Integral of the form ex(F(x) + F'(x)) dx Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $I = \int \left\{ \frac{\log x - 1}{1 + (\log x)^2} \right\}^2 dx$.
$\log x = t$ લેતા,$x = e^t$ અને $dx = e^t dt$ મળે.
આ સંકલન $I = \int e^t \left[ \frac{1}{1 + t^2} - \frac{2t}{(1 + t^2)^2} \right] dt$ સ્વરૂપમાં છે.
$\left[ \because \int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + C \right]$
અહીં $f(t) = \frac{1}{1 + t^2}$ અને $f'(t) = \frac{-2t}{(1 + t^2)^2}$ છે.
તેથી,$I = \frac{e^t}{1 + t^2} + C = \frac{x}{1 + (\log x)^2} + C$.

(A) ધારો કે $I = \int {\log x(\log x + 2) \, dx}$.
$\log x = t$ આદેશ લેતા,તેથી $x = e^t$ અને $dx = e^t \, dt$ મળે.
હવે,$I = \int t(t + 2) e^t \, dt = \int (t^2 + 2t) e^t \, dt$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^t [f(t) + f'(t)] \, dt = e^t f(t) + c$.
અહીં,$f(t) = t^2$ અને $f'(t) = 2t$ છે.
તેથી,$I = e^t \cdot t^2 + c$.
$t = \log x$ અને $e^t = x$ પાછા મૂકતા,આપણને $I = x{(\log x)^2} + c$ મળે છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\log x}{(1 + \log x)^2} dx$.
$1 + \log x = t$ આદેશ લેતા,જેનો અર્થ છે કે $\log x = t - 1$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,$\frac{1}{x} dx = dt$,તેથી $dx = x dt$.
$1 + \log x = t$ હોવાથી,$\log x = t - 1$,તેથી $x = e^{t-1}$. આમ,$dx = e^{t-1} dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{t - 1}{t^2} e^{t-1} dt = \int e^{t-1} \left( \frac{t}{t^2} - \frac{1}{t^2} \right) dt = \int e^{t-1} \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} \right) dt$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^u (f(u) + f'(u)) du = e^u f(u) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(t) = \frac{1}{t}$ અને $f'(t) = -\frac{1}{t^2}$:
$I = e^{t-1} \cdot \frac{1}{t} + c$.
$t = 1 + \log x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{e^{(1 + \log x) - 1}}{1 + \log x} + c = \frac{e^{\log x}}{1 + \log x} + c = \frac{x}{1 + \log x} + c$.

(D) આપેલ સંકલન $I = \int {e^x \left( \frac{2 + \sin 2x}{1 + \cos 2x} \right) dx}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ અને $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને સરળ બનાવી શકીએ છીએ:
$\frac{2 + \sin 2x}{1 + \cos 2x} = \frac{2 + 2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{2(1 + \sin x \cos x)}{2\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} = \sec^2 x + \tan x$.
હવે,સંકલન $I = \int e^x (\tan x + \sec^2 x) dx$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત સંકલન સ્વરૂપ $\int e^x (f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ છે.
અહીં,$f(x) = \tan x$ અને $f'(x) = \sec^2 x$ છે.
તેથી,$I = e^x \tan x + c$.

(D) આપણે પ્રમાણિત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int {{e^{kx}}(k f(x) + f'(x))\,dx = e^{kx} f(x) + c}$.
અહીં,$k = 2$ અને $f(x) = \cos x$ છે.
તેથી $f'(x) = -\sin x$ થાય.
આમ,સંકલન $\int {{e^{2x}}(2\cos x - \sin x)\,dx}$ બને છે.
સૂત્ર સાથે સરખાવતા,આપણને $e^{2x} \cos x + c$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int {{e^x}[f(x) + f'(x)]\,dx = e^x f(x) + C}$.
આપેલ સંકલન $I = \int {{e^x}(\sec x + \sec x \tan x)\,dx}$ છે.
ધારો કે $f(x) = \sec x$,તો $f'(x) = \sec x \tan x$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = e^x \sec x + C$.

(C) આપણે સંકલન $I = \int \frac{x e^x}{(1 + x)^2} dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અંશને $(x + 1 - 1)$ તરીકે લખો:
$I = \int \frac{(x + 1 - 1) e^x}{(1 + x)^2} dx$
અપૂર્ણાંકને અલગ કરો:
$I = \int e^x \left( \frac{x + 1}{(1 + x)^2} - \frac{1}{(1 + x)^2} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{(1 + x)^2} \right) dx$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$ યાદ કરો.
અહીં,$f(x) = \frac{1}{1 + x}$ લો. તો $f'(x) = -\frac{1}{(1 + x)^2}$ થાય.
તેથી,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = e^x \left( \frac{1}{1 + x} \right) + c = \frac{e^x}{1 + x} + c$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x [f(x) + f'(x)]\,dx = e^x f(x) + c$ સ્વરૂપના સંકલનનું મૂલ્ય $e^x f(x) + c$ થાય છે.
આપેલ સંકલન $\int e^x [\tan x - \log (\cos x)]\,dx$ છે.
ધારો કે $f(x) = -\log (\cos x) = \log (\cos x)^{-1} = \log (\sec x)$.
તેથી,$f'(x) = \frac{d}{dx} [\log (\sec x)] = \frac{1}{\sec x} \cdot (\sec x \tan x) = \tan x$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\int e^x [\tan x + \log (\sec x)]\,dx = e^x \log (\sec x) + c$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int {{e^x}(\sin^2 x + 2\sin x \cos x)} \,dx$
નિત્યસમ $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int {{e^x}(\sin^2 x + \sin 2x)} \,dx$
ધારો કે $f(x) = \sin^2 x$. તો $f'(x) = 2\sin x \cos x = \sin 2x$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x(f(x) + f'(x)) \,dx = e^x f(x) + c$.
તેથી,$I = e^x \sin^2 x + c$.

