Integration by substitution Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $t = \cos^{-1} x$.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dt = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = -dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{1}{(\cos^{-1} x) \sqrt{1 - x^2}} dx = \int \frac{1}{t} (-dt) = -\int \frac{1}{t} dt$.
સંકલન કરતા,આપણને $-\log|t| + c$ મળે છે.
$t = \cos^{-1} x$ પાછું મૂકતા,પરિણામ $-\log(\cos^{-1} x) + c$ મળે છે.

(B) સૌથી સરળ રીત $3x^2 + 5 = t$ આદેશ લેવાની છે.
ધારો કે $t = 3x^2 + 5$. તેથી $dt = 6x dx$,જેનો અર્થ છે કે $x dx = \frac{dt}{6}$.
વળી,$x^2 = \frac{t - 5}{3}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int x^3 e^{3x^2 + 5} dx = \int x^2 \cdot e^{3x^2 + 5} \cdot x dx = \int \left( \frac{t - 5}{3} \right) e^t \cdot \frac{dt}{6} = \frac{1}{18} \int (t - 5) e^t dt$.
$= \frac{1}{18} \left[ \int t e^t dt - 5 \int e^t dt \right] = \frac{1}{18} [ (t e^t - e^t) - 5 e^t ] + c = \frac{1}{18} (t e^t - 6 e^t) + c$.
$t = 3x^2 + 5$ પાછું મૂકતા:
$= \frac{1}{18} (3x^2 + 5) e^{3x^2 + 5} - \frac{6}{18} e^{3x^2 + 5} + c = \frac{1}{18} (3x^2 + 5) e^{3x^2 + 5} - \frac{1}{3} e^{3x^2 + 5} + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\sec^2 x}{(1 + \tan x)(2 + \tan x)} \, dx$.
સંકલનને સરળ બનાવવા માટે,આપણે $\tan x = t$ આદેશનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\sec^2 x \, dx = dt$ મળે છે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int \frac{dt}{(1 + t)(2 + t)}$ મળે છે.
આ એક પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે જેને આંશિક અપૂર્ણાંક (partial fractions) નો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે.
આમ,સૌથી યોગ્ય આદેશ $\tan x = t$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\csc^2 x}{1 + \cot x} dx$.
$1 + \cot x = t$ આદેશ લો.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$-\csc^2 x dx = dt$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\csc^2 x dx = -dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \frac{-dt}{t}$ મળે.
સંકલન કરતા,$I = -\log|t| + c$ મળે.
$t$ ની જગ્યાએ $1 + \cot x$ મૂકતા,$I = -\log|1 + \cot x| + c$ મળે.

(B) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} \sin \sqrt{x} \, dx$ સંકલન ઉકેલવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $t = \sqrt{x}$.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \, dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int \sin(t) \cdot 2 \, dt = 2 \int \sin(t) \, dt$.
$\sin(t)$ નું સંકલન $-\cos(t)$ થાય છે.
તેથી,$2(-\cos(t)) + c = -2 \cos(t) + c$.
છેલ્લે $t = \sqrt{x}$ પાછું મૂકતા,આપણને $-2 \cos \sqrt{x} + c$ મળે છે.

(D) ધારો કે $I = \int e^x \tan^2(e^x) \, dx$.
$t = e^x$ આદેશ લેતા,$dt = e^x \, dx$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \tan^2(t) \, dt$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\tan^2(t) = \sec^2(t) - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int (\sec^2(t) - 1) \, dt$.
દરેક પદનું સંકલન કરતા:
$I = \tan(t) - t + c$.
છેલ્લે $t = e^x$ પાછું મૂકતા:
$I = \tan(e^x) - e^x + c$.

