Electric Field Lines, Electric Flux and Gauss's Law Questions in Hindi

(A) विद्युत क्षेत्र की प्रबलता को विद्युत क्षेत्र रेखाओं के घनत्व द्वारा दर्शाया जाता है।
दिए गए चित्र में,बिंदु $B$ की तुलना में बिंदु $A$ पर विद्युत क्षेत्र रेखाएं एक-दूसरे के अधिक निकट (सघन) हैं।
चूंकि $A$ पर क्षेत्र रेखाओं का घनत्व अधिक है,इसलिए $A$ पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $(E_A)$,$B$ पर विद्युत क्षेत्र के परिमाण $(E_B)$ से अधिक होना चाहिए।
अतः,$E_A > E_B$.

(C) जब किसी चालक को बाहरी विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो आवेश इस प्रकार पुनर्वितरित हो जाते हैं कि चालक के अंदर कुल विद्युत क्षेत्र शून्य हो जाता है।
विद्युत क्षेत्र रेखाएं प्रत्येक बिंदु पर चालक की सतह के लंबवत होनी चाहिए।
वे चालक के अंदर प्रवेश नहीं कर सकती हैं क्योंकि इलेक्ट्रोस्टैटिक संतुलन में चालक के अंदर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
इसलिए,क्षेत्र रेखाएं गोले के चारों ओर मुड़ जाती हैं और उसकी सतह पर लंबवत समाप्त होती हैं,जैसा कि विकल्प $C$ में दिखाया गया है।

(A) चुंबकीय बल रेखाएं हमेशा निरंतर बंद लूप बनाती हैं,जैसा कि चित्र $(1)$ में दिखाया गया है।
विद्युत बल रेखाएं धनात्मक आवेश से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं,जिसका अर्थ है कि वे बंद लूप नहीं बनाती हैं,जैसा कि चित्र $(2)$ में दिखाया गया है।
इसलिए,चित्र $(1)$ चुंबकीय बल रेखाओं को दर्शाता है और चित्र $(2)$ विद्युत बल रेखाओं को दर्शाता है।
अतः,सही कथन यह है कि चित्र $(1)$ चुंबकीय बल रेखाओं को दर्शाता है।

(D) विद्युत क्षेत्र रेखाएं प्रत्येक बिंदु पर चालक की सतह के लंबवत होनी चाहिए। एक धात्विक चालक के अंदर,विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। इसलिए,क्षेत्र रेखाएं गोले के माध्यम से नहीं गुजर सकती हैं; उन्हें सतह पर समाप्त होना चाहिए और दूसरी तरफ से निकलना चाहिए,हमेशा सतह के लंबवत अभिविन्यास को बनाए रखना चाहिए। पथ $4$ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है,जहां रेखाएं गोले की सतह से लंबवत मिलने के लिए मुड़ती हैं।

(C) विद्युत क्षेत्र की प्रबलता विद्युत क्षेत्र रेखाओं के घनत्व द्वारा दर्शाई जाती है।
क्षेत्र रेखाओं का घनत्व जितना अधिक होगा,विद्युत क्षेत्र उतना ही प्रबल होगा।
दिए गए चित्र में,बिंदु $B$ की तुलना में बिंदु $A$ और $C$ पर क्षेत्र रेखाएं एक-दूसरे के अधिक निकट हैं।
इसलिए,बिंदु $A$ और $C$ पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता बिंदु $B$ की तुलना में अधिक है।
अतः,${E_A} = {E_C} > {E_B}$.

(D) विद्युत बल रेखाएं किसी क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र की कल्पना करने के लिए उपयोग की जाने वाली काल्पनिक रेखाएं हैं।
ये धनात्मक आवेश से उत्पन्न होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं।
ये कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटती हैं क्योंकि यदि वे काटती हैं,तो प्रतिच्छेदन बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दो दिशाएं होंगी,जो असंभव है।
एक बिंदु आवेश और एक समान रूप से आवेशित गोले के लिए,गोले के बाहर विद्युत क्षेत्र रेखाएं समान होती हैं।
हालाँकि,विद्युत बल रेखाओं का कोई भौतिक अस्तित्व नहीं होता है; वे विद्युत क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक गणितीय संरचना हैं।
इसलिए,यह कथन कि उनका भौतिक अस्तित्व होता है,गलत है।

