Properties of determinants Questions in Hindi

(B) माना कि $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a - b & b - c & c - a \\ x - y & y - z & z - x \\ p - q & q - r & r - p \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} (a - b) + (b - c) + (c - a) & b - c & c - a \\ (x - y) + (y - z) + (z - x) & y - z & z - x \\ (p - q) + (q - r) + (r - p) & q - r & r - p \end{array} \right|$
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & b - c & c - a \\ 0 & y - z & z - x \\ 0 & q - r & r - p \end{array} \right|$
चूंकि पहले स्तंभ के सभी अवयव $0$ हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(A) माना कि $\Delta = \left| \begin{matrix} 1 & a & {{a}^{2}}-bc \\ 1 & b & {{b}^{2}}-ac \\ 1 & c & {{c}^{2}}-ab \end{matrix} \right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \to R_1 - R_2$ और $R_2 \to R_2 - R_3$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{matrix} 0 & a-b & (a^2-bc) - (b^2-ac) \\ 0 & b-c & (b^2-ac) - (c^2-ab) \\ 1 & c & {{c}^{2}}-ab \end{matrix} \right|$
तीसरे स्तंभ के तत्वों का सरलीकरण करने पर:
$(a^2-bc) - (b^2-ac) = (a^2-b^2) + (ac-bc) = (a-b)(a+b) + c(a-b) = (a-b)(a+b+c)$
$(b^2-ac) - (c^2-ab) = (b^2-c^2) + (ab-ac) = (b-c)(b+c) + a(b-c) = (b-c)(a+b+c)$
इन मानों को वापस रखने पर:
$\Delta = \left| \begin{matrix} 0 & a-b & (a-b)(a+b+c) \\ 0 & b-c & (b-c)(a+b+c) \\ 1 & c & {{c}^{2}}-ab \end{matrix} \right|$
$R_1$ से $(a-b)$ और $R_2$ से $(b-c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a-b)(b-c) \left| \begin{matrix} 0 & 1 & a+b+c \\ 0 & 1 & a+b+c \\ 1 & c & {{c}^{2}}-ab \end{matrix} \right|$
चूंकि $R_1$ और $R_2$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(D) माना कि सारणिक $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 5 & \pi \\ {{\log }_e}e & 5 & {\sqrt 5 } \\ {{\log }_{10}}10 & 5 & e \end{array}} \right|$ है।
चूंकि ${{\log }_e}e = 1$ और ${{\log }_{10}}10 = 1$ है,हम सारणिक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 5 & \pi \\ 1 & 5 & {\sqrt 5 } \\ 1 & 5 & e \end{array}} \right|$.
इस सारणिक में,पहला स्तंभ $C_1$ और दूसरा स्तंभ $C_2$ संबंध $C_2 = 5 \times C_1$ का पालन करते हैं।
चूंकि दो स्तंभ समानुपाती हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(A) माना $D = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{array} \right|$.
$C_1 \to C_1 + C_2$ संक्रिया लगाने पर,हमें $D = \left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \\ 4 & 3 & 6 \end{array} \right|$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $B$ है।
मूल सारणिक में $C_2 \to C_2 + C_3$ संक्रिया लगाने पर,हमें $D = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \\ 1 & 9 & 6 \end{array} \right|$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $C$ है।
मूल सारणिक में $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ संक्रिया लगाने पर,हमें $D = \left| \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ 6 & 2 & 3 \\ 10 & 3 & 6 \end{array} \right|$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $D$ है।
विकल्प $A$ है $\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 6 \end{array} \right| = 2 \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{array} \right| = 2D \neq D$ है।
अतः,सारणिक विकल्प $A$ के बराबर नहीं है।

(B) माना कि $\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} a - b - c & 2a & 2a \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{array}} \right|$.
संक्रिया $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} a + b + c & a + b + c & a + b + c \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{array}} \right|$.
$R_1$ से $(a + b + c)$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = (a + b + c) \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2b & b - c - a & 2b \\ 2c & 2c & c - a - b \end{array}} \right|$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = (a + b + c) \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2b & -(a + b + c) & 0 \\ 2c & 0 & -(a + b + c) \end{array}} \right|$.
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = (a + b + c) [1 \cdot (-(a + b + c)) \cdot (-(a + b + c)) - 0] = (a + b + c)^3$.

(D) माना कि $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b}&{a + 2b}&{a + 3b}\\{a + 2b}&{a + 3b}&{a + 4b}\\{a + 4b}&{a + 5b}&{a + 6b}\end{array}} \right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_2$ को लागू करने पर:
$R_2 - R_1 = (a+2b)-(a+b) = b, (a+3b)-(a+2b) = b, (a+4b)-(a+3b) = b$.
$R_3 - R_2 = (a+4b)-(a+2b) = 2b, (a+5b)-(a+3b) = 2b, (a+6b)-(a+4b) = 2b$.
अतः,$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b}&{a + 2b}&{a + 3b}\\b&b&b\\2b&2b&2b\end{array}} \right|$.
चूंकि $R_2$ और $R_3$ समानुपाती हैं (विशेष रूप से,$R_3 = 2R_2$),इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
वैकल्पिक रूप से,$a = 1$ और $b = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,सारणिक $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3&4\\3&4&5\\5&6&7\end{array}} \right| = 2(28-30) - 3(21-25) + 4(18-20) = 2(-2) - 3(-4) + 4(-2) = -4 + 12 - 8 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{x + 2}&{x + 4}\\{x + 3}&{x + 5}&{x + 8}\\{x + 7}&{x + 10}&{x + 14}\end{array}} \right|$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_2$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{1}&{2}\\{x + 3}&{2}&{3}\\{x + 7}&{3}&{4}\end{array}} \right|$.
$C_3 \to C_3 - C_2$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{1}&{1}\\{x + 3}&{2}&{1}\\{x + 7}&{3}&{1}\end{array}} \right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_2$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{1}&{1}\\{2}&{1}&{0}\\{4}&{1}&{0}\end{array}} \right|$.
$C_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1 \times (2 - 4) = -2$.
अतः,सारणिक का मान $-2$ है।

