Integration by substitution Questions in Hindi

(B) समाकलन $I = \int \frac{\sin x}{\sin (x - \alpha )} dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम अंश को $\sin(x - \alpha + \alpha)$ के रूप में लिखते हैं।
सर्वसमिका $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin(x - \alpha) \cos \alpha + \cos(x - \alpha) \sin \alpha}{\sin(x - \alpha)} dx$
$I = \int \left( \cos \alpha + \sin \alpha \cdot \cot(x - \alpha) \right) dx$
$I = \int \cos \alpha \, dx + \sin \alpha \int \cot(x - \alpha) \, dx$
चूंकि $\int \cos \alpha \, dx = x \cos \alpha$ और $\int \cot(x - \alpha) \, dx = \log |\sin(x - \alpha)|$,इसलिए:
$I = x \cos \alpha + \sin \alpha \log |\sin(x - \alpha)| + c$.

(A) दिया गया है कि $\int {f(x)\,dx = f(x)} $.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \int {f(x)\,dx} \right) = \frac{d}{dx} f(x)$
$f(x) = f'(x)$.
अब,हमें $\int {{{\left[ {f(x)} \right]}^2}\,dx}$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $f(x) = f'(x)$,हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\int {{{\left[ {f(x)} \right]}^2}\,dx} = \int {f(x) \cdot f'(x)\,dx}$.
माना $f(x) = u$,तो $f'(x)\,dx = du$.
समाकलन $\int {u\,du} = \frac{u^2}{2} + C$ बन जाता है।
$u = f(x)$ वापस रखने पर,हमें $\frac{1}{2}{\left[ {f(x)} \right]^2} + C$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) समाकल $I = \int \frac{dx}{1 + e^x}$ का मूल्यांकन करने के लिए,अंश और हर को $e^{-x}$ से गुणा करें:
$I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}(1 + e^x)} dx = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 1} dx$
माना $t = 1 + e^{-x}$ है। तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = -e^{-x} dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $e^{-x} dx = -dt$।
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{-dt}{t} = -\int \frac{1}{t} dt = -\log|t| + C$
$t = 1 + e^{-x}$ वापस रखने पर:
$I = -\log(1 + e^{-x}) + C$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) माना $I = \int \frac{dx}{e^x + e^{-x}}$.
अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{e^x}{e^{2x} + 1} dx$.
माना $e^x = t$. तब $e^x dx = dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{t^2 + 1}$.
$\frac{1}{t^2 + 1}$ का समाकलन $\tan^{-1}(t) + C$ होता है।
अतः,$I = \tan^{-1}(e^x) + C$.

(A) माना $I = \int \frac{e^{\sqrt{x}} \cos(e^{\sqrt{x}})}{\sqrt{x}} dx$.
$t = e^{\sqrt{x}}$ प्रतिस्थापित करें।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$dt = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$.
इससे $\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx = 2 dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \cos(t) \cdot 2 dt = 2 \int \cos(t) dt$.
$\cos(t)$ का समाकलन करने पर,हमें $2 \sin(t) + C$ प्राप्त होता है।
$t = e^{\sqrt{x}}$ वापस रखने पर,उत्तर $2 \sin(e^{\sqrt{x}}) + C$ प्राप्त होता है।

(A) हमें समाकलन $I = \int \frac{dx}{x + x \log x}$ दिया गया है।
सबसे पहले,हर से $x$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$I = \int \frac{dx}{x(1 + \log x)}$.
अब,प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करें। मान लीजिए $t = 1 + \log x$.
तब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dx}{x} = dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{dt}{t}$.
$t$ के सापेक्ष $\frac{1}{t}$ का समाकलन $\log|t| + C$ होता है।
$t = 1 + \log x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \log|1 + \log x| + C$.

(B) माना $1 + \log x = t$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{d}{dx}(1 + \log x) = \frac{dt}{dx}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{1}{x} dx = dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$\int (1 + \log x) \cdot \frac{1}{x} dx = \int t dt$ प्राप्त होता है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\frac{t^2}{2} + C$ प्राप्त होता है।
$t = 1 + \log x$ का मान वापस रखने पर,अंतिम उत्तर $\frac{(1 + \log x)^2}{2} + C$ है।

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\sec x \, dx}{\sqrt{\cos 2x}}$ है।
सर्वसमिका $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sec x \, dx}{\sqrt{\cos^2 x - \sin^2 x}}$.
अंश और हर को $\sec x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{\sec^2 x \, dx}{\sqrt{\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}}} = \int \frac{\sec^2 x \, dx}{\sqrt{1 - \tan^2 x}}$.
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec^2 x \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \sin^{-1}(t) + C = \sin^{-1}(\tan x) + C$.

