Types of matrices, Algebra of matrices Questions in Hindi

(D) दिया गया समीकरण $M^2 - \lambda M - I_2 = 0$ है,जहाँ $M = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$M^2$ की गणना करें:
$M^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 8 & 13 \end{bmatrix}$।
समीकरण में $M^2$,$M$,और $I_2$ का मान रखने पर:
$\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 8 & 13 \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$।
इसे सरल करने पर:
$\begin{bmatrix} 5 - \lambda - 1 & 8 - 2\lambda - 0 \\ 8 - 2\lambda - 0 & 13 - 3\lambda - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर:
$4 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 4$।
$8 - 2\lambda = 0 \Rightarrow 2\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 4$।
$12 - 3\lambda = 0 \Rightarrow 3\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 4$।
चूंकि $\lambda = 4$ सभी समीकरणों को संतुष्ट करता है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix}$.
$AB$ की गणना करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta & -\cos \alpha \sin \beta - \sin \alpha \cos \beta \\ \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta & -\sin \alpha \sin \beta + \cos \alpha \cos \beta \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \cos(\alpha + \beta) & -\sin(\alpha + \beta) \\ \sin(\alpha + \beta) & \cos(\alpha + \beta) \end{bmatrix}$.
इसी प्रकार,$BA$ की गणना करने पर:
$BA = \begin{bmatrix} \cos \beta & -\sin \beta \\ \sin \beta & \cos \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \cos \beta \cos \alpha - \sin \beta \sin \alpha & -\cos \beta \sin \alpha - \sin \beta \cos \alpha \\ \sin \beta \cos \alpha + \cos \beta \sin \alpha & -\sin \beta \sin \alpha + \cos \beta \cos \alpha \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} \cos(\beta + \alpha) & -\sin(\beta + \alpha) \\ \sin(\beta + \alpha) & \cos(\beta + \alpha) \end{bmatrix}$.
चूंकि $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\beta + \alpha)$ और $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\beta + \alpha)$,इसलिए $AB = BA$ है।

(C) आव्यूह $A$ की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम इसका सारणिक $|A|$ या $\Delta$ ज्ञात करते हैं।
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = 1(1 \times 0 - 1 \times 0) - 0(0 \times 0 - 1 \times 1) + 1(0 \times 0 - 1 \times 1)$
$|A| = 1(0) - 0(-1) + 1(-1)$
$|A| = 0 - 0 - 1 = -1$
चूंकि $|A| = -1 \neq 0$ है,इसलिए आव्यूह $A$ एक अव्युत्क्रमणीय (non-singular) आव्यूह है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & -1 \end{bmatrix}$.
हमें ${A^2} = A \times A$ ज्ञात करना है।
${A^2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & -1 \end{bmatrix}$.
गुणनफल की गणना करने पर:
पंक्ति $1$: $(1 \times 1 + 0 \times 0 + 0 \times a, 1 \times 0 + 0 \times 1 + 0 \times b, 1 \times 0 + 0 \times 0 + 0 \times -1) = (1, 0, 0)$.
पंक्ति $2$: $(0 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times a, 0 \times 0 + 1 \times 1 + 0 \times b, 0 \times 0 + 1 \times 0 + 0 \times -1) = (0, 1, 0)$.
पंक्ति $3$: $(a \times 1 + b \times 0 + -1 \times a, a \times 0 + b \times 1 + -1 \times b, a \times 0 + b \times 0 + -1 \times -1) = (a - a, b - b, 1) = (0, 0, 1)$.
अतः,${A^2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$,जो कि एक इकाई आव्यूह है।

(A) हमें $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ दिया गया है।
${A^2}$ की गणना करें:
${A^2} = A \times A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+1(0) & 1(1)+1(1) \\ 0(1)+1(0) & 0(1)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
${A^3}$ की गणना करें:
${A^3} = {A^2} \times A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1)+2(0) & 1(1)+2(1) \\ 0(1)+1(0) & 0(1)+1(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
इस पैटर्न का अवलोकन करने पर,हम किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए सामान्यीकरण कर सकते हैं:
${A^n} = \begin{bmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
इसे गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

