Electric Field Questions in Hindi

(D) विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $(E)$,विभव $(V)$ और दूरी $(x)$ के बीच का संबंध निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $E = -\frac{dV}{dx}$.
यहाँ,$dV$ विभव में परिवर्तन है जिसे $Volt$ $(V)$ में मापा जाता है और $dx$ दूरी में परिवर्तन है जिसे $metre$ $(m)$ में मापा जाता है।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का मात्रक $Volt/metre$ $(V/m)$ है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) विद्युत क्षेत्र $E$ को प्रति इकाई आवेश पर लगने वाले बल के रूप में परिभाषित किया जाता है,इसलिए इसका $SI$ मात्रक $N C^{-1}$ है।
विभवांतर $V$ को प्रति इकाई आवेश किए गए कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है $(V = W/q)$,इसलिए इसका मात्रक $J C^{-1}$ है।
विद्युत क्षेत्र को विभव प्रवणता के रूप में भी परिभाषित किया जाता है,$E = -dV/dr$,जो $V m^{-1}$ मात्रक देता है।
$V m^{-1}$ में $V = J C^{-1}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $J C^{-1} m^{-1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$N C^{-1}$,$V m^{-1}$,और $J C^{-1} m^{-1}$ सभी विद्युत क्षेत्र के मान्य मात्रक हैं।
$J C^{-1}$ विद्युत विभव का मात्रक है,विद्युत क्षेत्र का नहीं।

(C) विद्युत क्षेत्र रेखाएं किसी भी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की दिशा को दर्शाती हैं।
एक धनात्मक बिंदु आवेश के लिए,विद्युत क्षेत्र रेखाएं आवेश से उत्पन्न होती हैं और त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर इंगित करती हैं।
एक ऋणात्मक बिंदु आवेश के लिए,विद्युत क्षेत्र रेखाएं आवेश पर समाप्त होती हैं और त्रिज्यीय रूप से अंदर की ओर इंगित करती हैं।
इसलिए,एक ऋणात्मक बिंदु आवेश के चारों ओर विद्युत बल रेखाएं त्रिज्यीय और अंदर की ओर होती हैं।

(B) मान लीजिए कि $r$ प्रत्येक शीर्ष से समबाहु त्रिभुज के केंद्र तक की दूरी है।
केंद्र पर विद्युत विभव $V$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विभवों का अदिश योग है:
$V = V_{2q} + V_{-q} + V_{-q} = \frac{k(2q)}{r} + \frac{k(-q)}{r} + \frac{k(-q)}{r} = \frac{k}{r}(2q - q - q) = 0$.
केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ व्यक्तिगत आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग है। चूंकि आवेश परिमाण में समान नहीं हैं और इस तरह से सममित रूप से स्थित नहीं हैं कि उनके सदिश एक-दूसरे को निरस्त कर दें,इसलिए केंद्र पर परिणामी विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ शून्य नहीं है।
अतः,क्षेत्र शून्य नहीं है लेकिन विभव शून्य है।

(C) $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि त्रिभुज $ABC$ समबाहु है और प्रत्येक कोने पर समान आवेश $(+q)$ हैं,इसलिए प्रत्येक कोने से केंद्र $O$ तक की दूरी समान $(r)$ है।
अतः,प्रत्येक आवेश के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E_A = E_B = E_C = E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2}$ होगा।
ये तीनों विद्युत क्षेत्र सदिश आवेशों से दूर (कोनों से बाहर की ओर) निर्देशित हैं और एक-दूसरे से $120^\circ$ के कोण पर स्थित हैं।
अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार,$O$ पर कुल विद्युत क्षेत्र सदिश योग है: $\vec{E}_{net} = \vec{E}_A + \vec{E}_B + \vec{E}_C$.
चूंकि सदिश परिमाण में समान हैं और $120^\circ$ पर सममित रूप से वितरित हैं,इसलिए उनका परिणामी शून्य होता है।
अतः,$O$ पर विद्युत तीव्रता शून्य है।

(B) $e$ आवेश वाले इलेक्ट्रॉन पर $E$ विद्युत क्षेत्र में लगने वाला विद्युत बल $F_e = eE$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,यह विद्युत बल इलेक्ट्रॉन के भार के बराबर होना चाहिए,जो कि $F_g = mg$ है,जहाँ $m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इन दोनों बलों को बराबर रखने पर: $eE = mg$ प्राप्त होता है।
विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ के लिए हल करने पर,हमें मिलता है: $E = \frac{mg}{e}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) आवेशित गोले की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q}{r^2} = 9 \times 10^9 \frac{q}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$E = 3 \times 10^6 \ V/m$ और व्यास $d = 5 \ m$,इसलिए त्रिज्या $r = 2.5 \ m$ है।
मान रखने पर:
$3 \times 10^6 = 9 \times 10^9 \times \frac{q}{(2.5)^2}$
$q = \frac{3 \times 10^6 \times 6.25}{9 \times 10^9}$
$q = \frac{18.75 \times 10^6}{9 \times 10^9} = 2.0833 \times 10^{-3} \ C$.
चूंकि इस क्षेत्र की तीव्रता पर इन्सुलेशन टूट जाता है,इसलिए अधिकतम आवेश $q$ लगभग $2 \times 10^{-3} \ C$ होना चाहिए।

