Electric Field Questions in Hindi

(C) गोलाकार चालक के बाहर किसी बिंदु पर उसके केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}$
दिए गए मान:
आवेश $q = 3 \text{ nC} = 3 \times 10^{-9} \text{ C}$
दूरी $r = 3 \text{ cm} = 3 \times 10^{-2} \text{ m}$
स्थिरांक $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \text{ Nm}^{2}\text{C}^{-2}$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = (9 \times 10^{9}) \times \frac{3 \times 10^{-9}}{(3 \times 10^{-2})^{2}}$
$E = \frac{9 \times 10^{9} \times 3 \times 10^{-9}}{9 \times 10^{-4}}$
$E = \frac{27}{9 \times 10^{-4}} = 3 \times 10^{4} \text{ Vm}^{-1}$
अतः,गोले के केंद्र से $3 \text{ cm}$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र $3 \times 10^{4} \text{ Vm}^{-1}$ है।

(C) अनंत लंबाई के सीधे तार,जिसका रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ है,से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_1$ का सूत्र है: $E_1 = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2 k \lambda}{r}$,जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ है।
$r$ त्रिज्या वाले अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $E_2$ का मान विद्युत क्षेत्र के घटकों का समाकलन करके प्राप्त किया जाता है: $E_2 = \frac{2 k \lambda}{r}$।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $E_1 = \frac{2 k \lambda}{r}$ और $E_2 = \frac{2 k \lambda}{r}$ है।
अतः,$E_1 = E_2$ है।

(B) क्षेत्र (field) की अवधारणा एक सैद्धांतिक मॉडल है जिसका उपयोग उस प्रभाव को समझाने के लिए किया जाता है जो एक विशाल पिंड या आवेशित कण अपने आसपास के स्थान में फैलाता है।
यह क्षेत्र उस स्थान में रखे गए किसी अन्य विशाल पिंड या आवेशित कण पर बल लगाता है।
इसलिए,क्षेत्र की अवधारणा का उपयोग मुख्य रूप से उन बलों को समझने और वर्णित करने के लिए किया जाता है जो दूरी से कार्य करते हैं,जैसे कि गुरुत्वाकर्षण और स्थिर-विद्युत बल,न कि संपर्क बलों के लिए।

(A) मान लीजिए कि कोनों $A, B, C, D$ पर आवेश $q_A = +q$,$q_B = +2q$,$q_C = +q$,और $q_D = -2q$ हैं।
केंद्र $O$ पर,$q_A$ और $q_C$ के कारण विद्युत क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं क्योंकि $q_A = q_C = +q$ और दूरियाँ $OA = OC$ हैं। अतः,वे एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
अब,$B$ और $D$ पर आवेशों पर विचार करें। $B$ पर आवेश $q_B = +2q$ है,जो केंद्र $O$ पर स्थित इकाई धनात्मक आवेश पर $OB$ की दिशा में (बाहर की ओर) प्रतिकर्षण बल लगाता है।
$D$ पर आवेश $q_D = -2q$ है,जो केंद्र $O$ पर स्थित इकाई धनात्मक आवेश पर $OD$ की दिशा में (अंदर की ओर) आकर्षण बल लगाता है।
चूंकि दोनों बल विकर्ण $BD$ के अनुदिश एक ही दिशा में हैं,इसलिए केंद्र $O$ पर स्थित इकाई धनात्मक आवेश पर परिणामी बल विकर्ण $BD$ की दिशा में होगा।

(A) विद्युत क्षेत्र रेखाओं का घनत्व विद्युत क्षेत्र के परिमाण के सीधे आनुपातिक होता है।
यह दिया गया है कि बाईं ओर (बिंदु $B$ पर) क्षेत्र रेखाओं के बीच की दूरी दाईं ओर (बिंदु $A$ पर) की तुलना में दोगुनी है,इसलिए $B$ पर विद्युत क्षेत्र $A$ पर विद्युत क्षेत्र का आधा होगा।
$E_B = \frac{E_A}{2} = \frac{40 \ Vm^{-1}}{2} = 20 \ Vm^{-1}$.
विद्युत क्षेत्र $E$ में रखे आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $q = 20 \ \mu C = 20 \times 10^{-6} \ C$.
$F = (20 \times 10^{-6} \ C) \times (20 \ Vm^{-1}) = 400 \times 10^{-6} \ N = 4 \times 10^{-4} \ N$.

(A) बिंदु आवेश $q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र है:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}}$
दिए गए मान हैं:
$E = 2 \ N \ C^{-1}$
$r = 30 \ cm = 0.3 \ m = 30 \times 10^{-2} \ m$
$\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} = 9 \times 10^{9} \ N \ m^{2} \ C^{-2}$
सूत्र में मान रखने पर:
$2 = 9 \times 10^{9} \times \frac{q}{(30 \times 10^{-2})^{2}}$
$2 = 9 \times 10^{9} \times \frac{q}{900 \times 10^{-4}}$
$2 = 9 \times 10^{9} \times \frac{q}{9 \times 10^{-2}}$
$2 = 10^{11} \times q$
$q = \frac{2}{10^{11}} = 2 \times 10^{-11} \ C$
अतः,आवेश का परिमाण $2 \times 10^{-11} \ C$ होगा।

(A) चार आवेश $A(1,0,0), B(-1,0,0), C(0,1,0),$ और $D(0,-1,0)$ पर स्थित हैं। हमें बिंदु $P(0,0,1)$ पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात करना है।
प्रत्येक आवेश से बिंदु $P$ की दूरी $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ m}$ है।
बिंदु $P$ पर प्रत्येक आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{2}$.
सममिति के कारण,चारों आवेशों के विद्युत क्षेत्र के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। केवल ऊर्ध्वाधर घटक ($Z$-अक्ष की दिशा में) ही कुल विद्युत क्षेत्र में योगदान करते हैं।
प्रत्येक आवेश से विद्युत क्षेत्र सदिश $Z$-अक्ष के साथ जो कोण $\theta$ बनाता है,वह $\cos \theta = \frac{1}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रत्येक आवेश से विद्युत क्षेत्र का ऊर्ध्वाधर घटक $E_z = E \cos \theta = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{2} \right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
चूंकि ऐसे चार आवेश हैं,इसलिए कुल विद्युत क्षेत्र $E_{\text{net}}$:
$E_{\text{net}} = 4 \cdot E_z = 4 \cdot \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{2 \sqrt{2}} \right) = \frac{q}{2 \sqrt{2} \pi \varepsilon_0} \text{ N/C}$.