(D) आव्यूहों के लिए $AB = O$ की शर्त का अर्थ यह नहीं है कि $A = O$ या $B = O$ होना आवश्यक है।
आव्यूह बीजगणित में,ऐसे अशून्य आव्यूह $A$ और $B$ मौजूद होते हैं जिनका गुणनफल $AB$ शून्य आव्यूह $O$ होता है।
उदाहरण के लिए,यदि $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ है,तो $AB = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$ होता है,जबकि $A \neq O$ और $B \neq O$ है।
इसलिए,दिए गए विकल्प $A \neq O, B = O$,$A = O, B \neq O$,या $A = O$ या $B = O$ में से कोई भी $AB = O$ के लिए आवश्यक शर्त नहीं है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ a & b \end{bmatrix}$ और $A^2 = O$,जहाँ $O$ शून्य आव्यूह $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ है।
$A^2$ की गणना करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ a & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ a & b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 + 2a & 4 + 2b \\ 2a + ab & 2a + b^2 \end{bmatrix}$.
$A^2$ को शून्य आव्यूह के बराबर रखने पर:
$\begin{bmatrix} 4 + 2a & 4 + 2b \\ 2a + ab & 2a + b^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
पहली पंक्ति से:
$4 + 2a = 0 \Rightarrow 2a = -4 \Rightarrow a = -2$.
$4 + 2b = 0 \Rightarrow 2b = -4 \Rightarrow b = -2$.
दूसरी पंक्ति के साथ संगति की जाँच करने पर:
$2a + ab = 2(-2) + (-2)(-2) = -4 + 4 = 0$.
$2a + b^2 = 2(-2) + (-2)^2 = -4 + 4 = 0$.
चूँकि सभी समीकरण संतुष्ट होते हैं,इसलिए $(a, b) = (-2, -2)$।

(B) दिया गया आव्यूह समीकरण: $[m \ n] \begin{bmatrix} m \\ n \end{bmatrix} = [25]$.
आव्यूह गुणन करने पर: $[m^2 + n^2] = [25]$.
इसका अर्थ है कि $m^2 + n^2 = 25$.
हमें शर्त $m < n$ दी गई है और सामान्यतः $m, n$ धनात्मक पूर्णांक हैं।
$m^2 + n^2 = 25$ को संतुष्ट करने वाले पूर्णांक युग्म $(m, n)$ की जाँच करने पर:
यदि $m=3, n=4$ हो,तो $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
चूँकि $3 < 4$,अतः शर्त $m < n$ पूरी होती है।
इसलिए,$(m, n) = (3, 4)$.

(A) आव्यूहों को जोड़ने या घटाने के लिए,उनका क्रम समान होना चाहिए।
आव्यूह $A$ का क्रम $3 \times 3$ है।
आव्यूह $B$ का क्रम $3 \times 2$ है।
व्यंजक $A^2 + 2B - 2A$ में,हम आव्यूह $A^2$ (जो $3 \times 3$ है) को आव्यूह $2B$ (जो $3 \times 2$ है) में जोड़ने का प्रयास कर रहे हैं।
चूंकि $A^2$ और $2B$ के क्रम अलग-अलग हैं,इसलिए योग परिभाषित नहीं है।
अतः,व्यंजक $A^2 + 2B - 2A$ परिभाषित नहीं है।

(B) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i^2 & 0 \\ 0 & (-i)^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$.
अब,$B^2$ की गणना करें:
$B^2 = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} i^2 & 0 \\ 0 & i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I$.
चूंकि $A^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ और $B^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ है,इसलिए हम देख सकते हैं कि $A^2 = B^2$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} ab & b^2 \\ -a^2 & -ab \end{bmatrix}$.
हम $A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} ab & b^2 \\ -a^2 & -ab \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ab & b^2 \\ -a^2 & -ab \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} (ab)(ab) + (b^2)(-a^2) & (ab)(b^2) + (b^2)(-ab) \\ (-a^2)(ab) + (-ab)(-a^2) & (-a^2)(b^2) + (-ab)(-ab) \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} a^2b^2 - a^2b^2 & ab^3 - ab^3 \\ -a^3b + a^3b & -a^2b^2 + a^2b^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
चूंकि $A^2 = O$,इसलिए सभी $n \ge 2$ के लिए $A^n = O$ होगा।
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $2$ है।

