Electrostatic Force and Coulombs Law Questions in Hindi

(D) दो बिंदु विद्युत आवेशों के बीच लगने वाला बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच लगने वाला स्थिर विद्युत बल $F$ का परिमाण आवेशों के परिमाण के गुणनफल के समानुपाती और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
इसका गणितीय व्यंजक $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ है,जहाँ $k$ कूलम्ब नियतांक है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो बिंदु आवेशों के बीच स्थिर-विद्युत बल $F$ उनके बीच की दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $F \propto \frac{1}{r^2}$।
यदि प्रारंभिक दूरी $r$ है,तो प्रारंभिक बल $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ है।
जब दूरी को आधा कर दिया जाता है,तो नई दूरी $r' = \frac{r}{2}$ हो जाती है।
नया बल $F'$ इस प्रकार प्राप्त होता है: $F' = k \frac{q_1 q_2}{(r/2)^2} = k \frac{q_1 q_2}{r^2 / 4} = 4 \left( k \frac{q_1 q_2}{r^2} \right) = 4F$।
अतः,बल मूल बल का चार गुना हो जाता है।

(B) कूलम्ब के नियम के अनुसार,आवेश $q_1$ द्वारा $q_2$ पर लगाया गया बल,$q_2$ द्वारा $q_1$ पर लगाए गए बल के परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होता है (न्यूटन की गति का तीसरा नियम)।
अतः,दोनों आवेशों पर लगने वाले बल का परिमाण समान होता है।
उन पर कार्य करने वाले बलों का अनुपात $1:1$ है।

(C) अध्यारोपण के सिद्धांत (Principle of Superposition) के अनुसार,एक आवेश द्वारा दूसरे आवेश पर लगाया गया बल आसपास मौजूद अन्य आवेशों की उपस्थिति से स्वतंत्र होता है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार $q_1$ और $q_2$ के बीच का बल $F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ है।
यह बल केवल $q_1$ और $q_2$ के परिमाण और उनके बीच की दूरी $r$ पर निर्भर करता है। तीसरे आवेश $q_3$ की उपस्थिति $q_2$ पर एक नया बल (जो $q_3$ के कारण है) उत्पन्न करती है,लेकिन यह $q_1$ द्वारा $q_2$ पर लगाए जा रहे बल को परिवर्तित नहीं करती है।
अतः,$q_1$ द्वारा $q_2$ पर लगाया गया बल अपरिवर्तित रहता है।

(B) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच हवा में लगने वाला बल $F_a = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ होता है।
$K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में लगने वाला बल $F_m = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ होता है।
अतः,बलों का अनुपात $\frac{F_a}{F_m} = \frac{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}}{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{r^2}} = K$ होगा।
इस प्रकार,अनुपात $F_a : F_m = K : 1$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि केंद्र $O$ पर एक परीक्षण आवेश $q_0$ रखा गया है।
$1$. $A$ $(+q)$ और $C$ $(+q)$ पर स्थित आवेश समान हैं और $O$ से समान दूरी पर हैं। $A$ के कारण बल प्रतिकर्षी है और $C$ की ओर निर्देशित है,जबकि $C$ के कारण बल प्रतिकर्षी है और $A$ की ओर निर्देशित है। चूंकि ये बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
$2$. $B$ $(+2q)$ और $D$ $(-2q)$ पर स्थित आवेश $O$ से समान दूरी पर हैं। $q_0$ पर $B$ $(+2q)$ के कारण बल प्रतिकर्षी है ($B$ से दूर $D$ की ओर)। $q_0$ पर $D$ $(-2q)$ के कारण बल आकर्षण का है ($D$ की ओर)।
$3$. चूंकि दोनों बल $D$ की ओर निर्देशित हैं,इसलिए परिणामी बल शून्य नहीं है और यह विकर्ण $BD$ के अनुदिश $D$ की ओर कार्य करता है।

(A) मान लीजिए कि आवेशों की स्थितियाँ $x_1 = 0$,$x_2 = l/2$ और $x_3 = l$ हैं।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,$x = 0$ पर स्थित $4q$ आवेश के कारण $x = l$ पर स्थित $q$ आवेश पर लगने वाला बल:
$F_1 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{(4q)(q)}{l^2} = \frac{4q^2}{4\pi\varepsilon_0 l^2}$
$x = l/2$ पर स्थित $Q$ आवेश के कारण $x = l$ पर स्थित $q$ आवेश पर लगने वाला बल:
$F_2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{(Q)(q)}{(l/2)^2} = \frac{4Qq}{4\pi\varepsilon_0 l^2}$
$q$ पर परिणामी बल शून्य होने के लिए,बलों का योग शून्य होना चाहिए:
$F_1 + F_2 = 0$
$\frac{4q^2}{4\pi\varepsilon_0 l^2} + \frac{4Qq}{4\pi\varepsilon_0 l^2} = 0$
$4q^2 + 4Qq = 0$
$4Qq = -4q^2$
$Q = -q$

