A, B, C और P, Q, R के सभी मानों के लिए,left| | vedclass

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Question

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \cos(A-P) & \cos(A-Q) & \cos(A-R) \ \cos(B-P) & \cos(B-Q) & \cos(B-R) \ \cos(C-P) & \cos(C-Q

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$0$

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(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \cos(A-P) & \cos(A-Q) & \cos(A-R) \ \cos(B-P) & \cos(B-Q) & \cos(B-R) \ \cos(C-P) & \cos(C-Q) & \cos(C-R) \end{array} ight|$ है।$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$ सूत्र का उपयोग करके,हम प्रत्येक अवयव को दो पदों के योग के रूप में लिख सकते हैं।यह हमें सारणिक को दो आव्यूहों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देता है:$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \cos A & \sin A & 0 \ \cos B & \sin B & 0 \ \cos C & \sin C & 0 \end{array} ight| 	imes \left| \begin{array}{ccc} \cos P & \cos Q & \cos R \ \sin P & \sin Q & \sin R \ 0 & 0 & 0 \end{array} ight|$.चूंकि पहले आव्यूह का तीसरा स्तंभ शून्य है और दूसरे आव्यूह की तीसरी पंक्ति शून्य है,इसलिए इन दो आव्यूहों का गुणनफल शून्य है।वैकल्पिक रूप से,सारणिक को $8$ सारणिकों में विभाजित किया जा सकता है,जिनमें से प्रत्येक में कम से कम दो समान स्तंभ (या पंक्तियाँ) होते हैं,जिससे प्रत्येक सारणिक का मान $0$ हो जाता है।अतः,सारणिक का मान $0$ है।

$A, B, C$ और $P, Q, R$ के सभी मानों के लिए,$\left| \begin{array}{ccc} \cos(A-P) & \cos(A-Q) & \cos(A-R) \\ \cos(B-P) & \cos(B-Q) & \cos(B-R) \\ \cos(C-P) & \cos(C-Q) & \cos(C-R) \end{array} \right|$ का मान क्या है?

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सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 1 & \cos(\alpha - \beta) & \cos \alpha \\ \cos(\alpha - \beta) & 1 & \cos \beta \\ \cos \alpha & \cos \beta & 1 \end{array} \right|$ का मान है

$(a \cos \theta, b \sin \theta)$,$(-a \sin \theta, b \cos \theta)$ और $(-a \cos \theta, -b \sin \theta)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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