(D) एक आवेशित चालक गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma$ पृष्ठीय आवेश घनत्व है और $\epsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है।
चूँकि दोनों गोलों का पृष्ठीय आवेश घनत्व समान $(\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma)$ है,इसलिए दोनों गोलों की सतह पर विद्युत क्षेत्र केवल पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ और स्थिरांक $\epsilon_0$ पर निर्भर करता है।
अतः,बड़े गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र भी $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ होगा।
इस प्रकार,बड़े गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र छोटे गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र के बराबर,यानी $E$ होगा।

(D) माना कि बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र शून्य है,जो आवेश $Q$ से $x$ दूरी पर और आवेश $4Q$ से $(6-x)$ दूरी पर स्थित है।
बिंदु $P$ पर दोनों आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण समान होना चाहिए:
$\frac{KQ}{x^2} = \frac{K(4Q)}{(6-x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(6-x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{6-x}$
$6 - x = 2x$
$3x = 6$
$x = 2 \text{ cm}$
दूरी $x$ आवेश $Q$ से है। प्रश्न में $4Q$ से दूरी पूछी गई है,जो $(6-x)$ है।
$4Q$ से दूरी $= 6 - 2 = 4 \text{ cm}$.

(C) मान लीजिए अर्धवृत्त की त्रिज्या $R$ है। तार की लंबाई $L = \pi R$ है,इसलिए $R = L / \pi$। रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = Q / L$ है।
तार के $dl = R d\theta$ लंबाई के एक छोटे अवयव पर विचार करें जो ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ $\theta$ कोण पर है। इस अवयव पर आवेश $dQ = \lambda dl = \lambda R d\theta$ है।
केंद्र पर इस अवयव के कारण विद्युत क्षेत्र $dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dQ}{R^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda R d\theta}{R^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda d\theta}{R}$ है।
समरूपता के कारण,विद्युत क्षेत्र के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। कुल विद्युत क्षेत्र ऊर्ध्वाधर घटकों $dE \cos \theta$ का $-\pi / 2$ से $\pi / 2$ तक का समाकलन है:
$E = \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} dE \cos \theta = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 R} \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos \theta d\theta = \frac{\lambda}{4 \pi \varepsilon_0 R} [\sin \theta]_{-\pi / 2}^{\pi / 2} = \frac{2 \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 R} = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 R}$.
$\lambda = Q / L$ और $R = L / \pi$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{Q / L}{2 \pi \varepsilon_0 (L / \pi)} = \frac{Q}{2 \varepsilon_0 L^2} \cdot \pi = \frac{\pi Q}{2 \varepsilon_0 L^2}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) जब प्रेक्षक स्थिर आवेश के सापेक्ष स्थिर होता है,तो वह केवल विद्युत क्षेत्र का अनुभव करता है।
जब प्रेक्षक आवेश से दूर जाने लगता है,तो आवेश और प्रेक्षक के बीच एक सापेक्ष वेग होता है।
विद्युत चुंबकत्व के सिद्धांतों के अनुसार,एक गतिमान आवेश प्रेक्षक के संदर्भ फ्रेम में विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों उत्पन्न करता है।
इसलिए,प्रेक्षक विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों का अनुभव करता है।

(D) षट्कोण के शीर्षों पर $+Q, -Q, +Q, -Q, +Q, -Q$ आवेश स्थित हैं।
चूंकि आवेश विपरीत शीर्षों पर $(+Q, -Q)$ के जोड़े में व्यवस्थित हैं,इसलिए निकाय का कुल आवेश $0$ है।
कुल आवेश $0$ वाले निकाय के लिए,बड़ी दूरी $x$ पर विद्युत क्षेत्र द्विध्रुव आघूर्ण द्वारा निर्धारित होता है।
हालाँकि,इस विशिष्ट सममित व्यवस्था में,तीन जोड़ों के द्विध्रुव आघूर्ण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं क्योंकि वे एक-दूसरे के साथ $120^{\circ}$ के कोण पर हैं।
वैकल्पिक रूप से,अक्ष पर स्थित बिंदु पर विभव $V = \sum \frac{k q_i}{r_i}$ पर विचार करने पर,चूंकि आवेश समान और विपरीत हैं और प्रत्येक शीर्ष से अक्ष पर स्थित बिंदु तक की दूरी समान $(r = \sqrt{x^2 + a^2})$ है,इसलिए सभी $x$ के लिए विभव $V = 0$ होता है।
चूंकि इस अक्ष पर विभव $V$ शून्य है,इसलिए विद्युत क्षेत्र $E = -\frac{dV}{dx}$ भी शून्य होगा।

(C) बिंदु आवेश $q$ के कारण स्थिति सदिश $\vec{r}$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = \frac{kq}{r^3} \vec{r}$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A(1, 2, 3)$ के लिए,$\vec{r}_A = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$r_A = \sqrt{14}$। अतः,$\vec{E}_A = \frac{kq}{14^{3/2}}(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k})$।
बिंदु $B(1, 1, -1)$ के लिए,$\vec{r}_B = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$r_B = \sqrt{3}$। अतः,$\vec{E}_B = \frac{kq}{3^{3/2}}(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$।
बिंदु $C(2, 2, 2)$ के लिए,$\vec{r}_C = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,$r_C = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$। अतः,$\vec{E}_C = \frac{kq}{(12)^{3/2}}(2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{kq}{4 \cdot 3^{3/2}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।
जाँच $1$: $\vec{E}_A \cdot \vec{E}_B \propto (1)(1) + (2)(1) + (3)(-1) = 0$। अतः,$E_A \perp E_B$ सही है।
जाँच $3$: $|E_B| = \frac{kq}{3^{3/2}} \sqrt{3} = \frac{kq}{3}$।
$|E_C| = \frac{kq}{4 \cdot 3^{3/2}} \sqrt{3} = \frac{kq}{12}$।
इसलिए,$|E_B| = 4|E_C|$ सही है।

