Minors and Co-factors, Product of determinants Questions in Hindi

(C) एक सारणिक का मान किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का उनके संगत सह-खंडों के साथ गुणनफलों के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यदि $A$ एक वर्ग आव्यूह है,तो सारणिक $|A|$ को $\sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = |A|$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a_{ij}$ $i$-वीं पंक्ति के अवयव हैं और $C_{ij}$ उनके संगत सह-खंड हैं।
अतः,एक सारणिक $A$ की किसी भी पंक्ति के अवयवों का उनके संगत सह-खंडों के साथ गुणनफलों का योग सारणिक के मान $|A|$ के बराबर होता है।

(B) अवयव $4$,$2$ री पंक्ति और $3$ रे स्तंभ में स्थित है $(a_{23} = 4)$।
सहखंड $C_{23}$ का मान $(-1)^{2+3} M_{23}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M_{23}$ उपसारणिक है जो $2$ री पंक्ति और $3$ रे स्तंभ को हटाने पर प्राप्त होता है।
$C_{23} = (-1)^5 \left| \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 1 \\ 8 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right|$
$C_{23} = -1 \times [1(0 \times 1 - 1 \times 2) - 3(8 \times 1 - 1 \times 0) + 1(8 \times 2 - 0 \times 0)]$
$C_{23} = -1 \times [1(-2) - 3(8) + 1(16)]$
$C_{23} = -1 \times [-2 - 24 + 16]$
$C_{23} = -1 \times [-10] = 10.$

(B) मान लीजिए कि $\Delta'$ सह-खंडों का दिया गया सारणिक है।
हम जानते हैं कि एक सारणिक और उसके सह-खंड आव्यूह के सारणिक का गुणनफल $\Delta \cdot \Delta' = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{vmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।
सारणिकों के गुणन के गुणधर्म के अनुसार,यह $\begin{vmatrix} a_1A_1 + b_1B_1 + c_1C_1 & a_1A_2 + b_1B_2 + c_1C_2 & a_1A_3 + b_1B_3 + c_1C_3 \\ a_2A_1 + b_2B_1 + c_2C_1 & a_2A_2 + b_2B_2 + c_2C_2 & a_2A_3 + b_2B_3 + c_2C_3 \\ a_3A_1 + b_3B_1 + c_3C_1 & a_3A_2 + b_3B_2 + c_3C_2 & a_3A_3 + b_3B_3 + c_3C_3 \end{vmatrix}$ के बराबर है।
इस गुणधर्म का उपयोग करते हुए कि एक पंक्ति के तत्वों का उनके संबंधित सह-खंडों के साथ गुणनफल का योग $\Delta$ होता है,और एक पंक्ति के तत्वों का दूसरी पंक्ति के सह-खंडों के साथ गुणनफल का योग $0$ होता है,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta \cdot \Delta' = \begin{vmatrix} \Delta & 0 & 0 \\ 0 & \Delta & 0 \\ 0 & 0 & \Delta \end{vmatrix}$।
इस विकर्ण सारणिक का मूल्यांकन करने पर,हमें $\Delta \cdot \Delta' = \Delta^3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\Delta' = \Delta^2$ (यदि $\Delta \neq 0$ है)।

(D) एक सारणिक का मान किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का उनके संबंधित सह-खंडों के साथ गुणनफल का योग होता है।
अतः,$a_1 A_1 + b_1 B_1 + c_1 C_1 = \Delta$,$a_2 A_2 + b_2 B_2 + c_2 C_2 = \Delta$,और $a_3 A_3 + b_3 B_3 + c_3 C_3 = \Delta$ होता है।
हालाँकि,किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का दूसरी पंक्ति (या स्तंभ) के सह-खंडों के साथ गुणनफल का योग हमेशा शून्य होता है।
इसलिए,$a_1 A_2 + b_1 B_2 + c_1 C_2 = 0$ होता है,न कि $\Delta$।
अतः,विकल्प $(d)$ में दिया गया संबंध गलत है।

