Evaluation of various forms of integration Questions in Gujarati

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \sin x = \sin^2(x/2) + \cos^2(x/2) + 2\sin(x/2)\cos(x/2) = (\sin(x/2) + \cos(x/2))^2$.
વૈકલ્પિક રીતે,$1 + \sin x = 1 + \cos(\pi/2 - x) = 2\cos^2(\pi/4 - x/2)$.
તેથી,$\sqrt{1 + \sin x} = \sqrt{2} \cos(\pi/4 - x/2) = \sqrt{2} \sin(\pi/4 + x/2)$.
સંકલન $\int \frac{1}{\sqrt{2} \sin(\pi/4 + x/2)} \, dx$ બને છે.
આ $\frac{1}{\sqrt{2}} \int \csc(\pi/4 + x/2) \, dx$ ની બરાબર છે.
સૂત્ર $\int \csc \theta \, d\theta = \log \tan(\theta/2) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2 \log \tan \left( \frac{\pi/4 + x/2}{2} \right) + c = \sqrt{2} \log \tan \left( \frac{\pi}{8} + \frac{x}{4} \right) + c$.

(A) આપણે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int \sqrt{a^2 + x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{a^2}{2}\ln|x + \sqrt{a^2 + x^2}| + C$.
સૂત્રમાં $a = 1$ મૂકતા:
$\int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{1 + x^2} + \frac{1^2}{2}\ln|x + \sqrt{1 + x^2}| + C$.
આમ,પરિણામ $\frac{x}{2}\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2}\ln|x + \sqrt{1 + x^2}| + C$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int {\sqrt {{x^2} + {a^2}} \,dx} $.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$1$ ને બીજું વિધેય લેતા:
$I = \sqrt {{x^2} + {a^2}} \cdot x - \int {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }} \cdot x \,dx} $
$I = x\sqrt {{x^2} + {a^2}} - \int {\frac{{{x^2} + {a^2} - {a^2}}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }} \,dx} $
$I = x\sqrt {{x^2} + {a^2}} - \int {\sqrt {{x^2} + {a^2}} \,dx} + {a^2}\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}} $
$I = x\sqrt {{x^2} + {a^2}} - I + {a^2}\log \left| x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} \right| + C$
$2I = x\sqrt {{x^2} + {a^2}} + {a^2}\log \left| x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} \right| + C$
$I = \frac{x}{2}\sqrt {{x^2} + {a^2}} + \frac{{{a^2}}}{2}\log \left| x + \sqrt {{x^2} + {a^2}} \right| + C$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{e^{-x}}{1 + e^x} \, dx$.
અંશ અને છેદને $e^{-x}$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{e^{-x} \cdot e^{-x}}{e^{-x}(1 + e^x)} \, dx = \int \frac{e^{-2x}}{e^{-x} + 1} \, dx$.
ધારો કે $t = e^{-x} + 1$. તેથી $dt = -e^{-x} \, dx$,જેનો અર્થ છે કે $e^{-x} \, dx = -dt$.
વળી,$e^{-x} = t - 1$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{t - 1}{t} (-dt) = -\int (1 - \frac{1}{t}) \, dt = \int (\frac{1}{t} - 1) \, dt$.
સંકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \log|t| - t + c$.
$t = e^{-x} + 1$ પાછું મૂકતા:
$I = \log(e^{-x} + 1) - (e^{-x} + 1) + c$.
કારણ કે $\log(e^{-x} + 1) = \log(\frac{1 + e^x}{e^x}) = \log(1 + e^x) - \log(e^x) = \log(1 + e^x) - x$,
$I = \log(1 + e^x) - x - e^{-x} - 1 + c$.
અહીં $-1 + c$ એ એક નવો અચળાંક $C$ છે,તેથી અંતિમ જવાબ $\log(1 + e^x) - x - e^{-x} + C$ છે.

(A) આપણે સંકલન $I = \int \sec x \tan^3 x \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\tan^3 x$ ને $\tan^2 x \cdot \tan x$ તરીકે લખતા:
$I = \int \sec x (\sec^2 x - 1) \tan x \, dx$
$I = \int \sec^2 x (\sec x \tan x) \, dx - \int \sec x \tan x \, dx$
ધારો કે $t = \sec x$,તેથી $dt = \sec x \tan x \, dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int t^2 \, dt - \int 1 \, dt$
$I = \frac{t^3}{3} - t + c$
$t = \sec x$ પાછા મૂકતા:
$I = \frac{1}{3} \sec^3 x - \sec x + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(x^2 - 1)\sqrt{x^2 + 1}}$.
$x = \tan \theta$ લેતા,$dx = \sec^2 \theta \, d\theta$ મળે.
સંકલન $\int \frac{\sec^2 \theta \, d\theta}{(\tan^2 \theta - 1)\sec \theta} = \int \frac{\sec \theta}{\tan^2 \theta - 1} \, d\theta = \int \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta} \, d\theta$ બને.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\int \frac{\cos \theta \, d\theta}{2\sin^2 \theta - 1}$ મળે.
$t = \sin \theta$ લેતા,$dt = \cos \theta \, d\theta$ મળે.
$I = \int \frac{dt}{2t^2 - 1} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t^2 - (1/\sqrt{2})^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \log \left| \frac{x-a}{x+a} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2(1/\sqrt{2})} \log \left| \frac{t - 1/\sqrt{2}}{t + 1/\sqrt{2}} \right| + c = \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{\sqrt{2}t - 1}{\sqrt{2}t + 1} \right| + c$ મળે.
અહીં $t = \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ હોવાથી,$\sqrt{2}t = \frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{1+x^2}}$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$I = \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{1+x^2}} - 1}{\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{1+x^2}} + 1} \right| + c = \frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{x\sqrt{2} - \sqrt{1+x^2}}{x\sqrt{2} + \sqrt{1+x^2}} \right| + c$.
$\log|a/b| = -\log|b/a|$ હોવાથી,આ $\frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{\sqrt{1+x^2} - x\sqrt{2}}{\sqrt{1+x^2} + x\sqrt{2}} \right| + c$ ને સમાન છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{1}{[{(x - 1)}^3 {(x + 2)}^5]^{1/4}} \,dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int \frac{1}{[{(x - 1)}^3 {(x + 2)}^3 {(x + 2)}^2]^{1/4}} \,dx = \int \frac{1}{[{(x - 1)}^3 {(x + 2)}^3]^{1/4} \cdot {(x + 2)}^{2/4}} \,dx$
$I = \int \frac{1}{[\frac{x - 1}{x + 2}]^{3/4} \cdot {(x + 2)}^2} \,dx$.
ધારો કે $t = \frac{x - 1}{x + 2}$. તો,ભાગાકારના નિયમ મુજબ,$dt = \frac{(x + 2)(1) - (x - 1)(1)}{{(x + 2)}^2} \,dx = \frac{3}{{(x + 2)}^2} \,dx$.
તેથી,$\frac{1}{{(x + 2)}^2} \,dx = \frac{1}{3} \,dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{t^{3/4}} \cdot \frac{1}{3} \,dt = \frac{1}{3} \int t^{-3/4} \,dt$.
$I = \frac{1}{3} \left( \frac{t^{1/4}}{1/4} \right) + c = \frac{4}{3} t^{1/4} + c$.
$t = \frac{x - 1}{x + 2}$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{4}{3} {\left( \frac{x - 1}{x + 2} \right)}^{1/4} + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{1}{1 + \sin^2 x} \, dx$.
અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{\sec^2 x + \tan^2 x} \, dx = \int \frac{\sec^2 x}{1 + \tan^2 x + \tan^2 x} \, dx = \int \frac{\sec^2 x}{1 + 2\tan^2 x} \, dx$.
$t = \tan x$ આદેશ લેતા,તેથી $dt = \sec^2 x \, dx$:
$I = \int \frac{dt}{1 + 2t^2} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\frac{1}{2} + t^2} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + t^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1/\sqrt{2}} \tan^{-1}(\frac{t}{1/\sqrt{2}}) + k = \frac{\sqrt{2}}{2} \tan^{-1}(\sqrt{2}t) + k = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\sqrt{2} \tan x) + k$.

