Charge and Charge Density (Distribution of Charges) Questions in Hindi

(C) पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ को सतह के प्रति इकाई क्षेत्रफल $A$ पर आवेश $q$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे $\sigma = \frac{q}{A}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $\sigma$ आवेश $q$ के समानुपाती और पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

(A) एक आवेशित चालक की सतह एक समविभव सतह होती है क्योंकि उस पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच कोई विभवांतर नहीं होता है। इसलिए,बिंदु $Q$ पर विभव,बिंदु $P$ के समान ही होता है,अर्थात $V_Q = V_P = V$।
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$,वक्रता त्रिज्या $r$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(\sigma \propto 1/r)$। चूंकि $Q$ पर वक्रता त्रिज्या $P$ की तुलना में बड़ी है,इसलिए $Q$ पर आवेश घनत्व $P$ से कम होगा $(\sigma_Q < \sigma_P = \sigma)$।
चालक की सतह पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = \sigma / \epsilon_0$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $\sigma_Q < \sigma_P$,इसलिए $Q$ पर विद्युत क्षेत्र $P$ से कम होगा $(E_Q < E_P = E)$।
अतः,बिंदु $Q$ पर,मान हैं: आवेश घनत्व $< \sigma$,विभव $= V$,और विद्युत क्षेत्र $< E$।

(A) समानांतर चालक प्लेटों की एक प्रणाली के लिए,सबसे बाहरी सतहों पर आवेश सभी प्लेटों पर कुल आवेश के योग के आधे के बराबर होता है।
मान लीजिए कि प्रणाली पर कुल आवेश $Q_{total} = Q_A + Q_B + Q_C = Q + 0 + (-2Q) = -Q$ है।
सबसे बाहरी सतहों (प्लेट $A$ की बाईं सतह और प्लेट $C$ की दाईं सतह $S$) पर आवेश $q_{outer} = Q_{total} / 2 = -Q / 2$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रकार,प्लेट $C$ की बाहरी सतह $S$ पर प्रकट होने वाला आवेश $-Q / 2$ है।

(D) समानांतर चालक प्लेटों की एक प्रणाली के लिए,सबसे बाहरी सतहों पर आवेश सभी प्लेटों पर कुल आवेश के योग के आधे के बराबर होता है।
मान लीजिए कि प्लेटों पर कुल आवेश $Q_{total} = Q + 0 + (-2Q) = -Q$ है।
सबसे बाहरी सतहों (पहली प्लेट की सबसे बाईं सतह और तीसरी प्लेट की सबसे दाईं सतह) पर आवेश $q_{outer} = Q_{total} / 2 = -Q/2$ द्वारा दिया जाता है।
इस प्रकार,सबसे दाईं प्लेट की बाहरी सतह पर आवेश $-Q/2$ है।

(B) वलय के ऊपरी आधे भाग पर धनात्मक रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ है। इस धनात्मक आवेश के कारण केंद्र $O$ पर विद्युत क्षेत्र चाप से दूर,यानी नीचे-दाहिनी दिशा में होगा।
वलय के निचले आधे भाग पर ऋणात्मक रैखिक आवेश घनत्व $-\lambda$ है। इस ऋणात्मक आवेश के कारण केंद्र $O$ पर विद्युत क्षेत्र चाप की ओर,यानी यह भी नीचे-दाहिनी दिशा में होगा।
सममिति के अनुसार,दोनों भागों के विद्युत क्षेत्र के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जबकि ऊर्ध्वाधर घटक नीचे की दिशा में जुड़ जाते हैं। हालाँकि,केंद्र $O$ के बाईं ओर स्थित चाप की ज्यामिति को देखते हुए,परिणामी विद्युत क्षेत्र सदिश दाईं ओर,विशेष रूप से $OB$ की दिशा में इंगित करता है।

(B) कुल आवेश $Q$ गोले के आयतन पर आयतन आवेश घनत्व के समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$Q = \int_0^R \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr$
$\rho(r) = \frac{A}{r^2} e^{-2r/a}$ रखने पर:
$Q = \int_0^R \left( \frac{A}{r^2} e^{-2r/a} \right) (4\pi r^2) dr = 4\pi A \int_0^R e^{-2r/a} dr$
समाकलन करने पर:
$Q = 4\pi A \left[ \frac{e^{-2r/a}}{-2/a} \right]_0^R = 4\pi A \left( -\frac{a}{2} \right) (e^{-2R/a} - e^0)$
$Q = -2\pi aA (e^{-2R/a} - 1) = 2\pi aA (1 - e^{-2R/a})$
$R$ के लिए हल करने पर:
$1 - e^{-2R/a} = \frac{Q}{2\pi aA}$
$e^{-2R/a} = 1 - \frac{Q}{2\pi aA}$
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$-\frac{2R}{a} = \log \left( 1 - \frac{Q}{2\pi aA} \right)$
$R = -\frac{a}{2} \log \left( 1 - \frac{Q}{2\pi aA} \right) = \frac{a}{2} \log \left( \frac{1}{1 - \frac{Q}{2\pi aA}} \right)$