(A) આપણી પાસે સંકલન $I = \int {{e^{2x}}\frac{{1 + \sin 2x}}{{1 + \cos 2x}}} \,dx$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$ અને $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int {{e^{2x}}\frac{{1 + 2\sin x \cos x}}{{2\cos^2 x}}} \,dx$
$I = \int {{e^{2x}}\left( \frac{1}{2\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} \right)} \,dx$
$I = \int {{e^{2x}}\left( \frac{1}{2}\sec^2 x + \tan x \right)} \,dx$
ધારો કે $f(x) = \tan x$,તો $f'(x) = \sec^2 x$.
આ સંકલન $\int e^{ax} [f(x) + \frac{1}{a}f'(x)] \,dx = \frac{1}{a} e^{ax} f(x) + c$ સ્વરૂપમાં છે.
અહીં $a = 2$ છે,તેથી $I = \frac{1}{2} e^{2x} \tan x + c$.

(A) આપણે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int {e^x [f(x) + f'(x)]\,dx = e^x f(x) + c}$.
આપેલ સંકલન: $I = \int {\frac{{{e^x}(x - 1)}}{{{x^2}}}\;dx}$.
સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખો: $I = \int {e^x \left( {\frac{x}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\,dx} = \int {e^x \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)\,dx}$.
ધારો કે $f(x) = \frac{1}{x}$. તો $f'(x) = -\frac{1}{{{x^2}}}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $I = e^x \left( \frac{1}{x} \right) + c = \frac{{{e^x}}}{x} + c$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int {{e^x} [f(x) + f'(x)] \, dx} = {e^x} f(x) + c$ સ્વરૂપના સંકલનનું મૂલ્ય ${e^x} f(x) + c$ થાય છે.
આપેલ સંકલન $\int {{e^x} \left[ \frac{1 + x \log x}{x} \right] \, dx}$ છે.
આને $\int {{e^x} \left( \frac{1}{x} + \log x \right) \, dx}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
અહીં,ધારો કે $f(x) = \log x$,તો $f'(x) = \frac{1}{x}$ થાય.
આ કિંમતો પ્રમાણિત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\int {{e^x} [\log x + \frac{1}{x}] \, dx} = {e^x} \log x + c$ મળે છે.

(C) આપણે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $f(x) = \sin^{-1}(\frac{x}{a})$.
તેથી,વિકલન $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin^{-1}(\frac{x}{a})) = \frac{1}{\sqrt{1 - (x/a)^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$.
અહીં સંકલ્ય $e^x [f(x) + f'(x)]$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,સંકલન $e^x f(x) + c$ થાય છે.
તેથી,$\int e^x [\sin^{-1}(\frac{x}{a}) + \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}] dx = e^x \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + c$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$.
આપેલ સંકલન $I = \int e^x \frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2} dx$ છે.
અંશને ફરીથી લખતા: $x^2 + 1 = (x^2 - 1) + 2 = (x - 1)(x + 1) + 2$.
તેથી,$I = \int e^x \left[ \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)^2} + \frac{2}{(x + 1)^2} \right] dx$.
$I = \int e^x \left[ \frac{x - 1}{x + 1} + \frac{2}{(x + 1)^2} \right] dx$.
ધારો કે $f(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$.
તો $f'(x) = \frac{(x + 1)(1) - (x - 1)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2}$.
સંકલન $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,પરિણામ $e^x f(x) + c$ મળે છે.
આમ,$I = e^x \left( \frac{x - 1}{x + 1} \right) + c$.

(C) અમે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int {{e^x} \{ f(x) + f'(x) \} \,dx} = {e^x}f(x) + c$.
અહીં,ધારો કે $f(x) = \frac{1}{x}$.
તેથી,વિકલન $f'(x) = -\frac{1}{{{x^2}}}$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\int {{e^x} \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} \,dx = {e^x} \left( \frac{1}{x} \right) + c = \frac{{{e^x}}}{x} + c$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ થાય છે.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int e^x (\tan x + \sec^2 x) \, dx$.
ધારો કે $f(x) = \tan x$,તો $f'(x) = \sec^2 x$ થાય.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = e^x \tan x + c$.