(D) बेलन की तीन सतहें होती हैं: दो वृत्ताकार सिरे ($A$ और $B$) और एक वक्र सतह $(C)$।
वृत्ताकार सतह $A$ के लिए,क्षेत्रफल सदिश बाहर की ओर (विद्युत क्षेत्र की विपरीत दिशा में) इंगित करता है,इसलिए फ्लक्स $\phi_A = \vec{E} \cdot \vec{A} = E(\pi R^2) \cos(180^\circ) = -E\pi R^2$ है।
वृत्ताकार सतह $B$ के लिए,क्षेत्रफल सदिश बाहर की ओर (विद्युत क्षेत्र की दिशा में) इंगित करता है,इसलिए फ्लक्स $\phi_B = \vec{E} \cdot \vec{A} = E(\pi R^2) \cos(0^\circ) = +E\pi R^2$ है।
वक्र सतह $C$ के लिए,प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्रफल सदिश विद्युत क्षेत्र के लंबवत होता है,इसलिए फ्लक्स $\phi_C = \int \vec{E} \cdot d\vec{s} = \int E ds \cos(90^\circ) = 0$ है।
बेलन से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{total} = \phi_A + \phi_B + \phi_C = -E\pi R^2 + E\pi R^2 + 0 = 0$ है।

(A) गॉस के प्रमेय के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{net} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
चूंकि आवेश $q$ घन के केंद्र में स्थित है,इसलिए फ्लक्स घन के सभी $6$ फलकों से समान रूप से वितरित होगा।
अतः,घन के एक फलक से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_{face} = \frac{\phi_{net}}{6} = \frac{q}{6\varepsilon_0}$ होगा।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
इकाई धनात्मक आवेश के लिए,$q_{enclosed} = 1 \text{ unit}$ है।
अतः,कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{1}{\varepsilon_0} = \varepsilon_0^{-1}$ होगा।

(C) गॉस का नियम बताता है कि एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ का मान $\phi_E = \oint {E \cdot ds} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ होता है।
दिए गए समीकरण $\oint {E \cdot ds} = 0$ से यह सीधे निष्कर्ष निकलता है कि सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स शून्य है।
इसका अर्थ है कि सतह द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश शून्य है $(q_{enclosed} = 0)$।
अतः,विकल्प $(c)$ सही निष्कर्ष है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि घन को एक समान विद्युत क्षेत्र में रखा गया है और घन के भीतर कोई आवेश नहीं है $(q_{enclosed} = 0)$,इसलिए घन से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स शून्य है।
वैकल्पिक रूप से,बाईं सतह में प्रवेश करने वाला फ्लक्स $-El^2$ है और दाईं सतह से बाहर निकलने वाला फ्लक्स $+El^2$ है। अन्य चार सतहों से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य है क्योंकि विद्युत क्षेत्र रेखाएं इन सतहों के समानांतर हैं। अतः,कुल फ्लक्स $-El^2 + El^2 = 0$ है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{net}}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{\text{net}}$ सतह के भीतर निहित कुल आवेश है।
एक विद्युत द्विध्रुव दो समान और विपरीत आवेशों,$+e$ और $-e$ से बना होता है। एक द्विध्रुव का कुल आवेश $q_{\text{dipole}} = (+e) + (-e) = 0$ होता है।
चूंकि घन के अंदर ऐसे आठ द्विध्रुव हैं,इसलिए कुल निहित आवेश $q_{\text{net}} = 8 \times 0 = 0$ है।
अतः,घन से बाहर आने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$ होगा।

(C) गॉस के प्रमेय को लागू करने के लिए,यह आवश्यक है कि आवेश को एक बंद सतह के अंदर रखा जाए।
एक बंद गॉसियन सतह (एक बड़ा बेलन) बनाने के लिए मौजूदा बर्तन के ऊपर एक और समान बेलनाकार बर्तन को उल्टा रखने की कल्पना करें।
गॉस के नियम के अनुसार,इस बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ है।
चूंकि आवेश $q$ दो समान बेलनों के इंटरफ़ेस पर रखा गया है,इसलिए समरूपता के कारण,प्रत्येक बेलन से गुजरने वाला फ्लक्स समान होगा।
अतः,मूल बर्तन की सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi = \frac{\phi_{total}}{2} = \frac{q}{2\varepsilon_0}$ होगा।

(B) गॉस का नियम तब सबसे प्रभावी होता है जब आवेश वितरण में उच्च स्तर की समरूपता (जैसे गोलाकार,बेलनाकार या समतलीय समरूपता) होती है।
विद्युत द्विध्रुव के लिए,विद्युत क्षेत्र में गोलाकार समरूपता नहीं होती है क्योंकि क्षेत्र द्विध्रुव अक्ष के सापेक्ष अभिविन्यास पर निर्भर करता है।
चूंकि द्विध्रुव के केंद्र पर स्थित गोलाकार सतह पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण स्थिर नहीं होता है,इसलिए समाकल $\oint \vec{E} \cdot d\vec{A}$ को $E \oint dA$ के रूप में सरल नहीं किया जा सकता है।
इसलिए,इस गणना के लिए गोलाकार गॉसियन सतह का उपयोग करना सुविधाजनक नहीं है।