(B) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 1/3 & 2 \\ 0 & 2x - 3 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ है।
हमें दिया गया है कि $AB = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
गुणनफल $AB$ की गणना करने पर:
$AB = \begin{bmatrix} 1/3 & 2 \\ 0 & 2x - 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1/3 \times 3) + (2 \times 0) & (1/3 \times 6) + (2 \times -1) \\ (0 \times 3) + ((2x - 3) \times 0) & (0 \times 6) + ((2x - 3) \times -1) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 1 + 0 & 2 - 2 \\ 0 + 0 & 0 - (2x - 3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 - 2x \end{bmatrix}$ है।
चूँकि $AB = I$,इसलिए $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 - 2x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
अवयवों की तुलना करने पर,हमें $3 - 2x = 1$ प्राप्त होता है।
$2x = 3 - 1 = 2$ है।
$x = 1$।

(B) आव्यूह गुणन $AB = C$ को परिभाषित करने के लिए,आव्यूह $A$ में स्तंभों की संख्या आव्यूह $B$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
यदि $A$ एक $m \times n$ आव्यूह है और $B$ एक $n \times p$ आव्यूह है,तो परिणामी आव्यूह $C$ के आयाम $m \times p$ होंगे।
विकल्प $B$ को देखने पर: यदि $A$ का आकार $3 \times 2$ है और $B$ का आकार $2 \times 3$ है,तो $C$ एक $3 \times 3$ आव्यूह होना चाहिए।
अतः,सही आयाम $A_{3 \times 2}, B_{2 \times 3}, C_{3 \times 3}$ हैं।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ -1 & -\lambda \end{bmatrix}$.
हमें $\lambda$ का वह मान ज्ञात करना है जिसके लिए $A^2 = O$ हो,जहाँ $O$ शून्य आव्यूह है।
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ -1 & -\lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ -1 & -\lambda \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} (\lambda)(\lambda) + (1)(-1) & (\lambda)(1) + (1)(-\lambda) \\ (-1)(\lambda) + (-\lambda)(-1) & (-1)(1) + (-\lambda)(-\lambda) \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} \lambda^2 - 1 & \lambda - \lambda \\ -\lambda + \lambda & -1 + \lambda^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda^2 - 1 & 0 \\ 0 & \lambda^2 - 1 \end{bmatrix}$.
चूँकि $A^2 = O$,इसलिए $\begin{bmatrix} \lambda^2 - 1 & 0 \\ 0 & \lambda^2 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
अवयवों की तुलना करने पर,हमें $\lambda^2 - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$\lambda^2 = 1 \Rightarrow \lambda = \pm 1$.

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
$A^2 = \begin{bmatrix} (4 \times 4 + 1 \times 3) & (4 \times 1 + 1 \times 2) \\ (3 \times 4 + 2 \times 3) & (3 \times 1 + 2 \times 2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 6 \\ 18 & 7 \end{bmatrix}$.
अब,$6A = 6 \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 24 & 6 \\ 18 & 12 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
अंत में,$A^2 - 6A = \begin{bmatrix} 19 & 6 \\ 18 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 24 & 6 \\ 18 & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix}$.
चूंकि $\begin{bmatrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \end{bmatrix} = -5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = -5I$,इसलिए सही विकल्प $C$ है।

(C) आव्यूह $A$ की कोटि $3 \times 3$ है और आव्यूह $B$ की कोटि $2 \times 3$ है।
आव्यूह योग $A+B$ के लिए,दोनों आव्यूहों की कोटि समान होनी चाहिए,जो यहाँ नहीं है।
आव्यूह गुणन $AB$ के लिए,$A$ में स्तंभों की संख्या $(3)$ $B$ में पंक्तियों की संख्या $(2)$ के बराबर होनी चाहिए,जो यहाँ नहीं है।
अब,परिवर्त आव्यूहों (transpose matrices) पर विचार करें:
$A'$ की कोटि $3 \times 3$ है।
$B'$ की कोटि $3 \times 2$ है।
गुणनफल $A'B'$ के लिए,$A'$ में स्तंभों की संख्या $(3)$ $B'$ में पंक्तियों की संख्या $(3)$ के बराबर है। अतः,$A'B'$ परिभाषित है।
गुणनफल $B'A'$ के लिए,$B'$ में स्तंभों की संख्या $(2)$ $A'$ में पंक्तियों की संख्या $(3)$ के बराबर होनी चाहिए,जो यहाँ नहीं है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया है $A = [1\, 2\, 3]$ ($1 \times 3$ आव्यूह) और $B = \begin{bmatrix} -5 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ ($3 \times 3$ आव्यूह)।
$AB$ ज्ञात करने के लिए,हम $A$ की पंक्ति का $B$ के प्रत्येक स्तंभ से गुणा करते हैं:
$AB = [1 \times (-5) + 2 \times 0 + 3 \times 1, \quad 1 \times 4 + 2 \times 2 + 3 \times (-3), \quad 1 \times 0 + 2 \times (-1) + 3 \times 2]$
$AB = [-5 + 0 + 3, \quad 4 + 4 - 9, \quad 0 - 2 + 6]$
$AB = [-2, \quad -1, \quad 4]$
अतः,$AB = [-2\, -1\, 4]$।