(A) हम जानते हैं कि एक सारणिक $\Delta$ में अवयव $a_{ij}$ का सहखंड $A_{ij}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिए गए सारणिक $\Delta$ के लिए,सहखंड इस प्रकार हैं:
$B_2 = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1 c_3 - a_3 c_1$
$C_2 = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_3 & b_3 \end{vmatrix} = -(a_1 b_3 - a_3 b_1)$
$B_3 = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = -(a_1 c_2 - a_2 c_1)$
$C_3 = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1$
अब,सारणिक $D = \begin{vmatrix} B_2 & C_2 \\ B_3 & C_3 \end{vmatrix}$ पर विचार करें।
एडजॉइंट मैट्रिक्स के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी $3 \times 3$ मैट्रिक्स $M$ के लिए,सहखंड मैट्रिक्स का सारणिक $\Delta^{n-1}$ होता है,जहाँ $n=3$ है। अतः,सहखंड मैट्रिक्स के $2 \times 2$ माइनर का सारणिक $a_1 \Delta$ होता है।
मान रखने पर:
$D = (a_1 c_3 - a_3 c_1)(a_1 b_2 - a_2 b_1) - (-(a_1 b_3 - a_3 b_1))(-(a_1 c_2 - a_2 c_1))$
इस व्यंजक का विस्तार करने पर यह $a_1(a_1 b_2 c_3 - a_1 b_3 c_2 - b_1 a_2 c_3 + b_1 a_3 c_2 + c_1 a_2 b_3 - c_1 a_3 b_2) = a_1 \Delta$ में सरल हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) मान लीजिए $A$ एक $n \times n$ कोटि का वर्ग आव्यूह है। आव्यूह $C = [c_{ij}]$,$A$ का सहखंड आव्यूह है।
सहखंडज (adjoint) आव्यूह की परिभाषा के अनुसार,$adj(A) = C^T$,जहाँ $C^T$ सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) है।
हम जानते हैं कि $|adj(A)| = |A|^{n-1}$ होता है।
चूंकि किसी आव्यूह का सारणिक उसके परिवर्त के सारणिक के बराबर होता है,इसलिए $|C^T| = |C|$ है।
अतः,$|C| = |adj(A)| = |A|^{n-1}$।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(C) किसी अवयव $a_{ij}$ के सहखंड $C_{ij}$ को $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M_{ij}$ अवयव $a_{ij}$ का उपसारणिक (minor) है।
दूसरी पंक्ति $(i=2)$ के लिए:
$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 6 & 3 \\ -7 & 3 \end{vmatrix} = -1 \times (18 - (-21)) = -1 \times (18 + 21) = -39$.
$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ -4 & 3 \end{vmatrix} = 1 \times (15 - (-12)) = 1 \times (15 + 12) = 27$.
$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ -4 & -7 \end{vmatrix} = -1 \times (-35 - (-24)) = -1 \times (-35 + 24) = -1 \times (-11) = 11$.
अतः,सहखंड $-39, 27, 11$ हैं।

(B) माना सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} -1 & -2 & 3 \\ -4 & -5 & -6 \\ -7 & 8 & 9 \end{array} \right|$ है।
$1$. $-4$ का उपसारणिक (जो $a_{21}$ स्थान पर है):
$M_{21} = \left| \begin{array}{cc} -2 & 3 \\ 8 & 9 \end{array} \right| = (-2 \times 9) - (3 \times 8) = -18 - 24 = -42$.
$2$. $9$ का उपसारणिक (जो $a_{33}$ स्थान पर है):
$M_{33} = \left| \begin{array}{cc} -1 & -2 \\ -4 & -5 \end{array} \right| = (-1 \times -5) - (-2 \times -4) = 5 - 8 = -3$.
$3$. $-4$ का सहखंड $(C_{21})$:
$C_{21} = (-1)^{2+1} \times M_{21} = (-1)^3 \times (-42) = -1 \times -42 = 42$.
$4$. $9$ का सहखंड $(C_{33})$:
$C_{33} = (-1)^{3+3} \times M_{33} = (-1)^6 \times (-3) = 1 \times -3 = -3$.
अतः,उपसारणिक $-42$ और $-3$ हैं,और सहखंड $42$ और $-3$ हैं।