(B) तार के प्रति इकाई लंबाई पर आवेश $Q\, C/cm$ दिया गया है।
बेलनाकार सतह की लंबाई $L = 1\, m = 100\, cm$ है।
बेलनाकार सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $Q_{enc} = (\text{प्रति इकाई लंबाई पर आवेश}) \times (\text{बेलन की लंबाई}) = Q \times 100 = 100Q\, C$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
$Q_{enc}$ का मान रखने पर,हमें $\phi = \frac{100Q}{\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(C) विद्युत फ्लक्स $\Phi_E$ को विद्युत क्षेत्र $E$ और उस क्षेत्रफल $A$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है जिससे यह गुजरता है,जिसे $\Phi_E = E \cdot A$ द्वारा दिया जाता है।
विद्युत क्षेत्र $E$ का $S.I.$ मात्रक $\text{न्यूटन प्रति कूलम्ब}$ $(N/C)$ या $\text{वोल्ट प्रति मीटर}$ $(V/m)$ होता है।
क्षेत्रफल $A$ का $S.I.$ मात्रक $\text{वर्ग मीटर}$ $(m^2)$ है।
अतः,विद्युत फ्लक्स का $S.I.$ मात्रक $\frac{N}{C} \times m^2 = \frac{N \cdot m^2}{C}$ होता है।
चूंकि $1 \text{ जूल} = 1 \text{ न्यूटन} \times 1 \text{ मीटर}$,हम $\frac{N \cdot m^2}{C} = \frac{J \cdot m}{C}$ लिख सकते हैं।
चूंकि $1 \text{ वोल्ट} = 1 \text{ जूल प्रति कूलम्ब}$ $(J/C)$ होता है,इसलिए मात्रक $\text{वोल्ट} \times \text{मीटर}$ $(V \cdot m)$ हो जाता है।

(B) गाऊस के नियम के अनुसार,किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_E$ पृष्ठ द्वारा परिबद्ध कुल आवेश और निर्वात की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
$\Phi_E = \oint_S \vec{E}_{net} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$
दिए गए चित्र में,गाऊसी पृष्ठ $S$ द्वारा परिबद्ध आवेश $q_1, q_2$ और $q_3$ हैं। आवेश $q_4$ पृष्ठ के बाहर है।
अतः,पृष्ठ पर किसी भी बिंदु पर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net}$ सभी आवेशों (पृष्ठ के अंदर और बाहर) द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग है,अर्थात $\vec{E}_{net} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 + \vec{E}_4$.
हालाँकि,पृष्ठ से गुजरने वाला फ्लक्स केवल परिबद्ध आवेश $Q_{enc} = q_1 + q_2 + q_3$ पर निर्भर करता है।
इस प्रकार,$\oint_S (\vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 + \vec{E}_4) \cdot d\vec{A} = \frac{q_1 + q_2 + q_3}{\varepsilon_0}$.
चूंकि विकल्प $(b)$ में दिया गया व्यंजक परिबद्ध आवेशों के कारण फ्लक्स को दर्शाता है,और पृष्ठ पर कुल क्षेत्र का समाकलन फ्लक्स के बराबर होता है,इसलिए विकल्प $(b)$ इस प्रणाली पर लागू नियम का सही निरूपण है।

(B) गॉस का नियम सीधे कूलम्ब के नियम से प्राप्त होता है, जो बताता है कि दो बिंदु आवेशों के बीच विद्युत बल $1/r^2$ के समानुपाती होता है।
यदि व्युत्क्रम वर्ग का नियम पूरी तरह से सत्य नहीं होता है, तो एक बंद सतह से गुजरने वाला फ्लक्स गॉस के नियम $(\Phi_E = q_{enclosed} / \epsilon_0)$ द्वारा वर्णित तरीके से परिबद्ध आवेश के सीधे समानुपाती नहीं होगा।
इसलिए, गॉस के नियम की वैधता मौलिक रूप से विद्युत क्षेत्र की व्युत्क्रम वर्ग प्रकृति पर निर्भर करती है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार, एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{net} = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
अंदर की ओर के फ्लक्स को ऋणात्मक और बाहर की ओर के फ्लक्स को धनात्मक लिया जाता है।
दिया गया है: अंदर की ओर फ्लक्स $\phi_{in} = -8 \times 10^3 \text{ N} \cdot m^2/C$ और बाहर की ओर फ्लक्स $\phi_{out} = 4 \times 10^3 \text{ N} \cdot m^2/C$.
कुल फ्लक्स $\phi_{net} = \phi_{in} + \phi_{out} = -8 \times 10^3 + 4 \times 10^3 = -4 \times 10^3 \text{ N} \cdot m^2/C$.
गॉस के नियम का उपयोग करते हुए: $Q_{enclosed} = \phi_{net} \times \varepsilon_0$.
अतः, $Q_{enclosed} = (-4 \times 10^3) \varepsilon_0 \text{ C}$.