(D) સંકલન $I = \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \, dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદરના અંશનું સંમેયીકરણ કરીએ:
$I = \int \sqrt{\frac{(1-x)(1-x)}{(1+x)(1-x)}} \, dx = \int \sqrt{\frac{(1-x)^2}{1-x^2}} \, dx$
$I = \int \frac{1-x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$
પ્રથમ ભાગ માટે,$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \sin^{-1} x$.
બીજા ભાગ માટે,ધારો કે $u = 1-x^2$,તો $du = -2x \, dx$,તેથી $x \, dx = -\frac{1}{2} du$.
$-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\int \frac{-1/2 \, du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} = \sqrt{u} = \sqrt{1-x^2}$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $I = \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + c$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{\sin x}{\sin x - \cos x} \, dx$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા: $I = \frac{1}{2} \int \frac{2\sin x}{\sin x - \cos x} \, dx$.
અંશને આ રીતે લખતા: $2\sin x = (\sin x - \cos x) + (\sin x + \cos x)$.
તેથી,$I = \frac{1}{2} \int \frac{(\sin x - \cos x) + (\sin x + \cos x)}{\sin x - \cos x} \, dx$.
$I = \frac{1}{2} \int \left( 1 + \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \right) \, dx$.
$I = \frac{1}{2} \left[ \int 1 \, dx + \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \, dx \right]$.
બીજા સંકલન માટે,$u = \sin x - \cos x$ લેતા,$du = (\cos x + \sin x) \, dx$ મળે.
$I = \frac{1}{2} [x + \log |\sin x - \cos x|] + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \, dx$.
વર્ગમૂળની અંદર અંશ અને છેદને $(1+x)$ વડે ગુણતા:
$I = \int \sqrt{\frac{(1+x)^2}{(1-x)(1+x)}} \, dx = \int \frac{1+x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$.
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરતા:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$.
પ્રથમ સંકલન $\sin^{-1}x$ છે.
બીજા સંકલન માટે,$u = 1-x^2$ લેતા,$du = -2x \, dx$ મળે,તેથી $x \, dx = -\frac{1}{2} du$.
$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\frac{1}{2} \int u^{-1/2} \, du = -\frac{1}{2} (2u^{1/2}) = -\sqrt{1-x^2}$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $I = \sin^{-1}x - \sqrt{1-x^2} + c$ મળે છે.

(B) આપેલ સંકલન: $I = \int \frac{\cos 4x + 1}{\cot x - \tan x} dx$.
નિત્યસમ $1 + \cos 4x = 2 \cos^2 2x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{2 \cos^2 2x}{\frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x}} dx = \int \frac{2 \cos^2 2x}{\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x}} dx$.
કારણ કે $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ અને $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ હોવાથી:
$I = \int \frac{2 \cos^2 2x}{\frac{\cos 2x}{\frac{1}{2} \sin 2x}} dx = \int \frac{2 \cos^2 2x \cdot \frac{1}{2} \sin 2x}{\cos 2x} dx$.
$I = \int \cos 2x \sin 2x dx = \frac{1}{2} \int \sin 4x dx$.
$I = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 4x}{4} \right) + c = -\frac{1}{8} \cos 4x + c$.
$k \cos 4x + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = -1/8$ મળે છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{x^4}{x + x^5} dx$.
અંશને $(x^4 + 1) - 1$ તરીકે લખી શકાય.
$I = \int \frac{x^4 + 1 - 1}{x(1 + x^4)} dx$
$I = \int \frac{x^4 + 1}{x(1 + x^4)} dx - \int \frac{1}{x(1 + x^4)} dx$
$I = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x + x^5} dx$
આપેલ છે કે $\int \frac{1}{x + x^5} dx = f(x) + c_1$,તેથી આ કિંમત મૂકતા:
$I = \log |x| - (f(x) + c_1) + c_2$
$I = \log |x| - f(x) + c$,જ્યાં $c = c_2 - c_1$ એક નવો અચળાંક છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{\sin(x - a)\sin(x - b)}$.
$\sin(a - b)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$I = \frac{1}{\sin(a - b)} \int \frac{\sin((x - b) - (x - a))}{\sin(x - a)\sin(x - b)} dx$.
નિત્યસમ $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\sin(a - b)} \int \frac{\sin(x - b)\cos(x - a) - \cos(x - b)\sin(x - a)}{\sin(x - a)\sin(x - b)} dx$.
$I = \frac{1}{\sin(a - b)} \left[ \int \frac{\cos(x - a)}{\sin(x - a)} dx - \int \frac{\cos(x - b)}{\sin(x - b)} dx \right]$.
$I = \frac{1}{\sin(a - b)} [ \log |\sin(x - a)| - \log |\sin(x - b)| ] + c$.
$I = \frac{1}{\sin(a - b)} \log \left| \frac{\sin(x - a)}{\sin(x - b)} \right| + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \cos^{-3/7} x \sin^{-11/7} x \, dx$.
અહીં,$m = -3/7$ અને $n = -11/7$ છે.
$m + n = -3/7 - 11/7 = -14/7 = -2$,જે એક ઋણ બેકી પૂર્ણાંક છે.
આપણે સંકલનને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int \cos^{-3/7} x \sin^{-11/7} x \, dx = \int \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)^{-3/7} \sin^{-3/7 - 11/7} x \, dx$
$I = \int \cot^{-3/7} x \sin^{-2} x \, dx = \int \cot^{-3/7} x \csc^2 x \, dx$.
ધારો કે $\cot x = t$,તો $-\csc^2 x \, dx = dt$,અથવા $\csc^2 x \, dx = -dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int t^{-3/7} (-dt) = -\int t^{-3/7} \, dt$.
$I = -\frac{t^{-3/7 + 1}}{-3/7 + 1} + c = -\frac{t^{4/7}}{4/7} + c = -\frac{7}{4} t^{4/7} + c$.
કારણ કે $t = \cot x$,તેથી $I = -\frac{7}{4} \cot^{4/7} x + c$.
$\cot x = \frac{1}{\tan x}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I = -\frac{7}{4} (\tan x)^{-4/7} + c = -\frac{7}{4} \tan^{-4/7} x + c$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $I = \int {\left[ {\log (\log x) + \frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \right]\,dx}$.
આપણે સંકલનને $I = \int {\log (\log x)\,dx + \int {\frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \,dx}$ તરીકે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ.
પ્રથમ પદ $\int {\log (\log x)\,dx}$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \log (\log x)$ અને $dv = dx$ લો. તેથી $du = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} dx$ અને $v = x$ મળે.
તેથી,$\int {\log (\log x)\,dx} = x \log (\log x) - \int {x \cdot \frac{1}{x \log x} \,dx} = x \log (\log x) - \int {\frac{1}{\log x} \,dx}$.
હવે,$\int {\frac{1}{\log x} \,dx}$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરો. $u = \frac{1}{\log x}$ અને $dv = dx$ લો. તેથી $du = -\frac{1}{(\log x)^2} \cdot \frac{1}{x} dx$ અને $v = x$ મળે.
આમ,$\int {\frac{1}{\log x} \,dx} = \frac{x}{\log x} - \int {x \cdot \left( -\frac{1}{x(\log x)^2} \right) \,dx} = \frac{x}{\log x} + \int {\frac{1}{(\log x)^2} \,dx}$.
આ કિંમતને $I$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = x \log (\log x) - \left( \frac{x}{\log x} + \int {\frac{1}{(\log x)^2} \,dx} \right) + \int {\frac{1}{(\log x)^2} \,dx}$.
$I = x \log (\log x) - \frac{x}{\log x} + c$.

