Rank of Matrices , Some special determinants, differentiation and integration of determinants Questions in Hindi

(D) दिया गया है ${D_p} = \begin{vmatrix} p & 15 & 8 \\ p^2 & 35 & 9 \\ p^3 & 25 & 10 \end{vmatrix}$.
हमें $\sum_{p=1}^{5} D_p = D_1 + D_2 + D_3 + D_4 + D_5$ की गणना करनी है।
सारणिक के स्तंभों के योग के गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$\sum_{p=1}^{5} D_p = \begin{vmatrix} \sum_{p=1}^{5} p & 15 & 8 \\ \sum_{p=1}^{5} p^2 & 35 & 9 \\ \sum_{p=1}^{5} p^3 & 25 & 10 \end{vmatrix}$.
योग की गणना करने पर:
$\sum_{p=1}^{5} p = 15$,$\sum_{p=1}^{5} p^2 = 55$,$\sum_{p=1}^{5} p^3 = 225$.
अतः,सारणिक $D = \begin{vmatrix} 15 & 15 & 8 \\ 55 & 35 & 9 \\ 225 & 25 & 10 \end{vmatrix}$ प्राप्त होता है।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर,उत्तर $-700000$ प्राप्त होता है।

(D) माना $\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 4 + {x^2} & -6 & -2 \\ -6 & 9 + {x^2} & 3 \\ -2 & 3 & 1 + {x^2} \end{array}} \right|$.
पंक्ति संक्रियाओं का उपयोग करने पर: $R_1 \to R_1 + 2R_3$ और $R_2 \to R_2 - 3R_3$:
$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} {x^2} & 0 & 2{x^2} \\ 0 & {x^2} & -3{x^2} \\ -2 & 3 & 1 + {x^2} \end{array}} \right|$.
$R_1$ और $R_2$ से ${x^2}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = {x^4} \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ -2 & 3 & 1 + {x^2} \end{array}} \right|$.
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = {x^4} [1(1 + {x^2} + 9) + 2(0 + 2)] = {x^4}(14 + {x^2})$.
अतः,सारणिक $x$,${x^3}$ और $(14 + {x^2})$ से विभाज्य है,लेकिन ${x^5}$ से विभाज्य नहीं है।

(B) हमें सारणिक $\Delta (x) = \left| \begin{array}{ccc} x^n & \sin x & \cos x \\ n! & \sin \frac{n\pi}{2} & \cos \frac{n\pi}{2} \\ a & a^2 & a^3 \end{array} \right|$ दिया गया है।
सारणिक का $n$-वां अवकलज प्राप्त करने के लिए,हम पंक्तियों (या स्तंभों) का एक-एक करके अवकलन करते हैं। चूंकि केवल पहली पंक्ति में $x$ है,इसलिए हम पहली पंक्ति का $n$ बार अवकलन करेंगे।
$\frac{d^n}{dx^n}[\Delta (x)] = \left| \begin{array}{ccc} \frac{d^n}{dx^n}(x^n) & \frac{d^n}{dx^n}(\sin x) & \frac{d^n}{dx^n}(\cos x) \\ n! & \sin \frac{n\pi}{2} & \cos \frac{n\pi}{2} \\ a & a^2 & a^3 \end{array} \right|$.
हम जानते हैं कि $\frac{d^n}{dx^n}(x^n) = n!$,$\frac{d^n}{dx^n}(\sin x) = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$,और $\frac{d^n}{dx^n}(\cos x) = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{d^n}{dx^n}[\Delta (x)] = \left| \begin{array}{ccc} n! & \sin(x + \frac{n\pi}{2}) & \cos(x + \frac{n\pi}{2}) \\ n! & \sin \frac{n\pi}{2} & \cos \frac{n\pi}{2} \\ a & a^2 & a^3 \end{array} \right|$.
अब,$x = 0$ पर मान ज्ञात करने पर:
$[\Delta^n(x)]_{x=0} = \left| \begin{array}{ccc} n! & \sin \frac{n\pi}{2} & \cos \frac{n\pi}{2} \\ n! & \sin \frac{n\pi}{2} & \cos \frac{n\pi}{2} \\ a & a^2 & a^3 \end{array} \right|$.
चूंकि पहली पंक्ति $(R_1)$ और दूसरी पंक्ति $(R_2)$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(B) माना कि सारणिक $\Delta(x)$ है।
$A_1$ ज्ञात करने के लिए,हम $\Delta(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और $x = 0$ पर मान निकालते हैं,अर्थात $A_1 = \Delta'(0)$।
सारणिक के अवकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\Delta'(x)$ तीन सारणिकों का योग है जहाँ प्रत्येक पंक्ति का क्रमानुसार अवकलन किया जाता है।
$\Delta'(x) = \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ 1+a_1x & 1+b_1x & 1+c_1x \\ 1+a_2x & 1+b_2x & 1+c_2x \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1+ax & 1+bx & 1+cx \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ 1+a_2x & 1+b_2x & 1+c_2x \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1+ax & 1+bx & 1+cx \\ 1+a_1x & 1+b_1x & 1+c_1x \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array} \right|$.
$x = 0$ रखने पर:
$\Delta'(0) = \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array} \right|$.
चूंकि प्रत्येक सारणिक में दो पंक्तियाँ समान हैं,इसलिए प्रत्येक सारणिक का मान $0$ है।
अतः,$A_1 = 0 + 0 + 0 = 0$।

(A) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & -2 & -4 & 2 \end{bmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_3 \to R_3 + 2R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
इस संक्रिया के बाद,हम देखते हैं कि तीसरी पंक्ति शून्य पंक्ति बन जाती है।
अब आव्यूह पंक्ति-सोपान (row-echelon) रूप में है,और इसमें अशून्य पंक्तियों की संख्या $2$ है।
अतः,आव्यूह $A$ की कोटि (rank) $2$ है।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 5 \\ 4 & 8 & 10 \\ -6 & -12 & -15 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम आव्यूह की पंक्तियों का अवलोकन करते हैं।
पंक्ति $2$ $(R_2)$,$R_1$ का $2$ गुना है $(4, 8, 10 = 2 \times (2, 4, 5))$।
पंक्ति $3$ $(R_3)$,$R_1$ का $-3$ गुना है $(-6, -12, -15 = -3 \times (2, 4, 5))$।
चूंकि $R_2$ और $R_3$,$R_1$ के अदिश गुणज हैं,इसलिए आव्यूह की कोटि $3$ नहीं हो सकती क्योंकि सारणिक $|A| = 0$ है।
इसके बाद,हम किसी भी गैर-शून्य $2 \times 2$ उपसारणिक (minor) की जांच करते हैं।
सभी $2 \times 2$ उपसारणिक दो पंक्तियों और दो स्तंभों को चुनकर बनाए जाते हैं। उदाहरण के लिए,उपसारणिक $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 8 \end{vmatrix} = 16 - 16 = 0$ है।
इसी तरह,अन्य सभी $2 \times 2$ उपसारणिक जैसे $\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 8 & 10 \end{vmatrix} = 40 - 40 = 0$ या $\begin{vmatrix} 4 & 8 \\ -6 & -12 \end{vmatrix} = -48 - (-48) = 0$ भी शून्य हैं।
चूंकि सभी $2 \times 2$ उपसारणिक शून्य हैं और कम से कम एक गैर-शून्य अवयव मौजूद है (जैसे,$2 \neq 0$),इसलिए आव्यूह की कोटि $1$ है।

