Expansion of determinants, Solution of equation in the form of determinants and area of triangle and Equation of Line Questions in Hindi

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ कोटि $n = 3$ के वर्ग आव्यूह हैं।
हम सारणिक का गुणधर्म जानते हैं कि $|AB| = |A| \times |B|$ होता है।
अतः,$|AB| = (-1) \times (3) = -3$।
हम यह भी जानते हैं कि $|kA| = k^n |A|$,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ,$|3AB| = 3^3 |AB|$।
$|AB|$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|3AB| = 27 \times (-3) = -81$ प्राप्त होता है।

(A) आव्यूह $A$ का सारणिक ज्ञात करने के लिए,हम पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करते हैं:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
$|A| = 1 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$
$|A| = 1(1 \times 1 - 0 \times 2) - 0 + 1(2 \times 2 - 1 \times 3)$
$|A| = 1(1 - 0) + 1(4 - 3)$
$|A| = 1(1) + 1(1) = 1 + 1 = 2$
अतः,$\det A = 2$.

(A) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} \alpha & 2 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह $A$ का सारणिक $|A| = \alpha^2 - (2 \times 2) = \alpha^2 - 4$ है।
हमें दिया गया है कि $|A^3| = 125$ है।
सारणिक के गुणधर्म $|A^n| = |A|^n$ का उपयोग करने पर,$|A|^3 = 125$ प्राप्त होता है।
चूंकि $125 = 5^3$,इसलिए $|A|^3 = 5^3$,जिसका अर्थ है कि $|A| = 5$ है।
$|A|$ का मान रखने पर,हमें $\alpha^2 - 4 = 5$ प्राप्त होता है।
$\alpha^2 = 9$ है।
अतः,$\alpha = \pm 3$ है।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ ऐसे $n \times n$ आव्यूह हैं कि $AB = O$,जहाँ $O$ शून्य आव्यूह है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $Det(AB) = Det(O)$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $Det(AB) = Det(A) \times Det(B)$ का उपयोग करने पर,हमारे पास $Det(A) \times Det(B) = 0$ है।
दो संख्याओं का गुणनफल शून्य होने के लिए,उनमें से कम से कम एक का शून्य होना आवश्यक है।
अतः,$Det(A) = 0$ या $Det(B) = 0$।

(C) सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array} \right|$ है।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = a(cb - a^2) - b(b^2 - ca) + c(ab - c^2)$
$= abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3$
$= 3abc - a^3 - b^3 - c^3$
$= -(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc)$.
हम जानते हैं कि बीजीय सर्वसमिका: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ होती है।
इस मान को हमारे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = -1 \times (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$.
इसे दिए गए रूप $k(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - bc - ca - ab)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = -1$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left| \begin{array}{ccc} x + \alpha & \beta & \gamma \\ \gamma & x + \beta & \alpha \\ \alpha & \beta & x + \gamma \end{array} \right| = 0$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\left| \begin{array}{ccc} x + \alpha + \beta + \gamma & \beta & \gamma \\ x + \alpha + \beta + \gamma & x + \beta & \alpha \\ x + \alpha + \beta + \gamma & \beta & x + \gamma \end{array} \right| = 0$.
$C_1$ से $(x + \alpha + \beta + \gamma)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(x + \alpha + \beta + \gamma) \left| \begin{array}{ccc} 1 & \beta & \gamma \\ 1 & x + \beta & \alpha \\ 1 & \beta & x + \gamma \end{array} \right| = 0$.
पंक्ति संक्रिया $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$(x + \alpha + \beta + \gamma) \left| \begin{array}{ccc} 1 & \beta & \gamma \\ 0 & x & \alpha - \gamma \\ 0 & 0 & x \end{array} \right| = 0$.
$C_1$ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x + \alpha + \beta + \gamma) [1(x^2 - 0)] = 0$.
$x^2(x + \alpha + \beta + \gamma) = 0$.
अतः,$x$ के मान $x = 0$ और $x = -(\alpha + \beta + \gamma)$ हैं।

(D) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left| \begin{array}{ccc} x & 3 & 7 \\ 2 & x & -2 \\ 7 & 8 & x \end{array} \right| = 0$।
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$x(x^2 - (-16)) - 3(2x - (-14)) + 7(16 - 7x) = 0$
$x(x^2 + 16) - 3(2x + 14) + 7(16 - 7x) = 0$
$x^3 + 16x - 6x - 42 + 112 - 49x = 0$
$x^3 - 39x + 70 = 0$।
चूंकि $x = 5$ एक मूल है,इसलिए $(x - 5)$ एक गुणनखंड है।
$x^3 - 39x + 70 = 0$ का गुणनखंड करने पर:
$x^3 - 5x^2 + 5x^2 - 25x - 14x + 70 = 0$
$x^2(x - 5) + 5x(x - 5) - 14(x - 5) = 0$
$(x - 5)(x^2 + 5x - 14) = 0$
$(x - 5)(x + 7)(x - 2) = 0$।
अतः,मूल $x = 5, 2, -7$ हैं।
अन्य दो मूल $2$ और $-7$ हैं।

