Motion of Charge particle in Electric filed Questions in Hindi

(C) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेशित कण द्वारा अनुभव किया गया बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए त्वरण $a = \frac{qE}{m}$ होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों पर आवेश का परिमाण $e$ समान होता है,इसलिए त्वरण द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(a \propto \frac{1}{m})$।
इसलिए,इलेक्ट्रॉन के त्वरण $(a_e)$ और प्रोटॉन के त्वरण $(a_p)$ का अनुपात $\frac{a_e}{a_p} = \frac{m_p}{m_e}$ होगा।
अतः,उनके त्वरण का अनुपात प्रोटॉन के द्रव्यमान और इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान के अनुपात के बराबर होता है।

(B) किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $E$ उस बिंदु पर विद्युत क्षेत्र रेखा के स्पर्शरेखा के अनुदिश निर्देशित होता है।
यदि एक आवेशित कण को $v = 0$ के प्रारंभिक वेग के साथ विद्युत क्षेत्र में रखा जाता है,तो बल $F = qE$ उस पर विद्युत क्षेत्र की दिशा में कार्य करता है।
चूंकि बल क्षेत्र रेखा के स्पर्शरेखा है,इसलिए कण क्षेत्र रेखा के अनुदिश त्वरित होगा।
यदि कण के पास क्षेत्र रेखा के साथ किसी कोण पर प्रारंभिक वेग है,तो प्रक्षेपवक्र आमतौर पर वक्र होगा और क्षेत्र रेखा का पालन नहीं करेगा।
इसलिए,कण केवल तभी बल रेखा के अनुदिश यात्रा करेगा यदि उसका प्रारंभिक वेग शून्य हो।

(A) प्रोटॉन को संतुलित करने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला विद्युत बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होना चाहिए।
$qE = mg$
$E = \frac{mg}{q}$
दिया गया है:
$m = 1.7 \times 10^{-27} \ kg$
$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
$g = 9.8 \ m/s^2$
मान रखने पर:
$E = \frac{1.7 \times 10^{-27} \times 9.8}{1.6 \times 10^{-19}}$
$E \approx \frac{1.666 \times 10^{-26}}{1.6 \times 10^{-19}}$
$E \approx 1.04 \times 10^{-7} \ V/m$
अतः,तीव्रता लगभग $1 \times 10^{-7} \ V/m$ है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 20\,g = 20 \times 10^{-3}\,kg$,आवेश $q = 3.0\,mC = 3.0 \times 10^{-3}\,C$,प्रारंभिक वेग $u = 20\,m/s$,विद्युत क्षेत्र $E = 80\,N/C$,समय $t = 3\,s$.
आवेश पर लगने वाला बल $F = qE$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $a = \frac{qE}{m}$.
मान रखने पर: $a = \frac{3.0 \times 10^{-3} \times 80}{20 \times 10^{-3}} = \frac{240 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-3}} = 12\,m/s^2$.
गति के पहले समीकरण का उपयोग करने पर: $v = u + at$.
$v = 20 + (12 \times 3) = 20 + 36 = 56\,m/s$.

(B) कण के संतुलन में रहने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला विद्युत बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$QE = Mg$
चूंकि $E = \frac{V}{d}$,इसलिए $Q \left( \frac{V}{d} \right) = Mg$ होगा।
मान लीजिए $Q = Ne$,जहाँ $N$ प्रारंभिक आवेशों की संख्या है:
$Ne \left( \frac{V}{d} \right) = Mg$
$N = \frac{Mgd}{eV}$
दिए गए मानों ($M = 1.96 \times 10^{-15} \; kg$,$g = 9.8 \; m/s^2$,$d = 0.02 \; m$,$V = 800 \; V$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \; C$) को रखने पर:
$N = \frac{1.96 \times 10^{-15} \times 9.8 \times 0.02}{1.6 \times 10^{-19} \times 800}$
$N = \frac{3.8416 \times 10^{-16}}{1.28 \times 10^{-16}} = 3$
अतः,कण पर आवेश $Q = 3e$ होगा।