(C) माना सारणिक $\Delta$ है।
स्तंभों से उभयनिष्ठ पदों को बाहर निकालने पर:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}b(b - a)&(b - c)&c(b - a)\\a(b - a)&(a - b)&b(a - b)\\c(b - a)&(c - a)&a(b - a)\end{array}} \right|$
$C_1$ से $(b-a)$ और $C_3$ से $(a-b)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (b-a)(a-b) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}b&(b - c)&-c\\a&(a - b)&-b\\c&(c - a)&-a\end{array}} \right|$
चूँकि $(b-a)(a-b) = -(a-b)^2$:
$\Delta = -(a-b)^2 \left| {\begin{array}{*{20}{c}}b&(b - c)&-c\\a&(a - b)&-b\\c&(c - a)&-a\end{array}} \right|$
$C_2 \to C_2 + C_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = -(a-b)^2 \left| {\begin{array}{*{20}{c}}b&b&-c\\a&a&-b\\c&c&-a\end{array}} \right|$
चूँकि $C_1$ और $C_2$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(D) सारणिक $\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 1/a & a^2 & bc \\ 1/b & b^2 & ca \\ 1/c & c^2 & ab \end{array}} \right|$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम इसे $abc$ से गुणा और भाग करते हैं:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| {\begin{array}{ccc} 1 & a^3 & abc \\ 1 & b^3 & abc \\ 1 & c^3 & abc \end{array}} \right|$
अब,तीसरे स्तंभ से $abc$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = \frac{abc}{abc} \left| {\begin{array}{ccc} 1 & a^3 & 1 \\ 1 & b^3 & 1 \\ 1 & c^3 & 1 \end{array}} \right|$
चूंकि पहला स्तंभ और तीसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(C) माना $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2} + {c^2}}&{{a^2}}&{{a^2}}\\{{b^2}}&{{c^2} + {a^2}}&{{b^2}}\\{{c^2}}&{{c^2}}&{{a^2} + {b^2}}\end{array}} \right|$.
संक्रिया ${R_1} \to {R_1} - ({R_2} + {R_3})$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{-2{c^2}}&{-2{c^2}}&{0}\\{{b^2}}&{{c^2} + {a^2}}&{{b^2}}\\{{c^2}}&{{c^2}}&{{a^2} + {b^2}}\end{array}} \right|$.
सारणिक का सरलीकरण करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 4{a^2}{b^2}{c^2}$.
ट्रिक: यदि हम $a=1, b=2, c=3$ रखें तो:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{13}&1&1\\4&10&4\\9&9&5\end{array}} \right| = 144$.
विकल्पों की जाँच करने पर: $4{a^2}{b^2}{c^2} = 4(1)^2(2)^2(3)^2 = 144$. अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} y + z & x & y \\ z + x & z & x \\ x + y & y & z \end{array} \right|$.
$R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 2(x + y + z) & x + y + z & x + y + z \\ z + x & z & x \\ x + y & y & z \end{array} \right|$
$= (x + y + z) \left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ z + x & z & x \\ x + y & y & z \end{array} \right|$.
$C_1 \to C_1 - C_2$ और $C_2 \to C_2 - C_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$= (x + y + z) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ x - z & z - x & x \\ x - y & y - z & z \end{array} \right|$
$= (x + y + z) [1((z - x)z - x(y - z)) + 1((x - z)(y - z) - (x - y)(z - x))]$.
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $\Delta = (x + y + z)(x - z)^2$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $k(x + y + z)(x - z)^2$ से करने पर,$k = 1$ प्राप्त होता है।

(A) हमें सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & a^3 + 1 \\ b & b^2 & b^3 + 1 \\ c & c^2 & c^3 + 1 \end{array} \right|$ दिया गया है।
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके,हम तीसरे स्तंभ को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right|$.
पहले सारणिक से $abc$ कॉमन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = abc \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array} \right|$.
दूसरे सारणिक में,पहले सारणिक से मिलान करने के लिए स्तंभों की अदला-बदली करें: $C_3 \leftrightarrow C_2$ और फिर $C_2 \leftrightarrow C_1$। इससे दो बार चिह्न बदलेंगे,इसलिए चिह्न धनात्मक ही रहेगा:
$\Delta = abc \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right| = (1 + abc) \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right|$.
सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array} \right|$ का मान $(a - b)(b - c)(c - a)$ होता है।
अतः,$\Delta = (1 + abc)(a - b)(b - c)(c - a) = 0$.
चूंकि $a, b, c$ असमान हैं,इसलिए $(a - b)(b - c)(c - a) \neq 0$.
इसलिए,शर्त $1 + abc = 0$ है।

(C) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & b + c \\ 1 & b & c + a \\ 1 & c & a + b \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_3 \to C_3 + C_2$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & a + b + c \\ 1 & b & a + b + c \\ 1 & c & a + b + c \end{array} \right|$.
$C_3$ से $(a + b + c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a + b + c) \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & c & 1 \end{array} \right|$.
चूँकि स्तंभ $C_1$ और स्तंभ $C_3$ समान हैं $(C_1 = C_3)$,इसलिए सारणिक का मान $0$ होगा।
अतः,$\Delta = (a + b + c) \times 0 = 0$.

