Electric Dipole and Electric Field Questions in Hindi

(C) एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में रखे विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -p \cdot E = -pE \cos \theta$ है,जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है और $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण सदिश और विद्युत क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
स्थितिज ऊर्जा $U$ को न्यूनतम करने के लिए,$\cos \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\cos \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 0$ होने पर प्राप्त होता है।
अतः,जब द्विध्रुव आघूर्ण विद्युत क्षेत्र की दिशा में संरेखित होता है,अर्थात $\theta = 0$ होता है,तब स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।

(A) असमान विद्युत क्षेत्र में,द्विध्रुव के दो आवेशों ($-q$ और $+q$) की स्थिति पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता अलग-अलग होती है।
चूंकि $F = qE$,इसलिए दोनों आवेशों पर लगने वाले बल $F_1 = -qE_1$ और $F_2 = qE_2$ हैं।
चूंकि $E_1
eq E_2$,इसलिए कुल बल $F_{net} = F_1 + F_2
eq 0$ होता है।
इसके अतिरिक्त,चूंकि ये बल अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करते हैं और संरेखीय (collinear) नहीं होते हैं,इसलिए वे द्विध्रुव पर एक कुल बलाघूर्ण भी उत्पन्न करते हैं।
अतः,द्विध्रुव एक बल और एक बलाघूर्ण दोनों का अनुभव करता है।

(B) विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $p$ का मान $p = q \times (2a)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 2 \times 10^{-6} \, C$ और पृथक्करण दूरी $2a = 3 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$ है।
$p = (2 \times 10^{-6} \, C) \times (3 \times 10^{-2} \, m) = 6 \times 10^{-8} \, C \cdot m$।
विद्युत क्षेत्र $E$ में द्विध्रुव पर अधिकतम बल आघूर्ण $\tau_{max} = pE$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $E = 2 \times 10^5 \, N/C$।
$\tau_{max} = (6 \times 10^{-8} \, C \cdot m) \times (2 \times 10^5 \, N/C) = 12 \times 10^{-3} \, N \cdot m$।

(D) बाह्य विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव को घुमाने में किया गया कार्य $W$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$W = pE(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
यहाँ,प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 90^\circ$ है (क्योंकि यह क्षेत्र के लंबवत रखा गया है)।
द्विध्रुव को $180^\circ$ के कोण से विक्षेपित किया जाता है,इसलिए अंतिम कोण $\theta_2 = 90^\circ + 180^\circ = 270^\circ$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$W = pE(\cos 90^\circ - \cos 270^\circ)$
चूंकि $\cos 90^\circ = 0$ और $\cos 270^\circ = 0$ है,
$W = pE(0 - 0) = 0$.
अतः,किया गया कार्य शून्य है।

(D) द्विध्रुव के केंद्र से $d$ दूरी पर उसकी अक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{d^3}$
चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण $p$ को एक आवेश के परिमाण $q$ और उनके बीच की दूरी $r$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है $(p = q \times r)$,इसलिए हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2(q \times r)}{d^3}$
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$,$\frac{qr}{d^3}$ के समानुपाती है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $p$ को आवेशों में से एक के परिमाण $q$ और उनके बीच की दूरी $2l$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है: इलेक्ट्रॉन या प्रोटॉन का आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19}\,C$.
दूरी $2l = 1\,\mathring{A} = 10^{-10}\,m$.
अतः,द्विध्रुव आघूर्ण $p = q \times 2l = (1.6 \times 10^{-19}\,C) \times (10^{-10}\,m) = 1.6 \times 10^{-29}\,C \cdot m$.
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(B) एक विद्युत द्विध्रुव के केंद्र से $r$ दूरी पर उसकी अक्षीय स्थिति में विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र है:
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2pr}{ (r^2 - a^2)^2 }$
एक छोटे द्विध्रुव के लिए जहाँ $r \gg a$ है,व्यंजक सरल होकर निम्न हो जाता है:
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}$
इस प्रकार,विद्युत क्षेत्र $E$ दूरी $r$ के घन के व्युत्क्रमानुपाती है (अर्थात $E \propto \frac{1}{r^3}$)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $p$ को आवेशों में से किसी एक के परिमाण और उनके बीच की दूरी के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$p = q \times (2l)$
दिया गया है:
आवेश $q = 3.2 \times 10^{-19} \text{ C}$
दूरी $2l = 2.4 \text{ Å} = 2.4 \times 10^{-10} \text{ m}$
द्विध्रुव आघूर्ण की गणना:
$p = (3.2 \times 10^{-19} \text{ C}) \times (2.4 \times 10^{-10} \text{ m})$
$p = 7.68 \times 10^{-29} \text{ C} \cdot \text{m}$