(A) આપેલ સંકલન: $I = \int \frac{dx}{e^{-2x}(e^{2x} + 1)^2}$
કારણ કે $\frac{1}{e^{-2x}} = e^{2x}$,તેથી સંકલન આ મુજબ થશે:
$I = \int \frac{e^{2x} dx}{(e^{2x} + 1)^2}$
ધારો કે $t = e^{2x} + 1$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$dt = 2e^{2x} dx$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $e^{2x} dx = \frac{dt}{2}$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{t^2} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int t^{-2} dt$
સંકલનના ઘાત નિયમ $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{t^{-1}}{-1} \right) + c = -\frac{1}{2t} + c$
$t = e^{2x} + 1$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{-1}{2(e^{2x} + 1)} + c$

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x\sqrt{1 - (\log x)^2}}$.
$t = \log x$ આદેશ લેતા.
તેથી,વિકલન $dt = \frac{1}{x} dx$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sin^{-1}(t) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \sin^{-1}(t) + c$.
હવે $t = \log x$ પાછું મૂકતા:
$I = \sin^{-1}(\log x) + c$.

(C) આદેશ ${x^2} = t$ લેતા $2x \,dx = dt$ મળે,એટલે કે $x \,dx = \frac{1}{2} \,dt$.
વિકલ્પ $(c)$ માટે,$\int {x^3 \cos(x^2)} \,dx = \int {x^2 \cdot \cos(x^2) \cdot x \,dx}$ લખી શકાય.
${x^2} = t$ અને $x \,dx = \frac{1}{2} \,dt$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} \int {t \cos t \,dt}$ મળે છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{2} [t \sin t - \int \sin t \,dt] = \frac{1}{2} (t \sin t + \cos t) + C$.
$t = x^2$ પાછા મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} (x^2 \sin(x^2) + \cos(x^2)) + C$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $I = \int \tan x \sec^2 x \sqrt{1 - \tan^2 x} \; dx$.
$\tan x = t$ આદેશ લેતા,$\sec^2 x \; dx = dt$ મળે.
આથી સંકલન $\int t \sqrt{1 - t^2} \; dt$ બને છે.
હવે,$1 - t^2 = u$ આદેશ લેતા,$-2t \; dt = du$ અથવા $t \; dt = -\frac{1}{2} du$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $I = \int \sqrt{u} \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int u^{1/2} \; du$.
$u$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $I = -\frac{1}{2} \left(\frac{u^{3/2}}{3/2}\right) + c = -\frac{1}{3} u^{3/2} + c$.
છેલ્લે $u = 1 - t^2 = 1 - \tan^2 x$ મૂકતા: $I = -\frac{1}{3}(1 - \tan^2 x)^{3/2} + c$.

(B) ધારો કે $e^x = t$. તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $e^x \, dx = dt$ મળે છે.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sin^{-1}(t) + c$ અથવા $-\cos^{-1}(t) + c$.
આપેલા વિકલ્પોમાં કોસાઇન ઇન્વર્સ વિધેયનો ઉપયોગ થયો હોવાથી,આપણે નિત્યસમ $\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = -\cos^{-1}(t) + c$ નો ઉપયોગ કરીશું.
$t = e^x$ પાછા મૂકતા,આપણને $-\cos^{-1}(e^x) + c$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{1}{\log a} (a^x \cos a^x) \, dx$.
$t = a^x$ આદેશ લો.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$dt = a^x \log a \, dx$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a^x \, dx = \frac{dt}{\log a}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{\log a} \cos t \left( \frac{dt}{\log a} \right) = \frac{1}{(\log a)^2} \int \cos t \, dt$.
$\cos t$ નું સંકલન $\sin t$ થાય છે:
$I = \frac{1}{(\log a)^2} \sin t + c$.
$t = a^x$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{(\log a)^2} \sin a^x + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\sin x}{(a + b \cos x)^2} \, dx$.
$t = a + b \cos x$ આદેશ લેતા.
તેથી,$dt = -b \sin x \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sin x \, dx = -\frac{dt}{b}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{t^2} \left(-\frac{dt}{b}\right) = -\frac{1}{b} \int t^{-2} \, dt$.
$t^{-2}$ નું સંકલન $-t^{-1} = -\frac{1}{t}$ થાય છે.
આમ,$I = -\frac{1}{b} \left(-\frac{1}{t}\right) + c = \frac{1}{bt} + c$.
$t = a + b \cos x$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{b(a + b \cos x)} + c$ મળે છે.

