Electric Field Questions in Hindi

(C) अर्ध-वृत्त पर $\theta$ कोण पर $dl = a d\theta$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए। इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda dl = \lambda a d\theta$ है।
केंद्र पर इस अवयव के कारण विद्युत क्षेत्र $dE = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{dq}{a^2} = \frac{\lambda d\theta}{4\pi \epsilon_0 a}$ है।
समरूपता के कारण,विद्युत क्षेत्र के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं और ऊर्ध्वाधर घटक जुड़ जाते हैं।
कुल विद्युत क्षेत्र $E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} dE \cos \theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 a} \cos \theta d\theta$ होगा।
$E = \frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 a} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 a} (1 - (-1)) = \frac{2\lambda}{4\pi \epsilon_0 a} = \frac{\lambda}{2\pi \epsilon_0 a}$.

(A) मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ नेट विद्युत क्षेत्र शून्य है,$+8q$ आवेश (जो $x=0$ पर है) से $r$ दूरी पर है।
चूंकि आवेशों के चिह्न विपरीत हैं,इसलिए शून्य क्षेत्र वाला बिंदु आवेशों के बीच के क्षेत्र के बाहर,छोटे परिमाण वाले आवेश $(-2q)$ के करीब स्थित होगा।
मान लीजिए $+8q$ से दूरी $r$ है,तो $-2q$ से दूरी $(r - L)$ होगी।
$+8q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{k(8q)}{r^2}$ है और $-2q$ के कारण $E_2 = \frac{k(2q)}{(r - L)^2}$ है।
नेट क्षेत्र शून्य होने के लिए,$E_1 = E_2$,इसलिए $\frac{8q}{r^2} = \frac{2q}{(r - L)^2}$.
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर: $\frac{\sqrt{8}}{r} = \frac{\sqrt{2}}{r - L}$.
$2\sqrt{2}(r - L) = \sqrt{2}r \Rightarrow 2r - 2L = r \Rightarrow r = 2L$.
अतः,वह बिंदु $x = 2L$ पर स्थित होगा।

(B) $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण मूल बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि आवेश $q, -q, q, -q, ...$ क्रमशः $x = 1, 2, 4, 8, ...$ मीटर की दूरी पर रखे गए हैं।
मूल बिंदु पर कुल विद्युत क्षेत्र प्रत्येक आवेश के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों का योग है:
$E_0 = \frac{kq}{1^2} + \frac{k(-q)}{2^2} + \frac{kq}{4^2} + \frac{k(-q)}{8^2} + ...$
$E_0 = kq \left( 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64} + ... \right)$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = -\frac{1}{4}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
$E_0 = kq \left( \frac{1}{1 - (-1/4)} \right) = kq \left( \frac{1}{1 + 1/4} \right) = kq \left( \frac{1}{5/4} \right) = \frac{4kq}{5}$.

(B) मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ विद्युत क्षेत्र शून्य है,$9e$ आवेश से $x$ दूरी पर है।
इस बिंदु पर,दोनों आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण समान होना चाहिए:
$\frac{k(9e)}{x^2} = \frac{k(3e)}{(r-x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{3}{x} = \frac{\sqrt{3}}{r-x}$
$3(r-x) = x\sqrt{3}$
$3r - 3x = x\sqrt{3}$
$3r = x(3 + \sqrt{3})$
$x = \frac{3r}{3 + \sqrt{3}}$
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर:
$x = \frac{r}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{r}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{r}{(1 + \sqrt{1/3})}$
अतः,$9e$ आवेश से दूरी $\frac{r}{(1 + \sqrt{1/3})}$ है।

(D) $R$ त्रिज्या और $Q$ कुल आवेश वाले एक समान रूप से आवेशित अचालक गोले के लिए:
$1$. गोले के अंदर $(r < R)$: विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQr}{R^3}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $E \propto r$,ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
$2$. सतह पर $(r = R)$: विद्युत क्षेत्र अधिकतम होता है,$E_{max} = \frac{kQ}{R^2}$।
$3$. गोले के बाहर $(r > R)$: गोला एक बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है,इसलिए $E = \frac{kQ}{r^2}$। चूंकि $E \propto \frac{1}{r^2}$,ग्राफ व्युत्क्रम-वर्ग के ह्रास वक्र का अनुसरण करता है।
अतः,सही ग्राफ $r = R$ तक रैखिक वृद्धि और $r > R$ के लिए व्युत्क्रम-वर्ग ह्रास को दर्शाता है,जो विकल्प $D$ के अनुरूप है।

(D) समान रूप से आवेशित अर्धवृत्ताकार रिंग के केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{2k\lambda}{r} \sin(\frac{\alpha}{2})$ है,जहाँ $\alpha$ केंद्र पर बना कोण है।
अर्धवृत्त के लिए,$\alpha = 180^\circ$,इसलिए $\sin(90^\circ) = 1$।
रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \frac{Q}{L} = \frac{Q}{\pi r}$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $E = \frac{2k(Q/\pi r)}{r} = \frac{2kQ}{\pi r^2}$।
दिया गया है: $k = 9 \times 10^9 \ N \ m^2/C^2$,$Q = 1.4 \times 10^{-9} \ C$,$r = 0.5 \ m$।
$E = \frac{2 \times (9 \times 10^9) \times (1.4 \times 10^{-9})}{\pi \times (0.5)^2} = \frac{25.2}{\pi \times 0.25} = \frac{100.8}{\pi} \approx 32.09 \ V/m$।
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,उत्तर $32 \ V/m$ प्राप्त होता है।

(C) बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{r^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,स्रोत आवेश एक ड्यूट्रॉन है। ड्यूट्रॉन का आवेश $q = +e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$ होता है।
दूरी $r = 1\,\mathring{A} = 10^{-10}\,\text{m}$ है।
मान रखने पर:
$E = \frac{(9 \times 10^9) \times (1.6 \times 10^{-19})}{(10^{-10})^2}$
$E = \frac{14.4 \times 10^{-10}}{10^{-20}}$
$E = 1.44 \times 10^{11}\,\text{N/C}$.

(B) बिंदु आवेश $q$ के कारण स्थिति सदिश $\vec{r}$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ का सूत्र $\vec{E} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q}{r^3} \vec{r}$ है।
यहाँ $q = 0.009 \ \mu C = 9 \times 10^{-9} \ C$ और $\vec{r} = \sqrt{2} \hat{i} + \sqrt{7} \hat{j}$ है।
स्थिति सदिश का परिमाण $r = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{7})^2} = \sqrt{2 + 7} = \sqrt{9} = 3 \ m$ है।
मान रखने पर: $\vec{E} = (9 \times 10^9) \times \frac{9 \times 10^{-9}}{3^3} (\sqrt{2} \hat{i} + \sqrt{7} \hat{j})$.
$\vec{E} = \frac{81}{27} (\sqrt{2} \hat{i} + \sqrt{7} \hat{j}) = 3(\sqrt{2} \hat{i} + \sqrt{7} \hat{j}) = (3\sqrt{2} \hat{i} + 3\sqrt{7} \hat{j}) \ N C^{-1}$.