(A) गुरुत्वाकर्षण की अनुपस्थिति में,गोलों पर कार्य करने वाला एकमात्र बल उनके बीच का स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल है।
चूंकि दोनों गोलों पर समान आवेश $+Q$ है,इसलिए वे एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं।
उनके बीच की दूरी को अधिकतम करने और संतुलन की स्थिति तक पहुँचने के लिए,धागे विपरीत दिशाओं में खिंचकर एक सीधी रेखा बना लेंगे।
अतः,दोनों धागों के बीच का कोण $180^\circ$ है।
दोनों आवेशों के बीच की दूरी $r = L + L = 2L$ है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,उनके बीच का स्थिर-वैद्युत बल $F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q \cdot Q}{(2L)^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{(2L)^2}$ है।
यह बल प्रत्येक धागे में उत्पन्न तनाव $T$ के बराबर होता है।

(A) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच स्थिर वैद्युत बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}$
दिया गया है:
$q_1 = q_2 = 1\;C$
$r = 1\;km = 1000\;m = 10^3\;m$
$k = 9 \times 10^9\;N\cdot m^2/C^2$
मान रखने पर:
$F = \frac{(9 \times 10^9) \times (1) \times (1)}{(10^3)^2}$
$F = \frac{9 \times 10^9}{10^6}$
$F = 9 \times 10^3\;N$

(D) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $Q_1$ और $Q_2$ के बीच का बल $F = \frac{k Q_1 Q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,$F = 12\,N$,इसलिए $12 = \frac{k(2)(6)}{r^2} = \frac{12k}{r^2}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{k}{r^2} = 1$.
प्रत्येक आवेश में $-2\,C$ जोड़ने के बाद,नए आवेश $Q_1' = 2 - 2 = 0\,C$ और $Q_2' = 6 - 2 = 4\,C$ हो जाते हैं।
नया बल $F'$ का मान $F' = \frac{k Q_1' Q_2'}{r^2} = \frac{k(0)(4)}{r^2} = 0\,N$ होगा।

(B) मान लीजिए कि वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है। आवेश समान हैं,इसलिए $q_1 = q_2 = q_3 = q$ लें।
$F_{12}$ दो आसन्न कोनों के बीच का बल है,इसलिए उनके बीच की दूरी $a$ है। अतः,$F_{12} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{a^2}$।
$F_{13}$ दो विपरीत कोनों (विकर्ण) के बीच का बल है,इसलिए उनके बीच की दूरी $a\sqrt{2}$ है। अतः,$F_{13} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{2a^2}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{F_{12}}{F_{13}} = \frac{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{a^2}}{\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{2a^2}} = \frac{1/a^2}{1/2a^2} = 2$।

(C) $CGS$ पद्धति में,कूलम्ब का नियम $F = \frac{q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
आवेश $A$ $(+15\,e.s.u.)$ के कारण आवेश $B$ $(+12\,e.s.u.)$ पर लगने वाला बल प्रतिकर्षी है और $BA$ की दिशा में (चित्र में नीचे की ओर) कार्य करता है। इसका परिमाण है:
$F_A = \frac{15 \times 12}{3^2} = \frac{180}{9} = 20\,dyne$.
आवेश $C$ $(-20\,e.s.u.)$ के कारण आवेश $B$ $(+12\,e.s.u.)$ पर लगने वाला बल आकर्षी है और $BC$ की दिशा में ($C$ की ओर) कार्य करता है। इसका परिमाण है:
$F_C = \frac{|12 \times (-20)|}{4^2} = \frac{240}{16} = 15\,dyne$.
चूंकि $BA$ और $BC$ के बीच का कोण $90^\circ$ है,इसलिए $B$ पर परिणामी बल है:
$F_{net} = \sqrt{F_A^2 + F_C^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25\,dyne$.

(D) निर्वात में दो आवेशों के बीच स्थिर-वैद्युत बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ द्वारा दिया जाता है।
जब $K$ परावैद्युतांक वाला माध्यम पेश किया जाता है,तो बल $F' = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ हो जाता है।
इसलिए,नया बल $F' = \frac{F}{K}$ है।
चूंकि $K = 4$ दिया गया है,नया बल $F' = \frac{F}{4}$ होगा।

(A) बिंदु आवेशों के लिए,कूलम्ब के नियम के अनुसार बल $F_e = \frac{k Q^2}{d^2}$ होता है।
जब आवेशों को $R = 0.3 \, d$ त्रिज्या वाले गोलों पर रखा जाता है,तो उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d$ रहती है।
चूंकि गोले एक-दूसरे के करीब हैं ($R$,$d$ का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है),इसलिए स्थिर-वैद्युत प्रेरण प्रभाव के कारण गोलों की सतहों पर आवेशों का पुनर्वितरण होता है।
विशेष रूप से,एक गोले पर मौजूद धनात्मक आवेश दूसरे गोले पर मौजूद ऋणात्मक आवेश की ओर आकर्षित होता है,जिससे आवेश गोलों के आंतरिक फलकों पर एक-दूसरे के करीब आ जाते हैं।
चूंकि आवेशों के केंद्रों के बीच की प्रभावी दूरी $d$ से कम हो जाती है,इसलिए आकर्षण बल बढ़ जाता है।
अतः,नया बल $F_e$ से अधिक होता है।