(D) समाकल $I = \int \frac{dx}{x\sqrt{2ax - x^2}}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $x = \frac{2a}{t}$ प्रतिस्थापन का उपयोग करते हैं।
अतः,$dx = -\frac{2a}{t^2} dt$ होगा।
इन मानों को समाकल में रखने पर:
$I = \int \frac{-\frac{2a}{t^2} dt}{\frac{2a}{t} \sqrt{2a(\frac{2a}{t}) - (\frac{2a}{t})^2}}$
$I = \int \frac{-\frac{2a}{t^2} dt}{\frac{2a}{t} \sqrt{\frac{4a^2}{t} - \frac{4a^2}{t^2}}}$
$I = \int \frac{-\frac{2a}{t^2} dt}{\frac{2a}{t} \cdot \frac{2a}{t} \sqrt{t - 1}}$
$I = -\int \frac{dt}{t \sqrt{t - 1}}$
यह प्रतिस्थापन समाकल को मानक रूप में सरल करता है।

(C) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{x \, dx}{1 - x \cot x}$ है।
$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{x \, dx}{1 - x \frac{\cos x}{\sin x}} = \int \frac{x \sin x}{\sin x - x \cos x} \, dx$.
माना $t = \sin x - x \cos x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$dt = (\cos x - (x(-\sin x) + \cos x)) \, dx = (\cos x + x \sin x - \cos x) \, dx = x \sin x \, dx$.
समाकलन में मान रखने पर:
$I = \int \frac{dt}{t} = \log |t| + c = \log |\sin x - x \cos x| + c$.

(B) माना $I = \int \frac{\sin 2x}{1 + \sin^2 x} dx$.
$t = 1 + \sin^2 x$ प्रतिस्थापित करने पर।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dt = \frac{d}{dx}(1 + \sin^2 x) dx = 2 \sin x \cos x dx = \sin 2x dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \frac{1}{t} dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,$I = \log |t| + c$ प्राप्त होता है।
$t = 1 + \sin^2 x$ वापस रखने पर,$I = \log (1 + \sin^2 x) + c$ प्राप्त होता है (चूंकि सभी $x$ के लिए $1 + \sin^2 x > 0$ है)।

(B) माना $I = \int \frac{x^3}{\sqrt{x^2 + 2}} \, dx$.
$x^2 + 2 = t^2$ प्रतिस्थापित करने पर,जिसका अर्थ है $2x \, dx = 2t \, dt$ या $x \, dx = t \, dt$.
साथ ही,$x^2 = t^2 - 2$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{(t^2 - 2)}{t} \cdot t \, dt = \int (t^2 - 2) \, dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{t^3}{3} - 2t + c$.
$t = \sqrt{x^2 + 2}$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{3}(x^2 + 2)^{3/2} - 2(x^2 + 2)^{1/2} + c$.

(A) माना $I = \int {\frac{{{x^{e - 1}} + {e^{x - 1}}}}{{{x^e} + {e^x}}}} \,dx$.
यदि हम $t = {x^e} + {e^x}$ प्रतिस्थापित करते हैं,तो अवकलन करने पर $dt = (e{x^{e - 1}} + {e^x}) \,dx$ प्राप्त होता है।
दिए गए प्रश्न में अंश में $e{x^{e-1}} + {e^x}$ होना चाहिए ताकि प्रतिस्थापन विधि का उपयोग किया जा सके।
अतः,सही उत्तर $\log ({x^e} + {e^x}) + c$ है,जो विकल्प $A$ में है।