(C) मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ विद्युत क्षेत्र शून्य है,$10 \, mC$ (बिंदु $A$) के आवेश से $x$ दूरी पर है।
$10 \, mC$ आवेश के कारण $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{k q_1}{x^2}$ है।
$20 \, mC$ आवेश के कारण $(80 - x)$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{k q_2}{(80 - x)^2}$ है।
विद्युत क्षेत्र के शून्य होने के लिए,$E_1 = E_2$ होना चाहिए,इसलिए $\frac{q_1}{x^2} = \frac{q_2}{(80 - x)^2}$।
दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर: $\frac{\sqrt{q_1}}{x} = \frac{\sqrt{q_2}}{80 - x}$।
मान रखने पर: $\frac{\sqrt{10}}{x} = \frac{\sqrt{20}}{80 - x}$।
$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{2}}{80 - x} \implies 80 - x = x\sqrt{2}$।
$80 = x(1 + \sqrt{2}) \implies x = \frac{80}{1 + 1.414} = \frac{80}{2.414} \approx 33.14 \, cm$।

(D) मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ विद्युत क्षेत्र शून्य है,$A$ है,और आवेश $-2q$ से बिंदु $A$ की दूरी $x$ है।
$+8q$ के कारण बिंदु $A$ पर विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{k(8q)}{(L+x)^2}$ (मूल बिंदु से दूर की दिशा में) है।
$-2q$ के कारण बिंदु $A$ पर विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{k(2q)}{x^2}$ (मूल बिंदु की दिशा में) है।
परिणामी विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,$E_1 = E_2$ होना चाहिए।
$\frac{k(8q)}{(L+x)^2} = \frac{k(2q)}{x^2}$
$\frac{4}{(L+x)^2} = \frac{1}{x^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{2}{L+x} = \frac{1}{x}$
$2x = L + x$
$x = L$
अतः,$x = 0$ से बिंदु $A$ की दूरी $L + x = L + L = 2L$ होगी।

(C) अर्धवृत्ताकार रिंग पर ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर $dl$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda dl = \lambda R d\theta$ है।
इस अवयव के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $dE = \frac{k dq}{R^2} = \frac{k \lambda R d\theta}{R^2} = \frac{k \lambda d\theta}{R}$ है।
सममिति के कारण,सममिति अक्ष के लंबवत विद्युत क्षेत्र के घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
कुल विद्युत क्षेत्र सममिति अक्ष के अनुदिश घटकों का समाकलन है: $E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} dE \cos \theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{k \lambda}{R} \cos \theta d\theta$.
$E = \frac{k \lambda}{R} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{k \lambda}{R} [1 - (-1)] = \frac{2k \lambda}{R}$.

(B) मान लीजिए कि दो आवेशों के बीच की दूरी $x$ है। $-3Q$ आवेश के कारण $Q$ की स्थिति पर विद्युत क्षेत्र $E$ इस प्रकार है:
$E = \frac{k| -3Q |}{x^2} = \frac{3kQ}{x^2}$
इसलिए,$\frac{kQ}{x^2} = \frac{E}{3}$.
अब,$Q$ आवेश के कारण $-3Q$ की स्थिति पर विद्युत क्षेत्र $E'$ इस प्रकार है:
$E' = \frac{k| Q |}{x^2} = \frac{kQ}{x^2}$
पहले समीकरण से मान रखने पर:
$E' = \frac{E}{3}$
चूंकि विद्युत क्षेत्र एक सदिश राशि है और $-3Q$ पर क्षेत्र $Q$ के कारण विपरीत दिशा में होता है,इसलिए इसका परिमाण $E/3$ है।

(D) एक घन में $8$ कोने होते हैं। मान लीजिए कि घन का केंद्र मूल बिंदु $(0,0,0)$ पर है।
प्रत्येक कोने पर रखे गए $+Q$ आवेश के लिए,विकर्ण के विपरीत कोने पर एक समान $+Q$ आवेश स्थित होता है।
एक कोने पर स्थित आवेश द्वारा घन के केंद्र पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{kQ}{d^2} \hat{r}$ है,जहाँ $d$ कोने से केंद्र तक की दूरी है।
विकर्ण के विपरीत कोने पर स्थित आवेश $\vec{E}' = \frac{kQ}{d^2} (-\hat{r}) = -\vec{E}$ विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
चूंकि ये दोनों क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
चूंकि यह विकर्ण के विपरीत सभी $4$ जोड़ों के लिए लागू होता है,इसलिए घन के केंद्र पर कुल विद्युत क्षेत्र $0$ होता है।

(C) मान लीजिए कि समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $A, B$ और $C$ हैं। $B$ और $C$ पर $Q$ आवेश रखे गए हैं।
$B$ पर स्थित आवेश के कारण शीर्ष $A$ पर विद्युत क्षेत्र $E_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{a^2}$ है,जो $BA$ की दिशा में है।
$C$ पर स्थित आवेश के कारण शीर्ष $A$ पर विद्युत क्षेत्र $E_C = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{a^2}$ है,जो $CA$ की दिशा में है।
$E_B$ और $E_C$ के बीच का कोण $60^\circ$ है।
परिणामी विद्युत क्षेत्र $E$ सदिश योग द्वारा प्राप्त होता है:
$E = \sqrt{E_B^2 + E_C^2 + 2E_B E_C \cos 60^\circ}$
चूंकि $E_B = E_C = E_0 = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0 a^2}$,इसलिए:
$E = \sqrt{E_0^2 + E_0^2 + 2E_0^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{3E_0^2} = \sqrt{3} E_0$
$E = \frac{\sqrt{3} Q}{4\pi \varepsilon_0 a^2}$

(B) मान लीजिए कि वह बिंदु जहाँ विद्युत क्षेत्र शून्य है,मूल बिंदु से $X$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में $x$ दूरी पर स्थित है। मान लीजिए यह दूरी $d = |x|$ है।
मूल बिंदु से $a$ दूरी पर स्थित $+Q$ आवेश के कारण बिंदु $P$ (मूल बिंदु से $d$ दूरी पर) पर विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{kQ}{(a+d)^2}$ बाईं ओर है।
मूल बिंदु से $2a$ दूरी पर स्थित $-2Q$ आवेश के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{k(2Q)}{(2a+d)^2}$ दाईं ओर है।
परिणामी विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,$E_1 = E_2$ होना चाहिए।
$\frac{kQ}{(a+d)^2} = \frac{2kQ}{(2a+d)^2}$
$\frac{1}{(a+d)^2} = \frac{2}{(2a+d)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{a+d} = \frac{\sqrt{2}}{2a+d}$
$2a + d = \sqrt{2}a + \sqrt{2}d$
$d(\sqrt{2} - 1) = a(2 - \sqrt{2})$
$d = a \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2}a$
चूँकि बिंदु $X$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में है,इसलिए निर्देशांक $x = -\sqrt{2}a$ होगा।