(A) स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 + \omega^n + \omega^{2n} & \omega^n & \omega^{2n} \\ 1 + \omega^n + \omega^{2n} & 1 & \omega^n \\ 1 + \omega^n + \omega^{2n} & \omega^{2n} & 1 \end{vmatrix}$
चूंकि $n \ne 3k$,$n$ का मान $3$ का गुणज नहीं है। इसलिए,$1 + \omega^n + \omega^{2n} = 0$ होता है।
इस मान को सारणिक में रखने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} 0 & \omega^n & \omega^{2n} \\ 0 & 1 & \omega^n \\ 0 & \omega^{2n} & 1 \end{vmatrix}$
चूंकि पहले स्तंभ के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ होगा।

(D) दिया गया है,$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & 0 \\ 0 & a & b \\ b & 0 & a \end{array} \right| = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a(a^2 - 0) - b(0 - b^2) + 0(0 - ab) = 0$
$a^3 + b^3 = 0$
$a^3 = -b^3$
दोनों पक्षों को $b^3$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $b \neq 0$),हमें प्राप्त होता है:
$\left( \frac{a}{b} \right)^3 = -1$
इसका तात्पर्य यह है कि $\left( \frac{a}{b} \right)$ $-1$ का घनमूल है।

(A) माना सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \log_x y & \log_x z \\ \log_y x & 1 & \log_y z \\ \log_z x & \log_z y & 1 \end{array} \right|$ है।
गुणधर्म $\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ का उपयोग करते हुए,हम तत्वों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \frac{\ln y}{\ln x} & \frac{\ln z}{\ln x} \\ \frac{\ln x}{\ln y} & 1 & \frac{\ln z}{\ln y} \\ \frac{\ln x}{\ln z} & \frac{\ln y}{\ln z} & 1 \end{array} \right|$.
अब,पहली पंक्ति $(R_1)$ को $\ln x$ से,दूसरी पंक्ति $(R_2)$ को $\ln y$ से और तीसरी पंक्ति $(R_3)$ को $\ln z$ से गुणा करने पर और सारणिक को $(\ln x \ln y \ln z)$ से भाग देने पर:
$\Delta = \frac{1}{\ln x \ln y \ln z} \left| \begin{array}{ccc} \ln x & \ln y & \ln z \\ \ln x & \ln y & \ln z \\ \ln x & \ln y & \ln z \end{array} \right|$.
चूंकि तीनों पंक्तियाँ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(D) माना $A$ प्रथम पद है और $R$ $G$.$P$. का सार्व अनुपात है। तब,
$l = A R^{p-1} \Rightarrow \log l = \log A + (p-1) \log R$ ... $(i)$
$m = A R^{q-1} \Rightarrow \log m = \log A + (q-1) \log R$ ... $(ii)$
$n = A R^{r-1} \Rightarrow \log n = \log A + (r-1) \log R$ ... $(iii)$
माना सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \log l & p & 1 \\ \log m & q & 1 \\ \log n & r & 1 \end{array} \right|$ है।
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 - (\log A) C_3$ लागू करने पर,हम पाते हैं कि प्रथम स्तंभ के अवयव $(p-1)\log R, (q-1)\log R, (r-1)\log R$ हैं। चूँकि यह स्तंभ दूसरे और तीसरे स्तंभ का एक रैखिक संयोजन है,इसलिए सारणिक का मान $0$ होगा।

(A) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array} \right|$.
सारणिक का विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ba - c^2)$
$= abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3$
$= 3abc - (a^3 + b^3 + c^3)$
$= -(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc)$.
बीजगणितीय सर्वसमिका $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है:
$\Delta = -(a + b + c) \times \frac{1}{2} [(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2]$.
चूंकि $a, b, c$ धनात्मक हैं,इसलिए $(a + b + c) > 0$ है। चूंकि $a, b, c$ सभी समान नहीं हैं,इसलिए $(a - b)^2, (b - c)^2, (c - a)^2$ में से कम से कम एक पद धनात्मक होगा,अतः वर्गों का योग धनात्मक है।
इसलिए,$\Delta$ ऋणात्मक है।

(C) दिए गए समघात रैखिक समीकरणों का निकाय इस प्रकार है:
$x - cy - bz = 0$
$-cx + y - az = 0$
$-bx - ay + z = 0$
इस निकाय का एक गैर-तुच्छ हल (जहाँ $x, y, z$ सभी शून्य नहीं हैं) होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -c & -b \\ -c & 1 & -a \\ -b & -a & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(1 - a^2) - (-c)(-c - ab) + (-b)(ac + b) = 0$
$1 - a^2 - c^2 - abc - abc - b^2 = 0$
$1 - a^2 - b^2 - c^2 - 2abc = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a^2 + b^2 + c^2 + 2abc = 1$

(C) चूँकि समीकरण निकाय का एक अशून्य हल है,इसलिए गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1-a & b-1 & 0 \\ 1-a & 0 & c-1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$a(b-1)(c-1) - 1(1-a)(c-1) + 1(0 - (1-a)(b-1)) = 0$
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) - (1-a)(b-1) = 0$
पूरे समीकरण को $(1-a)(1-b)(1-c)$ से विभाजित करने पर (जहाँ $a, b, c \neq 1$):
$\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(b-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$
$\frac{-a}{(1-a)} - \frac{1}{(1-b)} - \frac{1}{(1-c)} = 0$
$\frac{a}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$
चूँकि $\frac{a}{1-a} = \frac{a-1+1}{1-a} = -1 + \frac{1}{1-a}$,इसलिए:
$-1 + \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$
$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$.