(A) मान लीजिए कि दो आवेश $Q_1 = 25\,\mu C$ और $Q_2 = 36\,\mu C$ हैं,जो $x = 11\,cm$ की दूरी पर स्थित हैं।
मान लीजिए कि बिंदु $N$,$Q_1$ से $x_1$ दूरी पर है जहाँ विद्युत क्षेत्र की तीव्रता शून्य है।
बिंदु $N$ पर,$Q_1$ के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण $(E_1)$,$Q_2$ के कारण विद्युत क्षेत्र के परिमाण $(E_2)$ के बराबर होना चाहिए।
$|E_1| = |E_2|$
$\frac{k Q_1}{x_1^2} = \frac{k Q_2}{(x - x_1)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{\sqrt{Q_1}}{x_1} = \frac{\sqrt{Q_2}}{x - x_1}$
$x_1 = \frac{x \sqrt{Q_1}}{\sqrt{Q_1} + \sqrt{Q_2}}$
मान रखने पर:
$x_1 = \frac{11 \times \sqrt{25}}{\sqrt{25} + \sqrt{36}} = \frac{11 \times 5}{5 + 6} = \frac{55}{11} = 5\,cm$.
अतः,$25\,\mu C$ आवेश से $5\,cm$ की दूरी पर विद्युत क्षेत्र शून्य होगा।

(C) आवेश $q$ के संतुलन में रहने के लिए, उस पर लगने वाला कुल स्थिर वैद्युत बल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि आवेश $q$ को आवेश $Q_2 = +e$ से $x_2$ दूरी पर रखा गया है।
तब आवेश $Q_1 = +4e$ से इसकी दूरी $x_1 = x - x_2$ होगी।
संतुलन के लिए, $Q_1$ के कारण लगने वाले बल का परिमाण और $Q_2$ के कारण लगने वाले बल का परिमाण बराबर होना चाहिए:
$|F_1| = |F_2|$
$\frac{k \cdot q \cdot e}{x_2^2} = \frac{k \cdot q \cdot 4e}{(x - x_2)^2}$
$\frac{1}{x_2^2} = \frac{4}{(x - x_2)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{x_2} = \frac{2}{x - x_2}$
$x - x_2 = 2x_2$
$x = 3x_2$
$x_2 = x/3$
अतः, आवेश $q$ को $+e$ आवेश से $x/3$ की दूरी पर रखा जाना चाहिए।

(D) मान लीजिए कि आवेश $A$ और $B$ बिंदुओं पर $x$ दूरी पर स्थित हैं। $A$ (जहाँ $Q$ है) पर विद्युत क्षेत्र $B$ पर स्थित $-3Q$ आवेश के कारण है।
$E = \frac{k| -3Q |}{x^2} = \frac{3kQ}{x^2}$.
अब,$B$ (जहाँ $-3Q$ है) पर विद्युत क्षेत्र $A$ पर स्थित $Q$ आवेश के कारण है।
$E' = \frac{k|Q|}{x^2} = \frac{kQ}{x^2}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $E' = \frac{E}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि दोनों क्षेत्र $AB$ रेखा की दिशा में हैं,इसलिए इसका परिमाण $E/3$ होगा।

(C) गोलाकार चालक की सतह पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2}$ है,जहाँ $Q = ne$ कुल आवेश है।
$Q = ne$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{ne}{r^2}$ प्राप्त होता है।
$n$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$n = \frac{E r^2}{e} \cdot (4\pi\varepsilon_0) = \frac{E r^2}{k e}$,जहाँ $k = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$ है।
दिया गया है: $E = 0.036\,N/C$,$r = 0.1\,m$,और $e = 1.6 \times 10^{-19}\,C$।
मान रखने पर: $n = \frac{0.036 \times (0.1)^2}{9 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-19}}$।
$n = \frac{0.036 \times 0.01}{14.4 \times 10^{-10}} = \frac{0.00036}{14.4 \times 10^{-10}} = \frac{3.6 \times 10^{-4}}{14.4 \times 10^{-10}} = 0.25 \times 10^6 = 2.5 \times 10^5$।

(D) एक समान विद्युत क्षेत्र $E$ में आवेश $q$ को ले जाने में किया गया कार्य $W$ का सूत्र $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = q\vec{E} \cdot \vec{d} = qEd \cos \theta$ है,जहाँ $\theta$ विद्युत क्षेत्र और विस्थापन सदिश के बीच का कोण है।
यहाँ,$q = 0.2\,C$,$d = 2\,m$,$\theta = 60^\circ$,और $W = 4.0\,J$ है।
मान रखने पर:
$4.0 = 0.2 \times E \times 2 \times \cos(60^\circ)$
$4.0 = 0.2 \times E \times 2 \times 0.5$
$4.0 = 0.2 \times E$
$E = \frac{4.0}{0.2} = 20\,N/C$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
ड्यूटेरॉन के लिए,आवेश $q = e = 1.6 \times 10^{-19}\,\text{C}$ है।
दूरी $r = 1\,\mathring{A} = 10^{-10}\,\text{m}$ है।
मान रखने पर:
$E = \frac{9 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-19}}{(10^{-10})^2}$
$E = \frac{9 \times 1.6 \times 10^{-10}}{10^{-20}}$
$E = 14.4 \times 10^{10}\,\text{N/C} = 1.44 \times 10^{11}\,\text{N/C}$.