(A) माना आवेश $q_A = -5 \mu C$ और $q_B = +5 \mu C$ हैं। दूरी $AB = d = 5 \ cm$ है। माना बिंदु $C$,$A$ से $x$ दूरी पर और $B$ से $y$ दूरी पर है। बिंदु $C$ पर परिणामी विद्युत क्षेत्र को रेखा $AB$ के समानांतर होने के लिए,$q_A$ और $q_B$ द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों के ऊर्ध्वाधर घटकों को एक-दूसरे को निरस्त करना होगा।
माना $\theta_A$ और $\theta_B$ सदिश $\vec{E}_A$ और $\vec{E}_B$ द्वारा रेखा $AB$ के साथ बनाए गए कोण हैं। ऊर्ध्वाधर घटकों के निरस्त होने के लिए,$E_A \sin \theta_A = E_B \sin \theta_B$ होना चाहिए।
चूंकि आवेशों के परिमाण समान हैं $(|q_A| = |q_B| = q)$,विद्युत क्षेत्र के परिमाण $E_A = \frac{kq}{x^2}$ और $E_B = \frac{kq}{y^2}$ होंगे।
अतः,$\frac{kq}{x^2} \sin \theta_A = \frac{kq}{y^2} \sin \theta_B$। त्रिभुज $ABC$ की ज्यामिति से,$\sin \theta_A = \frac{h}{x}$ और $\sin \theta_B = \frac{h}{y}$,जहाँ $h$ रेखा $AB$ से $C$ की लंबवत दूरी है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{kq}{x^2} \cdot \frac{h}{x} = \frac{kq}{y^2} \cdot \frac{h}{y}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{1}{x^3} = \frac{1}{y^3}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $x = y$।
इसलिए,$AC = BC$।

(B) मान लीजिए वर्ग $ABCD$ है जिसकी भुजा की लंबाई $l$ है। आवेश कोनों $A, B, C, D$ पर स्थित हैं। भुजा $CD$ के मध्य बिंदु $M$ पर विचार करें। $C$ और $D$ पर स्थित आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र $E_C$ और $E_D$ हैं। चूंकि $MC = MD = l/2$,इसलिए $E_C = k q / (l/2)^2$ जो $C$ से दूर की ओर है,और $E_D = k q / (l/2)^2$ जो $D$ से दूर की ओर है। ये समान और विपरीत हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
अब,$A$ और $B$ पर स्थित आवेशों के कारण क्षेत्रों पर विचार करें। $A$ से $M$ की दूरी $r = \sqrt{l^2 + (l/2)^2} = \sqrt{5l^2/4} = l\sqrt{5}/2$ है। क्षेत्र का परिमाण $E_A = E_B = k q / r^2 = k q / (5l^2/4) = 4kq / 5l^2$ है।
$E_A$ और $E_B$ के ऊर्ध्वाधर घटक जुड़ जाते हैं,जबकि क्षैतिज घटक निरस्त हो जाते हैं। मान लीजिए कि सदिश $AM$ ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाता है। तब $\cos \theta = l / r = l / (l\sqrt{5}/2) = 2/\sqrt{5}$ है।
कुल विद्युत क्षेत्र $E_{net} = 2 E_A \cos \theta = 2 \times (4kq / 5l^2) \times (2/\sqrt{5}) = 16kq / 5\sqrt{5}l^2$ है।

(B) अनंत लंबाई के तार के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2k\lambda}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \ Nm^2C^{-2}$ है।
यहाँ $\lambda_1 = 4 \ Cm^{-1}$,$\lambda_2 = 8 \ Cm^{-1}$ और दूरी $d = 4 \ cm = 0.04 \ m$ है।
मध्य बिंदु दोनों तारों से $r = d/2 = 0.02 \ m$ की दूरी पर है।
तार $1$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times 4}{0.02} = 36 \times 10^{11} \ NC^{-1}$ (तार $1$ से दूर की दिशा में)।
तार $2$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{2 \times 9 \times 10^9 \times 8}{0.02} = 72 \times 10^{11} \ NC^{-1}$ (तार $2$ से दूर की दिशा में)।
चूंकि दोनों आवेश घनत्व धनात्मक हैं,इसलिए मध्य बिंदु पर विद्युत क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होंगे।
कुल विद्युत क्षेत्र $E_{net} = |E_2 - E_1| = |72 \times 10^{11} - 36 \times 10^{11}| = 36 \times 10^{11} \ NC^{-1}$।

(A) दिया गया है,विद्युत क्षेत्र $E = 500 \ Vm^{-1}$ जो धनात्मक $X$-अक्ष के साथ $\theta = 30^{\circ}$ के कोण पर है।
विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E} = E(\cos 30^{\circ} \hat{i} + \sin 30^{\circ} \hat{j}) = 500 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}\right) = (250\sqrt{3} \hat{i} + 250 \hat{j}) \ Vm^{-1}$ है।
बिंदु $A$ के निर्देशांक $(-3, 0) \ m$ और बिंदु $B$ के निर्देशांक $(0, 5) \ m$ हैं।
$A$ से $B$ तक का विस्थापन सदिश $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (0 - (-3)) \hat{i} + (5 - 0) \hat{j} = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \ m$ है।
विभवांतर $\Delta V = V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{r} = -\vec{E} \cdot \vec{r}_{AB}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$V_B - V_A = -(250\sqrt{3} \hat{i} + 250 \hat{j}) \cdot (3 \hat{i} + 5 \hat{j})$
$V_B - V_A = -(250\sqrt{3} \times 3 + 250 \times 5)$
$V_B - V_A = -250(3\sqrt{3} + 5) \ V$.

