं हो सकता है।
हालाँकि,विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \sum \frac{kq_i}{r_i^2} \hat{r}_i$ एक सदिश राशि है। आवेशों के समूह के लिए,अंतरिक्ष में ऐसे बिंदु हो सकते हैं जहाँ व्यक्तिगत आवेशों के विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग शून्य हो जाता है,जिसके परिणामस्वरूप कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
इसलिए,धनात्मक आवेशों के निकाय के लिए,कुल विभव शून्य नहीं हो सकता है,लेकिन किसी बिंदु पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य हो सकता है।

(B) मान लीजिए कि दो आवेश $q$ को $(0, a)$ और $(0, -a)$ पर रखा गया है। एक परीक्षण आवेश $q_0$ को $(x, 0)$ पर रखा गया है।
प्रत्येक आवेश द्वारा $q_0$ पर लगाया गया बल $F' = \frac{K q q_0}{x^2 + a^2}$ है।
इन बलों के $y$-अक्ष पर घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जबकि $x$-अक्ष पर घटक जुड़ जाते हैं।
परिणामी बल $F = 2 F' \cos \theta = 2 \left( \frac{K q q_0}{x^2 + a^2} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \right) = \frac{2 K q q_0 x}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$ है।
अधिकतम बल ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{dF}{dx} = 0$ रखते हैं।
$\frac{d}{dx} [x(x^2 + a^2)^{-3/2}] = (x^2 + a^2)^{-3/2} + x \cdot (-\frac{3}{2}) (x^2 + a^2)^{-5/2} \cdot 2x = 0$.
$(x^2 + a^2)^{-3/2} = 3x^2 (x^2 + a^2)^{-5/2}$.
$x^2 + a^2 = 3x^2 \implies 2x^2 = a^2 \implies x = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
इसकी तुलना $\frac{a}{\sqrt{x}}$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(C) अनंत रेखा आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E_L = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ है और अनंत शीट आवेश के कारण $E_S = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}$ है।
चूंकि बिंदु $P$ और $Q$ रेखा और शीट के बीच में हैं,इसलिए क्षेत्र विपरीत दिशाओं में हैं।
बिंदु $P$ पर $(r_P = \frac{3}{\pi} \ m)$: $E_P = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 (3/\pi)} - \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (\frac{\lambda}{3} - \sigma)$.
बिंदु $Q$ पर $(r_Q = \frac{4}{\pi} \ m)$: $E_Q = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 (4/\pi)} - \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (\frac{\lambda}{4} - \sigma)$.
दिया गया है $2|\sigma| = |\lambda|$,इसलिए हम $\lambda = 2\sigma$ लेते हैं।
$E_P = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (\frac{2\sigma}{3} - \sigma) = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (-\frac{\sigma}{3})$. परिमाण $|E_P| = \frac{\sigma}{6 \varepsilon_0}$.
$E_Q = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (\frac{2\sigma}{4} - \sigma) = \frac{1}{2 \varepsilon_0} (-\frac{\sigma}{2})$. परिमाण $|E_Q| = \frac{\sigma}{4 \varepsilon_0}$.
$\frac{E_P}{E_Q} = \frac{\sigma / 6 \varepsilon_0}{\sigma / 4 \varepsilon_0} = \frac{4}{6}$.
$\frac{4}{a}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 6$ प्राप्त होता है।

(B) वलय के केंद्र पर $d\theta$ कोण अंतरित करने वाले एक छोटे अवयव पर विचार करें। इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda (R d\theta)$ है, जहाँ $\lambda = \frac{Q}{2\pi R}$ रैखिक आवेश घनत्व है。
केंद्रीय आवेश $q_0$ के कारण इस अवयव पर लगने वाला स्थिर वैद्युत बल $dF = \frac{k q_0 dq}{R^2} = \frac{k q_0 \lambda R d\theta}{R^2} = \frac{k q_0 \lambda d\theta}{R}$ है。
यह बल अवयव के सिरों पर तनाव $T$ के त्रिज्यीय घटक द्वारा संतुलित होता है: $2T \sin(\frac{d\theta}{2}) \approx 2T(\frac{d\theta}{2}) = T d\theta$.
बलों को संतुलित करने पर: $T d\theta = \frac{k q_0 \lambda d\theta}{R} \implies T = \frac{k q_0 \lambda}{R}$.
$\lambda = \frac{Q}{2\pi R}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $T = \frac{k q_0 Q}{2\pi R^2}$ प्राप्त होता है。
यहाँ $q_0 = 30 \, pC$, $Q = 2\pi \, pC$, $R = 0.3 \, m$, और $k = 9 \times 10^9 \, Nm^2/C^2$ है。
गणना करने पर, यदि आवेश के मान माइक्रो-कूलॉम में हों तो $T = 3 \, N$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि $P$ आवेश $q$ से $x$ दूरी पर स्थित वह बिंदु है जहाँ परिणामी विद्युत क्षेत्र शून्य है।
बिंदु $P$ पर,आवेश $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र और आवेश $3q$ के कारण विद्युत क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।
अतः,$\left|\vec{E}_q\right| = \left|\vec{E}_{3q}\right|$.
विद्युत क्षेत्र के सूत्र $E = \frac{kq}{d^2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{kq}{x^2} = \frac{k(3q)}{(r-x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{3}{(r-x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{3}}{r-x}$
$r - x = \sqrt{3}x$
$r = x(1 + \sqrt{3})$
$x = \frac{r}{1 + \sqrt{3}}$