(C) मूल बिंदु पर $x$-अक्ष के अनुदिश रखे गए विद्युत द्विध्रुव के लिए,बिंदु $P(r, \theta)$ पर विद्युत क्षेत्र के घटक इस प्रकार हैं:
त्रिज्यीय घटक: $E_r = \frac{2p \cos \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3}$
अनुप्रस्थ घटक: $E_{\theta} = \frac{p \sin \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3}$
परिणामी विद्युत क्षेत्र स्थिति सदिश (त्रिज्यीय दिशा) के साथ जो कोण $\alpha$ बनाता है,वह $\tan \alpha = \frac{E_{\theta}}{E_r} = \frac{1}{2} \tan \theta$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिति सदिश $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
विद्युत क्षेत्र द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\phi$,स्थिति सदिश के $x$-अक्ष के साथ कोण और विद्युत क्षेत्र तथा स्थिति सदिश के बीच के कोण $\alpha$ का योग है।
अतः,$\phi = \theta + \alpha$.

(B) जब $\overrightarrow{P}$ द्विध्रुव आघूर्ण वाले एक विद्युत द्विध्रुव को एक बाहरी समान विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ में रखा जाता है,तो यह एक बल आघूर्ण $\overrightarrow{\tau}$ का अनुभव करता है।
परिभाषा के अनुसार,बल आघूर्ण,द्विध्रुव आघूर्ण और विद्युत क्षेत्र का सदिश गुणनफल (cross product) होता है।
बल आघूर्ण का सूत्र $\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{P} \times \overrightarrow{E}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(B) विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ की दिशा ऋण आवेश से धन आवेश की ओर होती है।
विद्युत द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा पर स्थित किसी बिंदु के लिए,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ को $\vec{E} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि निरक्षीय रेखा पर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ की दिशा के विपरीत होती है।
अतः,विद्युत क्षेत्र और द्विध्रुव आघूर्ण एक-दूसरे के प्रति-समांतर (anti-parallel) होते हैं।

(D) दिया गया है: आवेश $q = 4 \times 10^{-8} \, C$,दूरी $2a = 2 \times 10^{-2} \, cm = 2 \times 10^{-4} \, m$,और विद्युत क्षेत्र $E = 4 \times 10^8 \, N/C$.
द्विध्रुव आघूर्ण $p = q \times 2a = (4 \times 10^{-8}) \times (2 \times 10^{-4}) = 8 \times 10^{-12} \, Cm$.
अधिकतम टॉर्क $\tau_{max} = pE = (8 \times 10^{-12}) \times (4 \times 10^8) = 32 \times 10^{-4} \, Nm$.
द्विध्रुव को $0^\circ$ से $180^\circ$ तक घुमाने में किया गया कार्य $W = pE(1 - \cos 180^\circ) = pE(1 - (-1)) = 2pE$.
$W = 2 \times (32 \times 10^{-4}) = 64 \times 10^{-4} \, J$.

(B) एक लघु द्विध्रुव के लिए $r$ दूरी पर अक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता ${E_a} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}$ द्वारा दी जाती है।
समान दूरी $r$ पर निरक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता ${E_e} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{p}{r^3}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि ${E_a} = 2 \times \left( \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{p}{r^3} \right) = 2{E_e}$।
अतः,सही संबंध ${E_a} = 2{E_e}$ है।

(D) एक बिंदु आवेश $q$,$E = \frac{kq}{r^2}$ द्वारा दिया गया एक असमान विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र असमान है,द्विध्रुव के दो आवेशों ($+q$ और $-q$) पर लगने वाला बल समान और विपरीत नहीं होगा,इसलिए द्विध्रुव पर कुल बल शून्य नहीं हो सकता है।
हालाँकि,द्विध्रुव पर लगने वाला बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि द्विध्रुव को इस प्रकार रखा जाए कि उसका द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर हो,तो बल आघूर्ण $\vec{\tau}$ शून्य होगा।
इसलिए,क्षेत्र के कारण द्विध्रुव पर बल आघूर्ण शून्य हो सकता है।