(B) આપેલ સંકલન: $I = \int \frac{1}{x^3} [\log x^x]^2 \, dx$
કારણ કે $\log x^x = x \log x$,આપણે આને સંકલનમાં મૂકીએ:
$I = \int \frac{1}{x^3} (x \log x)^2 \, dx$
$I = \int \frac{1}{x^3} (x^2 (\log x)^2) \, dx$
$I = \int \frac{1}{x} (\log x)^2 \, dx$
હવે,ધારો કે $t = \log x$,તો $dt = \frac{1}{x} \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} + c$
$t$ ની જગ્યાએ $\log x$ મૂકતા:
$I = \frac{1}{3}(\log x)^3 + c$

(A) ધારો કે $t = \log x$.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $dt = \frac{1}{x} \, dx$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \sec^2(\log x) \cdot \frac{1}{x} \, dx = \int \sec^2(t) \, dt$.
$\sec^2(t)$ નું સંકલન $\tan(t) + c$ થાય છે.
$t$ ની જગ્યાએ $\log x$ મૂકતા,આપણને $\tan(\log x) + c$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x \log x \log(\log x)}$.
$\log x = t$ આદેશ લેતા,$\frac{1}{x} dx = dt$ મળે.
તેથી સંકલન $\int \frac{dt}{t \log t}$ સ્વરૂપમાં ફેરવાય છે.
હવે,$\log t = z$ આદેશ લેતા,$\frac{1}{t} dt = dz$ મળે.
તેથી સંકલન $\int \frac{dz}{z} = \log|z| + c$ થાય.
કિંમતો પાછી મૂકતા,આપણને $\log|\log t| + c = \log|\log(\log x)| + c$ મળે છે.

(A) ધારો કે $t = \tan x$. તેથી,$dt = \sec^2 x \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા આપણને મળે છે:
$\int \frac{dt}{\sqrt{t^2 + 2^2}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \log |x + \sqrt{x^2 + a^2}| + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\log |t + \sqrt{t^2 + 2^2}| + c$.
હવે $t = \tan x$ પાછું મૂકતા,અંતિમ જવાબ મળે છે:
$\log |\tan x + \sqrt{\tan^2 x + 4}| + c$.

(B) ધારો કે $t = \tan^{-1}(x^2)$.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $dt = \frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) \, dx = \frac{2x}{1 + x^4} \, dx$ મળે છે.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int \tan^{-1}(x^2) \cdot \frac{2x}{1 + x^4} \, dx = \int t \, dt$.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $\frac{t^2}{2} + c$ મળે છે.
$t$ ની મૂળ કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} (\tan^{-1}(x^2))^2 + c$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x^3}{\sqrt{1 - x^8}} \, dx$.
સંકલનને $I = \int \frac{x^3}{\sqrt{1 - (x^4)^2}} \, dx$ તરીકે ફરીથી લખો.
$t = x^4$ આદેશ લેતા,$dt = 4x^3 \, dx$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x^3 \, dx = \frac{1}{4} \, dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \cdot \frac{1}{4} \, dt$ મળે.
$I = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \, dt$.
પ્રમાણિત સંકલન $\int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \, dt = \sin^{-1}(t) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I = \frac{1}{4} \sin^{-1}(t) + c$ મળે.
$t = x^4$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{4} \sin^{-1}(x^4) + c$ મળે છે.

(A) ધારો કે $t = \cos(x^2)$.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dt = -\sin(x^2) \cdot 2x \, dx$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2x \sin(x^2) \, dx = -dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int 2x \cos^3(x^2) \sin(x^2) \, dx = \int t^3 (-dt)$
$= -\int t^3 \, dt$
$= -\frac{t^4}{4} + c$
હવે $t = \cos(x^2)$ પાછું મૂકતા:
$= -\frac{1}{4} \cos^4(x^2) + c$.