(B) मान लीजिए कि धागे द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण $\theta$ है। ज्यामिति से,$\sin \theta = \frac{10 \ cm}{20 \ cm} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$ है।
संतुलन की स्थिति में,कण पर कार्य करने वाले बल हैं: धागे में तनाव $T$,नीचे की ओर भार $mg$,और दीवार से दूर क्षैतिज दिशा में विद्युत बल $qE$।
बलों को वियोजित करने पर: $T \sin \theta = qE$ और $T \cos \theta = mg$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\tan \theta = \frac{qE}{mg}$।
दिया गया है $m = 2 \ g = 2 \times 10^{-3} \ kg$,$E = 2 \times 10^4 \ N/C$,$g = 10 \ m/s^2$,और $\theta = 30^{\circ}$।
$\tan 30^{\circ} = \frac{q \times 2 \times 10^4}{2 \times 10^{-3} \times 10} = \frac{q \times 2 \times 10^4}{2 \times 10^{-2}} = q \times 10^6$।
$\frac{1}{\sqrt{3}} = q \times 10^6 \implies q = \frac{1}{\sqrt{3}} \times 10^{-6} \ C = \frac{1}{\sqrt{3}} \ \mu C$।
$\frac{1}{\sqrt{x}} \ \mu C$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3$ प्राप्त होता है।

(C) माना आवेशों से बिंदु $P$ तक की दूरी $r_1$ और $r_2$ है। ज्यामिति से,$r_1 = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20} \text{ cm}$ और $r_2 = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$ है।
$q_2$ के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{K q_2}{r_1^2} = \frac{K q_2}{20}$ है। $Y$-अक्ष के अनुदिश इसका घटक $E_{1y} = E_1 \cos \beta = \frac{K q_2}{20} \cdot \frac{4}{\sqrt{20}}$ है।
$q_3$ के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{K q_3}{r_2^2} = \frac{K q_3}{25}$ है। $Y$-अक्ष के अनुदिश इसका घटक $E_{2y} = E_2 \cos \theta = \frac{K q_3}{25} \cdot \frac{4}{5}$ है।
$Y$-अक्ष पर नेट विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,इन घटकों के परिमाण बराबर होने चाहिए: $\frac{K q_2}{20} \cdot \frac{4}{\sqrt{20}} = \frac{K q_3}{25} \cdot \frac{4}{5}$.
सरल करने पर,$\frac{q_2}{20 \sqrt{20}} = \frac{q_3}{125} \Rightarrow \frac{q_2}{q_3} = \frac{20 \sqrt{20}}{125} = \frac{4 \sqrt{20}}{25} = \frac{4 \cdot 2 \sqrt{5}}{25} = \frac{8 \sqrt{5}}{25} = \frac{8}{5 \sqrt{5}}$.
इसकी तुलना $\frac{8}{5 \sqrt{x}}$ से करने पर,हमें $x = 5$ प्राप्त होता है।

(A) प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d} = \frac{200}{0.01} = 2 \times 10^4 \ V/m$ है।
तेल की बूंद को तैरने के लिए,विद्युत बल को गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए: $qE = mg$।
यहाँ,$q = ne$,जहाँ $n$ इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है।
गोलाकार तेल की बूंद का द्रव्यमान $m = \rho V_{drop} = \rho \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$ है।
मान रखने पर: $n \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (2 \times 10^4) = 900 \times \frac{4}{3} \times 3.14 \times (8 \times 10^{-7})^3 \times 10$।
$n \times 3.2 \times 10^{-15} = 1200 \times 3.14 \times 512 \times 10^{-21} \times 10$।
$n \times 3.2 \times 10^{-15} = 1.93 \times 10^{-14}$।
$n = \frac{1.93 \times 10^{-14}}{3.2 \times 10^{-15}} \approx 6.03$।
अतः,इलेक्ट्रॉनों की संख्या $6$ है।

(C) माना छोटे गोले की त्रिज्या $R$ और केंद्र $C_1$ है,और बड़े गोले की त्रिज्या $2R$ और केंद्र $C_2$ है। $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $3R$ है।
स्थिति $1$: बिंदु $P$,$C_1$ से $C_2$ की ओर $2R$ दूरी पर है। $P$ बड़े गोले के अंदर $C_2$ से $R$ दूरी पर है।
गोले $1$ के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र: $E_1 = \frac{k Q_1}{(2R)^2} = \frac{k (\rho_1 \cdot \frac{4}{3} \pi R^3)}{4R^2} = \frac{k \rho_1 \pi R}{3}$.
गोले $2$ के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र: $E_2 = \frac{k Q_2 r}{R_{2}^3} = \frac{k (\rho_2 \cdot \frac{4}{3} \pi (2R)^3) \cdot R}{(2R)^3} = \frac{4}{3} k \rho_2 \pi R$.
$E_{net} = 0$ के लिए,$E_1 = E_2 \implies \frac{\rho_1}{3} = \frac{4}{3} \rho_2 \implies \frac{\rho_1}{\rho_2} = 4$.
स्थिति $2$: बिंदु $Q$,$C_1$ से $C_2$ के विपरीत दिशा में $2R$ दूरी पर है। $Q$ दोनों गोलों के बाहर है।
$Q$ की $C_1$ से दूरी $2R$ है,और $C_2$ से दूरी $2R + 3R = 5R$ है।
$E_1 = \frac{k Q_1}{(2R)^2} = \frac{k \rho_1 \pi R}{3}$.
$E_2 = \frac{k Q_2}{(5R)^2} = \frac{k (\rho_2 \cdot \frac{4}{3} \pi (2R)^3)}{25R^2} = \frac{32}{75} k \rho_2 \pi R$.
$E_{net} = 0$ के लिए,$E_1 + E_2 = 0 \implies \frac{\rho_1}{3} + \frac{32}{75} \rho_2 = 0 \implies \frac{\rho_1}{\rho_2} = -\frac{32}{25}$.
अतः,संभावित अनुपात $4$ और $-\frac{32}{25}$ हैं।