(B) दिए गए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} 1 & 17 \\ 0 & -10 \end{bmatrix}$ हैं।
हम जानते हैं कि समान कोटि के वर्ग आव्यूहों $A$ और $B$ के लिए,उनके गुणनफल का सारणिक उनके सारणिकों के गुणनफल के बराबर होता है,अर्थात $|AB| = |A| \times |B|$।
सबसे पहले,$A$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|A| = (3 \times 0) - (5 \times 2) = 0 - 10 = -10$।
इसके बाद,$B$ का सारणिक ज्ञात करें:
$|B| = (1 \times -10) - (17 \times 0) = -10 - 0 = -10$।
अब,$|AB|$ का मान ज्ञात करें:
$|AB| = |A| \times |B| = (-10) \times (-10) = 100$।

(C) $3 \times 3$ क्रम के दो सारणिकों का गुणनफल $3 \times 3$ क्रम के एक सारणिक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ प्रत्येक अवयव दो सारणिकों की पंक्तियों या स्तंभों के संगत अवयवों के गुणनफल का योग होता है।
विशेष रूप से,यदि हम ${\Delta _1}$ की पंक्तियों का ${\Delta _2}$ की पंक्तियों के साथ गुणा करते हैं,तो परिणामी सारणिक का प्रत्येक अवयव $(a_i \alpha_j + b_i \beta_j + c_i \gamma_j)$ के रूप में होता है।
चूंकि परिणामी $3 \times 3$ सारणिक के $9$ अवयवों में से प्रत्येक $3$ पदों का योग है,इसलिए हम सारणिक के रैखिकता गुण का उपयोग करके सारणिक का विस्तार कर सकते हैं।
$3 \times 3$ सारणिक के लिए,यदि प्रत्येक $9$ अवयव $3$ पदों का योग है,तो इस विस्तार द्वारा बनने वाले सारणिकों की कुल संख्या $3^3 = 27$ होती है।

(A) माना सारणिक $D = \left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & -3 & 0 \end{array} \right|$ है।
अवयव $-3$,$3$ री पंक्ति और $2$ रे स्तंभ में स्थित है,जिसे $a_{32} = -3$ के रूप में दर्शाया जाता है।
उपसारणिक $M_{32}$ को $3$ री पंक्ति और $2$ रे स्तंभ को हटाकर प्राप्त किया जाता है:
$M_{32} = \left| \begin{array}{cc} 0 & -2 \\ -1 & 3 \end{array} \right| = (0 \times 3) - (-1 \times -2) = 0 - 2 = -2$.
सहखंड $C_{32}$ का मान $(-1)^{3+2} \times M_{32} = (-1)^5 \times (-2) = -1 \times -2 = 2$ है।
सहखंड और उपसारणिक का अनुपात $\frac{C_{32}}{M_{32}} = \frac{2}{-2} = -1$ है।

(D) मान लीजिए कि $n = 3$ कोटि के आव्यूह $A$ के सारणिक का मान $\Delta$ है। दिया गया है कि $\Delta = 11$ है।
आव्यूह $A$ के सहखंडों द्वारा निर्मित सारणिक,जिसे $\Delta^c$ द्वारा दर्शाया जाता है,का गुणधर्म $\Delta^c = \Delta^{n-1}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\Delta^c = 11^{3-1} = 11^2 = 121$ प्राप्त होता है।
प्रश्न में सहखंडों द्वारा निर्मित सारणिक के वर्ग का मान पूछा गया है,जो $(\Delta^c)^2$ है।
अतः,अभीष्ट मान $(121)^2 = 14641$ होगा।