(A) मान लीजिए कि $Q_1 = 9e$ आवेश से $x_1$ दूरी पर और $Q_2 = 3e$ आवेश से $x_2$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र शून्य है,जहाँ $x_1 + x_2 = r$ है।
शून्य बिंदु पर,दोनों आवेशों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों के परिमाण समान होने चाहिए:
$\frac{k Q_1}{x_1^2} = \frac{k Q_2}{x_2^2}$
$\frac{9e}{x_1^2} = \frac{3e}{x_2^2}$
$\frac{x_1^2}{x_2^2} = \frac{9e}{3e} = 3$
$\frac{x_1}{x_2} = \sqrt{3} \implies x_1 = x_2 \sqrt{3}$
चूंकि $x_1 + x_2 = r$,इसलिए $x_2 \sqrt{3} + x_2 = r \implies x_2(1 + \sqrt{3}) = r \implies x_2 = \frac{r}{1 + \sqrt{3}}$ ($3e$ आवेश से दूरी)।
$x_1$ के लिए,$x_1 = r - x_2 = r - \frac{r}{1 + \sqrt{3}} = r \left( \frac{1 + \sqrt{3} - 1}{1 + \sqrt{3}} \right) = \frac{r \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{r}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}$.
अतः,$9e$ आवेश से $\frac{r}{1 + \sqrt{1/3}}$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र शून्य होगा।

(A) मान लीजिए कि जिस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र शून्य है,वह $-Q$ आवेश से $x$ दूरी पर छोटे परिमाण वाले आवेश की ओर स्थित है।
$R$ दूरी से अलग दो विपरीत आवेशों $q_1$ और $q_2$ के लिए,शून्य बिंदु (null point) आवेशों के बाहर छोटे परिमाण वाले आवेश की ओर स्थित होता है।
मान लीजिए $-Q$ से दूरी $x$ है। तो $2Q$ से दूरी $R + x$ होगी।
विद्युत क्षेत्रों के परिमाणों को बराबर करने पर: $\frac{k|Q|}{x^2} = \frac{k|2Q|}{(R + x)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{2}}{R + x}$.
$R + x = x\sqrt{2} \Rightarrow R = x(\sqrt{2} - 1)$.
$x = \frac{R}{\sqrt{2} - 1}$.
यह बिंदु $-Q$ आवेश से $\frac{R}{\sqrt{2} - 1}$ दूरी पर,$2Q$ आवेश से दूर की ओर स्थित है।

(D) समान रूप से आवेशित रिंग के केंद्र $O$ पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
मान लीजिए कि रिंग को चार समान भागों में विभाजित किया गया है: $AK$,$KB$,$BD$,और $DC$। प्रत्येक भाग पर $+Q/4$ आवेश है।
$AKB$ भाग के कारण केंद्र $O$ पर विद्युत क्षेत्र $AK$ और $KB$ के कारण क्षेत्रों का सदिश योग है। मान लीजिए कि यह परिणामी क्षेत्र $E$ है जो $KO$ की दिशा में है।
$ACDB$ भाग में $AC$,$CD$,और $DB$ खंड शामिल हैं।
समरूपता के कारण,$AC$ भाग पर आवेश के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र $BD$ भाग पर आवेश के कारण क्षेत्र के बराबर और विपरीत होता है। इस प्रकार,वे एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
इसलिए,$ACDB$ भाग के कारण $O$ पर शुद्ध विद्युत क्षेत्र केवल $CD$ भाग के कारण विद्युत क्षेत्र के बराबर होता है।
चूंकि पूरी रिंग का कुल क्षेत्र शून्य है,इसलिए $AKB$ के कारण क्षेत्र $ACDB$ के कारण क्षेत्र के बराबर और विपरीत होना चाहिए।
यदि $AKB$ के कारण क्षेत्र $KO$ की दिशा में $E$ है,तो $ACDB$ के कारण क्षेत्र $OK$ की दिशा में $E$ होना चाहिए ताकि सदिश योग शून्य हो सके।

(C) मान लीजिए कि $a$ भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज के दो शीर्षों पर $q_1 = q_2 = \eta q$ आवेश स्थित हैं। प्रत्येक आवेश के कारण तीसरे शीर्ष पर विद्युत क्षेत्र $E_1 = E_2 = \frac{\eta q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}$ है।
चूंकि दो विद्युत क्षेत्र सदिशों के बीच का कोण $60^\circ$ है,इसलिए परिणामी विद्युत क्षेत्र $E_3$ इस प्रकार होगा:
$E_3 = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2E_1 E_2 \cos 60^\circ} = \sqrt{E_1^2 + E_1^2 + 2E_1^2(1/2)} = \sqrt{3} E_1$.
$E_1 = \eta E_0$ रखने पर,हमें $E_3 = \sqrt{3} \eta E_0$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\eta^{-1} < \sqrt{3}$,इसका अर्थ है $\frac{1}{\eta} < \sqrt{3}$,जिसका तात्पर्य है $\sqrt{3} \eta > 1$।
अतः,$E_3 = (\sqrt{3} \eta) E_0 > 1 \cdot E_0$,यानी $E_3 > E_0$।

(C) मान लीजिए कि विद्युत क्षेत्र मूल बिंदु से $x$ दूरी पर $X$-अक्ष पर स्थित बिंदु $P$ पर शून्य हो जाता है।
मूल बिंदु पर $-q$ आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{kq}{x^2}$ (मूल बिंदु की ओर) है।
$(a, 0, 0)$ पर $+q/2$ आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{k(q/2)}{(x - a)^2}$ (मूल बिंदु से दूर) है।
कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,परिमाण समान होने चाहिए: $E_1 = E_2$।
$\frac{kq}{x^2} = \frac{kq/2}{(x - a)^2}$
$2(x - a)^2 = x^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\sqrt{2}(x - a) = x$ ($x > a$ क्षेत्र के लिए जहाँ क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर सकते हैं)।
$\sqrt{2}x - \sqrt{2}a = x$
$(\sqrt{2} - 1)x = \sqrt{2}a$
$x = \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{2} - 1}$

(A) समान रूप से आवेशित परिमित छड़ के लिए,बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र के घटक $E_x = \frac{k\lambda}{d}(\sin \theta_1 + \sin \theta_2)$ और $E_y = \frac{k\lambda}{d}(\cos \theta_2 - \cos \theta_1)$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिए गए चित्र में,छड़ $P$ से छड़ पर लंबवत रेखा के साथ $\theta_1 = 90^{\circ}$ और $\theta_2 = 30^{\circ}$ का कोण बनाती है।
अतः,$E_x = \frac{k\lambda}{d}(\sin 90^{\circ} + \sin 30^{\circ}) = \frac{k\lambda}{d}(1 + 0.5) = 1.5 \frac{k\lambda}{d}$।
और $E_y = \frac{k\lambda}{d}(\cos 30^{\circ} - \cos 90^{\circ}) = \frac{k\lambda}{d}(\frac{\sqrt{3}}{2} - 0) = 0.866 \frac{k\lambda}{d}$।
$x$-अक्ष के साथ परिणामी विद्युत क्षेत्र का कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{E_y}{E_x} = \frac{0.866}{1.5} = \frac{\sqrt{3}/2}{3/2} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^{\circ}$।