(A) दिया गया है: आवेश $q = 5 C$,बल $F = 5000 N$,दूरी $d = 1 cm = 10^{-2} m$।
सबसे पहले,$E = F / q$ सूत्र का उपयोग करके विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ की गणना करें।
$E = 5000 / 5 = 1000 N/C$।
एक समान विद्युत क्षेत्र में $d$ दूरी पर स्थित दो बिंदुओं के बीच विभवांतर $V = E \times d$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $V = 1000 \times 10^{-2} = 10 V$।

(D) विद्युत क्षेत्र में विभव $V = (x^2 - y^2)$ द्वारा दिया गया है।
विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ विभव $V$ से $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} \right)$ संबंध द्वारा संबंधित है।
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 2x$ और $\frac{\partial V}{\partial y} = -2y$ प्राप्त होता है।
अतः, $\vec{E} = -(2x \hat{i} - 2y \hat{j}) = -2x \hat{i} + 2y \hat{j}$।
विद्युत क्षेत्र रेखाओं के लिए अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{E_y}{E_x}$ है।
$\vec{E}$ के घटकों को रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{-2x} = -\frac{y}{x}$।
पदों को व्यवस्थित करने पर, $\frac{dy}{y} = -\frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, $\ln y = -\ln x + C$, जो सरल होकर $\ln(xy) = C$ या $xy = \text{constant}$ हो जाता है।
यह समीकरण एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है। दिए गए विकल्पों में से, विकल्प $(d)$ में आयताकार अतिपरवलय का ग्राफ दिखाया गया है।

(A) समान रूप से आवेशित ठोस गोले के अंदर केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{Q r}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि कण का आवेश $-q$ है,इसलिए उस पर कार्य करने वाला प्रत्यानयन बल $F = -qE = -\frac{Q q r}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}$ है।
यह बल $F = -kr$ के रूप में है,जहाँ बल नियतांक $k = \frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}$ है।
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ द्वारा दी जाती है।
$k$ का मान रखने पर,हमें $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_0 R^3 m}}$ प्राप्त होता है।

(D) माना लूप पर कुल आवेश $Q = 10^{-5} \ C$ है और त्रिज्या $a = 10 \ cm = 0.1 \ m$ है।
रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \frac{Q}{2 \pi a}$ है।
$dl = 3.14 \times 10^{-6} \ m$ लंबाई के कटे हुए छोटे टुकड़े पर आवेश $dq = \lambda dl = \frac{Q dl}{2 \pi a}$ है।
प्रारंभ में,पूर्ण लूप के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
यदि $E_{\text{rem}}$ शेष तार के कारण क्षेत्र है और $E_{dl}$ कटे हुए टुकड़े के कारण क्षेत्र है,तो $E_{\text{rem}} + E_{dl} = 0$,जिसका अर्थ है $|E_{\text{rem}}| = |E_{dl}|$।
छोटे टुकड़े $dq$ के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $E_{dl} = \frac{k dq}{a^2} = \frac{k Q dl}{a^2 (2 \pi a)} = \frac{k Q dl}{2 \pi a^3}$ है।
मान रखने पर:
$E_{dl} = \frac{(9 \times 10^9) \times (10^{-5}) \times (3.14 \times 10^{-6})}{2 \times \pi \times (0.1)^3}$
चूंकि $2 \pi \approx 2 \times 3.14 = 6.28$,इसलिए $3.14 / (2 \pi) = 0.5$ है।
$E_{dl} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-5} \times 10^{-6} \times 0.5}{0.001} = \frac{9 \times 10^{-2} \times 0.5}{10^{-3}} = 4.5 \times 10^1 = 45 \ N \ C^{-1}$।

(C) चित्र में दिखाए अनुसार,मूल बिंदु से $x$ दूरी पर छड़ का $dx$ लंबाई का एक अत्यंत सूक्ष्म भाग लें।
इसमें $dq = \lambda dx$ आवेश है और यह $(0, L)$ बिंदु से $r = \sqrt{x^2 + L^2}$ दूरी पर है।
$dx$ द्वारा $(0, L)$ बिंदु पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र का परिमाण $dE = \frac{k dq}{r^2} = \frac{k \lambda dx}{x^2 + L^2}$ है।
विद्युत क्षेत्र के $x$ और $y$ घटक $dE_x = dE \sin \theta$ और $dE_y = dE \cos \theta$ हैं,जहाँ $\tan \theta = \frac{x}{L}$ है।
अतः,$x = L \tan \theta$ और $dx = L \sec^2 \theta d\theta$ है। साथ ही,$r^2 = L^2 \sec^2 \theta$ है।
इन मानों को घटकों में प्रतिस्थापित करने पर:
$dE_x = \frac{k \lambda (L \sec^2 \theta d\theta)}{L^2 \sec^2 \theta} \sin \theta = \frac{k \lambda}{L} \sin \theta d\theta$.
$dE_y = \frac{k \lambda (L \sec^2 \theta d\theta)}{L^2 \sec^2 \theta} \cos \theta = \frac{k \lambda}{L} \cos \theta d\theta$.
$x=0$ से $x=\infty$ तक समाकलन करने पर,$\theta$ की सीमा $0$ से $\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होती है:
$E_x = \int_0^{\pi/2} \frac{k \lambda}{L} \sin \theta d\theta = \frac{k \lambda}{L} [-\cos \theta]_0^{\pi/2} = \frac{k \lambda}{L}$.
$E_y = \int_0^{\pi/2} \frac{k \lambda}{L} \cos \theta d\theta = \frac{k \lambda}{L} [\sin \theta]_0^{\pi/2} = \frac{k \lambda}{L}$.
परिणामी विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2} = \sqrt{(\frac{k \lambda}{L})^2 + (\frac{k \lambda}{L})^2} = \sqrt{2} \frac{k \lambda}{L}$ है।
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ रखने पर,हमें $E = \frac{\sqrt{2} \lambda}{4 \pi \varepsilon_0 L} = \frac{\lambda}{2 \sqrt{2} \pi \varepsilon_0 L}$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि वह बिंदु जहाँ परिणामी विद्युत क्षेत्र शून्य है,$-8 \mu C$ आवेश से $x$ दूरी पर है। चूँकि आवेश विपरीत चिन्ह के हैं,इसलिए शून्य बिंदु आवेशों के बीच के क्षेत्र के बाहर,छोटे परिमाण वाले आवेश $(-8 \mu C)$ की ओर स्थित होगा।
माना $-8 \mu C$ से दूरी $x$ है। तब $+32 \mu C$ से दूरी $(15 + x)$ होगी।
शून्य बिंदु पर,दोनों आवेशों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों के परिमाण समान होने चाहिए:
$\frac{k |q_1|}{x^2} = \frac{k |q_2|}{(15 + x)^2}$
$\frac{8 \times 10^{-6}}{x^2} = \frac{32 \times 10^{-6}}{(15 + x)^2}$
$\frac{1}{x^2} = \frac{4}{(15 + x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{x} = \frac{2}{15 + x}$
$15 + x = 2x$
$x = 15 \ cm$.