(D) अवयव $6$ दूसरी पंक्ति $(R_2)$ और तीसरे स्तंभ $(C_3)$ में स्थित है।
उपसारणिक $M_{23}$ ज्ञात करने के लिए,हम सारणिक $\Delta$ से दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ को हटा देते हैं।
इससे हमें $2 \times 2$ का सारणिक प्राप्त होता है:
$M_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}$.
इस सारणिक का मान ज्ञात करने पर:
$M_{23} = (1 \times 8) - (2 \times 7) = 8 - 14 = -6$.
अतः,अवयव $6$ का उपसारणिक $-6$ है।

(N/A) अवयव $a_{ij}$ का उपसारणिक $M_{ij}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिए गए सारणिक $\left|\begin{array}{rr}1 & -2 \\ 4 & 3\end{array}\right|$ के लिए:
$M_{11} = a_{11}$ का उपसारणिक $= 3$
$M_{12} = a_{12}$ का उपसारणिक $= 4$
$M_{21} = a_{21}$ का उपसारणिक $= -2$
$M_{22} = a_{22}$ का उपसारणिक $= 1$
अवयव $a_{ij}$ का सहखंड $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = (1)(3) = 3$
$A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = (-1)(4) = -4$
$A_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = (-1)(-2) = 2$
$A_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = (1)(1) = 1$

उपसारणिक और सहखंड की परिभाषा के अनुसार,हमारे पास है:
$1$. $a_{11}$ का उपसारणिक $(M_{11})$: पहली पंक्ति और पहले स्तंभ को हटाने पर।
$M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}$
$2$. $a_{11}$ का सहखंड $(A_{11})$:
$A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = 1 \times (a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) = a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}$
$3$. $a_{21}$ का उपसारणिक $(M_{21})$: दूसरी पंक्ति और पहले स्तंभ को हटाने पर।
$M_{21} = \begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{12}a_{33} - a_{13}a_{32}$
$4$. $a_{21}$ का सहखंड $(A_{21})$:
$A_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = -1 \times (a_{12}a_{33} - a_{13}a_{32}) = -a_{12}a_{33} + a_{13}a_{32}$

(A) उपसारणिक $(M_{ij})$ और सहखंड $(A_{ij})$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$M_{11} = \left|\begin{array}{cc}0 & 4 \\ 5 & -7\end{array}\right| = 0 - 20 = -20; \quad A_{11} = (-1)^{1+1}(-20) = -20$
$M_{12} = \left|\begin{array}{cc}6 & 4 \\ 1 & -7\end{array}\right| = -42 - 4 = -46; \quad A_{12} = (-1)^{1+2}(-46) = 46$
$M_{13} = \left|\begin{array}{cc}6 & 0 \\ 1 & 5\end{array}\right| = 30 - 0 = 30; \quad A_{13} = (-1)^{1+3}(30) = 30$
$M_{21} = \left|\begin{array}{cc}-3 & 5 \\ 5 & -7\end{array}\right| = 21 - 25 = -4; \quad A_{21} = (-1)^{2+1}(-4) = 4$
$M_{22} = \left|\begin{array}{cc}2 & 5 \\ 1 & -7\end{array}\right| = -14 - 5 = -19; \quad A_{22} = (-1)^{2+2}(-19) = -19$
$M_{23} = \left|\begin{array}{cc}2 & -3 \\ 1 & 5\end{array}\right| = 10 + 3 = 13; \quad A_{23} = (-1)^{2+3}(13) = -13$
$M_{31} = \left|\begin{array}{cc}-3 & 5 \\ 0 & 4\end{array}\right| = -12 - 0 = -12; \quad A_{31} = (-1)^{3+1}(-12) = -12$
$M_{32} = \left|\begin{array}{cc}2 & 5 \\ 6 & 4\end{array}\right| = 8 - 30 = -22; \quad A_{32} = (-1)^{3+2}(-22) = 22$
$M_{33} = \left|\begin{array}{cc}2 & -3 \\ 6 & 0\end{array}\right| = 0 + 18 = 18; \quad A_{33} = (-1)^{3+3}(18) = 18$
यहाँ $a_{11}=2, a_{12}=-3, a_{13}=5$ और $A_{31}=-12, A_{32}=22, A_{33}=18$ है,अतः:
$a_{11} A_{31}+a_{12} A_{32}+a_{13} A_{33} = 2(-12) + (-3)(22) + 5(18) = -24 - 66 + 90 = -90 + 90 = 0$.