(B) माना आव्यूह $A$ की कोटि $m \times n$ है।
माना आव्यूह $B$ की कोटि $p \times q$ है।
गुणनफल $AB$ के परिभाषित होने के लिए,$A$ के स्तंभों की संख्या $B$ की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। अतः,$n = p$।
इसलिए,$B$ की कोटि $n \times q$ है।
गुणनफल $BA$ के परिभाषित होने के लिए,$B$ के स्तंभों की संख्या $A$ की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। अतः,$q = m$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$B$ की कोटि $n \times m$ प्राप्त होती है।

(C) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -5 \end{bmatrix}$
आव्यूह $\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}$ का मान ज्ञात करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -5 \end{bmatrix}$
संगत अवयवों को घटाने पर:
$a = 2 - 1 = 1$
$c = -3 - 4 = -7$
$b = 4 - 2 = 2$
$d = 0 - (-5) = 5$
अतः,$(a, b, c, d) = (1, 2, -7, 5)$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$।
$A^2$ ज्ञात करने के लिए,हम $A$ का $A$ से गुणा करेंगे:
$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$
आव्यूह गुणन करने पर:
$A^2 = \begin{bmatrix} (-1)(-1) + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 \\ 0 + 0 + 0 & 0 + (-1)(-1) + 0 & 0 + 0 + 0 \\ 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + 0 & 0 + 0 + (-1)(-1) \end{bmatrix}$
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$
अतः,$A^2$ इकाई आव्यूह (identity matrix) $I$ है।

(B) गुणनफल आव्यूह $AB$ में $3^{rd}$ पंक्ति और $3^{rd}$ स्तंभ के अवयव को ज्ञात करने के लिए,हम इसे $C_{33}$ के रूप में दर्शाते हैं।
आव्यूह गुणन के नियम के अनुसार,$C_{33}$ आव्यूह $A$ की $3^{rd}$ पंक्ति के अवयवों को आव्यूह $B$ के $3^{rd}$ स्तंभ के संगत अवयवों से गुणा करके और उन्हें जोड़कर प्राप्त किया जाता है।
$C_{33} = (A_{31} \times B_{13}) + (A_{32} \times B_{23}) + (A_{33} \times B_{33})$
$C_{33} = (-2 \times 3) + (2 \times 5) + (0 \times 0)$
$C_{33} = -6 + 10 + 0$
$C_{33} = 4$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = 2I$,जहाँ $I$,$3 \times 3$ कोटि का तत्समक आव्यूह है।
हमें $A^5$ ज्ञात करना है।
$A^5 = (2I)^5 = 2^5 I^5$।
चूँकि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $I^n = I$ होता है,इसलिए $I^5 = I$ होगा।
अतः,$A^5 = 32I$।
इसे हम $A^5 = 16 \times 2I = 16A$ के रूप में लिख सकते हैं।

(D) माना $B = \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix}$ है।
दिया गया है कि $AB = O$,इसलिए $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y \\ z & w \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ है।
आव्यूह गुणन करने पर: $\begin{bmatrix} 0(x) + 1(z) & 0(y) + 1(w) \\ 0(x) + 0(z) & 0(y) + 0(w) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} z & w \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ प्राप्त होता है।
अवयवों की तुलना करने पर,हमें $z = 0$ और $w = 0$ प्राप्त होता है,जबकि $x$ और $y$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकते हैं।
विकल्पों की जाँच करने पर,विकल्प $D$ में $B = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ है,जो $AB = O$ की शर्त को संतुष्ट करता है क्योंकि $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$ है।

