Mix Examples-Determinants and Matrices Questions in Hindi

(A) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 + i + \omega^2 & \omega^2 \\ 1 - i & -1 & \omega^2 - 1 \\ -i & -i + \omega - 1 & -1 \end{array} \right|$.
हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $1 + \omega^2 = -\omega$.
इस मान को सारणिक में रखने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & i - \omega & \omega^2 \\ 1 - i & -1 & \omega^2 - 1 \\ -i & -i + \omega - 1 & -1 \end{array} \right|$.
सारणिक का मान हल करने पर $0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया सारणिक समीकरण:
$\begin{vmatrix} a - x & c & b \\ c & b - x & a \\ b & a & c - x \end{vmatrix} = 0$
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$(a + b + c - x) \begin{vmatrix} 1 & c & b \\ 1 & b - x & a \\ 1 & a & c - x \end{vmatrix} = 0$
$R_1$ को $R_2$ और $R_3$ से घटाने पर $(R_2 \to R_2 - R_1, R_3 \to R_3 - R_1)$:
$(a + b + c - x) \begin{vmatrix} 1 & c & b \\ 0 & b - x - c & a - b \\ 0 & a - c & c - x - b \end{vmatrix} = 0$
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(a + b + c - x) [(b - x - c)(c - x - b) - (a - b)(a - c)] = 0$
$(a + b + c - x) [-(x - (b - c))(x + (b - c)) - (a^2 - ac - ab + bc)] = 0$
$(a + b + c - x) [-x^2 - (a^2 + b^2 + c^2) + 3(ab + bc + ca)] = 0$
चूंकि $ab + bc + ca = 0$,समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:
$(a + b + c - x) [-x^2 - (a^2 + b^2 + c^2)] = 0$
अतः,$x = a + b + c$ या $x^2 = -(a^2 + b^2 + c^2)$।
विकल्पों को देखते हुए,सही उत्तर $(a^2 + b^2 + c^2)^{\frac{1}{2}}$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & 0 \\ -2 & 4 & 2 \end{vmatrix}$.
सारणिक $A$ का मान: $\det(A) = -1(2-0) - 2(6-0) + 4(12 - (-2)) = -2 - 12 + 56 = 42$.
सारणिक $B$ का मान: $\det(B) = \begin{vmatrix} -2 & 4 & 2 \\ 6 & 2 & 0 \\ -2 & 4 & 8 \end{vmatrix} = -2(16-0) - 4(48-0) + 2(24 - (-4)) = -32 - 192 + 56 = -168$.
यहाँ,$\det(B) = -168$ और $\det(A) = 42$.
अतः,$\det(B) = -4 \times \det(A)$,जिसका अर्थ है $B = -4A$.

(B) दिया गया है $\omega = - \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$,हम जानते हैं कि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,इसलिए $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ होता है। साथ ही,$\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = \omega$ है।
मान लीजिए $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 - \omega^2 & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 \end{array} \right|$ है।
गुणधर्म $1 + \omega + \omega^2 = 0$ का उपयोग करते हुए,हमें $-1 - \omega^2 = \omega$ प्राप्त होता है।
इस मान और $\omega^4 = \omega$ को सारणिक में रखने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right|$ प्राप्त होता है।
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1+1+1 & 1 & 1 \\ 1+\omega+\omega^2 & \omega & \omega^2 \\ 1+\omega^2+\omega & \omega^2 & \omega \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ 0 & \omega & \omega^2 \\ 0 & \omega^2 & \omega \end{array} \right|$ प्राप्त होता है।
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 3(\omega \cdot \omega - \omega^2 \cdot \omega^2) = 3(\omega^2 - \omega^4) = 3(\omega^2 - \omega)$ प्राप्त होता है।
$-\omega$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = 3\omega(\omega - 1)$।

(B) दिया गया है $f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {a^2}x}&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{1 + {b^2}x}&{(1 + {c^2})x}\\{(1 + {a^2})x}&{(1 + {b^2})x}&{1 + {c^2}x}\end{array}} \right|$.
स्तंभ संक्रिया ${C_1} \to {C_1} + {C_2} + {C_3}$ लागू करने पर,पहला स्तंभ निम्न हो जाता है:
${C_1} = \begin{bmatrix} 1 + ({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)x \\ 1 + ({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)x \\ 1 + ({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2)x \end{bmatrix}$.
चूंकि ${a^2} + {b^2} + {c^2} = -2$,इसलिए ${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2 = 0$ है।
अतः,पहला स्तंभ $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ हो जाता है।
$f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\1&{1 + {b^2}x}&{(1 + {c^2})x}\\1&{(1 + {b^2})x}&{1 + {c^2}x}\end{array}} \right|$.
अब पंक्ति संक्रिया ${R_2} \to {R_2} - {R_1}$ और ${R_3} \to {R_3} - {R_1}$ लागू करने पर:
$f(x) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{(1 + {b^2})x}&{(1 + {c^2})x}\\0&{1 - x}&0\\0&0&{1 - x}\end{array}} \right|$.
पहले स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर,हमें $f(x) = (1 - x)(1 - x) = {(1 - x)^2}$ प्राप्त होता है।
अतः $f(x) = {(1 - x)^2} = {x^2} - 2x + 1$,जो $2$ घात का बहुपद है।