(B) एक समान रूप से आवेशित वलय की अक्ष पर $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{k Q x}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है।
$q$ आवेश और $m$ द्रव्यमान वाले कण के संतुलन के लिए,कुल बल $F = qE - mg = 0$ होता है।
स्थिर संतुलन के लिए शर्त $\frac{dF}{dx} < 0$ है।
अवकलन करने पर: $\frac{dF}{dx} = q \frac{dE}{dx} = qkQ \left[ \frac{(R^2 + x^2)^{3/2} - x \cdot \frac{3}{2}(R^2 + x^2)^{1/2} \cdot 2x}{(R^2 + x^2)^3} \right] < 0$.
व्यंजक को सरल करने पर: $(R^2 + x^2) - 3x^2 < 0$.
$R^2 - 2x^2 < 0 \Rightarrow 2x^2 > R^2 \Rightarrow x > \frac{R}{\sqrt{2}}$.
चूँकि कण $H$ ऊँचाई पर है,संतुलन स्थिर होगा यदि $H > \frac{R}{\sqrt{2}}$ हो।

(A) विद्युत बल का सूत्र $F = qE$ होता है।
दिया गया है: $F = 3000 \ N$,$q = 3 \ C$।
अतः,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = \frac{F}{q} = \frac{3000}{3} = 1000 \ V/m$ है।
विद्युत क्षेत्र रेखाओं के अनुदिश $d$ दूरी पर स्थित दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $V = Ed$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई दूरी $d = 1 \ cm = 0.01 \ m$ है।
मान रखने पर,$V = 1000 \times 0.01 = 10 \ V$।

(A) एक समान रूप से आवेशित ठोस गोले के अंदर किसी बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{\rho \vec{r}}{3 \epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ आयतन आवेश घनत्व है और $\vec{r}$ गोले के केंद्र के सापेक्ष बिंदु $P$ का स्थिति सदिश है।
अध्यारोपण (superposition) के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,हम गुहा को मूल गोले पर $-\rho$ आवेश घनत्व वाले गोले के रूप में मान सकते हैं।
गुहा के अंदर किसी भी बिंदु पर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$,ठोस गोले के कारण क्षेत्र और गुहा के ऋणात्मक आवेश घनत्व के कारण क्षेत्र का योग है:
$\vec{E} = \vec{E}_{sphere} + \vec{E}_{cavity} = \frac{\rho \vec{r}_1}{3 \epsilon_0} + \frac{-\rho \vec{r}_2}{3 \epsilon_0}$
यहाँ,$\vec{r}_1$ गोले के केंद्र से स्थिति सदिश है और $\vec{r}_2$ गुहा के केंद्र से स्थिति सदिश है। सदिश अंतर $\vec{r}_1 - \vec{r}_2$ केंद्रों के बीच के विस्थापन सदिश $\vec{l}$ के बराबर है।
इसलिए,$\vec{E} = \frac{\rho}{3 \epsilon_0} (\vec{r}_1 - \vec{r}_2) = \frac{\rho \vec{l}}{3 \epsilon_0}$.
चूंकि आवेश $q$ पर बल $\vec{F} = q\vec{E}$ है,इसलिए बल $\vec{F} = q \frac{\rho \vec{l}}{3 \epsilon_0}$ होगा।
अतः,बल विस्थापन सदिश $\vec{l}$ की दिशा के समानांतर है।

(C) $1$. रिंग की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विभव $V = \frac{KQ}{\sqrt{R^2 + x^2}}$ द्वारा दिया जाता है। $x = 3R$ दिया गया है,इसलिए $V = \frac{KQ}{\sqrt{R^2 + (3R)^2}} = \frac{KQ}{\sqrt{10}R}$। अतः,विकल्प $A$ सही है।
$2$. समान रूप से आवेशित रिंग के लिए,विद्युत क्षेत्र $E = \frac{KQx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$ होता है। $x = 3R$ पर,$E = \frac{KQ(3R)}{(R^2 + 9R^2)^{3/2}} = \frac{3KQR}{(10R^2)^{3/2}} = \frac{3KQ}{10\sqrt{10}R^2}$।
$3$. चूंकि आवेश असमान रूप से वितरित है,इसलिए $P$ पर विद्युत क्षेत्र का मान समान रूप से आवेशित रिंग के समान होना आवश्यक नहीं है। वितरण के आधार पर क्षेत्र का परिमाण भिन्न हो सकता है। इसलिए,यह कथन कि क्षेत्र का मान $\frac{3KQ}{10\sqrt{10}R^2}$ के बराबर ही होना चाहिए,गलत है। विकल्प $C$ गलत कथन है।

(D) अर्ध-वृत्ताकार वलय पर एक छोटा अवयव $dl$ मानिए। इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda dl$ है,जहाँ $\lambda = \frac{q}{\pi r}$ रैखिक आवेश घनत्व है।
चूँकि $dl = r d\theta$,इसलिए $dq = \left(\frac{q}{\pi r}\right) (r d\theta) = \frac{q}{\pi} d\theta$ होगा।
इस अवयव के कारण केंद्र $O$ पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $dE = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{\pi r^2} d\theta = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} d\theta$ है।
सममिति के कारण,ऊर्ध्वाधर अक्ष के विपरीत दिशाओं में स्थित अवयवों के क्षैतिज घटक $(dE \cos\theta)$ एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
नेट विद्युत क्षेत्र ऊर्ध्वाधर घटकों $(dE \sin\theta)$ का $\theta = 0$ से $\pi$ तक का समाकलन है।
$E = \int_0^{\pi} dE \sin\theta = \int_0^{\pi} \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} \sin\theta d\theta$.
$E = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} [-\cos\theta]_0^{\pi} = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} (-(-1) - (-1)) = \frac{q}{4\pi^2\varepsilon_0 r^2} (2) = \frac{q}{2\pi^2\varepsilon_0 r^2}$.
चूँकि आवेश धनात्मक है और ऊपरी अर्ध-वृत्त पर स्थित है,केंद्र पर क्षेत्र नीचे की ओर यानी $-\hat{j}$ दिशा में होगा।
अतः,$\vec{E} = -\frac{q}{2\pi^2\varepsilon_0 r^2} \hat{j}$।

(C) एक समान रूप से आवेशित गोले के अंदर,विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\rho r}{3\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ केंद्र से दूरी है।
$C$ और $D$ के बीच अतिव्याप्त क्षेत्र में,कुल विद्युत क्षेत्र $S_1$ और $S_2$ के कारण विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग है।
मान लीजिए $r_1$ केंद्र $O_1$ से दूरी है और $r_2$ केंद्र $O_2$ से दूरी है। $S_1$ के कारण क्षेत्र $E_1 = \frac{\rho r_1}{3\epsilon_0}$ ($O_1$ से दूर की दिशा में) है और $S_2$ के कारण क्षेत्र $E_2 = \frac{\rho r_2}{3\epsilon_0}$ ($O_2$ की दिशा में) है।
चूंकि अतिव्याप्त क्षेत्र में दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में ($O_1$ से $O_2$ की ओर) हैं,इसलिए कुल क्षेत्र $E_{net} = E_1 + E_2 = \frac{\rho}{3\epsilon_0} (r_1 + r_2)$ है।
चूंकि केंद्रों $O_1$ और $O_2$ के बीच की दूरी स्थिर $(d = r_1 + r_2)$ है,इसलिए अतिव्याप्त क्षेत्र में कुल विद्युत क्षेत्र $E_{net} = \frac{\rho d}{3\epsilon_0}$ स्थिर रहता है।