(C) माना $I = \int \frac{\sin x \, dx}{a^2 + b^2 \cos^2 x}$ है।
$t = b \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = -b \sin x \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin x \, dx = -\frac{dt}{b}$।
समाकलन $I = \int \frac{-dt/b}{a^2 + t^2} = -\frac{1}{b} \int \frac{dt}{a^2 + t^2}$ हो जाता है।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + c$ का उपयोग करने पर,$I = -\frac{1}{b} \cdot \frac{1}{a} \tan^{-1} \left( \frac{t}{a} \right) + c = -\frac{1}{ab} \tan^{-1} \left( \frac{b \cos x}{a} \right) + c$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,$-\tan^{-1}(x) = \cot^{-1}(x) - \frac{\pi}{2}$ होता है।
अतः,$I = \frac{1}{ab} \cot^{-1} \left( \frac{b \cos x}{a} \right) + C$,जहाँ $C = c - \frac{\pi}{2ab}$ एक स्थिरांक है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना कि $t = \log(\sec x + \tan x)$ है।
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot (\sec x \tan x + \sec^2 x) = \frac{\sec x(\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x} = \sec x$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$dt = \sec x \, dx$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\int t \, dt$ प्राप्त होता है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\frac{t^2}{2} + c$ प्राप्त होता है।
$t$ का मूल मान वापस रखने पर,हमें $\frac{1}{2}[\log(\sec x + \tan x)]^2 + c$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{3x^2}{x^6 + 1} dx$.
$t = x^3$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dt = 3x^2 dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{t^2 + 1} dt$.
हम जानते हैं कि $\int \frac{1}{t^2 + 1} dt = \tan^{-1}(t) + c$.
$t = x^3$ वापस रखने पर,हमें $I = \tan^{-1}(x^3) + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{\cot x}{\log(\sin x)} \, dx$.
$t = \log(\sin x)$ प्रतिस्थापित करने पर।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$dt = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x \, dx = \cot x \, dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{1}{t} \, dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \log|t| + c$.
$t$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \log|\log(\sin x)| + c$.

(C) माना $I = \int \frac{(1 + \log x)^2}{x} \, dx$.
$t = 1 + \log x$ प्रतिस्थापन लेने पर।
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{x} \, dx = dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int t^2 \, dt$ प्राप्त होता है।
$t^2$ का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$I = \frac{t^3}{3} + c$ प्राप्त होता है।
$t = 1 + \log x$ वापस रखने पर,$I = \frac{(1 + \log x)^3}{3} + c$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \sec^p x \tan x \, dx$.
$t = \sec x$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब,$dt = \sec x \tan x \, dx$,जिसका अर्थ है कि $\tan x \, dx = \frac{dt}{\sec x} = \frac{dt}{t}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int t^p \cdot \frac{dt}{t} = \int t^{p-1} \, dt$.
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{t^{(p-1)+1}}{(p-1)+1} + c = \frac{t^p}{p} + c$.
$t$ के स्थान पर $\sec x$ रखने पर:
$I = \frac{\sec^p x}{p} + c$.

(A) समाकल $I = \int \frac{dx}{e^x - 1}$ को हल करने के लिए,अंश और हर को $e^{-x}$ से गुणा करें:
$I = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}(e^x - 1)} dx = \int \frac{e^{-x}}{1 - e^{-x}} dx$
माना $t = 1 - e^{-x}$ है।
तब,अवकलन $dt = e^{-x} dx$ होगा।
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{dt}{t} = \ln|t| + c$
$t = 1 - e^{-x}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \ln(1 - e^{-x}) + c$.

(C) माना $I = \int x^2 \sec(x^3) \, dx$.
$t = x^3$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब,$dt = 3x^2 \, dx$,जिसका अर्थ है कि $x^2 \, dx = \frac{1}{3} \, dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \sec(t) \cdot \frac{1}{3} \, dt$
$I = \frac{1}{3} \int \sec(t) \, dt$
मानक समाकलन सूत्र $\int \sec(t) \, dt = \log|\sec(t) + \tan(t)| + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{3} \log|\sec(t) + \tan(t)| + C$
$t = x^3$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{3} \log|\sec(x^3) + \tan(x^3)| + C$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना $I = \int \frac{\sin 2x}{\sin^4 x + \cos^4 x} \, dx$.
अंश और हर को $\cos^4 x$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{2 \sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x} \, dx = \int \frac{2 \tan x \sec^2 x}{1 + \tan^4 x} \, dx$.
माना $t = \tan^2 x$,तब $dt = 2 \tan x \sec^2 x \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{dt}{1 + t^2} = \tan^{-1}(t) + c$.
$t$ के स्थान पर $\tan^2 x$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \tan^{-1}(\tan^2 x) + c$.