(C) माना कि दिया गया आव्यूह $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4&1&0&0\\3&0&1&0\\6&0&2&0\end{array}} \right]$ है।
पंक्ति संक्रिया ${R_3} \to {R_3} - 2{R_2}$ लागू करने पर:
$A \sim \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4&1&0&0\\3&0&1&0\\6-2(3)&0-2(0)&2-2(1)&0-2(0)\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}4&1&0&0\\3&0&1&0\\0&0&0&0\end{array}} \right]$.
चूंकि पंक्ति-सोपान रूप (row-echelon form) में दो अशून्य पंक्तियाँ हैं,इसलिए आव्यूह की कोटि $2$ है।
वैकल्पिक रूप से,हम देख सकते हैं कि तीसरी पंक्ति दूसरी पंक्ति की $2$ गुनी है $(R_3 = 2R_2)$,जिसका अर्थ है कि पंक्तियाँ रैखिक रूप से आश्रित हैं। पहली दो पंक्तियाँ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। अतः,कोटि $2$ है।

(B) माना $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 5 \\ 2 & -4 & a - 4 \\ 1 & -2 & a + 1 \end{bmatrix}$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 + 2R_1$ और $R_3 \to R_3 + R_1$ को लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} -1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & a + 6 \\ 0 & 0 & a + 6 \end{bmatrix}$.
$R_3 \to R_3 - R_2$ लागू करने पर:
$A \sim \begin{bmatrix} -1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & a + 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
यदि $a = -6$ है,तो आव्यूह $\begin{bmatrix} -1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ हो जाता है,इसलिए $\rho(A) = 1$.
यदि $a \neq -6$ है,तो दूसरी पंक्ति शून्य नहीं है,इसलिए $\rho(A) = 2$.
विकल्पों की जाँच करने पर:
$a = 6$ के लिए,$\rho(A) = 2$ (विकल्प $A$ गलत है)।
$a = 1$ के लिए,$\rho(A) = 2$ (विकल्प $B$ सही है)।
$a = 2$ के लिए,$\rho(A) = 2$ (विकल्प $C$ गलत है)।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) हमें दिया गया है $f(x) = \begin{vmatrix} \sin x & \cos x & \tan x \\ x^3 & x^2 & x \\ 2x & 1 & 1 \end{vmatrix}$।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(x) = \sin x(x^2 - x) - \cos x(x^3 - 2x^2) + \tan x(x^3 - 2x^4)$।
हमें $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}$ ज्ञात करना है।
प्रत्येक पद को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{f(x)}{x^2} = \sin x \left( 1 - \frac{1}{x} \right) - \cos x (x - 2) + \tan x (x - 2x^2)$।
जब $x \to 0$,तब $\sin x \approx x$ और $\tan x \approx x$।
$\frac{f(x)}{x^2} \approx x(1 - \frac{1}{x}) - 1(0 - 2) + x(0 - 0) = x - 1 + 2 = x + 1$।
$x \to 0$ सीमा लेने पर,हमें $0 + 1 = 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 & \sin x & \cos x \\ 6 & -1 & 0 \\ p & p^2 & p^3 \end{array} \right|$.
चूंकि सारणिक का अवकलन एक समय में एक पंक्ति का अवकलन करके प्राप्त सारणिकों का योग होता है,और दूसरी तथा तीसरी पंक्तियाँ स्थिरांक हैं,इसलिए तीसरा अवकलज $f'''(x)$ पहली पंक्ति का तीन बार अवकलन करने से प्राप्त होता है:
$f'''(x) = \left| \begin{array}{ccc} \frac{d^3}{dx^3}(x^3) & \frac{d^3}{dx^3}(\sin x) & \frac{d^3}{dx^3}(\cos x) \\ 6 & -1 & 0 \\ p & p^2 & p^3 \end{array} \right|$
अवकलन करने पर:
$\frac{d^3}{dx^3}(x^3) = 6$
$\frac{d^3}{dx^3}(\sin x) = -\cos x$
$\frac{d^3}{dx^3}(\cos x) = \sin x$
अतः,$f'''(x) = \left| \begin{array}{ccc} 6 & -\cos x & \sin x \\ 6 & -1 & 0 \\ p & p^2 & p^3 \end{array} \right|$.
$x = 0$ पर:
$f'''(0) = \left| \begin{array}{ccc} 6 & -\cos(0) & \sin(0) \\ 6 & -1 & 0 \\ p & p^2 & p^3 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 6 & -1 & 0 \\ 6 & -1 & 0 \\ p & p^2 & p^3 \end{array} \right|$.
चूंकि पहली दो पंक्तियाँ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,परिणाम $0$ है,जो $p$ से स्वतंत्र है।

(D) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 & x^2 & 3x^2 \\ 1 & -6 & 4 \\ p & p^2 & p^3 \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(x) = x^3(-6p^3 - 4p^2) - x^2(p^3 - 4p) + 3x^2(p^2 + 6p)$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$f(x) = (-6p^3 - 4p^2)x^3 + (-p^3 + 4p + 3p^2 + 18p)x^2$.
$f(x) = (-6p^3 - 4p^2)x^3 + (-p^3 + 3p^2 + 22p)x^2$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{df}{dx} = 3(-6p^3 - 4p^2)x^2 + 2(-p^3 + 3p^2 + 22p)x$.
$\frac{d^2f}{dx^2} = 6(-6p^3 - 4p^2)x + 2(-p^3 + 3p^2 + 22p)$.
$\frac{d^3f}{dx^3} = 6(-6p^3 - 4p^2) = -36p^3 - 24p^2$.
चूंकि $p$ एक स्थिरांक है,इसलिए $-36p^3 - 24p^2$ भी एक स्थिरांक है।
अतः,तीसरा अवकलज एक स्थिरांक है।