(B) समान क्रम के किन्हीं दो वर्ग आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए,उनके योग का वर्ग इस प्रकार परिभाषित होता है:
$(A + B)^2 = (A + B)(A + B)$
आव्यूह गुणन के वितरण नियम का उपयोग करके गुणनफल का विस्तार करने पर:
$(A + B)(A + B) = A(A + B) + B(A + B)$
$= A^2 + AB + BA + B^2$
चूंकि आव्यूह गुणन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता है (अर्थात,सामान्यतः $AB \neq BA$),इसलिए हम $AB + BA$ को $2AB$ के रूप में सरल नहीं कर सकते। अतः,सही व्यंजक $A^2 + AB + BA + B^2$ है।

(C) एक वर्ग आव्यूह $A = [a_{ij}]$ को निचला त्रिभुजाकार आव्यूह कहा जाता है यदि मुख्य विकर्ण के ऊपर के सभी तत्व शून्य हों,अर्थात $i < j$ के लिए $a_{ij} = 0$ हो।
दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 10 \end{bmatrix}$ में,मुख्य विकर्ण के ऊपर के तत्व $a_{12}=0, a_{13}=0, a_{14}=0, a_{23}=0, a_{24}=0, a_{34}=0$ हैं।
चूंकि $i < j$ के लिए सभी तत्व $a_{ij} = 0$ हैं,इसलिए आव्यूह $A$ एक निचला त्रिभुजाकार आव्यूह है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) एक ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह वह वर्ग आव्यूह होता है जिसमें मुख्य विकर्ण के नीचे के सभी अवयव शून्य होते हैं।
आव्यूह $[a_{ij}]_{n \times n}$ के लिए,मुख्य विकर्ण के नीचे के अवयव वे होते हैं जहाँ पंक्ति सूचकांक $i$,स्तंभ सूचकांक $j$ से बड़ा होता है $(i > j)$।
अतः,ऊपरी त्रिभुजाकार आव्यूह के लिए शर्त $a_{ij} = 0$ है,जहाँ $i > j$ हो।

(B) दिया गया है कि $A = \text{diag}(2, -1, 3)$ और $B = \text{diag}(-1, 3, 2)$ है।
एक विकर्ण आव्यूह $D = \text{diag}(d_1, d_2, d_3)$ के लिए,$D^n = \text{diag}(d_1^n, d_2^n, d_3^n)$ होता है।
इसलिए,$A^2 = \text{diag}(2^2, (-1)^2, 3^2) = \text{diag}(4, 1, 9)$।
अब,$A^2B = \text{diag}(4, 1, 9) \times \text{diag}(-1, 3, 2)$।
दो विकर्ण आव्यूहों का गुणनफल उनके संगत विकर्ण तत्वों के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$A^2B = \text{diag}(4 \times (-1), 1 \times 3, 9 \times 2) = \text{diag}(-4, 3, 18)$।

(D) अदिश $\cos \theta$ का पहले आव्यूह में और $\sin \theta$ का दूसरे आव्यूह में गुणा करने पर:
$\begin{bmatrix} \cos^2 \theta & \cos \theta \sin \theta \\ - \sin \theta \cos \theta & \cos^2 \theta \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \sin^2 \theta & - \sin \theta \cos \theta \\ \sin \theta \cos \theta & \sin^2 \theta \end{bmatrix}$
अब,दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों को जोड़ने पर:
$= \begin{bmatrix} \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & \cos \theta \sin \theta - \sin \theta \cos \theta \\ - \sin \theta \cos \theta + \cos \theta \sin \theta & \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \end{bmatrix}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

(C) इकाई आव्यूह $I$ एक विकर्ण आव्यूह है जिसमें सभी विकर्ण अवयव $1$ होते हैं।
किसी आव्यूह को एक अदिश $k$ से गुणा करने पर प्राप्त आव्यूह में प्रत्येक अवयव $k$ से गुणा हो जाता है।
अतः,$3I$ एक ऐसा विकर्ण आव्यूह है जिसमें सभी विकर्ण अवयव $3$ हैं और अन्य सभी अवयव $0$ हैं।
अदिश आव्यूह वह विकर्ण आव्यूह है जिसमें सभी विकर्ण अवयव समान होते हैं।
चूंकि $3I$ के सभी विकर्ण अवयव $3$ हैं,इसलिए यह एक अदिश आव्यूह है।