(N/A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{cc}2 & -4 \\ 0 & 3\end{array}\right|$ है।
अवयव $a_{ij}$ का उपसारणिक $M_{ij}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$a_{11} = 2$ के लिए,$M_{11} = 3$ है।
$a_{12} = -4$ के लिए,$M_{12} = 0$ है।
$a_{21} = 0$ के लिए,$M_{21} = -4$ है।
$a_{22} = 3$ के लिए,$M_{22} = 2$ है।
अवयव $a_{ij}$ का सहखंड $A_{ij}$ द्वारा दर्शाया जाता है और यह $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ द्वारा दिया जाता है।
$A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = (1)(3) = 3$ है।
$A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = (-1)(0) = 0$ है।
$A_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = (-1)(-4) = 4$ है।
$A_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = (1)(2) = 2$ है।

दिया गया सारणिक $\left|\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right|$ है।
अवयव $a_{ij}$ का उपसारणिक $M_{ij}$ है।
$M_{11} = \text{अवयव } a_{11} \text{ का उपसारणिक } = d$
$M_{12} = \text{अवयव } a_{12} \text{ का उपसारणिक } = b$
$M_{21} = \text{अवयव } a_{21} \text{ का उपसारणिक } = c$
$M_{22} = \text{अवयव } a_{22} \text{ का उपसारणिक } = a$
अवयव $a_{ij}$ का सहखंड $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ है।
$A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = (-1)^{2}(d) = d$
$A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = (-1)^{3}(b) = -b$
$A_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = (-1)^{3}(c) = -c$
$A_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = (-1)^{4}(a) = a$

(N/A) दिया गया सारणिक $A = \left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$ है।
उपसारणिक $(M_{ij})$ और सहखंड $(A_{ij})$ की परिभाषा के अनुसार,हम प्रत्येक अवयव $a_{ij}$ के लिए इनकी गणना करते हैं:
$M_{11} = \left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 1, A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = 1$
$M_{12} = \left|\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 0, A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = 0$
$M_{13} = \left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right| = 0, A_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = 0$
$M_{21} = \left|\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 0, A_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = 0$
$M_{22} = \left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 1, A_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = 1$
$M_{23} = \left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right| = 0, A_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = 0$
$M_{31} = \left|\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right| = 0, A_{31} = (-1)^{3+1} M_{31} = 0$
$M_{32} = \left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right| = 0, A_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = 0$
$M_{33} = \left|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| = 1, A_{33} = (-1)^{3+3} M_{33} = 1$

दिया गया सारणिक $D = \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 4 \\ 3 & 5 & -1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right|$ है।
उपसारणिक $(M_{ij})$:
$M_{11} = \left|\begin{array}{cc}5 & -1 \\ 1 & 2\end{array}\right| = (5)(2) - (-1)(1) = 10 + 1 = 11$
$M_{12} = \left|\begin{array}{cc}3 & -1 \\ 0 & 2\end{array}\right| = (3)(2) - (-1)(0) = 6 - 0 = 6$
$M_{13} = \left|\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 0 & 1\end{array}\right| = (3)(1) - (5)(0) = 3 - 0 = 3$
$M_{21} = \left|\begin{array}{cc}0 & 4 \\ 1 & 2\end{array}\right| = (0)(2) - (4)(1) = 0 - 4 = -4$
$M_{22} = \left|\begin{array}{cc}1 & 4 \\ 0 & 2\end{array}\right| = (1)(2) - (4)(0) = 2 - 0 = 2$
$M_{23} = \left|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right| = (1)(1) - (0)(0) = 1 - 0 = 1$
$M_{31} = \left|\begin{array}{cc}0 & 4 \\ 5 & -1\end{array}\right| = (0)(-1) - (4)(5) = 0 - 20 = -20$
$M_{32} = \left|\begin{array}{cc}1 & 4 \\ 3 & -1\end{array}\right| = (1)(-1) - (4)(3) = -1 - 12 = -13$
$M_{33} = \left|\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 3 & 5\end{array}\right| = (1)(5) - (0)(3) = 5 - 0 = 5$
सहखंड $(A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij})$:
$A_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = 11$
$A_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -6$
$A_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = 3$
$A_{21} = (-1)^{2+1} M_{21} = -(-4) = 4$
$A_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = 2$
$A_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = -(1) = -1$
$A_{31} = (-1)^{3+1} M_{31} = -20$
$A_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = -(-13) = 13$
$A_{33} = (-1)^{3+3} M_{33} = 5$