(A) $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में $r$ दूरी पर स्थित $q_1$ और $q_2$ आवेशों के बीच कार्य करने वाला स्थिर विद्युत बल $F_m = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
हवा में,परावैद्युतांक $K_{air} \approx 1$ होता है,इसलिए बल $F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ है।
जब आयनों को पानी में रखा जाता है,तो नया बल $F' = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ होता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $F' = \frac{F}{K}$ प्राप्त होता है।

(C) कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो आवेशों के बीच बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मुक्त आकाश की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\varepsilon_0 = \frac{q_1 q_2}{4 \pi F r^2}$ प्राप्त होता है।
स्थिरांक $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ का मान लगभग $9 \times 10^9 \, N \cdot m^2 / C^2$ होता है।
अतः,$\varepsilon_0 = \frac{1}{4 \pi \times 9 \times 10^9} \approx 8.854 \times 10^{-12} \, C^2 / (N \cdot m^2)$ होता है।

(C) प्रारंभ में, $r$ दूरी पर स्थित $+q$ और $-q$ आवेश वाले दो गोलों के बीच का बल कूलॉम के नियम के अनुसार: $F = k\frac{q^2}{r^2}$ है।
जब $+q$ आवेश वाला तीसरा गोला मध्य बिंदु पर (दोनों से $r/2$ दूरी पर) रखा जाता है, तो वह दो बल अनुभव करता है:
$1$. $A$ पर स्थित $+q$ आवेश के कारण बल: $F_A = k\frac{q \cdot q}{(r/2)^2} = 4k\frac{q^2}{r^2} = 4F$ ($A$ से दूर, $C$ की ओर)।
$2$. $C$ पर स्थित $-q$ आवेश के कारण बल: $F_C = k\frac{q \cdot q}{(r/2)^2} = 4k\frac{q^2}{r^2} = 4F$ ($C$ की ओर)।
मध्य वाले गोले पर कुल बल $F_{net} = F_A + F_C = 4F + 4F = 8F$ है।
चूंकि दोनों बल $-q$ आवेश की दिशा में हैं, इसलिए कुल बल $-q$ आवेश की ओर $8F$ होगा।

(A) $r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q$ और $Q-q$ के बीच कूलम्ब बल इस प्रकार है:
$F = \frac{k q (Q - q)}{r^2}$
अधिकतम बल की स्थिति ज्ञात करने के लिए,हम $F$ का $q$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dF}{dq} = \frac{k}{r^2} \frac{d}{dq} (Qq - q^2) = 0$
$Q - 2q = 0$
$Q = 2q$
अतः,अनुपात $\frac{Q}{q} = 2$ है।

(A) $r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच हवा में बल $F = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
जब माध्यम को $k$ स्थिरांक वाले परावैद्युत द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है,तो माध्यम की विद्युतशीलता $\varepsilon = k \varepsilon_0$ हो जाती है।
नया बल $F'$ इस प्रकार है: $F' = \frac{1}{4\pi \varepsilon} \frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac{1}{4\pi k \varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$।
अतः,$F' = \frac{F}{k} = k^{-1} F$।
चूंकि किसी भी परावैद्युत माध्यम के लिए $k > 1$ होता है,इसलिए बल घट जाता है और मूल बल का $k^{-1}$ गुना हो जाता है।

(B) कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो बिंदु आवेशों के बीच स्थिर-विद्युत बल $F$ उनके बीच की दूरी $r$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $F \propto \frac{1}{r^2}$.
प्रारंभिक दूरी $r_1 = 0.06\,m$ और प्रारंभिक बल $F_1 = 5\,N$ दिया गया है।
जब प्रत्येक आवेश को एक-दूसरे की ओर $0.01\,m$ खिसकाया जाता है,तो नई दूरी $r_2 = 0.06\,m - 0.01\,m - 0.01\,m = 0.04\,m$ हो जाती है।
अनुपात सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{F_1}{F_2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$.
मान रखने पर: $\frac{5}{F_2} = \left( \frac{0.04}{0.06} \right)^2 = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9}$.
अतः,$F_2 = 5 \times \frac{9}{4} = \frac{45}{4} = 11.25\,N$.

(A) कूलम्ब के नियम के अनुसार,निर्वात या हवा में दो आवेशों के बीच लगने वाला बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ होता है।
जब आवेशों को $K$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में डुबोया जाता है,तो बल $F_m = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 K} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ हो जाता है।
अतः,माध्यम में बल और हवा में बल के बीच का संबंध $F_m = \frac{F}{K}$ है।
चूंकि $K = 2$ दिया गया है,इसलिए नया बल $F_m = \frac{F}{2}$ होगा।

(A) कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो बिंदु आवेशों के बीच का बल $F = k \frac{Q_1 Q_2}{r^2}$ होता है।
प्रारंभ में,$Q_1 = +3\,\mu C$ और $Q_2 = +8\,\mu C$ हैं,और बल $F = 40\,N$ है।
प्रत्येक आवेश में $-5\,\mu C$ जोड़ने के बाद,नए आवेश हैं:
$Q_1' = 3\,\mu C - 5\,\mu C = -2\,\mu C$
$Q_2' = 8\,\mu C - 5\,\mu C = +3\,\mu C$
चूंकि दूरी $r$ समान रहती है,बलों का अनुपात $\frac{F'}{F} = \frac{Q_1' Q_2'}{Q_1 Q_2}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{F'}{40} = \frac{(-2) \times (3)}{3 \times 8} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}$.
अतः,$F' = 40 \times (-1/4) = -10\,N$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि बल अब आकर्षण का है।