(B) આપણી પાસે $I = \int \frac{x - \sin x}{1 - \cos x} dx$ છે.
નિત્યસમ $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{x}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} dx - \int \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \sin^2 \frac{x}{2}} dx$
$I = \frac{1}{2} \int x \csc^2 \frac{x}{2} dx - \int \cot \frac{x}{2} dx$.
પ્રથમ પદ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
ધારો કે $u = x$ અને $dv = \csc^2 \frac{x}{2} dx$. તેથી $du = dx$ અને $v = -2 \cot \frac{x}{2}$.
$\int x \csc^2 \frac{x}{2} dx = x(-2 \cot \frac{x}{2}) - \int (-2 \cot \frac{x}{2}) dx = -2x \cot \frac{x}{2} + 2 \int \cot \frac{x}{2} dx$.
આ કિંમત $I$ માં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} [-2x \cot \frac{x}{2} + 2 \int \cot \frac{x}{2} dx] - \int \cot \frac{x}{2} dx$
$I = -x \cot \frac{x}{2} + \int \cot \frac{x}{2} dx - \int \cot \frac{x}{2} dx + c$
$I = -x \cot \frac{x}{2} + c$.

(C) આપણે સંકલન $I = \int \sqrt{x^2 - 8x + 7} \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરો: $x^2 - 8x + 7 = (x^2 - 8x + 16) - 16 + 7 = (x - 4)^2 - 9 = (x - 4)^2 - 3^2$.
હવે સંકલન $I = \int \sqrt{(x - 4)^2 - 3^2} \, dx$ બને છે.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \sqrt{t^2 - a^2} \, dt = \frac{t}{2}\sqrt{t^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\log |t + \sqrt{t^2 - a^2}| + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $t = x - 4$ અને $a = 3$ છે:
$I = \frac{x - 4}{2}\sqrt{(x - 4)^2 - 3^2} - \frac{3^2}{2}\log |(x - 4) + \sqrt{(x - 4)^2 - 3^2}| + c$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $I = \frac{1}{2}(x - 4)\sqrt{x^2 - 8x + 7} - \frac{9}{2}\log |x - 4 + \sqrt{x^2 - 8x + 7}| + c$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) સંકલન $I = \int \frac{1}{1 + \cos^2 x} dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગો:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{\sec^2 x + 1} dx$
કારણ કે $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$,તેથી:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{1 + \tan^2 x + 1} dx = \int \frac{\sec^2 x}{\tan^2 x + 2} dx$
ધારો કે $t = \tan x$,તો $dt = \sec^2 x dx$:
$I = \int \frac{dt}{t^2 + 2} = \int \frac{dt}{t^2 + (\sqrt{2})^2}$
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left( \frac{t}{\sqrt{2}} \right) + c$
$t = \tan x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \tan x \right) + c$.

(A) સંકલન $I = \int \frac{3\sin x + 2\cos x}{3\cos x + 2\sin x} \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,અંશને છેદ અને તેના વિકલિતના રેખીય સંયોજન તરીકે દર્શાવો:
$3\sin x + 2\cos x = A(3\cos x + 2\sin x) + B \frac{d}{dx}(3\cos x + 2\sin x)$
$3\sin x + 2\cos x = A(3\cos x + 2\sin x) + B(-3\sin x + 2\cos x)$
બંને બાજુ $\sin x$ અને $\cos x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\sin x$ માટે: $3 = 2A - 3B$
$\cos x$ માટે: $2 = 3A + 2B$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણને $2$ વડે અને બીજાને $3$ વડે ગુણતા:
$6 = 4A - 6B$
$6 = 9A + 6B$
બંનેનો સરવાળો કરતા: $12 = 13A \implies A = \frac{12}{13}$
$A$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $3 = 2(\frac{12}{13}) - 3B \implies 3B = \frac{24}{13} - 3 = \frac{24 - 39}{13} = -\frac{15}{13} \implies B = -\frac{5}{13}$
આમ,સંકલન નીચે મુજબ થશે:
$I = \int \left( \frac{12}{13} \frac{3\cos x + 2\sin x}{3\cos x + 2\sin x} - \frac{5}{13} \frac{-3\sin x + 2\cos x}{3\cos x + 2\sin x} \right) dx$
$I = \frac{12}{13} \int 1 \, dx - \frac{5}{13} \int \frac{d}{dx}(3\cos x + 2\sin x) \cdot \frac{1}{3\cos x + 2\sin x} \, dx$
$I = \frac{12}{13}x - \frac{5}{13} \log |3\cos x + 2\sin x| + C$

(D) સંકલન $I = \int {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}} \,dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગો:
$I = \int {\frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}}} \,dx}$
છેદને પૂર્ણ વર્ગ તરીકે ફરીથી લખો:
$I = \int {\frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2} + 2}}} \,dx$
ધારો કે $t = x - \frac{1}{x}$. તો $dt = \left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int {\frac{{dt}}{{{t^2} + {{(\sqrt 2 )}^2}}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{t}{{\sqrt 2 }}} \right) + c$
$t = x - \frac{1}{x} = \frac{{{x^2} - 1}}{x}$ ને ફરીથી પદમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{{\sqrt 2 }}{\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt 2 x}}} \right) + c$.