(A) સંકલન $\int \sec^4 x \tan x \; dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$\int \sec^3 x (\sec x \tan x) \; dx$
ધારો કે $t = \sec x$.
તેથી,વિકલન $dt = \sec x \tan x \; dx$ થાય.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int t^3 \; dt$
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{t^4}{4} + c$
છેલ્લે,$t = \sec x$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{4} \sec^4 x + c$

(A) ધારો કે $I = \int {{e^{ - x}}{{\csc }^2}(2{e^{ - x}} + 5)} \,dx$.
$t = 2{e^{ - x}} + 5$ આદેશ લેતા.
તેથી,$dt = -2{e^{ - x}}dx$,જેનો અર્થ છે કે ${e^{ - x}}dx = -\frac{1}{2}dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int {\csc^2(t) \cdot (-\frac{1}{2}dt)} = -\frac{1}{2} \int \csc^2(t) dt$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int \csc^2(t) dt = -\cot(t) + c$,તેથી:
$I = -\frac{1}{2} (-\cot(t)) + c = \frac{1}{2} \cot(t) + c$.
$t = 2{e^{ - x}} + 5$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{2} \cot(2{e^{ - x}} + 5) + c$.

(B) સંકલન $\int \sin^3 x \cdot \cos x \, dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $t = \sin x$.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dt = \cos x \, dx$ મળે છે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $\int t^3 \, dt$ મળે છે.
$t^3$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન $\frac{t^4}{4} + c$ થાય છે.
હવે $t = \sin x$ પાછું મૂકતા,આપણને અંતિમ જવાબ $\frac{\sin^4 x}{4} + c$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\cos 2x + x + 1}{x^2 + \sin 2x + 2x} \, dx$.
છેદ $t = x^2 + \sin 2x + 2x$ લો.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dt}{dx} = 2x + 2\cos 2x + 2 = 2(x + \cos 2x + 1)$ મળે છે.
તેથી,$dt = 2(x + \cos 2x + 1) \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $(x + \cos 2x + 1) \, dx = \frac{1}{2} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} \, dt$.
સંકલન કરતા,$I = \frac{1}{2} \log |t| + c$ મળે છે.
$t$ ની મૂળ કિંમત મૂકતા,$I = \frac{1}{2} \log |x^2 + \sin 2x + 2x| + c$ મળે છે.

(A) ધારો કે $t = x + \log \sec x$.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં $t$ નું વિકલન:
$\frac{dt}{dx} = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(\log \sec x) = 1 + \frac{1}{\sec x} \cdot (\sec x \tan x) = 1 + \tan x$.
તેથી,$dt = (1 + \tan x) \, dx$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{1 + \tan x}{x + \log \sec x} \, dx = \int \frac{1}{t} \, dt = \log |t| + c$.
$t$ ની મૂળ કિંમત પાછી મૂકતા:
$\log |x + \log \sec x| + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{(x + 1)(x + \log x)^2}{x} \, dx$.
આપણે સંકલ્યને $\int (x + \log x)^2 \left( \frac{x + 1}{x} \right) \, dx = \int (x + \log x)^2 \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \, dx$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $t = x + \log x$.
તેથી,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dt = (1 + \frac{1}{x}) \, dx$ મળે છે.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int t^2 \, dt$ મળે છે.
$t^2$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $I = \frac{t^3}{3} + c$ મળે છે.
$t = x + \log x$ પાછા મૂકતા,આપણને $I = \frac{1}{3}(x + \log x)^3 + c$ મળે છે.

(A) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{\cos x - \sin x}{1 + \sin 2x} \, dx$ છે.
કારણ કે $1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = (\sin x + \cos x)^2$,તેથી સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int \frac{\cos x - \sin x}{(\sin x + \cos x)^2} \, dx$.
ધારો કે $t = \sin x + \cos x$.
તેથી $dt = (\cos x - \sin x) \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{1}{t^2} \, dt = \int t^{-2} \, dt = \frac{t^{-1}}{-1} + c = -\frac{1}{t} + c$.
$t = \sin x + \cos x$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = -\frac{1}{\sin x + \cos x} + c$.