(A) ओवरलैपिंग क्षेत्र में किसी बिंदु $P$ के लिए,पहले गोले के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_1 = \frac{\rho \vec{r}_1}{3 \varepsilon_0}$ है,जहाँ $\vec{r}_1$ केंद्र $C_1$ के सापेक्ष बिंदु $P$ का स्थिति सदिश है।
दूसरे गोले के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_2 = \frac{-\rho \vec{r}_2}{3 \varepsilon_0}$ है,जहाँ $\vec{r}_2$ केंद्र $C_2$ के सापेक्ष बिंदु $P$ का स्थिति सदिश है।
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_P = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} (\vec{r}_1 - \vec{r}_2)$ है।
चूंकि $\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = \vec{C}_2 C_1$ (एक नियत सदिश) है,इसलिए कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_P = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0} \vec{C}_2 C_1$ का परिमाण और दिशा दोनों नियत रहते हैं।
चूंकि विद्युत क्षेत्र शून्य नहीं है और एकसमान है,इसलिए ओवरलैपिंग क्षेत्र में विभव नियत नहीं है।
अतः,कथन $(C)$ और $(D)$ सही हैं।

(C) केंद्र $O$ से प्रत्येक आवेश की दूरी $d = a \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ है।
$(A)$ जब $x=q$ होता है,तो सभी छह आवेश समान होते हैं और सममित रूप से रखे जाते हैं। सममिति के कारण,$O$ पर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। कथन $(A)$ सही है।
$(B)$ जब $x=-q$ होता है,तो पांच $q$ आवेश एक ऐसा क्षेत्र उत्पन्न करते हैं जो $x$ की स्थिति पर $-q$ आवेश और $x$ की स्थिति पर अतिरिक्त $q$ आवेश (षट्कोण को पूरा करने के लिए) के क्षेत्र के बराबर होता है। $O$ पर कुल क्षेत्र $x$ पर $-q$ आवेश और अतिरिक्त $-q$ आवेश के कारण होता है,जिसका परिमाण $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2q}{d^2} = \frac{2q}{4\pi\epsilon_0 (3a^2/4)} = \frac{2q}{3\pi\epsilon_0 a^2}$ होता है। यह दिए गए मान से मेल नहीं खाता है। कथन $(B)$ गलत है।
$(C)$ विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum \frac{q_i}{d} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 d} (5q + x)$ है। $x=2q$ के लिए,$V = \frac{7q}{4\pi\epsilon_0 (\sqrt{3}a/2)} = \frac{7q}{2\sqrt{3}\pi\epsilon_0 a}$ होता है। यह मेल नहीं खाता है। कथन $(C)$ गलत है।
$(D)$ $x=-3q$ के लिए,$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 d} (5q - 3q) = \frac{2q}{4\pi\epsilon_0 (\sqrt{3}a/2)} = \frac{q}{\sqrt{3}\pi\epsilon_0 a}$ होता है। यह मेल नहीं खाता है। कथन $(D)$ गलत है।
दिए गए विकल्पों का पुनर्मूल्यांकन करने पर,केवल $(A)$ सही है।

(A) माना कि बिंदु $P$ मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से $x$-अक्ष पर $x$ दूरी पर है,जहाँ कुल विद्युत क्षेत्र शून्य है।
बिंदु $P$ पर,मूल बिंदु पर स्थित $+q$ आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र और $(d, 0, 0)$ पर स्थित $+9q$ आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए।
अतः,$\frac{kq}{x^2} = \frac{k(9q)}{(d-x)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{1}{x} = \frac{3}{d-x}$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए हल करने पर: $d - x = 3x$,जिससे $4x = d$ प्राप्त होता है,या $x = d/4$.
अतः,बिंदु $P$ का निर्देशांक $(d/4, 0, 0)$ है।

(C) $R$ त्रिज्या वाली एक समान रूप से आवेशित रिंग की अक्ष पर $z$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का मान इस प्रकार है:
$E = \frac{kQz}{(z^2 + R^2)^{3/2}}$
वह स्थिति ज्ञात करने के लिए जहाँ विद्युत क्षेत्र अधिकतम है,हम $E$ का $z$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dE}{dz} = kQ \left[ \frac{(z^2 + R^2)^{3/2} - z \cdot \frac{3}{2}(z^2 + R^2)^{1/2} \cdot 2z}{(z^2 + R^2)^3} \right] = 0$
$(z^2 + R^2)^{3/2} - 3z^2(z^2 + R^2)^{1/2} = 0$
$(z^2 + R^2) - 3z^2 = 0$
$R^2 - 2z^2 = 0$
$z = \frac{R}{\sqrt{2}}$
दी गई त्रिज्या $R = a\sqrt{2}$ को इस व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$z = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = a$
अतः,विद्युत क्षेत्र $z = a$ पर अधिकतम है।

(B) केंद्र पर आवेशित चाप के कारण विद्युत क्षेत्र उसके कोण समद्विभाजक (angle bisector) की दिशा में होता है। चाप $AB$ (एक चौथाई वृत्त) के लिए,$O$ पर विद्युत क्षेत्र $E$,त्रिज्याओं $OA$ और $OB$ से $45^\circ$ के कोण पर होता है।
इस क्षेत्र $E$ को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है: $E_x = E \cos(45^\circ) = E / \sqrt{2}$ (ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में,$D$ की ओर) और $E_y = E \sin(45^\circ) = E / \sqrt{2}$ (ऋणात्मक $y$-अक्ष की दिशा में,$C$ की ओर)।
चाप $ABC$ दो समान चौथाई चापों $AB$ और $BC$ से मिलकर बना है।
चाप $AB$ के लिए,क्षेत्र $\vec{E}_{AB} = (-E/\sqrt{2}) \hat{i} + (-E/\sqrt{2}) \hat{j}$ है।
चाप $BC$ के लिए,क्षेत्र $\vec{E}_{BC} = (E/\sqrt{2}) \hat{i} + (-E/\sqrt{2}) \hat{j}$ है।
इनका सदिश योग करने पर,$x$-घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं और $y$-घटक जुड़ जाते हैं:
$\vec{E}_{ABC} = \vec{E}_{AB} + \vec{E}_{BC} = 0 \hat{i} + (-2E/\sqrt{2}) \hat{j} = -\sqrt{2} E \hat{j}$।
अतः,इसका परिमाण $\sqrt{2} E$ है।