(D) અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$\int {\frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{x^2} + 1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}\,dx} = \int {\frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2} - 1}}\,dx}$
ધારો કે $t = x + \frac{1}{x}$,તો $dt = (1 - \frac{1}{{{x^2}}})\,dx$.
સંકલનમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\int {\frac{{dt}}{{{t^2} - 1}}} = \frac{1}{2}\log \left| {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right| + c$
$t = x + \frac{1}{x}$ પાછા મૂકતા:
$\frac{1}{2}\log \left| {\frac{{x + \frac{1}{x} - 1}}{{x + \frac{1}{x} + 1}}} \right| + c = \frac{1}{2}\log \left( {\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right) + c$.

(A) સંકલન $I = \int \frac{3\cos x + 3\sin x}{4\sin x + 5\cos x} \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે અંશને $A(\text{છેદ}) + B(\frac{d}{dx}(\text{છેદ}))$ તરીકે દર્શાવીએ છીએ.
ધારો કે $3\cos x + 3\sin x = A(4\sin x + 5\cos x) + B(4\cos x - 5\sin x)$.
$\sin x$ અને $\cos x$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$\sin x$ માટે: $4A - 5B = 3$
$\cos x$ માટે: $5A + 4B = 3$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણને $4$ વડે અને બીજાને $5$ વડે ગુણતા: $16A - 20B = 12$ અને $25A + 20B = 15$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $41A = 27 \implies A = \frac{27}{41}$.
$A$ ની કિંમત $5A + 4B = 3$ માં મૂકતા: $5(\frac{27}{41}) + 4B = 3 \implies \frac{135}{41} + 4B = 3 \implies 4B = 3 - \frac{135}{41} = -\frac{12}{41} \implies B = -\frac{3}{41}$.
આમ,$I = \int \frac{A(4\sin x + 5\cos x) + B(4\cos x - 5\sin x)}{4\sin x + 5\cos x} \, dx = A \int 1 \, dx + B \int \frac{4\cos x - 5\sin x}{4\sin x + 5\cos x} \, dx$.
$I = \frac{27}{41}x - \frac{3}{41} \ln |4\sin x + 5\cos x| + C$.

(B) ધારો કે $I = \int {\frac{{{{\sin }^8}x - {{\cos }^8}x}}{{1 - 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\;dx}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = \sin^4 x + \cos^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x$,તેથી છેદ $1 - 2\sin^2 x \cos^2 x = \sin^4 x + \cos^4 x$ થાય.
આમ,$I = \int {\frac{{(\sin^4 x - \cos^4 x)(\sin^4 x + \cos^4 x)}}{{\sin^4 x + \cos^4 x}}\;dx}$.
$I = \int {(\sin^4 x - \cos^4 x)\,dx}$.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$ મળે.
કારણ કે $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,તેથી સંકલન $I = \int {(\sin^2 x - \cos^2 x)\,dx}$ બને.
નિત્યસમ $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$ મળે.
તેથી,$I = \int {-\cos 2x\,dx} = -\frac{\sin 2x}{2} + c$.

(A) ધારો કે $I = \int x\sqrt {\frac{{1 - {x^2}}}{{1 + {x^2}}}} \;dx$.
અંશ અને છેદને $\sqrt{1-x^2}$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{x(1-x^2)}{\sqrt{(1-x^2)(1+x^2)}} \;dx = \int \frac{x - x^3}{\sqrt{1-x^4}} \;dx$.
સંકલનને અલગ કરતા:
$I = \int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}} \;dx - \int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^4}} \;dx$.
પ્રથમ ભાગ માટે,$x^2 = t$ લેતા,$2x \;dx = dt$,તેથી $x \;dx = \frac{1}{2} dt$:
$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^4}} \;dx = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} = \frac{1}{2} \sin^{-1}(t) = \frac{1}{2} \sin^{-1}(x^2)$.
બીજા ભાગ માટે,$1-x^4 = u$ લેતા,$-4x^3 \;dx = du$,તેથી $x^3 \;dx = -\frac{1}{4} du$:
$\int \frac{x^3}{\sqrt{1-x^4}} \;dx = -\frac{1}{4} \int u^{-1/2} \;du = -\frac{1}{4} (2\sqrt{u}) = -\frac{1}{2} \sqrt{1-x^4}$.
આ પરિણામોને જોડતા:
$I = \frac{1}{2} \sin^{-1}(x^2) - (-\frac{1}{2} \sqrt{1-x^4}) + c = \frac{1}{2} [\sin^{-1}(x^2) + \sqrt{1-x^4}] + c$.

(C) આપેલ છે કે $\int f(x) \sin x \cos x \, dx = \frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log(f(x)) + c$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f(x) \sin x \cos x = \frac{1}{2(b^2 - a^2)} \cdot \frac{f'(x)}{f(x)}$.
પદોને ગોઠવતા:
$2(b^2 - a^2) \sin x \cos x = \frac{f'(x)}{f(x)^2}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int (2b^2 \sin x \cos x - 2a^2 \sin x \cos x) \, dx = \int \frac{f'(x)}{f(x)^2} \, dx$.
આનું સંકલન કરતા આપણને મળે છે:
$b^2 \sin^2 x + a^2 \cos^2 x = -\frac{1}{f(x)} + C_1$.
તેથી,$f(x) = \frac{1}{a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x}$.