(C) आंतरिक ठोस गोले पर कुल धनात्मक आवेश $Q_{in}$ की गणना गोले के आयतन पर आयतन आवेश घनत्व का समाकलन करके की जाती है:
$Q_{in} = \int_{0}^{R_1} \rho(r) \cdot 4\pi r^2 dr = \int_{0}^{R_1} \frac{\rho_0}{r} \cdot 4\pi r^2 dr = 4\pi \rho_0 \int_{0}^{R_1} r dr = 4\pi \rho_0 \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^{R_1} = 2\pi \rho_0 R_1^2$.
बाहरी खोखले गोले पर कुल ऋणात्मक आवेश $Q_{out}$ पृष्ठीय आवेश घनत्व और उसके पृष्ठीय क्षेत्रफल के गुणनफल द्वारा दिया जाता है:
$Q_{out} = -\sigma \cdot 4\pi R_2^2 = -4\pi \sigma R_2^2$.
यह दिया गया है कि निकाय का कुल आवेश शून्य है, इसलिए $Q_{in} + Q_{out} = 0$, जिसका अर्थ है $Q_{in} = |Q_{out}|$.
$2\pi \rho_0 R_1^2 = 4\pi \sigma R_2^2$.
अनुपात $\frac{R_2^2}{R_1^2}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{R_2^2}{R_1^2} = \frac{2\pi \rho_0}{4\pi \sigma} = \frac{\rho_0}{2\sigma}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, हमें प्राप्त होता है:
$\frac{R_2}{R_1} = \sqrt{\frac{\rho_0}{2\sigma}}$.

(A) वर्गाकार प्लेट की भुजा की लंबाई $a$ है और यह मूल बिंदु $(0,0)$ पर केंद्रित है। $x$ और $y$ के लिए सीमाएँ $-a/2$ से $a/2$ तक हैं।
कुल आवेश $Q$ प्लेट के क्षेत्रफल पर आवेश घनत्व $\sigma$ के पृष्ठीय समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
$Q = \int \sigma dA = \int_{-a/2}^{a/2} \int_{-a/2}^{a/2} (xy) dx dy$
इसे दो स्वतंत्र समाकलनों में विभाजित किया जा सकता है:
$Q = \left( \int_{-a/2}^{a/2} x dx \right) \left( \int_{-a/2}^{a/2} y dy \right)$
चूंकि $x$ एक विषम फलन (odd function) है और सीमाएँ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए $\int_{-a/2}^{a/2} x dx = 0$.
इसी प्रकार,$\int_{-a/2}^{a/2} y dy = 0$.
अतः,$Q = 0 \times 0 = 0$.
प्लेट पर कुल आवेश शून्य है।

(D) मान लीजिए कि कोशों पर आवेश $Q_A = Q$,$Q_B = 2Q$ और $Q_C = -Q$ हैं।
$1$. कोश $A$ की आंतरिक सतह पर $0$ आवेश है,इसलिए $A$ की बाहरी सतह पर $Q$ आवेश होगा।
$2$. कोश $B$ की आंतरिक सतह पर $-Q$ आवेश होना चाहिए ताकि कोश $A$ पर स्थित आवेश के प्रभाव को निरस्त किया जा सके। चूंकि कोश $B$ पर कुल आवेश $2Q$ है,इसलिए $B$ की बाहरी सतह पर $2Q - (-Q) = 3Q$ आवेश होगा।
$3$. कोश $C$ की आंतरिक सतह पर $-3Q$ आवेश होना चाहिए ताकि कोश $B$ की बाहरी सतह पर स्थित आवेश के प्रभाव को निरस्त किया जा सके। चूंकि कोश $C$ पर कुल आवेश $-Q$ है,मान लीजिए कि $C$ की बाहरी सतह पर आवेश $q_{out}$ है।
$4$. इस प्रकार,$-3Q + q_{out} = -Q$,जिससे हमें $q_{out} = 2Q$ प्राप्त होता है।
$5$. कोश $C$ की आंतरिक सतह पर आवेश और बाहरी सतह पर आवेश का अनुपात $\frac{-3Q}{2Q} = -\frac{3}{2}$ है।

(A) पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ कुल आवेश $Q$ और वस्तु के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ का अनुपात होता है।
$a = 5 \, cm = 0.05 \, m$ भुजा वाले घन के लिए,कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 6a^2$ होता है।
$A = 6 \times (0.05 \, m)^2 = 6 \times 25 \times 10^{-4} \, m^2 = 0.015 \, m^2$.
कुल आवेश $Q = 6 \, \mu C = 6 \times 10^{-6} \, C$ है।
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{6 \times 10^{-6}}{6 \times 25 \times 10^{-4}} \, C/m^2$.
$\sigma = \frac{10^{-6}}{25 \times 10^{-4}} \, C/m^2 = 4 \times 10^{-4} \, C/m^2$.
$\mu C/m^2$ में बदलने पर: $\sigma = 4 \times 10^{-4} \times 10^6 \, \mu C/m^2 = 4 \times 10^2 \, \mu C/m^2$.