(B) मान लीजिए कि आवेश $A$ और $B$ बिंदुओं पर $r$ दूरी पर स्थित हैं। $A$ पर आवेश $Q$ है और $B$ पर आवेश $-3 Q$ है।
$B$ पर स्थित आवेश के कारण $A$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_A = E \hat{i}$ दिया गया है।
$-3 Q$ के कारण $A$ पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = \frac{k | -3Q |}{r^2} = \frac{3kQ}{r^2}$ है।
अतः,$\frac{kQ}{r^2} = \frac{E}{3}$ प्राप्त होता है।
अब,$A$ पर स्थित आवेश $(Q)$ के कारण $B$ पर विद्युत क्षेत्र $A$ से दूर की दिशा में होगा (क्योंकि $Q$ धनात्मक है)। यदि हम $A$ से $B$ की ओर के सदिश को $\hat{i}$ मानें,तो $A$ के कारण $B$ पर क्षेत्र $\vec{E}_B = \frac{kQ}{r^2} \hat{i}$ होगा।
$\frac{kQ}{r^2}$ का मान रखने पर,हमें $\vec{E}_B = \frac{E}{3} \hat{i}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि $X$-अक्ष पर बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र शून्य है, जिसका निर्देशांक $x$ है। $+Q$ आवेश के कारण $x=a$ पर विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{KQ}{(x-a)^2}$ है। $-2Q$ आवेश के कारण $x=2a$ पर विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{K(2Q)}{(x-2a)^2}$ है.

परिणामी क्षेत्र शून्य होने के लिए, $E_1 = E_2$ होना चाहिए, इसलिए $\frac{Q}{(x-a)^2} = \frac{2Q}{(x-2a)^2}$.

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{|x-a|} = \frac{\sqrt{2}}{|x-2a|}$.

इससे $|x-2a| = \sqrt{2}|x-a|$ प्राप्त होता है.

हल करने पर, $x = a(2-\sqrt{2})$ प्राप्त होता है.

(D) $R$ त्रिज्या और $-Q$ आवेश वाली वलय की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_{ring} = \frac{k Q x}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आवेश $-Q$ है,क्षेत्र वलय की दिशा में होगा। मान लीजिए क्षेत्र $E_1 = \frac{k Q x}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$ है।
केंद्र पर रखे बिंदु आवेश $q$ के कारण $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{k q}{x^2}$ है।
$x = R$ पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,$E_1 = E_2$ होना चाहिए।
$E_1$ के व्यंजक में $x = R$ रखने पर: $E_1 = \frac{k Q R}{(R^2 + R^2)^{3/2}} = \frac{k Q R}{(2R^2)^{3/2}} = \frac{k Q R}{2\sqrt{2} R^3} = \frac{k Q}{2\sqrt{2} R^2}$।
अब $E_1 = E_2$ की तुलना करने पर: $\frac{k Q}{2\sqrt{2} R^2} = \frac{k q}{R^2}$।
अतः,$q = \frac{Q}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) आवेशित वलय की अक्ष पर $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र है:
$E = \frac{KQx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
यहाँ $x = \sqrt{8} R$ दिया गया है,इसलिए मान रखने पर:
$E = \frac{KQ(\sqrt{8} R)}{(R^2 + (\sqrt{8} R)^2)^{3/2}}$
$E = \frac{\sqrt{8} KQR}{(R^2 + 8R^2)^{3/2}}$
$E = \frac{\sqrt{8} KQR}{(9R^2)^{3/2}}$
$E = \frac{\sqrt{8} KQR}{27 R^3}$
$E = \frac{\sqrt{8} KQ}{27 R^2}$
चूंकि $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$,इसलिए इस व्यंजक को $\frac{2\sqrt{2} KQ}{27 R^2}$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(A) एक बिंदु आवेश $Q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQ}{r^2} = 500 \ V/m$ द्वारा दिया जाता है।
एक बिंदु आवेश $Q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V = \frac{kQ}{r} = 3000 \ V$ द्वारा दिया जाता है।
विभव के व्यंजक को विद्युत क्षेत्र के व्यंजक से विभाजित करने पर:
$\frac{V}{E} = \frac{kQ/r}{kQ/r^2} = \frac{r^2}{r} = r$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$r = \frac{3000 \ V}{500 \ V/m} = 6 \ m$.
अतः,दूरी $6 \ m$ है।

(C) $X$-अक्ष पर मूलबिंदु से $x$ दूरी पर स्थित आवेश $Q$ पर लगने वाला कुल बल दोनों आवेशों $q$ द्वारा लगाए गए बलों का योग है। प्रत्येक आवेश $q$ से $Q$ की दूरी $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ है।
प्रत्येक आवेश द्वारा लगाया गया बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qQ}{x^2 + a^2}$ है।
इस बल का $X$-अक्ष की दिशा में घटक $F_x = F \cos\theta = F \frac{x}{r} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{qQx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$ है।
चूंकि ऐसे दो आवेश हैं,इसलिए कुल बल $F_{net} = 2 F_x = \frac{1}{2\pi\epsilon_0} \frac{qQx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$ है।
यह बल मूलबिंदु से दूर (प्रतिकर्षण) कार्य करता है। चूंकि आवेश $Q$ को $(2a, 0)$ पर मुक्त किया गया है,इसलिए यह $X$-अक्ष पर मूलबिंदु से दूर अनंत की ओर धकेला जाएगा। अतः,यह अनंत तक जाएगा।

(C) गोलीय चालक की सतह के ठीक ऊपर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{kQ}{R^2}$ है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$,$Q = ne$ कुल आवेश है,और $R$ त्रिज्या है।
दिया गया है: $E = 0.036 \ N/C = 3.6 \times 10^{-2} \ N/C$,$R = 0.1 \ m = 10^{-1} \ m$,और $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$.
मान रखने पर: $3.6 \times 10^{-2} = \frac{9 \times 10^9 \times n \times 1.6 \times 10^{-19}}{(10^{-1})^2}$.
$3.6 \times 10^{-2} = \frac{14.4 \times 10^{-10} \times n}{10^{-2}}$.
$3.6 \times 10^{-2} = 14.4 \times 10^{-8} \times n$.
$n = \frac{3.6 \times 10^{-2}}{14.4 \times 10^{-8}} = \frac{3.6}{14.4} \times 10^6 = 0.25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^5$.
चूंकि प्रश्न में $10^4$ के रूप में उत्तर मांगा गया है,इसलिए $n = 25 \times 10^4$ होगा।