(C) સંકલન $I = \int \frac{dx}{4\sin^2 x + 5\cos^2 x}$ ની ગણતરી કરવા માટે,અંશ અને છેદને $\cos^2 x$ વડે ભાગો:
$I = \int \frac{\sec^2 x dx}{4\tan^2 x + 5}$.
ધારો કે $\tan x = t$,તેથી $\sec^2 x dx = dt$.
સંકલન આ મુજબ બનશે: $I = \int \frac{dt}{4t^2 + 5} = \frac{1}{4} \int \frac{dt}{t^2 + (\frac{\sqrt{5}}{2})^2}$.
પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}} \tan^{-1} \left( \frac{t}{\frac{\sqrt{5}}{2}} \right) + c = \frac{1}{2\sqrt{5}} \tan^{-1} \left( \frac{2t}{\sqrt{5}} \right) + c$.
$t = \tan x$ મૂકતા,આપણને મળે છે $I = \frac{1}{2\sqrt{5}} \tan^{-1} \left( \frac{2\tan x}{\sqrt{5}} \right) + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{4e^x + 6e^{-x}}{9e^x - 4e^{-x}} dx$. અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ગુણતા:
$I = \int \frac{4e^{2x} + 6}{9e^{2x} - 4} dx$.
અંશને $4e^{2x} + 6 = m(18e^{2x}) + n(9e^{2x} - 4)$ તરીકે લખતા.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $18m + 9n = 4$ અને $-4n = 6 \implies n = -\frac{3}{2}$.
$18m + 9(-\frac{3}{2}) = 4 \implies 18m = 4 + \frac{27}{2} = \frac{35}{2} \implies m = \frac{35}{36}$.
આમ,$I = \int \frac{\frac{35}{36}(18e^{2x}) - \frac{3}{2}(9e^{2x} - 4)}{9e^{2x} - 4} dx = \frac{35}{36} \int \frac{18e^{2x}}{9e^{2x} - 4} dx - \frac{3}{2} \int dx$.
$I = \frac{35}{36} \log |9e^{2x} - 4| - \frac{3}{2}x + C$.
$Ax + B \log |9e^{2x} - 4| + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = -\frac{3}{2}$ અને $B = \frac{35}{36}$ મળે છે.
કોઈપણ વિકલ્પ આ મૂલ્યો સાથે મેળ ખાતો નથી,તેથી સાચો જવાબ $(d)$ છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x^2}{(x\sin x + \cos x)^2} \, dx$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે લખી શકીએ:
$I = \int \frac{x \cos x}{(x\sin x + \cos x)^2} \cdot \frac{x}{\cos x} \, dx$.
ધારો કે $u = \frac{x}{\cos x}$ અને $dv = \frac{x \cos x}{(x\sin x + \cos x)^2} \, dx$.
તો $du = \frac{\cos x - x(-\sin x)}{\cos^2 x} \, dx = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x} \, dx$.
$dv$ નું સંકલન કરતા,આપણને $v = \int \frac{x \cos x}{(x\sin x + \cos x)^2} \, dx$ મળે.
ધારો કે $t = x\sin x + \cos x$,તો $dt = (\sin x + x\cos x - \sin x) \, dx = x\cos x \, dx$.
તેથી,$v = \int \frac{dt}{t^2} = -\frac{1}{t} = -\frac{1}{x\sin x + \cos x}$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$I = uv - \int v \, du$:
$I = -\frac{x}{\cos x(x\sin x + \cos x)} - \int \left( -\frac{1}{x\sin x + \cos x} \right) \cdot \frac{x\sin x + \cos x}{\cos^2 x} \, dx$.
$I = -\frac{x}{\cos x(x\sin x + \cos x)} + \int \sec^2 x \, dx$.
$I = -\frac{x}{\cos x(x\sin x + \cos x)} + \tan x$.
$I = \frac{-x + \tan x \cos x (x\sin x + \cos x)}{\cos x (x\sin x + \cos x)}$.
$I = \frac{-x + \sin x (x\sin x + \cos x)}{\cos x (x\sin x + \cos x)} = \frac{-x + x\sin^2 x + \sin x \cos x}{\cos x (x\sin x + \cos x)}$.
$I = \frac{\sin x \cos x - x(1 - \sin^2 x)}{\cos x (x\sin x + \cos x)} = \frac{\sin x \cos x - x \cos^2 x}{\cos x (x\sin x + \cos x)}$.
$I = \frac{\cos x (\sin x - x \cos x)}{\cos x (x\sin x + \cos x)} = \frac{\sin x - x \cos x}{x\sin x + \cos x} + C$.

(D) ધારો કે $I = \int {e^{x/2}} \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \, dx$.
સૂત્ર $\int e^{ax} \sin(bx + c) \, dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} [a \sin(bx + c) - b \cos(bx + c)] + C$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $a = 1/2$ અને $b = 1/2$ છે.
$I = \frac{e^{x/2}}{(1/2)^2 + (1/2)^2} \left[ \frac{1}{2} \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) - \frac{1}{2} \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right] + C$.
$I = \frac{e^{x/2}}{1/4 + 1/4} \cdot \frac{1}{2} \left[ \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) - \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right] + C$.
$I = \frac{e^{x/2}}{1/2} \cdot \frac{1}{2} \left[ \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) - \cos \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \right] + C$.
$I = e^{x/2} \left[ \sin \frac{x}{2} \cos \frac{\pi}{4} + \cos \frac{x}{2} \sin \frac{\pi}{4} - (\cos \frac{x}{2} \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{x}{2} \sin \frac{\pi}{4}) \right] + C$.
કેમ કે $\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,
$I = e^{x/2} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{x}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{x}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{x}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \frac{x}{2} \right] + C$.
$I = e^{x/2} \left[ \frac{2}{\sqrt{2}} \sin \frac{x}{2} \right] + C = \sqrt{2} {e^{x/2}} \sin \frac{x}{2} + C$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $1 = \sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \frac{dx}{2 + \cos x} = \int \frac{dx}{2(\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}) + (\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2})}$
$= \int \frac{dx}{\sin^2 \frac{x}{2} + 3\cos^2 \frac{x}{2}}$
અંશ અને છેદને $\cos^2 \frac{x}{2}$ વડે ભાગતા:
$= \int \frac{\sec^2 \frac{x}{2}}{\tan^2 \frac{x}{2} + 3} dx$
ધારો કે $\tan \frac{x}{2} = t$,તેથી $\frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx = dt$,જેનો અર્થ છે કે $\sec^2 \frac{x}{2} dx = 2dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$= \int \frac{2 dt}{t^2 + 3} = 2 \int \frac{dt}{t^2 + (\sqrt{3})^2}$
સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{t}{\sqrt{3}} \right) + c = \frac{2}{\sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{3}} \right) + c$.

(A) ધારો કે $I = \int_0^{\pi /2} {\left( {\frac{\theta }{{\sin \theta }}} \right)^2 d\theta } $.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \theta^2$ અને $dv = \csc^2 \theta \, d\theta$ લો. તેથી $du = 2\theta \, d\theta$ અને $v = -\cot \theta$ મળે.
$I = [-\theta^2 \cot \theta]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} 2\theta \cot \theta \, d\theta$.
સીમાવર્તી પદની ગણતરી કરતા: $\lim_{\theta \to \pi/2} (-\theta^2 \cot \theta) = 0$ અને $\lim_{\theta \to 0} (-\theta^2 \cot \theta) = \lim_{\theta \to 0} (-\theta^2 \frac{\cos \theta}{\sin \theta}) = 0$.
તેથી,$I = 2 \int_0^{\pi/2} \theta \cot \theta \, d\theta$.
ફરીથી ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \theta$ અને $dv = \cot \theta \, d\theta$ લો. તેથી $du = d\theta$ અને $v = \ln(\sin \theta)$ મળે.
$I = 2 [\theta \ln(\sin \theta)]_0^{\pi/2} - 2 \int_0^{\pi/2} \ln(\sin \theta) \, d\theta$.
કારણ કે $\ln(\sin(\pi/2)) = \ln(1) = 0$ અને $\lim_{\theta \to 0} \theta \ln(\sin \theta) = 0$,તેથી પ્રથમ પદ $0$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\int_0^{\pi/2} \ln(\sin \theta) \, d\theta = -\frac{\pi}{2} \ln 2$.
તેથી,$I = 0 - 2(-\frac{\pi}{2} \ln 2) = \pi \ln 2$.