(C) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में $q$ आवेश द्वारा अनुभव किया गया बल $F = qE$ होता है।
चूंकि कण विराम अवस्था से शुरू होता है और बल की दिशा में $y$ दूरी तय करता है,इसलिए विद्युत क्षेत्र द्वारा कण पर किया गया कार्य $W = F \times y = (qE) \times y = qEy$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $0$ है,इसलिए कण द्वारा प्राप्त अंतिम गतिज ऊर्जा $K = qEy$ होगी।

(B) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेशित कण पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है। न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए त्वरण $a = qE/m$ है।
गति के समीकरण $s = ut + (1/2)at^2$ का उपयोग करते हुए,और चूंकि कण विरामावस्था से शुरू होते हैं $(u = 0)$,$t$ समय में तय की गई दूरी $s = (1/2)(qE/m)t^2$ है।
इलेक्ट्रॉन के लिए: $s = (1/2)(eE/m_e)t_1^2$.
प्रोटॉन के लिए: $s = (1/2)(eE/m_p)t_2^2$.
चूंकि दोनों के लिए दूरी $s$ समान है,हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं:
$(1/2)(eE/m_e)t_1^2 = (1/2)(eE/m_p)t_2^2$.
इसे सरल करने पर,हमें $t_1^2/m_e = t_2^2/m_p$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$t_2^2/t_1^2 = m_p/m_e$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें अनुपात $t_2/t_1 = (m_p/m_e)^{1/2}$ प्राप्त होता है।

(C) पानी की बूंद को संतुलन में रखने के लिए,विद्युत बल को गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना होगा।
$QE = mg$
यहाँ,$Q = e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$,$r = 0.1\,\mu m = 10^{-7}\,m$,$\rho = 10^3\,kg/m^3$ (पानी का घनत्व),और $g = 10\,m/s^2$ है।
द्रव्यमान $m$ का मान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$E = \frac{mg}{Q} = \frac{\frac{4}{3} \times 3.14 \times (10^{-7})^3 \times 10^3 \times 10}{1.6 \times 10^{-19}}$
$E = \frac{4 \times 3.14 \times 10^{-21} \times 10^4}{3 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$E = \frac{12.56 \times 10^{-17}}{4.8 \times 10^{-19}} = 2.616 \times 10^2 \approx 262\,N/C$.

(B) तेल की बूंद को स्थिर रखने के लिए,विद्युत बल को गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$F_e = F_g$
$qE = mg$
चूंकि $E = \frac{V}{d}$ और $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$,इसलिए:
$q \left( \frac{V}{d} \right) = \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \rho \right) g$
दिया गया है: $q = 2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$V = 12000 \, V$,$d = 2.0 \times 10^{-2} \, m$,$\rho = 900 \, kg/m^3$,$g = 10 \, m/s^2$.
मान रखने पर:
$2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times \frac{12000}{2 \times 10^{-2}} = \frac{4}{3} \times 3.14 \times r^3 \times 900 \times 10$
$1.92 \times 10^{-13} = 37680 \times r^3$
$r^3 = \frac{1.92 \times 10^{-13}}{37680} \approx 0.509 \times 10^{-17} = 5.09 \times 10^{-18} \, m^3$
$r = \sqrt[3]{5.09 \times 10^{-18}} \approx 1.72 \times 10^{-6} \, m$.

(C) किसी आवेशित कण को $V$ विभवांतर से त्वरित करने पर प्राप्त गतिज ऊर्जा का सूत्र $\Delta KE = qV$ होता है।
प्रोटॉन के लिए,उसका आवेश $q = e$ होता है।
यहाँ दिया गया विभवांतर $V = 1\,V$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,$\Delta KE = e \times 1\,V = 1\,eV$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा $1\,eV$ होगी।

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ में एक इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
दो समानांतर प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ होता है,जहाँ $V$ विभवांतर है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
दिया गया है: $q = 1.6 \times 10^{-19}\,C$,$V = 1000\,V$,और $d = 2\,mm = 2 \times 10^{-3}\,m$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = q \left( \frac{V}{d} \right) = (1.6 \times 10^{-19}) \left( \frac{1000}{2 \times 10^{-3}} \right)$
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times (0.5 \times 10^{6})$
$F = 0.8 \times 10^{-13}\,N = 8 \times 10^{-14}\,N$।