(A) एक बिंदु आवेश के लिए,$r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kQ}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
उसी दूरी $r$ पर विद्युत विभव $V = \frac{kQ}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
विभव के व्यंजक को विद्युत क्षेत्र के व्यंजक से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{V}{E} = \frac{kQ/r}{kQ/r^2} = r$.
यहाँ $V = 3000\,V$ और $E = 500\,V/m$ दिया गया है,इसलिए:
$r = \frac{3000}{500} = 6\,m$.
अतः,दूरी $6\,m$ है।

(D) बिंदु आवेश $q$ द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र है:
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2}$
दिया गया है:
आवेश $q = 1.6 \times {10^{ - 19}} \ C$
दूरी $r = {10^{ - 10}} \ m$
कूलम्ब नियतांक $k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times {10^9} \ N \cdot m^2/C^2$
मान रखने पर:
$E = (9 \times {10^9}) \times \frac{1.6 \times {10^{ - 19}}}{({10^{ - 10}})^2}$
$E = 9 \times 1.6 \times {10^9} \times {10^{ - 19}} \times {10^{20}}$
$E = 14.4 \times {10^{10}} \ N/C$
$E = 1.44 \times {10^{11}} \ N/C$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) $r$ दूरी पर एक बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र है: $E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2}$.
दिया गया है: $E = 2\,N/C$,$r = 30\,cm = 0.3\,m$,और $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9\,N\cdot m^2/C^2$.
$q$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $q = E \cdot r^2 \cdot (4\pi \varepsilon_0) = \frac{E \cdot r^2}{1/(4\pi \varepsilon_0)}$.
मान रखने पर: $q = \frac{2 \times (0.3)^2}{9 \times 10^9} = \frac{2 \times 0.09}{9 \times 10^9} = \frac{0.18}{9 \times 10^9} = 0.02 \times 10^{-9}\,C = 2 \times 10^{-11}\,C$.

(C) मान लीजिए कि आवेशों $+q$ और $-q$ के बीच की दूरी $2r$ है। मध्य बिंदु $O$ प्रत्येक आवेश से $r$ दूरी पर है।
$1$. विद्युत विभव $(V)$: बिंदु $O$ पर विभव दोनों आवेशों के कारण उत्पन्न विभवों का बीजगणितीय योग है।
$V = V_+ + V_- = \frac{kq}{r} + \frac{k(-q)}{r} = 0$.
$2$. विद्युत क्षेत्र $(E)$: $+q$ के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र $+q$ से दूर (दाईं ओर) निर्देशित है,और $-q$ के कारण $O$ पर विद्युत क्षेत्र $-q$ की ओर (यह भी दाईं ओर) निर्देशित है।
चूंकि दोनों क्षेत्र एक ही दिशा में हैं,इसलिए वे जुड़ जाते हैं:
$E = E_+ + E_- = \frac{kq}{r^2} + \frac{kq}{r^2} = \frac{2kq}{r^2} \neq 0$.
अतः,विद्युत क्षेत्र शून्य नहीं है,लेकिन विभव शून्य है।

(C) दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{a^2}$ द्वारा दिया जाता है।
माना $k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0}$. बिंदु $A$ पर आवेश के कारण $C$ पर विद्युत क्षेत्र का परिमाण $E_A = k \frac{q}{a^2}$ है और $B$ पर आवेश के कारण $E_B = k \frac{q}{a^2}$ है।
चूंकि $ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है,इसलिए सदिशों $\vec{E}_A$ और $\vec{E}_B$ के बीच का कोण $60^\circ$ है।
परिणामी विद्युत क्षेत्र $E_{net}$ का परिमाण सदिश योग सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$E_{net} = \sqrt{E_A^2 + E_B^2 + 2E_A E_B \cos 60^\circ}$
$E_A = E_B = E$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E_{net} = \sqrt{E^2 + E^2 + 2E^2 \cos 60^\circ} = \sqrt{2E^2 + 2E^2(0.5)} = \sqrt{3E^2} = E\sqrt{3}$
$E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q}{a^2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E_{net} = \frac{\sqrt{3} q}{4\pi \varepsilon_0 a^2}$

(A) किसी बिंदु पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $(E)$ को उस बिंदु पर रखे गए इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश $(q_0)$ पर लगने वाले बल $(F)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे सूत्र द्वारा दिया जाता है: $E = \frac{F}{q_0}$।
बल $(F)$ का $SI$ मात्रक $Newton$ $(N)$ है और आवेश $(q_0)$ का $SI$ मात्रक $Coulomb$ $(C)$ है।
अतः,विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का मात्रक $Newton/Coulomb$ $(N/C)$ है।

(C) माना वर्ग की भुजा $a = 5 \times 10^{-2} \, m$ है। प्रत्येक कोने से केंद्र $O$ तक की दूरी $r = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{r^2}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए आवेशों के कारण केंद्र पर परिणामी विद्युत क्षेत्र सदिश योग द्वारा प्राप्त करने पर:
$E_{net} = \frac{kq}{r^2} \times \sqrt{2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10^{-6} \times \sqrt{2}}{(5 \times 10^{-2} / \sqrt{2})^2} = 2.04 \times 10^7 \, N/C$ (ऊपर की ओर)।

(C) माना कि उदासीन बिंदु $20\,\mu C$ के आवेश से $x$ (सेमी में) की दूरी पर स्थित है।
उदासीन बिंदु पर दोनों आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण समान होना चाहिए।
$E = \frac{kq}{r^2}$ सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{k \cdot 20 \times 10^{-6}}{x^2} = \frac{k \cdot 80 \times 10^{-6}}{(10 - x)^2}$
$\frac{20}{x^2} = \frac{80}{(10 - x)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{\sqrt{20}}{x} = \frac{\sqrt{80}}{10 - x}$
$\frac{1}{x} = \frac{2}{10 - x}$
$10 - x = 2x$
$3x = 10$
$x = \frac{10}{3} \approx 3.33\,cm$
मीटर में बदलने पर: $x = 0.033\,m$.