(D) माना कि $r$ और $R$ त्रिज्या वाले गोलों पर आवेश क्रमशः $q_1$ और $q_2$ हैं। दिया गया है कि $q_1 + q_2 = Q$ है।
चूंकि पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ समान हैं,इसलिए $\sigma = \frac{q_1}{4\pi r^2} = \frac{q_2}{4\pi R^2}$ है।
इसका अर्थ है कि $\frac{q_1}{q_2} = \frac{r^2}{R^2}$ है।
इस अनुपात का उपयोग करके,हमें $q_1 = \frac{Qr^2}{R^2 + r^2}$ और $q_2 = \frac{QR^2}{R^2 + r^2}$ प्राप्त होता है।
सामान्य केंद्र पर विभव $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R} \right)$ है।
$q_1$ और $q_2$ के मान रखने पर,हमें $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left( \frac{Qr}{R^2 + r^2} + \frac{QR}{R^2 + r^2} \right) = \frac{Q(R + r)}{4\pi\varepsilon_0(R^2 + r^2)}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है: त्रिज्या $(R) = 10 \, cm$,विभव $(V) = 300 \, V$.
$CGS$ इकाइयों में,$1 \, statvolt = 300 \, V$. अतः,विभव $V = 1 \, statvolt$ है।
आवेशित गोले का विभव $V = \frac{Q}{R}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $1 = \frac{Q}{10}$,जिससे $Q = 10 \, statcoulomb$ प्राप्त होता है।
सतह आवेश घनत्व $(\sigma) = \frac{Q}{4 \pi R^2}$ होता है।
मान रखने पर: $\sigma = \frac{10}{4 \pi (10)^2} = \frac{10}{400 \pi} = \frac{1}{40 \pi} \approx 8 \times 10^{-3} \, CGS \, esu/cm^2$.

(D) प्लेट पर कुल आवेश $Q$ प्लेट के क्षेत्रफल पर आवेश घनत्व $\sigma$ के पृष्ठीय समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$Q = \int_{-a}^{a} \int_{-a}^{a} \sigma_0 xy \, dx \, dy$
$Q = \sigma_0 \left( \int_{-a}^{a} x \, dx \right) \left( \int_{-a}^{a} y \, dy \right)$
चूंकि एक सममित अंतराल $[-a, a]$ पर एक विषम फलन का समाकलन शून्य होता है:
$\int_{-a}^{a} x \, dx = 0$ और $\int_{-a}^{a} y \, dy = 0$
इसलिए,$Q = \sigma_0 \times 0 \times 0 = 0$.
वैकल्पिक रूप से,सममिति के कारण,प्रथम चतुर्थांश में आवेश धनात्मक है,द्वितीय में ऋणात्मक है,तृतीय में धनात्मक है और चतुर्थ में ऋणात्मक है। $\sigma = \sigma_0 xy$ फलन की अक्षों के सापेक्ष सममिति के कारण,कुल आवेश का योग शून्य हो जाता है।

(D) वलय के $d\theta$ कोणीय चौड़ाई वाले एक छोटे अवयव पर आवेश $dq = \lambda \cdot dl$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $dl = a \, d\theta$ है।
दिया गया है कि $\lambda = {\lambda _0} \cos \theta$,इसलिए $dq = (\lambda _0 \cos \theta) (a \, d\theta)$ होगा।
अर्धवृत्ताकार वलय $\theta = 0$ से $\theta = \pi$ तक फैली हुई है।
अतः,कुल आवेश $Q$ इस प्रकार होगा:
$Q = \int_{0}^{\pi} \lambda _0 a \cos \theta \, d\theta$
$Q = \lambda _0 a \int_{0}^{\pi} \cos \theta \, d\theta$
$Q = \lambda _0 a [\sin \theta]_{0}^{\pi}$
$Q = \lambda _0 a (\sin \pi - \sin 0)$
$Q = \lambda _0 a (0 - 0) = 0$.
इस प्रकार,वलय पर कुल आवेश शून्य है।

(B) स्थिरवैद्युत संतुलन में एक आवेशित चालक के लिए,पूरा चालक एक समविभव पृष्ठ होता है,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु पर विद्युत विभव समान होता है।
हालाँकि,पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$,वक्रता त्रिज्या $R$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(\sigma \propto 1/R)$।
सबसे नुकीले बिंदु पर,वक्रता त्रिज्या न्यूनतम होती है,जिससे पृष्ठीय आवेश घनत्व अधिकतम हो जाता है।
चूंकि सतह के पास विद्युत क्षेत्र $E = \sigma / \epsilon_0$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए सबसे नुकीले बिंदु पर विद्युत क्षेत्र भी अधिकतम होता है।

(D) वर्गाकार प्लेट की भुजा की लंबाई $a$ है और यह $xy$-समतल में मूल बिंदु $(0,0)$ पर केंद्रित है। $x$ और $y$ के लिए सीमाएँ $-\frac{a}{2}$ से $+\frac{a}{2}$ तक हैं।
कुल आवेश $Q$ प्लेट के क्षेत्रफल पर आवेश घनत्व $\sigma$ के पृष्ठीय समाकलन द्वारा दिया जाता है:
$Q = \iint \sigma \, dA = \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} (xy) \, dx \, dy$
इसे दो स्वतंत्र समाकलनों में विभाजित किया जा सकता है:
$Q = \left( \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x \, dx \right) \left( \int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} y \, dy \right)$
चूंकि समाकल्य $x$ एक विषम फलन है और सीमाएँ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए $\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} x \, dx = 0$.
इसी प्रकार,$\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}} y \, dy = 0$.
अतः,$Q = 0 \times 0 = 0$.
प्लेट पर कुल आवेश शून्य है।