(B) कण को स्थिर रखने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला विद्युत बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$F_e = F_g$
$|q|E = mg$
$|q| = \frac{mg}{E}$
दिया गया है: $m = 5 \times 10^{-5} \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$E = 10^7 \ N/C$.
$|q| = \frac{5 \times 10^{-5} \times 10}{10^7} = 5 \times 10^{-11} \ C$.
चूंकि $1 \ C = 10^6 \ \mu C$,इसलिए $|q| = 5 \times 10^{-11} \times 10^6 \ \mu C = 5 \times 10^{-5} \ \mu C$.
चूंकि विद्युत क्षेत्र नीचे की ओर निर्देशित है और गुरुत्वाकर्षण बल नीचे की ओर कार्य करता है,इसलिए इसे संतुलित करने के लिए विद्युत बल को ऊपर की ओर कार्य करना चाहिए। नीचे की ओर विद्युत क्षेत्र के लिए,एक ऋणात्मक आवेश ऊपर की ओर बल का अनुभव करता है। अतः,आवेश $-5 \times 10^{-5} \ \mu C$ है।

(C) जब इलेक्ट्रॉन जैसा आवेशित कण विद्युत क्षेत्र में क्षेत्र की दिशा के लंबवत प्रवेश करता है,तो वह क्षेत्र की दिशा में (या उसके विपरीत) एक निरंतर बल का अनुभव करता है।
चूंकि $x$-अक्ष के अनुदिश वेग स्थिर रहता है और $y$-अक्ष के अनुदिश त्वरण स्थिर होता है,इसलिए गति का समीकरण $y = kx^2$ के रूप में प्राप्त होता है।
यह एक परवलय का समीकरण है। अतः,इलेक्ट्रॉन का पथ परवलयाकार होता है।

(C) विद्युत क्षेत्र $E$ एक आवेशित कण पर $F = qE$ बल लगाता है। इलेक्ट्रॉन के लिए,आवेश $q = -e$ है,इसलिए बल $F = -eE$ विद्युत क्षेत्र रेखाओं की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र में विद्युत बल रेखाओं की दिशा में वेग के साथ प्रवेश करता है,इसलिए उस पर कार्य करने वाला बल उसके वेग की विपरीत दिशा में होता है।
यह बल एक मंदक बल (retarding force) के रूप में कार्य करता है,जिससे इलेक्ट्रॉन का वेग कम हो जाता है।
अतः,इलेक्ट्रॉन का वेग घट जाएगा।

(C) जब $e$ आवेश वाले एक इलेक्ट्रॉन को $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित किया जाता है,तो इलेक्ट्रॉन पर किया गया कार्य $W = eV$ होता है।
यह किया गया कार्य इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$K = \frac{1}{2}mv^2 = eV$ है।
अंतिम चाल $v$ के लिए हल करने पर,हमें $v^2 = \frac{2eV}{m}$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतिम चाल $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ होगी।

(A) विद्युत क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = eE$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $ma = eE$।
अतः,त्वरण $a$ का सूत्र $a = (e/m) \times E$ होगा।
दिया गया है:
$e/m = 1.76 \times 10^{11}\, C/kg$
$E = 50\, V/cm = 50 \times 10^2\, V/m = 5000\, V/m$।
मान रखने पर:
$a = (1.76 \times 10^{11}) \times (5000) = 1.76 \times 10^{11} \times 5 \times 10^3 = 8.8 \times 10^{14}\, m/s^2$।

(A) जब एक आवेशित कण $y$-अक्ष की दिशा में कार्यरत एकसमान विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में प्रवेश करता है,तो वह $y$-अक्ष की दिशा में विद्युत बल $\vec{F} = q\vec{E}$ का अनुभव करता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,यह बल $y$-दिशा में त्वरण $a_y = \frac{qE}{m}$ उत्पन्न करता है,जो वेग के ऊर्ध्वाधर घटक को बदल देता है।
चूंकि $x$-अक्ष की दिशा में विद्युत क्षेत्र का कोई घटक नहीं है,इसलिए $x$-दिशा में कोई बल कार्य नहीं करता है $(F_x = 0)$।
अतः,गति के दौरान वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है।
इस प्रकार,ऊर्ध्वाधर वेग बदलता है जबकि क्षैतिज वेग स्थिर रहता है।