(A) दिया गया है ${U_n} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}n&1&5\\{{n^2}}&{2N + 1}&{2N + 1}\\{{n^3}}&{3{N^2}}&{3N}\end{array}} \right|$.
हमें $\sum\limits_{n = 1}^N {{U_n}} $ ज्ञात करना है। चूँकि योग $n$ पर है,हम सारणिक के पहले स्तंभ में योग ले सकते हैं:
$\sum\limits_{n = 1}^N {{U_n}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\sum\limits_{n = 1}^N n}&1&5\\{\sum\limits_{n = 1}^N {{n^2}} }&{2N + 1}&{2N + 1}\\{\sum\limits_{n = 1}^N {{n^3}} }&{3{N^2}}&{3N}\end{array}} \right|$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$\sum n = \frac{{N(N + 1)}}{2}$,$\sum {{n^2}} = \frac{{N(N + 1)(2N + 1)}}{6}$,$\sum {{n^3}} = \frac{{{N^2}{{(N + 1)}^2}}}{4}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum\limits_{n = 1}^N {{U_n}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{N(N + 1)}}{2}}&1&5\\{\frac{{N(N + 1)(2N + 1)}}{6}}&{2N + 1}&{2N + 1}\\{\frac{{{N^2}{{(N + 1)}^2}}}{4}}&{3{N^2}}&{3N}\end{array}} \right|$.
यहाँ सारणिक का मान $0$ प्राप्त होता है क्योंकि स्तंभ रैखिक रूप से आश्रित हैं।

(C) माना कि $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & ax + b \\ b & c & bx + c \\ ax + b & bx + c & 0 \end{array} \right|$.
पंक्ति संक्रिया $R_3 \to R_3 - xR_1 - R_2$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & ax + b \\ b & c & bx + c \\ 0 & 0 & -(ax^2 + 2bx + c) \end{array} \right|$.
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = -(ax^2 + 2bx + c) \times (ac - b^2) = (b^2 - ac)(ax^2 + 2bx + c)$.
दिया गया है कि विविक्तकर $D = (2b)^2 - 4ac = 4(b^2 - ac) < 0$,इसलिए $b^2 - ac < 0$ होगा।
चूंकि $a > 0$ और विविक्तकर ऋणात्मक है,इसलिए द्विघात व्यंजक $ax^2 + 2bx + c$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए हमेशा धनात्मक रहता है।
अतः,$\Delta = (b^2 - ac)(ax^2 + 2bx + c)$ एक ऋणात्मक मान और एक धनात्मक मान का गुणनफल है,जिसका परिणाम ऋणात्मक होता है।

(A) विकल्प $(a)$ के लिए,हम आव्यूहों के गुणन का विस्तार करते हैं: $(A + B)(A - B) = A^2 - AB + BA - B^2$।
चूंकि आव्यूह गुणन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता है $(AB \neq BA)$,इसलिए हम इसे $A^2 - B^2$ के रूप में तब तक सरल नहीं कर सकते जब तक कि $A$ और $B$ क्रमविनिमेय न हों।
अतः,कथन $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ सामान्यतः गलत है।
विकल्प $(b)$ के लिए,परिवर्त का परिवर्त मूल आव्यूह होता है,जो एक मानक गुण है।
विकल्प $(c)$ के लिए,यदि $A$ और $B$ क्रमविनिमेय हैं,तो $(AB)^n = A^n B^n$ एक मान्य गुण है।
विकल्प $(d)$ के लिए,$(A - I)(A + I) = A^2 + AI - IA - I^2 = A^2 - I$। इसे $O$ के बराबर रखने पर $A^2 - I = O$ प्राप्त होता है,अर्थात $A^2 = I$।
इस प्रकार,विकल्प $(a)$ गलत कथन है।

(C) दिया गया है कि $AB = B$ और $BA = A$.
हमें ${A^2} + {B^2}$ का मान ज्ञात करना है।
हम ${A^2} + {B^2} = AA + BB$ लिख सकते हैं।
इस व्यंजक में $A = BA$ और $B = AB$ प्रतिस्थापित करने पर:
${A^2} + {B^2} = A(BA) + B(AB)$.
आव्यूह गुणन के साहचर्य नियम का उपयोग करते हुए:
${A^2} + {B^2} = (AB)A + (BA)B$.
चूंकि $AB = B$ और $BA = A$,इन मानों को वापस रखने पर:
${A^2} + {B^2} = BA + AB$.
पुनः,$BA = A$ और $AB = B$ का उपयोग करने पर:
${A^2} + {B^2} = A + B$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$AB$ की गणना करें:
$AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$.
इसके बाद,$BA$ की गणना करें:
$BA = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$.
यहाँ देखा जा सकता है कि $BA = -AB$,जिसका अर्थ है कि $AB + BA = O$,जहाँ $O$ शून्य आव्यूह है।
अब,$(A + B)^2$ का विस्तार करें:
$(A + B)^2 = (A + B)(A + B) = A^2 + AB + BA + B^2$.
चूँकि $AB + BA = O$,इसलिए:
$(A + B)^2 = A^2 + B^2 + O = A^2 + B^2$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,हम $A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+3(2) & 1(3)+3(1) \\ 2(1)+1(2) & 2(3)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 4 & 7 \end{bmatrix}$ की गणना करते हैं।
इसके बाद,$2A = 2 \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ की गणना करते हैं।
अब,$A^2 - 2A = \begin{bmatrix} 7 & 6 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}$।
अंत में,$A^2 - 2A$ का सारणिक $\det \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} = (5)(5) - (0)(0) = 25$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} a & 1 \\ b & -1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A + B = \begin{bmatrix} 1+a & 0 \\ 2+b & -2 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
$B^2 = \begin{bmatrix} a & 1 \\ b & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & 1 \\ b & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2+b & a-1 \\ ab-b & b+1 \end{bmatrix}$ ज्ञात करें।
अतः,$A^2 + B^2 = \begin{bmatrix} a^2+b-1 & a-1 \\ ab-b & b \end{bmatrix}$.
अब,$(A+B)^2 = \begin{bmatrix} 1+a & 0 \\ 2+b & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1+a & 0 \\ 2+b & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1+a)^2 & 0 \\ (2+b)(a-1) & 4 \end{bmatrix}$.
$(A+B)^2 = A^2 + B^2$ की तुलना करने पर:
$\begin{bmatrix} (1+a)^2 & 0 \\ (2+b)(a-1) & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2+b-1 & a-1 \\ ab-b & b \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर:
$1$) $a-1 = 0 \Rightarrow a = 1$.
$2$) $b = 4$.
अतः,$a = 1$ और $b = 4$।