(C) मान लीजिए आवेश $q_1 = -10 \mu C$,$x_1 = 0$ पर और $q_2 = +5 \mu C$,$x_2 = \sqrt{2} \ m$ पर स्थित हैं।
चूंकि आवेश विपरीत चिह्न के हैं,इसलिए विद्युत क्षेत्र केवल आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के बाहर,छोटे परिमाण वाले आवेश $(q_2)$ की ओर ही शून्य हो सकता है।
मान लीजिए कि उदासीन बिंदु $q_2$ से धनात्मक $x$-दिशा में $d$ दूरी पर है।
इस बिंदु पर $q_1$ और $q_2$ के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण समान होना चाहिए:
$\frac{k|q_1|}{(d + \sqrt{2})^2} = \frac{k|q_2|}{d^2}$
$\frac{10}{(d + \sqrt{2})^2} = \frac{5}{d^2}$
$2d^2 = (d + \sqrt{2})^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\sqrt{2}d = d + \sqrt{2}$
$d(\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2}$
$d = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = 2 + \sqrt{2} \ m$.
इस बिंदु का $x$-निर्देशांक $x_2 + d = \sqrt{2} + (2 + \sqrt{2}) = 2 + 2\sqrt{2} = 2(\sqrt{2} + 1) \ m$ होगा।

(D) पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma$ वाले एक चालक गोले की सतह के निकट विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ होता है।
चूंकि दोनों गोलों को समान पृष्ठीय आवेश घनत्व से आवेशित किया गया है,इसलिए $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$ है।
अतः,पहले गोले की सतह के निकट विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ है।
इसी प्रकार,दूसरे गोले की सतह के निकट विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{\sigma}{\epsilon_0}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $E_1 = E_2$ प्राप्त होता है।
अतः,विद्युत क्षेत्रों का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{1}{1}$ है।

(B) अनंत लंबे सीधे तार के लिए,$\lambda$ रैखिक आवेश घनत्व वाले तार से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
पहले तार के लिए,जिसका घनत्व $\lambda_1 = 2 \lambda$ है,मध्य बिंदु पर ($r = R/2$ दूरी पर) विद्युत क्षेत्र $E_1 = \frac{2 \lambda}{2 \pi \varepsilon_0 (R/2)} = \frac{2 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R}$ होगा।
दूसरे तार के लिए,जिसका घनत्व $\lambda_2 = 3 \lambda$ है,मध्य बिंदु पर ($r = R/2$ दूरी पर) विद्युत क्षेत्र $E_2 = \frac{3 \lambda}{2 \pi \varepsilon_0 (R/2)} = \frac{3 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R}$ होगा।
चूंकि तार समानांतर और धनात्मक आवेशित हैं,इसलिए मध्य बिंदु पर दोनों विद्युत क्षेत्र विपरीत दिशाओं में होंगे।
परिणामी विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E_{net} = |E_2 - E_1| = |\frac{3 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R} - \frac{2 \lambda}{\pi \varepsilon_0 R}| = \frac{\lambda}{\pi \varepsilon_0 R}$ होगी।

(C) दिया गया है,अचालक रिंग का रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \lambda_0 \cos \phi$ है।
ऊर्ध्वाधर अक्ष के दोनों ओर $\phi$ कोण पर $dl = r d\phi$ लंबाई के दो सममित अवयव लें।
प्रत्येक अवयव पर आवेश $dq = \lambda dl = (\lambda_0 \cos \phi) r d\phi$ है।
केंद्र पर प्रत्येक अवयव के कारण विद्युत क्षेत्र $dE = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{dq}{r^2} = \frac{\lambda_0 \cos \phi d\phi}{4 \pi \varepsilon_0 r}$ है।
समरूपता के कारण क्षैतिज घटक $dE \sin \phi$ एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
कुल विद्युत क्षेत्र ऊर्ध्वाधर घटकों $dE \cos \phi$ का योग है:
$E = \int_0^{\pi} 2 (dE \cos \phi) = \int_0^{\pi} 2 \left( \frac{\lambda_0 \cos \phi d\phi}{4 \pi \varepsilon_0 r} \right) \cos \phi$
$E = \frac{2 \lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} \int_0^{\pi} \cos^2 \phi d\phi$
$\cos^2 \phi = \frac{1 + \cos 2\phi}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$E = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} \int_0^{\pi} (1 + \cos 2\phi) d\phi = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} [\phi + \frac{\sin 2\phi}{2}]_0^{\pi} = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 r} [\pi - 0] = \frac{\lambda_0}{4 \varepsilon_0 r}$.

(C) लूप की त्रिज्या, $r = 1 \, cm = 0.01 \, m$.
लूप पर कुल आवेश, $Q = 1 \times 10^{-6} \, C$.
प्रति इकाई लंबाई आवेश, $\lambda = \frac{Q}{2 \pi r} = \frac{10^{-6}}{2 \pi \times 0.01} = \frac{10^{-4}}{2 \pi} \, C/m$.
काटे गए भाग की लंबाई $l' = 0.01 \% \, \text{of} \, 2 \pi r = \frac{0.01}{100} \times 2 \pi r = 2 \pi \times 10^{-6} \, m$.
काटे गए भाग पर आवेश $Q' = l' \lambda = (2 \pi \times 10^{-6}) \times \frac{10^{-4}}{2 \pi} = 10^{-10} \, C$.
पूर्ण लूप के लिए, केंद्र पर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है। यदि एक छोटा भाग $l'$ हटा दिया जाता है, तो शेष भाग के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण उस विद्युत क्षेत्र के बराबर होता है जो हटाए गए भाग $l'$ द्वारा केंद्र पर उत्पन्न होता।
इस छोटे भाग को केंद्र से $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $Q'$ के रूप में मानने पर, विद्युत क्षेत्र $E = \frac{k Q'}{r^2}$ होगा।
$E = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-10}}{(0.01)^2} = \frac{0.9}{10^{-4}} = 9000 \, N/C = 9 \times 10^3 \, N/C$.