(N/A) एकसमान रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ वाला एक लंबा पतला तार $XY$ मान लीजिए।
तार के मध्य बिंदु $O$ से $l$ लंबवत दूरी पर एक बिंदु $A$ पर विचार कीजिए।
तार $XY$ के कारण बिंदु $A$ पर विद्युत क्षेत्र $E$ है।
तार पर $O$ से $x$ दूरी पर एक छोटा अवयव $dx$ मान लीजिए (अर्थात $OZ = x$)।
इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda dx$ है।
इस अवयव के कारण बिंदु $A$ पर विद्युत क्षेत्र:
$dE = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{\lambda dx}{(AZ)^{2}}$
चूंकि $AZ = \sqrt{l^{2} + x^{2}}$,इसलिए:
$dE = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{\lambda dx}{l^{2} + x^{2}}$
विद्युत क्षेत्र को दो लंबवत घटकों में वियोजित किया जाता है। $dE \cos \theta$ लंबवत घटक है और $dE \sin \theta$ समानांतर घटक है। जब पूरे तार पर विचार किया जाता है,तो समानांतर घटक $dE \sin \theta$ समरूपता के कारण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। केवल लंबवत घटक $dE \cos \theta$ ही बिंदु $A$ पर कुल विद्युत क्षेत्र में योगदान देता है।
अतः,प्रभावी विद्युत क्षेत्र $dE_{1}$ है:
$dE_{1} = dE \cos \theta = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{\lambda dx \cos \theta}{l^{2} + x^{2}} \dots (1)$
$\Delta AZO$ में,$\tan \theta = \frac{x}{l} \Rightarrow x = l \tan \theta$. अवकलन करने पर,$dx = l \sec^{2} \theta d\theta \dots (2)$
साथ ही,$l^{2} + x^{2} = l^{2} + l^{2} \tan^{2} \theta = l^{2} \sec^{2} \theta \dots (3)$
$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में रखने पर:
$dE_{1} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{\lambda (l \sec^{2} \theta d\theta) \cos \theta}{l^{2} \sec^{2} \theta} = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} \cos \theta d\theta$
अनंत लंबे तार के लिए,$\theta$ की सीमा $-\frac{\pi}{2}$ से $\frac{\pi}{2}$ तक है। समाकलन करने पर:
$E = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} \cos \theta d\theta = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} [\sin \theta]_{-\pi/2}^{\pi/2}$
$E = \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} [1 - (-1)] = \frac{2\lambda}{4 \pi \epsilon_{0} l} = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0} l}$

(N/A) रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ वाले निरंतर रैखिक आवेश वितरण के कारण किसी बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V$ को निम्नलिखित समाकल द्वारा दिया जाता है:
$V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\lambda dl}{r}$
जहाँ:
$1. \epsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता (permittivity) है।
$2. \lambda$ रैखिक आवेश घनत्व (प्रति इकाई लंबाई आवेश) है।
$3. dl$ वितरण का एक अत्यंत सूक्ष्म लंबाई अवयव है।
$4. r$ आवेश अवयव $dl$ से उस बिंदु $P$ तक की दूरी है जहाँ विभव की गणना की जा रही है।

रैखिक आवेश घनत्व $(\lambda):$ प्रति इकाई लंबाई पर आवेश की मात्रा को रैखिक आवेश घनत्व $(\lambda)$ कहा जाता है। $\lambda = \frac{Q}{l}$,जहाँ $Q$ कुल आवेश है और $l$ लंबाई है।
मात्रक: $C/m$. विमीय सूत्र: $[M^0 L^{-1} T^1 A^1]$.
पृष्ठीय आवेश घनत्व $(\sigma):$ प्रति इकाई क्षेत्रफल पर आवेश की मात्रा को पृष्ठीय आवेश घनत्व $(\sigma)$ कहा जाता है। $\sigma = \frac{Q}{A}$,जहाँ $Q$ कुल आवेश है और $A$ क्षेत्रफल है।
मात्रक: $C/m^2$. विमीय सूत्र: $[M^0 L^{-2} T^1 A^1]$.
आयतन आवेश घनत्व $(\rho):$ प्रति इकाई आयतन पर आवेश की मात्रा को आयतन आवेश घनत्व $(\rho)$ कहा जाता है। $\rho = \frac{Q}{V}$,जहाँ $Q$ कुल आवेश है और $V$ आयतन है।
मात्रक: $C/m^3$. विमीय सूत्र: $[M^0 L^{-3} T^1 A^1]$.

(N/A) $(1)$ रेखीय आवेश वितरण: मान लीजिए कि एक रेखा को $dl$ लंबाई के छोटे तत्वों में विभाजित किया गया है। मान लीजिए $\vec{r}$ रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ वाले एक छोटे तत्व का स्थिति सदिश है,इसलिए इसका आवेश $dq = \lambda dl$ है।
स्थिति सदिश $\vec{R}$ वाले बिंदु $P$ पर विचार करें। मान लीजिए तत्व $dl$ से $P$ तक की दूरी $r^{\prime}$ है,और $\hat{r}^{\prime}$ तत्व से $P$ की दिशा में इकाई सदिश है। तत्व के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र:
$\vec{dE} = \frac{k \lambda dl}{(r^{\prime})^{2}} \hat{r}^{\prime}$
अध्यारोपण के सिद्धांत (superposition principle) के अनुसार,$P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र:
$\vec{E} = \int_{l} \frac{k \lambda dl}{(r^{\prime})^{2}} \hat{r}^{\prime}$
$(2)$ पृष्ठीय आवेश वितरण: मान लीजिए कि सतह $S$ को छोटे तत्वों $\Delta S$ में विभाजित किया गया है। मान लीजिए $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है,इसलिए तत्व पर आवेश $dq = \sigma dS$ है।
सतह तत्व के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र:
$\vec{dE} = \frac{k \sigma dS}{(r^{\prime})^{2}} \hat{r}^{\prime}$
अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,$P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र:
$\vec{E} = \int_{S} \frac{k \sigma dS}{(r^{\prime})^{2}} \hat{r}^{\prime}$
$(3)$ आयतन आवेश वितरण: मान लीजिए कि आयतन $V$ का आवेश घनत्व $\rho$ है। छोटे आयतन तत्व $dV$ में आवेश $dq = \rho dV$ है।
आयतन तत्व के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र:
$\vec{dE} = \frac{k \rho dV}{(r^{\prime})^{2}} \hat{r}^{\prime}$
अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,$P$ पर कुल विद्युत क्षेत्र:
$\vec{E} = \int_{V} \frac{k \rho dV}{(r^{\prime})^{2}} \hat{r}^{\prime}$