(D) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\varphi_{net}$ सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश और निर्वात की विद्युतशीलता $\varepsilon_{0}$ के अनुपात के बराबर होता है।
घन के केंद्र पर $Q \; \mu C$ आवेश रखने पर,कुल फ्लक्स $\varphi_{net} = \frac{Q \times 10^{-6}}{\varepsilon_{0}}$ होगा।
चूंकि एक घन में $6$ समान फलक होते हैं और आवेश केंद्र पर स्थित है,इसलिए फ्लक्स सभी फलकों पर समान रूप से वितरित होता है।
अतः,किसी एक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $\varphi_{face} = \frac{\varphi_{net}}{6} = \frac{Q \times 10^{-6}}{6 \varepsilon_{0}} = \frac{Q}{6 \varepsilon_{0}} \times 10^{-6}$ होगा।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$ उस सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$।
दिए गए चित्र में,$Q_{\text{enclosed}}$ गोलीय चालक पर आवेश का वह भाग है जो टूटी हुई रेखा वाली बंद सतह के अंदर स्थित है।
इसलिए,सतह से उत्सर्जित कुल फ्लक्स $\phi = \frac{1}{\varepsilon_0} \times Q_{\text{enclosed}}$ होगा।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स सतह के अंदर निहित कुल आवेश और मुक्त स्थान की पारगम्यता के अनुपात के बराबर होता है: $\Phi_{net} = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$.
यहाँ,सतह में प्रवेश करने वाला फ्लक्स $\varphi_1$ (ऋणात्मक फ्लक्स) है और सतह से बाहर निकलने वाला फ्लक्स $\varphi_2$ (धनात्मक फ्लक्स) है।
इसलिए,कुल फ्लक्स $\Phi_{net} = \varphi_2 - \varphi_1$ होगा।
इसे गॉस के नियम में प्रतिस्थापित करने पर: $\varphi_2 - \varphi_1 = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$।
अतः,सतह के अंदर का आवेश $Q_{enc} = (\varphi_2 - \varphi_1)\varepsilon_0$ होगा।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{q}{\varepsilon_0}$ होता है।
चूंकि आवेश $q$ घन के केंद्र पर स्थित है,इसलिए फ्लक्स घन के सभी $6$ फलकों से समान रूप से वितरित होता है।
अतः,किसी भी एक फलक से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi_{face} = \frac{\phi_{total}}{6} = \frac{q}{6\varepsilon_0}$ होगा।
दिए गए विकल्पों से मिलान करने के लिए,अंश और हर को $4\pi$ से गुणा करने पर:
$\phi_{face} = \frac{q \times 4\pi}{6 \times \varepsilon_0 \times 4\pi} = \frac{4\pi q}{6(4\pi \varepsilon_0)}$।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$,सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश और मुक्त स्थान की विद्युतशीलता $\varepsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$\phi = \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0}$।
दी गई आकृति में,सतह $S$ दो आवेशों को परिबद्ध करती है,जिनमें से प्रत्येक का परिमाण $+q$ है।
इसलिए,कुल परिबद्ध आवेश $Q_{enc} = +q + q = 2q$ है।
इस मान को गॉस के नियम में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\phi = \frac{2q}{\varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(C) गाउस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
हालाँकि,गाऊसी सतह पर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ आसपास मौजूद सभी आवेशों के कारण उत्पन्न परिणामी विद्युत क्षेत्र होता है,चाहे वे गाऊसी सतह के अंदर हों या बाहर।
इसलिए,सतह पर विद्युत क्षेत्र सभी आवेशों ($+q_1, -q_1$ और $q_2$) के कारण होता है।

(B) गॉस का नियम इलेक्ट्रोस्टैटिक्स के व्युत्क्रम वर्ग नियम (inverse square law) का परिणाम है।
गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु आवेश $q$ के लिए,$r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2}$ होता है।
विद्युत फ्लक्स $\phi$ को $\phi = \oint E \cdot dA = E \cdot A$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $A$ त्रिज्या $r$ के गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल है,जो $4 \pi r^2$ होता है।
$E$ और $A$ का मान रखने पर,हमें $\phi = (\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q}{r^2}) \times (4 \pi r^2) = \frac{q}{\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दो आवेशों के बीच बल $F$ कूलम्ब के नियम के अनुसार $F = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r^2}$ होता है,इसलिए यह स्पष्ट है कि $F \propto r^{-2}$ है।
अतः,गॉस का नियम केवल तभी सत्य है यदि बल $r^{-2}$ के अनुसार परिवर्तित होता है।