(C) दिए गए आव्यूह $A = [a\, b]$,$B = [-b\, -a]$,और $C = \begin{bmatrix} a \\ -a \end{bmatrix}$ हैं।
सबसे पहले,$AC$ की गणना करें:
$AC = [a\, b] \begin{bmatrix} a \\ -a \end{bmatrix} = [a(a) + b(-a)] = [a^2 - ab]$.
इसके बाद,$BC$ की गणना करें:
$BC = [-b\, -a] \begin{bmatrix} a \\ -a \end{bmatrix} = [-b(a) + (-a)(-a)] = [-ab + a^2] = [a^2 - ab]$.
चूंकि $AC = [a^2 - ab]$ और $BC = [a^2 - ab]$,इसलिए $AC = BC$ सही कथन है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^2$ की गणना करें:
$A^2 = A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^3$ की गणना करें:
$A^3 = A \cdot A^2 = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A^4$ की गणना करें:
$A^4 = A \cdot A^3 = \begin{bmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
अतः,$A^4 = \begin{bmatrix} 1 & 4a \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(B) माना कि दिए गए आव्यूह $A = [x\,y\,z]$,$B = \begin{bmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{bmatrix}$,और $C = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ हैं।
आव्यूह $A$ की कोटि $1 \times 3$ है।
आव्यूह $B$ की कोटि $3 \times 3$ है।
आव्यूह $C$ की कोटि $3 \times 1$ है।
जब आव्यूहों का गुणा किया जाता है,यदि आव्यूह $A$ की कोटि $m \times n$ है और आव्यूह $B$ की कोटि $n \times p$ है,तो परिणामी आव्यूह $AB$ की कोटि $m \times p$ होती है।
सबसे पहले,गुणनफल $AB$ की गणना करें: $(1 \times 3) \times (3 \times 3) = (1 \times 3)$।
इसके बाद,परिणाम को $C$ से गुणा करें: $(1 \times 3) \times (3 \times 1) = (1 \times 1)$।
अतः,अंतिम गुणनफल की कोटि $1 \times 1$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$
आव्यूह गुणन के वितरण नियम का उपयोग करके बाईं ओर का विस्तार करने पर:
$(A + B)(A - B) = A(A - B) + B(A - B)$
$= A^2 - AB + BA - B^2$
इसे दाईं ओर के बराबर रखने पर:
$A^2 - AB + BA - B^2 = A^2 - B^2$
दोनों पक्षों से $A^2$ घटाने और $B^2$ जोड़ने पर:
$-AB + BA = 0$
अतः:
$BA = AB$

(B) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 6 & -4 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$ है।
$A - B$ ज्ञात करने के लिए,हम आव्यूह $A$ के संगत अवयवों में से आव्यूह $B$ के अवयवों को घटाते हैं:
$A - B = \begin{bmatrix} 5-6 & -3-(-4) \\ 2-3 & 4-6 \end{bmatrix}$
$A - B = \begin{bmatrix} -1 & -3+4 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$
$A - B = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया है $X = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$.
हम $X^2 = X \times X = \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3)(3) + (-4)(1) & (3)(-4) + (-4)(-1) \\ (1)(3) + (-1)(1) & (1)(-4) + (-1)(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9-4 & -12+4 \\ 3-1 & -4+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -8 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}$ की गणना करते हैं।
अब,$n=2$ के लिए विकल्पों की जाँच करते हैं:
विकल्प $(a)$ देता है $\begin{bmatrix} 6 & -8 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \neq X^2$.
विकल्प $(b)$ देता है $\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \neq X^2$.
विकल्प $(c)$ देता है $\begin{bmatrix} 9 & 16 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \neq X^2$.
चूँकि कोई भी विकल्प $X^2$ से मेल नहीं खाता है,इसलिए सही उत्तर $(d)$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$.
${A^2}$ ज्ञात करने के लिए,हम $A \times A$ की गणना करते हैं:
${A^2} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$
आव्यूह गुणन करने पर:
${A^2} = \begin{bmatrix} (i \times i) + (0 \times 0) & (i \times 0) + (0 \times i) \\ (0 \times i) + (i \times 0) & (0 \times 0) + (i \times i) \end{bmatrix}$
${A^2} = \begin{bmatrix} i^2 & 0 \\ 0 & i^2 \end{bmatrix}$
चूंकि $i^2 = -1$,इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
${A^2} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$.