(B) भुजा की लंबाई $r = 10\,cm = 0.1\,m$ है। आवेश $q_A = 1 \times 10^{-6}\,C$, $q_B = -1 \times 10^{-6}\,C$ और $q_C = 2 \times 10^{-6}\,C$ हैं।
$A$ पर स्थित आवेश के कारण $C$ पर बल $F_A$ प्रतिकर्षण बल है:
$F_A = \frac{k |q_A q_C|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-6}}{(0.1)^2} = 1.8\,N$.
$B$ पर स्थित आवेश के कारण $C$ पर बल $F_B$ आकर्षण बल है:
$F_B = \frac{k |q_B q_C|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-6}}{(0.1)^2} = 1.8\,N$.
बल सदिशों $F_A$ और $F_B$ के बीच का कोण $120^\circ$ है क्योंकि समबाहु त्रिभुज का आंतरिक कोण $60^\circ$ है और सदिश इस प्रकार उन्मुख हैं कि उनके बीच का कोण $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ है।
परिणामी बल $F_{net}$ इस प्रकार है:
$F_{net} = \sqrt{F_A^2 + F_B^2 + 2 F_A F_B \cos(120^\circ)}$
$F_{net} = \sqrt{(1.8)^2 + (1.8)^2 + 2(1.8)(1.8)(-0.5)}$
$F_{net} = \sqrt{1.8^2 + 1.8^2 - 1.8^2} = 1.8\,N$.

(B) कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो बिंदु आवेशों के बीच बल $F = k \frac{Q_1 Q_2}{R^2}$ होता है।
प्रारंभ में,आवेश $Q_1 = +10\,\mu C$ और $Q_2 = -20\,\mu C$ हैं। अतः बल $F_1 = k \frac{(10)(-20)}{R^2} = -200 \frac{k}{R^2}$ है।
जब गोलों को संपर्क में लाया जाता है,तो उनकी त्रिज्या समान होने के कारण कुल आवेश समान रूप से वितरित हो जाता है। प्रत्येक गोले पर नया आवेश $Q' = \frac{Q_1 + Q_2}{2} = \frac{10 - 20}{2} = -5\,\mu C$ होगा।
उन्हें वापस $R$ दूरी पर अलग करने पर नया बल $F_2 = k \frac{(-5)(-5)}{R^2} = 25 \frac{k}{R^2}$ होगा।
बलों का अनुपात $\frac{F_1}{F_2} = \frac{-200 \frac{k}{R^2}}{25 \frac{k}{R^2}} = \frac{-200}{25} = -8$ है।
अतः $F_1 : F_2$ का अनुपात $-8:1$ है।

(A) कूलम्ब के नियम के अनुसार,निर्वात में $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच स्थिर वैद्युत बल $F$ इस प्रकार दिया जाता है:
$F = k \cdot \frac{q_1 q_2}{r^2}$
जहाँ $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ है।
दिया गया है: $q_1 = q_2 = 2 \times 10^{-6} \, C$ और $r = 0.5 \, m$।
मान रखने पर:
$F = 9 \times 10^9 \times \frac{(2 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^{-6})}{(0.5)^2}$
$F = 9 \times 10^9 \times \frac{4 \times 10^{-12}}{0.25}$
$F = 9 \times 10^9 \times 16 \times 10^{-12}$
$F = 144 \times 10^{-3} = 0.144 \, N$.

(C) निर्वात में $d$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $q_1$ और $q_2$ के बीच का बल $F = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{d^2}$ द्वारा दिया जाता है।
जब आवेशों के बीच $t$ मोटाई की एक चालक प्लेट (जैसे तांबा) रखी जाती है,तो आवेशों के बीच की प्रभावी दूरी बदल जाती है। प्रभावी दूरी $d_{eff} = (d - t) + t\sqrt{K}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ परावैद्युतांक है।
एक चालक के लिए,परावैद्युतांक $K = \infty$ होता है।
इसलिए,$d_{eff} = (d - t) + t\sqrt{\infty} = \infty$.
चूंकि बल $F \propto \frac{1}{d_{eff}^2}$ होता है,इसलिए जैसे-जैसे $d_{eff} \to \infty$ होता है,बल $F \to 0$ हो जाता है।