(C) एक विद्युत द्विध्रुव दो समान और विपरीत आवेशों,$+q$ और $-q$ से बना होता है।
गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गोले के अंदर कुल आवेश $q_{net} = (+q) + (-q) = 0$ है,इसलिए गोले से गुजरने वाला कुल (net) विद्युत फ्लक्स शून्य है।
इसका अर्थ यह है कि गोले में प्रवेश करने वाला विद्युत फ्लक्स और गोले से बाहर निकलने वाला विद्युत फ्लक्स बिल्कुल समान है।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,गॉसियन सतह $A$ तीनों आवेशों $q_1$,$q_2$ और $q_3$ को घेरती है।
कुल परिबद्ध आवेश $q_{enclosed} = q_1 + q_2 + q_3 = (-14 + 78.85 - 56)\, nC = 8.85\, nC = 8.85 \times 10^{-9}\, C$ है।
मुक्त आकाश की विद्युतशीलता का मान $\varepsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12}\, C^2 N^{-1} m^{-2}$ होता है।
अतः,विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{8.85 \times 10^{-9}}{8.85 \times 10^{-12}} = 10^3\, N m^2 C^{-1}$ है।

(A) बिंदु स्रोत द्वारा उत्सर्जित कुल चमकदार फ्लक्स $\Phi_{total} = 3000 \ lumen$ है।
एक घन में $6$ समान फलक होते हैं।
चूंकि बिंदु स्रोत घन के बिल्कुल केंद्र में स्थित है,इसलिए समरूपता के कारण कुल फ्लक्स सभी $6$ फलकों के बीच समान रूप से वितरित होता है।
इसलिए,घन के एक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स इस प्रकार है:
$\Phi_{face} = \frac{\Phi_{total}}{6} = \frac{3000}{6} = 500 \ lumen$.

(A) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_{total} = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ होता है।
चूंकि आवेश $Q$ घन के केंद्र पर स्थित है,इसलिए फ्लक्स घन के सभी $6$ फलकों से समान रूप से वितरित होगा।
अतः,किसी भी एक फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{face} = \frac{\phi_{total}}{6}$ होगा।
कुल फ्लक्स का मान रखने पर,हमें $\phi_{face} = \frac{Q}{6 \varepsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(D) भुजा वाले वर्ग को $a$ भुजा वाले एक घन (cube) की एक सतह के रूप में मानें।
चूंकि आवेश $q$ वर्ग के केंद्र से $a/2$ की दूरी पर रखा गया है,इसलिए यह इस काल्पनिक घन के ज्यामितीय केंद्र पर स्थित है।
गॉस के नियम के अनुसार,घन की बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_{\text{total}} = \frac{q}{\epsilon_0}$ होता है।
चूंकि घन में $6$ समान सतहें होती हैं और आवेश केंद्र में स्थित है,इसलिए प्रत्येक सतह से गुजरने वाला फ्लक्स समान होगा।
अतः,वर्गाकार सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi = \frac{\Phi_{\text{total}}}{6} = \frac{q}{6 \epsilon_0}$ होगा।

(D) विद्युत क्षेत्र रेखाओं का घनत्व किसी दिए गए बिंदु पर विद्युत क्षेत्र सदिश $E$ के परिमाण के सीधे समानुपाती होता है। इसलिए,कथन $(2)$ सही है और कथन $(1)$ गलत है।
विद्युत क्षेत्र रेखाएं विद्युत क्षेत्र की कल्पना करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक वैचारिक उपकरण है। अंतरिक्ष में उनका कोई भौतिक अस्तित्व नहीं होता है। इसलिए,कथन $(3)$ सही है और कथन $(4)$ गलत है।
अतः,सही कथन $(2)$ और $(3)$ हैं।