(A) बिंदु आवेश $Q$ द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र है: $E = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2}$.
दिए गए मान हैं $E = 2 \, N/C$,$r = 60 \, cm = 0.6 \, m$,और $k = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$2 = (9 \times 10^9) \cdot \frac{Q}{(0.6)^2}$
$2 = (9 \times 10^9) \cdot \frac{Q}{0.36}$
$Q = \frac{2 \times 0.36}{9 \times 10^9}$
$Q = \frac{0.72}{9 \times 10^9} = 0.08 \times 10^{-9} \, C = 8 \times 10^{-11} \, C$।
अतः,बिंदु आवेश का परिमाण $8 \times 10^{-11} \, C$ है।

(D) बिंदु आवेश $Q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र है: $E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2}$।
दिए गए मान हैं: $E = 500\, N/C$,$r = 3\, m$,और $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9\, N\cdot m^2/C^2$।
सूत्र में मान रखने पर:
$500 = (9 \times 10^9) \cdot \frac{Q}{3^2}$
$500 = (9 \times 10^9) \cdot \frac{Q}{9}$
$500 = 10^9 \cdot Q$
$Q = \frac{500}{10^9} = 5 \times 10^{-7}\, C$।
इसे माइक्रोकुलम्ब $(\mu C)$ में बदलने के लिए $10^6$ से गुणा करने पर:
$Q = 5 \times 10^{-7} \times 10^6\, \mu C = 0.5\, \mu C$।

(A) बिंदु आवेश $Q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र है: $E = \frac{kQ}{r^2}$,जहाँ $k = 9 \times 10^9\, N\cdot m^2/C^2$ है।
दिया गया है:
$Q = 5\, \mu C = 5 \times 10^{-6}\, C$
$r = 80\, cm = 0.8\, m$
मान रखने पर:
$E = \frac{9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-6}}{(0.8)^2}$
$E = \frac{45 \times 10^3}{0.64}$
$E = 70.3125 \times 10^3\, N/C$
$E \approx 7.03 \times 10^4\, N/C$.

(B) मान लीजिए कि शीर्षों $A$,$B$ और $C$ पर आवेश $q$ हैं। कर्ण $BC$ का मध्य-बिंदु $M$,$B$ और $C$ से समान दूरी पर है।
मान लीजिए $\vec{E_A}$,$\vec{E_B}$ और $\vec{E_C}$ क्रमशः $A$,$B$ और $C$ पर स्थित आवेशों के कारण $M$ पर विद्युत क्षेत्र हैं।
$B$ पर स्थित आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $\vec{E_B}$,$B$ से दूर $BM$ की दिशा में है,और $C$ पर स्थित आवेश के कारण $\vec{E_C}$,$C$ से दूर $MC$ की दिशा में है।
चूंकि $MB = MC$ और आवेश समान हैं,इसलिए $|\vec{E_B}| = |\vec{E_C}|$। ये दोनों सदिश परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त कर देते हैं $(\vec{E_B} + \vec{E_C} = 0)$।
अतः $M$ पर कुल विद्युत क्षेत्र $\vec{E_{net}} = \vec{E_A} + \vec{E_B} + \vec{E_C} = \vec{E_A}$ होगा।
क्षेत्र $\vec{E_A}$,$A$ पर स्थित आवेश से दूर $M$ की ओर निर्देशित है। दिए गए सदिश आरेख को देखने पर,यह दिशा सदिश $2$ के साथ मेल खाती है।

(A) मान लीजिए आवेश $q_A = +5\,\mu C$ और $q_B = +10\,\mu C$ बिंदु $A$ और $B$ पर रखे गए हैं,जिनके बीच की दूरी $d = 20\,cm = 0.2\,m$ है।
मध्य-बिंदु $M$ दोनों आवेशों से $r = 10\,cm = 0.1\,m$ की दूरी पर है।
$q_A$ के कारण $M$ पर विद्युत क्षेत्र $E_A$,$A$ से दूर ($B$ की ओर) निर्देशित है:
$E_A = \frac{k|q_A|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 5 \times 10^{-6}}{(0.1)^2} = 45 \times 10^5\,N/C = 4.5 \times 10^6\,N/C$.
$q_B$ के कारण $M$ पर विद्युत क्षेत्र $E_B$,$B$ से दूर ($A$ की ओर) निर्देशित है:
$E_B = \frac{k|q_B|}{r^2} = \frac{9 \times 10^9 \times 10 \times 10^{-6}}{(0.1)^2} = 90 \times 10^5\,N/C = 9.0 \times 10^6\,N/C$.
चूंकि $E_A$ और $E_B$ विपरीत दिशाओं में हैं,नेट विद्युत क्षेत्र $E_{net} = |E_B - E_A| = 9.0 \times 10^6 - 4.5 \times 10^6 = 4.5 \times 10^6\,N/C$.
चूंकि $E_B > E_A$,नेट क्षेत्र $E_B$ की दिशा में,यानी $+5\,\mu C$ आवेश की ओर होगा।

(C) मान लीजिए कि बिंदु $N$ पर विद्युत क्षेत्र शून्य है, जो आवेश $A$ $(Q_1 = 10 \, \mu C)$ से $x_1$ दूरी पर और आवेश $B$ $(Q_2 = 20 \, \mu C)$ से $x_2$ दूरी पर है।
कुल दूरी $x = x_1 + x_2 = 80 \, cm$ दी गई है।
बिंदु $N$ पर, $A$ और $B$ के कारण विद्युत क्षेत्र परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होना चाहिए:
$|E_A| = |E_B| \implies \frac{k Q_1}{x_1^2} = \frac{k Q_2}{x_2^2}$
$\frac{Q_1}{x_1^2} = \frac{Q_2}{(x - x_1)^2} \implies \frac{x - x_1}{x_1} = \sqrt{\frac{Q_2}{Q_1}}$
$\frac{x}{x_1} - 1 = \sqrt{\frac{20}{10}} = \sqrt{2} \approx 1.414$
$\frac{80}{x_1} = 1.414 + 1 = 2.414$
$x_1 = \frac{80}{2.414} \approx 33.14 \, cm$.