(D) विद्युत द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा (लंब समद्विभाजक) पर स्थित बिंदु पर विद्युत क्षेत्र का सूत्र निम्नलिखित है:
$E_{equatorial} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^3}$
जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है और $r$ द्विध्रुव के केंद्र से दूरी है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि विद्युत क्षेत्र $E$,द्विध्रुव आघूर्ण $p$ के सीधे समानुपाती $(E \propto p)$ है और दूरी $r$ के घन के व्युत्क्रमानुपाती $(E \propto r^{-3})$ है।
अतः,$Q$ पर विद्युत क्षेत्र $p$ और $r^{-3}$ के समानुपाती है।

(D) द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{axial} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2p}{x^3}$ द्वारा दी जाती है।
द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा पर $y$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{equatorial} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{p}{y^3}$ द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि परिमाण समान हैं,इसलिए $E_{axial} = E_{equatorial}$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2p}{x^3} = \frac{p}{y^3}$।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{2}{x^3} = \frac{1}{y^3}$।
अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{x^3}{y^3} = 2$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{x}{y} = \sqrt[3]{2}$।
अतः,$x:y$ का अनुपात $\sqrt[3]{2}:1$ है।

(C) एक समान विद्युत क्षेत्र में,धनात्मक आवेश पर लगने वाला बल $F_+ = qE$ है और ऋणात्मक आवेश पर लगने वाला बल $F_- = -qE$ है। द्विध्रुव पर लगने वाला कुल बल $F_{net} = F_+ + F_- = qE - qE = 0$ होता है। हालाँकि,चूंकि ये दोनों बल अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करते हैं,इसलिए वे एक बल-युग्म बनाते हैं जो द्विध्रुव पर $\tau = pE \sin \theta$ के बराबर आघूर्ण (टॉर्क) लगाता है। इसलिए,द्विध्रुव केवल आघूर्ण का अनुभव करता है और कोई कुल बल अनुभव नहीं करता है।

(A) दिया गया है: द्विध्रुव की लंबाई $2l = 10 \, cm = 0.1 \, m$,इसलिए $l = 0.05 \, m$. आवेश $q = 500 \, \mu C = 5 \times 10^{-4} \, C$. द्विध्रुव के केंद्र से दूरी $r = 20 \, cm + 5 \, cm = 25 \, cm = 0.25 \, m$.
द्विध्रुव आघूर्ण $p = q \times 2l = (5 \times 10^{-4} \, C) \times (0.1 \, m) = 5 \times 10^{-5} \, C \cdot m$.
द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र का सूत्र $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2pr}{(r^2 - l^2)^2}$ है।
मान रखने पर: $E = (9 \times 10^9) \times \frac{2 \times (5 \times 10^{-5}) \times 0.25}{((0.25)^2 - (0.05)^2)^2}$.
$E = (9 \times 10^9) \times \frac{2.5 \times 10^{-5}}{(0.0625 - 0.0025)^2} = (9 \times 10^9) \times \frac{2.5 \times 10^{-5}}{(0.06)^2}$.
$E = \frac{22.5 \times 10^4}{0.0036} = 6.25 \times 10^7 \, N/C$.

(D) विद्युत द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र है: $V = \frac{kp \cos \theta}{r^2}$,जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है,$r$ द्विध्रुव के केंद्र से दूरी है,और $\theta$ द्विध्रुव अक्ष और बिंदु के स्थिति सदिश के बीच का कोण है।
विभव को अधिकतम होने के लिए,$\cos \theta$ का मान अधिकतम $(+1)$ होना चाहिए,जो $\theta = 0^\circ$ पर होता है।
विभव को न्यूनतम होने के लिए,$\cos \theta$ का मान न्यूनतम $(-1)$ होना चाहिए,जो $\theta = 180^\circ$ पर होता है।
अतः,विभव $0^\circ$ पर अधिकतम और $180^\circ$ पर न्यूनतम होता है।

(C) एक समान विद्युत क्षेत्र में,द्विध्रुव पर लगने वाला कुल बल $\vec{F} = q\vec{E} + (-q)\vec{E} = 0$ होता है।
चूंकि द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ की दिशा में है,इसलिए उनके बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ है।
बाह्य विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -\vec{p} \cdot \vec{E} = -pE \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
$\theta = 0^\circ$ रखने पर,हमें $U = -pE \cos(0^\circ) = -pE$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-pE$ स्थितिज ऊर्जा के लिए सबसे कम संभव मान है,इसलिए यह न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा है।
अतः,बल शून्य है और स्थितिज ऊर्जा न्यूनतम है।