(A) दो आवेशों के बीच कूलॉम बल $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$,$q_1 = q_2 = e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,और $r = 1 \, \mathring{A} = 10^{-10} \, m$ है।
मान रखने पर:
$F = 9 \times 10^9 \times \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{(10^{-10})^2}$
$F = 9 \times 10^9 \times \frac{2.56 \times 10^{-38}}{10^{-20}}$
$F = 9 \times 2.56 \times 10^{9 - 38 + 20}$
$F = 23.04 \times 10^{-9} = 2.304 \times 10^{-8} \, N$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) $1$. $10\,g$ तांबे में परमाणुओं की संख्या की गणना करें: $N = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{परमाणु भार}} \times N_A = \frac{10}{63.5} \times 6.022 \times 10^{23} \approx 9.48 \times 10^{22}$ परमाणु।
$2$. स्थानांतरित इलेक्ट्रॉनों की संख्या की गणना करें: $n = \frac{N}{10^6} = \frac{9.48 \times 10^{22}}{10^6} = 9.48 \times 10^{16}$ इलेक्ट्रॉन।
$3$. प्रत्येक गोले पर आवेश की गणना करें: $Q = n \times e = 9.48 \times 10^{16} \times 1.6 \times 10^{-19} \approx 0.015\,C$।
$4$. कूलम्ब के नियम $F = k \frac{Q_1 Q_2}{r^2}$ का उपयोग करके बल की गणना करें,जहाँ $k = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$,$Q_1 = Q_2 = 0.015\,C$,और $r = 0.1\,m$: $F = 9 \times 10^9 \times \frac{(0.015)^2}{(0.1)^2} = 9 \times 10^9 \times \frac{2.25 \times 10^{-4}}{0.01} = 9 \times 10^9 \times 2.25 \times 10^{-2} = 20.25 \times 10^7 \approx 2.0 \times 10^8\,N$।

(A) मान लीजिए कि $L$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के शीर्षों $A, B,$ और $C$ पर $q$ परिमाण के तीन आवेश रखे गए हैं। त्रिभुज के केंद्रक $O$ पर एक आवेश $Q$ रखा गया है।
प्रत्येक शीर्ष से केंद्रक $O$ की दूरी $r = \frac{L}{\sqrt{3}}$ है।
कूलम्ब के नियम के अनुसार,प्रत्येक आवेश $q$ द्वारा केंद्र पर स्थित आवेश $Q$ पर लगने वाला स्थिर वैद्युत बल $F = \frac{1}{4\pi \varepsilon _0} \frac{qQ}{r^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon _0} \frac{qQ}{(L/\sqrt{3})^2} = \frac{3}{4\pi \varepsilon _0} \frac{qQ}{L^2}$ है।
चूंकि आवेश समान हैं और समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर सममित रूप से रखे गए हैं,इसलिए $Q$ पर कार्य करने वाले तीन बल सदिश $\overrightarrow{F_A}, \overrightarrow{F_B},$ और $\overrightarrow{F_C}$ का परिमाण समान है और वे एक-दूसरे से $120^\circ$ के कोण पर हैं।
$120^\circ$ के कोण पर कार्य करने वाले तीन समान बलों का सदिश योग शून्य होता है। इसलिए,केंद्र पर स्थित आवेश $Q$ पर लगने वाला कुल स्थिर वैद्युत बल शून्य है।

(C) मान लीजिए कि $A, B,$ और $C$ पर आवेश क्रमशः $+Q, -Q,$ और $+Q$ हैं। किन्हीं दो शीर्षों के बीच की दूरी $a$ है।
$B$ पर स्थित आवेश के कारण $A$ पर स्थित आवेश पर बल $F_B = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{a^2}$ (आकर्षक,$B$ की दिशा में) है।
$C$ पर स्थित आवेश के कारण $A$ पर स्थित आवेश पर बल $F_C = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q^2}{a^2}$ (प्रतिकर्षी,$C$ से दूर की दिशा में) है।
इन बलों को $BC$ के समानांतर और लंबवत घटकों में वियोजित करने पर:
$1$. $BC$ के समानांतर $F_B$ और $F_C$ के घटक क्रमशः $F_B \cos 60^\circ$ और $F_C \cos 60^\circ$ हैं,जो दोनों बाईं ओर निर्देशित हैं।
$2$. $BC$ के लंबवत $F_B$ और $F_C$ के घटक क्रमशः $F_B \sin 60^\circ$ (नीचे की ओर) और $F_C \sin 60^\circ$ (ऊपर की ओर) हैं।
चूंकि $|F_B| = |F_C|$,इसलिए $BC$ के लंबवत दिशा में परिणामी बल $F_C \sin 60^\circ - F_B \sin 60^\circ = 0$ है।

(D) कणों द्वारा कोई कुल बल अनुभव न करने के लिए,गुरुत्वाकर्षण आकर्षण बल को स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण बल द्वारा संतुलित होना चाहिए।
$|\vec{F_G}| = |\vec{F_e}|$
$G \frac{m^2}{r^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q^2}{r^2}$
दोनों पक्षों से $r^2$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$G m^2 = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} q^2$
$\frac{q}{m}$ ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{q^2}{m^2} = 4\pi \varepsilon_0 G$
$\frac{q}{m} = \sqrt{4\pi \varepsilon_0 G}$

(C) नाभिक (आवेश $+e$) और इलेक्ट्रॉन (आवेश $-e$) के बीच कूलम्ब बल,कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{F} = K \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}$.
$q_1 = +e$ और $q_2 = -e$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\overrightarrow{F} = K \frac{(+e)(-e)}{r^2} \hat{r} = -K \frac{e^2}{r^2} \hat{r}$.
चूँकि इकाई सदिश $\hat{r} = \frac{\vec{r}}{r}$ है,इसे व्यंजक में रखने पर:
$\overrightarrow{F} = -K \frac{e^2}{r^2} \left( \frac{\vec{r}}{r} \right) = -K \frac{e^2}{r^3} \vec{r}$.