(D) सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} b^2c^2 & bc & b+c \\ c^2a^2 & ca & c+a \\ a^2b^2 & ab & a+b \end{array} \right|$ का मान ज्ञात करने के लिए,$R_1$ को $a$ से,$R_2$ को $b$ से और $R_3$ को $c$ से गुणा करते हैं और सारणिक को $abc$ से विभाजित करते हैं:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} ab^2c^2 & abc & a(b+c) \\ a^2bc^2 & abc & b(c+a) \\ a^2b^2c & abc & c(a+b) \end{array} \right|$
$C_1$ से $abc$ और $C_2$ से $abc$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = \frac{abc \cdot abc}{abc} \left| \begin{array}{ccc} bc & 1 & ab+ac \\ ac & 1 & bc+ab \\ ab & 1 & ac+bc \end{array} \right| = abc \left| \begin{array}{ccc} bc & 1 & ab+ac \\ ac & 1 & bc+ab \\ ab & 1 & ac+bc \end{array} \right|$
अब $C_3 \to C_3 + C_1$ संक्रिया लागू करने पर,$C_3$ के प्रत्येक अवयव में $ab+bc+ca$ प्राप्त होता है:
$\Delta = abc \left| \begin{array}{ccc} bc & 1 & ab+bc+ca \\ ac & 1 & ab+bc+ca \\ ab & 1 & ab+bc+ca \end{array} \right|$
$C_3$ से $(ab+bc+ca)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = abc(ab+bc+ca) \left| \begin{array}{ccc} bc & 1 & 1 \\ ac & 1 & 1 \\ ab & 1 & 1 \end{array} \right|$
चूँकि $C_2$ और $C_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(D) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ b+c & c+a & a+b \\ b+c-a & c+a-b & a+b-c \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रियाओं $C_1 \to C_1 - C_2$ और $C_2 \to C_2 - C_3$ का प्रयोग करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1-1 & 1-1 & 1 \\ (b+c)-(c+a) & (c+a)-(a+b) & a+b \\ (b+c-a)-(c+a-b) & (c+a-b)-(a+b-c) & a+b-c \end{array} \right|$
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ b-a & c-b & a+b \\ 2b-2a & 2c-2b & a+b-c \end{array} \right|$
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ b-a & c-b & a+b \\ 2(b-a) & 2(c-b) & a+b-c \end{array} \right|$
चूंकि पहले दो स्तंभ समानुपाती हैं (तीसरी पंक्ति पहले दो स्तंभों में दूसरी पंक्ति की $2$ गुनी है),इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(D) सारणिक के गुणधर्म के अनुसार,यदि किसी सारणिक की एक पंक्ति (या स्तंभ) के प्रत्येक अवयव को एक अचर $k$ से गुणा किया जाता है,तो उसका मान $k$ से गुणा हो जाता है।
चूंकि दिए गए $3 \times 3$ सारणिक में $3$ पंक्तियाँ हैं,हम प्रत्येक पंक्ति से $k$ को उभयनिष्ठ (common) ले सकते हैं।
$\begin{vmatrix} ka & kb & kc \\ kx & ky & kz \\ kp & kq & kr \end{vmatrix} = k \cdot k \cdot k \begin{vmatrix} a & b & c \\ x & y & z \\ p & q & r \end{vmatrix} = k^3 \Delta$.

(D) माना $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a - 1}&a&{bc}\\{b - 1}&b&{ca}\\{c - 1}&c&{ab}\end{array}} \right|$ है।
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करके,हम सारणिक को इस प्रकार विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&a&{bc}\\b&b&{ca}\\c&c&{ab}\end{array}} \right| - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&a&{bc}\\1&b&{ca}\\1&c&{ab}\end{array}} \right|$।
पहला सारणिक $0$ है क्योंकि पहले दो स्तंभ समान हैं।
अतः,$\Delta = 0 - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&a&{bc}\\1&b&{ca}\\1&c&{ab}\end{array}} \right| = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&a&{bc}\\1&b&{ca}\\1&c&{ab}\end{array}} \right|$।
$R_1$ को $a$ से,$R_2$ को $b$ से और $R_3$ को $c$ से गुणा करके $abc$ से भाग देने पर:
$\Delta = - \frac{1}{abc} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{a^2}&{abc}\\b&{b^2}&{abc}\\c&{c^2}&{abc}\end{array}} \right| = - \frac{abc}{abc} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{a^2}&1\\b&{b^2}&1\\c&{c^2}&1\end{array}} \right| = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{a^2}&1\\b&{b^2}&1\\c&{c^2}&1\end{array}} \right|$।
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{a^2}&1\\b-a&{b^2-a^2}&0\\c-a&{c^2-a^2}&0\end{array}} \right| = - (b-a)(c-a) \left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&{a^2}&1\\1&{b+a}&0\\1&{c+a}&0\end{array}} \right|$।
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = - (b-a)(c-a) [1 \cdot ((c+a) - (b+a))] = - (b-a)(c-a)(c-b) = (a-b)(b-c)(c-a)$।
चूंकि यह परिणाम विकल्पों $A, B, C$ में नहीं है,इसलिए सही उत्तर $D$ है।

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a_1 & m a_1 & b_1 \\ a_2 & m a_2 & b_2 \\ a_3 & m a_3 & b_3 \end{array} \right|$ है।
दूसरे स्तंभ $(C_2)$ से उभयनिष्ठ गुणनखंड $m$ बाहर लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = m \left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_1 & b_1 \\ a_2 & a_2 & b_2 \\ a_3 & a_3 & b_3 \end{array} \right|$.
चूंकि पहला स्तंभ $(C_1)$ और दूसरा स्तंभ $(C_2)$ समान हैं $(C_1 = C_2)$,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,$\Delta = m \times 0 = 0$.

(B) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 2 & 8 & 4 \\ -5 & 6 & -10 \\ 1 & 7 & 2 \end{array} \right|$.
हम देख सकते हैं कि तीसरा स्तंभ $C_3$,पहले स्तंभ $C_1$ का $2$ गुना है,अर्थात $C_3 = 2 \times C_1$.
तीसरे स्तंभ $C_3$ से $2$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = 2 \times \left| \begin{array}{ccc} 2 & 8 & 2 \\ -5 & 6 & -5 \\ 1 & 7 & 1 \end{array} \right|$.
चूंकि दो स्तंभ ($C_1$ और $C_3$) समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,$\Delta = 2 \times 0 = 0$.