(B) ધારો કે $I = \int {{e^x}\left( {\frac{{1 - \sin x}}{{1 - \cos x}}} \right)dx} $.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos x = 2\sin^2(x/2)$ અને $\sin x = 2\sin(x/2)\cos(x/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int {{e^x}\left( {\frac{{1 - 2\sin(x/2)\cos(x/2)}}{{2\sin^2(x/2)}}} \right)dx} $.
$I = \int {{e^x}\left( {\frac{1}{{2\sin^2(x/2)}} - \frac{{2\sin(x/2)\cos(x/2)}}{{2\sin^2(x/2)}}} \right)dx} $.
$I = \int {{e^x}\left( {\frac{1}{2}\csc^2(x/2) - \cot(x/2)} \right)dx} $.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int {{e^x}(f(x) + f'(x))dx} = {e^x}f(x) + C$.
અહીં,$f(x) = -\cot(x/2)$ લેતા,$f'(x) = -(-\csc^2(x/2) \cdot 1/2) = \frac{1}{2}\csc^2(x/2)$ મળે છે.
તેથી,$I = {e^x}(-\cot(x/2)) + C = -{e^x}\cot(x/2) + C$.

(C) આપણે સંકલન $I = \int {\frac{{(x + 3){e^x}}}{{{{(x + 4)}^2}}}dx}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અંશ $(x + 3)$ ને $(x + 4 - 1)$ તરીકે લખો:
$I = \int {{e^x}\frac{{(x + 4) - 1}}{{{{(x + 4)}^2}}}dx}$
$I = \int {{e^x}\left( {\frac{{x + 4}}{{{{(x + 4)}^2}}} - \frac{1}{{{{(x + 4)}^2}}}} \right)dx}$
$I = \int {{e^x}\left( {\frac{1}{{x + 4}} - \frac{1}{{{{(x + 4)}^2}}}} \right)dx}$
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર યાદ કરો: $\int {{e^x}(f(x) + f'(x))dx = {e^x}f(x) + c}$.
અહીં,ધારો કે $f(x) = \frac{1}{{x + 4}}$. તો $f'(x) = -\frac{1}{{{{(x + 4)}^2}}}$.
તેથી,$I = {e^x}\left( {\frac{1}{{x + 4}}} \right) + c = \frac{{{e^x}}}{{x + 4}} + c$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int {{e^x}[f(x) + f'(x)]dx = {e^x}f(x) + c}$.
ધારો કે $I = \int {{e^x}{{\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 4}}} \right)}^2}dx} $.
વર્ગની અંદરના પદને ફરીથી લખતા: $\frac{{x + 2}}{{x + 4}} = \frac{{x + 4 - 2}}{{x + 4}} = 1 - \frac{2}{{x + 4}}$.
તેથી,$I = \int {{e^x}{{\left( {1 - \frac{2}{{x + 4}}} \right)}^2}dx} = \int {{e^x}\left( {1 - \frac{4}{{x + 4}} + \frac{4}{{{{(x + 4)}^2}}}} \right)dx} $.
ધારો કે $f(x) = 1 - \frac{4}{{x + 4}}$. તો $f'(x) = - \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{4}{{x + 4}}} \right) = - 4 \cdot \left( { - \frac{1}{{{{(x + 4)}^2}}}} \right) = \frac{4}{{{{(x + 4)}^2}}}$.
આમ,$I = \int {{e^x}[f(x) + f'(x)]dx = {e^x}f(x) + c} $.
$I = {e^x}\left( {1 - \frac{4}{{x + 4}}} \right) + c = {e^x}\left( {\frac{{x + 4 - 4}}{{x + 4}}} \right) + c = {e^x}\left( {\frac{x}{{x + 4}}} \right) + c$.

(A) આપણને સંકલન $I = \int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx$ આપેલું છે.
સંકલનના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int e^x f(x) \, dx + \int e^x f'(x) \, dx$.
હવે,પ્રથમ સંકલન $\int e^x f(x) \, dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$f(x)$ ને પ્રથમ વિધેય અને $e^x$ ને દ્વિતીય વિધેય તરીકે લેતા:
$\int e^x f(x) \, dx = f(x) \int e^x \, dx - \int \left( f'(x) \int e^x \, dx \right) \, dx$.
$= f(x) e^x - \int f'(x) e^x \, dx$.
આ કિંમતને $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = [f(x) e^x - \int e^x f'(x) \, dx] + \int e^x f'(x) \, dx$.
$I = e^x f(x) + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int e^x (1 - \cot x + \cot^2 x) \, dx = \int e^x (\csc^2 x - \cot x) \, dx$.
ધારો કે $f(x) = -\cot x$.
તો $f'(x) = -(-\csc^2 x) = \csc^2 x$.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int e^x (f(x) + f'(x)) \, dx = e^x f(x) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = e^x(-\cot x) + c = -e^x \cot x + c$.

