यदि t_1, t_2 और t_3 भिन्न हैं,तो बिंदु (t_1, | vedclass

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Question

(C) दिए गए बिंदुओं के संरेख होने के लिए,उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए,या निर्देशांकों का सारणिक (determinant) शून्य होना च

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$t_1 + t_2 + t_3 = 0$

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(C) दिए गए बिंदुओं के संरेख होने के लिए,उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए,या निर्देशांकों का सारणिक (determinant) शून्य होना चाहिए:$\begin{vmatrix} t_1 & 2at_1 + at_1^3 & 1 \ t_2 & 2at_2 + at_2^3 & 1 \ t_3 & 2at_3 + at_3^3 & 1 \end{vmatrix} = 0$दूसरे स्तंभ से $a$ को सामान्य लेने पर:$a \begin{vmatrix} t_1 & 2t_1 + t_1^3 & 1 \ t_2 & 2t_2 + t_2^3 & 1 \ t_3 & 2t_3 + t_3^3 & 1 \end{vmatrix} = 0$पंक्ति संक्रियाओं $R_2 	o R_2 - R_1$ और $R_3 	o R_3 - R_1$ को लागू करने पर:$\begin{vmatrix} t_1 & 2t_1 + t_1^3 & 1 \ t_2 - t_1 & 2(t_2 - t_1) + (t_2^3 - t_1^3) & 0 \ t_3 - t_1 & 2(t_3 - t_1) + (t_3^3 - t_1^3) & 0 \end{vmatrix} = 0$तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:$(t_2 - t_1)(t_3 - t_1) \begin{vmatrix} 1 & 2 + (t_2^2 + t_1^2 + t_2 t_1) \ 1 & 2 + (t_3^2 + t_1^2 + t_3 t_1) \end{vmatrix} = 0$$(t_2 - t_1)(t_3 - t_1) [(2 + t_3^2 + t_1^2 + t_3 t_1) - (2 + t_2^2 + t_1^2 + t_2 t_1)] = 0$$(t_2 - t_1)(t_3 - t_1) [t_3^2 - t_2^2 + t_1(t_3 - t_2)] = 0$$(t_2 - t_1)(t_3 - t_1)(t_3 - t_2)(t_3 + t_2 + t_1) = 0$चूंकि $t_1, t_2, t_3$ भिन्न हैं,$(t_2 - t_1) 
eq 0$,$(t_3 - t_1) 
eq 0$,और $(t_3 - t_2) 
eq 0$.अतः,$t_1 + t_2 + t_3 = 0$.

यदि $t_1, t_2$ और $t_3$ भिन्न हैं,तो बिंदु $(t_1, 2at_1 + at_1^3)$,$(t_2, 2at_2 + at_2^3)$ और $(t_3, 2at_3 + at_3^3)$ किस शर्त के तहत संरेख (collinear) होंगे?

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यदि $a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e = \left|\begin{array}{ccc}x^{3}+3 x & x-1 & x+3 \\ x+1 & -2 x & x-4 \\ x-3 & x+4 & 3 x\end{array}\right|$ है,तो $e$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A = \begin{bmatrix} 2-k & 2 \\ 1 & 3-k \end{bmatrix}$ एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह है,तो $5k - k^2$ का मान किसके बराबर है?

यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई है और शीर्ष $(k, 0), (4, 0), (0, 2)$ हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 1 & b & ca \\ 1 & c & ab \end{vmatrix}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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