(B) ऋण आवेश के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्र आवेश की ओर निर्देशित होता है।
मान लीजिए कि दो ऋण आवेश $-Q$,$(0, a)$ और $(0, -a)$ पर स्थित हैं। बिंदु $P$ धनात्मक $x$-अक्ष पर $(x, 0)$ पर है।
$(0, a)$ पर स्थित आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}_1$,$P$ से $(0, a)$ की ओर निर्देशित है।
$(0, -a)$ पर स्थित आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र सदिश $\vec{E}_2$,$P$ से $(0, -a)$ की ओर निर्देशित है।
चूंकि आवेशों के परिमाण समान हैं और $P$ से उनकी दूरियां भी समान हैं,इसलिए विद्युत क्षेत्रों के परिमाण समान हैं,अर्थात $|\vec{E}_1| = |\vec{E}_2|$।
जब इन सदिशों को घटकों में वियोजित किया जाता है,तो $y$-घटक ($E_{1y}$ और $E_{2y}$) परिमाण में समान लेकिन दिशा में विपरीत होने के कारण एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
$x$-घटक ($E_{1x}$ और $E_{2x}$) दोनों ऋणात्मक $x$-दिशा में हैं।
अतः,बिंदु $P$ पर परिणामी विद्युत क्षेत्र ऋणात्मक $x$-दिशा के अनुदिश होता है।

(B) मान लीजिए कि घन का केंद्र मूल बिंदु $(0,0,0)$ है। घन के शीर्ष $(\pm L/2, \pm L/2, \pm L/2)$ पर स्थित हैं।
यदि सभी आठ शीर्षों पर $+q$ आवेश होता,तो समरूपता के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र शून्य होता।
मान लीजिए कि एक शीर्ष (मान लीजिए $(-L/2, -L/2, -L/2)$) पर $+q$ के स्थान पर $-q$ आवेश है।
दी गई विन्यास के लिए केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{total}$ है।
यदि सभी आठ शीर्षों पर $+q$ आवेश होता तो विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{all} = 0$ होता।
मान लीजिए कि शीर्ष $(-L/2, -L/2, -L/2)$ पर $+q$ आवेश के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{vertex}$ है।
अतः,$\vec{E}_{total} = \vec{E}_{all} - \vec{E}_{vertex} + \vec{E}_{(-q)} = 0 - \vec{E}_{vertex} - \vec{E}_{vertex} = -2\vec{E}_{vertex}$ है।
किसी भी शीर्ष से केंद्र तक की दूरी $r = \sqrt{(L/2)^2 + (L/2)^2 + (L/2)^2} = \sqrt{3L^2/4} = \frac{\sqrt{3}L}{2}$ है।
केंद्र पर एक आवेश $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण $|E_{vertex}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{3L^2/4} = \frac{4}{3} \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right)$ है।
चूंकि $\vec{E}_{total} = -2\vec{E}_{vertex}$,इसका परिमाण $|E_{total}| = 2 |E_{vertex}| = 2 \times \frac{4}{3} \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right) = \frac{8}{3} \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right)$ है।
इसे $|E| = \alpha \left(\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L^2}\right)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{8}{3}$ प्राप्त होता है।

(A) जब एक अचालक गोले के केंद्र पर एक ऋणात्मक आवेश $(-q)$ रखा जाता है,तो यह अपने आसपास के स्थान में एक विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करता है।
परिभाषा के अनुसार,एक ऋणात्मक बिंदु आवेश के लिए विद्युत क्षेत्र रेखाएं आवेश की ओर निर्देशित होती हैं।
चूंकि आवेश गोले के केंद्र में स्थित है,इसलिए गोले की सतह पर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र रेखाएं केंद्र की ओर इंगित करेंगी।
अतः,सतह पर किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर होती है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

(A) दूरी सदिश $\vec{r}_{sep} = \vec{r} - \vec{r}_0 = (8 \hat{i} - 5 \hat{j}) - (2 \hat{i} + 3 \hat{j}) = 6 \hat{i} - 8 \hat{j} \ m$.
बिंदुओं के बीच की दूरी $r = |\vec{r}_{sep}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \ m$.
विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का परिमाण $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{|q|}{r^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $E = (9 \times 10^9) \times \frac{50 \times 10^{-6}}{10^2}$.
$E = (9 \times 10^9) \times \frac{50 \times 10^{-6}}{100} = 9 \times 10^9 \times 0.5 \times 10^{-6} = 4.5 \times 10^3 \ N \ C^{-1}$.
चूंकि $1 \ N \ C^{-1} = 1 \ V \ m^{-1}$,इसलिए $E = 4.5 \times 10^3 \ V \ m^{-1} = 4.5 \ kV \ m^{-1}$।

(C) बिंदु आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि क्रमिक आवेश विपरीत चिह्नों के हैं, इसलिए $x = 0$ पर कुल विद्युत क्षेत्र व्यक्तिगत आवेशों के कारण क्षेत्रों का योग है:
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{Q}{r_1^2} - \frac{Q}{r_2^2} + \frac{Q}{r_3^2} - \frac{Q}{r_4^2} + \dots \infty \right]$
$E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \frac{1}{(1 \times 10^{-2})^2} - \frac{1}{(2 \times 10^{-2})^2} + \frac{1}{(4 \times 10^{-2})^2} - \frac{1}{(8 \times 10^{-2})^2} + \dots \infty \right]$
$E = (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-9}) \times 10^4 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} - \frac{1}{8^2} + \dots \infty \right]$
$E = 45 \times 10^4 \left[ 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64} + \dots \infty \right]$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = -\frac{1}{4}$ है।
योग $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - (-1/4)} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$.
अतः, $E = 45 \times 10^4 \times \frac{4}{5} = 36 \times 10^4 \text{ N/C}$.

(B) मान लीजिए कि आवेश $q$ को $y$-अक्ष पर $y$ की छोटी दूरी से विस्थापित किया जाता है। आवेश की स्थिति $(0, y)$ हो जाती है।
$(-a, 0)$ और $(a, 0)$ पर स्थित प्रत्येक $-q$ आवेश से इस आवेश की दूरी $r = \sqrt{a^2 + y^2}$ है।
प्रत्येक $-q$ आवेश द्वारा $q$ पर लगाया गया बल $F' = \frac{kq^2}{r^2} = \frac{kq^2}{a^2 + y^2}$ है।
समरूपता के कारण $x$-अक्ष पर इन बलों के घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
$y$-अक्ष पर घटक दोनों मूल बिंदु की ओर (ऋणात्मक $y$-दिशा में) कार्य करते हैं।
परिणामी बल $F = -2 F' \sin \theta$ है,जहाँ $\sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{y}{\sqrt{a^2 + y^2}}$ है।
$F = -2 \left( \frac{kq^2}{a^2 + y^2} \right) \left( \frac{y}{\sqrt{a^2 + y^2}} \right) = -\frac{2kq^2 y}{(a^2 + y^2)^{3/2}}$।
चूंकि विस्थापन $y$ बहुत छोटा है $(y \ll a)$,हम $(a^2 + y^2)^{3/2} \approx (a^2)^{3/2} = a^3$ का अनुमान लगा सकते हैं।
इस प्रकार,$F \approx -\frac{2kq^2}{a^3} y$।
अतः,$F \propto -y$।