(C) આપણને સંકલન $I = \int {e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right)} dx$ આપેલ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos x = 2\cos^2(x/2)$ અને $\sin x = 2\sin(x/2)\cos(x/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int e^x \left[ \frac{1 + 2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\cos^2(x/2)} \right] dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{1}{2\cos^2(x/2)} + \frac{2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2\cos^2(x/2)} \right] dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{1}{2}\sec^2(x/2) + \tan(x/2) \right] dx$.
ધારો કે $f(x) = \tan(x/2)$. તો $f'(x) = \frac{1}{2}\sec^2(x/2)$.
સંકલન $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$ ના સ્વરૂપમાં હોવાથી,આપણને મળે છે:
$I = e^x \tan(x/2) + c$.
આને આપેલ પદ ${e^x}f(x) + c$ સાથે સરખાવતા,$f(x) = \tan(x/2)$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int {{e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}} \left( {\frac{{1 + x + {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)dx$.
${\tan ^{ - 1}}x = t$ આદેશ લેતા,$x = \tan t$ અને $dx = \sec^2 t \, dt$ મળે.
વળી,$\frac{dx}{1+x^2} = dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^t (1 + \tan t + \tan^2 t) dt$
$I = \int e^t (1 + \tan^2 t + \tan t) dt$
$1 + \tan^2 t = \sec^2 t$ હોવાથી:
$I = \int e^t (\sec^2 t + \tan t) dt$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^t (f(t) + f'(t)) dt = e^t f(t) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(t) = \tan t$ અને $f'(t) = \sec^2 t$:
$I = e^t \tan t + C$.
$t = \tan^{-1} x$ પાછું મૂકતા:
$I = x e^{\tan^{-1} x} + C$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)$ નું પ્રતિવિકલિત $e^x$ છે,તેથી $f(x) = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$ થાય.
આપેલ છે કે $g(x)$ નું પ્રતિવિકલિત $\cos x$ છે,તેથી $g(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$ થાય.
આપણે સંકલન $I = \int f(x) \cos x \, dx + \int g(x) e^x \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$f(x)$ અને $g(x)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$I = \int e^x \cos x \, dx + \int (-\sin x) e^x \, dx$.
$I = \int e^x (\cos x - \sin x) \, dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x (h(x) + h'(x)) \, dx = e^x h(x) + c$ થાય.
અહીં,$h(x) = \cos x$ લેતા,$h'(x) = -\sin x$ મળે.
તેથી,$I = e^x \cos x + c$.

(B) આપણે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c$.
સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખો:
$\frac{x - 1}{(x + 1)^3} = \frac{(x + 1) - 2}{(x + 1)^3} = \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{2}{(x + 1)^3}$.
ધારો કે $f(x) = \frac{1}{(x + 1)^2}$.
તો $f'(x) = \frac{d}{dx} [(x + 1)^{-2}] = -2(x + 1)^{-3} = -\frac{2}{(x + 1)^3}$.
આમ,સંકલન આ મુજબ બને છે:
$\int e^x \left[ \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{2}{(x + 1)^3} \right] \, dx = \int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c$.
$f(x)$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{e^x}{(x + 1)^2} + c$.

(C) આપણે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,ધારો કે $f(x) = \frac{1}{x}$.
તેથી,$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
આમ,સંકલન $\int_1^2 e^x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right) \, dx = \left[ e^x \cdot \frac{1}{x} \right]_1^2$ બને છે.
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$= \left( e^2 \cdot \frac{1}{2} \right) - \left( e^1 \cdot \frac{1}{1} \right) = \frac{e^2}{2} - e$.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int_1^e \frac{e^x}{x}(1 + x \log x) \, dx$ છે.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$I = \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx + \int_1^e e^x \log x \, dx$.
બીજા પદ $\int_1^e e^x \log x \, dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = \log x$ અને $dv = e^x \, dx$.
તેથી $du = \frac{1}{x} \, dx$ અને $v = e^x$ મળે.
સૂત્ર $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int_1^e e^x \log x \, dx = [e^x \log x]_1^e - \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx$.
આ કિંમત $I$ માં મૂકતા:
$I = \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx + ([e^x \log x]_1^e - \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx)$.
અહીં $\int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx$ પદો ઉડી જશે.
$I = [e^x \log x]_1^e = (e^e \log e - e^1 \log 1)$.
$\log e = 1$ અને $\log 1 = 0$ હોવાથી:
$I = e^e(1) - e(0) = e^e$.

(C) ધારો કે $I = \int_{\pi/4}^{\pi/2} e^x (\log \sin x + \cot x) \, dx$.
ગુણધર્મ $\int e^x (f(x) + f'(x)) \, dx = e^x f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે $f(x) = \log \sin x$ લઈએ.
તેથી $f'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$ થાય.
આમ,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = [e^x \log \sin x]_{\pi/4}^{\pi/2}$
$I = e^{\pi/2} \log \sin(\pi/2) - e^{\pi/4} \log \sin(\pi/4)$
કારણ કે $\sin(\pi/2) = 1$ અને $\log(1) = 0$ છે:
$I = e^{\pi/2} \cdot 0 - e^{\pi/4} \log(1/\sqrt{2})$
$I = -e^{\pi/4} \log(2^{-1/2}) = -e^{\pi/4} \cdot (-\frac{1}{2} \log 2) = \frac{1}{2} e^{\pi/4} \log 2$.