(C) हवा में $r$ दूरी पर स्थित दो बिंदु आवेशों $Q_1$ और $Q_2$ के बीच का बल $F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
जब उन्हीं आवेशों को $k$ परावैद्युतांक वाले माध्यम में $r'$ दूरी पर रखा जाता है,तो बल $F' = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 k} \frac{Q_1 Q_2}{r'^2}$ होता है।
चूंकि बल समान रहता है,$F = F'$,इसलिए $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q_1 Q_2}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 k} \frac{Q_1 Q_2}{r'^2}$ है।
समीकरण को सरल करने पर,हमें $\frac{1}{r^2} = \frac{1}{k r'^2}$ प्राप्त होता है।
$r'$ के लिए हल करने पर,$r'^2 = \frac{r^2}{k}$ मिलता है,जिसका अर्थ है कि $r' = \frac{r}{\sqrt{k}}$।

(C) माना $k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}$ है। $B$ पर स्थित आवेश $A, C,$ और $D$ पर स्थित आवेशों के कारण बल का अनुभव करता है।
$1$. $A$ पर स्थित आवेश के कारण बल: $F_A = \frac{kq^2}{a^2}$ ($AB$ की दिशा में)।
$2$. $C$ पर स्थित आवेश के कारण बल: $F_C = \frac{kq^2}{a^2}$ ($CB$ की दिशा में)।
$3$. $D$ पर स्थित आवेश के कारण बल: $F_D = \frac{kq^2}{(a\sqrt{2})^2} = \frac{kq^2}{2a^2}$ ($DB$ की दिशा में)।
चूँकि $F_A$ और $F_C$ परस्पर लंबवत हैं,उनका परिणामी बल $F_{AC} = \sqrt{F_A^2 + F_C^2} = \sqrt{2} \frac{kq^2}{a^2}$ होगा।
यह परिणामी बल $F_{AC}$ उसी दिशा में कार्य करता है जिस दिशा में $F_D$ कार्य करता है।
अतः,कुल बल $F_{net} = F_{AC} + F_D = \sqrt{2} \frac{kq^2}{a^2} + \frac{kq^2}{2a^2} = \frac{kq^2}{a^2} \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{kq^2}{a^2} \left( \frac{2\sqrt{2} + 1}{2} \right)$।
$k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}$ रखने पर,$F_{net} = \left( \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2} \right) \frac{q^2}{4\pi \varepsilon_0 a^2}$ प्राप्त होता है।

(D) प्रारंभ में,$B$ और $C$ के बीच का बल कूलॉम के नियम के अनुसार $F = k \frac{Q^2}{r^2}$ है।
जब अनावेशित चालक (मान लीजिए $D$) को $B$ के संपर्क में लाया जाता है,तो समान त्रिज्या होने के कारण आवेश $Q$ उनके बीच समान रूप से साझा हो जाता है। अतः,$B$ पर आवेश $Q_B = Q/2$ हो जाता है।
इसके बाद,चालक $D$ (जिस पर अब $Q/2$ आवेश है) को $C$ (जिस पर $Q$ आवेश है) के संपर्क में लाया जाता है। कुल आवेश $(Q/2 + Q) = 3Q/2$ को $C$ और $D$ के बीच समान रूप से साझा किया जाता है। अतः,$C$ पर नया आवेश $Q_C = (3Q/2) / 2 = 3Q/4$ हो जाता है।
$B$ और $C$ के बीच नया प्रतिकर्षण बल $F' = k \frac{Q_B \cdot Q_C}{r^2} = k \frac{(Q/2) \cdot (3Q/4)}{r^2} = \frac{3}{8} \left( k \frac{Q^2}{r^2} \right) = \frac{3}{8} F$ है।

(A) कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो बिंदु आवेशों के बीच का बल $F = k \frac{q_1 q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में,आवेश $q_1 = +7\,\mu C$ और $q_2 = -5\,\mu C$ हैं। बल का परिमाण $F = k \frac{(7)(5)}{r^2} = k \frac{35}{r^2}$ है।
जब प्रत्येक गोले पर $-2\,\mu C$ का अतिरिक्त आवेश जोड़ा जाता है,तो नए आवेश इस प्रकार होते हैं:
$q_1' = +7\,\mu C - 2\,\mu C = +5\,\mu C$
$q_2' = -5\,\mu C - 2\,\mu C = -7\,\mu C$
नया बल $F'$ का मान $F' = k \frac{|q_1' q_2'|}{r^2} = k \frac{|(5)(-7)|}{r^2} = k \frac{35}{r^2}$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $F' = F$।

(A) एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रोटॉन के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $F_G = \frac{G m_e m_p}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $F_G = \frac{6.7 \times 10^{-11} \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-27}}{(5 \times 10^{-11})^2} \approx 3.9 \times 10^{-47} \, N$.
एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रोटॉन के बीच स्थिर-वैद्युत बल $F_e = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $F_e = \frac{9 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2}{(5 \times 10^{-11})^2} \approx 9.22 \times 10^{-8} \, N$.
स्थिर-वैद्युत बल और गुरुत्वाकर्षण बल का अनुपात $\frac{F_e}{F_G} = \frac{9.22 \times 10^{-8}}{3.9 \times 10^{-47}} \approx 2.36 \times 10^{39}$ है।