(A) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$,उस पृष्ठ द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $Q_{enclosed}$ और निर्वात की विद्युतशीलता $\epsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$\phi = \frac{Q_{enclosed}}{\epsilon_0}$।
इस प्रश्न में,गॉसियन पृष्ठ $2R$ त्रिज्या का एक गोला है,जो $R$ त्रिज्या वाले आंतरिक गोले पर मौजूद संपूर्ण आवेश $Q$ को परिबद्ध करता है।
इसलिए,$Q_{enclosed} = Q$।
इस मान को गॉस के नियम में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\phi = \frac{Q}{\epsilon_0}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि बेलन को एक समान विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E\hat{i}$ में $x$-अक्ष के अनुदिश रखा गया है।
$1$. बाईं वृत्ताकार सतह से गुजरने वाला फ्लक्स (क्षेत्रफल $A = \pi R^2$): क्षेत्रफल सदिश बाहर की ओर होता है,इसलिए $\vec{A}_1 = -\pi R^2\hat{i}$। फ्लक्स $\phi_1 = \vec{E} \cdot \vec{A}_1 = (E\hat{i}) \cdot (-\pi R^2\hat{i}) = -E\pi R^2$ है।
$2$. दाईं वृत्ताकार सतह से गुजरने वाला फ्लक्स: क्षेत्रफल सदिश बाहर की ओर होता है,इसलिए $\vec{A}_2 = \pi R^2\hat{i}$। फ्लक्स $\phi_2 = \vec{E} \cdot \vec{A}_2 = (E\hat{i}) \cdot (\pi R^2\hat{i}) = +E\pi R^2$ है।
$3$. वक्र सतह से गुजरने वाला फ्लक्स: वक्र सतह पर प्रत्येक बिंदु पर,क्षेत्रफल सदिश $d\vec{A}$ विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के लंबवत होता है (अर्थात $\theta = 90^{\circ}$)। इसलिए,$d\phi = \vec{E} \cdot d\vec{A} = E dA \cos 90^{\circ} = 0$। अतः,वक्र सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $0$ है।
$4$. कुल फ्लक्स $\phi_{total} = \phi_1 + \phi_2 + \phi_{curved} = -E\pi R^2 + E\pi R^2 + 0 = 0$।

(D) मान लीजिए कि घन का केंद्र मूल बिंदु $(0,0,0)$ पर है। केंद्र $O$ पर स्थित $q$ आवेश के कारण पूरे घन से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\Phi_{total} = q / \varepsilon_0$ है। सममिति के कारण,केंद्र पर स्थित आवेश के कारण प्रत्येक $6$ फलकों से गुजरने वाला फ्लक्स $\Phi_{center} = (1/6) \times (q / \varepsilon_0) = q / (6\varepsilon_0)$ होगा।
अब घन के बाहर $O$ से $L$ दूरी पर रखे गए दूसरे $q$ आवेश पर विचार करें। इस बाहरी आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र रेखाएं $ABCD$ फलक से घन में प्रवेश करती हैं और विपरीत फलक $EFGH$ से बाहर निकलती हैं। गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह के बाहर स्थित आवेश के लिए,उस सतह से गुजरने वाला कुल फ्लक्स शून्य होता है। इसलिए,बाहरी आवेश के कारण $ABCD$ फलक से गुजरने वाला फ्लक्स $-q / (24\varepsilon_0)$ होता है।
दोनों योगदानों को जोड़ने पर: $\Phi_{net} = \Phi_{center} + \Phi_{external} = q / (6\varepsilon_0) - q / (24\varepsilon_0) = (4q - q) / (24\varepsilon_0) = 3q / (24\varepsilon_0) = q / (8\varepsilon_0)$.

(B) गॉस का नियम बताता है कि किसी भी बंद सतह (गॉसियन सतह) से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_E$,उस सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $Q_{enclosed}$ का $\frac{1}{\varepsilon_0}$ गुना होता है।
गणितीय रूप से,इसे $\phi_E = \oint_S \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अतः,विकल्प $B$ सही कथन है।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह के लिए जिसमें कोई शुद्ध आवेश नहीं है,कुल विद्युत फ्लक्स शून्य होता है।
$\phi_{\text{total}} = \phi_{\text{curved}} + \phi_{\text{flat}} = 0$
इसलिए,$\phi_{\text{curved}} = -\phi_{\text{flat}}$.
समतल वृत्ताकार सतह से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_{\text{flat}} = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA \cos(\theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के बीच का कोण है।
समतल सतह का क्षेत्रफल सदिश ऊर्ध्वाधर है। विद्युत क्षेत्र ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है। अतः,विद्युत क्षेत्र और क्षेत्रफल सदिश के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
$\phi_{\text{flat}} = E(\pi a^2) \cos(45^{\circ}) = E(\pi a^2) \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि क्षेत्र रेखाएं समतल सतह से प्रवेश करती हैं और वक्र सतह से बाहर निकलती हैं,इसलिए वक्र सतह से गुजरने वाले फ्लक्स का परिमाण समतल सतह से गुजरने वाले फ्लक्स के परिमाण के बराबर होता है।
$\phi_{\text{curved}} = \frac{\pi a^2 E}{\sqrt{2}}$.