(B) सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a^2 + x & ab & ac \\ ab & b^2 + x & bc \\ ac & bc & c^2 + x \end{vmatrix}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम $R_1$ को $a$ से,$R_2$ को $b$ से,और $R_3$ को $c$ से गुणा करते हैं और सारणिक को $abc$ से विभाजित करते हैं:
$\Delta = \frac{1}{abc} \begin{vmatrix} a(a^2 + x) & a^2b & a^2c \\ ab^2 & b(b^2 + x) & b^2c \\ ac^2 & bc^2 & c(c^2 + x) \end{vmatrix}$
क्रमशः $C_1, C_2, C_3$ से $a, b, c$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = \frac{abc}{abc} \begin{vmatrix} a^2 + x & a^2 & a^2 \\ b^2 & b^2 + x & b^2 \\ c^2 & c^2 & c^2 + x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a^2 + x & a^2 & a^2 \\ b^2 & b^2 + x & b^2 \\ c^2 & c^2 & c^2 + x \end{vmatrix}$
$R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} a^2 + b^2 + c^2 + x & a^2 + b^2 + c^2 + x & a^2 + b^2 + c^2 + x \\ b^2 & b^2 + x & b^2 \\ c^2 & c^2 & c^2 + x \end{vmatrix}$
$R_1$ से $(a^2 + b^2 + c^2 + x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (a^2 + b^2 + c^2 + x) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b^2 & b^2 + x & b^2 \\ c^2 & c^2 & c^2 + x \end{vmatrix}$
$C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = (a^2 + b^2 + c^2 + x) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ b^2 & x & 0 \\ c^2 & 0 & x \end{vmatrix} = (a^2 + b^2 + c^2 + x)(x^2)$
अतः,$\Delta$,$x^2$ से विभाज्य है।

(D) सारणिक के गुणों का उपयोग करते हुए,हम सारणिक $D'$ को सारणिकों के योग के रूप में विभाजित कर सकते हैं।
$D' = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} pb_1 & qc_1 & ra_1 \\ pb_2 & qc_2 & ra_2 \\ pb_3 & qc_3 & ra_3 \end{vmatrix}$
$D' = D + pqr \begin{vmatrix} b_1 & c_1 & a_1 \\ b_2 & c_2 & a_2 \\ b_3 & c_3 & a_3 \end{vmatrix}$
स्तंभों की अदला-बदली करने पर,$\begin{vmatrix} b_1 & c_1 & a_1 \\ b_2 & c_2 & a_2 \\ b_3 & c_3 & a_3 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} a_1 & c_1 & b_1 \\ a_2 & c_2 & b_2 \\ a_3 & c_3 & b_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = D$.
अतः,$D' = D + pqrD = D(1 + pqr)$.

(B) माना कि $\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} a + b & b + c & c + a \\ b + c & c + a & a + b \\ c + a & a + b & b + c \end{array}} \right|$.
$R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 2(a+b+c) & 2(a+b+c) & 2(a+b+c) \\ b + c & c + a & a + b \\ c + a & a + b & b + c \end{array}} \right| = 2(a+b+c) \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ b + c & c + a & a + b \\ c + a & a + b & b + c \end{array}} \right|$.
$C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = 2(a+b+c) \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ b + c & a - b & a - c \\ c + a & b - c & b - a \end{array}} \right| = 2(a+b+c) [-(a-b)^2 - (a-c)(b-c)] = -2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$.
यह $-2(a^3+b^3+c^3-3abc)$ में सरल हो जाता है।
अब,सारणिक $D = \left| {\begin{array}{ccc} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array}} \right| = a(bc-a^2) - b(b^2-ac) + c(ab-c^2) = -(a^3+b^3+c^3-3abc)$.
$\Delta = K \cdot D$ की तुलना करने पर,हमें $-2(a^3+b^3+c^3-3abc) = K \cdot -(a^3+b^3+c^3-3abc)$ प्राप्त होता है,इसलिए $K = 2$.

(A) माना $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}}&{{b^2}}&{{c^2}}\\{{{(a + 1)}^2}}&{{{(b + 1)}^2}}&{{{(c + 1)}^2}}\\{{{(a - 1)}^2}}&{{{(b - 1)}^2}}&{{{(c - 1)}^2}}\end{array}} \right|$.
संक्रिया $R_2 \to R_2 - R_3$ लागू करने पर:
चूँकि $(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x$,सारणिक इस प्रकार होगा:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}}&{{b^2}}&{{c^2}}\\4a&4b&4c\\{{{(a - 1)}^2}}&{{{(b - 1)}^2}}&{{{(c - 1)}^2}}\end{array}} \right| = 4 \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}}&{{b^2}}&{{c^2}}\\a&b&c\\{{{(a - 1)}^2}}&{{{(b - 1)}^2}}&{{{(c - 1)}^2}}\end{array}} \right|$.
अब,$R_3 \to R_3 - R_1 + 2R_2$ लागू करने पर:
ध्यान दें कि $(x-1)^2 - x^2 + 2x = x^2 - 2x + 1 - x^2 + 2x = 1$.
अतः,तीसरी पंक्ति $1, 1, 1$ बन जाती है।
इसलिए,$\Delta = 4 \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2}}&{{b^2}}&{{c^2}}\\a&b&c\\1&1&1\end{array}} \right|$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना कि $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 11 & 12 & 13 \\ 12 & 13 & 14 \\ 13 & 14 & 15 \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_2$ का प्रयोग करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 11 & 12-11 & 13-12 \\ 12 & 13-12 & 14-13 \\ 13 & 14-13 & 15-14 \end{array} \right|$
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 11 & 1 & 1 \\ 12 & 1 & 1 \\ 13 & 1 & 1 \end{array} \right|$.
चूंकि दो स्तंभ ($C_2$ और $C_3$) समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(D) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} x & 4 & y + z \\ y & 4 & z + x \\ z & 4 & x + y \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_3$ लागू करें:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} x + y + z & 4 & y + z \\ y + z + x & 4 & z + x \\ z + x + y & 4 & x + y \end{array} \right|$.
$C_1$ से $(x + y + z)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = (x + y + z) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 4 & y + z \\ 1 & 4 & z + x \\ 1 & 4 & x + y \end{array} \right|$.
चूंकि $C_1$ और $C_2$ समानुपाती हैं (या विशेष रूप से,$C_1$ सदिश $(1, 1, 1)^T$ का गुणज है और $C_2$ उसी सदिश का $4$ गुना है),इसलिए दो स्तंभ रैखिक रूप से आश्रित हैं।
अतः,सारणिक का मान $0$ है।

(A) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \sin^2 x & \cos^2 x & 1 \\ \cos^2 x & \sin^2 x & 1 \\ -10 & 12 & 2 \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} \sin^2 x + \cos^2 x & \cos^2 x & 1 \\ \cos^2 x + \sin^2 x & \sin^2 x & 1 \\ -10 + 12 & 12 & 2 \end{array} \right|$
चूंकि $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$,इसलिए:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \cos^2 x & 1 \\ 1 & \sin^2 x & 1 \\ 2 & 12 & 2 \end{array} \right|$
इस सारणिक में,स्तंभ $C_1$ और स्तंभ $C_3$ समान हैं (दोनों $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ हैं)।
सारणिक के गुणों के अनुसार,यदि कोई भी दो स्तंभ समान हों,तो सारणिक का मान $0$ होता है।
अतः,$\Delta = 0$.