(D) ધારો કે $I(b) = \int_0^1 \frac{x^b - 1}{\log x} \, dx$.
સંકલન ચિહ્ન હેઠળ વિકલનની ફેનમેનની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $b$ ની સાપેક્ષમાં $I(b)$ નું વિકલન કરીએ છીએ:
$I'(b) = \frac{d}{db} \int_0^1 \frac{x^b - 1}{\log x} \, dx = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial b} \left( \frac{x^b - 1}{\log x} \right) \, dx$.
કારણ કે $\frac{\partial}{\partial b} (x^b) = x^b \log x$,તેથી:
$I'(b) = \int_0^1 \frac{x^b \log x}{\log x} \, dx = \int_0^1 x^b \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$I'(b) = \left[ \frac{x^{b+1}}{b+1} \right]_0^1 = \frac{1}{b+1}$.
હવે,$b$ ની સાપેક્ષમાં $I'(b)$ નું સંકલન કરતા:
$I(b) = \int \frac{1}{b+1} \, db = \log(b+1) + C$.
જ્યારે $b = 0$ હોય,ત્યારે $I(0) = \int_0^1 \frac{x^0 - 1}{\log x} \, dx = \int_0^1 0 \, dx = 0$.
આપણા સમીકરણમાં $b = 0$ મૂકતા: $I(0) = \log(0+1) + C = 0 \implies C = 0$.
આમ,$I(b) = \log(b+1)$.

(A) આપેલ સૂત્ર $\int_0^\infty \frac{x^2 \, dx}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)(x^2 + c^2)} = \frac{\pi}{2(a + b)(b + c)(c + a)}$ છે.
$I = \int_0^\infty \frac{x^2 \, dx}{(x^2 + 4)(x^2 + 9)}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે છેદને $(x^2 + 2^2)(x^2 + 3^2)(x^2 + 0^2)$ તરીકે લખી શકીએ.
આપેલ સૂત્ર સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$b = 3$,અને $c = 0$ મળે છે.
આ કિંમતોને સૂત્રની જમણી બાજુએ મૂકતા:
$I = \frac{\pi}{2(2 + 3)(3 + 0)(0 + 2)}$
$I = \frac{\pi}{2(5)(3)(2)}$
$I = \frac{\pi}{60}$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{x^2(x^4 + 1)^{3/4}}$.
છેદમાં કૌંસની અંદરના પદમાંથી $x^4$ સામાન્ય લેતા:
$I = \int \frac{dx}{x^2 \left[ x^4(1 + \frac{1}{x^4}) \right]^{3/4}}$
$I = \int \frac{dx}{x^2 \cdot (x^4)^{3/4} \cdot (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}}$
$I = \int \frac{dx}{x^2 \cdot x^3 \cdot (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}}$
$I = \int \frac{dx}{x^5 (1 + \frac{1}{x^4})^{3/4}}$
ધારો કે $t = 1 + \frac{1}{x^4}$. તેથી $dt = -\frac{4}{x^5} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dt}{-4} = \frac{dx}{x^5}$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{t^{3/4}} \cdot (-\frac{1}{4} dt)$
$I = -\frac{1}{4} \int t^{-3/4} dt$
$I = -\frac{1}{4} \left[ \frac{t^{1/4}}{1/4} \right] + c$
$I = -t^{1/4} + c$
$t = 1 + \frac{1}{x^4}$ પાછું મૂકતા:
$I = -\left( 1 + \frac{1}{x^4} \right)^{1/4} + c$
$I = -\left( \frac{x^4 + 1}{x^4} \right)^{1/4} + c$.

(D) ધારો કે $I = \int \frac{{2{x^{12}} + 5{x^9}}}{{{{\left( {{x^5} + {x^3} + 1} \right)}^3}}}dx$.
અંશ અને છેદને ${x^{15}}$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{{\frac{{2{x^{12}}}}{{{x^{15}}}} + \frac{{5{x^9}}}{{{x^{15}}}}}}{{{{\left( {\frac{{{x^5} + {x^3} + 1}}{{{x^5}}}} \right)}^3}}}dx = \int \frac{{2{x^{ - 3}} + 5{x^{ - 6}}}}{{{{\left( {1 + {x^{ - 2}} + {x^{ - 5}}} \right)}^3}}}dx$.
ધારો કે $t = 1 + {x^{ - 2}} + {x^{ - 5}}$.
તેથી $dt = ( - 2{x^{ - 3}} - 5{x^{ - 6}})dx$,જેનો અર્થ છે કે $-dt = (2{x^{ - 3}} + 5{x^{ - 6}})dx$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{{ - dt}}{{{t^3}}} = - \int {{t^{ - 3}}} dt = - \left( \frac{{{t^{ - 2}}}}{{ - 2}} \right) + C = \frac{1}{{2{t^2}}} + C$.
$t = 1 + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^5}}} = \frac{{{x^5} + {x^3} + 1}}{{{x^5}}}$ મૂકતા:
$I = \frac{1}{{2{{\left( {\frac{{{x^5} + {x^3} + 1}}{{{x^5}}}} \right)}^2}}} + C = \frac{{{x^{10}}}}{{2{{\left( {{x^5} + {x^3} + 1} \right)}^2}}} + C$.

(C) આપેલ છે કે $I_n = \int \tan^n x dx$.
આપણે $I_4 + I_6 = \int \tan^4 x dx + \int \tan^6 x dx$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$I_4 + I_6 = \int (\tan^4 x + \tan^6 x) dx$.
$ an^4 x$ સામાન્ય લેતા:
$I_4 + I_6 = \int \tan^4 x (1 + \tan^2 x) dx$.
કારણ કે $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$,તેથી:
$I_4 + I_6 = \int \tan^4 x \sec^2 x dx$.
ધારો કે $u = \tan x$,તો $du = \sec^2 x dx$.
સંકલન $\int u^4 du = \frac{u^5}{5} + C$ બને છે.
$u = \tan x$ પાછું મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I_4 + I_6 = \frac{1}{5} \tan^5 x + C$.
આને $a \tan^5 x + b x^5 + C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{1}{5}$ અને $b = 0$ મળે છે.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b) = (\frac{1}{5}, 0)$ છે.