(A) समान कोटि के आव्यूहों के लिए आव्यूह योग क्रमविनिमेय होता है।
समान कोटि $n \times n$ के किन्हीं दो वर्ग आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए,योग $A + B$ का मान $B + A$ के बराबर होता है।
यह आव्यूह बीजगणित का एक मूलभूत गुण है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,${A^2}$ की गणना करें:
${A^2} = A \times A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (0 \times 0 + 1 \times 1) & (0 \times 1 + 1 \times 0) \\ (1 \times 0 + 0 \times 1) & (1 \times 1 + 0 \times 0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
अब,${A^4}$ की गणना करें:
${A^4} = {A^2} \times {A^2} = I \times I = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$।
${A^2}$ ज्ञात करने के लिए,हम आव्यूह गुणन $A \times A$ करेंगे:
${A^2} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$
अवयवों की गणना:
पंक्ति $1$,स्तंभ $1$: $(3 \times 3) + (1 \times -1) = 9 - 1 = 8$
पंक्ति $1$,स्तंभ $2$: $(3 \times 1) + (1 \times 2) = 3 + 2 = 5$
पंक्ति $2$,स्तंभ $1$: $(-1 \times 3) + (2 \times -1) = -3 - 2 = -5$
पंक्ति $2$,स्तंभ $2$: $(-1 \times 1) + (2 \times 2) = -1 + 4 = 3$
अतः,${A^2} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -5 & 3 \end{bmatrix}$।

(B) योग $A+B$ के परिभाषित होने के लिए,आव्यूह $A$ और $B$ का क्रम समान होना चाहिए। मान लीजिए $A$ का क्रम $m \times n$ है। तो $B$ का क्रम भी $m \times n$ होना चाहिए।
गुणनफल $AB$ के परिभाषित होने के लिए,$A$ में स्तंभों की संख्या $B$ में पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।
चूंकि $A$ का क्रम $m \times n$ है,इसमें $n$ स्तंभ हैं। चूंकि $B$ का क्रम $m \times n$ है,इसमें $m$ पंक्तियाँ हैं।
इसलिए,$AB$ के परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $n = m$ होना चाहिए।
चूंकि $m = n$,इसलिए आव्यूह $A$ और $B$ समान क्रम $n \times n$ के वर्ग आव्यूह होने चाहिए।

(B) गुणनफल $AB$ ज्ञात करने के लिए,हम आव्यूह $A$ और आव्यूह $B$ का पंक्ति द्वारा स्तंभ के साथ गुणा करते हैं:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} (1)(2)+(3)(1)+(0)(-1) & (1)(3)+(3)(2)+(0)(1) & (1)(4)+(3)(3)+(0)(2) \\ (-1)(2)+(2)(1)+(1)(-1) & (-1)(3)+(2)(2)+(1)(1) & (-1)(4)+(2)(3)+(1)(2) \\ (0)(2)+(0)(1)+(2)(-1) & (0)(3)+(0)(2)+(2)(1) & (0)(4)+(0)(3)+(2)(2) \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 2+3+0 & 3+6+0 & 4+9+0 \\ -2+2-1 & -3+4+1 & -4+6+2 \\ 0+0-2 & 0+0+2 & 0+0+4 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 5 & 9 & 13 \\ -1 & 2 & 4 \\ -2 & 2 & 4 \end{bmatrix}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ हैं।
गुणनफल $AB$ ज्ञात करने के लिए,हम आव्यूह गुणन करते हैं:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} (1 \times 0) + (1 \times 1) & (1 \times 1) + (1 \times 0) \\ (0 \times 0) + (1 \times 1) & (0 \times 1) + (1 \times 0) \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 0 + 1 & 1 + 0 \\ 0 + 1 & 0 + 0 \end{bmatrix}$
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$AB$ की गणना करें:
$AB = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -i^2 \\ -i^2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,$BA$ की गणना करें:
$BA = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ -i & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -i^2 \\ -i^2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
चूंकि $AB = BA$,इसलिए आव्यूह $A$ और $B$ क्रमविनिमेय हैं।
किन्हीं भी दो वर्ग आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए जो क्रमविनिमेय हैं,सर्वसमिका $(A + B)(A - B) = A^2 - AB + BA - B^2$ सरल होकर $A^2 - B^2$ हो जाती है क्योंकि $-AB + BA = 0$.
अतः,$(A + B)(A - B) = A^2 - B^2$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$,$B = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$,और $C = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
हमें $5A - 3B - 2C$ की गणना करनी है।
सबसे पहले,अदिश गुणन (scalar multiplication) ज्ञात करें:
$5A = 5 \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & -10 \\ 15 & 0 \end{bmatrix}$
$3B = 3 \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 12 \\ 6 & 9 \end{bmatrix}$
$2C = 2 \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$
अब,आव्यूह का घटाव करें:
$5A - 3B - 2C = \begin{bmatrix} 5 & -10 \\ 15 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -3 & 12 \\ 6 & 9 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 5 - (-3) - 0 & -10 - 12 - (-2) \\ 15 - 6 - 2 & 0 - 9 - 0 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 5 + 3 & -22 + 2 \\ 7 & -9 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 8 & -20 \\ 7 & -9 \end{bmatrix}$.