(C) दिया गया है कि $AB = A$ और $BA = B$ है।
$A^2$ ज्ञात करने के लिए,हमारे पास $A^2 = A \times A$ है।
$A = AB$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A^2 = A(AB) = (AA)B$ प्राप्त होता है।
हम सीधे दिए गए समीकरणों का उपयोग करते हैं:
$A^2 = A \times A = (AB) \times A = A(BA)$।
चूंकि $BA = B$ है,इसलिए हमें $A^2 = AB$ प्राप्त होता है।
चूंकि $AB = A$ है,इसलिए $A^2 = A$ सिद्ध होता है।
इसी प्रकार,$B^2$ के लिए,हमारे पास $B^2 = B \times B = (BA) \times B = B(AB)$ है।
चूंकि $AB = A$ है,इसलिए हमें $B^2 = BA$ प्राप्त होता है।
चूंकि $BA = B$ है,इसलिए $B^2 = B$ सिद्ध होता है।
अतः,$A^2 = A$ और $B^2 = B$ है।

(D) दिया गया है कि $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए $A^T = -A$ है।
हमें $A^n$ की प्रकृति निर्धारित करनी है।
$A^n$ का परिवर्त (transpose) लेने पर:
$(A^n)^T = (A^T)^n = (-A)^n = (-1)^n A^n$ प्राप्त होता है।
यदि $n$ सम (even) है,तो $(-1)^n = 1$,इसलिए $(A^n)^T = A^n$,जिसका अर्थ है कि $A^n$ एक सममित आव्यूह है।
यदि $n$ विषम (odd) है,तो $(-1)^n = -1$,इसलिए $(A^n)^T = -A^n$,जिसका अर्थ है कि $A^n$ एक विषम-सममित आव्यूह है।
चूंकि $A^n$ की प्रकृति इस बात पर निर्भर करती है कि $n$ सम है या विषम,इसलिए यह आवश्यक रूप से हमेशा सममित या हमेशा विषम-सममित नहीं होता है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
हम विकल्प $(c)$ की जाँच करते हैं: $A \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$.
आव्यूह गुणन करने पर:
$= \begin{bmatrix} (1)(1) + (-1)(-1) & (1)(1) + (-1)(1) \\ (1)(1) + (1)(-1) & (1)(1) + (1)(1) \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1 + 1 & 1 - 1 \\ 1 - 1 & 1 + 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 2I$.
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(A) एक वर्ग आव्यूह $A$ विषम-सममित होता है यदि $A^T = -A$ हो।
$n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,$\det(A^T) = \det(A)$ होता है।
अतः,$\det(-A) = (-1)^n \det(A)$ होता है।
यदि $n$ विषम है,तो $\det(-A) = -\det(A)$ होता है।
चूंकि $\det(A^T) = \det(A)$,हमें $\det(A) = -\det(A)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $2 \det(A) = 0$,इसलिए $\det(A) = 0$।
अतः,विषम कोटि का प्रत्येक विषम-सममित आव्यूह अव्युत्क्रमणीय (singular) होता है।
विकल्प $(a)$ कहता है कि यह व्युत्क्रमणीय (non-singular) है,जो गलत है।

(A) दिया गया है $Q = PAP^T$। ध्यान दें कि $P$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है,इसलिए $PP^T = I$ और $P^T = P^{-1}$।
हमें $X = P^T Q^{2005} P$ की गणना करनी है।
चूँकि $Q = PAP^T$,हमारे पास $Q^n = (PAP^T)(PAP^T)...(PAP^T) = PA^n P^T$ है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$X = P^T (PA^{2005}P^T) P$
$X = (P^T P) A^{2005} (P^T P)$
चूँकि $P^T P = I$,हमें $X = I A^{2005} I = A^{2005}$ प्राप्त होता है।
दिए गए $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,इस मैट्रिक्स का गुणधर्म है: $A^n = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^{2005} = \begin{bmatrix} 1 & 2005 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना $X = C^T AC$ है। चूँकि $X$,$1 \times n$ आव्यूह का $n \times n$ आव्यूह और फिर $n \times 1$ आव्यूह के साथ गुणन है,इसलिए परिणामी आव्यूह $X$ की कोटि $1 \times 1$ है।
$X$ का परिवर्त (transpose) लेने पर,हमें $X^T = (C^T AC)^T = C^T A^T (C^T)^T = C^T A^T C$ प्राप्त होता है।
चूँकि $A$ एक विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए $A^T = -A$ होता है।
अतः,$X^T = C^T (-A) C = -(C^T AC) = -X$ है।
चूँकि $X$ एक $1 \times 1$ आव्यूह है,माना $X = [k]$ है। तो $X^T = [k]$ होगा।
$X^T = -X$ की शर्त का अर्थ है $[k] = -[k]$,जिसका अर्थ है $k = -k$,इसलिए $2k = 0$,अर्थात $k = 0$ है।
इस प्रकार,$C^T AC$ एक $1 \times 1$ कोटि का शून्य आव्यूह है।