(A) सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = \cos(A+B)(\cos A \cos B - \sin A \sin B) + \sin(A+B)(\sin A \cos B + \cos A \sin B) + \cos 2B(\sin^2 A + \cos^2 A) = 0$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$\Delta = \cos^2(A+B) + \sin^2(A+B) + \cos 2B(1) = 0$
$1 + \cos 2B = 0$
$\cos 2B = -1$
चूंकि $\cos \theta = -1$ का अर्थ है $\theta = (2n+1)\pi$,इसलिए $2B = (2n+1)\pi$.
अतः,$B = (2n+1)\frac{\pi}{2}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.

(B) माना सारणिक $D$ है। प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = \cos \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) - \sin \theta (-\sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta) + \cos \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 0$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए:
$D = \cos \theta (1) - \sin \theta (0) + \cos \theta (1) = 0$
$2 \cos \theta = 0$
$\cos \theta = 0$
$\cos \theta = 0$ के लिए व्यापक हल $\theta = (2n + 1) \frac{\pi}{2}$ है,जो $\theta = n\pi \pm \frac{\pi}{2}$ के बराबर है।

(D) त्रिभुज के शीर्षों $(x_1, y_1), (x_2, y_2),$ और $(x_3, y_3)$ के लिए क्षेत्रफल का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए निर्देशांक $A(4, 4), B(3, -2),$ और $C(3, -16)$ को रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |4(-2 - (-16)) + 3(-16 - 4) + 3(4 - (-2))|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |4(14) + 3(-20) + 3(6)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |56 - 60 + 18|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |14| = 7$
अतः,त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $7$ वर्ग इकाई है।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,और $(x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $(a, b + c)$,$(b, c + a)$,और $(c, a + b)$ को सूत्र में रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |a(c + a - (a + b)) + b(a + b - (b + c)) + c(b + c - (c + a))|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |a(c - b) + b(a - c) + c(b - a)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |ac - ab + ba - bc + cb - ca|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0| = 0$।

(B) $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि सारणिक समान हैं,जिसका अर्थ है कि दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हैं।
क्षेत्रफल समान होने का अर्थ यह नहीं है कि त्रिभुज सर्वांगसम या समरूप हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ है।
दिए गए शीर्षों $(1, -1)$,$(-1, 1)$ और $(-1, -1)$ को सूत्र में रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |1(1 - (-1)) + (-1)(-1 - (-1)) + (-1)(-1 - 1)|$
$= \frac{1}{2} |1(2) + (-1)(0) + (-1)(-2)|$
$= \frac{1}{2} |2 + 0 + 2|$
$= \frac{1}{2} |4| = 2$.
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $2$ वर्ग इकाई है।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल का सूत्र: $\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ है।
दिए गए शीर्षों $(5, 2)$,$(2/3, 2)$ और $(-4, 3)$ को रखने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} |5(2 - 3) + \frac{2}{3}(3 - 2) + (-4)(2 - 2)|$
$= \frac{1}{2} |5(-1) + \frac{2}{3}(1) + (-4)(0)|$
$= \frac{1}{2} |-5 + \frac{2}{3}|$
$= \frac{1}{2} |\frac{-15 + 2}{3}|$
$= \frac{1}{2} |-\frac{13}{3}| = \frac{13}{6}$ वर्ग इकाई।

(C) त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,$\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 4$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्षों $(x, 0), (1, 1)$ और $(0, 2)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} |x(1 - 2) + 1(2 - 0) + 0(0 - 1)| = 4$
$\frac{1}{2} |-x + 2| = 4$
$|-x + 2| = 8$
इसके दो मामले हैं:
स्थिति $1$: $-x + 2 = 8$ $\Rightarrow -x = 6$ $\Rightarrow x = -6$
स्थिति $2$: $-x + 2 = -8$ $\Rightarrow -x = -10$ $\Rightarrow x = 10$
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$x = -6$ सही मान है।