(N/A) आवेश वितरण वह तरीका है जिससे विद्युत आवेश किसी क्षेत्र में फैला होता है। इसे तीन प्रकारों में वर्गीकृत किया गया है:
$1$. रैखिक आवेश वितरण: जब आवेश एक रेखा (जैसे एक पतला तार या वलय) के अनुदिश समान रूप से वितरित होता है,तो इसे रैखिक आवेश वितरण कहते हैं। रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ को $\lambda = \frac{dq}{dl}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $dq$ लंबाई $dl$ के एक अवयव पर आवेश है। इसका $SI$ मात्रक $C/m$ है।
$2$. पृष्ठीय आवेश वितरण: जब आवेश एक सतह (जैसे एक पतली शीट या कोश) पर समान रूप से वितरित होता है,तो इसे पृष्ठीय आवेश वितरण कहते हैं। पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ को $\sigma = \frac{dq}{dA}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $dq$ क्षेत्रफल $dA$ के एक अवयव पर आवेश है। इसका $SI$ मात्रक $C/m^2$ है।
$3$. आयतन आवेश वितरण: जब आवेश किसी वस्तु के पूरे आयतन में समान रूप से वितरित होता है,तो इसे आयतन आवेश वितरण कहते हैं। आयतन आवेश घनत्व $\rho$ को $\rho = \frac{dq}{dV}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $dq$ आयतन $dV$ के एक अवयव में आवेश है। इसका $SI$ मात्रक $C/m^3$ है।

(N/A) $1$. रैखिक आवेश घनत्व $(\lambda)$: किसी चालक की प्रति इकाई लंबाई पर स्थित आवेश को रैखिक आवेश घनत्व कहते हैं। $\lambda = \frac{dq}{dl}$. इसका $SI$ मात्रक $C/m$ है।
$2$. पृष्ठीय आवेश घनत्व $(\sigma)$: किसी चालक के प्रति इकाई पृष्ठीय क्षेत्रफल पर स्थित आवेश को पृष्ठीय आवेश घनत्व कहते हैं। $\sigma = \frac{dq}{dA}$. इसका $SI$ मात्रक $C/m^2$ है।
$3$. आयतन आवेश घनत्व $(\rho)$: किसी चालक के प्रति इकाई आयतन में स्थित आवेश को आयतन आवेश घनत्व कहते हैं। $\rho = \frac{dq}{dV}$. इसका $SI$ मात्रक $C/m^3$ है।

(A) आयतन आवेश घनत्व $\rho$ को प्रति इकाई आयतन आवेश के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$\rho = \frac{dq}{dV}$।
एक छोटे आयतन अवयव $\Delta V$ के लिए,इसमें निहित आवेश $\Delta q$ आयतन आवेश घनत्व और आयतन अवयव का गुणनफल होता है।
अतः,$\Delta q = \rho \Delta V$।

(A) अनंत रेखीय आवेश घनत्व $\lambda$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\lambda = 8 \times 10^{-9} \, C/m$ और $r = x = 3 \, m$ दिया गया है।
$x = 3 \, m$ पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{8 \times 10^{-9}}{2 \pi \varepsilon_0 (3)}$ होगा।
चालक की सतह पर पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ के लिए सीमा शर्त के अनुसार,$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$,इसलिए $\sigma = E \varepsilon_0$।
$E$ का मान रखने पर,$\sigma = \frac{\lambda}{2 \pi r} = \frac{8 \times 10^{-9}}{2 \pi (3)}$।
$\sigma = \frac{8 \times 10^{-9}}{6 \pi} \approx 0.424 \times 10^{-9} \, C/m^2 = 0.424 \, nC/m^2$।

(D) गोलीय कोश की सतह पर आवेश वितरण के कारण उसके केंद्र पर विभव $V$ को समाकलन $V = \oint \frac{k dq}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गोले की सतह पर सभी बिंदुओं के लिए त्रिज्या $R$ स्थिर है,इसलिए हम $\frac{k}{R}$ को समाकलन से बाहर ले सकते हैं।
$V = \frac{k}{R} \oint dq$.
समाकलन $\oint dq$ गोले पर कुल आवेश $Q$ का प्रतिनिधित्व करता है।
इसलिए,$V = \frac{kQ}{R}$.
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 R}$ प्राप्त होता है।
ध्यान दें कि आवेशित गोलीय कोश के केंद्र पर विभव केवल कुल आवेश $Q$ और त्रिज्या $R$ पर निर्भर करता है,और यह सतह पर आवेश के वितरण से स्वतंत्र है।