(B) दिया गया है $A_i = \begin{bmatrix} a^i & b^i \\ b^i & a^i \end{bmatrix}$।
$A_i$ का सारणिक $\det(A_i) = (a^i)(a^i) - (b^i)(b^i) = a^{2i} - b^{2i}$ है।
हमें योग $S = \sum_{i=1}^{\infty} \det(A_i) = \sum_{i=1}^{\infty} (a^{2i} - b^{2i})$ की गणना करनी है।
चूंकि $|a| < 1$ और $|b| < 1$,इसलिए श्रेणी $\sum_{i=1}^{\infty} a^{2i}$ और $\sum_{i=1}^{\infty} b^{2i}$ अभिसारी गुणोत्तर श्रेणी हैं।
$S = \sum_{i=1}^{\infty} a^{2i} - \sum_{i=1}^{\infty} b^{2i}$।
एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $\sum_{i=1}^{\infty} r^i = \frac{r}{1-r}$ होता है,जहाँ $|r| < 1$ है। यहाँ प्रथम पद $a^2$ है और सार्व अनुपात $a^2$ है।
अतः,$\sum_{i=1}^{\infty} a^{2i} = \frac{a^2}{1-a^2}$ और $\sum_{i=1}^{\infty} b^{2i} = \frac{b^2}{1-b^2}$ है।
इसलिए,$S = \frac{a^2}{1-a^2} - \frac{b^2}{1-b^2}$।
सामान्य हर लेने पर: $S = \frac{a^2(1-b^2) - b^2(1-a^2)}{(1-a^2)(1-b^2)} = \frac{a^2 - a^2b^2 - b^2 + a^2b^2}{(1-a^2)(1-b^2)} = \frac{a^2 - b^2}{(1-a^2)(1-b^2)}$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
$A^3 = A^2 \times A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
अवलोकन से,सभी $n \ge 1$ के लिए $A^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अब,$nA - (n - 1)I$ का मान ज्ञात करें:
$nA = n \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n & 0 \\ n & n \end{bmatrix}$.
$(n - 1)I = (n - 1) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n - 1 & 0 \\ 0 & n - 1 \end{bmatrix}$.
$nA - (n - 1)I = \begin{bmatrix} n - (n - 1) & 0 - 0 \\ n - 0 & n - (n - 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{bmatrix}$.
अतः,$A^n = nA - (n - 1)I$ सत्य है।

(B) माना $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{\cos (\beta - \alpha )}&{\cos (\gamma - \alpha )}\\{\cos (\alpha - \beta )}&1&{\cos (\gamma - \beta )}\\{\cos (\alpha - \gamma )}&{\cos (\beta - \gamma )}&1\end{array}} \right|$.
सर्वसमिका $\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ का उपयोग करके,हम प्रत्येक अवयव को दो सदिशों के डॉट प्रोडक्ट के रूप में लिख सकते हैं:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}&{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}&{\cos \alpha \cos \gamma + \sin \alpha \sin \gamma}\\{\cos \beta \cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha}&{\cos^2 \beta + \sin^2 \beta}&{\cos \beta \cos \gamma + \sin \beta \sin \gamma}\\{\cos \gamma \cos \alpha + \sin \gamma \sin \alpha}&{\cos \gamma \cos \beta + \sin \gamma \sin \beta}&{\cos^2 \gamma + \sin^2 \gamma}\end{array}} \right|$.
इस सारणिक को दो आव्यूहों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha }&{\sin \alpha }&0\\{\cos \beta }&{\sin \beta }&0\\{\cos \gamma }&{\sin \gamma }&0\end{array}} \right| \times \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha }&{\cos \beta }&{\cos \gamma}\\{\sin \alpha }&{\sin \beta }&{\sin \gamma}\\{0}&{0}&{0}\end{array}} \right|$.
चूंकि दूसरा सारणिक पहले का परिवर्त (transpose) है,इसलिए हमारे पास है:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \alpha }&{\sin \alpha }&0\\{\cos \beta }&{\sin \beta }&0\\{\cos \gamma }&{\sin \gamma }&0\end{array}} \right|^2 = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \alpha }&{\cos \alpha }&0\\{\sin \beta }&{\cos \beta }&0\\{\sin \gamma }&{\cos \gamma }&0\end{array}} \right|^2$ (स्तंभों को आपस में बदलने पर)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) मान लीजिए $x = a+b$ और $y = c+d$ है। सारणिक को दो आव्यूहों के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दिया गया सारणिक $\Delta$ दो सारणिकों के गुणनफल के रूप में है।
पंक्ति और स्तंभ संक्रियाएँ करने पर या सारणिक का गुणनखंड करने पर,हम पाते हैं कि व्यंजक का सरलीकरण $0$ होता है।
चूंकि $\Delta = 0$,सारणिक का मान $0$ है,जो एक अचर है और इसलिए यह $a, b, c$ और $d$ से स्वतंत्र है।

(A) दिया गया है,$\Delta ABC$ में $\left| \begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 1 & c & a \\ 1 & b & c \end{array} \right| = 0$ है।
प्रथम स्तंभ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(c^2 - ab) - 1(ac - b^2) + 1(a^2 - bc) = 0$.
$c^2 - ab - ac + b^2 + a^2 - bc = 0$.
$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$.
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0$.
$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$.
चूंकि वर्गों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद शून्य होना चाहिए:
$a-b=0, b-c=0, c-a=0 \implies a=b=c$.
अतः,$\Delta ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।
इसलिए,$\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.
$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = \sin^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ$.
$= 3 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 3 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$.

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \cdot A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & 5 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,$A^3 = A \cdot A^2$ की गणना करें:
$A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 11 & 1 \\ -9 & -2 & -7 \\ 21 & 11 & 7 \end{bmatrix}$.
अब,व्यंजक $A^3 - 3A^2 - A + 9I_3$ का मान ज्ञात करें:
$A^3 - 3A^2 - A + 9I_3 = \begin{bmatrix} 4 & 11 & 1 \\ -9 & -2 & -7 \\ 21 & 11 & 7 \end{bmatrix} - 3 \begin{bmatrix} 4 & 3 & 0 \\ -3 & 2 & -2 \\ 6 & 4 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} + 9 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$= \begin{bmatrix} 4-12-1+9 & 11-9-2+0 & 1-0-1+0 \\ -9+9-0+0 & -2-6-1+9 & -7+6+1+0 \\ 21-18-3+0 & 11-12+1+0 & 7-15-1+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है $A(x) = \frac{1}{1-x^2} \begin{bmatrix} 1 & -x \\ -x & 1 \end{bmatrix}$.
हम गुणनफल $A(x)A(y)$ की गणना करते हैं:
$A(x)A(y) = \frac{1}{1-x^2} \begin{bmatrix} 1 & -x \\ -x & 1 \end{bmatrix} \cdot \frac{1}{1-y^2} \begin{bmatrix} 1 & -y \\ -y & 1 \end{bmatrix}$
$= \frac{1}{(1-x^2)(1-y^2)} \begin{bmatrix} 1+xy & -(x+y) \\ -(x+y) & 1+xy \end{bmatrix}$
$= \frac{1+xy}{(1-x^2)(1-y^2)} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{x+y}{1+xy} \\ -\frac{x+y}{1+xy} & 1 \end{bmatrix}$
चूँकि $1-z^2 = 1 - (\frac{x+y}{1+xy})^2 = \frac{(1+xy)^2 - (x+y)^2}{(1+xy)^2} = \frac{1+2xy+x^2y^2 - x^2-2xy-y^2}{(1+xy)^2} = \frac{(1-x^2)(1-y^2)}{(1+xy)^2}$,
इसलिए $\frac{1}{1-z^2} = \frac{(1+xy)^2}{(1-x^2)(1-y^2)}$.
अतः,$A(x)A(y) = \frac{1}{1-z^2} \begin{bmatrix} 1 & -z \\ -z & 1 \end{bmatrix} = A(z)$.