(C) तीन बिंदुओं के संरेख होने के लिए,उनके द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए,या निर्देशांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} p+1 & 1 & 1 \\ 2p+1 & 3 & 1 \\ 2p+2 & 2p & 1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(p+1)(3 - 2p) - 1((2p+1) - (2p+2)) + 1((2p+1)(2p) - 3(2p+2)) = 0$
$(p+1)(3 - 2p) - 1(-1) + (4p^2 + 2p - 6p - 6) = 0$
$(3p - 2p^2 + 3 - 2p) + 1 + (4p^2 - 4p - 6) = 0$
$(-2p^2 + p + 3) + 1 + (4p^2 - 4p - 6) = 0$
$2p^2 - 3p - 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2p^2 - 4p + p - 2 = 0$
$2p(p - 2) + 1(p - 2) = 0$
$(2p + 1)(p - 2) = 0$
अतः,$p = 2$ या $p = -1/2$।
विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $p = 2$ है।

(C) तीन बिंदुओं $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,और $(x_3, y_3)$ के संरेख होने के लिए,उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए,या निर्देशांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left| \begin{array}{ccc} 5 & 5 & 1 \\ 10 & k & 1 \\ -5 & 1 & 1 \end{array} \right| = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$5(k - 1) - 5(10 - (-5)) + 1(10 - (-5k)) = 0$
$5k - 5 - 5(15) + 10 + 5k = 0$
$10k - 5 - 75 + 10 = 0$
$10k - 70 = 0$
$10k = 70$
$k = 7$

(A) मूलबिंदु $(0, 0)$ और बिंदु $(x_1, y_1) = (-4, 5)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{y_1 - 0}{x_1 - 0} = \frac{5 - 0}{-4 - 0} = -\frac{5}{4}$ है।
ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx$ का उपयोग करने पर,हमें $y = -\frac{5}{4}x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $4$ से गुणा करने पर,$4y = -5x$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $5x + 4y = 0$ मिलता है।

(D) दिया गया सदिश समीकरण: $(x + 3y - 4z)i + (x - 3y + 5z)j + (3x + y)k = \lambda xi + \lambda yj + \lambda zk$.
दोनों पक्षों में $i, j,$ और $k$ के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:
$(1 - \lambda)x + 3y - 4z = 0$ ... $(i)$
$x - (3 + \lambda)y + 5z = 0$ ... $(ii)$
$3x + y - \lambda z = 0$ ... $(iii)$
चूंकि $(x, y, z) \ne (0, 0, 0)$, प्रणाली का एक गैर-तुच्छ हल है, जिसका अर्थ है कि गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 3 & -4 \\ 1 & -(3 + \lambda) & 5 \\ 3 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-\lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda = 0$
$-\lambda(\lambda + 1)^2 = 0$
अतः, $\lambda = 0, -1$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समतलों के समीकरण हैं:
$x - cy - bz = 0$
$-cx + y - az = 0$
$-bx - ay + z = 0$
इन समतलों के एक ही रेखा से गुजरने के लिए,गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & -c & -b \\ -c & 1 & -a \\ -b & -a & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(1 - a^2) - (-c)(-c - ab) + (-b)(ac + b) = 0$
$1 - a^2 - c^2 - abc - abc - b^2 = 0$
$1 - a^2 - b^2 - c^2 - 2abc = 0$
$a^2 + b^2 + c^2 + 2abc = 1$

(D) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} a & b+c & 1 \\ b & c+a & 1 \\ c & a+b & 1 \end{array} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
स्तंभ संक्रिया $C_2 \to C_2 + C_1$ लागू करने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} a & a+b+c & 1 \\ b & a+b+c & 1 \\ c & a+b+c & 1 \end{array} \right|$
दूसरे स्तंभ से $(a+b+c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{a+b+c}{2} \left| \begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ b & 1 & 1 \\ c & 1 & 1 \end{array} \right|$
चूंकि दो स्तंभ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ है।

(A) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ के लिए क्षेत्रफल का सूत्र:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्षों $(4, 4)$,$(3, -2)$ और $(3, -16)$ को सूत्र में रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |4(-2 - (-16)) + 3(-16 - 4) + 3(4 - (-2))|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |4(14) + 3(-20) + 3(6)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |56 - 60 + 18|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |14| = 7$
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $7$ वर्ग इकाई है।

(C) दिए गए बिंदुओं के संरेख होने के लिए,उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए,या निर्देशांकों का सारणिक (determinant) शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} t_1 & 2at_1 + at_1^3 & 1 \\ t_2 & 2at_2 + at_2^3 & 1 \\ t_3 & 2at_3 + at_3^3 & 1 \end{vmatrix} = 0$
दूसरे स्तंभ से $a$ को सामान्य लेने पर:
$a \begin{vmatrix} t_1 & 2t_1 + t_1^3 & 1 \\ t_2 & 2t_2 + t_2^3 & 1 \\ t_3 & 2t_3 + t_3^3 & 1 \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} t_1 & 2t_1 + t_1^3 & 1 \\ t_2 - t_1 & 2(t_2 - t_1) + (t_2^3 - t_1^3) & 0 \\ t_3 - t_1 & 2(t_3 - t_1) + (t_3^3 - t_1^3) & 0 \end{vmatrix} = 0$
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(t_2 - t_1)(t_3 - t_1) \begin{vmatrix} 1 & 2 + (t_2^2 + t_1^2 + t_2 t_1) \\ 1 & 2 + (t_3^2 + t_1^2 + t_3 t_1) \end{vmatrix} = 0$
$(t_2 - t_1)(t_3 - t_1) [(2 + t_3^2 + t_1^2 + t_3 t_1) - (2 + t_2^2 + t_1^2 + t_2 t_1)] = 0$
$(t_2 - t_1)(t_3 - t_1) [t_3^2 - t_2^2 + t_1(t_3 - t_2)] = 0$
$(t_2 - t_1)(t_3 - t_1)(t_3 - t_2)(t_3 + t_2 + t_1) = 0$
चूंकि $t_1, t_2, t_3$ भिन्न हैं,$(t_2 - t_1) \neq 0$,$(t_3 - t_1) \neq 0$,और $(t_3 - t_2) \neq 0$.
अतः,$t_1 + t_2 + t_3 = 0$.