(B) एक विद्युत द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है:
$E = \frac{p}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{3}} \sqrt{3 \cos^{2} \theta + 1}$
जहाँ $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है,$r$ द्विध्रुव के केंद्र से दूरी है,और $\theta$ द्विध्रुव अक्ष के साथ कोण है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि $E \propto \frac{1}{r^{3}}$ है।
अतः,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता दूरी $r$ के घन के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

(B) केंद्र से $r$ दूरी पर एक विद्युत द्विध्रुव की अक्ष पर विद्युत क्षेत्र $E_a = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
केंद्र से $r$ दूरी पर एक विद्युत द्विध्रुव की निरक्षीय स्थिति पर विद्युत क्षेत्र $E_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों क्षेत्रों का अनुपात लेने पर:
$\frac{E_a}{E_e} = \frac{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r^3}}{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^3}} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(C) द्विध्रुव आघूर्ण $p$ का मान $p = q \times d$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $q = 2 \times 10^{-6} \, C$ और $d = 0.01 \, m$।
$p = (2 \times 10^{-6} \, C) \times (0.01 \, m) = 2 \times 10^{-8} \, C \cdot m$।
द्विध्रुव पर कार्य करने वाला बल आघूर्ण $\tau$,$\tau = pE \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम बल आघूर्ण के लिए,$\sin \theta = 1$,अतः $\tau_{\max} = pE$।
मान रखने पर: $\tau_{\max} = (2 \times 10^{-8} \, C \cdot m) \times (5 \times 10^5 \, N/C)$।
$\tau_{\max} = 10 \times 10^{-3} \, N \cdot m$।

(D) विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = -pE \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण $p$ और विद्युत क्षेत्र $E$ के बीच का कोण है।
प्रारंभ में,द्विध्रुव क्षेत्र के समानांतर है,इसलिए $\theta_1 = 0^\circ$ है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_1 = -pE \cos(0^\circ) = -pE$ है।
अंत में,द्विध्रुव क्षेत्र के प्रति-समानांतर है,इसलिए $\theta_2 = 180^\circ$ है।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_2 = -pE \cos(180^\circ) = -pE(-1) = pE$ है।
बाहरी एजेंट द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = U_2 - U_1$।
$W = pE - (-pE) = 2pE$।

(B) एक विद्युत द्विध्रुव समान और विपरीत आवेशों से बना होता है जो एक छोटी दूरी पर स्थित होते हैं।
चूंकि आवेश स्थिर हैं,वे आसपास के क्षेत्र में केवल एक स्थिर-विद्युत क्षेत्र (electrostatic field) उत्पन्न करते हैं।
विद्युत चुंबकत्व के सिद्धांतों के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र केवल गतिमान आवेशों (धारा) या समय के साथ बदलते विद्युत क्षेत्रों द्वारा उत्पन्न होता है।
इसलिए,एक स्थिर विद्युत द्विध्रुव केवल विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।

(A) मान लीजिए कि उदासीन बिंदु $N$,$P$ आघूर्ण वाले द्विध्रुव से $x$ दूरी पर और $64 P$ आघूर्ण वाले द्विध्रुव से $(25 - x)$ दूरी पर स्थित है।
उदासीन बिंदु $N$ पर,द्विध्रुव $1$ के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण और द्विध्रुव $2$ के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण बराबर होना चाहिए।
द्विध्रुव की अक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र का सूत्र $E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2p}{r^3}$ होता है।
क्षेत्रों को बराबर करने पर:
$\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2P}{x^3} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{2(64P)}{(25 - x)^3}$
$\frac{1}{x^3} = \frac{64}{(25 - x)^3}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{4}{25 - x}$
$25 - x = 4x$
$5x = 25$
$x = 5 \ cm$.