(B) ધારો કે $I = \int_0^1 \frac{e^x(x - 1)}{(x + 1)^3} \, dx$.
અંશને $(x + 1 - 2)$ તરીકે લખી શકાય.
$I = \int_0^1 \frac{e^x(x + 1 - 2)}{(x + 1)^3} \, dx = \int_0^1 \frac{e^x}{(x + 1)^2} \, dx - 2 \int_0^1 \frac{e^x}{(x + 1)^3} \, dx$.
અહીં આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x (f(x) + f'(x)) \, dx = e^x f(x) + C$.
જો $f(x) = \frac{1}{(x + 1)^2}$ લઈએ,તો $f'(x) = -\frac{2}{(x + 1)^3}$ થાય.
તેથી,$\int e^x \left( \frac{1}{(x + 1)^2} - \frac{2}{(x + 1)^3} \right) \, dx = \frac{e^x}{(x + 1)^2} + C$.
નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય મેળવતા:
$\left[ \frac{e^x}{(x + 1)^2} \right]_0^1 = \frac{e^1}{(1 + 1)^2} - \frac{e^0}{(0 + 1)^2} = \frac{e}{4} - 1$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = e^x(\sin x + \cos x)$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,$y = \int e^x(\sin x + \cos x) dx$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત સંકલનનું સૂત્ર $\int e^x(f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ છે.
અહીં,જો $f(x) = \sin x$ લઈએ,તો $f'(x) = \cos x$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $y = e^x \sin x + c$ મળે છે.

(D) ધારો કે $I = \int \left( {1 + x - \frac{1}{x}} \right){e^{x + \frac{1}{x}}} dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int \left( {e^{x + \frac{1}{x}} + x \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) {e^{x + \frac{1}{x}}}} \right) dx$.
ધારો કે $f(x) = x e^{x + \frac{1}{x}}$.
તો,ગુણાકારના નિયમ મુજબ,$f'(x) = 1 \cdot e^{x + \frac{1}{x}} + x \cdot e^{x + \frac{1}{x}} \cdot \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)$.
$f'(x) = e^{x + \frac{1}{x}} + x \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right) e^{x + \frac{1}{x}}$.
આ સંકલ્ય સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$\int f'(x) dx = f(x) + C$.
$I = x e^{x + \frac{1}{x}} + C$.

(A) ધારો કે $I = \int {{e^{2x}}\left( {\frac{{\sin 4x - 2}}{{1 - \cos 4x}}} \right)} \,dx$.
નિત્યસમ $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$ અને $1 - \cos 4x = 2 \sin^2 2x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int {{e^{2x}}\left( {\frac{{2 \sin 2x \cos 2x - 2}}{{2 \sin^2 2x}}} \right)} \,dx$
$I = \int {{e^{2x}}\left( {\frac{{\sin 2x \cos 2x - 1}}{{\sin^2 2x}}} \right)} \,dx$
$I = \int {{e^{2x}}\left( {\cot 2x - \csc^2 2x} \right)} \,dx$
ધારો કે $f(x) = \cot 2x$,તો $f'(x) = -2 \csc^2 2x$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int e^{2x} \cot 2x \, dx - \int e^{2x} \csc^2 2x \, dx$.
$\int e^{2x} \cot 2x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cot 2x - \int \frac{1}{2} e^{2x} (-2 \csc^2 2x) \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cot 2x + \int e^{2x} \csc^2 2x \, dx$.
આ કિંમત મૂકતા:
$I = \left( \frac{1}{2} e^{2x} \cot 2x + \int e^{2x} \csc^2 2x \, dx \right) - \int e^{2x} \csc^2 2x \, dx + c$
$I = \frac{1}{2} e^{2x} \cot 2x + c$.

(A) આપણે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int {{e^{ax}}[af(x) + f'(x)]\,dx = {e^{ax}}f(x) + C}$.
અહીં,$a = 2$ અને $f(x) = \sin 3x$ છે.
તેથી,$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin 3x) = 3\cos 3x$ થાય.
આપેલ સંકલન $\int {{e^{2x}}(2\sin 3x + 3\cos 3x)\,dx}$ છે.
સૂત્ર સાથે સરખાવતા,આપણને $f(x) = \sin 3x$ અને $f'(x) = 3\cos 3x$ મળે છે.
તેથી,સંકલનનું મૂલ્ય ${e^{2x}}\sin 3x + C$ થાય.

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\infty} e^{-2x} (\sin 2x + \cos 2x) dx$.
આપણે પ્રમાણિત સૂત્ર $\int e^{ax} (f(x) + \frac{1}{a} f'(x)) dx = \frac{1}{a} e^{ax} f(x) + C$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અહીં $a = -2$ અને $f(x) = \sin 2x$ છે,તેથી $f'(x) = 2 \cos 2x$.
આમ,સંકલન $\left[ \frac{1}{-2} e^{-2x} \sin 2x \right]_{0}^{\infty}$ થશે.
સીમાઓ મૂકતા:
જ્યારે $x \to \infty$,ત્યારે $e^{-2x} \to 0$,તેથી પદ $0$ થાય છે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $\sin(0) = 0$,તેથી પદ $0$ થાય છે.
પરંતુ,સીધી રીતે ગણતરી કરતા:
$\int_{0}^{\infty} e^{-2x} \sin 2x dx = 1/4$ અને $\int_{0}^{\infty} e^{-2x} \cos 2x dx = 1/4$.
તેથી,$I = 1/4 + 1/4 = 1/2$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} (x + \sqrt{x}) \, dx$.
$\sqrt{x} = t$ આદેશ લેતા,$\frac{1}{2\sqrt{x}} dx = dt$,તેથી $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int e^t (t^2 + t) (2 dt) = 2 \int e^t (t^2 + t) \, dt$.
સૂત્ર $\int e^t [f(t) + f'(t)] \, dt = e^t f(t) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,
$2 \int e^t (t^2 + t) \, dt = 2 e^t (t^2 - t + 1) + C$.
$t = \sqrt{x}$ પાછું મૂકતા:
$I = 2 e^{\sqrt{x}} (x - \sqrt{x} + 1) + C$.