(A) मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ नेट विद्युत क्षेत्र शून्य है, $-4 q$ (जो $x=L$ पर है) के दाईं ओर $r$ दूरी पर स्थित है।
इस बिंदु की $+10 q$ (जो $x=0$ पर है) से दूरी $(L+r)$ होगी।
$+10 q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{K(10 q)}{(L+r)^2}$ और $-4 q$ के कारण $E_2 = \frac{K(4 q)}{r^2}$ है।
नेट विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए, $E_1 = E_2$ होना चाहिए।
$\frac{10 q}{(L+r)^2} = \frac{4 q}{r^2}$
$\frac{\sqrt{10}}{L+r} = \frac{2}{r}$
$\frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}{L+r} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{r}$
$\frac{\sqrt{5}}{L+r} = \frac{\sqrt{2}}{r}$
$\sqrt{5} r = \sqrt{2} L + \sqrt{2} r$
$r(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = \sqrt{2} L$
$r = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} L$
चूंकि $r$ बिंदु $B$ (जहाँ $-4 q$ स्थित है) के दाईं ओर की दूरी है, इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(B) मान लीजिए कि बिंदु $P$ मूल बिंदु से $x$ दूरी पर है। चूंकि आवेश विपरीत चिन्ह के हैं,इसलिए वह बिंदु जहाँ नेट विद्युत क्षेत्र शून्य है,आवेशों के बीच के क्षेत्र के बाहर,छोटे परिमाण वाले आवेश $(-2 q)$ की ओर स्थित होना चाहिए।
मान लीजिए मूल बिंदु से बिंदु $P$ की दूरी $x$ है। तब $X=L$ पर स्थित $-2 q$ आवेश से $P$ की दूरी $(x-L)$ होगी।
$+8 q$ के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{8 q}{x^2}$ है।
$-2 q$ के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{2 q}{(x-L)^2}$ है।
नेट क्षेत्र शून्य होने के लिए,$E_1 = E_2$:
$\frac{8 q}{x^2} = \frac{2 q}{(x-L)^2}$
$\frac{4}{x^2} = \frac{1}{(x-L)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{2}{x} = \frac{1}{x-L}$ (धनात्मक वर्गमूल लेने पर क्योंकि $x > L$)
$2(x-L) = x$
$2x - 2L = x$
$x = 2L$.
अतः,मूल बिंदु से बिंदु $P$ की स्थिति $2 L$ है।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक शीर्ष से समबाहु त्रिभुज के केंद्र की दूरी $r$ है। केंद्र पर विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभव का बीजगणितीय योग है: $V = V_{2q} + V_{-q} + V_{-q} = \frac{k(2q)}{r} + \frac{k(-q)}{r} + \frac{k(-q)}{r} = \frac{k}{r}(2q - q - q) = 0$. अतः,केंद्र पर विभव शून्य है।
विद्युत क्षेत्र के लिए,सदिश $\vec{E}_{2q}, \vec{E}_{-q},$ और $\vec{E}_{-q}$ माध्यिकाओं की दिशा में हैं। चूंकि दो $-q$ आवेशों के कारण क्षेत्रों का परिमाण समान है और उनका परिणामी आधार के मध्य बिंदु की ओर निर्देशित है,और $2q$ आवेश के कारण क्षेत्र उससे दूर निर्देशित है,इसलिए इन क्षेत्रों का सदिश योग शून्य नहीं है। अतः,केंद्र पर विद्युत क्षेत्र शून्य नहीं है।

(D) $R$ त्रिज्या वाले गोलाकार चालक द्वारा बाह्य विद्युत क्षेत्र $E$ में धारण किया जा सकने वाला अधिकतम आवेश $Q_{\text{max}}$ सूत्र $Q_{\text{max}} = 4 \pi \varepsilon_0 R^2 E$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
व्यास $d = 6 \ mm$,इसलिए त्रिज्या $R = 3 \ mm = 3 \times 10^{-3} \ m$.
विद्युत क्षेत्र $E = 2 \times 10^7 \ N/C$.
स्थिरांक $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \ N \cdot m^2/C^2$.
मान रखने पर:
$Q_{\text{max}} = \frac{1}{9 \times 10^9} \times (3 \times 10^{-3})^2 \times (2 \times 10^7)$
$Q_{\text{max}} = \frac{1}{9 \times 10^9} \times (9 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^7)$
$Q_{\text{max}} = 10^{-15} \times 2 \times 10^7 = 2 \times 10^{-8} \ C$
$Q_{\text{max}} = 0.02 \times 10^{-6} \ C = 0.02 \ \mu C$.