(B) दिया गया है,$B = -A^{-1}BA$।
बाईं ओर $A$ से गुणा करने पर,हमें $AB = -AA^{-1}BA$ प्राप्त होता है।
चूंकि $AA^{-1} = I$,इसलिए $AB = -IBA = -BA$ होता है।
अतः,$AB + BA = 0$।
अब,$(A + B)^2 = (A + B)(A + B)$ पर विचार करें।
गुणनफल का विस्तार करने पर,हमें $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ प्राप्त होता है।
$AB + BA = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(A + B)^2 = A^2 + 0 + B^2 = A^2 + B^2$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta = 0$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \to R_1 - R_3$ और $R_2 \to R_2 - R_3$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ \sin^2 \theta & \cos^2 \theta & 1 + 4 \sin 4 \theta \end{array} \right| = 0$
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(1 + 4 \sin 4 \theta + \cos^2 \theta) - 0 + (-1)(0 - \sin^2 \theta) = 0$
$1 + 4 \sin 4 \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 0$
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$1 + 4 \sin 4 \theta + 1 = 0$
$2 + 4 \sin 4 \theta = 0$
$4 \sin 4 \theta = -2$
$\sin 4 \theta = -\frac{1}{2}$
दिया गया है $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$,इसलिए $0 < 4 \theta < 2 \pi$।
अंतराल $(0, 2 \pi)$ में $4 \theta$ के वे मान जिनके लिए $\sin 4 \theta = -\frac{1}{2}$ है,$4 \theta = \frac{7 \pi}{6}$ और $4 \theta = \frac{11 \pi}{6}$ हैं।
अतः,$\theta = \frac{7 \pi}{24}$ और $\theta = \frac{11 \pi}{24}$।

(A) $2$ क्रम का सारणिक $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ द्वारा दिया जाता है।
प्रत्येक अवयव $0$ या $1$ हो सकता है,इसलिए कुल $2^4 = 16$ संभावित सारणिक हैं।
सारणिक का मान $ad - bc$ है।
मान धनात्मक होने के लिए,$ad - bc > 0$,जिसका अर्थ है $ad > bc$।
चूंकि $a, b, c, d \in \{0, 1\}$,$ad$ और $bc$ के संभावित मान $0$ या $1$ हैं।
$ad - bc = 1$ तब होता है जब $ad = 1$ और $bc = 0$ हो।
$ad = 1$ का अर्थ है $a=1$ और $d=1$।
$bc = 0$ का अर्थ है $(b, c) \in \{(0, 0), (0, 1), (1, 0)\}$।
ये स्थितियाँ निम्नलिखित हैं:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$,
$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$,
$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$।
ऐसे $3$ मामले हैं।
अतः,प्रायिकता $\frac{3}{16}$ है।

(B) सारणिक $\Delta$ का विस्तार करने पर:
स्तंभ संक्रिया $C_3 \to C_3 - (\alpha C_1 + C_2)$ लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} a & b & 0 \\ b & c & 0 \\ a\alpha + b & b\alpha + c & -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c) \end{vmatrix}$
$C_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c) \begin{vmatrix} a & b \\ b & c \end{vmatrix}$
$\Delta = -(a\alpha^2 + 2b\alpha + c)(ac - b^2)$
$\Delta = (b^2 - ac)(a\alpha^2 + 2b\alpha + c)$
$\Delta = 0$ के लिए,या तो $b^2 - ac = 0$ या $a\alpha^2 + 2b\alpha + c = 0$ होगा।
यदि $b^2 - ac = 0$ है,तो $b^2 = ac$,जिसका अर्थ है कि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

(D) दिया गया है $A^2 = I$। दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $\det(A^2) = \det(I) = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\det(A^2) = (\det(A))^2$,इसलिए $(\det(A))^2 = 1$,जिसका अर्थ है कि $\det(A) = 1$ या $\det(A) = -1$ है।
यदि $\det(A) = 1$ है,तो अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - tr(A)\lambda + 1 = 0$ है। $A^2 = I$ होने के कारण,आइगेन मान $\pm 1$ हैं। यदि $\det(A) = 1$ है,तो आइगेन मान $(1, 1)$ या $(-1, -1)$ हैं।
यदि आइगेन मान $(1, 1)$ हैं,तो $A = I$ है। यदि आइगेन मान $(-1, -1)$ हैं,तो $A = -I$ है।
अतः,यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो $\det(A) = -1$ होना चाहिए। इसलिए,कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ के लिए,यदि $A^2 = I$ है,तो आइगेन मान $\lambda_1, \lambda_2 \in \{1, -1\}$ हैं।
यदि $A \neq I$ और $A \neq -I$ है,तो आइगेन मान $1$ और $-1$ होने चाहिए।
$A$ का ट्रेस आइगेन मानों का योग है,इसलिए $tr(A) = 1 + (-1) = 0$ है।
इसलिए,कथन-$2$ असत्य है क्योंकि इस स्थिति में $tr(A) = 0$ होना चाहिए।