(A) माना गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात $r$ है। तब $a_{n+k} = a_n \cdot r^k$ है।
लघुगणक लेने पर,हमें $\log a_{n+k} = \log a_n + k \log r$ प्राप्त होता है।
माना $D$ सारणिक है।
$D = \left| \begin{array}{ccc} \log a_n & \log a_n + \log r & \log a_n + 2\log r \\ \log a_{n+3} & \log a_{n+3} + \log r & \log a_{n+3} + 2\log r \\ \log a_{n+6} & \log a_{n+6} + \log r & \log a_{n+6} + 2\log r \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_2$ को लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$D = \left| \begin{array}{ccc} \log a_n & \log r & \log r \\ \log a_{n+3} & \log r & \log r \\ \log a_{n+6} & \log r & \log r \end{array} \right|$.
चूंकि स्तंभ $C_2$ और $C_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(B) दिया गया है ${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & b & b \\ a & x & b \\ a & a & x \end{array}} \right|$.
सारणिक ${\Delta _1}$ का प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
${\Delta _1} = x(x^2 - ab) - b(ax - ab) + b(a^2 - ax)$
${\Delta _1} = x^3 - abx - abx + ab^2 + a^2b - abx$
${\Delta _1} = x^3 - 3abx$.
अब,${\Delta _1}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{{dx}}({\Delta _1}) = \frac{d}{{dx}}(x^3 - 3abx) = 3x^2 - 3ab = 3(x^2 - ab)$.
दिया गया है ${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & b \\ a & x \end{array}} \right| = x^2 - ab$.
अवकलन में ${\Delta _2}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d}{{dx}}({\Delta _1}) = 3{\Delta _2}$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix}$ है।
यदि बिंदु $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ संरेख हैं,तो इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |\det(A)| = 0$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है कि $\det(A) = 0$ है।
चूंकि $3 \times 3$ आव्यूह का सारणिक शून्य है,इसलिए आव्यूह $A$ की कोटि $3$ से कम होनी चाहिए।
इसके अलावा,यदि बिंदु संरेख हैं,तो पंक्तियाँ रैखिक रूप से आश्रित होती हैं और कोटि अधिकतम $2$ होती है।
अतः,कोटि हमेशा $3$ से कम होती है।

(A) सबसे पहले,हम सारणिक $f(x)$ को सरल करते हैं।
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $f(x) = \sin x [\sin(2x) \cos x - 2\sin^2 x(-\sin x)] - (-\cos x) [2\cos^2 x \cos x - (-\sin x)(\sin 2x)] + 0$.
$f(x) = \sin x [2\sin x \cos^2 x + 2\sin^3 x] + \cos x [2\cos^3 x + 2\sin^2 x \cos x]$.
$f(x) = 2\sin^2 x \cos^2 x + 2\sin^4 x + 2\cos^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x$.
$f(x) = 2(\sin^4 x + \cos^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x) = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 2(1)^2 = 2$.
चूंकि $f(x) = 2$ है,इसलिए $f'(x) = 0$ होगा।
अतः,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [f(x) + f'(x)] dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [2 + 0] dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 dx = [2x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2(\frac{\pi}{2} - 0) = \pi$.

(A) माना सारणिक $\Delta$ है। प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = a^2 [\cos(n+1)x \sin(n+2)x - \sin(n+1)x \cos(n+2)x] - a [\cos(nx) \sin(n+2)x - \sin(nx) \cos(n+2)x] + 1 [\cos(nx) \sin(n+1)x - \sin(nx) \cos(n+1)x]$
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\Delta = a^2 \sin((n+2)x - (n+1)x) - a \sin((n+2)x - nx) + \sin((n+1)x - nx)$
$\Delta = a^2 \sin(x) - a \sin(2x) + \sin(x)$
$\Delta = \sin(x) [a^2 - 2a \cos x + 1]$
यहाँ,सारणिक का मान $n$ से स्वतंत्र है क्योंकि कोणों के घटाव में $n$ के पद कट जाते हैं।

(D) दिया गया सारणिक $D = \begin{vmatrix} 1 & \cos(\beta - \alpha) & \cos(\gamma - \alpha) \\ \cos(\alpha - \beta) & 1 & \cos(\gamma - \beta) \\ \cos(\alpha - \gamma) & \cos(\beta - \gamma) & 1 \end{vmatrix}$ है।
सर्वसमिका $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ और $1 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta$ का उपयोग करके,हम प्रत्येक अवयव को दो सदिशों के अदिश गुणनफल के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $v_1 = (\cos \alpha, \sin \alpha)$,$v_2 = (\cos \beta, \sin \beta)$,और $v_3 = (\cos \gamma, \sin \gamma)$ है।
तब सारणिक $D$ को दो आव्यूहों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:
$D = \begin{vmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha & 0 \\ \cos \beta & \sin \beta & 0 \\ \cos \gamma & \sin \gamma & 0 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \sin \alpha & \sin \beta & \sin \gamma \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix}$।
चूंकि पहले आव्यूह का तीसरा स्तंभ शून्य है,इसलिए पहले आव्यूह का सारणिक $0$ है।
अतः,$D = 0 \times 0 = 0$।

(C) दिया गया सारणिक $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 + \sin^2 x & \cos^2 x & 4 \sin 2x \\ \sin^2 x & 1 + \cos^2 x & 4 \sin 2x \\ \sin^2 x & \cos^2 x & 1 + 4 \sin 2x \end{array} \right|$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ \sin^2 x & \cos^2 x & 1 + 4 \sin 2x \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = 1(1(1 + 4 \sin 2x) - (-1)(\cos^2 x)) - (-1)(0(1 + 4 \sin 2x) - (-1)(\sin^2 x)) + 0$
$f(x) = 1 + 4 \sin 2x + \cos^2 x + \sin^2 x$
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए:
$f(x) = 1 + 4 \sin 2x + 1 = 2 + 4 \sin 2x$.
$\sin 2x$ का अधिकतम मान $1$ है।
अतः,$f(x)$ का अधिकतम मान $2 + 4(1) = 6$ है।

(B) माना सारणिक $\Delta$ है। प्रथम पंक्ति $(R_1)$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = \cos(\theta + \phi) [\cos \theta \cos \phi - \sin \theta \sin \phi] + \sin(\theta + \phi) [\sin \theta \cos \phi + \cos \theta \sin \phi] + \cos 2\phi [\sin^2 \theta + \cos^2 \theta]$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ और $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\Delta = \cos(\theta + \phi) \cos(\theta + \phi) + \sin(\theta + \phi) \sin(\theta + \phi) + \cos 2\phi (1)$
$\Delta = \cos^2(\theta + \phi) + \sin^2(\theta + \phi) + \cos 2\phi$
चूंकि $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$:
$\Delta = 1 + \cos 2\phi$
यह व्यंजक केवल $\phi$ पर निर्भर करता है और $\theta$ से स्वतंत्र है।

(C) हम जानते हैं कि $^n{C_r} = \frac{n(n-1)...(n-r+1)}{r!}$ होता है।
इन मानों को सारणिक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} x & \frac{x(x-1)}{2} & \frac{x(x-1)(x-2)}{6} \\ y & \frac{y(y-1)}{2} & \frac{y(y-1)(y-2)}{6} \\ z & \frac{z(z-1)}{2} & \frac{z(z-1)(z-2)}{6} \end{array} \right|$
प्रत्येक स्तंभ से क्रमशः $\frac{x}{1}, \frac{y}{2}, \frac{z}{6}$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = \frac{xyz}{12} \left| \begin{array}{ccc} 1 & x-1 & (x-1)(x-2) \\ 1 & y-1 & (y-1)(y-2) \\ 1 & z-1 & (z-1)(z-2) \end{array} \right|$
$C_2 \rightarrow C_2 + C_1$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \frac{xyz}{12} \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & x^2-3x+2 \\ 1 & y & y^2-3y+2 \\ 1 & z & z^2-3z+2 \end{array} \right|$
स्तंभ संक्रियाओं $C_3 \rightarrow C_3 + 3C_2 - 2C_1$ का उपयोग करके,हम सारणिक को मानक वेंडरमोंड रूप में घटाते हैं:
$\Delta = \frac{xyz}{12} \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2 \end{array} \right| = \frac{xyz}{12} (x-y)(y-z)(z-x)$.