(A) एक समान विद्युत क्षेत्र में रखे गए विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\vec{\tau}$ क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा दिया जाता है: $\vec{\tau} = \vec{P} \times \vec{E}$.
टॉर्क का परिमाण $\tau = PE \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण वेक्टर $\vec{P}$ और विद्युत क्षेत्र वेक्टर $\vec{E}$ के बीच का कोण है।
टॉर्क को अधिकतम होने के लिए,$\sin \theta$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 90^{\circ}$ पर प्राप्त होता है।
इसलिए,टॉर्क तब अधिकतम होता है जब $\vec{P}$ और $\vec{E}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।

(C) विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ की दिशा ऋण आवेश से धन आवेश की ओर होती है।
विद्युत द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा पर किसी भी बिंदु पर,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ की दिशा द्विध्रुव अक्ष के समानांतर होती है,लेकिन यह धन आवेश से ऋण आवेश की ओर निर्देशित होती है।
इसलिए,निरक्षीय रेखा पर स्थित बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता की दिशा द्विध्रुव आघूर्ण की दिशा के बिल्कुल विपरीत होती है।
चूंकि ये सदिश प्रति-समानांतर (anti-parallel) हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $180^o$ है।

(C) $r$ दूरी पर अक्षीय बिंदु पर द्विध्रुव के कारण विद्युत क्षेत्र $E_{\text{axial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r^3} = E$ द्वारा दिया जाता है।
जब द्विध्रुव को उसकी लंबवत अक्ष के परितः $90^{\circ}$ के कोण से घुमाया जाता है,तो जो बिंदु पहले अक्षीय रेखा पर था,वह अब द्विध्रुव की निरक्षीय (equatorial) रेखा पर आ जाता है।
$r$ दूरी पर निरक्षीय बिंदु पर द्विध्रुव के कारण विद्युत क्षेत्र $E_{\text{equatorial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $E_{\text{equatorial}} = \frac{E_{\text{axial}}}{2} = \frac{E}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) जब एक विद्युत द्विध्रुव को एकसमान विद्युत क्षेत्र $E$ में रखा जाता है,तो यह $\tau = pE \sin \theta$ का टॉर्क अनुभव करता है।
संतुलन स्थिति से छोटे कोणीय विस्थापन $\theta$ के लिए,$\sin \theta \approx \theta$ होता है।
अतः,प्रत्यानयन टॉर्क $\tau = -pE\theta$ है।
घूर्णन के लिए न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए,$\tau = I \alpha = I \frac{d^2\theta}{dt^2}$।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $I \frac{d^2\theta}{dt^2} = -pE\theta$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{d^2\theta}{dt^2} = -(\frac{pE}{I})\theta$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना सरल आवर्त गति के मानक समीकरण $\frac{d^2\theta}{dt^2} = -\omega^2 \theta$ से करने पर,हमें $\omega^2 = \frac{pE}{I}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,कोणीय आवृत्ति $\omega = \sqrt{\frac{pE}{I}}$ है।

(B) $1$. एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में, धनात्मक आवेश पर बल $F_+ = qE$ और ऋणात्मक आवेश पर बल $F_- = -qE$ होता है।
$2$. द्विध्रुव पर कुल बल $F_{net} = F_+ + F_- = qE - qE = 0$ होता है।
$3$. विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव की स्थितिज ऊर्जा $U = -p \cdot E = -pE \cos \theta$ द्वारा दी जाती है।
$4$. जब द्विध्रुव आघूर्ण $p$, विद्युत क्षेत्र $E$ की दिशा में होता है, तो कोण $\theta = 0^\circ$ होता है।
$5$. अतः, $U = -pE \cos(0^\circ) = -pE$, जो कि न्यूनतम संभव स्थितिज ऊर्जा है।

(A) द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ वाले एक विद्युत द्विध्रुव के लिए,इसके केंद्र से $r$ दूरी पर (जहाँ $r \gg a$) अक्षीय रेखा पर स्थित बिंदु पर विद्युत क्षेत्र का सूत्र है:
$\vec{E}_{axial} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2\vec{p}}{r^3}$.
यह विद्युत क्षेत्र द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ की दिशा में ही होता है।

(B) मान लीजिए कि $+q$ और $-q$ दो आवेश $2a$ की दूरी पर स्थित हैं। मान लीजिए $P$ लंब समद्विभाजक पर एक बिंदु है जो मध्य बिंदु से $x$ दूरी पर है।
$r$ दूरी पर स्थित आवेश $q$ के कारण बिंदु $P$ पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों आवेशों $+q$ और $-q$ से बिंदु $P$ की दूरी $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ है।
$+q$ के कारण विभव $V_1 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ है।
$-q$ के कारण विभव $V_2 = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ है।
बिंदु $P$ पर कुल विद्युत विभव $V = V_1 + V_2 = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{x^2 + a^2}} - \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{\sqrt{x^2 + a^2}} = 0$ है।
अतः,विद्युत द्विध्रुव के लंब समद्विभाजक पर किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव शून्य होता है।