(A) माना केंद्र $O$ से प्रत्येक शीर्ष की दूरी $r$ है। $r$ दूरी पर स्थित आवेश $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{r^2}$ है।
माना $\vec{E}_A, \vec{E}_B, \vec{E}_C, \vec{E}_D, \vec{E}_E, \vec{E}_F$ क्रमशः $A, B, C, D, E, F$ पर स्थित आवेशों के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र हैं।
आवेश हैं: $A(+q), B(-q), C(-q), D(+q), E(+Q), F(-q)$।
$O$ पर विद्युत क्षेत्र:
$\vec{E}_A$ की दिशा $A$ से दूर ($D$ की ओर) है।
$\vec{E}_D$ की दिशा $D$ से दूर ($A$ की ओर) है।
चूंकि $q_A = q_D = +q$,इसलिए $\vec{E}_A + \vec{E}_D = 0$।
इसी प्रकार,$\vec{E}_B$ की दिशा $B$ की ओर ($E$ से दूर) है,और $\vec{E}_E$ की दिशा $E$ से दूर ($B$ की ओर) है।
$\vec{E}_C$ की दिशा $C$ की ओर ($F$ से दूर) है,और $\vec{E}_F$ की दिशा $F$ की ओर ($C$ से दूर) है।
माना $\vec{E}_0$ आवेशों $A, B, C, D, F$ के कारण परिणामी क्षेत्र है।
$\vec{E}_0 = \vec{E}_A + \vec{E}_B + \vec{E}_C + \vec{E}_D + \vec{E}_F$।
चूंकि $\vec{E}_A + \vec{E}_D = 0$,इसलिए $\vec{E}_0 = \vec{E}_B + \vec{E}_C + \vec{E}_F$।
ये सभी संबंधित शीर्षों की ओर निर्देशित हैं (क्योंकि ये ऋणात्मक आवेश $-q$ हैं): $\vec{E}_B$ $B$ की ओर,$\vec{E}_C$ $C$ की ओर,$\vec{E}_F$ $F$ की ओर।
समरूपता के कारण,इन तीन क्षेत्रों का परिणामी $E$ की ओर निर्देशित $\frac{kq}{r^2}$ परिमाण का एक सदिश है।
दिया गया है: $|\vec{E}_0| = 2 |\vec{E}_E|$,जहाँ $\vec{E}_E$ $E$ पर $+Q$ के कारण क्षेत्र है।
$\frac{kq}{r^2} = 2 \frac{kQ}{r^2} \implies Q = \frac{q}{2}$।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक शीर्ष से केंद्र $O$ तक की दूरी $r$ है। $r$ दूरी पर स्थित $q$ आवेश के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{r^2}$ होता है।
$1$. $A (+q)$ और $D (+q)$ पर स्थित आवेश $O$ पर समान परिमाण लेकिन विपरीत दिशा में विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं। अतः, वे एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
$2$. $F (-q)$ और $C (-q)$ पर स्थित आवेश $O$ पर समान परिमाण लेकिन विपरीत दिशा में विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं। अतः, वे भी एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
$3$. ${A, B, C, D, F}$ के समूह में से बचा हुआ एकमात्र आवेश शीर्ष $B$ पर स्थित $-q$ है। इस आवेश के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र $E_{net} = \frac{kq}{r^2}$ है जो $B$ की दिशा में है।
$4$. $E$ पर स्थित $+Q$ आवेश के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र $E_Q = \frac{kQ}{r^2}$ है जो $E$ से दूर की दिशा में है।
$5$. प्रश्न के अनुसार, $E_{net} = 3 E_Q$.
$6$. मान रखने पर: $\frac{kq}{r^2} = 3 \left( \frac{kQ}{r^2} \right)$.
$7$. $Q$ के लिए हल करने पर, हमें $Q = \frac{q}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि गोले $A$ और गोले $B$ के केंद्रों के बीच की दूरी $r$ है। गोले $A$ के कारण बिंदु $B$ पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{KQ}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$A$ और $B$ के बीच के मध्य बिंदु पर,प्रत्येक केंद्र से दूरी $d = \frac{r}{2}$ है।
मध्य बिंदु पर गोले $A$ (आवेश $Q$) के कारण विद्युत क्षेत्र $E_A = \frac{KQ}{(r/2)^2} = \frac{4KQ}{r^2} = 4E$ है।
मध्य बिंदु पर गोले $B$ (आवेश $-2Q$) के कारण विद्युत क्षेत्र $E_B = \frac{K|-2Q|}{(r/2)^2} = \frac{8KQ}{r^2} = 8E$ है।
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में ( $A$ से दूर और $B$ की ओर) निर्देशित हैं,इसलिए कुल विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E_{total} = E_A + E_B = 4E + 8E = 12E$ होगा।

(A) मान लीजिए कि ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर $dl = r d\theta$ लंबाई का एक छोटा अवयव है। इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda dl = \lambda r d\theta$ है।
इस अवयव के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{\lambda d\theta}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ है।
समरूपता के कारण,विद्युत क्षेत्र के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। हमें केवल ऊर्ध्वाधर घटक $dE \cos \theta$ का $-\pi/2$ से $\pi/2$ तक समाकलन करने की आवश्यकता है।
$E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda \cos \theta d\theta}{4 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}$.
$E = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r} (1 - (-1)) = \frac{2 \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 r} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$.

(A) $r$ त्रिज्या और $\lambda$ रैखिक आवेश घनत्व वाले चाप के कारण उसके केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{2 k \lambda}{r} \sin \alpha$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $2\alpha$ चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कुल कोण है।
अर्धवृत्ताकार चाप के लिए,अंतरित कुल कोण $180^{\circ}$ है,इसलिए $2\alpha = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $\alpha = 90^{\circ}$।
$k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ और $\alpha = 90^{\circ}$ को सूत्र में रखने पर:
$E = \frac{2 (\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}) \lambda}{r} \sin(90^{\circ})$
चूंकि $\sin(90^{\circ}) = 1$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$E = \frac{2 \lambda}{4 \pi \epsilon_0 r} = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r}$.

(B) आवेशित गोले के केंद्र से $r$ $(r \ge R)$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r^{2}}$ है।
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ को $\sigma = \frac{q}{4 \pi R^{2}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका अर्थ है $q = 4 \pi R^{2} \sigma$.
$q$ का मान विद्युत क्षेत्र के समीकरण में रखने पर:
$E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{4 \pi R^{2} \sigma}{r^{2}}$
$E = \frac{R^{2} \sigma}{\epsilon_{0} r^{2}}$
$r^{2}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$r^{2} = \frac{R^{2} \sigma}{\epsilon_{0} E}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$r = R \sqrt{\frac{\sigma}{\epsilon_{0} E}}$.