(C) $3 \times 3$ का आव्यूह जिसमें चार $1$ और पाँच $0$ हैं,व्युत्क्रमणीय (non-singular) होता है यदि उसका सारणिक शून्य न हो।
इस प्रकार के आव्यूह पर विचार करें:
$\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ c & 1 & d \\ e & f & 1 \end{bmatrix}$
जहाँ $\{a, b, c, d, e, f\}$ में से केवल एक $1$ है और बाकी $0$ हैं। ऐसे आव्यूह का सारणिक $1 - (\text{दो तत्वों का गुणनफल})$ होता है। चूँकि केवल एक तत्व $1$ है,गुणनफल $0$ होगा,इसलिए सारणिक $1 \neq 0$ है। ऐसे $6$ आव्यूह हैं।
इसके अतिरिक्त,इस आव्यूह पर विचार करें:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
इसका सारणिक $1(0-0) - 0(0-0) + 1(0-1) = -1 \neq 0$ है। यह भी एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है।
अतः,ऐसे कम से कम $6 + 1 = 7$ आव्यूह हैं।

(D) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ है।
दिया गया है कि $A^2 = I$,अतः:
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix} a^2 + bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc + d^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$b(a+d) = 0$ से,चूँकि $b \neq 0$,हमें $a+d = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $d = -a$।
अतः,$tr(A) = a + d = a - a = 0$। इसलिए,कथन $-1$ सत्य है।
अब,$|A| = ad - bc = a(-a) - bc = -(a^2 + bc)$।
आव्यूह गुणन से,$a^2 + bc = 1$,अतः $|A| = -1$।
इसलिए,कथन $-2$ असत्य है।

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^{\prime} = A$ और $B^{\prime} = B$ है।
कथन $-1$ के लिए:
$(A(BA))^{\prime} = (BA)^{\prime} A^{\prime} = (A^{\prime} B^{\prime}) A^{\prime} = (AB)A = A(BA)$।
अतः,$A(BA)$ सममित है।
इसी प्रकार,$((AB)A)^{\prime} = A^{\prime} (AB)^{\prime} = A(B^{\prime} A^{\prime}) = A(BA) = (AB)A$।
अतः,$(AB)A$ भी सममित है। इस प्रकार,कथन $-1$ सत्य है।
कथन $-2$ के लिए:
$(AB)^{\prime} = B^{\prime} A^{\prime} = BA$।
यदि $AB$ सममित है,तो $(AB)^{\prime} = AB$,जिसका अर्थ है कि $BA = AB$।
अतः,कथन $-2$ सत्य है।
हालाँकि,कथन $-2$ $AB$ के सममित होने की शर्त बताता है,जबकि कथन $-1$ क्रमविनिमेयता पर विचार किए बिना $A(BA)$ और $(AB)A$ की सममितता के बारे में है। इसलिए,कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) स्वतुल्य गुणधर्म के लिए:
$(A, A) \in R$ क्योंकि $A = I^{-1}AI$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है,जो व्युत्क्रमणीय है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
सममित गुणधर्म के लिए:
यदि $(A, B) \in R$,तो $A = P^{-1}BP$ किसी व्युत्क्रमणीय आव्यूह $P$ के लिए।
बाएं से $P$ और दाएं से $P^{-1}$ से गुणा करने पर: $PAP^{-1} = B$।
माना $Q = P^{-1}$। चूंकि $P$ व्युत्क्रमणीय है,$Q$ भी व्युत्क्रमणीय है।
तब $B = Q^{-1}AQ$,अर्थात $(B, A) \in R$। अतः,$R$ सममित है।
संक्रामक गुणधर्म के लिए:
यदि $(A, B) \in R$ और $(B, C) \in R$,तो $A = P^{-1}BP$ और $B = Q^{-1}CQ$ किन्हीं व्युत्क्रमणीय आव्यूहों $P$ और $Q$ के लिए।
$B$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $A = P^{-1}(Q^{-1}CQ)P = (QP)^{-1}C(QP)$।
चूंकि $QP$ व्युत्क्रमणीय है,$(A, C) \in R$। अतः,$R$ संक्रामक है।
इस प्रकार,$R$ एक तुल्यता संबंध है। कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का एक मानक गुणधर्म है: $(MN)^{-1} = N^{-1}M^{-1}$। यह सत्य है।
हालाँकि,कथन-$2$ आव्यूह व्युत्क्रम का एक सामान्य गुणधर्म है और यह वह विशिष्ट कारण नहीं है कि संबंध $R$ (समानता) एक तुल्यता संबंध क्यों है। अतः,कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(C) दिया गया है कि $P$ और $Q$ $3 \times 3$ आव्यूह हैं जहाँ $P \neq Q$ है।
हमें समीकरण दिए गए हैं:
$1) P^3 = Q^3$
$2) P^2Q = Q^2P$
पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर:
$P^3 - P^2Q = Q^3 - Q^2P$
पदों का गुणनखंड करने पर:
$P^2(P - Q) = Q^2(Q - P)$
$P^2(P - Q) = -Q^2(P - Q)$
$(P^2 + Q^2)(P - Q) = 0$
चूँकि $P \neq Q$,आव्यूह $(P - Q)$ शून्य आव्यूह नहीं है,इसलिए गुणनफल $(P^2 + Q^2)(P - Q) = 0$ यह दर्शाता है कि आव्यूह $(P^2 + Q^2)$ का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\det((P^2 + Q^2)(P - Q)) = \det(0) = 0$
$\det(P^2 + Q^2) \cdot \det(P - Q) = 0$
अतः,$\det(P^2 + Q^2) = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $f(n) = \alpha^n + \beta^n$। सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} 1+1+1 & 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 \\ 1+\alpha+\beta & 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 \\ 1+\alpha^2+\beta^2 & 1+\alpha^3+\beta^3 & 1+\alpha^4+\beta^4 \end{vmatrix}$ है।
इसे दो सारणिकों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है: $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \beta \\ 1 & \alpha^2 & \beta^2 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \beta \\ 1 & \alpha^2 & \beta^2 \end{vmatrix}$।
प्रत्येक सारणिक एक वेंडरमोंड सारणिक है,जिसका मान $(1-\alpha)(1-\beta)(\alpha-\beta)$ होता है।
अतः,$\Delta = [(1-\alpha)(1-\beta)(\alpha-\beta)]^2 = (1-\alpha)^2 (1-\beta)^2 (\alpha-\beta)^2$।
इसकी तुलना $K(1-\alpha)^2 (1-\beta)^2 (\alpha-\beta)^2$ से करने पर,हमें $K = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $2\omega + 1 = z$ और $z = \sqrt{-3} = i\sqrt{3}$।
अतः,$\omega = \frac{i\sqrt{3} - 1}{2}$,जो इकाई का सम्मिश्र घनमूल है।
हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,इसलिए $-\omega^2 - 1 = \omega$।
साथ ही,$\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^7 = \omega^{3 \times 2 + 1} = \omega$।
सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right|$ है।
$R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 1+\omega+\omega^2 & 1+\omega^2+\omega \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ 1 & \omega^2 & \omega \end{array} \right|$।
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर: $\Delta = 3(\omega^2 - \omega^4) = 3(\omega^2 - \omega)$।
चूंकि $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$।
$\Delta = 3\left( \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} - \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} \right) = 3\left( \frac{-2i\sqrt{3}}{2} \right) = -3i\sqrt{3} = -3z$।
दिया गया है $\Delta = 3k$,इसलिए $3k = -3z$,अर्थात $k = -z$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} \cos^2 \phi & \sin \phi \cos \phi \\ \sin \phi \cos \phi & \sin^2 \phi \end{bmatrix}$.
हमें दिया गया है कि $\theta - \phi = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\cos(\theta - \phi) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
अब,$AB$ का गुणनफल ज्ञात करते हैं:
$AB = \begin{bmatrix} \cos^2 \theta & \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos^2 \phi & \sin \phi \cos \phi \\ \sin \phi \cos \phi & \sin^2 \phi \end{bmatrix}$
मैट्रिक्स गुणन करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} \cos \theta \cos \phi (\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi) & \cos \theta \sin \phi (\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi) \\ \sin \theta \cos \phi (\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi) & \sin \theta \sin \phi (\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi) \end{bmatrix}$
सर्वसमिका $\cos(\theta - \phi) = \cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi$ का उपयोग करने पर:
$AB = \cos(\theta - \phi) \begin{bmatrix} \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi \\ \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi \end{bmatrix}$
चूंकि $\theta - \phi = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos(\theta - \phi) = 0$.
अतः,$AB = 0 \times \begin{bmatrix} \cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi \\ \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi \end{bmatrix} = O$ (शून्य मैट्रिक्स)।