(D) रैखिक आवेश घनत्व $\lambda = \lambda_0 \sin \theta$ दिया गया है। छड़ का एक छोटा अवयव लें जो केंद्र पर $d\theta$ कोण बनाता है। इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda (R d\theta) = \lambda_0 R \sin \theta d\theta$ है।
इस अवयव के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $dE = \frac{k dq}{R^2} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\lambda_0 R \sin \theta d\theta}{R^2} = \frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \sin \theta d\theta$ है।
समरूपता के कारण,विद्युत क्षेत्र के $x$-घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। $y$-घटक $dE_y = -dE \sin \theta = -\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \sin^2 \theta d\theta$ है।
$\theta = 0$ से $\pi$ तक समाकलन करने पर:
$E_y = -\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \int_0^{\pi} \sin^2 \theta d\theta = -\frac{\lambda_0}{4 \pi \varepsilon_0 R} \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} d\theta = -\frac{\lambda_0}{8 \pi \varepsilon_0 R} [\theta - \frac{\sin 2\theta}{2}]_0^{\pi} = -\frac{\lambda_0}{8 \pi \varepsilon_0 R} (\pi) = -\frac{\lambda_0}{8 \varepsilon_0 R}$.
अतः,$\vec{E} = -\frac{\lambda_0}{8 \varepsilon_0 R} \hat{j}$। चूंकि यह विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(D) '$a$' त्रिज्या वाली एक समान रूप से आवेशित वलय की अक्ष पर उसके केंद्र से '$z$' दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_z$ निम्न प्रकार दिया जाता है:
$E_z = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Qz}{(z^2 + a^2)^{3/2}}$
वह स्थिति ज्ञात करने के लिए जहाँ विद्युत क्षेत्र अधिकतम है,हम $E_z$ का '$z$' के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dE_z}{dz} = 0$
$\frac{d}{dz} \left[ \frac{Qz}{(z^2 + a^2)^{3/2}} \right] = 0$
भागफल नियम का उपयोग करने पर:
$(z^2 + a^2)^{3/2} - z \cdot \frac{3}{2}(z^2 + a^2)^{1/2} \cdot 2z = 0$
$(z^2 + a^2)^{3/2} = 3z^2(z^2 + a^2)^{1/2}$
$z^2 + a^2 = 3z^2$
$2z^2 = a^2$
$z = \frac{a}{\sqrt{2}}$
चूँकि ग्राफ का क्षैतिज अक्ष $Z/a$ को दर्शाता है,इसलिए $M$ निर्देशांक $z/a = 1/\sqrt{2}$ के अनुरूप है।

(A) यदि घड़ी के सभी $12$ घंटों के स्थानों पर $+Q$ के समान आवेश होते,तो समरूपता के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र शून्य होता,क्योंकि प्रत्येक आवेश अपने व्यासीय विपरीत स्थिति पर स्थित समान और विपरीत आवेश द्वारा निरस्त हो जाता।
मान लीजिए कि $10$ बजे की स्थिति पर स्थित $+Q$ आवेश के कारण केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{10}$ है। जब $10$ बजे की स्थिति पर आवेश अनुपस्थित हो,तो नेट विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net}$ इस प्रकार होगा:
$\vec{E}_{total} = \vec{E}_{net} + \vec{E}_{10} = 0$
अतः,$\vec{E}_{net} = -\vec{E}_{10}$।
$r$ दूरी पर स्थित एक $+Q$ आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$ है।
$\vec{E}_{10}$ की दिशा $10$ बजे की स्थिति से केंद्र की ओर है।
इस प्रकार,$-\vec{E}_{10}$ एक $\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$ परिमाण का सदिश है जो केंद्र से $10$ बजे की स्थिति की ओर निर्देशित है।

(A) मान लीजिए कि दो धन आवेश $Q$,$(0, d)$ और $(0, -d)$ पर स्थित हैं। ऋण आवेश $-q$ को $(x, 0)$ पर विस्थापित किया जाता है।
प्रत्येक धन आवेश $Q$ और ऋण आवेश $-q$ के बीच की दूरी $r = \sqrt{x^2 + d^2}$ है।
प्रत्येक धन आवेश द्वारा ऋण आवेश पर लगाए गए स्थिर-विद्युत बल का परिमाण $F_e = \frac{kQq}{r^2}$ है।
सममिति के कारण $y$-अक्ष पर इन बलों के घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। $x$-अक्ष पर घटकों का योग होता है:
$F = -2 F_e \cos \theta$,जहाँ $\cos \theta = \frac{x}{r}$ है।
मान रखने पर:
$F = -2 \left( \frac{kQq}{r^2} \right) \left( \frac{x}{r} \right) = -\frac{2kQqx}{r^3}$.
चूंकि $r = (x^2 + d^2)^{1/2}$,इसलिए:
$F = -\frac{2kQqx}{(x^2 + d^2)^{3/2}}$.
दी गई शर्त $x \ll d$ के कारण,हर में $x^2 + d^2 \approx d^2$ लिया जा सकता है:
$F \approx -\frac{2kQqx}{(d^2)^{3/2}} = -\frac{2kQqx}{d^3}$.
अतः,बल $F$ का परिमाण विस्थापन $x$ के सीधे समानुपाती है,अर्थात $F \propto x$।