(B) विद्युत क्षेत्र में ऊर्जा घनत्व $U$ का सूत्र $U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2$ है,जहाँ $E$ विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है।
$Q$ आवेश वाले $r$ त्रिज्या के एक पृथक चालक गोले के लिए,उसकी सतह के ठीक बाहर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$ होता है।
इस मान को ऊर्जा घनत्व के सूत्र में रखने पर: $U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 \left( \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \right)^2 = \frac{Q^2}{32 \pi^2 \varepsilon_0 r^4}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $Q$ स्थिर है,इसलिए $U \propto \frac{1}{r^4}$ है।
दी गई त्रिज्याओं $R_A = R$,$R_B = 2R$,और $R_C = 3R$ के लिए:
$U_A \propto \frac{1}{R^4}$,$U_B \propto \frac{1}{(2R)^4} = \frac{1}{16R^4}$,और $U_C \propto \frac{1}{(3R)^4} = \frac{1}{81R^4}$।
इन मानों की तुलना करने पर,यह स्पष्ट है कि $U_A > U_B > U_C$ है।

(B) कथन $A$ मूल प्रश्न में अधूरा था,लेकिन सामान्य तौर पर,एक आवेशित गोलीय कोश के बाहर के बिंदु $(r > R)$ के लिए,विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2}$ होता है,जो केंद्र से दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है। हालाँकि,कोश के अंदर $(r < R)$ विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। इसलिए,कथन $A$ सामान्य संदर्भ में अस्पष्ट है.
कथन $B$ सही है। $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r}$ होता है,जो दर्शाता है कि $V \propto \frac{1}{r}$.
अतः,केवल कथन $B$ सही है.

(D) विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेश $q$ द्वारा अनुभव किया गया बल $F$,सूत्र $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है और प्रोटॉन के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = 5 \times 10^{11} \ NC^{-1}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = (1.6 \times 10^{-19} \ C) \times (5 \times 10^{11} \ NC^{-1})$
$F = 8.0 \times 10^{-8} \ N$.
अतः,इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के बीच बल का परिमाण $8 \times 10^{-8} \ N$ है।

(A) दिया गया है:
$E_1 = 9 \times 10^4 \text{ NC}^{-1}$
$r_1 = 2 \text{ cm}$
$r_2 = 3 \text{ cm}$
अनंत रेखीय आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र:
$E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $E \propto \frac{1}{r}$ है।
इसलिए,दो अलग-अलग दूरियों पर विद्युत क्षेत्रों का अनुपात:
$\frac{E_2}{E_1} = \frac{r_1}{r_2}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{E_2}{9 \times 10^4} = \frac{2 \text{ cm}}{3 \text{ cm}}$
$E_2$ के लिए हल करने पर:
$E_2 = \frac{9 \times 10^4 \times 2}{3}$
$E_2 = 3 \times 10^4 \times 2$
$E_2 = 6 \times 10^4 \text{ NC}^{-1}$
अतः,$3 \text{ cm}$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र $6 \times 10^4 \text{ NC}^{-1}$ है।

(D) मान लीजिए कि दो आवेश $q_1 = +10^{-8} \text{ C}$ और $q_2 = -10^{-8} \text{ C}$ हैं। उनके बीच की दूरी $d = 0.1 \text{ m}$ है।
आवेशों को जोड़ने वाली रेखा का केंद्र प्रत्येक आवेश से $r = d/2 = 0.05 \text{ m}$ की दूरी पर है।
बिंदु आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \text{ Nm}^2\text{C}^{-2}$ है।
केंद्र पर,धनात्मक आवेश $q_1$ के कारण विद्युत क्षेत्र उससे दूर (ऋणात्मक आवेश की ओर) इंगित करता है,और ऋणात्मक आवेश $q_2$ के कारण विद्युत क्षेत्र भी उसी की ओर इंगित करता है।
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में हैं,इसलिए कुल विद्युत क्षेत्र $E_{total} = E_1 + E_2$ होगा।
$E_1 = \frac{k |q_1|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-8}}{(0.05)^2} = \frac{90}{0.0025} = 3.6 \times 10^4 \text{ NC}^{-1}$.
$E_2 = \frac{k |q_2|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-8}}{(0.05)^2} = 3.6 \times 10^4 \text{ NC}^{-1}$.
$E_{total} = 3.6 \times 10^4 + 3.6 \times 10^4 = 7.2 \times 10^4 \text{ NC}^{-1}$.

(D) एक नियमित षट्कोण में,प्रत्येक कोने से केंद्र तक की दूरी षट्कोण की भुजा की लंबाई के बराबर होती है,$r = 1 \ m$।
मान लीजिए कि कोने $A, B, C, D, E, F$ हैं और कोने $F$ पर आवेश अनुपस्थित है।
किसी कोने पर आवेश $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{r^2}$ होता है,जो आवेश से दूर की दिशा में होता है।
कोने $A$ पर आवेश $(E_A)$ और कोने $D$ पर आवेश $(E_D)$ के कारण विद्युत क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
इसी प्रकार,कोने $B$ $(E_B)$ और कोने $E$ $(E_E)$ पर आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
केंद्र पर परिणामी विद्युत क्षेत्र केवल कोने $C$ पर स्थित आवेश के कारण होगा।
$E_{net} = E_C = \frac{kq}{r^2}$
यहाँ $q = 1 \mu C = 10^{-6} \ C$ और $r = 1 \ m$ दिया गया है:
$E_{net} = \frac{k \times 10^{-6}}{(1)^2} = 10^{-6} k \ N/C$।

(D) दिया गया है: $q_1 = +16 \mu C$,$q_2 = -9 \mu C$,दूरी $d = 10 \ cm$.
मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ परिणामी विद्युत क्षेत्र शून्य है,$-9 \mu C$ आवेश से $x$ दूरी पर है। चूंकि आवेश विपरीत हैं,इसलिए शून्य बिंदु आवेशों के बीच के क्षेत्र के बाहर,छोटे परिमाण वाले आवेश के करीब स्थित होगा।
शून्य बिंदु पर,$q_1$ के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण $q_2$ के कारण विद्युत क्षेत्र के परिमाण के बराबर होना चाहिए।
$E_1 = E_2$
$\frac{k |q_1|}{(d + x)^2} = \frac{k |q_2|}{x^2}$
$\frac{16}{(10 + x)^2} = \frac{9}{x^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{4}{10 + x} = \frac{3}{x}$
$4x = 3(10 + x)$
$4x = 30 + 3x$
$x = 30 \ cm$
अतः,$-9 \mu C$ आवेश से $30 \ cm$ की दूरी पर परिणामी विद्युत क्षेत्र शून्य होगा।