(C) दिया गया है कि $x_1 = ar, x_2 = ar^2$ और $y_1 = bs, y_2 = bs^2$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta$ सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a & b & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{matrix} \right| = \frac{1}{2} \left| \begin{matrix} a & b & 1 \\ ar & bs & 1 \\ ar^2 & bs^2 & 1 \end{matrix} \right|$
प्रथम स्तंभ से $a$ और दूसरे स्तंभ से $b$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} ab \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ r & s & 1 \\ r^2 & s^2 & 1 \end{matrix} \right|$
पंक्ति संक्रियाएँ $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} ab \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ r-1 & s-1 & 0 \\ r^2-1 & s^2-1 & 0 \end{matrix} \right|$
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} ab \left| \begin{matrix} r-1 & s-1 \\ (r-1)(r+1) & (s-1)(s+1) \end{matrix} \right|$
$\Delta = \frac{1}{2} ab (r-1)(s-1) \left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ r+1 & s+1 \end{matrix} \right|$
$\Delta = \frac{1}{2} ab (r-1)(s-1) (s+1 - r - 1) = \frac{1}{2} ab (r-1)(s-1)(s-r)$.

(D) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्षों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x_1 = a \cos \theta, y_1 = b \sin \theta$
$x_2 = -a \sin \theta, y_2 = b \cos \theta$
$x_3 = -a \cos \theta, y_3 = -b \sin \theta$
गणना करने पर,$\Delta = \frac{1}{2} |2ab(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)|$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए $\Delta = \frac{1}{2} |2ab| = |ab|$.

(D) दिया गया है,$D = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+x & 1 \\ 1 & 1 & 1+y \end{array} \right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$D = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & y \end{array} \right|$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 1 \cdot (x \cdot y - 0 \cdot 0) - 0 + 0 = xy$.
चूंकि $D = xy$,इसलिए यह $x$ और $y$ दोनों से विभाज्य है।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 5 & 5\alpha & \alpha \\ 0 & \alpha & 5\alpha \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $A$ एक ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह है,इसलिए इसका सारणिक $|A|$ इसके मुख्य विकर्ण के अवयवों का गुणनफल है।
$|A| = 5 \times \alpha \times 5 = 25\alpha$.
हमें दिया गया है कि $|A|^2 = 25$ है।
$|A|$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$(25\alpha)^2 = 25$ प्राप्त होता है।
$625\alpha^2 = 25$.
$\alpha^2 = \frac{25}{625} = \frac{1}{25}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$|\alpha| = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए रैखिक समीकरण निकाय इस प्रकार हैं:
$(2-\lambda)x_1 - 2x_2 + x_3 = 0$
$2x_1 - (3+\lambda)x_2 + 2x_3 = 0$
$-x_1 + 2x_2 - \lambda x_3 = 0$
अशून्य हल के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 2-\lambda & -2 & 1 \\ 2 & -(3+\lambda) & 2 \\ -1 & 2 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
$R_1 \to R_1 + R_3$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & 1-\lambda \\ 2 & -(3+\lambda) & 2 \\ -1 & 2 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
$R_1$ से $(1-\lambda)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(1-\lambda) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & -(3+\lambda) & 2 \\ -1 & 2 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(1-\lambda) [1(\lambda(3+\lambda) - 4) + 1(4 - (3+\lambda))] = 0$
$(1-\lambda) [3\lambda + \lambda^2 - 4 + 4 - 3 - \lambda] = 0$
$(1-\lambda) [\lambda^2 + 2\lambda - 3] = 0$
$(1-\lambda)(\lambda+3)(\lambda-1) = 0$
$-(1-\lambda)^2(\lambda+3) = 0$
अतः,$\lambda = 1$ और $\lambda = -3$ प्राप्त होता है। मानों का समुच्चय $\{1, -3\}$ है,जिसमें दो अवयव हैं।