(B) एक नियमित षट्कोण के केंद्र पर एक शीर्ष पर स्थित आवेश $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ शीर्ष से केंद्र तक की दूरी है।
केंद्र पर विद्युत क्षेत्र के शून्य होने के लिए,सभी व्यक्तिगत आवेशों द्वारा उत्पन्न विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग शून्य होना चाहिए।
मामले $(1)$ में,सभी आवेश समान हैं,इसलिए विपरीत शीर्षों से उत्पन्न क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप $E_{net} = 0$ होता है।
मामले $(2)$ में,दो आवेश $q$ के बजाय $-q$ हैं। यह एक असंतुलित क्षेत्र बनाता है। विशेष रूप से,$-q$ आवेशों के कारण क्षेत्र आवेश की ओर निर्देशित होते हैं,जबकि $q$ आवेशों के कारण क्षेत्र आवेश से दूर निर्देशित होते हैं। इसके परिणामस्वरूप एक गैर-शून्य परिणामी विद्युत क्षेत्र $(E_{net} \neq 0)$ प्राप्त होता है।
मामले $(3)$ में,विपरीत शीर्षों पर समान आवेश ($2q, q, 2q$ एक तरफ और $2q, q, 2q$ दूसरी तरफ) हैं,इसलिए क्षेत्र एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं,जिसके परिणामस्वरूप $E_{net} = 0$ होता है।
मामले $(4)$ में,व्यवस्था इस प्रकार सममित है कि केंद्र पर विद्युत क्षेत्रों का सदिश योग शून्य होता है $(E_{net} = 0)$।
इसलिए,केवल मामले $(2)$ में केंद्र पर विद्युत क्षेत्र शून्य नहीं है।

(C) स्थिर वैद्युत संतुलन में एक धात्विक चालक के लिए,पूरा आयतन एक समविभव क्षेत्र होता है और चालक के भीतर विद्युत क्षेत्र शून्य होता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र रेखाएं चालक की सतह पर प्रत्येक बिंदु पर लंबवत होनी चाहिए,इसलिए सही कथन यह है कि विद्युत क्षेत्र घन की सतह के लंबवत है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) बिंदु आवेश $Q$ द्वारा $r$ दूरी पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र है: $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} = 9 \times 10^9 \frac{Q}{r^2}$.
दिया गया है: $E = 1\, N/C$ और $r = 0.1\, m$.
$Q$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $Q = \frac{E \times r^2}{9 \times 10^9}$.
मान रखने पर: $Q = \frac{1 \times (0.1)^2}{9 \times 10^9} = \frac{0.01}{9 \times 10^9} = \frac{1}{9} \times 10^{-11} = 0.111 \times 10^{-11} = 1.11 \times 10^{-12}\, C$.
अतः,आवेश का परिमाण $1.11 \times 10^{-12}\, C$ है।

(B) माना कि प्रत्येक कोने से केंद्र $O$ तक की दूरी $r$ है। $r$ दूरी पर स्थित आवेश $Q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E = kQ/r^2$ है। माना $E = kq/r^2$ है।
केंद्र $O$ पर:
$A$ पर स्थित $q$ आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E_A = E$ ($AO$ की दिशा में)।
$B$ पर स्थित $2q$ आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E_B = 2E$ ($BO$ की दिशा में)।
$C$ पर स्थित $3q$ आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E_C = 3E$ ($OC$ की दिशा में)।
$D$ पर स्थित $4q$ आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र $E_D = 4E$ ($OD$ की दिशा में)।
विकर्ण $AC$ के अनुदिश परिणामी क्षेत्र: $E_{AC} = E_C - E_A = 3E - E = 2E$ ($OC$ की दिशा में)।
विकर्ण $BD$ के अनुदिश परिणामी क्षेत्र: $E_{BD} = E_D - E_B = 4E - 2E = 2E$ ($OD$ की दिशा में)।
$90^{\circ}$ के कोण पर कार्य कर रहे दो समान क्षेत्रों $2E$ का परिणामी विद्युत क्षेत्र $E_{net}$,$OC$ और $OD$ के बीच के कोण के समद्विभाजक पर होगा। यह दिशा $O$ से $AB$ भुजा की ओर है,जो $CB$ के समानांतर है।

(A) $r$ दूरी पर स्थित $q$ आवेश के कारण मूल बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{kq}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} = 9 \times 10^9 \, N\cdot m^2/C^2$ है।
चूंकि सभी आवेश धनात्मक हैं और धनात्मक $X$-अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए मूल बिंदु पर सभी विद्युत क्षेत्र सदिश ऋणात्मक $X$-दिशा में होंगे।
कुल विद्युत क्षेत्र $E_{net}$ व्यक्तिगत क्षेत्रों का योग है:
$E_{net} = \sum \frac{kq}{x_i^2} = kq \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{8^2} + \dots \right)$
$E_{net} = kq \left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \dots \right)$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें पहला पद $a = 1$ और सामान्य अनुपात $r = \frac{1}{4}$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1 - r}$ होता है।
$S = \frac{1}{1 - 1/4} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
अतः,$E_{net} = (9 \times 10^9) \times q \times \frac{4}{3} = 12 \times 10^9 q \, N/C$.