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}5 & 3 & 8 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right|$ है।
दूसरी पंक्ति के अवयव $a_{21} = 2$,$a_{22} = 0$,और $a_{23} = 1$ हैं।
हम सहखंड $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ की गणना करते हैं:
$A_{21} = (-1)^{2+1} \left|\begin{array}{ll}3 & 8 \\ 2 & 3\end{array}\right| = -1(9 - 16) = -1(-7) = 7$.
$A_{22} = (-1)^{2+2} \left|\begin{array}{ll}5 & 8 \\ 1 & 3\end{array}\right| = 1(15 - 8) = 7$.
$A_{23} = (-1)^{2+3} \left|\begin{array}{ll}5 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right| = -1(10 - 3) = -7$.
सारणिक का मान दूसरी पंक्ति के अवयवों और उनके संगत सहखंडों के गुणनफल के योग द्वारा प्राप्त होता है:
$\Delta = a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23}$
$\Delta = 2(7) + 0(7) + 1(-7)$
$\Delta = 14 + 0 - 7 = 7$.

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & x & yz \\ 1 & y & zx \\ 1 & z & xy \end{array} \right|$ है।
तीसरे स्तंभ के अवयव $a_{13} = yz$,$a_{23} = zx$,और $a_{33} = xy$ हैं।
उपसारणिक (Minors) इस प्रकार हैं:
$M_{13} = \left| \begin{array}{cc} 1 & y \\ 1 & z \end{array} \right| = z-y$
$M_{23} = \left| \begin{array}{cc} 1 & x \\ 1 & z \end{array} \right| = z-x$
$M_{33} = \left| \begin{array}{cc} 1 & x \\ 1 & y \end{array} \right| = y-x$
सहखंड (Cofactors) इस प्रकार हैं:
$A_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = z-y$
$A_{23} = (-1)^{2+3} M_{23} = -(z-x) = x-z$
$A_{33} = (-1)^{3+3} M_{33} = y-x$
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = a_{13} A_{13} + a_{23} A_{23} + a_{33} A_{33}$
$= yz(z-y) + zx(x-z) + xy(y-x)$
$= yz^2 - y^2z + zx^2 - z^2x + xy^2 - x^2y$
इन पदों को व्यवस्थित करने पर:
$= (x-y)(y-z)(z-x)$
अतः,$\Delta = (x-y)(y-z)(z-x)$।