(B) समघात रैखिक समीकरण निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए,अर्थात $\Delta = 0$।
गुणांक आव्यूह है:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \lambda & -1 \\ \lambda & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1((-1)(-\lambda) - (-1)(1)) - \lambda((\lambda)(-\lambda) - (-1)(1)) - 1((\lambda)(1) - (-1)(1)) = 0$
$1(\lambda + 1) - \lambda(-\lambda^2 + 1) - 1(\lambda + 1) = 0$
$(\lambda + 1) - \lambda(1 - \lambda^2) - (\lambda + 1) = 0$
$-\lambda(1 - \lambda)(1 + \lambda) = 0$
$\lambda(1 - \lambda)(1 + \lambda) = 0$
$\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 0, 1, -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda$ के ठीक तीन मानों के लिए निकाय का एक गैर-तुच्छ हल है।

(D) माना तीसरा शीर्ष $(p, q)$ है। चूँकि यह रेखा $y = x + 3$ पर स्थित है,इसलिए $q = p + 3$ $(i)$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $5$ है,अतः:
$\frac{1}{2} |2(-2 - q) + 3(q - 1) + p(1 - (-2))| = 5$
$|q + 3p - 7| = 10$
$q = p + 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|4p - 4| = 10$
$p = \frac{7}{2}$ या $p = -\frac{3}{2}$.
अतः,तीसरा शीर्ष $\left( \frac{7}{2}, \frac{13}{2} \right)$ या $\left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right)$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार सही विकल्प $D$ है।

(C) दिए गए शीर्ष $(a, b)$,$(x_1, y_1) = (ar, bs)$ और $(x_2, y_2) = (ar^2, bs^2)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
मान रखने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} |a(bs - bs^2) + ar(bs^2 - b) + ar^2(b - bs)|$
$ab$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = \frac{1}{2} ab |(s - s^2) + r(s^2 - 1) + r^2(1 - s)|$
$= \frac{1}{2} ab |s(1 - s) + r(s - 1)(s + 1) - r^2(s - 1)|$
$= \frac{1}{2} ab |(s - 1) [-s + r(s + 1) - r^2]|$
$= \frac{1}{2} ab |(s - 1) [-s + rs + r - r^2]|$
$= \frac{1}{2} ab |(s - 1) [r(s - r) - (s - r)]|$
$= \frac{1}{2} ab |(s - 1)(s - r)(r - 1)|$
$= \frac{1}{2} ab (r - 1)(s - 1)(s - r)$.

(D) दिया गया है $A = \begin{vmatrix} \sin(\theta + \alpha) & \cos(\theta + \alpha) & 1 \\ \sin(\theta + \beta) & \cos(\theta + \beta) & 1 \\ \sin(\theta + \gamma) & \cos(\theta + \gamma) & 1 \end{vmatrix}$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$A = \begin{vmatrix} \sin(\theta + \alpha) & \cos(\theta + \alpha) & 1 \\ \sin(\theta + \beta) - \sin(\theta + \alpha) & \cos(\theta + \beta) - \cos(\theta + \alpha) & 0 \\ \sin(\theta + \gamma) - \sin(\theta + \alpha) & \cos(\theta + \gamma) - \cos(\theta + \alpha) & 0 \end{vmatrix}$.
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$A = 1 \cdot [(\sin(\theta + \beta) - \sin(\theta + \alpha))(\cos(\theta + \gamma) - \cos(\theta + \alpha)) - (\cos(\theta + \beta) - \cos(\theta + \alpha))(\sin(\theta + \gamma) - \sin(\theta + \alpha))]$.
सर्वसमिका $\sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y) = \sin(x-y)$ का उपयोग करने पर:
$A = \sin((\theta + \beta) - (\theta + \gamma)) + \sin((\theta + \alpha) - (\theta + \beta)) + \sin((\theta + \gamma) - (\theta + \alpha))$.
$A = \sin(\beta - \gamma) + \sin(\alpha - \beta) + \sin(\gamma - \alpha)$.
चूंकि परिणाम में केवल स्थिरांक $\alpha, \beta, \gamma$ हैं,इसलिए $A$,$\theta$ से स्वतंत्र है।

(A) दिया गया सारणिक $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & x + 1 \\ 2x & x(x - 1) & (x + 1)x \\ 3x(x - 1) & x(x - 1)(x - 2) & (x + 1)x(x - 1) \end{array} \right|$ है।
सारणिक के गुणों का उपयोग करने पर,हम पाते हैं कि इसकी पंक्तियाँ रैखिक रूप से आश्रित हैं।
सारणिक का विस्तार या सरलीकरण करने पर,यह सिद्ध होता है कि $f(x) = 0$ सभी $x$ के लिए सत्य है।
अतः,$f(100) = 0$ होगा।

(C) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 10! & 11! & 12! \\ 11! & 12! & 13! \\ 12! & 13! & 14! \end{array} \right|$.
$C_1$ से $10!$,$C_2$ से $11!$ और $C_3$ से $12!$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = 10!\,11!\,12! \left| \begin{array}{ccc} 1 & 11 & 11 \times 12 \\ 1 & 12 & 12 \times 13 \\ 1 & 13 & 13 \times 14 \end{array} \right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = 10!\,11!\,12! \left| \begin{array}{ccc} 1 & 11 & 132 \\ 0 & 1 & 24 \\ 0 & 2 & 50 \end{array} \right|$.
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 10!\,11!\,12! \times (1 \times (50 - 48)) = 10!\,11!\,12! \times 2 = 2(10!\,11!\,12!)$.