(A) विभवांतर $(V)$ में त्वरित आवेशित कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र है: $KE = qV$।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ है और विभवांतर $V = 100 \, V$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$KE = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (100 \, V)$
$KE = 1.6 \times 10^{-19} \times 10^2 \, J$
$KE = 1.6 \times 10^{-17} \, J$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) पानी की बूंद के भार को संतुलित करने के लिए,विद्युत बल को नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का विरोध करने के लिए ऊपर की दिशा में कार्य करना चाहिए।
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 10^{-6} \ kg$
आवेश $q = 10^{-6} \ C$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$
संतुलन के लिए शर्त है:
$F_e = W$
$qE = mg$
$E = \frac{mg}{q}$
मान रखने पर:
$E = \frac{10^{-6} \times 10}{10^{-6}} = 10 \ V/m$
चूंकि आवेश धनात्मक है,इसलिए विद्युत बल विद्युत क्षेत्र की दिशा में होता है। अतः,नीचे की ओर कार्य करने वाले भार को संतुलित करने के लिए विद्युत क्षेत्र को ऊपर की दिशा में लगाया जाना चाहिए।

(B) कण को स्थिर रखने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला विद्युत बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$F_e = F_g$
$QE = mg$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 0.003 \, g = 0.003 \times 10^{-3} \, kg = 3 \times 10^{-6} \, kg$
विद्युत क्षेत्र $E = 6 \times 10^4 \, N/C$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$
$Q = \frac{mg}{E} = \frac{3 \times 10^{-6} \times 10}{6 \times 10^4}$
$Q = \frac{3 \times 10^{-5}}{6 \times 10^4} = 0.5 \times 10^{-9} \, C = 5 \times 10^{-10} \, C$

(C) विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेश $q$ द्वारा अनुभव किया गया बल $F = qE$ होता है।
इलेक्ट्रॉन के लिए,आवेश $q = e$ है,इसलिए बल $F = eE$ होगा।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F = ma$ होता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $a$ त्वरण है।
बल के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $ma = eE$।
अतः,त्वरण $a = \frac{eE}{m}$ होगा।

(C) विभवांतर $(V)$ के माध्यम से त्वरित आवेशित कण द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = qV$ है।
$\alpha$-कण के लिए,आवेश $q = +2e$ है,जहाँ $e$ प्राथमिक आवेश है।
दिया गया विभवांतर $V = 200\,V$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$KE = (2e) \times 200\,V = 400\,eV$.
अतः,इसकी गतिज ऊर्जा में वृद्धि $400\,eV$ है।

(C) इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाला विद्युत बल $F = qE = ma$ है।
अतः,मंदन $a = \frac{qE}{m}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 1 \times 10^3}{9 \times 10^{-31}} = \frac{1.6}{9} \times 10^{15} \, m/s^2$।
प्रारंभिक वेग $u = 5 \times 10^6 \, m/s$ और अंतिम वेग $v = 0$ है।
गति के समीकरण $v^2 = u^2 - 2as$ का उपयोग करते हुए,दूरी $s = \frac{u^2}{2a}$ प्राप्त होती है।
$s = \frac{(5 \times 10^6)^2}{2 \times (\frac{1.6}{9} \times 10^{15})} = \frac{25 \times 10^{12} \times 9}{3.2 \times 10^{15}} = \frac{225}{3.2} \times 10^{-3} \approx 70.3 \times 10^{-3} \, m = 7.03 \times 10^{-2} \, m \approx 7 \, cm$।

(A) विद्युत क्षेत्र में एक आवेशित कण के संतुलन में रहने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला विद्युत बल नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$F_e = F_g$
$qE = mg$
$q = \frac{mg}{E} = \frac{9.6 \times 10^{-16} \times 10}{20,000} = \frac{9.6 \times 10^{-15}}{2 \times 10^4} = 4.8 \times 10^{-19}\, C$.
चूंकि $q = ne$,इलेक्ट्रॉनों की अतिरिक्त संख्या $n$ इस प्रकार है:
$n = \frac{q}{e} = \frac{4.8 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 3$.
अतः,आवेश $4.8 \times 10^{-19}\, C$ है और इलेक्ट्रॉनों की संख्या $3$ है।