(C) एक चालक गोले के लिए, उसे दिया गया कोई भी अतिरिक्त आवेश चालकों के गुण के कारण पूरी तरह से उसकी बाहरी सतह पर ही रहता है।
चूंकि ठोस और खोखले दोनों चालक गोलों की त्रिज्या $R$ समान है, इसलिए उनका पृष्ठीय क्षेत्रफल भी समान $(A = 4\pi R^2)$ होता है।
चूंकि दोनों स्थितियों में आवेश का वितरण सतह तक ही सीमित होता है, इसलिए आसपास के माध्यम का परावैद्युत भंजन (dielectric breakdown) होने से पहले दोनों गोले समान अधिकतम आवेश धारण कर सकते हैं।

(B) पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ को प्रति इकाई क्षेत्रफल आवेश के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो $\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{4 \pi r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों गोलों पर आवेश $Q$ समान है,इसलिए हमारे पास $\sigma \propto \frac{1}{r^2}$ है।
दी गई त्रिज्याएँ $r_1 = 2 \,cm$ और $r_2 = 4 \,cm$ हैं।
आवेश घनत्व का अनुपात $\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$ है।
मान रखने पर,$\frac{\sigma_1}{\sigma_2} = \frac{(4)^2}{(2)^2} = \frac{16}{4} = \frac{4}{1}$।
अतः,अनुपात $4: 1$ है।

(B) जब दो बड़ी समानांतर चालक प्लेटों में से एक को $Q$ आवेश दिया जाता है,तो आवेश प्रत्येक प्लेट की दोनों सतहों पर इस प्रकार पुनर्वितरित हो जाता है कि चालक पदार्थ के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाए।
मान लीजिए कि चार सतहों पर आवेश (बाएं से दाएं) $q_1, q_2, q_3$ और $q_4$ हैं।
पहली प्लेट के लिए: $q_1 + q_2 = Q$ और दूसरी प्लेट के लिए: $q_3 + q_4 = 0$ है।
चूंकि प्लेटें बड़ी हैं,$\sigma$ आवेश घनत्व वाली सतह के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0} = \frac{q}{2 A \varepsilon_0}$ होता है।
प्लेटों के चालक पदार्थ के अंदर,कुल विद्युत क्षेत्र शून्य होना चाहिए।
इस शर्त को लागू करने पर,हमें पता चलता है कि आंतरिक सतहों पर आवेश $q_2 = \frac{Q}{2}$ और $q_3 = -\frac{Q}{2}$ हैं,जबकि बाहरी सतहों पर $q_1 = \frac{Q}{2}$ और $q_4 = \frac{Q}{2}$ हैं।
प्लेटों के बीच किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र आंतरिक सतह के आवेशों $q_2$ और $q_3$ के कारण होता है।
$E_{\text{net}} = E_2 + E_3 = \frac{q_2}{2 A \varepsilon_0} + \frac{|q_3|}{2 A \varepsilon_0} = \frac{Q/2}{2 A \varepsilon_0} + \frac{Q/2}{2 A \varepsilon_0} = \frac{Q}{4 A \varepsilon_0} + \frac{Q}{4 A \varepsilon_0} = \frac{Q}{2 A \varepsilon_0}$.

(B) माना कि कोशों पर पृष्ठीय आवेश घनत्व क्रमशः $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ है।
दिया गया है कि $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_3 = \sigma$ है।
पृष्ठीय आवेश घनत्व को $\sigma = \frac{Q}{A}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $A = 4\pi r^2$ गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
प्रथम कोश के लिए: $Q_1 = \sigma \cdot 4\pi R^2$ है।
द्वितीय कोश के लिए: $Q_2 = \sigma \cdot 4\pi (2R)^2 = \sigma \cdot 16\pi R^2$ है।
तृतीय कोश के लिए: $Q_3 = \sigma \cdot 4\pi (3R)^2 = \sigma \cdot 36\pi R^2$ है।
अब,अनुपात $Q_1 : Q_2 : Q_3$ है:
$Q_1 : Q_2 : Q_3 = (\sigma \cdot 4\pi R^2) : (\sigma \cdot 16\pi R^2) : (\sigma \cdot 36\pi R^2)$।
$4\pi R^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$Q_1 : Q_2 : Q_3 = 1 : 4 : 9$।

(C) विद्युत फ्लक्स के लिए दिया गया समीकरण: $\phi = \alpha \sigma + \beta \lambda$.
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए: $[\phi] = [\alpha \sigma] = [\beta \lambda]$.
$[\phi] = [\alpha \sigma]$ से,$[\alpha] = \frac{[\phi]}{[\sigma]}$ प्राप्त होता है।
$[\phi] = [\beta \lambda]$ से,$[\beta] = \frac{[\phi]}{[\lambda]}$ प्राप्त होता है।
अब,अनुपात $\frac{\alpha}{\beta}$ पर विचार करें: $\left[\frac{\alpha}{\beta}\right] = \frac{[\phi]/[\sigma]}{[\phi]/[\lambda]} = \frac{[\lambda]}{[\sigma]}$.
रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ की विमा $[Q/L]$ है और पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ की विमा $[Q/L^2]$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\left[\frac{\alpha}{\beta}\right] = \frac{[Q/L]}{[Q/L^2]} = \frac{L^2}{L} = [L]$.
चूंकि विमा $[L]$ है,इसलिए अनुपात $\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)$ लंबाई को दर्शाता है,जो विस्थापन की एक इकाई है।