(A) वर्ग के कोनों पर स्थित चार धनात्मक आवेश $(Q)$ $Z$-अक्ष पर केंद्र की ओर निर्देशित विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करते हैं।
$Z$-अक्ष पर $z$ की अल्प दूरी पर रखे गए ऋणात्मक आवेश $(-q)$ पर लगने वाला परिणामी स्थिर-विद्युत बल वर्गाकार फ्रेम के केंद्र की ओर होता है।
छोटे $z$ के लिए इस बल का परिमाण विस्थापन $z$ के समानुपाती होता है (अर्थात $F \propto -z$)।
यह एक प्रत्यानयन बल के रूप में कार्य करता है। जैसे ही ऋणात्मक आवेश केंद्र की ओर आकर्षित होता है, वह त्वरित होता है। जब वह केंद्र (फ्रेम के तल) पर पहुँचता है, तो परिणामी बल शून्य होता है, लेकिन अपने प्राप्त वेग (जड़त्व) के कारण, वह केंद्र को पार कर दूसरी तरफ चला जाता है।
इसके बाद प्रत्यानयन बल विपरीत दिशा में कार्य करता है, जो उसे धीमा कर देता है जब तक कि वह रुक न जाए और वापस न खिंच जाए।
इस प्रकार, ऋणात्मक आवेश फ्रेम के केंद्र के परितः $Z$-अक्ष के अनुदिश सरल आवर्त गति (दोलन) करता है।

(C) विद्युत क्षेत्र रेखाएं वे पथ हैं जिनके अनुदिश एक स्वतंत्र धनावेशित कण गति करता है।
चूंकि कण $(1, 0)$ पर स्थित है,जो समीकरण ${x^2} + {y^2} = 1$ को संतुष्ट करता है,इसलिए यह क्षेत्र रेखा पर स्थित है।
अतः,कण क्षेत्र रेखा के अनुदिश गति करेगा,जो कि एक वृत्त है।
सही विकल्प $C$ है।

(A) जब एक धनात्मक परीक्षण आवेश $q_0$ को एक धनावेशित गेंद के पास रखा जाता है, तो स्थिरवैद्युत प्रतिकर्षण के कारण गेंद पर आवेशों का पुनर्वितरण होता है।
विशेष रूप से, गेंद पर आवेश $q_0$ से दूर धकेल दिए जाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप $q_0$ के सामने वाले हिस्से पर आवेश घनत्व कम हो जाता है और विपरीत हिस्से पर आवेश घनत्व बढ़ जाता है।
चूंकि गेंद पर आवेश का वितरण बदल जाता है, इसलिए गेंद और परीक्षण आवेश $q_0$ के बीच का स्थिरवैद्युत बल $F$ उस बल की तुलना में कम हो जाता है जो तब होता यदि आवेश वितरण समान रहता।
चूंकि विद्युत क्षेत्र $E$ को उस सीमा में प्रति इकाई आवेश बल के रूप में परिभाषित किया गया है जहाँ $q_0$ शून्य की ओर जाता है $(E = \lim_{q_0 \to 0} F/q_0)$, इसलिए एक सीमित परीक्षण आवेश के साथ मापा गया $F/q_0$ का मान वास्तविक विद्युत क्षेत्र $E$ से कम होगा।
इसलिए, $E > F/q_0$.

(D) एक आवेशित गोले के लिए,केंद्र से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $\overrightarrow{E}$ और विद्युत विभव $V$ क्रमशः $E = \frac{kq}{r^2}$ और $V = \frac{kq}{r}$ द्वारा दिए जाते हैं।
चूंकि $E$ और $V$ दोनों केवल गोले के केंद्र से दूरी $r$ पर निर्भर करते हैं,यदि विद्युत क्षेत्रों के परिमाण समान हैं $(|\overrightarrow{E}_1| = |\overrightarrow{E}_2|)$,तो केंद्र से बिंदुओं की दूरियां समान होनी चाहिए $(r_1 = r_2)$।
यदि $r_1 = r_2$ है,तो इन बिंदुओं पर विभव भी समान होने चाहिए $(V_1 = V_2)$।
इसलिए,यह असंभव है कि दो बिंदुओं पर विद्युत क्षेत्रों के परिमाण समान हों जबकि उन्हीं बिंदुओं पर विद्युत विभव अलग-अलग हों।
अतः,विकल्प $(d)$ संभव नहीं है।

(C) मूल बिंदु पर $r$ दूरी पर स्थित बिंदु आवेश $q$ के कारण विद्युत क्षेत्र $E = k \frac{q}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ है।
चूंकि आवेशों के चिह्न एकांतर हैं,इसलिए $x = 0$ पर विद्युत क्षेत्र:
$E = k \cdot q \left[ \frac{1}{(1 \times 10^{-2})^2} - \frac{1}{(2 \times 10^{-2})^2} + \frac{1}{(4 \times 10^{-2})^2} - \frac{1}{(8 \times 10^{-2})^2} + \dots \right]$
$E = (9 \times 10^9) \times (5 \times 10^{-9}) \times 10^4 \left[ 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64} + \dots \right]$
$E = 45 \times 10^4 \left[ 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64} + \dots \right]$
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = -1/4$ है।
योग $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - (-1/4)} = \frac{1}{5/4} = \frac{4}{5}$.
$E = 45 \times 10^4 \times \frac{4}{5} = 9 \times 10^4 \times 4 = 36 \times 10^4 \, N/C$.