(B) माना $I = \int \frac{x - 2}{x(2\log x - x)} dx$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{-(2 - x)}{x(2\log x - x)} dx = - \int \frac{\frac{2}{x} - 1}{2\log x - x} dx$.
माना $t = 2\log x - x$.
तब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = (\frac{2}{x} - 1) dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = - \int \frac{1}{t} dt = - \log |t| + c$.
$t = 2\log x - x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = - \log |2\log x - x| + c = \log \left( \frac{1}{|2\log x - x|} \right) + c$.

(D) समाकलन $\int x\sqrt{1 + x^2} \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $t = 1 + x^2$ है।
अतः,$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $dt = 2x \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \, dx = \frac{dt}{2}$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int \sqrt{t} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int t^{1/2} \, dt$.
समाकलन के घात नियम $\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + c$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + c = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{3/2} + c = \frac{1}{3} t^{3/2} + c$.
अंत में,$t = 1 + x^2$ का मान वापस रखने पर,हमें $\frac{1}{3}(1 + x^2)^{3/2} + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{e^x(x + 1)}{\cos^2(x e^x)} dx$.
हम समाकलन को $I = \int e^x(x + 1) \sec^2(x e^x) dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $t = x e^x$.
अब,गुणन नियम का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = (1 \cdot e^x + x \cdot e^x) dx = e^x(1 + x) dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int \sec^2(t) dt$ प्राप्त होता है।
$\sec^2(t)$ का समाकलन $\tan(t) + c$ होता है।
$t = x e^x$ वापस रखने पर,हमें $I = \tan(x e^x) + c$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$.
$\sqrt{x} = t$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2 dt$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें $I = \int \cos(t) \cdot 2 dt = 2 \int \cos(t) dt$ प्राप्त होता है।
$\cos(t)$ का समाकलन करने पर,हमें $I = 2 \sin(t) + c$ प्राप्त होता है।
$t = \sqrt{x}$ वापस रखने पर,हमें $I = 2 \sin \sqrt{x} + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{\sin x \cos x}{a \cos^2 x + b \sin^2 x} dx$.
$t = a \cos^2 x + b \sin^2 x$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब $dt = (a \cdot 2 \cos x(-\sin x) + b \cdot 2 \sin x \cos x) dx = 2(b - a) \sin x \cos x dx$.
अतः,$\sin x \cos x dx = \frac{dt}{2(b - a)}$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{2(b - a)} = \frac{1}{2(b - a)} \int \frac{1}{t} dt$.
$I = \frac{1}{2(b - a)} \log |t| + C$.
$t = a \cos^2 x + b \sin^2 x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{2(b - a)} \log |a \cos^2 x + b \sin^2 x| + C$.

(C) माना कि $t = \tan^{-1} x$.
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = \frac{1}{1 + x^2} dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$\int \frac{e^{\tan^{-1} x}}{1 + x^2} dx = \int e^t dt$.
$e^t$ का समाकलन $e^t + c$ होता है।
$t = \tan^{-1} x$ वापस रखने पर,हमें $e^{\tan^{-1} x} + c$ प्राप्त होता है।

(B) समाकलन $\int \frac{1}{x(\log x)^2} \, dx$ को हल करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $t = \log x$ है।
अब,$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $dt = \frac{1}{x} \, dx$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int \frac{1}{t^2} \, dt = \int t^{-2} \, dt$।
समाकलन के घात नियम $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$ का उपयोग करते हुए:
$\int t^{-2} \, dt = \frac{t^{-2+1}}{-2+1} + c = \frac{t^{-1}}{-1} + c = -\frac{1}{t} + c$।
अंत में,$t = \log x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\frac{1}{\log x} + c$।

(C) माना $I = \int \frac{1}{\sqrt{x}} \tan^4(\sqrt{x}) \sec^2(\sqrt{x}) \, dx$.
$t = \tan(\sqrt{x})$ प्रतिस्थापित करने पर।
तब,$dt = \sec^2(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx$,जिसका अर्थ है कि $\frac{\sec^2(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \, dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int t^4 \cdot 2 \, dt = 2 \int t^4 \, dt$.
$t^4$ का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $2 \cdot \frac{t^5}{5} + c$ प्राप्त होता है।
$t = \tan(\sqrt{x})$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{2}{5} \tan^5(\sqrt{x}) + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $a^x = t$ है। तब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $a^x \log_e a \, dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a^x \, dx = \frac{dt}{\log_e a}$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{a^x}{\sqrt{1 - a^{2x}}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \cdot \frac{dt}{\log_e a}$
$= \frac{1}{\log_e a} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}$
$= \frac{1}{\log_e a} \sin^{-1}(t) + c$
$= \frac{\sin^{-1}(a^x)}{\log_e a} + c$.