(A) विद्युत क्षेत्र द्विध्रुव पर एक बल आघूर्ण (torque) लगाता है,जो $\tau = pE \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
द्विध्रुव को प्रारंभिक स्थिति $\theta_1 = 0^\circ$ (साम्यावस्था) से अंतिम कोण $\theta_2 = \theta$ तक घुमाने में किया गया कार्य $W$,कोण के सापेक्ष बल आघूर्ण का समाकलन है:
$W = \int_{0}^{\theta} \tau \, d\theta$
$W = \int_{0}^{\theta} pE \sin \theta \, d\theta$
$W = pE [-\cos \theta]_{0}^{\theta}$
$W = -pE (\cos \theta - \cos 0^\circ)$
चूंकि $\cos 0^\circ = 1$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$W = -pE (\cos \theta - 1) = pE(1 - \cos \theta)$.

(B) एक विद्युत द्विध्रुव $2a$ की दूरी से अलग हुए दो समान और विपरीत आवेशों $+q$ और $-q$ से बना होता है।
मान लीजिए कि द्विध्रुव का मध्य बिंदु मूल बिंदु $O$ है।
द्विध्रुव के कारण किसी भी बिंदु पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p \cos\theta}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अक्ष के मध्य बिंदु पर,धनात्मक आवेश से दूरी $a$ है और ऋणात्मक आवेश से दूरी भी $a$ है।
$+q$ के कारण विभव $V_+ = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{a}$ है और $-q$ के कारण विभव $V_- = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{a}$ है।
कुल विभव $V = V_+ + V_- = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{a} - \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{a} = 0$ है।
अतः,एक विद्युत द्विध्रुव के मध्य बिंदु पर विद्युत विभव शून्य होता है।

(A) एक समान विद्युत क्षेत्र में रखे गए विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\vec{\tau}$ सदिश गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$.
टॉर्क का परिमाण $\tau = pE \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ और विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के बीच का कोण है।
टॉर्क को अधिकतम होने के लिए,$\sin(\theta)$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
$\sin(\theta)$ का अधिकतम मान $1$ होता है,जो $\theta = 90^{\circ}$ पर प्राप्त होता है।
इसलिए,टॉर्क तब अधिकतम होता है जब $\vec{p}$ और $\vec{E}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है।

(C) एक द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु $(r, \theta)$ पर विद्युत विभव $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{p \cos \theta}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A \,(r, 135^{\circ})$ पर विभव:
$V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{p \cos 135^{\circ}}{r^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{p (-1/\sqrt{2})}{r^2}$.
बिंदु $B \,(r, 45^{\circ})$ पर विभव:
$V_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{p \cos 45^{\circ}}{r^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{p (1/\sqrt{2})}{r^2}$.
आवेश $q$ को $A$ से $B$ तक ले जाने में बाहरी एजेंट द्वारा किया गया कार्य $W = q(V_B - V_A)$ है।
$W = q \left[ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{p}{r^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} - \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right) \right]$
$W = q \left[ \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{p}{r^2} \left( \frac{2}{\sqrt{2}} \right) \right]$
$W = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{\sqrt{2} qp}{r^2}$.

(D) एक समान विद्युत क्षेत्र में,एक विद्युत द्विध्रुव केवल टॉर्क का अनुभव करता है,और नेट बल शून्य होता है।
हालाँकि,एक असमान विद्युत क्षेत्र में,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता अलग-अलग बिंदुओं पर भिन्न होती है।
चूंकि द्विध्रुव के दो आवेश ($+q$ और $-q$) अलग-अलग स्थितियों पर होते हैं,इसलिए वे अलग-अलग विद्युत बलों $(F = qE)$ का अनुभव करते हैं।
इसलिए,द्विध्रुव पर कार्य करने वाला नेट बल शून्य नहीं होता है।
इसके अतिरिक्त,क्योंकि बल संरेखीय (collinear) नहीं होते हैं,द्विध्रुव एक टॉर्क का भी अनुभव करता है।
इस प्रकार,एक असमान विद्युत क्षेत्र में,एक विद्युत द्विध्रुव नेट बल और टॉर्क दोनों का अनुभव करता है।