(C) मान लीजिए आवेश $Q$ की स्थिति $A$ है और आवेश $-2Q$ की स्थिति $B$ है। उनके बीच की दूरी $r$ है।
बिंदु $B$ पर स्थित आवेश $-2Q$ के कारण बिंदु $A$ पर विद्युत क्षेत्र:
$\vec E = \frac{k(-2Q)}{r^2} \hat{r}_{BA} = \frac{2kQ}{r^2} \hat{r}_{AB}$ (जहाँ $\hat{r}_{AB}$,$A$ से $B$ की दिशा में एकांक सदिश है)।
बिंदु $A$ पर स्थित आवेश $Q$ के कारण बिंदु $B$ पर विद्युत क्षेत्र:
$\vec E' = \frac{kQ}{r^2} \hat{r}_{AB}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\vec E' = \frac{1}{2} \left( \frac{2kQ}{r^2} \hat{r}_{AB} \right) = \frac{\vec E}{2}$.
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा ($A$ से $B$ की ओर) में हैं,इसलिए $B$ पर विद्युत क्षेत्र $+\frac{\vec E}{2}$ होगा।

(B) माना वर्ग के कोने $A, B, C, D$ हैं। आवेश $q_A = q, q_B = 2q, q_C = -4q, q_D = 2q$ हैं।
प्रत्येक कोने से केंद्र $O$ की दूरी $r = \frac{b}{\sqrt{2}}$ है।
आवेश $Q$ के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 b^2}$ होता है।
$q_A$ के कारण $O$ पर क्षेत्र: $\vec{E}_A = \frac{q}{2\pi \varepsilon_0 b^2}$ ($A$ से दूर,$C$ की ओर)।
$q_C$ के कारण $O$ पर क्षेत्र: $\vec{E}_C = \frac{4q}{2\pi \varepsilon_0 b^2}$ ($C$ की ओर)।
$AC$ के अनुदिश कुल क्षेत्र: $\vec{E}_{AC} = \vec{E}_A + \vec{E}_C = \frac{5q}{2\pi \varepsilon_0 b^2}$ ($C$ की ओर)।
चूंकि $q_B$ और $q_D$ समान हैं,$BD$ के अनुदिश कुल क्षेत्र शून्य होगा।
अतः,परिणामी विद्युत क्षेत्र $\frac{5q}{2\pi \varepsilon_0 b^2}$ है,जो $+q$ से $-4q$ की दिशा में है।

(D) मान लीजिए कि वर्ग $xy$-तल में है और इसका केंद्र मूल बिंदु पर है। ऊर्ध्वाधर अक्ष $z$-अक्ष है। चार कोने $(\pm a/\sqrt{2}, \pm a/\sqrt{2}, 0)$ पर हैं।
तीन कोनों पर आवेश $q$ है,और एक कोने पर आवेश $Q+q$ है।
अक्ष से $r_i$ दूरी पर स्थित आवेश $q_i$ के कारण $z$-अक्ष पर विद्युत क्षेत्र का घटक $E_{z,i} = \frac{k q_i z}{(r_i^2 + z^2)^{3/2}}$ है।
तीन आवेशों $q$ के लिए,ऊर्ध्वाधर घटकों का योग $E_{z,1+2+3} = \frac{3kqz}{(r^2 + z^2)^{3/2}}$ है।
चौथे आवेश $(Q+q)$ के लिए,ऊर्ध्वाधर घटक $E_{z,4} = \frac{k(Q+q)z}{(r^2 + z^2)^{3/2}}$ है।
$z$-अक्ष के अनुदिश कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,$E_{z,1+2+3} + E_{z,4} = 0$ होना चाहिए।
$3kq + (Q+q) = 0 \implies Q+q = -3q \implies Q = -4q$.

(C) रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ वाली एक अर्ध-अनंत आवेशित रेखा के लिए,रेखा के सिरे से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{k\lambda}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जो रेखा के साथ $45^\circ$ के कोण पर होता है।
हालाँकि,दिए गए विन्यास की समरूपता का उपयोग करते हुए,मान लीजिए कि धनात्मक आवेशित रेखा $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है और ऋणात्मक आवेशित रेखा $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
धनात्मक आवेशित रेखा के कारण विद्युत क्षेत्र $(E_+)$ रेखा से दूर की ओर इंगित करता है,और ऋणात्मक आवेशित रेखा के कारण विद्युत क्षेत्र $(E_-)$ रेखा की ओर इंगित करता है।
समरूपता के कारण,$x$-अक्ष पर विद्युत क्षेत्रों के घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जबकि $y$-अक्ष पर घटक जुड़ जाते हैं।
इस प्रकार,परिणामी विद्युत क्षेत्र $E_R$ धनात्मक $y$-अक्ष की दिशा में होता है।
धनात्मक $y$-अक्ष की दिशा में इकाई सदिश $\hat j$ है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) चाप पर एक छोटे अवयव पर विचार करें जो ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर है और जिसकी कोणीय चौड़ाई $d\theta$ है। इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda (R d\theta) = (\lambda_0 \sin \theta) R d\theta$ है।
केंद्र $P$ पर इस अवयव के कारण विद्युत क्षेत्र $dE = \frac{k dq}{R^2} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\lambda_0 \sin \theta R d\theta}{R^2} = \frac{\lambda_0 \sin \theta d\theta}{4\pi \epsilon_0 R}$ है।
समरूपता के कारण,विद्युत क्षेत्र के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। कुल विद्युत क्षेत्र $E_1$ ऊर्ध्वाधर अक्ष की दिशा में है और यह $-\pi/2$ से $\pi/2$ तक के घटकों $dE \sin \theta$ का समाकलन है:
$E_1 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda_0 \sin \theta d\theta}{4\pi \epsilon_0 R} \sin \theta = \frac{\lambda_0}{4\pi \epsilon_0 R} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 \theta d\theta = \frac{\lambda_0}{4\pi \epsilon_0 R} \left[ \frac{\theta}{2} - \frac{\sin(2\theta)}{4} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{\lambda_0}{4\pi \epsilon_0 R} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\lambda_0}{8 \epsilon_0 R}$.
अतः,$\frac{\lambda_0}{\epsilon_0 E_1 R} = \frac{\lambda_0}{\epsilon_0 (\lambda_0 / 8 \epsilon_0 R) R} = 8$.