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \cos(A-P) & \cos(A-Q) & \cos(A-R) \\ \cos(B-P) & \cos(B-Q) & \cos(B-R) \\ \cos(C-P) & \cos(C-Q) & \cos(C-R) \end{array} \right|$ है।
$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ सूत्र का उपयोग करके,हम प्रत्येक अवयव को दो पदों के योग के रूप में लिख सकते हैं।
यह हमें सारणिक को दो आव्यूहों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \cos A & \sin A & 0 \\ \cos B & \sin B & 0 \\ \cos C & \sin C & 0 \end{array} \right| \times \left| \begin{array}{ccc} \cos P & \cos Q & \cos R \\ \sin P & \sin Q & \sin R \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right|$.
चूंकि पहले आव्यूह का तीसरा स्तंभ शून्य है और दूसरे आव्यूह की तीसरी पंक्ति शून्य है,इसलिए इन दो आव्यूहों का गुणनफल शून्य है।
वैकल्पिक रूप से,सारणिक को $8$ सारणिकों में विभाजित किया जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक में कम से कम दो समान स्तंभ (या पंक्तियाँ) होते हैं,जिससे प्रत्येक सारणिक का मान $0$ हो जाता है।
अतः,सारणिक का मान $0$ है।

(C) माना दिया गया सारणिक $\Delta$ है। $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ करने पर:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x + 2\cos x}&{\sin x + 2\cos x}&{\sin x + 2\cos x}\\{\cos x}&{\sin x}&{\cos x}\\{\cos x}&{\cos x}&{\sin x}\end{array}} \right| = 0$
$R_1$ से $(\sin x + 2\cos x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (\sin x + 2\cos x) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\{\cos x}&{\sin x}&{\cos x}\\{\cos x}&{\cos x}&{\sin x}\end{array}} \right| = 0$
$C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ संक्रिया करने पर:
$\Delta = (\sin x + 2\cos x) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\\{\cos x}&{\sin x - \cos x}&0\\{\cos x}&0&{\sin x - \cos x}\end{array}} \right| = 0$
$\Delta = (\sin x + 2\cos x)(\sin x - \cos x)^2 = 0$
इसका अर्थ है कि $\sin x + 2\cos x = 0$ या $(\sin x - \cos x)^2 = 0$ है।
स्थिति $1$: $\tan x = -2$। अंतराल $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ में,$\tan x$ का मान $-1$ से $1$ के बीच होता है। अतः,$\tan x = -2$ का कोई हल नहीं है।
स्थिति $2$: $\sin x = \cos x \implies \tan x = 1$। अंतराल $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ में,$x = \frac{\pi}{4}$ पर $\tan x = 1$ होता है।
अतः,केवल $1$ ही भिन्न वास्तविक मूल प्राप्त होता है।

(D) दिया गया सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} C & 1 & 0 \\ 1 & C & 1 \\ 6 & 1 & C \end{vmatrix}$ है।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = C(C^2 - 1) - 1(C - 6) + 0(1 - 6C)$
$\Delta = C^3 - C - C + 6$
$\Delta = C^3 - 2C + 6$
अब $C = 2 \cos \theta$ रखने पर:
$\Delta = (2 \cos \theta)^3 - 2(2 \cos \theta) + 6$
$\Delta = 8 \cos^3 \theta - 4 \cos \theta + 6$
यह परिणाम दिए गए विकल्पों में से किसी से भी मेल नहीं खाता है।

(D) आव्यूह के अव्युत्क्रमणीय होने के लिए,इसका सारणिक शून्य होना चाहिए: $\begin{vmatrix} 3 & -1+x & 2 \\ 3 & -1 & x+2 \\ x+3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 0$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 3 & -1+x & 2 \\ 0 & -x & x \\ x & -x & 0 \end{vmatrix} = 0$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} x+4 & -1+x & 2 \\ 0 & -x & x \\ 0 & -x & 0 \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x+4) \cdot [(-x)(0) - (x)(-x)] = 0$
$(x+4)(x^2) = 0$.
इससे $x = -4$ या $x = 0$ प्राप्त होता है।
हमें अंतराल $[-4, -1]$ दिया गया है।
चूंकि $-4 \in [-4, -1]$ और $0 \notin [-4, -1]$,इसलिए $x$ का केवल $1$ मान शर्त को संतुष्ट करता है।

(C) रैखिक समीकरण निकाय का शून्येतर हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह है:
$\Delta = \begin{vmatrix} a^3 & (a+1)^3 & (a+2)^3 \\ a & a+1 & a+2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_2$ को लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} a^3 & (a+1)^3 - a^3 & (a+2)^3 - (a+1)^3 \\ a & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$
तीसरी पंक्ति $(R_3)$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1 \cdot \begin{vmatrix} (a+1)^3 - a^3 & (a+2)^3 - (a+1)^3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$((a+1)^3 - a^3) - ((a+2)^3 - (a+1)^3) = 0$
$(3a^2 + 3a + 1) - (3(a+1)^2 + 3(a+1) + 1) = 0$
$(3a^2 + 3a + 1) - (3a^2 + 6a + 3 + 3a + 3 + 1) = 0$
$(3a^2 + 3a + 1) - (3a^2 + 9a + 7) = 0$
$-6a - 6 = 0$
$-6a = 6$
$a = -1$.