(A) दिया गया सारणिक $f'(x) = \left| \begin{array}{ccc} mx & mx - p & mx + p \\ n & n + p & n - p \\ mx + 2n & mx + 2n + p & mx + 2n - p \end{array} \right|$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_3 \rightarrow R_3 - R_1 - 2R_2$ लागू करने पर:
$R_3$ का पहला अवयव $(mx + 2n) - (mx) - 2(n) = 0$ हो जाता है।
$R_3$ का दूसरा अवयव $(mx + 2n + p) - (mx - p) - 2(n + p) = mx + 2n + p - mx + p - 2n - 2p = 0$ हो जाता है।
$R_3$ का तीसरा अवयव $(mx + 2n - p) - (mx + p) - 2(n - p) = mx + 2n - p - mx - p - 2n + 2p = 0$ हो जाता है।
चूंकि तीसरी पंक्ति के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $f'(x) = 0$ है।
$f'(x) = 0$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $f(x) = C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ एक स्थिरांक है।
समीकरण $y = C$ एक $x$-अक्ष के समानांतर सीधी रेखा को दर्शाता है।

(D) $D(x)$ बहुपद में $x$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $D'(0)$ का उपयोग कर सकते हैं।
सबसे पहले,$D(0)$ का मान ज्ञात करें:
$D(0) = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -1(0 - 1) - 1(-1 - 0) + 0 = 1 + 1 = 2$.
चूंकि $D(x)$ एक बहुपद है,हम इसे $D(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $a_1$ $x$ का गुणांक है।
सारणिक का विस्तार करने और $x=0$ पर अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $x$ का गुणांक $0$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \begin{vmatrix} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^2 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{vmatrix}$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 - C_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = \begin{vmatrix} \cos x - 1 & x & 1 \\ 2 \sin x - 2x & x^2 & 2x \\ \tan x - 1 & x & 1 \end{vmatrix}$.
सारणिक के अवकलन के गुणधर्म का उपयोग करके $f'(x)$ ज्ञात किया जा सकता है।
$f'(x) = \begin{vmatrix} -\sin x & 1 & 0 \\ 2 \sin x & x^2 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \cos x & 1 & 0 \\ 2 \cos x & 2x & 2 \\ \tan x & x & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^2 & 2x \\ \sec^2 x & 1 & 0 \end{vmatrix}$.
सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x}$ का मान ज्ञात करने पर,हमें $-2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $f(x) = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos 2x & \sin 2x & 2\cos 2x \\ \cos 3x & \sin 3x & 3\cos 3x \end{vmatrix}$.
सारणिक के अवकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \Delta_1 + \Delta_2 + \Delta_3$,जहाँ $\Delta_i$ $i$-वें स्तंभ का अवकलन करके प्राप्त सारणिक है।
$\Delta_1 = \begin{vmatrix} -\sin x & \sin x & \cos x \\ -2\sin 2x & \sin 2x & 2\cos 2x \\ -3\sin 3x & \sin 3x & 3\cos 3x \end{vmatrix} = 0$.
$\Delta_2 = \begin{vmatrix} \cos x & \cos x & \cos x \\ \cos 2x & 2\cos 2x & 2\cos 2x \\ \cos 3x & 3\cos 3x & 3\cos 3x \end{vmatrix} = 0$.
$\Delta_3 = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x & -\sin x \\ \cos 2x & \sin 2x & -4\sin 2x \\ \cos 3x & \sin 3x & -9\sin 3x \end{vmatrix}$.
$x = \pi/2$ रखने पर,$f'(\pi/2) = \Delta_3(\pi/2) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 9 \end{vmatrix} = 8$.

(D) दिया गया है $y = \sin(mx)$। $n$-वाँ अवकलन $y_n = m^n \sin(mx + \frac{n\pi}{2})$ है।
माना सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} y & y_1 & y_2 \\ y_3 & y_4 & y_5 \\ y_6 & y_7 & y_8 \end{array} \right|$ है।
हम अवकलनों को देखते हैं:
$y_0 = \sin(mx)$
$y_1 = m \cos(mx)$
$y_2 = -m^2 \sin(mx)$
$y_3 = -m^3 \cos(mx)$
$y_4 = m^4 \sin(mx)$
$y_5 = m^5 \cos(mx)$
$y_6 = -m^6 \sin(mx)$
$y_7 = -m^7 \cos(mx)$
$y_8 = m^8 \sin(mx)$
यहाँ $y_2 = -m^2 y_0$,$y_3 = -m^2 y_1$,$y_4 = -m^2 y_2$,$y_5 = -m^2 y_3$,$y_6 = -m^2 y_4$,$y_7 = -m^2 y_5$,$y_8 = -m^2 y_6$ है।
चूंकि प्रत्येक स्तंभ पिछले स्तंभ का एक अदिश गुणज है,इसलिए स्तंभ रैखिक रूप से आश्रित हैं। सारणिक का मान $0$ है।
अतः,यह $m$ और $x$ दोनों से स्वतंत्र है।

(B) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 4 + x^2 & -6 & -2 \\ -6 & 9 + x^2 & 3 \\ -2 & 3 & 1 + x^2 \end{array} \right|$.
सारणिक का विस्तार करने पर,हमें $\Delta = x^2(x^2 + 14)$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$\Delta = x^2(x^2 + 14)$ संख्या $x$,$x^2$ और $(14 + x^2)$ से विभाज्य है।
अतः,यह $x^3$ या $x^5$ से विभाज्य नहीं है।

(B) कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f'(x) \,dx = [f(x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = f\left(\frac{\pi}{2}\right) - f(0)$.
सबसे पहले,$f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ की गणना करते हैं:
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left| \begin{array}{ccc} 2\cos^2(\pi) & \sin(\pi) & -\sin(\pi/2) \\ \sin(\pi) & 2\sin^2(\pi/4) & \cos(\pi/2) \\ \sin(\pi/2) & -\cos(\pi/2) & 0 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right| = 1$.
इसके बाद,$f(0)$ की गणना करते हैं:
$f(0) = \left| \begin{array}{ccc} 2\cos^2(0) & \sin(0) & -\sin(0) \\ \sin(0) & 2\sin^2(0) & \cos(0) \\ \sin(0) & -\cos(0) & 0 \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array} \right| = 2$.
अतः,$f\left(\frac{\pi}{2}\right) - f(0) = 1 - 2 = -1$.