(C) ધારો કે $I = \int {{x^3}\sqrt {3 + 5{x^4}} } \;dx$.
$3 + 5{x^4} = t$ આદેશ લેતા.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$20{x^3}dx = dt$ મળે,જેનો અર્થ છે કે ${x^3}dx = \frac{1}{20}dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \sqrt{t} \cdot \frac{1}{20} dt = \frac{1}{20} \int t^{1/2} dt$.
ઘાતનો નિયમ $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$ વાપરતા:
$I = \frac{1}{20} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{20} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{1}{30} t^{3/2} + C$.
$t = 3 + 5{x^4}$ પાછા મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{30}{(3 + 5{x^4})^{3/2}} + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \sqrt{\frac{x}{a^3 - x^3}} \, dx$.
$x = a(\sin \theta)^{2/3}$ આદેશ લેતા.
તેથી $dx = a \cdot \frac{2}{3}(\sin \theta)^{-1/3} \cdot \cos \theta \, d\theta$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \sqrt{\frac{a(\sin \theta)^{2/3}}{a^3 - a^3(\sin \theta)^2}} \cdot \frac{2}{3}a(\sin \theta)^{-1/3} \cos \theta \, d\theta$
$I = \int \sqrt{\frac{a(\sin \theta)^{2/3}}{a^3(1 - \sin^2 \theta)}} \cdot \frac{2}{3}a(\sin \theta)^{-1/3} \cos \theta \, d\theta$
$I = \int \frac{a^{1/2}(\sin \theta)^{1/3}}{a^{3/2} \cos \theta} \cdot \frac{2}{3}a(\sin \theta)^{-1/3} \cos \theta \, d\theta$
$I = \frac{2}{3} \int d\theta = \frac{2}{3} \theta + c$.
કારણ કે $x = a(\sin \theta)^{2/3}$,તેથી $(\frac{x}{a})^{3/2} = \sin \theta$,એટલે કે $\theta = \sin^{-1}(\frac{x}{a})^{3/2}$.
આમ,$I = \frac{2}{3} \sin^{-1}(\frac{x}{a})^{3/2} + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{1}{x \cos^2(1 + \log x)} \, dx$.
$t = 1 + \log x$ આદેશ લેતા.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}$,જેનો અર્થ છે કે $dt = \frac{1}{x} \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{\cos^2 t} \, dt = \int \sec^2 t \, dt$.
$\sec^2 t$ નું સંકલન $\tan t + c$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$I = \tan t + c$.
$t = 1 + \log x$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \tan(1 + \log x) + c$.

(A) ધારો કે $x = \tan \theta$. તેથી $dx = \sec^2 \theta \, d\theta$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{1}{x^2 \sqrt{1 + x^2}} \, dx = \int \frac{\sec^2 \theta \, d\theta}{\tan^2 \theta \sqrt{1 + \tan^2 \theta}} = \int \frac{\sec^2 \theta \, d\theta}{\tan^2 \theta \sec \theta} = \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta} \, d\theta$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$\int \frac{1/\cos \theta}{\sin^2 \theta / \cos^2 \theta} \, d\theta = \int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta} \, d\theta = \int \csc \theta \cot \theta \, d\theta$.
$\csc \theta \cot \theta$ નું સંકલન $-\csc \theta + c$ થાય છે.
કારણ કે $x = \tan \theta$,તેથી $\tan \theta = \frac{x}{1}$,જેનો અર્થ છે કે $\csc \theta = \frac{\sqrt{1 + x^2}}{x}$.
આમ,અંતિમ જવાબ $-\frac{\sqrt{1 + x^2}}{x} + c$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\log (x + \sqrt {1 + x^2})}{\sqrt {1 + x^2}} \, dx$.
$t = \log (x + \sqrt {1 + x^2})$ આદેશ લો.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt {1 + x^2}} \cdot (1 + \frac{1}{2\sqrt {1 + x^2}} \cdot 2x) = \frac{1}{x + \sqrt {1 + x^2}} \cdot (1 + \frac{x}{\sqrt {1 + x^2}}) = \frac{1}{x + \sqrt {1 + x^2}} \cdot \frac{\sqrt {1 + x^2} + x}{\sqrt {1 + x^2}} = \frac{1}{\sqrt {1 + x^2}}$.
તેથી,$dt = \frac{dx}{\sqrt {1 + x^2}}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + c$.
$t$ ની મૂળ કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = \frac{1}{2}[\log (x + \sqrt {1 + x^2})]^2 + c$.