(C) एक समषट्भुज में,केंद्र $O$ से किसी भी शीर्ष की दूरी भुजा की लंबाई $a$ के बराबर होती है।
केंद्र पर विद्युत क्षेत्र को अधिकतम करने के लिए,हम चार आवेशों को चित्र में दिखाए अनुसार $A, B, C$ और $F$ शीर्षों पर रखते हैं।
$F$ और $C$ पर आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं $(E_F + E_C = 0)$।
केंद्र $O$ पर नेट विद्युत क्षेत्र $A$ और $B$ पर स्थित आवेशों के कारण होता है।
प्रत्येक आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{a^2}$ है।
विद्युत क्षेत्र सदिशों $E_A$ और $E_B$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।
परिणामी विद्युत क्षेत्र $E_{\text{net}}$ इस प्रकार दिया जाता है:
$E_{\text{net}} = \sqrt{E_A^2 + E_B^2 + 2 E_A E_B \cos 60^{\circ}}$
चूंकि $E_A = E_B = E$,इसलिए:
$E_{\text{net}} = \sqrt{E^2 + E^2 + 2 E^2 (1/2)} = \sqrt{3E^2} = E\sqrt{3}$
$E$ का मान रखने पर:
$E_{\text{net}} = \frac{\sqrt{3}Q}{4 \pi \epsilon_0 a^2}$

(C) मान लीजिए कि इकाई ऋण आवेश लंब समद्विभाजक पर मध्य-बिंदु से $x$ दूरी पर है। प्रत्येक स्थिर आवेश $+Q$ से इस आवेश की दूरी $r = \sqrt{x^2 + a^2}$ है।
प्रत्येक $+Q$ आवेश द्वारा इकाई ऋण आवेश पर लगाया गया स्थिर वैद्युत बल $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q \cdot 1}{r^2} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 (x^2 + a^2)}$ है।
आवेशों को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत इन बलों के घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जबकि लंब समद्विभाजक की दिशा में घटक जुड़ जाते हैं।
शुद्ध प्रत्यानयन बल $F_{\text{net}} = -2F \cos \theta$ है,जहाँ $\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}$ है।
$F_{\text{net}} = -2 \left( \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 (x^2 + a^2)} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \right) = -\frac{2Qx}{4 \pi \varepsilon_0 (x^2 + a^2)^{3/2}}$ है।
चूंकि $x \ll a$,हम $(x^2 + a^2)^{3/2} \approx a^3$ का अनुमान लगा सकते हैं।
अतः,$F_{\text{net}} \approx -\left( \frac{2Q}{4 \pi \varepsilon_0 a^3} \right) x = -\left( \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 a^3} \right) x$ है।
यह सरल आवर्त गति का समीकरण $F = -kx_{eff}$ है,जहाँ $k_{eff} = \frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 a^3}$ है।
दोलन की आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k_{eff}}{M}} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{Q}{2 \pi \varepsilon_0 M a^3}}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,कोई भी विकल्प गणना की गई आवृत्ति से मेल नहीं खाता है।

(A) $1$. विद्युत विभव $(V)$ एक अदिश राशि है। $r$ दूरी पर स्थित एक आवेश $q$ के कारण केंद्र $O$ पर विभव $V_i = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r}$ होता है। चूँकि यहाँ पाँच समान आवेश हैं,इसलिए कुल विभव उनका बीजगणितीय योग होगा: $V = 5 \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r} = \frac{5 q}{4 \pi \varepsilon_0 r}$।
$2$. विद्युत क्षेत्र $(\vec{E})$ एक सदिश राशि है। एक नियमित बहुभुज के सभी शीर्षों पर समान आवेश होने के कारण,व्यक्तिगत आवेशों के कारण उत्पन्न विद्युत क्षेत्र के सदिश समरूपता (symmetry) के कारण एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं। अतः,केंद्र $O$ पर परिणामी विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = 0$ होगा।

(B) मान लीजिए कि केंद्र पर एक बिंदु आवेश $Q$ के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E_{0} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \frac{Q}{R^{2}}$ है।
समरूपता के आधार पर,$90^{\circ}$ और $270^{\circ}$ पर स्थित आवेश (दोनों $+Q$) एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं।
शेष आवेश $30^{\circ}, 150^{\circ}, 210^{\circ}, 330^{\circ}$ पर हैं।
विशेष रूप से,$30^{\circ}$ और $210^{\circ}$ पर आवेश $+Q$ और $+Q$ हैं,और $150^{\circ}$ और $330^{\circ}$ पर आवेश $-Q$ और $+Q$ हैं।
अध्यारोपण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,कुल विद्युत क्षेत्र व्यक्तिगत क्षेत्रों का सदिश योग है।
घटकों को विभाजित करने के बाद,केंद्र पर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net} = -\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R^{2}}(\sqrt{3}\hat{i}-\hat{j})$ प्राप्त होता है।

(B) $r$ दूरी पर स्थित $2q$ बिंदु आवेश के लिए,विद्युत क्षेत्र $E = k \frac{2q}{r^2}$ है।
$q$ आवेश और $R$ त्रिज्या वाले पतले गोलीय कोश के लिए,केंद्र से $r' = \frac{r}{2}$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र ज्ञात करना है। यहाँ $r \gg R$ होने के कारण,$r' > R$ की स्थिति संतुष्ट होती है,जिसका अर्थ है कि कोश अपने केंद्र पर एक बिंदु आवेश की तरह व्यवहार करता है।
अतः,$E' = k \frac{q}{(r/2)^2} = k \frac{q}{r^2/4} = 4k \frac{q}{r^2}$ होगा।
प्रथम समीकरण से,$k \frac{q}{r^2} = \frac{E}{2}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $E'$ के व्यंजक में रखने पर,$E' = 4 \times \frac{E}{2} = 2E$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) $R$ त्रिज्या और $Q$ कुल आवेश वाली अर्ध-वृत्ताकार रिंग के लिए,रेखीय आवेश घनत्व $\lambda = \frac{Q}{\pi R}$ है।
केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{2k\lambda}{R}$ है,जहाँ $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ है।
$\lambda$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $E = \frac{2(1/4\pi\epsilon_0)(Q/\pi R)}{R} = \frac{Q}{2\pi^2 \epsilon_0 R^2}$.
दिया गया है $E = 100 \text{ V/m}$,$R = 0.35 \text{ m}$,$\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \text{ C}^2/\text{Nm}^2$,और $\pi = 3.14$.
$Q$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $Q = E \times 2\pi^2 \epsilon_0 R^2$.
$Q = 100 \times 2 \times (3.14)^2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times (0.35)^2$.
$Q = 200 \times 9.8596 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.1225$.
$Q \approx 2.14 \times 10^{-9} \text{ C} = 2.14 \text{ nC}$.