(C) मान लीजिए $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin(x + \alpha) & \sin(x + \beta) & \sin(x + \gamma) \\ \cos(x + \alpha) & \cos(x + \beta) & \cos(x + \gamma) \\ \sin(\alpha + \beta) & \sin(\beta + \gamma) & \sin(\gamma + \alpha) \end{array} \right|$.
$f'(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम सारणिक का पंक्ति-दर-पंक्ति अवकलन करते हैं।
$f'(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos(x + \alpha) & \cos(x + \beta) & \cos(x + \gamma) \\ \cos(x + \alpha) & \cos(x + \beta) & \cos(x + \gamma) \\ \sin(\alpha + \beta) & \sin(\beta + \gamma) & \sin(\gamma + \alpha) \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} \sin(x + \alpha) & \sin(x + \beta) & \sin(x + \gamma) \\ -\sin(x + \alpha) & -\sin(x + \beta) & -\sin(x + \gamma) \\ \sin(\alpha + \beta) & \sin(\beta + \gamma) & \sin(\gamma + \alpha) \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} \sin(x + \alpha) & \sin(x + \beta) & \sin(x + \gamma) \\ \cos(x + \alpha) & \cos(x + \beta) & \cos(x + \gamma) \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right|$.
प्रथम सारणिक में,पंक्ति $1$ और पंक्ति $2$ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
द्वितीय सारणिक में,पंक्ति $2$,पंक्ति $1$ का $-1$ गुना है,इसलिए इसका मान $0$ है।
तृतीय सारणिक में,पंक्ति $3$ के सभी अवयव शून्य हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
अतः,$f'(x) = 0 + 0 + 0 = 0$.
चूंकि अवकलज शून्य है,इसलिए $f(x)$ एक अचर फलन है।
दिया गया है कि $f(10) = 10$,इसलिए सभी $x$ के लिए $f(x) = 10$ होगा।
अतः,$f(\pi) = 10$।

(C) $f'(0)$ ज्ञात करने के लिए,हम सारणिक के अवकलन के गुणधर्म का उपयोग करते हैं: $f'(0) = \left| \begin{matrix} f_1'(0) & f_2(0) & f_3(0) \\ g_1(0) & g_2'(0) & g_3(0) \\ h_1(0) & h_2(0) & h_3'(0) \end{matrix} \right| + \dots$
वैकल्पिक रूप से,$x=0$ के निकट टेलर श्रेणी का उपयोग करने पर:
$x^3-x \approx -x$,$2e^{2x} \approx 2+4x$,$\sin x^2 \approx 0$,$\cos 2x \approx 1$,$x+x^2 \approx x$,$e^{-x} \approx 1-x$,$\tan 3x \approx 3x$,$\ln(1-2x) \approx -2x$,$x^2+x+1 \approx 1+x$
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$f(x) \approx \begin{vmatrix} -x & 2+4x & 0 \\ 1 & x & 1-x \\ 3x & -2x & 1+x \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार करने और केवल $x$ के पद को ध्यान में रखने पर,$f'(0) = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया सारणिक: $\left| \begin{array}{cc} f'(x) & f(x) \\ f''(x) & f'(x) \end{array} \right| = 0$
इसका अर्थ है $(f'(x))^2 - f(x)f''(x) = 0$.
$(f'(x))^2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{f'(x)f'(x) - f(x)f''(x)}{(f'(x))^2} = 0$,जो भागफल नियम के अनुसार $\frac{f(x)}{f'(x)}$ का अवकलज है।
अतः,$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{f'(x)} \right) = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{f(x)}{f'(x)} = C$ (एक स्थिरांक)।
प्रारंभिक शर्तों $f(0) = 1$ और $f'(0) = 2$ का उपयोग करने पर,हमें $C = \frac{f(0)}{f'(0)} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)} = 2$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln|f(x)| = 2x + k$। चूँकि $f(0) = 1$,इसलिए $k = 0$,अतः $f(x) = e^{2x}$।
हमें $e^{2x} = x^2$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
मान लीजिए $g(x) = e^{2x} - x^2$। $g'(x) = 2e^{2x} - 2x = 2(e^{2x} - x)$। सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{2x} > x$ होता है,इसलिए $g'(x) > 0$,अतः $g(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
जब $x \to -\infty$,तब $g(x) \to \infty$। जब $x \to 0$,तब $g(0) = 1$। जब $x \to -\infty$,तब $e^{2x} \to 0$ और $x^2 \to \infty$। इंटरमीडिएट वैल्यू थ्योरम के अनुसार,यहाँ केवल एक हल मौजूद है।

(B) दिया गया है $y = \sin(px)$.
अवकलज ज्ञात करने पर:
$y_1 = p \cos(px)$
$y_2 = -p^2 \sin(px)$
$y_3 = -p^3 \cos(px)$
$y_4 = p^4 \sin(px)$
$y_5 = p^5 \cos(px)$
$y_6 = -p^6 \sin(px)$
$y_7 = -p^7 \cos(px)$
$y_8 = p^8 \sin(px)$
सारणिक में इन मानों को रखने पर:
$D = \left| \begin{array}{ccc} \sin(px) & p \cos(px) & -p^2 \sin(px) \\ -p^3 \cos(px) & p^4 \sin(px) & p^5 \cos(px) \\ -p^6 \sin(px) & -p^7 \cos(px) & p^8 \sin(px) \end{array} \right|$
यहाँ,तीसरी पंक्ति $R_3$,दूसरी पंक्ति $R_2$ की $p^3$ गुनी है $(y_6 = p^3 y_3, y_7 = p^3 y_4, y_8 = p^3 y_5)$।
सारणिक के गुणधर्म के अनुसार,यदि दो पंक्तियाँ समानुपाती हों,तो सारणिक का मान $0$ होता है।

(A) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2\sin x & x^2 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(x) = \cos x(x^2 - 2x^2) - x(2\sin x - 2x\tan x) + 1(2x\sin x - x^2\tan x)$
$f(x) = -x^2\cos x - 2x\sin x + 2x^2\tan x + 2x\sin x - x^2\tan x$
$f(x) = x^2\tan x - x^2\cos x = x^2(\tan x - \cos x)$.
अब,$f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f'(x) = 2x(\tan x - \cos x) + x^2(\sec^2 x + \sin x)$.
हमें $\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{x}$ ज्ञात करना है:
$\lim_{x \to 0} \frac{2x(\tan x - \cos x) + x^2(\sec^2 x + \sin x)}{x}$
$= \lim_{x \to 0} [2(\tan x - \cos x) + x(\sec^2 x + \sin x)]$
$= 2(0 - 1) + 0(1 + 0) = -2$.
अतः,सीमा का अस्तित्व है और यह $-2$ के बराबर है।