(A) સંકલન $I = \int {{e^x}\sin ({e^x})} \,dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $t = {e^x}$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dt}{dx} = {e^x}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $dt = {e^x}dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \sin(t) \,dt$.
$\sin(t)$ નું સંકલન $-\cos(t) + c$ થાય છે.
હવે $t = {e^x}$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = -\cos({e^x}) + c$ મળે છે.

(D) ધારો કે $I = \int {\frac{{{x^5}dx}}{{\sqrt {1 + {x^3}} }}} $.
આપણે $x^5 dx$ ને $x^3 \cdot x^2 dx$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $1 + x^3 = t^2$. તેથી $3x^2 dx = 2t dt$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 dx = \frac{2}{3}t dt$.
વળી,$x^3 = t^2 - 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int {\frac{{(t^2 - 1)}}{t} \cdot \frac{2}{3}t dt} = \frac{2}{3} \int {(t^2 - 1) dt} $.
$t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$I = \frac{2}{3} \left( \frac{t^3}{3} - t \right) + C = \frac{2}{9} t(t^2 - 3) + C$.
કારણ કે $t = \sqrt{1 + x^3}$ અને $t^2 = 1 + x^3$,તેથી:
$I = \frac{2}{9} \sqrt{1 + x^3} (1 + x^3 - 3) + C = \frac{2}{9} \sqrt{1 + x^3} (x^3 - 2) + C$.

(A) આપણી પાસે $I = \int {\frac{{{{({x^4} - x)}^{1/4}}}}{{{x^5}}}\,dx}$ છે.
કૌંસમાંથી $x^4$ સામાન્ય લેતા,આપણને મળે $I = \int {\frac{{{{[x^4(1 - 1/x^3)]}^{1/4}}}}{{{x^5}}}\,dx} = \int {\frac{{x{{(1 - 1/x^3)}^{1/4}}}}{{{x^5}}}\,dx} = \int {\frac{{{{(1 - 1/x^3)}^{1/4}}}}{{{x^4}}}\,dx}$.
ધારો કે $1 - \frac{1}{{{x^3}}} = t$. બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{3}{{{x^4}}}dx = dt$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{{{x^4}}}dx = \frac{1}{3}dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int {{t^{1/4}} \cdot \frac{1}{3}dt} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{t^{5/4}}}}{{5/4}} + c = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{5} {t^{5/4}} + c = \frac{4}{{15}}{t^{5/4}} + c$.
$t = 1 - \frac{1}{{{x^3}}}$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = \frac{4}{{15}}{\left( {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^{5/4}} + c$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int e^x \sec^2(e^x) \, dx$.
$t = e^x$ આદેશ લેતા,
તેથી,વિકલન $dt = e^x \, dx$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \sec^2(t) \, dt$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2(t)$ નું સંકલન $\tan(t)$ થાય છે,તેથી:
$I = \tan(t) + k$.
હવે $t = e^x$ પાછું મૂકતા:
$I = \tan(e^x) + k$.