(C) एक आवेशित चालक के लिए,पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ उस बिंदु पर वक्रता त्रिज्या $(ROC)$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $\sigma \propto \frac{1}{ROC}$।
चित्र से,सबसे नुकीले बिंदु (ऊपर) पर वक्रता त्रिज्या सबसे कम है,और जैसे-जैसे हम सपाट किनारों की ओर बढ़ते हैं,यह बढ़ती जाती है।
बिंदुओं की तुलना:
$1$. $\sigma_1$ वाले बिंदु पर वक्रता त्रिज्या सबसे कम है।
$2$. $\sigma_3$ वाले बिंदु पर वक्रता त्रिज्या $\sigma_1$ से अधिक है लेकिन किनारों से कम है।
$3$. $\sigma_2$ और $\sigma_4$ वाले बिंदु सपाट किनारों पर हैं,जहाँ वक्रता त्रिज्या सबसे बड़ी और समान है।
अतः,वक्रता त्रिज्या का क्रम $(ROC)_1 < (ROC)_3 < (ROC)_2 = (ROC)_4$ है।
चूंकि $\sigma \propto \frac{1}{ROC}$,पृष्ठीय आवेश घनत्व का क्रम $\sigma_1 > \sigma_3 > \sigma_2 = \sigma_4$ होगा।
इसलिए,सही विकल्प $(C)$ है।

(A) डिस्क पर कुल आवेश $q_{\text{total}}$ की गणना डिस्क के क्षेत्रफल पर पृष्ठ आवेश घनत्व का समाकलन करके की जाती है।
$r$ त्रिज्या और $dr$ चौड़ाई वाली एक छोटी वलय (तत्व) पर विचार करें। इस वलय का क्षेत्रफल $ds = 2 \pi r dr$ है।
कुल आवेश इस प्रकार दिया जाता है:
$q_{\text{total}} = \int_0^R \sigma ds$
$\sigma = \sigma_0 r^3$ और $ds = 2 \pi r dr$ प्रतिस्थापित करने पर:
$q_{\text{total}} = \int_0^R (\sigma_0 r^3)(2 \pi r dr)$
$q_{\text{total}} = 2 \pi \sigma_0 \int_0^R r^4 dr$
समाकलन करने पर:
$q_{\text{total}} = 2 \pi \sigma_0 \left[ \frac{r^5}{5} \right]_0^R$
$q_{\text{total}} = \frac{2 \pi \sigma_0 R^5}{5}$

(B) $R$ त्रिज्या वाले एक आवेशित चालक गोले के केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$,गॉस के नियम के अनुसार $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गोले पर कुल आवेश $Q$ का पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma$ के साथ संबंध $Q = \sigma \cdot (4 \pi R^{2})$ है,इसलिए हम इस मान को विद्युत क्षेत्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\sigma (4 \pi R^{2})}{r^{2}}$.
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $E = \frac{\sigma R^{2}}{\varepsilon_{0} r^{2}}$ प्राप्त होता है।
$\sigma$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\sigma = E \varepsilon_{0} \left(\frac{r}{R}\right)^{2}$ प्राप्त होता है।

(A) $1$. स्थिर वैद्युत प्रेरण के सिद्धांत के अनुसार,जब एक चालक कवच के केंद्र पर $-q$ आवेश रखा जाता है,तो चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र को शून्य बनाए रखने के लिए कवच की आंतरिक सतह पर समान और विपरीत आवेश $+q$ प्रेरित होता है।
$2$. अब कवच की आंतरिक सतह पर $+q$ आवेश है। आंतरिक सतह पर पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma_{inner} = \frac{q}{4 \pi r_1^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$3$. चूंकि कवच पर कुल आवेश $Q$ है और आंतरिक सतह पर $+q$ आवेश है,इसलिए कुल आवेश के संरक्षण के लिए बाहरी सतह पर आवेश $Q_{outer} = Q - q$ होना चाहिए।
$4$. बाहरी सतह पर पृष्ठ आवेश घनत्व $\sigma_{outer} = \frac{Q-q}{4 \pi r_2^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$5$. अतः,पृष्ठ आवेश घनत्व $\frac{q}{4 \pi r_1^2}$ और $\frac{Q-q}{4 \pi r_2^2}$ हैं।

(D) चित्र में दिखाए अनुसार,बिंदु आवेश $q$ से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई का एक सूक्ष्म आवेश $dq$ लें। रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \frac{Q}{L}$ है।
अतः,$dq = \lambda dx = \frac{Q}{L} dx$.
कूलम्ब के नियम के अनुसार,$dq$ और $q$ के बीच लगने वाला बल $dF$ है:
$dF = \frac{k q dq}{x^2} = \frac{k q Q dx}{L x^2}$.
कुल बल $F$ ज्ञात करने के लिए,$x = r$ से $x = r + L$ तक समाकलन करने पर:
$F = \int_r^{r+L} \frac{k Q q}{L x^2} dx = \frac{k Q q}{L} \int_r^{r+L} x^{-2} dx$.
$F = \frac{k Q q}{L} \left[ -\frac{1}{x} \right]_r^{r+L} = \frac{k Q q}{L} \left( -\frac{1}{r+L} - (-\frac{1}{r}) \right)$.
$F = \frac{k Q q}{L} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{r+L} \right) = \frac{k Q q}{L} \left( \frac{r+L-r}{r(r+L)} \right)$.
$F = \frac{k Q q}{L} \left( \frac{L}{r(r+L)} \right) = \frac{k Q q}{r(r+L)}$.

