यदि $n \ne 3k$ और 1,$\omega ,{\omega ^2}$ इकाई के घनमूल हैं, तो $\Delta  = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&{{\omega ^n}}&{{\omega ^{2n}}}\\{{\omega ^{2n}}}&1&{{\omega ^n}}\\{{\omega ^n}}&{{\omega ^{2n}}}&1\end{array}\,} \right|$ का मान है

यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x}&{x + 1}&{x - 2}\\{2{x^2} + 3x - 1}&{3x}&{3x - 3}\\{{x^2} + 2x + 3}&{2x - 1}&{2x - 1}\end{array}\,} \right| = Ax - 12$, तो $ A$ का मान है

$\lambda$ तथा $\mu$ के क्रमश: मान, जिनके लिए समीकरण निकाय $x+y+z=2$, $x+2 y+3 z=5$, $x+3 y+\lambda z=\mu$ के असंख्य हल हैं

यदि समीकरण निकाय

$2 x+y-z=5$

$2 x-5 y+\lambda z=\mu$

$x+2 y-5 z=7$

के अनंत हल हैं, तो $(\lambda+\mu)^2+(\lambda-\mu)^2$ बराबर है

माना $\alpha$ के सभी वास्तविक मानों, जिनके लिए रेखाएँ $2 x-y+3=0,6 x+3 y+1=0$ तथा $\alpha x+2 y-2=0$ एक त्रिभुज नहीं बनाती है, के वर्गों का योग $\mathrm{p}$ है, तो महत्तम पूर्णांक $\leq \mathrm{p}$ है .......।

दर्शाइए कि बिंदु $A (a, b+c), B (b, c+a)$ और $C (c, a+b)$ संरेख हैं।