(B) मान लीजिए कि मूल बिंदु से ऋणात्मक $X$-अक्ष पर $d$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र शून्य है। बिंदु $P$ की $+Q$ आवेश से दूरी $(a + d)$ है और $-2Q$ आवेश से दूरी $(2a + d)$ है।
बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र शून्य होने के लिए,दोनों आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण समान होना चाहिए:
$\frac{kQ}{(a + d)^2} = \frac{k(2Q)}{(2a + d)^2}$
$\frac{1}{(a + d)^2} = \frac{2}{(2a + d)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{a + d} = \frac{\sqrt{2}}{2a + d}$
$2a + d = \sqrt{2}(a + d)$
$2a + d = \sqrt{2}a + \sqrt{2}d$
$d(\sqrt{2} - 1) = a(2 - \sqrt{2})$
$d = \frac{a(2 - \sqrt{2})}{\sqrt{2} - 1} = \frac{a\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2}a$
चूंकि बिंदु $P$ ऋणात्मक $X$-अक्ष पर है,इसलिए इसका निर्देशांक $x = -\sqrt{2}a$ होगा।

(C) मान लीजिए कि दो समान आवेश $q$, $x$-अक्ष पर $0$ और $d$ स्थितियों पर स्थित हैं।
पहले आवेश से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E$ का मान है:
$E = \frac{kq}{x^2} - \frac{kq}{(d-x)^2}$
मध्य बिंदु $x = d/2$ पर, $E = \frac{kq}{(d/2)^2} - \frac{kq}{(d/2)^2} = 0$ होता है।
$x < d/2$ के लिए, पहला पद $\frac{kq}{x^2}$ दूसरे पद $\frac{kq}{(d-x)^2}$ से बड़ा है, इसलिए $E$ धनात्मक है।
$x > d/2$ के लिए, दूसरा पद बड़ा है, इसलिए $E$ ऋणात्मक है।
जैसे $x \to 0$, $E \to \infty$। जैसे $x \to d$, $E \to -\infty$।
जो वक्र $x = d/2$ पर शून्य की ओर घटते हुए धनात्मक मान को दर्शाता है और फिर ऋणात्मक होकर और घटता है, उसे विकल्प $C$ में दिखाए गए ग्राफ द्वारा दर्शाया गया है।

(B) दो समानांतर प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E$ को सूत्र $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ विभवांतर है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
दिया गया है:
विभवांतर $V = 250 \, V$
दूरी $d = 2.5 \, cm = 2.5 \times 10^{-2} \, m$
मान रखने पर:
$E = \frac{250}{2.5 \times 10^{-2}}$
$E = \frac{250}{0.025} = 10000 \, V/m$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) मान लीजिए कि ऋणावेशित कण $P$ पर है,जहाँ $OP = Z_0$ है।
रिंग के कारण $P$ पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q Z_0}{(R^2 + Z_0^2)^{3/2}}$ है,जहाँ $Q$ रिंग पर आवेश है।
चूंकि रिंग धनावेशित है,इसलिए $E$ हमेशा $O$ से दूर की दिशा में होता है।
परिणामस्वरूप,एक ऋणावेशित कण पर $O$ की ओर आकर्षण बल लगता है और वह आवर्ती गति करता है।
गति का समीकरण $ma = -\frac{q Q Z_0}{4 \pi \epsilon_0 (R^2 + Z_0^2)^{3/2}}$ है।
जब $Z_0 \ll R$ होता है,तो समीकरण $ma \approx -\frac{Q q Z_0}{4 \pi \epsilon_0 R^3}$ हो जाता है। यहाँ त्वरण $a$,विस्थापन $Z_0$ के समानुपाती और $O$ की ओर होता है,इसलिए कण अनुमानित सरल आवर्त गति $(SHM)$ करता है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र हमेशा $O$ से दूर की ओर होता है,इसलिए जब कण $P$,$O$ को पार करता है,तो उस पर विपरीत दिशा में आकर्षण बल लगता है,जिससे वह $Z = -\infty$ की ओर जाने के बजाय दोलन करता है।

(B) अनंत लंबाई के तार जिसका रैखिक आवेश घनत्व $\lambda_1$ है,उसके द्वारा $R$ दूरी पर उत्पन्न विद्युत क्षेत्र $E = \frac{\lambda_1}{2\pi\epsilon_0 R}$ द्वारा दिया जाता है।
इस विद्युत क्षेत्र में रखे गए दूसरे तार (जिसका रैखिक आवेश घनत्व $\lambda_2$ है) पर प्रति इकाई लंबाई बल $f = \lambda_2 E$ होता है।
$E$ का मान रखने पर:
$f = \lambda_2 \left( \frac{\lambda_1}{2\pi\epsilon_0 R} \right) = \frac{\lambda_1\lambda_2}{2\pi\epsilon_0 R}$.
हम जानते हैं कि $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$,इसलिए $2k = \frac{2}{4\pi\epsilon_0} = \frac{1}{2\pi\epsilon_0}$.
अतः,$f = \frac{2k\lambda_1\lambda_2}{R}$.

(D) निर्वात में विद्युत क्षेत्र $(E)$ का ऊर्जा घनत्व $(u)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2$
जहाँ:
$u$ ऊर्जा घनत्व (प्रति इकाई आयतन ऊर्जा) है,
$\epsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है,
$E$ विद्युत क्षेत्र का परिमाण है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि ऊर्जा घनत्व $u$,विद्युत क्षेत्र के परिमाण के वर्ग $(E^2)$ के सीधे समानुपाती होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) मान लीजिए कि वर्ग के शीर्ष $A, B, C,$ और $D$ हैं,जहाँ प्रत्येक कोने पर समान आवेश $q$ रखा गया है।
मान लीजिए कि वर्ग का केंद्र $O$ है।
प्रत्येक कोने से केंद्र $O$ तक की दूरी समान है,मान लीजिए $r$ है।
कोने $A$ पर स्थित आवेश के कारण केंद्र $O$ पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $\vec{E}_A$ है,जो विकर्ण $AC$ के अनुदिश $A$ से दूर की दिशा में है।
इसी प्रकार,विपरीत कोने $C$ पर स्थित आवेश के कारण विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $\vec{E}_C$ है,जो विकर्ण $AC$ के अनुदिश $C$ से दूर की दिशा में है।
चूँकि आवेश समान हैं और दूरियाँ बराबर हैं,इसलिए परिमाण समान हैं: $|\vec{E}_A| = |\vec{E}_C| = E$।
चूँकि वे विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं,इसलिए $\vec{E}_A + \vec{E}_C = 0$।
इसी प्रकार,कोनों $B$ और $D$ पर स्थित आवेशों के लिए,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_B$ और $\vec{E}_D$ परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं,इसलिए $\vec{E}_B + \vec{E}_D = 0$।
केंद्र पर परिणामी विद्युत क्षेत्र $\vec{E}_{net} = \vec{E}_A + \vec{E}_B + \vec{E}_C + \vec{E}_D = 0$ होगा।