(A) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ {a^2 - bc} & {b^2 - ac} & {c^2 - ab} \end{array}} \right|$ है।
हम सारणिक को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}} \right| - \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ bc & ac & ab \end{array}} \right|$.
दूसरे सारणिक के लिए,$R_1$ को $a$ से,$R_2$ को $b$ से और $R_3$ को $c$ से गुणा करें और $abc$ से भाग दें:
$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}} \right| - \frac{1}{abc} \left| {\begin{array}{ccc} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ abc & abc & abc \end{array}} \right|$.
दूसरे सारणिक में $R_3$ से $abc$ कॉमन लेने पर:
$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}} \right| - \frac{abc}{abc} \left| {\begin{array}{ccc} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}} \right|$.
पंक्तियों को आपस में बदलकर पहले सारणिक से मिलान करने पर,हम देखते हैं कि दोनों सारणिक समान हैं।
अतः,$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}} \right| - \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{array}} \right| = 0$.
इसलिए,$2 \times \Delta = 2 \times 0 = 0$.

(B) दिया गया सारणिक $\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1+ac & 1+bc \\ 1 & 1+ad & 1+bd \\ 1 & 1+ae & 1+be \end{array}} \right|$ है।
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ का प्रयोग करने पर:
$\Delta = \left| {\begin{array}{ccc} 1 & ac & bc \\ 1 & ad & bd \\ 1 & ae & be \end{array}} \right|$.
अब,$C_2$ से $a$ और $C_3$ से $b$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = ab \left| {\begin{array}{ccc} 1 & c & c \\ 1 & d & d \\ 1 & e & e \end{array}} \right|$.
चूंकि स्तंभ $C_2$ और स्तंभ $C_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(A) माना कि $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 13 & 16 & 19 \\ 14 & 17 & 20 \\ 15 & 18 & 21 \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_2$ का प्रयोग करने पर:
$C_2 \to C_2 - C_1 = \begin{bmatrix} 16-13 \\ 17-14 \\ 18-15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix}$.
$C_3 \to C_3 - C_2 = \begin{bmatrix} 19-16 \\ 20-17 \\ 21-18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{bmatrix}$.
अब सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 13 & 3 & 3 \\ 14 & 3 & 3 \\ 15 & 3 & 3 \end{array} \right|$ हो जाता है।
चूंकि स्तंभ $C_2$ और स्तंभ $C_3$ समान हैं $(C_2 = C_3)$,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(B) माना कि $\Delta_1 = \begin{vmatrix} x & 2y & z \\ 2p & 4q & 2r \\ a & 2b & c \end{vmatrix}$ है।
हम दूसरे स्तंभ $(C_2)$ से $2$ कॉमन ले सकते हैं:
$\Delta_1 = 2 \begin{vmatrix} x & y & z \\ 2p & 2q & 2r \\ a & b & c \end{vmatrix}$।
इसके बाद,हम दूसरी पंक्ति $(R_2)$ से $2$ कॉमन ले सकते हैं:
$\Delta_1 = 2 \times 2 \begin{vmatrix} x & y & z \\ p & q & r \\ a & b & c \end{vmatrix}$।
अतः,$\Delta_1 = 4\Delta$ प्राप्त होता है।

(D) माना $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {x^2}}&{ab}&{ca}\\{ab}&{{b^2} + {x^2}}&{bc}\\{ca}&{bc}&{{c^2} + {x^2}}\end{array}} \right|$.
$C_1, C_2, C_3$ को क्रमशः $a, b, c$ से गुणा करने पर और सारणिक को $abc$ से भाग देने पर:
$\Delta = \frac{1}{{abc}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{a({a^2} + {x^2})}&{ab^2}&{ac^2}\\{a^2b}&{b({b^2} + {x^2})}&{bc^2}\\{a^2c}&{b^2c}&{c({c^2} + {x^2})}\end{array}} \right|$.
$R_1, R_2, R_3$ से क्रमशः $a, b, c$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = \frac{abc}{abc}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {x^2}}&{b^2}&{c^2}\\{a^2}&{{b^2} + {x^2}}&{c^2}\\{a^2}&{b^2}&{{c^2} + {x^2}}\end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + {x^2}}&{b^2}&{c^2}\\{a^2}&{{b^2} + {x^2}}&{c^2}\\{a^2}&{b^2}&{{c^2} + {x^2}}\end{array}} \right|$.
$C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = ({a^2} + {b^2} + {c^2} + {x^2})\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{b^2}&{c^2}\\1&{{b^2} + {x^2}}&{c^2}\\1&{b^2}&{{c^2} + {x^2}}\end{array}} \right|$.
$R_1$ को $R_2$ और $R_3$ से घटाने पर:
$\Delta = ({a^2} + {b^2} + {c^2} + {x^2})\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{b^2}&{c^2}\\0&{x^2}&{0}\\0&{0}&{x^2}\end{array}} \right| = ({a^2} + {b^2} + {c^2} + {x^2}) \cdot x^4$.
अतः,सारणिक ${x^4}$ से विभाज्य है।