(D) मान लीजिए $p_i(x) = a_i x^2 + b_i x + c_i$ जहाँ $i = 1, 2, 3$ है। तब $p'_i(x) = 2a_i x + b_i$ और $p''_i(x) = 2a_i$ होगा।
आव्यूह $A(x)$ इस प्रकार है:
$A(x) = \begin{bmatrix} a_1 x^2 + b_1 x + c_1 & 2a_1 x + b_1 & 2a_1 \\ a_2 x^2 + b_2 x + c_2 & 2a_2 x + b_2 & 2a_2 \\ a_3 x^2 + b_3 x + c_3 & 2a_3 x + b_3 & 2a_3 \end{bmatrix}$.
हम जानते हैं कि $\det(B(x)) = \det([A(x)]^T A(x)) = \det([A(x)]^T) \det(A(x)) = (\det(A(x)))^2$ है।
$A(x)$ के स्तंभों का अवलोकन करें। मान लीजिए $C_1, C_2, C_3$ $A(x)$ के स्तंभ हैं।
$C_1 = x^2 \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} + x \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix}$.
$C_2 = 2x \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}$.
$C_3 = 2 \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}$.
स्तंभों पर संक्रिया करने पर,सारणिक $\det(A(x))$ एक अचर प्राप्त होता है। इसलिए,$\det(B(x)) = (\det(A(x)))^2$ भी एक अचर है। अतः,यह $x$ पर निर्भर नहीं करता है।

(N/A) दिया गया है $y = \begin{vmatrix} f(x) & g(x) & h(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{vmatrix}$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$y = f(x)(mc - nb) - g(x)(lc - na) + h(x)(lb - ma)$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}[f(x)(mc - nb)] - \frac{d}{dx}[g(x)(lc - na)] + \frac{d}{dx}[h(x)(lb - ma)]$.
चूंकि $l, m, n, a, b, c$ अचर हैं:
$\frac{dy}{dx} = f'(x)(mc - nb) - g'(x)(lc - na) + h'(x)(lb - ma)$.
यह व्यंजक उस सारणिक का विस्तार है जिसमें प्रथम पंक्ति का अवकलन किया गया है:
$\frac{dy}{dx} = \begin{vmatrix} f'(x) & g'(x) & h'(x) \\ l & m & n \\ a & b & c \end{vmatrix}$.
अतः,परिणाम सिद्ध हुआ।

(B) दिए गए सारणिक प्रतिबंध के अनुसार: $f(x)f^{\prime \prime}(x) - (f^{\prime}(x))^2 = 0$.
इसे $\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f^{\prime}(x)} = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $\ln(f^{\prime}(x)) = \ln(f(x)) + \ln(c)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f^{\prime}(x) = c f(x)$।
यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = c$।
पुनः समाकलन करने पर,$\ln(f(x)) = cx + k_1$,अतः $f(x) = k e^{cx}$।
प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करने पर:
$f(0) = 1 \implies k e^0 = 1 \implies k = 1$।
$f^{\prime}(x) = c e^{cx}$,और $f^{\prime}(0) = 2 \implies c e^0 = 2 \implies c = 2$।
इस प्रकार,$f(x) = e^{2x}$।
$f(1) = e^2 \approx 7.389$ की गणना करने पर।
चूंकि $6 < 7.389 < 9$,इसलिए यह मान $(6, 9)$ अंतराल में स्थित है।

(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left|\begin{array}{lll} \sin x & \cos x & \cos x \\ \cos x & \sin x & \cos x \\ \cos x & \cos x & \sin x \end{array}\right|=0$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_{1} \rightarrow R_{1}-R_{2}$ और $R_{2} \rightarrow R_{2}-R_{3}$ को लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} \sin x-\cos x & \cos x-\sin x & 0 \\ 0 & \sin x-\cos x & \cos x-\sin x \\ \cos x & \cos x & \sin x \end{array}\right|=0$.
$R_{1}$ और $R_{2}$ से $(\sin x-\cos x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(\sin x-\cos x)^{2} \left|\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ \cos x & \cos x & \sin x \end{array}\right|=0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(\sin x-\cos x)^{2} [1(\sin x + \cos x) + 1(0 + \cos x)] = 0$.
$(\sin x-\cos x)^{2} (\sin x + 2 \cos x) = 0$.
इसका अर्थ है $\sin x = \cos x$ या $\sin x = -2 \cos x$.
स्थिति $1$: $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}$. यह मान अंतराल $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ में स्थित है।
स्थिति $2$: $\tan x = -2$. अंतराल $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ में $\tan x$ का मान $-1$ से $1$ के बीच होता है। चूँकि $-2$ इस सीमा से बाहर है,इसलिए इस अंतराल में $\tan x = -2$ का कोई हल नहीं है।
अतः,केवल $1$ भिन्न वास्तविक मूल है,जो $x = \frac{\pi}{4}$ है।

(A) दिया गया सारणिक $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin^2 x & -2 + \cos^2 x & \cos 2x \\ 2 + \sin^2 x & \cos^2 x & \cos 2x \\ \sin^2 x & \cos^2 x & 1 + \cos 2x \end{array} \right|$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2 - R_3$ को लागू करने पर:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} -2 & -2 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \\ \sin^2 x & \cos^2 x & 1 + \cos 2x \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = -2(0 - (-\cos^2 x)) - (-2)(2(1 + \cos 2x) - (-\sin^2 x)) + 0$
$f(x) = -2 \cos^2 x + 2(2 + 2 \cos 2x + \sin^2 x)$
$f(x) = -2 \cos^2 x + 4 + 4 \cos 2x + 2 \sin^2 x$
$f(x) = 4 + 4 \cos 2x - 2(\cos^2 x - \sin^2 x)$
चूंकि $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$,इसलिए:
$f(x) = 4 + 4 \cos 2x - 2 \cos 2x = 4 + 2 \cos 2x$.
$x \in [0, \pi]$ के लिए,$\cos 2x$ का अधिकतम मान $1$ है।
अतः,$f(x)_{\text{max}} = 4 + 2(1) = 6$.

(C) दिया गया है $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} a & -1 & 0 \\ ax & a & -1 \\ ax^2 & ax & a \end{array}\right|$.
सारणिक का पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = a(a^2 + ax) + 1(a^2x + ax^2) + 0$
$f(x) = a^3 + a^2x + a^2x + ax^2 = a^3 + 2a^2x + ax^2 = a(a^2 + 2ax + x^2) = a(x + a)^2$.
अब,अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करें:
$f'(x) = \frac{d}{dx}[a(x + a)^2] = 2a(x + a)$.
दी गई शर्त $2f'(10) - f'(5) + 100 = 0$ के अनुसार:
$2[2a(10 + a)] - [2a(5 + a)] + 100 = 0$
$4a(10 + a) - 2a(5 + a) + 100 = 0$
$40a + 4a^2 - 10a - 2a^2 + 100 = 0$
$2a^2 + 30a + 100 = 0$
$a^2 + 15a + 50 = 0$
$(a + 10)(a + 5) = 0$.
अतः,$a$ के मान $a = -10$ और $a = -5$ हैं।
इन मानों के वर्गों का योग $(-10)^2 + (-5)^2 = 100 + 25 = 125$ है।