(C) विद्युत क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन द्वारा अनुभव किया गया बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q = e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $E$ विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है।
यह दिया गया है कि बल इलेक्ट्रॉन के भार के बराबर है,इसलिए $F = mg$,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $(m \approx 9.1 \times 10^{-31} \ kg)$ है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण $(g \approx 9.8 \ m/s^2)$ है।
दोनों को बराबर करने पर,$eE = mg$,जिसका अर्थ है $E = \frac{mg}{e}$।
मान रखने पर: $E = \frac{9.1 \times 10^{-31} \ kg \times 9.8 \ m/s^2}{1.6 \times 10^{-19} \ C}$।
$E \approx \frac{89.18 \times 10^{-31}}{1.6 \times 10^{-19}} \ N/C \approx 5.57 \times 10^{-11} \ N/C$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $5.5 \times 10^{-11} \ N/C$ है।

(C) लोलक का प्रारंभिक आवर्तकाल $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ है।
जब प्लेटों को आवेशित किया जाता है,तो एक विद्युत क्षेत्र $E$ उत्पन्न होता है। आवेश $q$ पर लगने वाला बल $F_e = qE$ नीचे की ओर कार्य करता है।
गोले पर लगने वाला कुल नीचे की ओर बल $F_{net} = mg + qE$ है।
प्रभावी त्वरण $g'$ का मान $g' = \frac{F_{net}}{m} = g + \frac{qE}{m}$ है।
नया आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g + \frac{qE}{m}}}$ है।
$T/T_0$ का अनुपात लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{T}{T_0} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{L}{g + \frac{qE}{m}}}}{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}} = \sqrt{\frac{g}{g + \frac{qE}{m}}} = \left( \frac{g}{g + \frac{qE}{m}} \right)^{1/2}$.
अतः,सही विकल्प $(c)$ है।

(D) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कण $q$ की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा निकटतम पहुँच के बिंदु पर स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जहाँ कण क्षण भर के लिए विराम अवस्था में आ जाता है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = $\frac{1}{2}mv^2$
$r$ दूरी पर स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा = $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{qQ}{r}$
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{qQ}{r}$
इससे,हम देख सकते हैं कि $r = \frac{qQ}{2\pi\varepsilon_0 mv^2}$,जिसका अर्थ है कि $r \propto \frac{1}{v^2}$।
यदि चाल को दोगुना कर दिया जाए $(v' = 2v)$,तो निकटतम पहुँच की नई दूरी $r'$ होगी:
$r' = r \cdot \left(\frac{v}{v'}\right)^2 = r \cdot \left(\frac{v}{2v}\right)^2 = r \cdot \frac{1}{4} = \frac{r}{4}$।
अतः,निकटतम पहुँच की दूरी $r/4$ हो जाएगी।

(A) एक गतिशील आवेश पर विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य $W = qEd$ द्वारा दिया जाता है,जिसके परिणामस्वरूप गतिज ऊर्जा में परिवर्तन होता है।
इसके विपरीत,एक गतिशील आवेश पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ है।
चूंकि चुंबकीय बल हमेशा आवेश के वेग के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र द्वारा प्रदान की गई शक्ति $P = \vec{F}_m \cdot \vec{v} = 0$ होती है।
इसलिए,एक चुंबकीय क्षेत्र गतिशील आवेश की गतिज ऊर्जा को नहीं बदल सकता है।
अतः,केवल विद्युत क्षेत्र ही एक गतिशील आवेश को ऊर्जा प्राप्त करने में सक्षम बनाता है।

(C) $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2 = eV$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,और $V = 1000 \ V$ है।
वेग $v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर: $v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1000}{9.1 \times 10^{-31}}}$.
$v = \sqrt{\frac{3.2 \times 10^{-16}}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{0.3516 \times 10^{15}} = \sqrt{3.516 \times 10^{14}}$.
$v \approx 1.875 \times 10^7 \ m/s \approx 1.9 \times 10^7 \ m/s$.