(B) माना $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1&1\\{\cos nx}&{\cos (n + 1)x}&{\cos (n + 2)x}\\{\sin nx}&{\sin (n + 1)x}&{\sin (n + 2)x}\end{array}} \right|$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = 1[\cos(n+1)x \sin(n+2)x - \sin(n+1)x \cos(n+2)x] - 1[\cos nx \sin(n+2)x - \sin nx \cos(n+2)x] + 1[\cos nx \sin(n+1)x - \sin nx \cos(n+1)x]$.
$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$\Delta = \sin((n+2)x - (n+1)x) - \sin((n+2)x - nx) + \sin((n+1)x - nx)$.
$\Delta = \sin(x) - \sin(2x) + \sin(x) = 2\sin x - \sin 2x$.
चूंकि परिणाम $2\sin x - \sin 2x$ में $n$ नहीं है,इसलिए सारणिक $n$ से स्वतंत्र है।

(D) दिया गया है कि $\left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ m & n & p \\ x & y & z \end{array} \right| = k$.
हमें $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 6a & 2b & 2c \\ 3m & n & p \\ 3x & y & z \end{array} \right|$ का मान ज्ञात करना है।
पंक्तियों और स्तंभों से उभयनिष्ठ गुणनखंड बाहर निकालने पर:
पहली पंक्ति से $2$ बाहर लेने पर: $\Delta = 2 \left| \begin{array}{ccc} 3a & b & c \\ 3m & n & p \\ 3x & y & z \end{array} \right|$.
पहले स्तंभ से $3$ बाहर लेने पर: $\Delta = 2 \times 3 \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ m & n & p \\ x & y & z \end{array} \right|$.
दिया गया मान $k$ प्रतिस्थापित करने पर: $\Delta = 6 \times k = 6k$.

(B) सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a + x & b & c \\ b & x + c & a \\ c & a & x + b \end{vmatrix}$ के गुणनखंड ज्ञात करने के लिए,हम स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करते हैं।
यह संक्रिया करने पर,पहला स्तंभ इस प्रकार हो जाता है:
$C_1 \to \begin{bmatrix} (a + x) + b + c \\ b + (x + c) + a \\ c + a + (x + b) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x + a + b + c \\ x + a + b + c \\ x + a + b + c \end{bmatrix}$.
अब,हम पहले स्तंभ से $(x + a + b + c)$ को उभयनिष्ठ (common) ले सकते हैं:
$\Delta = (x + a + b + c) \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & x + c & a \\ 1 & a & x + b \end{vmatrix}$.
चूंकि $(x + a + b + c)$ सारणिक का एक गुणनखंड है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया सारणिक $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(b + c)}^2}}&{{a^2}}&{{a^2}}\\{{b^2}}&{{{(c + a)}^2}}&{{b^2}}\\{{c^2}}&{{c^2}}&{{{(a + b)}^2}}\end{array}} \right|$ है।
$C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(b + c)}^2}}&{{a^2} - {{(b + c)}^2}}&{{a^2} - {{(b + c)}^2}}\\{{b^2}}&{{{(c + a)}^2} - {b^2}}&0\\{{c^2}}&0&{{{(a + b)}^2} - {c^2}}\end{array}} \right|$
$= \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(b + c)}^2}}&{(a - b - c)(a + b + c)}&{(a - b - c)(a + b + c)}\\{{b^2}}&{(c + a - b)(c + a + b)}&0\\{{c^2}}&0&{(a + b - c)(a + b + c)}\end{array}} \right|$
$C_2$ और $C_3$ से $(a + b + c)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = {(a + b + c)^2} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(b + c)}^2}}&{a - b - c}&{a - b - c}\\{{b^2}}&{c + a - b}&0\\{{c^2}}&0&{a + b - c}\end{array}} \right|$
$R_1 \to R_1 - R_2 - R_3$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = {(a + b + c)^2} \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2bc}&{ - 2c}&{ - 2b}\\{{b^2}}&{c + a - b}&0\\{{c^2}}&0&{a + b - c}\end{array}} \right|$
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = {(a + b + c)^2} [2bc((c + a - b)(a + b - c)) + 2c(b^2(a + b - c)) - 2b(b^2(c + a - b)) ]$
सरलीकरण करने पर,हमें $\Delta = 2abc{(a + b + c)^3}$ प्राप्त होता है।
$k\,abc{(a + b + c)^3}$ से तुलना करने पर,$k = 2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 41 & 42 & 43 \\ 44 & 45 & 46 \\ 47 & 48 & 49 \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_2$ को लागू करने पर:
$C_2 - C_1 = \begin{bmatrix} 42-41 \\ 45-44 \\ 48-47 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$
$C_3 - C_2 = \begin{bmatrix} 43-42 \\ 46-45 \\ 49-48 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$
अतः,$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 41 & 1 & 1 \\ 44 & 1 & 1 \\ 47 & 1 & 1 \end{array} \right|$.
चूंकि दो स्तंभ ($C_2$ और $C_3$) समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(A) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1/a & 1 & bc \\ 1/b & 1 & ca \\ 1/c & 1 & ab \end{array} \right|$.
$R_1$ को $a$ से,$R_2$ को $b$ से और $R_3$ को $c$ से गुणा करें और सारणिक को $abc$ से विभाजित करें:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & abc \\ 1 & b & abc \\ 1 & c & abc \end{array} \right|$.
तीसरे स्तंभ से $abc$ कॉमन लें:
$\Delta = \frac{abc}{abc} \left| \begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & c & 1 \end{array} \right|$.
चूंकि पहला और तीसरा स्तंभ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(A) माना कि दिया गया सारणिक $\Delta$ है।
सर्वसमिका $(p+q)^2 - (p-q)^2 = 4pq$ का उपयोग करते हुए,हम स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 - C_2$ लागू करते हैं:
$(a^x + a^{-x})^2 - (a^x - a^{-x})^2 = 4(a^x)(a^{-x}) = 4(a^0) = 4$.
इसी प्रकार,दूसरी और तीसरी पंक्ति के लिए,हमें $4$ और $4$ प्राप्त होता है।
अतः,सारणिक इस प्रकार हो जाता है:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 4 & (a^x - a^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (b^x - b^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (c^x - c^{-x})^2 & 1 \end{array} \right|$.
चूंकि स्तंभ $C_1$ और स्तंभ $C_3$ समानुपाती हैं (विशेष रूप से,$C_1 = 4C_3$),इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(B) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 441 & 442 & 443 \\ 445 & 446 & 447 \\ 449 & 450 & 451 \end{array} \right|$.
स्तंभ संक्रियाओं $C_1 \to C_1 - C_2$ और $C_2 \to C_2 - C_3$ को लागू करने पर:
$C_1 - C_2 = \begin{bmatrix} 441-442 \\ 445-446 \\ 449-450 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$.
$C_2 - C_3 = \begin{bmatrix} 442-443 \\ 446-447 \\ 450-451 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$.
अतः,सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} -1 & -1 & 443 \\ -1 & -1 & 447 \\ -1 & -1 & 451 \end{array} \right|$ हो जाता है।
चूंकि स्तंभ $C_1$ और $C_2$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(A) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left| \begin{array}{ccc} a & a^3 & a^4 - 1 \\ b & b^3 & b^4 - 1 \\ c & c^3 & c^4 - 1 \end{array} \right| = 0$.
सारणिक को दो भागों में विभाजित करने पर: $\left| \begin{array}{ccc} a & a^3 & a^4 \\ b & b^3 & b^4 \\ c & c^3 & c^4 \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a & a^3 & -1 \\ b & b^3 & -1 \\ c & c^3 & -1 \end{array} \right| = 0$.
पहले सारणिक से $abc$ कॉमन लेने पर: $abc \left| \begin{array}{ccc} 1 & a^2 & a^3 \\ 1 & b^2 & b^3 \\ 1 & c^2 & c^3 \end{array} \right| - \left| \begin{array}{ccc} a & a^3 & 1 \\ b & b^3 & 1 \\ c & c^3 & 1 \end{array} \right| = 0$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ को लागू करने पर,हम $(a-b)(b-c)(c-a)$ को कॉमन ले सकते हैं।
सरलीकरण के बाद,व्यंजक $(abc)(ab + bc + ca) = a + b + c$ के रूप में प्राप्त होता है।