(C) આપેલ સંકલન $I = \int {\frac{{{e^{{{\tan }^{ - 1}}x}}}}{{(1 + {x^2})}}\,\,\left[ {{{\left( {{{\sec }^{ - 1}}\,\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}\,\, + \,\,{{\cos }^{ - 1}}\,\left( {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \right)} \right]} \,\,\,dx$ છે.
પ્રથમ,ત્રિકોણમિતીય પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$x > 0$ માટે,ધારો કે $\tan^{-1}x = \theta$,તો $x = \tan\theta$.
$\sec^{-1}\sqrt{1+x^2} = \sec^{-1}(\sec\theta) = \theta = \tan^{-1}x$.
તેમજ,$\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right) = \cos^{-1}(\cos 2\theta) = 2\theta = 2\tan^{-1}x$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{e^{\tan^{-1}x}}{1+x^2} [(\tan^{-1}x)^2 + 2\tan^{-1}x] dx$.
ધારો કે $t = \tan^{-1}x$,તો $dt = \frac{1}{1+x^2} dx$.
$I = \int e^t (t^2 + 2t) dt$.
સૂત્ર $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(t) = t^2$ અને $f'(t) = 2t$:
$I = e^t \cdot t^2 + C = e^{\tan^{-1}x} (\tan^{-1}x)^2 + C$.

(A) ધારો કે $I = \int {\frac{{{e^{\sqrt x }}}}{{\sqrt x }}} \left( {x + \sqrt x } \right)dx$.
$\sqrt x = t$ આદેશ લેતા,$\frac{1}{{2\sqrt x }}dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int {{e^t}} (t^2 + t) (2dt) = 2 \int {{e^t}} (t^2 + t) dt$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int {{e^t}} (f(t) + f'(t)) dt = {e^t}f(t) + C$.
અહીં,$I = 2 \int {{e^t}} (t^2 + t) dt$ ને ઉકેલતા:
$I = 2 [\int {{e^t}} (t^2 - t + 1 + 2t - 1) dt]$ જે યોગ્ય નથી.
સાચું સ્વરૂપ: $I = 2 \int {{e^t}} (t^2 + t) dt = 2 [e^t(t^2 - t + 1)] + C$.
$t = \sqrt x$ મૂકતા:
$I = 2{e^{\sqrt x }}(x - \sqrt x + 1) + C$.

(A) આપણને $f(x) = \frac{2\sin^2 x - 1}{\cos x} + \frac{\cos x(2\sin x + 1)}{1 + \sin x}$ આપેલ છે.
પદને સાદું રૂપ આપતા: $f(x) = \frac{2\sin^2 x - 1}{\cos x} + \frac{\cos x(2\sin x + 1)(1 - \sin x)}{1 - \sin^2 x} = \frac{2\sin^2 x - 1}{\cos x} + \frac{\cos x(2\sin x - 2\sin^2 x + 1 - \sin x)}{\cos^2 x} = \frac{2\sin^2 x - 1 + \sin x - 2\sin^2 x + 1}{\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.
તેથી,$f(x) = \tan x$ અને $f'(x) = \sec^2 x$ મળે છે.
સંકલન $\int e^x(\tan x + \sec^2 x) dx$ થાય છે.
સૂત્ર $\int e^x(f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $e^x \tan x + c$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$.
આપેલ સંકલન $I = \int e^x \left( \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x} \right) dx$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \sin x = 1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ અને $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int e^x \left( \frac{1 - 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} - \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} \right) dx$
$I = \int e^x \left( \frac{1}{2} \csc^2 \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2} \right) dx$
ધારો કે $f(x) = - \cot \frac{x}{2}$. તો $f'(x) = - \left( - \csc^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \csc^2 \frac{x}{2}$.
આમ,$I = \int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C = -e^x \cot \frac{x}{2} + C$.