(B) एक सारणिक $\Delta$ का मान किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का उनके संबंधित सहखंडों के साथ गुणनफल के योग के बराबर होता है।
किसी भी पंक्ति $i$ के लिए,$\Delta = \sum_{j=1}^{3} a_{ij} A_{ij} = a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + a_{i3} A_{i3}$ होता है।
किसी भी स्तंभ $j$ के लिए,$\Delta = \sum_{i=1}^{3} a_{ij} A_{ij} = a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + a_{3j} A_{3j}$ होता है।
विकल्पों को देखने पर:
विकल्प $A$: $a_{11} A_{31} + a_{12} A_{32} + a_{13} A_{33}$ पंक्ति $1$ के अवयवों और पंक्ति $3$ के सहखंडों का योग है,जो $0$ के बराबर होता है।
विकल्प $B$: $a_{11} A_{11} + a_{21} A_{21} + a_{31} A_{31}$ स्तंभ $1$ के अवयवों और उनके संबंधित सहखंडों का योग है,जो $\Delta$ के बराबर है।
विकल्प $C$: $a_{21} A_{11} + a_{22} A_{12} + a_{23} A_{13}$ पंक्ति $2$ के अवयवों और पंक्ति $1$ के सहखंडों का योग है,जो $0$ के बराबर होता है।
विकल्प $D$: यह अवयवों और सहखंडों का एक मिश्रण है जो विस्तार के नियम का पालन नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) हम जानते हैं कि यदि $B$,$A$ का सहखंडज आव्यूह है,तो $AB = \operatorname{det}(A)I$ होता है,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है। अतः,$\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B)$।
चूँकि $B = \operatorname{adj}(A)$,इसलिए $\operatorname{det}(B) = \operatorname{det}(\operatorname{adj}(A)) = (\operatorname{det}(A))^{n-1}$,जहाँ $n=3$ आव्यूह की कोटि है।
अतः,$\operatorname{det}(AB) = \operatorname{det}(A) \cdot (\operatorname{det}(A))^{3-1} = (\operatorname{det}(A))^3$।
$\operatorname{det}(A)$ ज्ञात करने के लिए,हम सहखंड $B_{21} = -\alpha$ का उपयोग करते हैं। $A_{21}$ का सहखंड $(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} \alpha & 3 \\ \alpha & 2\alpha \end{vmatrix} = -(2\alpha^2 - 3\alpha) = 3\alpha - 2\alpha^2$ है।
दिया गया है कि $B_{21} = -\alpha$,इसलिए $3\alpha - 2\alpha^2 = -\alpha$,जिसका अर्थ है $2\alpha^2 - 4\alpha = 0$। चूँकि $\alpha \neq 0$,हमें $\alpha = 2$ प्राप्त होता है।
$B_{12} = -9$ का उपयोग करके,$A_{12}$ का सहखंड $(-1)^{1+2} \begin{vmatrix} \alpha & \beta \\ -\beta & 2\alpha \end{vmatrix} = -(2\alpha^2 + \beta^2) = -9$ है। $\alpha = 2$ रखने पर,$-(8 + \beta^2) = -9$,इसलिए $\beta^2 = 1$। चूँकि $\beta \neq 0$,$\beta = 1$ या $-1$ है।
$B_{22} = 7$ का उपयोग करके,$A_{22}$ का सहखंड $(-1)^{2+2} \begin{vmatrix} \beta & 3 \\ -\beta & 2\alpha \end{vmatrix} = 2\alpha\beta + 3\beta = 7$ है। $\alpha = 2$ रखने पर,$4\beta + 3\beta = 7$,इसलिए $7\beta = 7$,जिससे $\beta = 1$ प्राप्त होता है।
अब,$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ है।
$\operatorname{det}(A) = 1(8-2) - 2(8+1) + 3(4+2) = 6 - 18 + 18 = 6$।
अतः,$\operatorname{det}(AB) = (\operatorname{det}(A))^3 = 6^3 = 216$।

(C) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \log_5 128 & \log_4 5 \\ \log_5 8 & \log_4 25 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \log_5 2 & \frac{1}{2} \log_2 5 \\ 3 \log_5 2 & \log_2 5 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A|$ की गणना करें:
$|A| = (7 \log_5 2)(\log_2 5) - (3 \log_5 2)(\frac{1}{2} \log_2 5) = 7 - \frac{3}{2} = \frac{11}{2}$.
आव्यूह $C$ को $C_{ij} = \sum_{k=1}^2 a_{ik} A_{jk}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
$i=j$ के लिए,$C_{ii} = \sum_{k=1}^2 a_{ik} A_{ik} = |A| = \frac{11}{2}$.
$i \neq j$ के लिए,$C_{ij} = \sum_{k=1}^2 a_{ik} A_{jk} = 0$ (सारणिक के गुणधर्म के अनुसार)।
अतः,$C = \begin{bmatrix} |A| & 0 \\ 0 & |A| \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11/2 & 0 \\ 0 & 11/2 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|C| = (11/2) \times (11/2) = 121/4$.
इसलिए,$8|C| = 8 \times (121/4) = 2 \times 121 = 242$.