(C) बूंद के स्थिर रहने के लिए,विद्युत बल को गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$QE = mg$
चूंकि $E = V/d$,हमारे पास $Q(V/d) = mg$ है,जहां $Q = ne$ है।
$n e (V/d) = mg$
$n = \frac{mgd}{Ve}$
दिया गया है:
$m = 1.8 \times 10^{-14} \ kg$
$g = 10 \ m/s^2$
$d = 0.90 \ cm = 0.90 \times 10^{-2} \ m$
$V = 2.0 \ kV = 2.0 \times 10^3 \ V$
$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
मान रखने पर:
$n = \frac{1.8 \times 10^{-14} \times 10 \times 0.90 \times 10^{-2}}{2.0 \times 10^3 \times 1.6 \times 10^{-19}}$
$n = \frac{1.62 \times 10^{-14}}{3.2 \times 10^{-16}} = \frac{162}{32} = 5.0625 \approx 5$
अतः,इलेक्ट्रॉनों की संख्या $5$ है।

(C) इलेक्ट्रॉन $x$-अक्ष के अनुदिश नियत वेग $v_x$ से गति करता है।
जब $y$-अक्ष के अनुदिश एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ लगाया जाता है,तो इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक $y$-दिशा में एक नियत बल $F_y = -eE$ कार्य करता है।
इसके परिणामस्वरूप $y$-दिशा में नियत त्वरण $a_y = -eE/m$ उत्पन्न होता है,जबकि $x$-दिशा में वेग नियत रहता है।
चूँकि $x$-दिशा में गति एकसमान है $(x = v_x t)$ और $y$-दिशा में गति एकसमान त्वरित है $(y = 1/2 a_y t^2)$,इसलिए पथ का समीकरण $y = 1/2 (-eE/m) (x/v_x)^2$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $y = kx^2$ के रूप में है,जो एक परवलय को दर्शाता है।

(A) विभवांतर $(V)$ के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = e \cdot V$ होता है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का आवेश $e = 1.602 \times 10^{-19} \, C$ और विभवांतर $V = 100 \, V$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$K = (1.602 \times 10^{-19} \, C) \times (100 \, V)$
$K = 1.602 \times 10^{-17} \, J$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा का समीकरण है: $\frac{1}{2}mv^2 = eV$।
वेग $v$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}} = \sqrt{2 \left(\frac{e}{m}\right) V}$।
दिए गए मान $V = 200 \ V$ और $\frac{e}{m} = 1.6 \times 10^{11} \ C/kg$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$v = \sqrt{2 \times (1.6 \times 10^{11}) \times 200}$
$v = \sqrt{6.4 \times 10^{13} \times 10^1} = \sqrt{64 \times 10^{12}}$
$v = 8 \times 10^6 \ m/s$।

(A) विभवांतर $V$ के माध्यम से त्वरित इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा $K.E. = eV = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
वेग $v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$V = 45.5 \ V$,और $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$.
मान प्रतिस्थापित करने पर: $v = \sqrt{\frac{2 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 45.5}{9.1 \times 10^{-31}}}$.
$v = \sqrt{\frac{145.6 \times 10^{-19}}{9.1 \times 10^{-31}}} = \sqrt{16 \times 10^{12}}$.
$v = 4 \times 10^6 \ m \ s^{-1}$.