(C) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{1 + {{\sin }^2}\theta }&{{{\sin }^2}\theta }&{{{\sin }^2}\theta }\\{{{\cos }^2}\theta }&{1 + {{\cos }^2}\theta }&{{{\cos }^2}\theta }\\{4\sin 4\theta }&{4\sin 4\theta }&{1 + 4\sin 4\theta }\end{array}} \right| = 0$
स्तंभ संक्रियाएँ $C_1 \to C_1 - C_3$ और $C_2 \to C_2 - C_3$ लागू करने पर:
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&{{{\sin }^2}\theta }\\{ - 1}&1&{{{\cos }^2}\theta }\\{ - 1}&{ - 1}&{1 + 4\sin 4\theta }\end{array}} \right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(1 + 4\sin 4\theta + \cos^2 \theta) + \sin^2 \theta(1 + 1) = 0$
$1 + 4\sin 4\theta + \cos^2 \theta + 2\sin^2 \theta = 0$
चूँकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,अतः:
$1 + 4\sin 4\theta + 1 + \sin^2 \theta = 0$ (सरल करने पर $2 + 4\sin 4\theta = 0$ प्राप्त होता है)।
$4\sin 4\theta = -2$
$\sin 4\theta = -1/2$.

(C) माना $r$ $G$.$P$. का सार्व अनुपात है। तब ${a_n} = {a_1}{r^{n-1}}$.
दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर,हमें $\log {a_n} = \log {a_1} + (n-1)\log r$ प्राप्त होता है।
माना $A = \log {a_1}$ और $R = \log r$ है। तब $\log {a_n} = A + (n-1)R$.
अब,सारणिक के पद $\log {a_{n+k}} = A + (n+k-1)R$ के रूप में हैं।
स्तंभ संक्रियाओं ${C_2} \to {C_2} - {C_1}$ और ${C_3} \to {C_3} - {C_2}$ को लागू करने पर:
${C_2} - {C_1}$ के अवयव: $(n+2-1)R - (n-1)R = 2R$,$(n+8-1)R - (n+6-1)R = 2R$,और $(n+14-1)R - (n+12-1)R = 2R$ प्राप्त होते हैं।
${C_3} - {C_2}$ के अवयव: $(n+4-1)R - (n+2-1)R = 2R$,$(n+10-1)R - (n+8-1)R = 2R$,और $(n+16-1)R - (n+14-1)R = 2R$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि स्तंभ ${C_2}$ और ${C_3}$ समान हो जाते हैं (दोनों में $2R$ है),इसलिए सारणिक $\Delta = 0$ है।

(C) दिया गया है ${D_r} = \left| \begin{array}{ccc} {2^{r - 1}} & {2 \cdot 3^{r - 1}} & {4 \cdot 5^{r - 1}} \\ x & y & z \\ {2^n} - 1 & {3^n} - 1 & {5^n} - 1 \end{array} \right|$.
सारणिक पर योग $\sum\limits_{r = 1}^n$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sum\limits_{r = 1}^n {D_r} = \left| \begin{array}{ccc} \sum\limits_{r = 1}^n {2^{r - 1}} & \sum\limits_{r = 1}^n {2 \cdot 3^{r - 1}} & \sum\limits_{r = 1}^n {4 \cdot 5^{r - 1}} \\ x & y & z \\ {2^n} - 1 & {3^n} - 1 & {5^n} - 1 \end{array} \right|$.
गुणोत्तर श्रेणी के योग सूत्र $\sum\limits_{k=0}^{n-1} ar^k = a\frac{r^n - 1}{r - 1}$ का उपयोग करते हुए:
$\sum\limits_{r = 1}^n {2^{r - 1}} = \frac{2^n - 1}{2 - 1} = 2^n - 1$.
$2\sum\limits_{r = 1}^n {3^{r - 1}} = 2 \cdot \frac{3^n - 1}{3 - 1} = 3^n - 1$.
$4\sum\limits_{r = 1}^n {5^{r - 1}} = 4 \cdot \frac{5^n - 1}{5 - 1} = 5^n - 1$.
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$\sum\limits_{r = 1}^n {D_r} = \left| \begin{array}{ccc} 2^n - 1 & 3^n - 1 & 5^n - 1 \\ x & y & z \\ 2^n - 1 & 3^n - 1 & 5^n - 1 \end{array} \right|$.
चूंकि पंक्ति $1$ $(R_1)$ और पंक्ति $3$ $(R_3)$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(C) दिया गया है कि $A$,$n$ कोटि का एक वर्ग आव्यूह है और $A = kB$ है,जहाँ $k$ एक अदिश है।
सारणिक के गुणधर्म के अनुसार,यदि हम $n$ कोटि के आव्यूह को एक अदिश $k$ से गुणा करते हैं,तो परिणामी आव्यूह का सारणिक मूल आव्यूह के सारणिक का $k^n$ गुना होता है।
अतः,$|A| = |kB| = k^n|B|$.