(C) विद्युत क्षेत्र रेखाओं का घनत्व विद्युत क्षेत्र की प्रबलता या परिमाण के बारे में जानकारी प्रदान करता है।
रेखाओं का अधिक घनत्व एक मजबूत विद्युत क्षेत्र को इंगित करता है,जबकि कम घनत्व एक कमजोर क्षेत्र को दर्शाता है।
दिए गए चित्र में,बिंदु $A$ और $C$ पर क्षेत्र रेखाओं का घनत्व समान है और यह बिंदु $B$ पर घनत्व से अधिक है।
इसलिए,$A$ और $C$ पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता समान है और दोनों $B$ पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता से अधिक हैं।
अतः,$E_A = E_C > E_B$।

(B) विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $E$ को किसी बिंदु पर प्रति इकाई आवेश $q$ पर लगने वाले बल $F$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
आवेश $q = 500 \,\mu C = 500 \times 10^{-6} \,C$
बल $F = 562.5 \,N$
सूत्र $E = \frac{F}{q}$ का उपयोग करने पर:
$E = \frac{562.5}{500 \times 10^{-6}}$
$E = \frac{562.5}{5 \times 10^{-4}}$
$E = 112.5 \times 10^4 \,N/C$
$E = 1.125 \times 10^6 \,N/C$
अतः, सतह पर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता $1.125 \times 10^6 \,N/C$ है।

(C) संतुलन के लिए,विद्युत बल को गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए: $QE = mg$ ... $(1)$
यहाँ,$Q = e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,$g = 10 \, m/s^2$,और द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$.
दिया गया है कि $r = 0.1 \, \mu m = 10^{-7} \, m$ और पानी का घनत्व $\rho = 1000 \, kg/m^3$.
$m = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (10^{-7})^3 \times 1000 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 10^{-21} \times 10^3 = 4.187 \times 10^{-18} \, kg$.
समीकरण $(1)$ में मान रखने पर:
$E = \frac{mg}{Q} = \frac{4.187 \times 10^{-18} \times 10}{1.6 \times 10^{-19}} = \frac{4.187 \times 10^{-17}}{1.6 \times 10^{-19}} = 2.617 \times 10^2 \approx 262 \, N/C$.

(C) $R$ त्रिज्या की आवेशित वलय की अक्ष पर उसके केंद्र से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $E$ का सूत्र इस प्रकार है:
$E = \frac{kQx}{(R^2 + x^2)^{3/2}}$
ज्यामिति के अनुसार,वलय की परिधि से बिंदु तक की दूरी $r$,त्रिज्या $R$ और अक्षीय दूरी $x$ के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाती है। अतः,$r^2 = R^2 + x^2$,जिसका अर्थ है $x = (r^2 - R^2)^{1/2}$।
इस मान को विद्युत क्षेत्र के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{kQ(r^2 - R^2)^{1/2}}{(r^2)^{3/2}}$
$E = \frac{kQ(r^2 - R^2)^{1/2}}{r^3}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) मान लीजिए कि $Q_1 = 10 \, \mu C$ और $Q_2 = 20 \, \mu C$ आवेशों के बीच $x = 80 \, cm$ की दूरी पर स्थित बिंदु $N$ पर विद्युत क्षेत्र शून्य है।
बिंदु $N$ पर,दोनों आवेशों के कारण विद्युत क्षेत्र का परिमाण समान होना चाहिए: $|E_1| = |E_2|$.
$\frac{k Q_1}{x_1^2} = \frac{k Q_2}{(x - x_1)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{\sqrt{Q_1}}{x_1} = \frac{\sqrt{Q_2}}{x - x_1}$
$x - x_1 = x_1 \sqrt{\frac{Q_2}{Q_1}}$
$x = x_1 (1 + \sqrt{\frac{Q_2}{Q_1}})$
$x_1 = \frac{x}{1 + \sqrt{\frac{Q_2}{Q_1}}} = \frac{80}{1 + \sqrt{\frac{20}{10}}} = \frac{80}{1 + \sqrt{2}} = \frac{80}{1 + 1.414} = \frac{80}{2.414} \approx 33.14 \, cm$.
चूंकि $33.14 \, cm$ सटीक रूप से $33 \, cm$ नहीं है और अन्य कोई विकल्प मेल नहीं खाता है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) विद्युत क्षेत्र द्वारा आवेश $Q$ पर किया गया कार्य $W$,बल $\vec{F}$ और विस्थापन $\vec{r}$ के अदिश गुणनफल (dot product) द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\vec{F} = Q\vec{E}$,इसलिए $W = \vec{F} \cdot \vec{r} = Q(\vec{E} \cdot \vec{r})$ है।
यहाँ $\vec{E} = e_1 \hat{i} + e_2 \hat{j} + e_3 \hat{k}$ और $\vec{r} = a \hat{i} + b \hat{j}$ दिया गया है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल:
$\vec{E} \cdot \vec{r} = (e_1 \hat{i} + e_2 \hat{j} + e_3 \hat{k}) \cdot (a \hat{i} + b \hat{j} + 0 \hat{k}) = a e_1 + b e_2$ होगा।
अतः,किया गया कार्य $W = Q(ae_1 + be_2)$ है।