(C) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
हालाँकि,गाऊसी सतह पर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$,प्रणाली में मौजूद सभी आवेशों (गाऊसी सतह के अंदर और बाहर दोनों) के कारण उत्पन्न परिणामी विद्युत क्षेत्र होता है।
इसलिए,सतह पर विद्युत क्षेत्र सभी आवेशों $(+q_1, -q_1, q_2)$ के कारण होता है।

(C) परिभाषा के अनुसार,विद्युत क्षेत्र रेखा एक ऐसा वक्र है कि उस पर किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ की दिशा बताती है। चूंकि धनात्मक आवेश $q$ पर लगने वाला बल $\vec{F} = q\vec{E}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए बल की दिशा विद्युत क्षेत्र की दिशा के समान होती है। अतः,कथन $(1)$ सही है।
विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक आवेश से शुरू होती हैं और ऋणात्मक आवेश पर समाप्त होती हैं। अतः,कथन $(4)$ सही है।
विद्युत क्षेत्र रेखाओं के मूलभूत गुणों के आधार पर कथन $(2)$ और $(3)$ गलत हैं।
इसलिए,सही कथन $(1)$ और $(4)$ हैं।

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \oint {\vec E \cdot d\vec s} = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
यदि घिरा हुआ कुल आवेश $q_{enclosed} = 0$ है,तो कुल विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = 0$ होगा।
विद्युत फ्लक्स सतह से गुजरने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की शुद्ध संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।
शून्य फ्लक्स का अर्थ है कि सतह में प्रवेश करने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या सतह से बाहर निकलने वाली विद्युत क्षेत्र रेखाओं की संख्या के बिल्कुल बराबर है।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(B) गाउस के नियम के अनुसार,एक बंद पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Q_{\text{enc}}$ पृष्ठ द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
यदि विद्युत फ्लक्स पृष्ठ से बाहर आ रहा है (बाहर की ओर फ्लक्स),तो $\phi$ का मान धनात्मक होता है।
चूंकि $\varepsilon_0$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $\phi$ के धनात्मक होने के लिए,परिबद्ध कुल आवेश $Q_{\text{enc}}$ धनात्मक होना चाहिए।
अतः,पृष्ठ के साथ धन आवेश जुड़ा हुआ है।

(D) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_{\text{enclosed}}$ पृष्ठ द्वारा परिबद्ध कुल आवेश है।
दिए गए चित्र में,पृष्ठ $S$ के भीतर स्थित आवेश $+q$ और $-q$ हैं।
अतः,परिबद्ध कुल आवेश $q_{\text{enclosed}} = (+q) + (-q) = 0$ है।
गॉस के नियम में यह मान रखने पर,हमें $\phi = \frac{0}{\varepsilon_0} = 0$ प्राप्त होता है।

(A) घन द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $Q_{enclosed} = -q + 3q - q = q$ है।
गॉस के नियम के अनुसार,घन से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\Phi_{total} = \frac{q}{\epsilon_0}$ है।
चूंकि आवेश $y$-अक्ष पर रखे गए हैं,इसलिए विन्यास $x$ और $z$ निर्देशांकों के सापेक्ष सममित है।
समतल $x = +a/2$ और $x = -a/2$ $y$-अक्ष से समान दूरी पर हैं और आवेश वितरण इन समतलों के सापेक्ष सममित है,इसलिए उनसे गुजरने वाला फ्लक्स बराबर है।
इसी प्रकार,समतल $z = +a/2$ और $z = -a/2$ सममित हैं,और उनसे गुजरने वाला फ्लक्स बराबर है।
अतः,$x = +a/2$ से गुजरने वाला फ्लक्स $x = -a/2$ से गुजरने वाले फ्लक्स के बराबर है।

(D) गाउस के नियम के अनुसार,किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi_E = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गाऊसी पृष्ठ द्वारा परिबद्ध आवेश $Q$ का मान पृष्ठ की त्रिज्या $R$ पर निर्भर नहीं करता है और स्थिर रहता है,इसलिए विद्युत फ्लक्स $\phi_E$ में कोई परिवर्तन नहीं होगा।
अतः,यदि त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए,तो बाहर निकलने वाला विद्युत फ्लक्स समान रहेगा।

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी भी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi$,उस सतह द्वारा परिबद्ध कुल आवेश $Q$ और निर्वात की विद्युतशीलता $\epsilon_0$ के अनुपात के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$\phi = \frac{Q}{\epsilon_0}$।
चूंकि आवेश $Q$ को घन के केंद्र पर रखा गया है,इसलिए घन आवेश को घेरने वाली एक बंद गॉसियन सतह के रूप में कार्य करता है। अतः,घन के सभी छह फलकों से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\frac{Q}{\epsilon_0}$ होगा।