(A) एक बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = k|q|/r^2$ द्वारा दिया जाता है।
$x_1 = 2$ और $x_2 = 4$ पर दो समान धनात्मक आवेशों के लिए, किसी भी बिंदु $x$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $E_{net}$ दोनों आवेशों के क्षेत्रों का सदिश योग है।
$1$. आवेशों के पास ($x \to 2$ या $x \to 4$), क्षेत्र का परिमाण अनंत की ओर जाता है क्योंकि $r \to 0$ होता है।
$2$. मध्य बिंदु $x = 3$ पर, $x = 2$ पर स्थित आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E_1 = kq/(3-2)^2 = kq$ ($+x$ दिशा में) है, और $x = 4$ पर स्थित आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E_2 = kq/(4-3)^2 = kq$ ($-x$ दिशा में) है।
$3$. इस प्रकार, $x = 3$ पर, $E_{net} = E_1 - E_2 = 0$ होता है।
$4$. ग्राफ को $x = 2$ और $x = 4$ पर एक विलक्षणता (asymptote) और $x = 3$ पर शून्य मान दिखाना चाहिए।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर, जो ग्राफ $x=2$ और $x=4$ पर $E \to \infty$ और $x=3$ पर $E=0$ दिखाता है, वही सही है।

(C) $1$. दाईं ओर स्थित धनावेशित आयताकार इंसुलेटर मूल बिंदु पर एक विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_+$ उत्पन्न करता है जो इससे दूर,दूसरे चतुर्थांश की ओर निर्देशित होता है।
$2$. बाईं ओर स्थित ऋणावेशित आयताकार इंसुलेटर मूल बिंदु पर एक विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_-$ उत्पन्न करता है जो इसकी ओर,दूसरे चतुर्थांश की ओर निर्देशित होता है।
$3$. चूंकि इंसुलेटर सममित रूप से रखे गए हैं और समान आवेश परिमाण रखते हैं,इसलिए इन विद्युत क्षेत्रों के परिमाण समान हैं,अर्थात $|\vec{E}_+| = |\vec{E}_-| = E$.
$4$. दोनों क्षेत्रों के घटक ऋणात्मक $x$-अक्ष और धनात्मक $y$-अक्ष पर होते हैं। यदि $\theta$ वह कोण है जो प्रत्येक क्षेत्र $x$-अक्ष के साथ बनाता है,तो $x$-घटक $-E \cos \theta$ और $y$-घटक $E \sin \theta$ हैं।
$5$. नेट विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net} = \vec{E}_+ + \vec{E}_-$ का क्षैतिज घटक $-2E \cos \theta$ (ऋणात्मक $x$-अक्ष के साथ) और ऊर्ध्वाधर घटक $2E \sin \theta$ (धनात्मक $y$-अक्ष के साथ) होगा।
$6$. ज्यामिति को देखते हुए,धनात्मक प्लेट से विद्युत क्षेत्र प्लेट से दूर (दूसरे चतुर्थांश की ओर) निर्देशित होता है और ऋणात्मक प्लेट से विद्युत क्षेत्र प्लेट की ओर (दूसरे चतुर्थांश की ओर) निर्देशित होता है। इन दो क्षेत्रों का सदिश योग धनात्मक $y$-अक्ष की दिशा में एक नेट क्षेत्र देता है क्योंकि समरूपता के कारण $x$-घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।

(A) ग्राफ से यह देखा जा सकता है कि $a$ और $b$ के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ हमेशा धनात्मक दिशा में है।
यदि $a$ धनात्मक है और $b$ ऋणात्मक है,तो $a$ के कारण विद्युत क्षेत्र $a$ से दूर ($b$ की ओर,यानी धनात्मक) होता है और $b$ के कारण विद्युत क्षेत्र $b$ की ओर ($b$ की ओर,यानी धनात्मक) होता है। इस प्रकार,कुल क्षेत्र धनात्मक रहता है।
यदि दोनों धनात्मक हैं,तो $a$ के कारण क्षेत्र धनात्मक और $b$ के कारण क्षेत्र ऋणात्मक होता है। उनके बीच किसी बिंदु पर कुल क्षेत्र शून्य हो जाएगा और दिशा बदल जाएगी।
यदि दोनों ऋणात्मक हैं,तो $a$ के कारण क्षेत्र ऋणात्मक ($a$ की ओर) और $b$ के कारण क्षेत्र धनात्मक ($b$ की ओर) होता है। $a$ के पास कुल क्षेत्र ऋणात्मक होगा।
यदि $a$ ऋणात्मक है और $b$ धनात्मक है,तो $a$ के कारण क्षेत्र ऋणात्मक और $b$ के कारण क्षेत्र ऋणात्मक होता है। कुल क्षेत्र हमेशा ऋणात्मक रहेगा।
इसलिए,सही निष्कर्ष यह है कि $a$ धनात्मक है और $b$ ऋणात्मक है।

(B) बिंदु $B$ पर स्थित धनात्मक आवेश $+Q$ के कारण बिंदु $A$ पर विद्युत क्षेत्र $B$ से दूर,यानी $AX$ की दिशा में होता है।
बिंदु $C$ पर स्थित ऋणात्मक आवेश $-Q$ के कारण बिंदु $A$ पर विद्युत क्षेत्र $C$ की ओर,यानी $AZ$ की दिशा में होता है।
चूंकि आवेशों के परिमाण समान हैं और बिंदु $A$,$B$ और $C$ से समान दूरी पर है,इसलिए विद्युत क्षेत्रों $E_{AB}$ और $E_{AC}$ के परिमाण समान हैं।
परिणामी विद्युत क्षेत्र $E_{AB}$ और $E_{AC}$ का सदिश योग है। सदिश योग के समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार,दो समान सदिशों का परिणामी सदिश उनके बीच के कोण के समद्विभाजक पर स्थित होता है।
दी गई आकृति में,दिशा $AY$,$AX$ और $AZ$ के बीच के कोण का समद्विभाजक दर्शाती है। अतः,$A$ पर परिणामी विद्युत क्षेत्र $AY$ की दिशा में होगा।

(A) बिंदु $A(0, 1)$ पर स्थित आवेश $q_1$ के कारण बिंदु $P(1, 1)$ पर विद्युत क्षेत्र धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में है।
दूरी $AP = 1$ है। अतः,$E_A = \frac{k q_1}{1^2} = k q_1$,जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ है।
बिंदु $B(1, 0)$ पर स्थित आवेश $q_2 = q_1/2$ के कारण बिंदु $P(1, 1)$ पर विद्युत क्षेत्र धनात्मक $y$-अक्ष की दिशा में है।
दूरी $BP = 1$ है। अतः,$E_B = \frac{k (q_1/2)}{1^2} = \frac{k q_1}{2}$ है।
$P$ पर परिणामी विद्युत क्षेत्र सदिश के घटक $E_x = E_A = k q_1$ और $E_y = E_B = \frac{k q_1}{2}$ हैं।
परिणामी विद्युत क्षेत्र $x$-अक्ष के साथ जो कोण $\theta$ बनाता है,वह $\tan \theta = \frac{E_y}{E_x} = \frac{E_B}{E_A} = \frac{k q_1 / 2}{k q_1} = \frac{1}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1/2)$।

(C) मान लीजिए कि समषट्भुज की भुजा की लंबाई $a$ है। किसी भी कोने पर स्थित $q$ आवेश के कारण केंद्र $O$ पर विद्युत क्षेत्र $E_0 = \frac{kq}{a^2}$ है,जो आवेश से दूर की दिशा में होता है।
एक समषट्भुज में,विपरीत कोनों पर स्थित आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
पाँच कोनों पर पाँच $q$ आवेश होने के कारण,चार आवेशों (विपरीत कोनों के दो जोड़े) के कारण क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जिससे शेष कोने पर स्थित एकल आवेश के कारण क्षेत्र बचता है। मान लीजिए यह क्षेत्र $\vec E = \frac{kq}{a^2}$ है,जो खाली कोने से दूर की दिशा में है।
केंद्र पर $6\vec E$ का नेट विद्युत क्षेत्र प्राप्त करने के लिए,हमें छठे कोने से दूर की दिशा में $6\vec E$ का क्षेत्र चाहिए।
मान लीजिए छठे कोने पर आवेश $Q'$ है। केंद्र पर इस आवेश के कारण क्षेत्र $\vec E' = \frac{kQ'}{a^2}$ है।
केंद्र पर कुल क्षेत्र $\vec E_{net} = \vec E + \vec E' = \vec E + \frac{kQ'}{a^2} = 6\vec E$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\frac{kQ'}{a^2} = 5\vec E = 5\left(\frac{kq}{a^2}\right)$।
अतः,$Q' = 5q$।