(A) चित्र में दिखाए अनुसार,मान लीजिए कि हम $\theta$ कोण पर $d \theta$ कोणीय चौड़ाई का एक सूक्ष्म अवयव लेते हैं।
इस अवयव की लंबाई $dl = a d \theta$ है।
इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda dl = (\lambda_0 \cos^2 \theta) (a d \theta)$ है।
वृत्त पर कुल आवेश $Q$ प्राप्त करने के लिए,हमें $0$ से $2 \pi$ तक पूरी परिधि पर $dq$ का समाकलन करना होगा:
$Q = \int_{0}^{2 \pi} \lambda_0 \cos^2 \theta a d \theta$
$Q = a \lambda_0 \int_{0}^{2 \pi} \cos^2 \theta d \theta$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2 \theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$Q = a \lambda_0 \int_{0}^{2 \pi} \frac{1 + \cos 2 \theta}{2} d \theta$
$Q = \frac{a \lambda_0}{2} [\theta + \frac{\sin 2 \theta}{2}]_{0}^{2 \pi}$
$Q = \frac{a \lambda_0}{2} [(2 \pi + 0) - (0 + 0)]$
$Q = \frac{a \lambda_0}{2} (2 \pi) = \pi a \lambda_0$
अतः,कुल आवेश $\pi a \lambda_0$ है।

(B) पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ को सतह के प्रति इकाई क्षेत्रफल $A$ पर आवेश $Q$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है: त्रिज्या $r = 25 \ cm = 0.25 \ m = \frac{1}{4} \ m$.
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{3}{\pi} \ \mu C/m^2$.
गोलीय कोश का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ होता है।
सूत्र $\sigma = \frac{Q}{A}$ का उपयोग करने पर,हमें $Q = \sigma \times A = \sigma \times 4 \pi r^2$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर:
$Q = \left( \frac{3}{\pi} \ \mu C/m^2 \right) \times 4 \pi \times (0.25 \ m)^2$
$Q = 3 \times 4 \times (0.0625) \ \mu C$
$Q = 12 \times 0.0625 \ \mu C = 0.75 \ \mu C$.
अतः,आवश्यक आवेश $0.75 \ \mu C$ है।

(B) दिया गया है: गोले का व्यास $d = 2.4 \, m$।
गोले की त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 1.2 \, m$।
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = 80.0 \, \mu C m^{-2} = 80 \times 10^{-6} \, C m^{-2}$।
गोले की सतह पर कुल आवेश $Q$, पृष्ठीय आवेश घनत्व और पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$Q = \sigma \times A = \sigma \times (4 \pi r^2)$।
मान रखने पर:
$Q = 80 \times 10^{-6} \times 4 \times 3.14159 \times (1.2)^2$।
$Q = 80 \times 10^{-6} \times 4 \times 3.14159 \times 1.44$।
$Q \approx 1.4476 \times 10^{-3} \, C$।
निकटतम मान लेने पर, $Q \approx 1.45 \times 10^{-3} \, C$।

(A) दिया गया है: कण का द्रव्यमान $m = 2 \times 10^{-6} \ kg$,कण पर आवेश $q = 5 \times 10^{-6} \ C$ है।
आवेशित चालक सतह के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ सतह आवेश घनत्व है।
कण के हवा में लटके रहने के लिए,विद्युत बल को उस पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$F_e = F_g \Rightarrow qE = mg$
$E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ को समीकरण में रखने पर:
$q \left( \frac{\sigma}{\epsilon_0} \right) = mg$
$\sigma = \frac{mg \epsilon_0}{q}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\sigma = \frac{(2 \times 10^{-6} \ kg) \times (10 \ m \ s^{-2}) \times (8.85 \times 10^{-12} \ C^2 N^{-1} m^{-2})}{5 \times 10^{-6} \ C}$
$\sigma = \frac{20 \times 8.85 \times 10^{-18}}{5 \times 10^{-6}}$
$\sigma = 4 \times 8.85 \times 10^{-12} \ C \ m^{-2}$
$\sigma = 35.4 \times 10^{-12} \ C \ m^{-2}$

(B) मान लीजिए कि बिंदु आवेश $q$ मूल बिंदु $x=0$ पर है। तार $x = 2 \text{ cm}$ से $x = 12 \text{ cm}$ तक फैला हुआ है।
तार का रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \frac{Q}{L} = \frac{24 \times 10^{-6} \text{ C}}{0.1 \text{ m}} = 2.4 \times 10^{-4} \text{ C/m}$ है।
बिंदु आवेश $q$ से $x$ दूरी पर तार के एक छोटे अवयव $dx$ पर विचार करें। इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda dx$ है।
बिंदु आवेश $q$ और अवयव $dq$ के बीच का बल $dF = \frac{k q dq}{x^2} = \frac{k q \lambda dx}{x^2}$ है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2$ है।
कुल बल $F$,$x = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ से $x = 12 \text{ cm} = 0.12 \text{ m}$ तक $dF$ का समाकलन है:
$F = \int_{0.02}^{0.12} \frac{k q \lambda}{x^2} dx = k q \lambda \left[ -\frac{1}{x} \right]_{0.02}^{0.12} = k q \lambda \left( \frac{1}{0.02} - \frac{1}{0.12} \right)$
$F = (9 \times 10^9) \times (1 \times 10^{-6}) \times (2.4 \times 10^{-4}) \times \left( 50 - 8.333 \right) = 9000 \times 2.4 \times 10^{-4} \times \left( \frac{6-1}{0.12} \right) = 9000 \times 2.4 \times 10^{-4} \times \frac{5}{0.12} = 90 \text{ N}$.