(B) विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ में स्थित $q$ आवेश पर लगने वाला बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $a$ त्वरण है।
बल के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $ma = qE$ प्राप्त होता है।
इसलिए,त्वरण $a = \frac{qE}{m}$ होगा।
दिए गए आवेश $q = 3e$ और द्रव्यमान $m' = 2m$ का मान सूत्र में रखने पर:
$a = \frac{(3e)E}{2m} = \frac{3Ee}{2m}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा विद्युत क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है: $\frac{1}{2}mv^2 = eV$
विशिष्ट आवेश $e/m$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\frac{e}{m} = \frac{v^2}{2V}$
दिए गए मान $v = 8.4 \times 10^6 \ m/s$ और $V = 200 \ V$ रखने पर:
$\frac{e}{m} = \frac{(8.4 \times 10^6)^2}{2 \times 200} = \frac{70.56 \times 10^{12}}{400} = 0.1764 \times 10^{12} = 1.764 \times 10^{11} \ C/kg$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र द्वारा आवेशित कण पर लगाया गया बल $F = qE$ द्वारा दिया जाता है। यह बल कण पर कार्य कर सकता है,जिससे उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन होता है।
इसके विपरीत,चुंबकीय क्षेत्र द्वारा गतिमान आवेशित कण पर लगाया गया बल लोरेंत्ज़ बल $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि यह बल हमेशा कण के वेग सदिश $v$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र द्वारा कण पर किया गया कार्य हमेशा शून्य होता है $(W = F \cdot d = 0)$।
इसलिए,चुंबकीय क्षेत्र आवेशित कण की गतिज ऊर्जा को नहीं बदल सकता है। केवल विद्युत क्षेत्र ही इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा को बदल सकता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) जब एक इलेक्ट्रॉन को $V$ विभवांतर के माध्यम से त्वरित किया जाता है,तो विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य इलेक्ट्रॉन द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा के बराबर होता है।
किया गया कार्य $W = eV$ द्वारा दिया जाता है।
प्राप्त गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें $eV = \frac{1}{2}mv^2$ प्राप्त होता है।
वेग $v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $v^2 = \frac{2eV}{m}$ मिलता है।
अतः,अधिकतम वेग $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ होगा।

(C) तेल की बूंद को संतुलित करने के लिए,उस पर लगने वाला विद्युत बल उस पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होना चाहिए।
$qE = mg$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 16 \times 10^{-6} \ kg$
विद्युत क्षेत्र $E = 10^6 \ V/m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$
आवेश $q$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$q = \frac{mg}{E}$
मान रखने पर:
$q = \frac{16 \times 10^{-6} \times 10}{10^6}$
$q = \frac{16 \times 10^{-5}}{10^6}$
$q = 16 \times 10^{-11} \ C$

(A) विभवांतर $(V)$ द्वारा त्वरित आवेशित कण की गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = qV$ होता है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का आवेश $q = e = 1.602 \times 10^{-19} \ C$ है और विभवांतर $V = 100 \ V$ है।
अतः,$K = 100 \ eV$।
इसे जूल में बदलने पर: $K = 100 \times 1.602 \times 10^{-19} \ J = 1.602 \times 10^{-17} \ J$।

(D) प्रारंभ में,कण $q$,$Q$ से अनंत दूरी पर है,इसलिए प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $P.E._i = 0$ है।
स्थिति $1$: प्रारंभिक वेग $v$ है और न्यूनतम दूरी $r$ है।
ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर: $P.E._i + K.E._i = P.E._f + K.E._f$
$0 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{kQq}{r} + 0$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{kQq}{r} \quad \dots (1)$
स्थिति $2$: प्रारंभिक वेग $2v$ है और मान लीजिए कि नई न्यूनतम दूरी $r'$ है।
ऊर्जा संरक्षण का नियम लागू करने पर: $P.E._i + K.E._i = P.E._f + K.E._f$
$0 + \frac{1}{2}m(2v)^2 = \frac{kQq}{r'} + 0$
$\frac{1}{2}m(4v^2) = \frac{kQq}{r'} \quad \dots (2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{1}{2}mv^2}{\frac{1}{2}m(4v^2)} = \frac{\frac{kQq}{r}}{\frac{kQq}{r'}}$
$\frac{1}{4} = \frac{r'}{r}$
$r' = \frac{r}{4}$

(C) इलेक्ट्रॉन पर ऋण आवेश $(q = -e)$ होता है।
जब यह विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ में क्षेत्र रेखाओं के समानांतर वेग $\vec{v}$ के साथ प्रवेश करता है,तो उस पर कार्य करने वाला विद्युत बल $\vec{F} = q\vec{E} = -e\vec{E}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल विद्युत क्षेत्र रेखाओं की विपरीत दिशा में है,इसलिए यह बल इलेक्ट्रॉन के वेग की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
यह बल इलेक्ट्रॉन की गति में मंदन (retardation) उत्पन्न करता है।
इसलिए,जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन क्षेत्र में आगे बढ़ेगा,उसका वेग कम हो जाएगा।