(D) ધારો કે $I = \int_1^2 e^{2x} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} \right) dx$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત સંકલન સ્વરૂપ $\int e^{ax} [f(x) + \frac{f'(x)}{a}] dx = \frac{1}{a} e^{ax} f(x) + C$ છે.
અહીં,$f(x) = \frac{1}{x}$ લો. તેથી $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
આપેલ સંકલન સાથે સરખાવતા,$a = 2$.
આમ,$\int e^{2x} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} \right) dx = \frac{1}{2} e^{2x} \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{e^{2x}}{2x}$.
હવે,$1$ થી $2$ ની સીમાઓ લાગુ કરતા:
$I = \left[ \frac{e^{2x}}{2x} \right]_1^2 = \frac{e^{2(2)}}{2(2)} - \frac{e^{2(1)}}{2(1)} = \frac{e^4}{4} - \frac{e^2}{2}$.
આને $\frac{e^4 - 2e^2}{4}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + c$.
આપેલ સંકલન $I = \int e^x \frac{x - 3}{(x - 1)^3} \, dx$ છે.
અંશને $(x - 1) - 2$ તરીકે લખતા:
$I = \int e^x \frac{(x - 1) - 2}{(x - 1)^3} \, dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{x - 1}{(x - 1)^3} - \frac{2}{(x - 1)^3} \right] \, dx$
$I = \int e^x \left[ \frac{1}{(x - 1)^2} - \frac{2}{(x - 1)^3} \right] \, dx$
ધારો કે $f(x) = \frac{1}{(x - 1)^2} = (x - 1)^{-2}$.
તેથી $f'(x) = -2(x - 1)^{-3} = -\frac{2}{(x - 1)^3}$.
આ સંકલન $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,જવાબ $e^x f(x) + c$ મળે.
તેથી,$I = \frac{e^x}{(x - 1)^2} + c$.

(A) આપેલ સંકલન $I = \int e^{\sin x} (\sin x + \sec^2 x) \, dx$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $f(x) = \tan x$ હોય,તો $f'(x) = \sec^2 x$.
અહીં,$\frac{d}{dx} [e^{\sin x} \tan x] = e^{\sin x} \cdot \cos x \cdot \tan x + e^{\sin x} \cdot \sec^2 x$.
કારણ કે $\cos x \cdot \tan x = \sin x$,તેથી $\frac{d}{dx} [e^{\sin x} \tan x] = e^{\sin x} (\sin x + \sec^2 x)$.
તેથી,સંકલનનું મૂલ્ય $e^{\sin x} \tan x + C$ થાય છે.

(B) આપેલ સંકલન: $I = \int e^{x^2+x}(2x^2+x+1) dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ: $I = \int e^{x^2+x} [x(2x+1) + 1] dx$.
ધારો કે $g(x) = x$ અને $h(x) = x^2+x$. તો $h'(x) = 2x+1$.
સંકલન $\int e^{h(x)} [g(x)h'(x) + g'(x)] dx$ સ્વરૂપમાં છે.
સૂત્ર $\int e^{h(x)} [g(x)h'(x) + g'(x)] dx = g(x)e^{h(x)} + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = x e^{x^2+x} + c$.
આમ,$f(x) = x$.
આપેલ ઉકેલ મુજબ $m = -1/e$ લેતા,
$-\frac{1}{m} = e \approx 2.718$.
તેથી $[2.718] = 2$.

(A) આપણને આપેલ છે કે $\int e^{x^2} \left( 2 - \frac{1}{x^2} \right) dx = e^{x^2} f(x) + C$.
ધારો કે $I = \int e^{x^2} \left( 2 - \frac{1}{x^2} \right) dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$e^{x^2} \left( 2 - \frac{1}{x^2} \right) = e^{x^2} \left( 2x \cdot \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right)$.
જો આપણે $f(x) = \frac{1}{x}$ લઈએ,તો $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
હવે,$\frac{d}{dx} [e^{x^2} f(x)] = e^{x^2} (2x) f(x) + e^{x^2} f'(x) = e^{x^2} [2x f(x) + f'(x)]$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$2x f(x) + f'(x) = 2 - \frac{1}{x^2}$.
જો $f(x) = \frac{1}{x}$ હોય,તો $2x(\frac{1}{x}) + (-\frac{1}{x^2}) = 2 - \frac{1}{x^2}$,જે સાચું છે.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{x} + k$.
$f(\frac{1}{2}) = 2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{1}{1/2} + k = 2 \implies 2 + k = 2 \implies k = 0$.
આમ,$f(x) = \frac{1}{x}$.
તેથી,$f(1) = \frac{1}{1} = 1$.

(B) ધારો કે $I = \int {\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + 1}}} \cdot {e^{{{\cot }^{ - 1}}x}}dx$.
$x = \cot t$ આદેશ લેતા,$dx = -\csc^2 t \, dt$ મળે.
$1 + \cot^2 t = \csc^2 t$ હોવાથી,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int {\frac{{\cot^2 t - \cot t + 1}}{{\csc^2 t}}} \cdot {e^t} \cdot (-\csc^2 t) \, dt$
$I = - \int {e^t} (\cot^2 t - \cot t + 1) \, dt$
$I = - \int {e^t} (\csc^2 t - \cot t) \, dt$
$I = \int {e^t} (\cot t - \csc^2 t) \, dt$
સૂત્ર $\int {e^t} (f(t) + f'(t)) \, dt = {e^t} f(t) + C$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $f(t) = \cot t$ અને $f'(t) = -\csc^2 t$ છે:
$I = {e^t} \cot t + C$
$t = \cot^{-1} x$ પાછું મૂકતા:
$I = {e^{\cot^{-1} x}} \cdot x + C$
આને $A(x) {e^{\cot^{-1} x}} + C$ સાથે સરખાવતા,$A(x) = x$ મળે છે.