(C) सारणिक $f(x)$ का प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = 1 \cdot (|x-1|(x-2)^2 - |x-2|(x-1)^2) - |x| \cdot ((x-2)^2 - (x-1)^2) + x^2 \cdot (|x-2| - |x-1|)$
व्यंजक को सरल करने पर:
$f(x) = |x-1|(x^2-4x+4) - |x-2|(x^2-2x+1) - |x|(x^2-4x+4 - x^2+2x-1) + x^2(|x-2|-|x-1|)$
$f(x) = |x-1|(4-4x) + |x-2|(2x-1) - |x|(3-2x)$
यहाँ निरपेक्ष मानों के क्रांतिक बिंदुओं $x = 0, 1, 2$ पर अवकलनीयता की जाँच करने पर:
$x=0$ पर: $|x|$ पद अवकलनीय नहीं है और इसका गुणांक $(3-2x)$,$3 \neq 0$ है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x=0$ पर अवकलनीय नहीं है।
$x=1$ पर: $|x-1|$ पद अवकलनीय नहीं है,लेकिन इसका गुणांक $(4-4x)$,$0$ है। अतः,अवकलनीयता का अभाव दूर हो जाता है।
$x=2$ पर: $|x-2|$ पद अवकलनीय नहीं है और इसका गुणांक $(2x-1)$,$3 \neq 0$ है। अतः,$f(x)$ बिंदु $x=2$ पर अवकलनीय नहीं है।
अतः,फलन $x=0$ और $x=2$ पर अवकलनीय नहीं है। ऐसे मानों की संख्या $2$ है।

(A) दिया गया सारणिक $f(x) = \begin{vmatrix} 2 \cos^4 x & 2 \sin^4 x & 3 + \sin^2 2x \\ 3 + 2 \cos^4 x & 2 \sin^4 x & \sin^2 2x \\ 2 \cos^4 x & 3 + 2 \sin^4 x & \sin^2 2x \end{vmatrix}$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$f(x) = \begin{vmatrix} 2 \cos^4 x & 2 \sin^4 x & 3 + \sin^2 2x \\ 3 & 0 & -3 \\ 0 & 3 & -3 \end{vmatrix}$.
दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = -3 \begin{vmatrix} 2 \sin^4 x & 3 + \sin^2 2x \\ 3 & -3 \end{vmatrix} + 0 - (-3) \begin{vmatrix} 2 \cos^4 x & 2 \sin^4 x \\ 0 & 3 \end{vmatrix}$.
$f(x) = -3(-6 \sin^4 x - 3(3 + \sin^2 2x)) + 3(6 \cos^4 x)$.
$f(x) = 18 \sin^4 x + 27 + 9 \sin^2 2x + 18 \cos^4 x$.
चूंकि $\sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x$,इसलिए $f(x) = 18(\sin^4 x + \cos^4 x) + 9(4 \sin^2 x \cos^2 x) + 27$.
$\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 18(1 - 2 \sin^2 x \cos^2 x) + 36 \sin^2 x \cos^2 x + 27$.
$f(x) = 18 - 36 \sin^2 x \cos^2 x + 36 \sin^2 x \cos^2 x + 27 = 45$.
चूंकि $f(x) = 45$ एक अचर है,इसलिए $f'(x) = 0$ होगा।
अतः,$\frac{1}{5} f'(0) = 0$।

(C) सबसे पहले,हम $x=0$ रखकर $f(0)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(0) = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 6 \\ 0 & 4 & -2 \end{array}\right| = 0(0-24) - 1(-4-0) + 1(8-0) = 4 + 8 = 12$.
अब,सारणिक के अवकलन के गुणधर्म का उपयोग करके $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \left|\begin{array}{ccc} 3x^2 & 4x & 3 \\ 3x^2+2 & 2x & x^3+6 \\ x^3-x & 4 & x^2-2 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} x^3 & 2x^2+1 & 1+3x \\ 6x & 2 & 3x^2 \\ x^3-x & 4 & x^2-2 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} x^3 & 2x^2+1 & 1+3x \\ 3x^2+2 & 2x & x^3+6 \\ 3x^2-1 & 0 & 2x \end{array}\right|$.
अब $x=0$ रखकर $f'(0)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(0) = \left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 6 \\ 0 & 4 & -2 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & -2 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 6 \\ -1 & 0 & 0 \end{array}\right|$.
प्रत्येक सारणिक का मान:
प्रथम: $3(8-0) = 24$.
द्वितीय: $0$ (क्योंकि प्रथम स्तंभ शून्य है)।
तृतीय: $-1(6-0) = -6$.
अतः,$f'(0) = 24 + 0 - 6 = 18$.
अंत में,$2f(0) + f'(0) = 2(12) + 18 = 24 + 18 = 42$.

(D) सारणिक $f(x)$ का विस्तार करने पर:
$f(x) = \cos(2x)(\cos^2 x + \sin^2 x) - \cos(2x)(-\cos^2 x + \sin^2 x) + \sin(2x)(-2 \sin x \cos x)$
$f(x) = \cos 2x + \cos^2 2x - \sin^2 2x = \cos 2x + \cos 4x$.
अब,$f'(x) = -2 \sin 2x - 4 \sin 4x = -2 \sin 2x (1 + 4 \cos 2x)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,$\sin 2x = 0$ या $\cos 2x = -1/4$ प्राप्त होता है।
$(-\pi, \pi)$ अंतराल में,$\sin 2x = 0$ का मान $x = 0, \pm \pi/2$ पर होता है। ($3$ बिंदु)
$\cos 2x = -1/4$ के $(-\pi, \pi)$ में $4$ हल हैं।
अतः,$f'(x) = 0$ कुल $3 + 4 = 7$ बिंदुओं पर होता है,जो तीन से अधिक है। इसलिए $B$ सही है।
$f(x) = \cos 2x + \cos 4x$ के लिए,$x = 0$ पर,$f(0) = \cos 0 + \cos 0 = 2$.
चूंकि $\cos \theta \le 1$,$f(x)$ का अधिकतम मान $2$ है,जो $x = 0$ पर प्राप्त होता है। इसलिए $C$ सही है।
अतः,सही विकल्प $B$ और $C$ हैं।

(C) माना $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$। $A$ का अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\text{tr}(A) = a+d = 3$ और मान लीजिए $\Delta = \det(A) = ad-bc$ है।
अतः,अभिलक्षणिक समीकरण $\lambda^2 - 3\lambda + \Delta = 0$ है।
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,$A^2 - 3A + \Delta I = 0$,जिसका अर्थ है $A^2 = 3A - \Delta I$।
$A$ से गुणा करने पर,हमें $A^3 = 3A^2 - \Delta A$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $A^2 = 3A - \Delta I$ प्रतिस्थापित करने पर:
$A^3 = 3(3A - \Delta I) - \Delta A = 9A - 3\Delta I - \Delta A = (9 - \Delta)A - 3\Delta I$।
दोनों पक्षों का ट्रेस लेने पर:
$\text{tr}(A^3) = (9 - \Delta)\text{tr}(A) - 3\Delta \text{tr}(I)$।
चूंकि $\text{tr}(A^3) = -18$,$\text{tr}(A) = 3$,और $\text{tr}(I) = 2$ ($2 \times 2$ आव्यूह के लिए):
$-18 = (9 - \Delta)(3) - 3\Delta(2)$।
$-18 = 27 - 3\Delta - 6\Delta$।
$-18 = 27 - 9\Delta$।
$9\Delta = 27 + 18 = 45$।
$\Delta = 5$।
अतः,$A$ का सारणिक $5$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} a+\frac{\sin x}{x} & 1 & b \\ a & 1+\frac{\sin x}{x} & b \\ a & 1 & b+\frac{\sin x}{x} \end{array}\right|$.
जब $x \rightarrow 0$,तब $\frac{\sin x}{x} \rightarrow 1$. मान लीजिए $k = \frac{\sin x}{x} \rightarrow 1$.
अतः $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \left|\begin{array}{ccc} a+1 & 1 & b \\ a & 2 & b \\ a & 1 & b+1 \end{array}\right|$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$= (a+1)[2(b+1) - b] - 1[a(b+1) - ab] + b[a - 2a]$
$= (a+1)(b+2) - a - ab$
$= ab + 2a + b + 2 - a - ab$
$= a + b + 2$.
$\lambda + \mu a + \nu b$ से तुलना करने पर,हमें $\lambda = 2, \mu = 1, \nu = 1$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$(\lambda + \mu + \nu)^2 = (2 + 1 + 1)^2 = 4^2 = 16$.