(B) विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $(p)$ को आवेशों में से किसी एक के परिमाण $(q)$ और उनके बीच की दूरी $(2a)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$p = q \times 2a$।
आवेश $(q)$ का $SI$ मात्रक कूलॉम $(C)$ है और दूरी $(2a)$ का $SI$ मात्रक मीटर $(m)$ है।
अतः,विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण का $SI$ मात्रक $C \cdot m$ (कूलॉम-मीटर) है।

(B) एक छोटे विद्युत द्विध्रुव के कारण $r$ दूरी पर उसकी अक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र $E_{\text{axial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
एक छोटे विद्युत द्विध्रुव के कारण $r$ दूरी पर उसकी निरक्षीय रेखा पर विद्युत क्षेत्र $E_{\text{equatorial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
अक्षीय क्षेत्र और निरक्षीय क्षेत्र का अनुपात लेने पर:
$\frac{E_{\text{axial}}}{E_{\text{equatorial}}} = \frac{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{2p}{r^3}}{\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{p}{r^3}} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $2 : 1$ है।

(D) एक बिंदु आवेश द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E$ असमान होता है,क्योंकि यह दूरी $r$ के साथ बदलता है $(E \propto 1/r^2)$।
असमान विद्युत क्षेत्र में द्विध्रुव पर लगने वाला बल $\vec{F} = (\vec{p} \cdot \nabla) \vec{E}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि क्षेत्र असमान है,इसलिए द्विध्रुव पर कुल बल सामान्यतः शून्य नहीं होता है।
द्विध्रुव पर लगने वाला बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के समानांतर या प्रति-समानांतर है,तो उनके बीच का कोण $\theta$,$0^\circ$ या $180^\circ$ होता है। चूंकि $\tau = pE \sin \theta$ होता है,इसलिए इन विशिष्ट स्थितियों में $\sin(0^\circ) = 0$ या $\sin(180^\circ) = 0$ होता है,जिससे बल आघूर्ण शून्य हो जाता है।
अतः,द्विध्रुव पर बल आघूर्ण शून्य हो सकता है।

(B) एक विद्युत द्विध्रुव की विषुवतीय रेखा पर किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ का सूत्र $\vec{E} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$ होता है,जहाँ $\vec{p}$ विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ की दिशा द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p}$ की दिशा के विपरीत है।
अतः,विद्युत क्षेत्र द्विध्रुव आघूर्ण के प्रति-समानांतर (anti-parallel) होता है।

(B) एक लघु विद्युत द्विध्रुव के कारण किसी बिंदु $(r, \theta)$ पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$V = \frac{kp \cos \theta}{r^2}$
जहाँ $k = \frac{1}{4\pi \epsilon_0}$ कूलम्ब नियतांक है,$p$ द्विध्रुव आघूर्ण है,$r$ द्विध्रुव के केंद्र से दूरी है और $\theta$ बिंदु के स्थिति सदिश और द्विध्रुव अक्ष के बीच का कोण है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) एक विद्युत द्विध्रुव $d$ की अल्प दूरी से अलग किए गए दो समान और विपरीत आवेशों से बना होता है।
जब इसे असमान विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो दोनों आवेशों की स्थिति पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता अलग-अलग होती है।
चूंकि $F = qE$ होता है,इसलिए दोनों आवेशों पर कार्य करने वाले बलों का परिमाण समान नहीं होता है,जिसके परिणामस्वरूप एक नेट रैखिक बल उत्पन्न होता है।
इसके अतिरिक्त,चूंकि ये बल अलग-अलग बिंदुओं पर कार्य करते हैं,इसलिए वे द्विध्रुव के केंद्र के परितः एक टॉर्क उत्पन्न करते हैं।
अतः,असमान विद्युत क्षेत्र में एक विद्युत द्विध्रुव नेट रैखिक बल और टॉर्क दोनों का अनुभव करता है।

(D) द्विध्रुव की अक्ष पर $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{2Kp}{r^3}$ है,जहाँ $K$ कूलम्ब नियतांक है और $p$ द्विध्रुव आघूर्ण है।
आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qE = q \left( \frac{2Kp}{r^3} \right) = \frac{2Kpq}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
इस समीकरण से,हम देख सकते हैं कि $F \propto \frac{1}{r^3}$ है।
यदि दूरी को दोगुना कर दिया जाए,अर्थात $r' = 2r$,तो नया बल $F'$ होगा:
$F' = \frac{2Kpq}{(2r)^3} = \frac{2Kpq}{8r^3} = \frac{1}{8} \left( \frac{2Kpq}{r^3} \right) = \frac{F}{8}$.