(B) माना $I = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} \, dx$.
अंश और हर को $\cos x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x \cdot \frac{\cos x}{\cos x}} \, dx = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x \cos^2 x} \, dx = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} \, dx$.
माना $t = \tan x$,तब $dt = \sec^2 x \, dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt = \int t^{-1/2} \, dt = \frac{t^{1/2}}{1/2} + c = 2\sqrt{t} + c$.
$t$ के स्थान पर $\tan x$ रखने पर,हमें $I = 2\sqrt{\tan x} + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{\sin 2x}{a^2 + b^2 \sin^2 x} \, dx$.
$t = a^2 + b^2 \sin^2 x$ प्रतिस्थापित करने पर।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$dt = b^2 (2 \sin x \cos x) \, dx = b^2 \sin 2x \, dx$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin 2x \, dx = \frac{dt}{b^2}$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{b^2} = \frac{1}{b^2} \int \frac{1}{t} \, dt$।
समाकलन करने पर,$I = \frac{1}{b^2} \log |t| + c$ प्राप्त होता है।
$t$ का मान वापस रखने पर,$I = \frac{1}{b^2} \log(a^2 + b^2 \sin^2 x) + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $t = 1 + \log x$ है।
अतः,अवकलन $dt = \frac{1}{x} \, dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{1}{\sqrt{t}} \, dt = \int t^{-1/2} \, dt$।
समाकलन के घात नियम का उपयोग करते हुए,$\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + c$:
$= \frac{t^{1/2}}{1/2} + c = 2t^{1/2} + c$।
$t = 1 + \log x$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= 2\sqrt{1 + \log x} + c$।

(C) माना $I = \int \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x} \, dx$ है।
$t = 1 + \tan x$ प्रतिस्थापित करने पर,
अतः,अवकलन $dt = \sec^2 x \, dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{1}{t} \, dt$।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \log |t| + c$।
$t$ का मूल मान $1 + \tan x$ रखने पर:
$I = \log |1 + \tan x| + c$।

(B) माना $I = \int {\frac{{{e^{2x}} - 1}}{{{e^{2x}} + 1}}} \,dx$.
अंश और हर को ${e^x}$ से विभाजित करने पर:
$I = \int {\frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} \,dx$.
माना $t = {e^x} + {e^{ - x}}$.
तब $dt = ({e^x} - {e^{ - x}}) \,dx$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int {\frac{1}{t}} \,dt = \log |t| + c$.
$t = {e^x} + {e^{ - x}}$ वापस रखने पर:
$I = \log ({e^x} + {e^{ - x}}) + c$.
चूँकि ${e^x} + {e^{ - x}} = \frac{{{e^{2x}} + 1}}{{{e^x}}}$,इसलिए:
$I = \log \left( \frac{{{e^{2x}} + 1}}{{{e^x}}} \right) + c = \log ({e^{2x}} + 1) - \log ({e^x}) + c = \log ({e^{2x}} + 1) - x + c$.

(A) माना $I = \int \frac{\csc x}{\log \tan \frac{x}{2}} \, dx$.
$t = \log \tan \frac{x}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \frac{1}{\sin x} = \csc x$.
इस प्रकार,$\csc x \, dx = dt$.
समाकलन में इन मानों को रखने पर:
$I = \int \frac{1}{t} \, dt = \log |t| + c$.
$t$ का मूल मान $\log \tan \frac{x}{2}$ रखने पर:
$I = \log \left| \log \tan \frac{x}{2} \right| + c$.

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{1}{\cos^2 x (1 - \tan x)^2} dx$ है।
चूंकि $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$,इसलिए समाकलन $I = \int \frac{\sec^2 x}{(1 - \tan x)^2} dx$ हो जाता है।
मान लीजिए $u = 1 - \tan x$ है। तब $du = -\sec^2 x dx$,जिसका अर्थ है कि $\sec^2 x dx = -du$ है।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int \frac{-du}{u^2} = -\int u^{-2} du$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,हमें $I = -(\frac{u^{-1}}{-1}) + c = \frac{1}{u} + c$ प्राप्त होता है।
$u = 1 - \tan x$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{1 - \tan x} + c$ प्राप्त होता है।