(D) ધારો કે $I = \int {(1 + x - {x^{ - 1}}){e^{x + {x^{ - 1}}}}\,dx}$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int {e^{x + {x^{ - 1}}}} (1 + x - \frac{1}{x}) \,dx$.
અહીં નોંધો કે $\frac{d}{dx}(x{e^{x + {x^{ - 1}}}}) = 1 \cdot {e^{x + {x^{ - 1}}}} + x \cdot {e^{x + {x^{ - 1}}}} \cdot (1 - \frac{1}{x^2})$.
$= {e^{x + {x^{ - 1}}}} [1 + x(1 - \frac{1}{x^2})] = {e^{x + {x^{ - 1}}}} [1 + x - \frac{1}{x}]$.
આમ,$\int {e^{x + {x^{ - 1}}}} (1 + x - \frac{1}{x}) \,dx = x{e^{x + {x^{ - 1}}}} + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(1 + x^2)\sqrt{1 - x^2}}$.
$x = \sin \theta$ લેતા,$dx = \cos \theta \, d\theta$ મળે.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{\cos \theta \, d\theta}{(1 + \sin^2 \theta)\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} = \int \frac{\cos \theta \, d\theta}{(1 + \sin^2 \theta)\cos \theta} = \int \frac{d\theta}{1 + \sin^2 \theta}$.
અંશ અને છેદને $\cos^2 \theta$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec^2 \theta \, d\theta}{\sec^2 \theta + \tan^2 \theta} = \int \frac{\sec^2 \theta \, d\theta}{1 + \tan^2 \theta + \tan^2 \theta} = \int \frac{\sec^2 \theta \, d\theta}{1 + 2\tan^2 \theta}$.
હવે,$t = \tan \theta$ લેતા,$dt = \sec^2 \theta \, d\theta$ મળે:
$I = \int \frac{dt}{1 + 2t^2} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{t^2 + (1/\sqrt{2})^2}$.
સૂત્ર $\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1/\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{t}{1/\sqrt{2}} \right) + c = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1}(\sqrt{2}t) + c$.
અહીં $t = \tan \theta$ અને $x = \sin \theta$ હોવાથી,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ થાય.
તેથી,$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \tan^{-1} \left( \frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{1 - x^2}} \right) + c$.

(D) $I = \int \sqrt{\frac{a+x}{a-x}} \, dx$ મેળવવા માટે,વર્ગમૂળની અંદર અંશ અને છેદને $\sqrt{a+x}$ વડે ગુણો.
$I = \int \frac{a+x}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \int \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx + \int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx$.
પ્રથમ સંકલન માટે,આપણે પ્રમાણિત સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ અથવા $-\cos^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
બીજા સંકલન માટે,ધારો કે $u = a^2-x^2$,તો $du = -2x \, dx$,તેથી $\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} \, dx = -\sqrt{a^2-x^2} + c$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $I = a \sin^{-1}(\frac{x}{a}) - \sqrt{a^2-x^2} + c$ મળે છે.
કારણ કે $\sin^{-1}(\frac{x}{a}) = \frac{\pi}{2} - \cos^{-1}(\frac{x}{a})$,તેથી પદાવલિ $-a \cos^{-1}(\frac{x}{a}) - \sqrt{a^2-x^2} + C$ બને છે.

(A) ધારો કે $x = \cos^2 \theta$. તેથી $dx = -2 \cos \theta \sin \theta \, d\theta$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} (-2 \cos \theta \sin \theta) \, d\theta = \int \sqrt{\frac{2 \sin^2(\theta/2)}{2 \cos^2(\theta/2)}} (-2 \cos \theta \sin \theta) \, d\theta$
$= \int \tan(\theta/2) (-2 \cos \theta \sin \theta) \, d\theta = \int \frac{\sin(\theta/2)}{\cos(\theta/2)} (-4 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2) \cos \theta) \, d\theta$
$= -4 \int \sin^2(\theta/2) \cos \theta \, d\theta = -2 \int (1 - \cos \theta) \cos \theta \, d\theta$
$= -2 \int (\cos \theta - \cos^2 \theta) \, d\theta = -2 \int \cos \theta \, d\theta + \int (1 + \cos 2\theta) \, d\theta$
$= -2 \sin \theta + \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta + c = \theta + \sin \theta \cos \theta - 2 \sin \theta + c$
અહીં $x = \cos^2 \theta$ હોવાથી,$\cos \theta = \sqrt{x}$ અને $\sin \theta = \sqrt{1 - x}$ મળે.
કિંમતો પાછી મૂકતા: $\cos^{-1}\sqrt{x} + \sqrt{1 - x} \cdot \sqrt{x} - 2 \sqrt{1 - x} + c = \cos^{-1}\sqrt{x} + \sqrt{1 - x}(\sqrt{x} - 2) + c$.

(C) સંકલન $I = \int \frac{dx}{(2\sin x + \cos x)^2}$ મેળવવા માટે,આપણે છેદમાંથી $\cos x$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ.
$I = \int \frac{dx}{(\cos x (2\tan x + 1))^2} = \int \frac{dx}{\cos^2 x (2\tan x + 1)^2}$
$\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ હોવાથી:
$I = \int \frac{\sec^2 x}{(2\tan x + 1)^2} dx$
ધારો કે $u = 2\tan x + 1$. તો $du = 2\sec^2 x dx$,જેનો અર્થ છે કે $\sec^2 x dx = \frac{du}{2}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{-2} du$
$I = \frac{1}{2} \left( \frac{u^{-1}}{-1} \right) + c = -\frac{1}{2u} + c$
$u = 2\tan x + 1$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{1}{2(2\tan x + 1)} + c$
વૈકલ્પિક રીતે,પ્રશ્નમાં આપેલ પદ્ધતિ મુજબ:
$I = \int \frac{dx}{\sin^2 x (2 + \cot x)^2} = \int \frac{\csc^2 x}{(2 + \cot x)^2} dx$
ધારો કે $t = 2 + \cot x$,તો $dt = -\csc^2 x dx$,તેથી $\csc^2 x dx = -dt$.
$I = \int \frac{-dt}{t^2} = \frac{1}{t} + c = \frac{1}{2 + \cot x} + c$.