(C) द्विध्रुव आघूर्ण $p$ को आवेश के परिमाण $q$ और उनके बीच की दूरी $2a$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
आवेश $q = 3.2 \times 10^{-19} \ C$
दूरी $2a = 2.4 \ \mathring{A} = 2.4 \times 10^{-10} \ m$
विद्युत क्षेत्र $E = 4 \times 10^5 \ V/m$ (नोट: द्विध्रुव आघूर्ण की गणना के लिए विद्युत क्षेत्र की जानकारी की आवश्यकता नहीं है)।
सूत्र: $p = q \times (2a)$
गणना: $p = (3.2 \times 10^{-19} \ C) \times (2.4 \times 10^{-10} \ m)$
$p = 7.68 \times 10^{-29} \ C-m$.

(B) द्विध्रुव आघूर्ण $p$ का मान $p = q \times (2a)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = 2 \times 10^{-6} \ C$ और $2a = 3 \times 10^{-2} \ m$ है।
$p = (2 \times 10^{-6}) \times (3 \times 10^{-2}) = 6 \times 10^{-8} \ Cm$.
विद्युत क्षेत्र $E$ में द्विध्रुव पर लगने वाला टॉर्क $\tau = pE \sin \theta$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम टॉर्क के लिए,$\sin \theta = 1$ लेने पर,$\tau_{max} = pE$ होगा।
$\tau_{max} = (6 \times 10^{-8} \ Cm) \times (2 \times 10^{5} \ N/C)$.
$\tau_{max} = 12 \times 10^{-3} \ Nm$.

(B) ध्रुवीय निर्देशांक में द्विध्रुव का विद्युत क्षेत्र त्रिज्यीय घटक $E_r = \frac{2kp \cos \phi}{r^3}$ और स्पर्शरेखीय घटक $E_t = \frac{kp \sin \phi}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\phi = \pi/3$ वह कोण है जो स्थिति सदिश $OP$,द्विध्रुव अक्ष ($x$-अक्ष) के साथ बनाता है।
परिणामी विद्युत क्षेत्र,त्रिज्यीय सदिश $OP$ के साथ जो कोण $\alpha$ बनाता है,वह $\tan \alpha = \frac{E_t}{E_r} = \frac{kp \sin \phi / r^3}{2kp \cos \phi / r^3} = \frac{1}{2} \tan \phi$ द्वारा दिया जाता है।
$\phi = \pi/3$ रखने पर,हमें $\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan(\pi/3) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$।
विद्युत क्षेत्र $x$-अक्ष के साथ जो कोण $\theta$ बनाता है,वह स्थिति सदिश के कोण $\phi$ और $\alpha$ का योग है,इसलिए $\theta = \phi + \alpha = \frac{\pi}{3} + \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$।

(A) द्विध्रुव आघूर्ण $p$ एक आवेश के परिमाण $q$ और उनके बीच की दूरी $\ell$ के गुणनफल के बराबर होता है:
$p = q \times \ell$
दिया गया है:
$q = 10^{-10} \, \text{stC}$
$\ell = 1 \, \mathring{A} = 10^{-8} \, \text{cm}$
मान रखने पर:
$p = 10^{-10} \, \text{stC} \times 10^{-8} \, \text{cm} = 10^{-18} \, \text{esu} \cdot \text{cm}$
चूंकि $1 \, \text{Debye} = 10^{-18} \, \text{esu} \cdot \text{cm}$,
अतः, $p = 1 \, \text{Debye}$.

(D) द्विध्रुव की अक्ष पर $x$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{\text{axis}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{2p}{x^3}$ द्वारा दी जाती है।
द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा पर $y$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{\text{equatorial}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{p}{y^3}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $E_{\text{axis}} = E_{\text{equatorial}}$,इसलिए:
$\frac{2p}{x^3} = \frac{p}{y^3}$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{2}{x^3} = \frac{1}{y^3} \Rightarrow \frac{x^3}{y^3} = 2$.
दोनों पक्षों का घनमूल (cube root) लेने पर:
$\frac{x}{y} = \sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$.
अतः,अनुपात $x:y$ का मान $\sqrt[3]{2}:1$ है।