(B) माना $I = \int {\frac{{10{x^9} + {{10}^x}{{\log }_e}10}}{{{{10}^x} + {x^{10}}}}} \;dx$ है।
$t = {x^{10}} + {10^x}$ प्रतिस्थापित करने पर।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = (10{x^9} + {10^x}{\log _e}10) \;dx$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर,$I = \int {\frac{1}{t}} \;dt$ प्राप्त होता है।
समाकलन करने पर,$I = \log |t| + c$ प्राप्त होता है।
$t$ का मूल मान वापस रखने पर,$I = \log |{x^{10}} + {10^x}| + c$ प्राप्त होता है।

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{1}{(e^x + e^{-x})^2} \, dx$ है।
अंश और हर को $e^{2x}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{e^{2x}}{(e^x \cdot e^x + e^x \cdot e^{-x})^2} \, dx = \int \frac{e^{2x}}{(e^{2x} + 1)^2} \, dx$.
मान लीजिए $t = e^{2x} + 1$ है। तब $dt = 2e^{2x} \, dx$,जिसका अर्थ है $e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} \, dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{t^2} \cdot \frac{1}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int t^{-2} \, dt$.
समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $I = \frac{1}{2} \left( \frac{t^{-1}}{-1} \right) + c = -\frac{1}{2t} + c$.
$t = e^{2x} + 1$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है $I = -\frac{1}{2(e^{2x} + 1)} + c$.

(C) हम जानते हैं कि $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x + \sin x)^2} \, dx = \int \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} \, dx$.
माना $t = \cos x + \sin x$. तब $dt = (-\sin x + \cos x) \, dx = (\cos x - \sin x) \, dx$.
अब समाकलन $\int \frac{1}{t} \, dt = \log |t| + c$ हो जाता है।
$t = \cos x + \sin x$ वापस रखने पर,हमें $\log |\cos x + \sin x| + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{\tan(\log x)}{x} \, dx$.
$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर।
अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{1}{x} \, dx = dt$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \tan(t) \, dt$.
$\tan(t)$ का समाकलन $\log |\sec(t)| + c$ होता है।
$t = \log x$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \log |\sec(\log x)| + c$.

(B) माना $t = x^2$ है।
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $dt = 2x \, dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $x \, dx = \frac{1}{2} \, dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{x}{1 + x^4} \, dx = \int \frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot (x \, dx) = \int \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{1}{2} \, dt$।
$= \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + t^2} \, dt$।
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{1 + t^2} \, dt = \tan^{-1}(t) + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \frac{1}{2} \tan^{-1}(t) + c$।
$t = x^2$ वापस रखने पर,अंतिम परिणाम $\frac{1}{2} \tan^{-1}(x^2) + c$ है।

(A) माना $I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - e^{2x}}} \, dx$.
अंश और हर को $e^{-x}$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{e^{-x}}{\sqrt{e^{-2x} - 1}} \, dx$.
$t = e^{-x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = -e^{-x} \, dx$,जिसका अर्थ है $e^{-x} \, dx = -dt$.
$I = -\int \frac{1}{\sqrt{t^2 - 1}} \, dt$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{t^2 - a^2}} \, dt = \log|t + \sqrt{t^2 - a^2}| + c$ का उपयोग करने पर:
$I = -\log|t + \sqrt{t^2 - 1}| + c$.
$t = e^{-x}$ वापस रखने पर:
$I = -\log|e^{-x} + \sqrt{e^{-2x} - 1}| + c$.
$I = -\log|\frac{1}{e^x} + \frac{\sqrt{1 - e^{2x}}}{e^x}| + c$.
$I = -\log|\frac{1 + \sqrt{1 - e^{2x}}}{e^x}| + c$.
$I = -\log(1 + \sqrt{1 - e^{2x}}) + \log(e^x) + c$.
$I = x - \log(1 + \sqrt{1 - e^{2x}}) + c$.

(A) माना $I = \int \frac{3x^2}{\sqrt{9 - 16x^6}} \, dx$.
हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{3x^2}{\sqrt{3^2 - (4x^3)^2}} \, dx$.
माना $t = 4x^3$. तब $dt = 12x^2 \, dx$,जिसका अर्थ है कि $3x^2 \, dx = \frac{1}{4} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{4} \int \frac{dt}{\sqrt{3^2 - t^2}}$.
मानक सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{4} \sin^{-1} \left( \frac{t}{3} \right) + c$.
$t = 4x^3$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{4} \sin^{-1} \left( \frac{4x^3}{3} \right) + c$.