(A) $n$ कोटि के वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सारणिक का गुणधर्म $det(kA) = k^n det(A)$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि $A$,$n = 3$ कोटि का एक वर्ग आव्यूह है,इसलिए $det(-A) = det((-1)A)$ होगा।
$k = -1$ और $n = 3$ के लिए $det(kA) = k^n det(A)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$det(-A) = (-1)^3 det(A) = -1 \times det(A) = -det(A)$।
अतः,कथन $det(-A) = -det(A)$ सत्य है।

(A) हमें दो वर्ग आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$ दिए गए हैं।
सारणिकों के मूलभूत गुणों के अनुसार,समान कोटि के दो वर्ग आव्यूहों के गुणनफल का सारणिक उनके व्यक्तिगत सारणिकों के गुणनफल के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे $|AB| = |A| \times |B|$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।
अतः,सही गुण $|AB| = |A||B|$ है।

(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है और $|A| = 6$ है।
हमें $B = 5A^2$ दिया गया है।
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$n \times n$ आव्यूह $A$ और अदिश $k$ के लिए,$|kA| = k^n |A|$ होता है।
यहाँ,$n = 3$ है,इसलिए $|B| = |5A^2| = 5^3 |A^2|$।
चूंकि $|A^2| = |A|^2$,इसलिए $|B| = 125 \times |A|^2$।
$|A| = 6$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|B| = 125 \times (6)^2 = 125 \times 36$ प्राप्त होता है।
गुणनफल की गणना करने पर,$125 \times 36 = 4500$।
अतः,$B$ का सारणिक $4500$ है।

(D) दिया गया है $\Delta = \begin{vmatrix} 1 + a & 1 & 1 \\ 1 & 1 + b & 1 \\ 1 & 1 & 1 + c \end{vmatrix} = 0$.
$C_1, C_2, C_3$ से क्रमशः $a, b, c$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = abc \begin{vmatrix} \frac{1}{a} + 1 & \frac{1}{b} & \frac{1}{c} \\ \frac{1}{a} & \frac{1}{b} + 1 & \frac{1}{c} \\ \frac{1}{a} & \frac{1}{b} & \frac{1}{c} + 1 \end{vmatrix}$.
$C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = abc \begin{vmatrix} 1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} & \frac{1}{b} & \frac{1}{c} \\ 1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} & \frac{1}{b} + 1 & \frac{1}{c} \\ 1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} & \frac{1}{b} & \frac{1}{c} + 1 \end{vmatrix}$.
$C_1$ से $(1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = abc (1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \begin{vmatrix} 1 & \frac{1}{b} & \frac{1}{c} \\ 1 & \frac{1}{b} + 1 & \frac{1}{c} \\ 1 & \frac{1}{b} & \frac{1}{c} + 1 \end{vmatrix}$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = abc (1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \begin{vmatrix} 1 & \frac{1}{b} & \frac{1}{c} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$.
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर,$\Delta = abc (1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \times 1 = 0$.
चूंकि $a, b, c \neq 0$,इसलिए $abc \neq 0$. अतः,$1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = -1$.

(B) दिया गया सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} p & b & c \\ p + a & q + b & 2c \\ a & b & r \end{vmatrix} = 0$ है।
$R_2 \to R_2 - R_1$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\begin{vmatrix} p & b & c \\ a & q & c \\ a & b & r \end{vmatrix} = 0$.
अब,$R_2 \to R_2 - R_3$ और $R_1 \to R_1 - R_3$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} p - a & 0 & c - r \\ 0 & q - b & c - r \\ a & b & r \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(p - a)[(q - b)r - b(c - r)] + (c - r)[0 - a(q - b)] = 0$.
$(p - a)(q - b)r - (p - a)b(c - r) - a(q - b)(c - r) = 0$.
$(p - a)(q - b)(r - c)$ से विभाजित करने पर (चूंकि $p \ne a, q \ne b, r \ne c$):
$\frac{r}{r - c} + \frac{b}{q - b} + \frac{a}{p - a} = 0$.
$\frac{x}{x - y} = 1 + \frac{y}{x - y}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{p}{p - a} = 1 + \frac{a}{p - a}$.
अतः,$\frac{p}{p - a} + \frac{q}{q - b} + \frac{r}{r - c} = (1 + \frac{a}{p - a}) + (1 + \frac{b}{q - b}) + (1 + \frac{c}{r - c}) = 3 + (\frac{a}{p - a} + \frac{b}{q - b} + \frac{c}{r - c})$.
विस्तार से,हमें $\frac{a}{p - a} + \frac{b}{q - b} + \frac{c}{r - c} = -1$ प्राप्त हुआ।
इसलिए,$3 - 1 = 2$।

(A) $n$ कोटि के किसी भी वर्ग आव्यूह $A$ के लिए,सारणिक का गुणधर्म यह है कि $|kA| = k^n |A|$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि आव्यूह $A$ की कोटि $n = 3$ है और अदिश स्थिरांक $k = -2$ है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$|-2A| = (-2)^3 |A|$
$|-2A| = -8 |A|$
अतः,सही विकल्प $A$ है।