(B) दिया गया आव्यूह समीकरण: $\begin{bmatrix} x & 0 \\ 1 & y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 6 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
सबसे पहले,बाईं ओर का योग करने पर:
$\begin{bmatrix} x - 2 & 0 + 1 \\ 1 + 3 & y + 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x - 2 & 1 \\ 4 & y + 4 \end{bmatrix}$
इसके बाद,दाईं ओर का घटाव करने पर:
$\begin{bmatrix} 3 - 2 & 5 - 4 \\ 6 - 2 & 3 - 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$
दोनों आव्यूहों के संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3$
$y + 4 = 2 \Rightarrow y = -2$
अतः,$x = 3$ और $y = -2$ प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
चूंकि $A^2 = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ है,हमारे पास है:
$A^2 = \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x^2 + 1 & x \\ x & 1 \end{bmatrix}$.
इसे तत्समक आव्यूह के बराबर रखने पर:
$\begin{bmatrix} x^2 + 1 & x \\ x & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
संगत अवयवों की तुलना करने पर,हमें $x = 0$ और $x^2 + 1 = 1$ प्राप्त होता है।
$x^2 + 1 = 1$ से,हमें $x^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 0$.
अतः,$x$ का मान $0$ है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ और $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$aI + bA$ की गणना करें:
$aI + bA = a \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & a \end{bmatrix}$.
अब,$(aI + bA)^2$ की गणना करें:
$(aI + bA)^2 = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + 0 & ab + ba \\ 0 + 0 & 0 + a^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 & 2ab \\ 0 & a^2 \end{bmatrix}$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$a^2 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + 2ab \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = a^2I + 2abA$.

(B) मैट्रिक्स थ्योरी की अवधारणा $19$ वीं शताब्दी में ब्रिटिश गणितज्ञ $Arthur \ Cayley$ द्वारा औपचारिक रूप से प्रस्तुत की गई थी। हालाँकि $Cayley-Hamilton$ प्रमेय मैट्रिक्स बीजगणित में एक प्रसिद्ध परिणाम है,लेकिन मैट्रिक्स थ्योरी का मूलभूत विकास $Cayley$ को जाता है। इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) सबसे पहले,हम $A^2$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(1) + (2)(-3) & (1)(2) + (2)(0) \\ (-3)(1) + (0)(-3) & (-3)(2) + (0)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ -3 & -6 \end{bmatrix} \neq A$.
इसके बाद,हम $B^2$ की गणना करते हैं:
$B^2 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)(-1) + (0)(2) & (-1)(0) + (0)(3) \\ (2)(-1) + (3)(2) & (2)(0) + (3)(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 9 \end{bmatrix} \neq B$.
अब,हम $AB$ की गणना करते हैं:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1)(-1) + (2)(2) & (1)(0) + (2)(3) \\ (-3)(-1) + (0)(2) & (-3)(0) + (0)(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$.
अंत में,हम $BA$ की गणना करते हैं:
$BA = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)(1) + (0)(-3) & (-1)(2) + (0)(0) \\ (2)(1) + (3)(-3) & (2)(2) + (3)(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -7 & 4 \end{bmatrix}$.
चूंकि $AB = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}$ और $BA = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -7 & 4 \end{bmatrix}$ है,इसलिए यह स्पष्ट है कि $AB \neq BA$.

(C) किन्हीं दो आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए,आव्यूह योग क्रमविनिमेय होता है,अर्थात $A + B = B + A$।
आव्यूह योग साहचर्य होता है,अर्थात $(A + B) + C = A + (B + C)$।
आव्यूह गुणन साहचर्य होता है,अर्थात $(AB)C = A(BC)$।
हालाँकि,आव्यूह गुणन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता है,अर्थात अधिकांश मामलों में $AB \neq BA$।
इसलिए,यह कथन कि आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय है,सत्य नहीं है।