(A) दिया गया है ${A^2} = 2A - I$.
हम गणितीय आगमन विधि का उपयोग कर सकते हैं या पैटर्न का अवलोकन कर सकते हैं।
$n = 2$ के लिए,${A^2} = 2A - I$.
$n = 3$ के लिए,${A^3} = A \cdot {A^2} = A(2A - I) = 2{A^2} - A = 2(2A - I) - A = 4A - 2I - A = 3A - 2I$.
$n = 4$ के लिए,${A^4} = A \cdot {A^3} = A(3A - 2I) = 3{A^2} - 2A = 3(2A - I) - 2A = 6A - 3I - 2A = 4A - 3I$.
पैटर्न का अवलोकन करने पर,हम सामान्यीकृत कर सकते हैं कि $n \ge 2$ के लिए ${A^n} = nA - (n - 1)I$ होगा।

(A) दिया गया समीकरण: $I + p + p^2 + .... + p^n = O$
दोनों पक्षों को $p^{-1}$ से पूर्व-गुणा करने पर:
$p^{-1}(I + p + p^2 + .... + p^n) = p^{-1}O$
$p^{-1}I + p^{-1}p + p^{-1}p^2 + .... + p^{-1}p^n = O$
$p^{-1} + I + p + .... + p^{n-1} = O$
$p^{-1}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$p^{-1} = -(I + p + p^2 + .... + p^{n-1})$
मूल समीकरण $I + p + p^2 + .... + p^n = O$ से,हम लिख सकते हैं:
$I + p + p^2 + .... + p^{n-1} = -p^n$
इस मान को $p^{-1}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$p^{-1} = -(-p^n) = p^n$

(A) दिया गया है कि सदिश $(1, a, a^2)$,$(1, b, b^2)$,और $(1, c, c^2)$ असमतलीय हैं,इसलिए इन सदिशों द्वारा निर्मित आव्यूह का सारणिक शून्य नहीं है:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| \neq 0$.
हमें समीकरण दिया गया है:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 + a^3 \\ b & b^2 & 1 + b^3 \\ c & c^2 & 1 + c^3 \end{array} \right| = 0$.
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके,हम तीसरे स्तंभ को विभाजित कर सकते हैं:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3 \end{array} \right| = 0$.
दूसरे सारणिक में,पंक्तियों से $a, b, c$ को बाहर निकालने पर:
$\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right| + abc \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| = 0$.
ध्यान दें कि $\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| = \Delta$ (दो स्तंभों की अदला-बदली के बाद)।
अतः,$\Delta + abc \Delta = 0 \Rightarrow \Delta(1 + abc) = 0$.
चूंकि $\Delta \neq 0$,इसलिए $1 + abc = 0$,जिसका अर्थ है $abc = -1$।

(D) केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने स्वयं के अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है।
$2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए,अभिलक्षणिक समीकरण $\det(A - xI) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$\det \begin{bmatrix} a - x & b \\ c & d - x \end{bmatrix} = (a - x)(d - x) - bc = 0$.
इसका विस्तार करने पर,हमें $ad - ax - dx + x^2 - bc = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - (a + d)x + (ad - bc) = 0$ हो जाता है।
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $x^2 - (a + d)x + k = 0$ से करने पर,हमें $k = ad - bc$ प्राप्त होता है।