(B) एक समान रूप से आवेशित वलय के केंद्र $O$ पर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होता है,अर्थात $\overrightarrow{E}_{net} = 0$।
इसे खंड $AB$ के कारण विद्युत क्षेत्र और शेष खंड $ACB$ के कारण विद्युत क्षेत्र के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$\overrightarrow{E}_{AB} + \overrightarrow{E}_{ACB} = 0$
अतः,$\overrightarrow{E}_{ACB} = -\overrightarrow{E}_{AB}$।
चूंकि खंड $AB$ के कारण विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ दिया गया है,इसलिए खंड $ACB$ के कारण विद्युत क्षेत्र $-\overrightarrow{E}$ होगा।

(C) एक स्थिर विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ द्वारा बिंदु $A$ से $B$ तक गति करने वाले आवेश $q_0$ पर किया गया कार्य $W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\overrightarrow{F} = q_0 \overrightarrow{E}$ विद्युत बल है और $\overrightarrow{d} = \overrightarrow{r}_B - \overrightarrow{r}_A$ विस्थापन सदिश है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{E} = E_0 \hat{i}$ और बिंदुओं के निर्देशांक $A(0, a)$ और $B(a, 0)$ हैं।
विस्थापन सदिश $\overrightarrow{d} = (a - 0) \hat{i} + (0 - a) \hat{j} = a \hat{i} - a \hat{j}$ है।
अब,किए गए कार्य की गणना करें:
$W = (q_0 \overrightarrow{E}) \cdot \overrightarrow{d}$
$W = (q_0 E_0 \hat{i}) \cdot (a \hat{i} - a \hat{j})$
$W = q_0 E_0 a (\hat{i} \cdot \hat{i}) - q_0 E_0 a (\hat{i} \cdot \hat{j})$
चूंकि $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$ और $\hat{i} \cdot \hat{j} = 0$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$W = q_0 E_0 a (1) - 0 = q_0 a E_0$.

(A) एकल धनात्मक बिंदु आवेश के लिए विद्युत क्षेत्र रेखाएं आवेश से उत्पन्न होती हैं और सभी दिशाओं में त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर फैलती हैं।
इसका कारण यह है कि एक धनात्मक आवेश $q$ के कारण अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ आवेश से दूर की दिशा में निर्देशित होता है।
चित्र $A$ इन त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर जाने वाली क्षेत्र रेखाओं को सही ढंग से दर्शाता है।
इसलिए,सही निरूपण चित्र $A$ है।

(A) सीमित लंबाई की छड़ के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र का $x-$ घटक $E_x = \frac{k\lambda}{r}(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$r = 3\,cm = 0.03\,m$,$\lambda = 30\,\mu C/m = 30 \times 10^{-6}\,C/m$,और $k = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$ है।
कोण $\theta_1 = 0^{\circ}$ और $\theta_2 = 53^{\circ}$ हैं।
मान रखने पर:
$E_x = \frac{9 \times 10^9 \times 30 \times 10^{-6}}{0.03} (\cos 0^{\circ} - \cos 53^{\circ})$
$E_x = 9 \times 10^6 (1 - 0.6) = 9 \times 10^6 \times 0.4 = 3.6 \times 10^6\,N/C$.

(D) आवेश $Q$ दोनों ऋण आवेशों $-q$ द्वारा आकर्षित होता है जो $(0, a)$ और $(0, -a)$ पर स्थित हैं। सममिति के कारण,$Q$ पर लगने वाला परिणामी बल हमेशा $x$-अक्ष के अनुदिश मूल बिंदु की ओर होगा।
मान लीजिए कि आवेश $Q$,$x$-अक्ष पर मूल बिंदु $O$ से $x$ दूरी पर है। $Q$ और प्रत्येक $-q$ आवेश के बीच की दूरी $r = \sqrt{a^2 + x^2}$ है।
प्रत्येक $-q$ आवेश द्वारा $Q$ पर लगाए गए स्थिर वैद्युत बल का परिमाण $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{a^2 + x^2}$ है।
$Q$ पर कार्य करने वाला परिणामी बल $F_R$ इन दोनों बलों के $x$-घटकों का योग है:
$F_R = 2 F \cos \theta$,जहाँ $\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}$.
मान रखने पर:
$F_R = 2 \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{qQ}{a^2 + x^2} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} \right) = \frac{2qQ}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{x}{(a^2 + x^2)^{3/2}}$.
चूँकि प्रत्यानयन बल $F_R$ विस्थापन $x$ के समानुपाती नहीं है (अर्थात $F_R \neq -kx$),इसलिए गति दोलनी है लेकिन सरल आवर्त गति $(SHM)$ नहीं है।

(B) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 0.50\, g = 0.50 \times 10^{-3}\, kg = 5 \times 10^{-4}\, kg$
आवेश $q = 10\, \mu C = 10 \times 10^{-6}\, C = 10^{-5}\, C$
विद्युत क्षेत्र $E = 300\, N/C$ (नीचे की ओर)
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m/s^2$ (लगभग)
चूंकि आवेश धनात्मक है,इसलिए विद्युत बल $F_e = qE$ विद्युत क्षेत्र की दिशा (नीचे की ओर) में कार्य करेगा।
गेंद पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $W = mg$ (नीचे की ओर)
$2$. विद्युत बल $F_e = qE$ (नीचे की ओर)
$3$. तनाव $T$ (ऊपर की ओर)
साम्यावस्था के लिए,$T = mg + qE$
$T = (5 \times 10^{-4} \times 10) + (10^{-5} \times 300)$
$T = 5 \times 10^{-3} + 3 \times 10^{-3}$
$T = 8 \times 10^{-3}\, N$

(D) त्रिज्या $R$ और आवेश $Q$ वाली एक समान रूप से आवेशित वलय की अक्ष पर केंद्र से $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का मान इस प्रकार दिया जाता है:
$E = \frac{KQx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
वलय के केंद्र पर,दूरी $x = 0$ होती है।
सूत्र में $x = 0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E_{\text{centre}} = \frac{KQ(0)}{(R^2 + 0^2)^{3/2}} = 0$
वैकल्पिक रूप से,सममिति (symmetry) के कारण,वलय पर विपरीत बिंदुओं से उत्पन्न विद्युत क्षेत्र के सदिश केंद्र पर एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।