(C) दिया गया सर्वसमिका $px^4 + qx^3 + rx^2 + sx + t = \left| \begin{array}{ccc} x^2 + 3x & x - 1 & x + 3 \\ x + 1 & 2 - x & x - 3 \\ x - 3 & x + 4 & 3x \end{array} \right|$ है।
$t$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम सर्वसमिका में $x = 0$ रखते हैं।
दोनों पक्षों में $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p(0)^4 + q(0)^3 + r(0)^2 + s(0) + t = \left| \begin{array}{ccc} 0^2 + 3(0) & 0 - 1 & 0 + 3 \\ 0 + 1 & 2 - 0 & 0 - 3 \\ 0 - 3 & 0 + 4 & 3(0) \end{array} \right|$
$t = \left| \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -3 \\ -3 & 4 & 0 \end{array} \right|$
अब,प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$t = 0(2 \times 0 - (-3) \times 4) - (-1)(1 \times 0 - (-3) \times (-3)) + 3(1 \times 4 - 2 \times (-3))$
$t = 0 - (-1)(0 - 9) + 3(4 + 6)$
$t = 0 - (9) + 3(10)$
$t = -9 + 30$
$t = 21$
अतः,$t$ का मान $21$ है।

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a+1 & a+2 & a+p \\ a+2 & a+3 & a+q \\ a+3 & a+4 & a+r \end{array} \right| = 0$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ को लागू करें:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a+1 & a+2 & a+p \\ 1 & 1 & q-p \\ 1 & 1 & r-q \end{array} \right| = 0$.
चूंकि दो पंक्तियों ($R_2$ और $R_3$) में पहले दो स्तंभ समान हैं,हम $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ कर सकते हैं:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a+1 & a+2 & a+p \\ 1 & 1 & q-p \\ 0 & 0 & (r-q) - (q-p) \end{array} \right| = 0$.
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$0 - 0 + (r - q - q + p) \times ((a+1)(1) - (a+2)(1)) = 0$.
$(r + p - 2q) \times (-1) = 0$.
यह दर्शाता है कि $r + p - 2q = 0$,अर्थात $p + r = 2q$।
यह $p, q, r$ के $AP$ में होने की शर्त है।

(C) दिया गया है $a^2 + b^2 + c^2 = -2$।
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 + x(a^2 + b^2 + c^2 + 2) & (1 + b^2)x & (1 + c^2)x \\ 1 + x(a^2 + b^2 + c^2 + 2) & 1 + b^2x & (1 + c^2)x \\ 1 + x(a^2 + b^2 + c^2 + 2) & (1 + b^2)x & 1 + c^2x \end{array} \right|$
चूंकि $a^2 + b^2 + c^2 = -2$,इसलिए पद $a^2 + b^2 + c^2 + 2 = 0$ है।
अतः,$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & (1 + b^2)x & (1 + c^2)x \\ 1 & 1 + b^2x & (1 + c^2)x \\ 1 & (1 + b^2)x & 1 + c^2x \end{array} \right|$
पंक्ति संक्रिया $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & (1 + b^2)x & (1 + c^2)x \\ 0 & 1 - x & 0 \\ 0 & 0 & 1 - x \end{array} \right|$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = 1 \cdot (1 - x)(1 - x) = (1 - x)^2 = 1 - 2x + x^2$।
चूंकि $x$ की अधिकतम घात $2$ है,इसलिए $f(x)$ एक $2$ घात का बहुपद है।

(D) समघात रैखिक समीकरणों की प्रणाली का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
सारणिक इस प्रकार है:
$\Delta = \begin{vmatrix} \sin \theta & -\cos \theta & \lambda + 1 \\ \cos \theta & \sin \theta & -\lambda \\ \lambda & \lambda + 1 & \cos \theta \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = \sin \theta (\sin \theta \cos \theta + \lambda^2 + \lambda) + \cos \theta (\cos^2 \theta + \lambda^2) + (\lambda + 1)(\lambda \cos \theta + \cos \theta - \lambda \sin \theta) = 0$
बीजगणितीय सरलीकरण के बाद,समीकरण इस प्रकार प्राप्त होता है:
$2 \cos \theta (\lambda^2 + \lambda + 1) = 0$
चूंकि $\lambda^2 + \lambda + 1 = (\lambda + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$ सभी $\lambda \in \mathbb{R}$ के लिए,इसलिए:
$\cos \theta = 0$
अतः,$\theta = (2n + 1)\frac{\pi}{2}$ जहाँ $n \in \mathbb{I}$।