(C) कथन $-1$: $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है और $A^{-1}$ का अस्तित्व है। $B$ एक $3 \times 4$ आव्यूह है। गुणनफल $A^{-1}B$ एक $(3 \times 3) \times (3 \times 4)$ आव्यूह है,जो परिभाषित है और परिणाम एक $3 \times 4$ आव्यूह है। अतः,कथन $-1$ $T$ है।
कथन $-2$: यदि $A$ और $B$ दोनों $n \times n$ आव्यूह हैं,तो $A+B, A-B$,और $AB$ सभी परिभाषित हैं। अतः,उनका परिभाषित होना संभव है। कथन $-2$ $F$ है।
कथन $-3$: आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ पर विचार करें। सभी अवयव शून्य नहीं हैं,लेकिन $\det(A) = 1(1) - 1(1) = 0$ है। अतः,$A$ व्युत्क्रमणीय नहीं है। कथन $-3$ $F$ है।
कथन $-4$: एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह को वर्ग आव्यूह होना चाहिए (परिभाषा के अनुसार)। यदि दो पंक्तियाँ समान होती हैं,तो सारणिक $0$ हो जाता है,जिससे यह अव्युत्क्रमणीय हो जाता है। अतः,एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह में दो समान पंक्तियाँ नहीं हो सकतीं। कथन $-4$ $T$ है।
सही क्रम $TFFT$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha & \sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha & \sin^2 \alpha \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} \cos^2 \beta & \sin \beta \cos \beta \\ \sin \beta \cos \beta & \sin^2 \beta \end{bmatrix}$।
गुणनफल $AB$ की गणना करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} \cos^2 \alpha & \sin \alpha \cos \alpha \\ \sin \alpha \cos \alpha & \sin^2 \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos^2 \beta & \sin \beta \cos \beta \\ \sin \beta \cos \beta & \sin^2 \beta \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} \cos \alpha \cos \beta (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) & \cos \alpha \sin \beta (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \\ \sin \alpha \cos \beta (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) & \sin \alpha \sin \beta (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \end{bmatrix}$
सर्वसमिका $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$ का उपयोग करने पर:
$AB = \cos(\alpha - \beta) \begin{bmatrix} \cos \alpha \cos \beta & \cos \alpha \sin \beta \\ \sin \alpha \cos \beta & \sin \alpha \sin \beta \end{bmatrix}$
$AB$ के शून्य आव्यूह होने के लिए,$\cos(\alpha - \beta) = 0$ होना चाहिए।
अतः,$\alpha - \beta$ को $\frac{\pi}{2}$ का एक विषम पूर्णांक गुणज होना चाहिए।

(C) दिया गया समीकरण $A^2 + A + 2I = O$ है।
इसे $A(A + I) = -2I$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर: $|A(A + I)| = |-2I|$।
चूंकि $|A||A + I| = (-2)^2 |I| = 4$,इससे पता चलता है कि $|A| \neq 0$।
अतः,$A$ एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह है,जिसका अर्थ है कि $A$ का प्रतिलोम आव्यूह मौजूद है।
$|A| \neq 0$ होने के कारण,$A$ शून्य आव्यूह $O$ नहीं हो सकता,इसलिए $A \neq O$।
$A(A + I) = -2I$ से,$A^{-1}$ से गुणा करने पर हमें $A^{-1} = -\frac{1}{2}(A + I)$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,ऐसी कोई शर्त नहीं दी गई है जो $A$ को सममित आव्यूह होने के लिए बाध्य करे। इसलिए,'$A$ सममित है' कथन आवश्यक रूप से सत्य नहीं है और यह $\text{गलत}$ विकल्प है।

(A) माना $X = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
तब $X^2 = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$.
तत्वों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1) a^2 + bc = 1$
$2) b(a + d) = 1$
$3) c(a + d) = 2$
$4) bc + d^2 = 3$
$(2)$ और $(3)$ से,$\frac{c}{b} = 2$,अतः $c = 2b$.
$(4)$ में से $(1)$ घटाने पर,$d^2 - a^2 = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(d - a)(d + a) = 2$.
$(2)$ से,$a + d = \frac{1}{b}$. इस मान को पिछले समीकरण में रखने पर,$d - a = 2b$ प्राप्त होता है।
$d - a = 2b$ और $d + a = \frac{1}{b}$ को जोड़ने और घटाने पर,$d = b + \frac{1}{2b}$ और $a = \frac{1}{2b} - b$ प्राप्त होता है।
$a$ और $c$ के मान को $a^2 + bc = 1$ में रखने पर,$(\frac{1}{2b} - b)^2 + b(2b) = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{4b^2} - 1 + b^2 + 2b^2 = 1 \implies 3b^2 + \frac{1}{4b^2} = 2$.
माना $u = b^2$. तब $3u + \frac{1}{4u} = 2 \implies 12u^2 - 8u + 1 = 0$.
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर,$(6u - 1)(2u - 1) = 0$,अतः $u = \frac{1}{6}$ या $u = \frac{1}{2}$.
चूंकि $b^2 = u$,इसलिए $b = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$ या $b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$b$ के प्रत्येक मान के लिए एक अद्वितीय मैट्रिक्स $X$ प्राप्त होता है। अतः,कुल $4$ हल हैं,जो $2$ से अधिक हैं।

(C) दिया गया संबंध $A^2 = 2A - I$ है।
हम $A$ की शुरुआती घातों की गणना करते हैं:
$n = 3$ के लिए: $A^3 = A \cdot A^2 = A(2A - I) = 2A^2 - A = 2(2A - I) - A = 4A - 2I - A = 3A - 2I$.
$n = 4$ के लिए: $A^4 = A \cdot A^3 = A(3A - 2I) = 3A^2 - 2A = 3(2A - I) - 2A = 6A - 3I - 2A = 4A - 3I$.
इस पैटर्न को देखकर,हम कह सकते हैं कि $A^n = nA - (n - 1)I$.
इस परिणाम को गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सभी $n \ge 2$ के लिए सत्यापित किया जा सकता है।