(B) विद्युत क्षेत्र रेखाएं धनात्मक बिंदु आवेश $+q$ से निकलती हैं और ग्राउंडेड धातु की प्लेट पर समाप्त होती हैं।
जैसे-जैसे हम बिंदु आवेश $X$ से प्लेट $Y$ की ओर बढ़ते हैं,विद्युत क्षेत्र रेखाओं का घनत्व बढ़ता जाता है क्योंकि क्षेत्र रेखाएं प्लेट की ओर अभिसरित (converge) हो रही हैं।
विद्युत क्षेत्र का परिमाण विद्युत क्षेत्र रेखाओं के घनत्व के सीधे आनुपातिक होता है।
चित्र में,बिंदु $Q$,आवेश $X$ के करीब है और बिंदु $P$,प्लेट $Y$ के करीब है।
प्लेट पर प्रेरित ऋणात्मक आवेश के कारण,प्लेट $Y$ के पास क्षेत्र रेखाएं आवेश $X$ के पास के क्षेत्र की तुलना में अधिक केंद्रित होती हैं,इसलिए $P$ पर क्षेत्र रेखाओं का घनत्व $Q$ की तुलना में अधिक है।
अतः,$P$ पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $Q$ से अधिक है,अर्थात $E_P > E_Q$।

(C) विद्युत क्षेत्र रेखाओं के गुण निम्नलिखित हैं:
$1$. विद्युत क्षेत्र रेखाएँ धन आवेश से उत्पन्न होती हैं और ऋण आवेश पर समाप्त होती हैं।
$2$. विद्युत क्षेत्र रेखाओं का घनत्व विद्युत क्षेत्र की तीव्रता को दर्शाता है। अधिक घनत्व का अर्थ है प्रबल विद्युत क्षेत्र।
$3$. एक बिंदु आवेश के लिए,विद्युत क्षेत्र रेखाएँ त्रिज्यीय (radial) होती हैं (धन आवेश के लिए बाहर की ओर और ऋण आवेश के लिए अंदर की ओर)।
$4$. विद्युत क्षेत्र रेखाएँ केवल एक गणितीय निरूपण या वैचारिक उपकरण हैं; इनका कोई भौतिक अस्तित्व नहीं होता है।
अतः,कथन $C$ सही है।

(A) विद्युत फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = \vec{E} \cdot \vec{A} = EA \cos \theta$ है।
दिया गया है:
विद्युत क्षेत्र $E = 3 \times 10^3 \text{ N/C}$.
वर्ग की भुजा $s = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$.
क्षेत्रफल $A = s^2 = (0.1)^2 = 0.01 \text{ m}^2 = 10^{-2} \text{ m}^2$.
सतह के अभिलंब और विद्युत क्षेत्र की दिशा ($X$-अक्ष) के बीच का कोण $\theta = 60^\circ$.
मान रखने पर:
$\phi = (3 \times 10^3) \times (10^{-2}) \times \cos(60^\circ)$.
चूंकि $\cos(60^\circ) = 0.5$,
$\phi = 30 \times 0.5 = 15 \text{ Nm}^2/\text{C}$.

(B) गॉस के नियम के अनुसार,एक बंद पृष्ठ से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\Phi_E = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
चित्र में,बिंदु $P$ पर रखा गया ऋण आवेश $-Q$,चालक की $P$ के निकट वाली सतह पर धनात्मक आवेश और $P$ से दूर वाली सतह पर (बंद पृष्ठ के अंदर) ऋणात्मक आवेश प्रेरित करता है।
बंद पृष्ठ चालक के उस हिस्से को घेरता है जिस पर नेट ऋणात्मक प्रेरित आवेश होता है।
चूंकि बंद पृष्ठ द्वारा घिरा हुआ कुल आवेश ऋणात्मक है $(q_{enclosed} < 0)$,इसलिए बंद पृष्ठ से बाहर आने वाला विद्युत फ्लक्स ऋणात्मक होगा।

(A) किसी सतह से गुजरने वाला विद्युत फ्लक्स $\phi$,विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{S}$ के अदिश गुणनफल (डॉट प्रोडक्ट) द्वारा दिया जाता है।
$\phi = \vec{E} \cdot \vec{S} = ES \cos \theta$
यहाँ,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ कागज के तल में है और क्षेत्रफल सदिश $\vec{S}$ (जो सतह के लंबवत होता है) कागज के तल के लंबवत है।
अतः,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और क्षेत्रफल सदिश $\vec{S}$ के बीच का कोण $\theta = 90^\circ$ है।
इसलिए,$\phi = ES \cos 90^\circ = ES(0) = 0$.
अतः,सतह से संबद्ध विद्युत फ्लक्स $0$ है।