(D) ધારો કે $I = \int t e^{-3t^2} \, dt$.
$z = -3t^2$ આદેશ લેતા,$dz = -6t \, dt$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $t \, dt = -\frac{1}{6} \, dz$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^z \left(-\frac{1}{6}\right) \, dz = -\frac{1}{6} \int e^z \, dz$.
$e^z$ નું સંકલન $e^z$ થાય છે:
$I = -\frac{1}{6} e^z + c$.
હવે $z = -3t^2$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{1}{6} e^{-3t^2} + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{1}{(1 + x)\sqrt{x}} \, dx$.
આપણે સંકલનને $I = \int \frac{1}{(1 + (\sqrt{x})^2)\sqrt{x}} \, dx$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
ધારો કે $\sqrt{x} = t$. તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = dt$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2 \, dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int \frac{2 \, dt}{1 + t^2}$ મળે છે.
સંકલન કરતા,આપણને $I = 2\tan^{-1}(t) + A$ મળે છે.
$t = \sqrt{x}$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = 2\tan^{-1}(\sqrt{x}) + A$ મળે છે.
આને $f(x) + A$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = 2\tan^{-1}(\sqrt{x})$ મળે છે.

(D) સંકલન $I = \int x \cos(x^2) \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $t = x^2$.
તેથી,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dt = 2x \, dx$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x \, dx = \frac{1}{2} \, dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \cos(t) \cdot \frac{1}{2} \, dt$
$I = \frac{1}{2} \int \cos(t) \, dt$
$I = \frac{1}{2} \sin(t) + c$
હવે $t = x^2$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \sin(x^2) + c$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x^2 \tan^{-1}(x^3)}{1 + x^6} \, dx$.
$t = x^3$ આદેશ લેતા,$dt = 3x^2 \, dx$ મળે,તેથી $x^2 \, dx = \frac{1}{3} \, dt$ થાય.
હવે સંકલન $I = \frac{1}{3} \int \frac{\tan^{-1}(t)}{1 + t^2} \, dt$ સ્વરૂપમાં ફેરવાય છે.
હવે $z = \tan^{-1}(t)$ આદેશ લેતા,$dz = \frac{1}{1 + t^2} \, dt$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા,$I = \frac{1}{3} \int z \, dz$ મળે.
$z$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા,$I = \frac{1}{3} \cdot \frac{z^2}{2} + c = \frac{z^2}{6} + c$ મળે.
છેલ્લે $z = \tan^{-1}(x^3)$ મૂકતા,$I = \frac{1}{6}(\tan^{-1}(x^3))^2 + c$ મળે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^2 + 1}{x(x^2 - 1)} \, dx$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x - \frac{1}{x}} \, dx$.
ધારો કે $t = x - \frac{1}{x}$. તેથી $dt = (1 + \frac{1}{x^2}) \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{t} \, dt = \log |t| + c$.
$t = x - \frac{1}{x} = \frac{x^2 - 1}{x}$ પાછું મૂકતા:
$I = \log \left| \frac{x^2 - 1}{x} \right| + c$.