(B) माना $I = \int \cos x \sqrt{4 - \sin^2 x} \; dx$.
$\sin x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$\cos x \; dx = dt$ प्राप्त होता है।
अतः समाकलन $I = \int \sqrt{4 - t^2} \; dt = \int \sqrt{2^2 - t^2} \; dt$ हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} \; dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1} \left( \frac{x}{a} \right) + c$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{t}{2} \sqrt{4 - t^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1} \left( \frac{t}{2} \right) + c$.
अब $t = \sin x$ वापस रखने पर:
$I = \frac{1}{2} \sin x \sqrt{4 - \sin^2 x} + 2 \sin^{-1} \left( \frac{\sin x}{2} \right) + c$.

(D) माना $I = \int x^2 (3)^{x^3 + 1} dx$.
हम जानते हैं कि $3^{x^3 + 1} = 3 \cdot 3^{x^3}$.
अतः,$I = \int x^2 \cdot 3 \cdot 3^{x^3} dx = 3 \int x^2 \cdot 3^{x^3} dx$.
माना $t = x^3$. तब $dt = 3x^2 dx$,जिसका अर्थ है $x^2 dx = \frac{dt}{3}$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = 3 \int 3^t \cdot \frac{dt}{3} = \int 3^t dt$.
सूत्र $\int a^t dt = \frac{a^t}{\ln a} + c$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{3^t}{\ln 3} + c$.
$t = x^3$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{3^{x^3}}{\ln 3} + c$.
चूंकि मूल व्यंजक $3^{x^3+1}$ था,ध्यान दें कि $\frac{3^{x^3+1}}{3 \ln 3} = \frac{3 \cdot 3^{x^3}}{3 \ln 3} = \frac{3^{x^3}}{\ln 3}$.
अतः,सही उत्तर $\frac{3^{x^3}}{\ln 3} + c$ है।

(B) हमारे पास $I = \int \sec^{2/3} x \csc^{4/3} x \, dx = \int \frac{1}{\cos^{2/3} x \sin^{4/3} x} \, dx$ है।
अंश और हर को $\sec^2 x$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{\frac{\cos^{2/3} x \sin^{4/3} x}{\cos^2 x}} \, dx = \int \frac{\sec^2 x}{\frac{\sin^{4/3} x}{\cos^{4/3} x}} \, dx = \int \frac{\sec^2 x}{(\tan x)^{4/3}} \, dx$।
माना $\tan x = t$,तो $\sec^2 x \, dx = dt$।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int t^{-4/3} \, dt = \frac{t^{-4/3 + 1}}{-4/3 + 1} + c = \frac{t^{-1/3}}{-1/3} + c = -3t^{-1/3} + c$।
$t$ को $\tan x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = -3(\tan x)^{-1/3} + c$ प्राप्त होता है।

(A) हमारे पास $I = \int \cos^5 x \, dx$ है।
हम इसे $I = \int \cos^4 x \cdot \cos x \, dx = \int (1 - \sin^2 x)^2 \cos x \, dx$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $t = \sin x$,तो $dt = \cos x \, dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int (1 - t^2)^2 \, dt$ प्राप्त होता है।
व्यंजक का विस्तार करने पर,$I = \int (1 - 2t^2 + t^4) \, dt$।
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,$I = t - \frac{2t^3}{3} + \frac{t^5}{5} + c$।
$t = \sin x$ वापस रखने पर,हमें $I = \sin x - \frac{2}{3} \sin^3 x + \frac{1}{5} \sin^5 x + c$ प्राप्त होता है।

(C) माना $I = \int \frac{d\theta}{\sin \theta \cos^3 \theta}$ है।
अंश और हर को $\cos^4 \theta$ से विभाजित करने पर:
$I = \int \frac{\sec^4 \theta \, d\theta}{\tan \theta} = \int \frac{\sec^2 \theta (1 + \tan^2 \theta) \, d\theta}{\tan \theta}$ प्राप्त होता है।
$t = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = \sec^2 \theta \, d\theta$:
$I = \int \frac{1 + t^2}{t} \, dt = \int \left( \frac{1}{t} + t \right) \, dt$ हो जाता है।
$t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \log |t| + \frac{t^2}{2} + c$ प्राप्त होता है।
$t = \tan \theta$ वापस रखने पर:
$I = \log |\tan \theta| + \frac{\tan^2 \theta}{2} + c$।