(D) कूलम्ब के नियम के अनुसार,दो बिंदु आवेशों के बीच बल $F = k \frac{Q_1 Q_2}{r^2}$ होता है। चूँकि दूरी $r$ स्थिर है,इसलिए $F \propto Q_1 Q_2$ होगा।
प्रारंभिक आवेश: $Q_1 = 3 \times 10^{-6} \, C$,$Q_2 = 8 \times 10^{-6} \, C$.
प्रारंभिक बल: $F_1 = 6 \times 10^{-3} \, N$.
प्रत्येक में $-6 \times 10^{-6} \, C$ जोड़ने के बाद नए आवेश:
$Q_1' = 3 \times 10^{-6} - 6 \times 10^{-6} = -3 \times 10^{-6} \, C$
$Q_2' = 8 \times 10^{-6} - 6 \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-6} \, C$
अनुपात का उपयोग करने पर: $\frac{F_2}{F_1} = \frac{Q_1' Q_2'}{Q_1 Q_2}$
$\frac{F_2}{6 \times 10^{-3}} = \frac{(-3 \times 10^{-6}) \times (2 \times 10^{-6})}{(3 \times 10^{-6}) \times (8 \times 10^{-6})}$
$\frac{F_2}{6 \times 10^{-3}} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}$
$F_2 = -\frac{6 \times 10^{-3}}{4} = -1.5 \times 10^{-3} \, N$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि बल आकर्षक है।

(A) प्रारंभ में,गोलों $A$ और $B$ के बीच का बल कूलॉम के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = k\frac{Q^2}{r^2}$।
जब गोला $C$ (अनावेशित) को गोला $A$ (आवेश $Q$) के संपर्क में लाया जाता है,तो आवेश उनके बीच समान रूप से पुनर्वितरित हो जाता है। इस प्रकार,$A$ पर नया आवेश $Q_A = Q/2$ और $C$ पर $Q_C = Q/2$ हो जाता है। गोला $B$ पर आवेश $Q_B = Q$ रहता है।
गोला $C$ को मध्य-बिंदु पर रखा गया है,इसलिए $A$ से दूरी $r/2$ और $B$ से दूरी $r/2$ है।
$A$ के कारण $C$ पर बल $F_A = k\frac{(Q/2)(Q/2)}{(r/2)^2} = k\frac{Q^2/4}{r^2/4} = k\frac{Q^2}{r^2} = F$ है। यह बल $A$ से दूर (प्रतिकर्षण) कार्य करता है।
$B$ के कारण $C$ पर बल $F_B = k\frac{(Q)(Q/2)}{(r/2)^2} = k\frac{Q^2/2}{r^2/4} = 2k\frac{Q^2}{r^2} = 2F$ है। यह बल $B$ से दूर (प्रतिकर्षण) कार्य करता है।
चूंकि $F_A$ और $F_B$ विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं,इसलिए $C$ पर कुल बल $F_{net} = |F_B - F_A| = |2F - F| = F$ होगा।

(D) कूलम्ब के नियम के अनुसार,$r$ दूरी पर स्थित दो आवेशों $Q_1$ और $Q_2$ के बीच का बल $F = k \frac{Q_1 Q_2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि आवेश समान परिमाण के हैं,इसलिए मान लें $Q_1 = Q_2 = Q$। अतः,प्रारंभिक बल $F = k \frac{Q^2}{r^2}$ है।
जब आवेशों को आधा कर दिया जाता है,तो नए आवेश $Q' = Q/2$ हो जाते हैं। जब दूरी को दोगुना कर दिया जाता है,तो नई दूरी $r' = 2r$ हो जाती है।
नया बल $F'$ इस प्रकार है: $F' = k \frac{(Q/2)(Q/2)}{(2r)^2}$।
$F' = k \frac{Q^2 / 4}{4r^2} = \frac{1}{16} \left( k \frac{Q^2}{r^2} \right)$।
चूंकि $F = k \frac{Q^2}{r^2}$,इसलिए $F' = F / 16$ प्राप्त होता है।

(B) मूल बिंदु पर रखे $1 \, C$ के आवेश पर अनंत आवेशों के कारण कार्य करने वाला कुल बल $F$,कूलम्ब के नियम द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$F = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{k q_1 q_2}{r_i^2} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{1 \times 10^{-6} \times 1}{1^2} + \frac{1 \times 10^{-6} \times 1}{2^2} + \frac{1 \times 10^{-6} \times 1}{4^2} + \frac{1 \times 10^{-6} \times 1}{8^2} + ... \infty \right)$
$F = (9 \times 10^9) \times 10^{-6} \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + ... \infty \right)$
कोष्ठक में दिया गया पद एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है,जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = 1/4$ है। इसका योग $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ है।
$F = 9 \times 10^3 \times \frac{4}{3} = 3 \times 10^3 \times 4 = 12000 \, N$.