(B) माना मूल बिंदु पर आवेश $q = 10^{-9} \ C$ है और $(2, 0, 0) \ m$ पर आवेश $Q$ है।
बिंदु $P$ को $(3, 1, 1) \ m$ मानिए।
मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ के सापेक्ष $P$ का स्थिति सदिश $\vec{r}_1 = (3 - 0)\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (1 - 0)\hat{k} = 3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
इसका परिमाण $r_1 = |\vec{r}_1| = \sqrt{3^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{11} \ m$ है।
$(2, 0, 0)$ पर स्थित आवेश $Q$ के सापेक्ष $P$ का स्थिति सदिश $\vec{r}_2 = (3 - 2)\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (1 - 0)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
इसका परिमाण $r_2 = |\vec{r}_2| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3} \ m$ है।
$P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \frac{kq}{r_1^3}\vec{r}_1 + \frac{kQ}{r_2^3}\vec{r}_2$ है।
विद्युत क्षेत्र का $Y$-घटक $E_y = \frac{kq}{r_1^3}(y_1) + \frac{kQ}{r_2^3}(y_2) = 0$ है।
मान रखने पर: $k \left[ \frac{10^{-9} \times 1}{(\sqrt{11})^3} + \frac{Q \times 1}{(\sqrt{3})^3} \right] = 0$.
$\frac{Q}{3\sqrt{3}} = -\frac{10^{-9}}{11\sqrt{11}}$.
$Q = -10^{-9} \times \frac{3\sqrt{3}}{11\sqrt{11}} = -10^{-9} \times \left( \frac{3}{11} \right)^{1.5} \approx -0.1424 \times 10^{-9} \ C$.

(D) विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ को किसी बिंदु पर रखे गए इकाई धनात्मक आवेश $q$ द्वारा अनुभव किए गए बल $F$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $E = F/q$ द्वारा दिया जाता है।
बल का $SI$ मात्रक न्यूटन $(N)$ है और आवेश का $SI$ मात्रक कूलॉम $(C)$ है,इसलिए विद्युत क्षेत्र का मात्रक $N C^{-1}$ है।
वैकल्पिक रूप से,विद्युत क्षेत्र को विभव प्रवणता (potential gradient) के रूप में भी परिभाषित किया जाता है,$E = -dV/dr$।
विभव $V$ का $SI$ मात्रक वोल्ट $(V)$ है और दूरी $r$ का $SI$ मात्रक मीटर $(m)$ है,इसलिए विद्युत क्षेत्र का मात्रक $V m^{-1}$ है।
$N C^{-1}$ और $V m^{-1}$ दोनों विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के लिए समान मात्रक हैं। दिए गए विकल्पों में से,$V m^{-1}$ सही विकल्प है।

(B) सही विकल्प $B$ है।
मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A$,$B$ और $C$ हैं,जिनमें से प्रत्येक पर $+q$ आवेश है। प्रत्येक शीर्ष से केंद्रक $O$ की दूरी समान है,मान लीजिए कि यह $d$ है।
केंद्रक $O$ पर प्रत्येक आवेश द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का परिमाण समान $E = \frac{kq}{d^2}$ है।
ये विद्युत क्षेत्र सदिश $E_A$,$E_B$ और $E_C$ त्रिभुज की माध्यिकाओं के अनुदिश आवेशों से दूर की ओर निर्देशित हैं। चूंकि त्रिभुज समबाहु है,इसलिए ये सदिश एक-दूसरे के साथ $120^{\circ}$ के कोण पर स्थित हैं।
सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार,केंद्रक पर कुल विद्युत क्षेत्र इन तीन क्षेत्रों का सदिश योग है: $\vec{E}_{net} = \vec{E}_A + \vec{E}_B + \vec{E}_C$.
चूंकि सदिशों का परिमाण समान है और वे $120^{\circ}$ के कोण पर हैं,इसलिए उनका सदिश योग शून्य होता है। अतः,केंद्रक पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य है।

(A) विद्युत क्षेत्र $E$ को प्रति इकाई आवेश $q$ पर लगने वाले बल $F$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसका सूत्र $E = \frac{F}{q}$ है।
बल $F$ का विमीय सूत्र $[F] = M^1 L^1 T^{-2}$ होता है।
विद्युत आवेश $q$ का विमीय सूत्र $[q] = A^1 T^1$ होता है।
इन मानों को $E$ के सूत्र में रखने पर:
$[E] = \frac{[F]}{[q]} = \frac{M^1 L^1 T^{-2}}{A^1 T^1}$.
घातांकों को सरल करने पर:
$[E] = M^1 L^1 T^{-2-1} A^{-1} = M^1 L^1 T^{-3} A^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया है: हटाए गए इलेक्ट्रॉनों की संख्या $n = 4 \times 10^{10}$.
गोले का व्यास $= 20 \text{ cm}$,इसलिए त्रिज्या $R = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$.
केंद्र से दूरी $r = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$.
गोले पर आवेश $q = n \times e = 4 \times 10^{10} \times 1.6 \times 10^{-19} \text{ C} = 6.4 \times 10^{-9} \text{ C}$.
चूंकि बिंदु गोले के बाहर है $(r > R)$,इसलिए गोला अपने केंद्र पर एक बिंदु आवेश की तरह कार्य करता है।
विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $E = (9 \times 10^9) \times \frac{6.4 \times 10^{-9}}{(0.2)^2}$.
$E = \frac{9 \times 6.4}{0.04} = \frac{57.6}{0.04} = 1440 \text{ N C}^{-1}$.