(D) આપેલ સંકલન સમીકરણ: $\int e^{\sec x} (\sec x + \tan x f(x) + \sec x \tan x + \sec^2 x) dx = e^{\sec x} f(x) + C$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$e^{\sec x} (\sec x + \tan x f(x) + \sec x \tan x + \sec^2 x) = \frac{d}{dx} (e^{\sec x} f(x))$.
જમણી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા:
$e^{\sec x} (\sec x + \tan x f(x) + \sec x \tan x + \sec^2 x) = e^{\sec x} \cdot \sec x \tan x \cdot f(x) + e^{\sec x} f'(x)$.
બંને બાજુ $e^{\sec x}$ વડે ભાગતા:
$\sec x + \tan x f(x) + \sec x \tan x + \sec^2 x = \sec x \tan x f(x) + f'(x)$.
$f'(x)$ માટે ગોઠવતા:
$f'(x) = \sec x + \sec x \tan x + \sec^2 x + \tan x f(x) - \sec x \tan x f(x)$.
જો આપણે $f(x) = \sec x + \tan x$ લઈએ,તો $f'(x) = \sec x \tan x + \sec^2 x$ મળે છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા તે સાબિત થાય છે. તેથી,$f(x) = \sec x + \tan x + c$.
વિકલ્પોને જોતા,$f(x) = \sec x + \tan x + \frac{1}{2}$ એ યોગ્ય પસંદગી છે.

(A) આપણે સંકલન $I = \int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2 x^{2}}\right) e^{2 x} d x$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{x} dx - \int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{2x^2} dx$.
પ્રથમ પદ માટે $u = \frac{1}{x}$ અને $dv = e^{2x} dx$ લેતા:
$du = -\frac{1}{x^2} dx$ અને $v = \frac{e^{2x}}{2}$.
તેથી,$\int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{x} dx = \left[ \frac{e^{2x}}{2x} \right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{2} \left(-\frac{1}{x^2}\right) dx = \left[ \frac{e^{2x}}{2x} \right]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{2x^2} dx$.
આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = \left[ \frac{e^{2x}}{2x} \right]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{2x^2} dx - \int_{1}^{2} \frac{e^{2x}}{2x^2} dx = \left[ \frac{e^{2x}}{2x} \right]_{1}^{2}$.
$I = \frac{e^4}{4} - \frac{e^2}{2} = \frac{e^4 - 2e^2}{4}$.

(D) ધારો કે $I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} e^{x}\left(\frac{1-\sin x}{1-\cos x}\right) d x$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1-\sin x = 1-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ અને $1-\cos x = 2 \sin^{2} \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} e^{x} \left( \frac{1-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^{2} \frac{x}{2}} \right) d x$
$I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} e^{x} \left( \frac{1}{2} \csc^{2} \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2} \right) d x$
ધારો કે $f(x) = -\cot \frac{x}{2}$. તો $f'(x) = -(-\frac{1}{2} \csc^{2} \frac{x}{2}) = \frac{1}{2} \csc^{2} \frac{x}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^{x} (f(x) + f'(x)) d x = e^{x} f(x) + C$,તેથી:
$I = \left[ e^{x} (-\cot \frac{x}{2}) \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}$
$I = -\left[ e^{\pi} \cot \frac{\pi}{2} - e^{\frac{\pi}{2}} \cot \frac{\pi}{4} \right]$
કારણ કે $\cot \frac{\pi}{2} = 0$ અને $\cot \frac{\pi}{4} = 1$:
$I = -\left[ e^{\pi} (0) - e^{\frac{\pi}{2}} (1) \right] = e^{\frac{\pi}{2}}$.

(A) આપણી પાસે $I = \int e^{x} \left( \tan^{-1} x + \frac{1}{1+x^{2}} \right) dx$ છે.
ધારો કે $f(x) = \tan^{-1} x$.
તેથી,તેનું વિકલન $f'(x) = \frac{1}{1+x^{2}}$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$ સ્વરૂપનું સંકલન $e^{x} f(x) + C$ થાય છે.
આપણા સંકલનને આ પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $I = e^{x} \tan^{-1} x + C$ મળે છે.

(A) આપણી પાસે $I = \int \frac{(x^{2}+1) e^{x}}{(x+1)^{2}} dx = \int e^{x} \left[ \frac{x^{2}-1+2}{(x+1)^{2}} \right] dx$ છે.
$= \int e^{x} \left[ \frac{x^{2}-1}{(x+1)^{2}} + \frac{2}{(x+1)^{2}} \right] dx = \int e^{x} \left[ \frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)^{2}} + \frac{2}{(x+1)^{2}} \right] dx$
$= \int e^{x} \left[ \frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^{2}} \right] dx$
ધારો કે $f(x) = \frac{x-1}{x+1}$. તો,$f'(x) = \frac{(1)(x+1) - (x-1)(1)}{(x+1)^{2}} = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^{2}} = \frac{2}{(x+1)^{2}}$.
કારણ કે સંકલન $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$ સ્વરૂપમાં છે,
તેથી આપણને $I = e^{x} \left( \frac{x-1}{x+1} \right) + C$ મળે છે.