(B) कूलम्ब का नियम आवेशित कणों के बीच स्थिर विद्युत बल का वर्णन करता है।
$A$,$C$,और $D$ में स्थिर विद्युत अन्योन्यक्रियाएं (इलेक्ट्रॉनों और नाभिक के बीच,या परमाणुओं/अणुओं के बीच आकर्षण) शामिल हैं।
हालाँकि,जो बल नाभिक के भीतर प्रोटॉन और न्यूट्रॉन (न्यूक्लियॉन) को बांधे रखता है,वह प्रबल नाभिकीय बल है,जो विद्युत बल नहीं है।
इसलिए,विकल्प $B$ में दिया गया कथन गलत है।

(B) तीन आवेशों के निकाय के संतुलन में होने के लिए,प्रत्येक आवेश पर कुल बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि दो आवेश $Q$,$A$ और $B$ बिंदुओं पर $x$ दूरी पर रखे गए हैं। आवेश $q$ को मध्य बिंदु $C$ पर रखा गया है (जो $A$ और $B$ दोनों से $x/2$ दूरी पर है)।
बिंदु $B$ पर स्थित आवेश $Q$ के संतुलन पर विचार करें। $A$ पर स्थित आवेश $Q$ द्वारा $B$ पर लगाया गया बल और $C$ पर स्थित आवेश $q$ द्वारा $B$ पर लगाया गया बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए।
$F_{AB} + F_{CB} = 0$
$\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q^2}{x^2} + \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{qQ}{(x/2)^2} = 0$
$\frac{Q^2}{x^2} + \frac{4qQ}{x^2} = 0$
$Q^2 + 4qQ = 0$
$4qQ = -Q^2$
$q = -\frac{Q}{4}$

(D) उदासीन बिंदु पर,दोनों आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण समान और दिशा विपरीत होनी चाहिए।
मान लीजिए $20 \, C$ आवेश से उदासीन बिंदु की दूरी $r_1 = 20 \, cm = 0.2 \, m$ है।
कुल दूरी $60 \, cm = 0.6 \, m$ है।
इसलिए,आवेश $Q$ से उदासीन बिंदु की दूरी $r_2 = 60 \, cm - 20 \, cm = 40 \, cm = 0.4 \, m$ होगी।
विद्युत क्षेत्र के परिमाणों की तुलना करने पर:
$E_1 = E_2$
$\frac{k \cdot 20}{r_1^2} = \frac{k \cdot Q}{r_2^2}$
$\frac{20}{(0.2)^2} = \frac{Q}{(0.4)^2}$
$\frac{20}{0.04} = \frac{Q}{0.16}$
$Q = 20 \times \frac{0.16}{0.04}$
$Q = 20 \times 4 = 80 \, C$.

(B) संतुलन की स्थिति में,विद्युत बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होता है:
$QE = mg$
चूंकि $E = \frac{V}{d}$ और $m = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho$,इसलिए:
$Q \frac{V}{d} = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho g$
इसका अर्थ है $Q \propto \frac{r^3}{V}$।
दो बूंदों के लिए,हम लिख सकते हैं:
$\frac{Q_1}{Q_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3 \times \frac{V_2}{V_1}$
दिया गया है $Q_1 = Q$,$r_1 = r$,$V_1 = 2400\,V$,$r_2 = \frac{r}{2}$,और $V_2 = 600\,V$:
$\frac{Q}{Q_2} = \left( \frac{r}{r/2} \right)^3 \times \frac{600}{2400}$
$\frac{Q}{Q_2} = (2)^3 \times \frac{1}{4} = 8 \times \frac{1}{4} = 2$
अतः,$Q_2 = \frac{Q}{2}$।

(C) सबसे पहले, हम प्रत्येक आवेश पर शुद्ध बल की गणना करते हैं:
$1$. $x=0$ पर $+4q$ आवेश के लिए: $x=a$ पर $-q$ के कारण आकर्षण बल और $x=2a$ पर $+4q$ के कारण प्रतिकर्षण बल लगता है। शुद्ध बल $F = k \frac{(4q)(q)}{a^2} - k \frac{(4q)(4q)}{(2a)^2} = \frac{4kq^2}{a^2} - \frac{4kq^2}{a^2} = 0$ है।
$2$. $x=a$ पर $-q$ आवेश के लिए: $x=0$ पर $+4q$ के कारण आकर्षण बल और $x=2a$ पर $+4q$ के कारण भी आकर्षण बल लगता है। शुद्ध बल $F = k \frac{(4q)(q)}{a^2} - k \frac{(4q)(q)}{a^2} = 0$ है।
$3$. $x=2a$ पर $+4q$ आवेश के लिए: समरूपता के कारण शुद्ध बल $0$ है।
चूंकि सभी आवेशों पर शुद्ध बल शून्य है, इसलिए वे संतुलन में हैं। हालाँकि, यदि किसी आवेश को थोड़ा विस्थापित किया जाता है, तो उसे अपनी मूल स्थिति में वापस लाने के लिए कोई प्रत्यानयन बल कार्य नहीं करता है; इसके बजाय, शुद्ध बल बढ़ जाता है, जो इसे और दूर धकेलता है। अतः, सभी आवेश अस्थिर संतुलन में हैं।