(D) तार की लंबाई $L = 20 \, cm = 0.2 \, m$ है। तार एक अर्धवृत्त बनाता है,इसलिए $\pi r = L$,जिससे त्रिज्या $r = L/\pi = 0.2/\pi \, m$ प्राप्त होती है।
चाप के प्रत्येक आधे भाग की लंबाई $L/2 = \pi r / 2$ है। रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \pm Q / (L/2) = \pm 2Q / L$ है।
$Q$ आवेश और $r$ त्रिज्या वाले एक चौथाई-वृत्ताकार चाप के केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sqrt{2} K \lambda}{r}$ होता है,जो सममिति अक्ष के साथ $45^\circ$ के कोण पर होता है।
बाएं चौथाई (आवेश $+Q$) के लिए,क्षेत्र $E_1$ चाप से दूर $x$ और $y$ अक्ष के साथ $45^\circ$ पर इंगित करता है: $E_1 = \frac{\sqrt{2} K (2Q/L)}{r} (\cos 45^\circ \hat{i} + \sin 45^\circ \hat{j}) = \frac{2KQ}{Lr} (\hat{i} + \hat{j})$.
दाएं चौथाई (आवेश $-Q$) के लिए,क्षेत्र $E_2$ चाप की ओर $x$ और $y$ अक्ष के साथ $45^\circ$ पर इंगित करता है: $E_2 = \frac{\sqrt{2} K (2Q/L)}{r} (\cos 45^\circ \hat{i} - \sin 45^\circ \hat{j}) = \frac{2KQ}{Lr} (\hat{i} - \hat{j})$.
कुल क्षेत्र $E = E_1 + E_2 = \frac{4KQ}{Lr} \hat{i} = \frac{4KQ}{L(L/\pi)} \hat{i} = \frac{4\pi KQ}{L^2} \hat{i}$.
$K = 1/(4\pi\varepsilon_0)$ और $Q = 10^3 \varepsilon_0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{4\pi (1/4\pi\varepsilon_0) (10^3 \varepsilon_0)}{(0.2)^2} \hat{i} = \frac{10^3}{0.04} \hat{i} = 25 \times 10^3 \, N/C \hat{i}$.

(B) $R$ त्रिज्या वाले एक समान रूप से आवेशित वलय के केंद्र से $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{k Q x}{(x^2 + R^2)^{3/2}}$ द्वारा दिया जाता है।
वह दूरी $h$ ज्ञात करने के लिए जहाँ विद्युत क्षेत्र अधिकतम है,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन को शून्य के बराबर रखते हैं: $\frac{dE}{dx} = 0$.
भागफल नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{d}{dx} \left[ \frac{x}{(x^2 + R^2)^{3/2}} \right] = \frac{(x^2 + R^2)^{3/2} - x \cdot \frac{3}{2}(x^2 + R^2)^{1/2} \cdot 2x}{(x^2 + R^2)^3} = 0$.
इसे सरल करने पर $(x^2 + R^2) - 3x^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $R^2 - 2x^2 = 0$ देता है।
अतः,$x^2 = R^2/2$,जिसका अर्थ है $x = R/\sqrt{2}$.
इस प्रकार,अधिकतम परिमाण $h = R/\sqrt{2}$ दूरी पर होता है।

(A) $q_1$ की स्थिति $\vec{r}_1 = (1, 0)$ और $q_2$ की स्थिति $\vec{r}_2 = (4, 0)$ है। बिंदु $P$ $(0, 3)$ पर है।
विस्थापन सदिश $\vec{r}_{P1} = -\hat{i} + 3\hat{j}$ और $\vec{r}_{P2} = -4\hat{i} + 3\hat{j}$ हैं।
दूरियां $r_1 = \sqrt{10} \, m$ और $r_2 = 5 \, m$ हैं।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{kq_1}{r_1^3}\vec{r}_{P1} + \frac{kq_2}{r_2^3}\vec{r}_{P2}$ है।
मान रखने पर: $\vec{E} = 9 \times 10^9 \times 10^{-6} \left[ \frac{\sqrt{10}}{(\sqrt{10})^3}(-\hat{i} + 3\hat{j}) + \frac{-25}{5^3}(-4\hat{i} + 3\hat{j}) \right]$.
$\vec{E} = 9 \times 10^3 \left[ \frac{1}{10}(-\hat{i} + 3\hat{j}) - \frac{1}{5}(-4\hat{i} + 3\hat{j}) \right]$.
$\vec{E} = 9000 \left[ 0.7\hat{i} - 0.3\hat{j} \right] = (63\hat{i} - 27\hat{j}) \times 10^2 \, V/m$.

(D) बिंदु $P(D, 0)$ पर विद्युत क्षेत्र चार आवेशों के कारण उत्पन्न क्षेत्रों का सदिश योग है। समरूपता के कारण,विद्युत क्षेत्रों के $y$-घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। परिणामी विद्युत क्षेत्र $x$-अक्ष की दिशा में है।
$y = \pm d$ पर स्थित $+q$ आवेशों के युग्म के कारण विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{2kq}{(d^2+D^2)} \cos \theta_1 = \frac{2kqD}{(d^2+D^2)^{3/2}}$ है।
$y = \pm 2d$ पर स्थित $-q$ आवेशों के युग्म के कारण विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{2kq}{((2d)^2+D^2)} \cos \theta_2 = \frac{2kqD}{((2d)^2+D^2)^{3/2}}$ है।
परिणामी क्षेत्र $E = E_1 - E_2 = 2kqD \left[ (d^2+D^2)^{-3/2} - (4d^2+D^2)^{-3/2} \right]$.
कोष्ठक से $D^2$ बाहर निकालने पर: $E = \frac{2kqD}{D^3} \left[ (1 + \frac{d^2}{D^2})^{-3/2} - (1 + \frac{4d^2}{D^2})^{-3/2} \right]$.
द्विपद सन्निकटन $(1+x)^n \approx 1+nx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $x << 1$:
$E \approx \frac{2kq}{D^2} \left[ (1 - \frac{3d^2}{2D^2}) - (1 - \frac{6d^2}{D^2}) \right]$.
$E \approx \frac{2kq}{D^2} \left[ \frac{6d^2}{D^2} - \frac{3d^2}{2D^2} \right] = \frac{2kq}{D^2} \left[ \frac{9d^2}{2D^2} \right] = \frac{9kqd^2}{D^4}$.
अतः,$E \propto \frac{1}{D^4}$.

(C) $1$. $x < 0$ के लिए,विद्युत क्षेत्र $E$ ऋणात्मक है। चूंकि $x=0$ के पास $E$,$x$ की ऋणात्मक दिशा में है,इसलिए $Q_1$ ऋणात्मक होना चाहिए।
$2$. $x > a$ के लिए,विद्युत क्षेत्र $E$ धनात्मक है। चूंकि $x=a$ के पास $E$,$x$ की धनात्मक दिशा में है,इसलिए $Q_2$ धनात्मक होना चाहिए।
$3$. $x > a$ पर किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाता है। इसका अर्थ है कि उस बिंदु पर $Q_1$ के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण और $Q_2$ के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण बराबर होना चाहिए। चूंकि $E=0$ वाला बिंदु $Q_1$ की तुलना में $Q_2$ के अधिक निकट है,इसलिए $|Q_1| > |Q_2|$ होता है।
$4$. अतः,$Q_1$ ऋणात्मक है,$Q_2$ धनात्मक है,और $|Q_1| > |Q_2|$ है। सही विकल्प $C$ है।