(A) दिया गया सारणिक $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1+\sin^2 x & \cos^2 x & 4\sin 4x \\ \sin^2 x & 1+\cos^2 x & 4\sin 4x \\ \sin^2 x & \cos^2 x & 1+4\sin 4x \end{array} \right|$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1+\sin^2 x & \cos^2 x & 4\sin 4x \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति $(R_1)$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = (1+\sin^2 x)(1 - 0) - (\cos^2 x)(-1 - 0) + (4\sin 4x)(0 - (-1))$.
$f(x) = 1 + \sin^2 x + \cos^2 x + 4\sin 4x$.
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए $f(x) = 1 + 1 + 4\sin 4x = 2 + 4\sin 4x$.
अधिकतम मान $M$ तब प्राप्त होता है जब $\sin 4x = 1$,अतः $M = 2 + 4(1) = 6$.
न्यूनतम मान $m$ तब प्राप्त होता है जब $\sin 4x = -1$,अतः $m = 2 + 4(-1) = -2$.
इसलिए,$M^4 - m^4 = 6^4 - (-2)^4 = 1296 - 16 = 1280$.

(A) दिया गया है $y(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin x & \cos x & \sin x + \cos x + 1 \\ 27 & 28 & 27 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$y(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin x & \cos x & \cos x + 1 \\ 27 & 28 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right|$.
तीसरे स्तंभ $(C_3)$ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$y(x) = (\cos x + 1) \times (27 \times 1 - 28 \times 1) = (\cos x + 1) \times (-1) = -\cos x - 1$.
अब,अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(-\cos x - 1) = \sin x$.
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$.
अतः,$\frac{d^2 y}{dx^2} + y = \cos x + (-\cos x - 1) = -1$.

(C) आव्यूह $A$ एक विकर्ण आव्यूह है,इसलिए इसका सारणिक $|A|$ इसके विकर्ण तत्वों का गुणनफल है:
$|A| = a \times b \times c = 7^x \times 7^{7^x} \times 7^{7^{7^x}}$.
घातांक के नियम $a^m \times a^n = a^{m+n}$ का उपयोग करते हुए:
$|A| = 7^{x + 7^x + 7^{7^x}}$.
हमें समाकलन $I = \int 7^{x + 7^x + 7^{7^x}} \, dx$ का मान ज्ञात करना है।
फलन $f(x) = 7^{7^{7^x}}$ का अवकलन करने पर,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए:
$\frac{d}{dx} (7^{7^{7^x}}) = 7^{7^{7^x}} \cdot \log 7 \cdot \frac{d}{dx} (7^{7^x}) = 7^{7^{7^x}} \cdot \log 7 \cdot 7^{7^x} \cdot \log 7 \cdot \frac{d}{dx} (7^x) = 7^{7^{7^x}} \cdot 7^{7^x} \cdot 7^x \cdot (\log 7)^3$.
इसलिए,$\frac{d}{dx} \left( \frac{7^{7^{7^x}}}{(\log 7)^3} \right) = 7^{7^{7^x}} \cdot 7^{7^x} \cdot 7^x = |A|$.
अतः,$\int |A| \, dx = \frac{7^{7^{7^x}}}{(\log 7)^3} + k$.

(C) $\triangle ABC$ में,हम जानते हैं कि $A + B + C = \pi$,इसलिए $B + C = \pi - A$ और $A + C = \pi - B$ है।
इन मानों को सारणिक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin(B + C) = \sin(\pi - A) = \sin A$
$\tan(A + C) = \tan(\pi - B) = -\tan B$
सारणिक इस प्रकार हो जाता है:
$D = \left|\begin{array}{ccc}0 & \sin A & \tan B \\ -\sin A & 0 & \cos C \\ -\tan B & -\cos C & 0\end{array}\right|$
यह $3 \times 3$ क्रम का एक विषम-सममित (skew-symmetric) सारणिक है।
एक विषम-सममित आव्यूह $M$ के लिए $M^T = -M$ होता है।
विषम क्रम $n$ वाले विषम-सममित आव्यूह का सारणिक $\det(M) = \det(M^T) = \det(-M) = (-1)^n \det(M)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $n = 3$ (विषम संख्या) है,इसलिए $\det(M) = -\det(M)$,जिसका अर्थ है कि $2 \det(M) = 0$,अतः $\det(M) = 0$ है।
इस प्रकार,सारणिक का मान $0$ है।

(A) दिया गया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & 1 & 0 \\ 0 & 2 \cos x & 3 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$.
प्रथम स्तंभ $(C_1)$ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$f(x) = \cos x \cdot \left| \begin{array}{cc} 2 \cos x & 3 \\ 1 & 2 \cos x \end{array} \right| - 0 + 0$
$f(x) = \cos x \cdot ((2 \cos x)(2 \cos x) - (3)(1))$
$f(x) = \cos x (4 \cos^2 x - 3)$
$f(x) = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \cos 3x$
अब,सीमा की गणना करने पर:
$\lim_{x \rightarrow \pi} f(x) = \lim_{x \rightarrow \pi} \cos 3x = \cos(3\pi)$
चूंकि $\cos(3\pi) = -1$,अतः सीमा $-1$ है।

(D) दिया है $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \sin x & \cos x & \tan x \\ x^3 & x^2 & x \\ 2x & 1 & x \end{array} \right|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = \sin x(x^3 - x) - \cos x(x^4 - 2x^2) + \tan x(x^3 - 2x^4)$.
हमें $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}$ ज्ञात करना है।
$\frac{f(x)}{x^2} = \frac{\sin x}{x} (x^2 - 1) - \cos x (x^2 - 2) + \frac{\tan x}{x} (x^2 - 2x^3)$.
$x \to 0$ सीमा लेने पर:
$= (1)(0 - 1) - (1)(0 - 2) + (1)(0 - 0)$.
$= -1 + 2 + 0 = 1$.