(A) ધારો કે $I = \int {\frac{{{e^{2x}} + 1}}{{{e^{2x}} - 1}}} \,dx$.
અંશ અને છેદને ${e^x}$ વડે ભાગતા:
$I = \int {\frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{{{e^x} - {e^{ - x}}}}} \,dx$.
ધારો કે $t = {e^x} - {e^{ - x}}$.
તેથી,$dt = ({e^x} - ({ - 1}){e^{ - x}}) \,dx = ({e^x} + {e^{ - x}}) \,dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int {\frac{1}{t}} \,dt = \log |t| + c$.
$t$ ની મૂળ કિંમત પાછી મૂકતા:
$I = \log |{e^x} - {e^{ - x}}| + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{\cos x - \sin x}{\sqrt{\sin 2x}} \, dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 2x = 1 - (\sin x - \cos x)^2$.
તેથી,$I = \int \frac{\cos x - \sin x}{\sqrt{1 - (\sin x - \cos x)^2}} \, dx$.
ધારો કે $u = \sin x - \cos x$,તો $du = (\cos x + \sin x) \, dx$.
પરંતુ જો આપણે $u = \sin x + \cos x$ લઈએ,તો $du = (\cos x - \sin x) \, dx$ અને $\sin 2x = u^2 - 1$.
આ કિસ્સામાં,$I = \int \frac{du}{\sqrt{u^2 - 1}} = \ln|u + \sqrt{u^2 - 1}| + c$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\sin^{-1}(\sin x - \cos x) + c$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int {\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right){e^{x - \frac{1}{x}}}} \,dx$.
$t = x - \frac{1}{x}$ આદેશ લેતા.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dt}{dx} = 1 - ( - \frac{1}{{{x^2}}}) = 1 + \frac{1}{{{x^2}}}$ મળે.
તેથી,$(1 + \frac{1}{{{x^2}}})\,dx = dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int {{e^t}} \,dt$ મળે.
${e^t}$ નું સંકલન ${e^t} + c$ થાય.
$t = x - \frac{1}{x}$ પાછું મૂકતા,આપણને $I = {e^{x - \frac{1}{x}}} + c$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int (x + 3)({x^2} + 6x + 10)^9 \, dx$.
$2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$I = \frac{1}{2} \int (2x + 6)({x^2} + 6x + 10)^9 \, dx$.
ધારો કે $u = x^2 + 6x + 10$.
તેથી $du = (2x + 6) \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \int u^9 \, du$.
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{10}}{10} + c$.
$I = \frac{1}{20} u^{10} + c$.
$u = x^2 + 6x + 10$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{1}{20} ({x^2} + 6x + 10)^{10} + c$.

(C) $f(x) = \frac{x}{1 + x^2}$ નું આદિ વિધેય (અનિયત સંકલન) શોધવા માટે,આપણે સંકલન $I = \int \frac{x}{1 + x^2} dx$ ની ગણતરી કરીએ.
ધારો કે $t = 1 + x^2$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$dt = 2x dx$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x dx = \frac{dt}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt$ મળે.
સંકલન કરતા,આપણને $I = \frac{1}{2} \log_e |t| + C$ મળે છે.
$t = 1 + x^2$ પાછું મૂકતા,$I = \frac{1}{2} \log_e(1 + x^2) + C$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{1}{x} \log x \, dx$.
$\log x = t$ આદેશ લેતા.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\frac{1}{x} \, dx = dt$ મળે છે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int t \, dt$ મળે છે.
$t$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા,$I = \frac{t^2}{2} + c$ મળે છે.
$t = \log x$ પાછા મૂકતા,$I = \frac{(\log x)^2}{2} + c$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \sin^2 x \cos x \, dx$.
$\sin x = t$ આદેશ લેતા.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$\cos x \, dx = dt$ મળે છે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \int t^2 \, dt$ મળે છે.
$t^2$ નું $t$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા,$I = \frac{t^3}{3} + c$ મળે છે.
છેલ્લે $t = \sin x$ મૂકતા,$I = \frac{\sin^3 x}{3} + c$ મળે છે.

(B) સંકલન $I = \int e^{x^2} x \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $t = x^2$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dt = 2x \, dx$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x \, dx = \frac{1}{2} dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^t \cdot \frac{1}{2} dt$
$I = \frac{1}{2} \int e^t \, dt$
$I = \frac{1}{2} e^t + C$
હવે $t = x^2$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સંકલન $I = \int \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^4}} \, dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે આદેશની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $t = 1 + x^4$.
હવે,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $dt = 4x^3 \, dx$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x^3 \, dx = \frac{1}{4} \, dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \cdot \frac{1}{4} \, dt = \frac{1}{4} \int t^{-1/2} \, dt$.
સંકલનના ઘાત નિયમ $\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{4} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + c = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot t^{1/2} + c = \frac{1}{2} \sqrt{t} + c$.
$t = 1 + x^4$ પાછા મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{2} \sqrt{1 + x^4} + c$.