(D) આપણી પાસે સંકલન $I = \int \frac{1}{(\sin x + 4)(\sin x - 1)} dx$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{(\sin x + 4)(\sin x - 1)} = \frac{1}{5} \left( \frac{1}{\sin x - 1} - \frac{1}{\sin x + 4} \right)$.
$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$ મૂકતા,જ્યાં $t = \tan \frac{x}{2}$ અને $dx = \frac{2dt}{1+t^2}$,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{5} \int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2} - 1} \frac{2dt}{1+t^2} - \frac{1}{5} \int \frac{1}{\frac{2t}{1+t^2} + 4} \frac{2dt}{1+t^2}$
$I = \frac{1}{5} \int \frac{2dt}{2t - 1 - t^2} - \frac{1}{5} \int \frac{2dt}{2t + 4 + 4t^2}$
$I = -\frac{2}{5} \int \frac{dt}{(t-1)^2} - \frac{1}{10} \int \frac{dt}{t^2 + \frac{1}{2}t + 1}$
$I = \frac{2}{5(t-1)} - \frac{1}{10} \int \frac{dt}{(t + \frac{1}{4})^2 + (\frac{\sqrt{15}}{4})^2}$
$I = \frac{2}{5(\tan \frac{x}{2} - 1)} - \frac{1}{10} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} \tan^{-1} \left( \frac{t + 1/4}{\sqrt{15}/4} \right) + C$
$I = \frac{2}{5(\tan \frac{x}{2} - 1)} - \frac{2}{5\sqrt{15}} \tan^{-1} \left( \frac{4\tan \frac{x}{2} + 1}{\sqrt{15}} \right) + C$.
આપેલ સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = \frac{2}{5}, B = -\frac{2}{5\sqrt{15}}, f(x) = \frac{4\tan \frac{x}{2} + 1}{\sqrt{15}}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}} \,dx$.
અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગતા:
$I = \int {\frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{x^2} + 1 + \frac{1}{{{x^2}}}}} \,dx} = \int {\frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2} - 1}}} \,dx$.
ધારો કે $t = x + \frac{1}{x}$,તેથી $dt = \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int {\frac{{dt}}{{{t^2} - 1}}} = \frac{1}{2}\log \left| {\frac{{t - 1}}{{t + 1}}} \right| + c$.
હવે $t = x + \frac{1}{x}$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{2}\log \left| {\frac{{x + \frac{1}{x} - 1}}{{x + \frac{1}{x} + 1}}} \right| + c = \frac{1}{2}\log \left| {\frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right| + c$.

(D) ધારો કે $I = \int e^{\tan \theta} (\sec \theta - \sin \theta) d\theta$.
અહીં,આપણે $f(\theta) = e^{\tan \theta} \cos \theta$ નું વિકલન કરીએ.
$\frac{d}{d\theta} (e^{\tan \theta} \cos \theta) = e^{\tan \theta} \cdot \sec^2 \theta \cdot \cos \theta + e^{\tan \theta} \cdot (-\sin \theta)$.
$= e^{\tan \theta} \cdot \sec \theta - e^{\tan \theta} \cdot \sin \theta$.
$= e^{\tan \theta} (\sec \theta - \sin \theta)$.
તેથી,સંકલનના મૂળભૂત નિયમ મુજબ,$\int e^{\tan \theta} (\sec \theta - \sin \theta) d\theta = e^{\tan \theta} \cos \theta + c$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{3x^4 - 1}{(x^4 + x + 1)^2} dx$.
અંશ અને છેદને $x^4$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{3 - x^{-4}}{(1 + x^{-3} + x^{-4})^2} dx$.
આ પદ્ધતિ સરળ નથી. ચાલો અંશ અને છેદને $x^2$ વડે ભાગીને ફરીથી લખીએ:
$I = \int \frac{3x^2 - x^{-2}}{(x^2 + 1 + x^{-1})^2} dx$.
ધારો કે $u = \frac{x}{x^4 + x + 1}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$du = \frac{(x^4 + x + 1)(1) - x(4x^3 + 1)}{(x^4 + x + 1)^2} dx = \frac{x^4 + x + 1 - 4x^4 - x}{(x^4 + x + 1)^2} dx = \frac{1 - 3x^4}{(x^4 + x + 1)^2} dx$.
આમ,$du = - \frac{3x^4 - 1}{(x^4 + x + 1)^2} dx$.
તેથી,$I = - \int du = -u + c = -\frac{x}{x^4 + x + 1} + c$.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x^4 + 1}{x(x^2 + 1)^2} dx$.
અંશમાં $x^2$ ઉમેરો અને બાદ કરો:
$I = \int \frac{x^4 + x^2 - x^2 + 1}{x(x^2 + 1)^2} dx$
$I = \int \frac{x^2(x^2 + 1) - (x^2 - 1)}{x(x^2 + 1)^2} dx$
$I = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} dx$.
હવે સંકલન કરતા:
$I = \ln |x| - \int \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} dx$.
ધારો કે $t = x^2 + 1$,તેથી $dt = 2x dx$.
$I = \ln |x| - \int t^{-2} dt = \ln |x| + \frac{1}{x^2 + 1} + c$.
આને $A \ln |x| + \frac{B}{1 + x^2} + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A = 1$ અને $B = 1$ મળે છે.

(C) આપણે પ્રમાણિત સંકલન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int e^{ax} \cos(bx) \,dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx)) + c$.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 4$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\int e^{3x} \cos 4x \,dx = \frac{e^{3x}}{3^2 + 4^2} (3 \cos 4x + 4 \sin 4x) + c$
$= \frac{e^{3x}}{25} (4 \sin 4x + 3 \cos 4x) + c$
$= e^{3x} (\frac{4}{25} \sin 4x + \frac{3}{25} \cos 4x) + c$.
આને આપેલ પદ $e^{3x} (A \sin 4x + B \cos 4x) + c$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$A = \frac{4}{25}$ અને $B = \frac{3}{25}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસતા:
$3A = 3(\frac{4}{25}) = \frac{12}{25}$ અને $4B = 4(\frac{3}{25}) = \frac{12}{25}$.
આમ,$3A = 4B$ સાચું છે.

(B) આપેલ છે કે $g(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિવિકલિત છે,તેથી $g'(x) = f(x)$.
આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં $\ln(1 + (g(x))^2)$ નું વિકલન શોધવાનું છે.
ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $y = \ln(1 + (g(x))^2)$.
તો $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (g(x))^2} \cdot \frac{d}{dx}(1 + (g(x))^2)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (g(x))^2} \cdot (2g(x) \cdot g'(x))$.
કારણ કે $g'(x) = f(x)$,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2g(x)f(x)}{1 + (g(x))^2}$.
આમ,$\ln(1 + (g(x))^2)$ એ $\frac{2f(x)g(x)}{1 + (g(x))^2}$ નું પ્રતિવિકલિત છે.

(C) વિધેય $h(x)$ એ ડિરાક ડેલ્ટા વિધેય છે, જેને $\delta(x)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે।
વ્યાખ્યા મુજબ, $\int_{-\infty}^{\infty} \delta'(x) \cdot f(x) \, dx = -f'(0)$ થાય.
અહીં, $f(x) = \sin x$ છે.
તેથી, $f'(x) = \cos x$ થાય.
$x = 0$ આગળ કિંમત મૂકતા, $f'(0) = \cos(0) = 1$ મળે.
આમ, સંકલનનું મૂલ્ય $\int_{-\infty}^{\infty} h'(x) \cdot \sin x \, dx = -f'(0) = -1$ થાય.