(B) विद्युत क्षेत्र $E$ में एक इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F = eE$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है।
दोनों को बराबर करने पर,$ma = eE$,जिसका अर्थ है $a = \frac{eE}{m}$।
दिया गया है: $E = 9.1 \times 10^6 \ N/C$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,और $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$।
मान रखने पर: $a = \frac{(1.6 \times 10^{-19}) \times (9.1 \times 10^6)}{9.1 \times 10^{-31}}$।
$a = 1.6 \times 10^{-19+6+31} = 1.6 \times 10^{18} \ m/s^2$।

(B) पानी की बूंद को हवा में स्थिर रखने के लिए,विद्युत बल को गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$F_e = mg$
$eE = mg$
$E = \frac{mg}{e}$
यहाँ,$m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$.
दिया गया है: $r = 10^{-5} \, cm = 10^{-7} \, m$,$\rho = 1000 \, kg/m^3$,$e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$g = 10 \, m/s^2$.
$m = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (10^{-7})^3 \times 1000 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 10^{-18} \, kg$.
$E = \frac{\frac{4}{3} \times 3.14 \times 10^{-18} \times 10}{1.6 \times 10^{-19}} \approx 261.6 \, N/C$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $260 \, N/C$ है।

(C) विद्युत क्षेत्र $E$ में इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल $F_e = eE$ है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$m_e a_e = eE$,इसलिए $a_e = \frac{eE}{m_e}$।
उसी विद्युत क्षेत्र $E$ में प्रोटॉन पर लगने वाला बल $F_p = eE$ है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$m_p a_p = eE$,इसलिए $a_p = \frac{eE}{m_p}$।
इलेक्ट्रॉन के त्वरण और प्रोटॉन के त्वरण का अनुपात लेने पर:
$\frac{a_e}{a_p} = \frac{eE/m_e}{eE/m_p} = \frac{m_p}{m_e}$।

(C) जब एक आवेशित कण अपनी गति की दिशा के लंबवत एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में प्रवेश करता है,तो वह $F = qE$ बल का अनुभव करता है,जिसके परिणामस्वरूप $a = \frac{qE}{m}$ का त्वरण उत्पन्न होता है।
मान लीजिए कि कण $v$ वेग के साथ प्रवेश करता है और $x$ क्षैतिज दूरी तय करता है,तो लिया गया समय $t = \frac{x}{v}$ है।
ऊर्ध्वाधर विक्षेपण $y$ को $y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) \left( \frac{x}{v} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $y \propto \frac{q}{m}$ है,इसलिए जिस कण का ऊर्ध्वाधर विक्षेपण सबसे अधिक होता है,उसका आवेश-द्रव्यमान अनुपात सबसे अधिक होता है।
चित्र में,कण $(3)$ अधिकतम विक्षेपण दिखाता है,इसलिए कण $(3)$ का आवेश-द्रव्यमान अनुपात सबसे अधिक है।

(A) इलेक्ट्रॉन विद्युत क्षेत्र के लंबवत प्रवेश करता है। क्षैतिज दिशा में कोई बल न होने के कारण क्षैतिज वेग $u$ स्थिर रहता है।
$x$ क्षैतिज दूरी तय करने में लगा समय $t = \frac{x}{u}$ है।
इलेक्ट्रॉन पर कार्य करने वाला विद्युत बल $F = qE$ है,इसलिए ऊर्ध्वाधर त्वरण $a = \frac{qE}{m}$ है।
ऊर्ध्वाधर विचलन $y = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{qE}{m} \right) \left( \frac{x}{u} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $E = 3200 \ V/m$,$x = 0.10 \ m$,$u = 4 \times 10^7 \ m/s$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$.
मान रखने पर:
$y = \frac{1}{2} \times \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 3200}{9.1 \times 10^{-31}} \times \frac{(0.1)^2}{(4 \times 10^7)^2}$
$y \approx 1.76 \ mm$.