(A) सारणिक के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का उनके संगत सहखंडों के साथ गुणनफल का योग सारणिक $|A|$ के मान के बराबर होता है।
दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ है।
व्यंजक $a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23}$ दूसरी पंक्ति के अनुदिश सारणिक $|A|$ का विस्तार दर्शाता है।
तीसरे स्तंभ के अनुदिश सारणिक $|A|$ की गणना करने पर (क्योंकि इसमें दो शून्य हैं):
$|A| = 1 \times \begin{vmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{vmatrix} - 0 + 0$
$|A| = (\cos \theta)(\cos \theta) - (\sin \theta)(-\sin \theta)$
$|A| = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.
अतः,$a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23} = |A| = 1$.

(B) सहखंडज आव्यूह ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक अवयव $a_{ij}$ के लिए सहखंड $A_{ij}$ की गणना सूत्र $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ का उपयोग करके करते हैं,जहाँ $M_{ij}$ अवयव $a_{ij}$ का उपसारणिक (minor) है।
$A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(2-2) = 0$
$A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(6 - (-2)) = -8$
$A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (1)(3 - (-1)) = 4$
$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(0 - (-1)) = -1$
$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(4 - 1) = 3$
$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(2 - 0) = -2$
$A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(0 - (-1)) = 1$
$A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(4 - (-3)) = -7$
$A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (1)(2 - 0) = 2$
अतः,सहखंडज आव्यूह $\left[\begin{array}{ccc}0 & -8 & 4 \\ -1 & 3 & -2 \\ 1 & -7 & 2\end{array}\right]$ है।

(C) सारणिकों के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का किसी अन्य पंक्ति (या स्तंभ) के संगत सहखंडों के साथ गुणनफल का योग हमेशा शून्य होता है।
गणितीय रूप से,आव्यूह $A$ के लिए,$\sum_{j=1}^{n} a_{ij} A_{kj} = 0$ जहाँ $i \neq k$ है।
इस प्रश्न में,हम $a_{11} A_{21} + a_{12} A_{22} + a_{13} A_{23}$ की गणना कर रहे हैं।
यहाँ,अवयव पहली पंक्ति $(i=1)$ से हैं और सहखंड दूसरी पंक्ति $(k=2)$ से हैं।
चूँकि $i \neq k$,इसलिए योग $0$ के बराबर है।

(B) व्यंजक $a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23}$ आव्यूह $A$ के सारणिक का दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार को दर्शाता है।
सारणिक के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का उनके संगत सहखंडों के साथ गुणनफल का योग सारणिक $|A|$ के बराबर होता है।
$|A| = 3(4 \times 3 - 1 \times 6) - 2(1 \times 3 - 1 \times 2) + 4(1 \times 6 - 4 \times 2)$
$|A| = 3(12 - 6) - 2(3 - 2) + 4(6 - 8)$
$|A| = 3(6) - 2(1) + 4(-2)$
$|A| = 18 - 2 - 8 = 8$.
अतः,$a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23} = 8$.

(B) व्यंजक $a_{31}A_{31} + a_{32}A_{32} + a_{33}A_{33}$ आव्यूह $A$ के तीसरी पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार दर्शाता है,जो $|A|$ के बराबर है।
$|A| = 1 \times \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} - 3 \times \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$
$|A| = 1(8 - 2) - 3(-4 - 2) + 3(-1 - 2)$
$|A| = 1(6) - 3(-6) + 3(-3)$
$|A| = 6 + 18 - 9 = 15$.

(A) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end{bmatrix}$ है।
दूसरे स्तंभ के अवयव $a_{12} = -1$,$a_{22} = 2$,और $a_{32} = 3$ हैं।
सह-खंड $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ द्वारा प्राप्त होता है,जहाँ $M_{ij}$ अवयव $a_{ij}$ का उपसारणिक (minor) है।
$A_{12}$ के लिए: $A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = -(12 - (-1)) = -(13) = -13$.
$A_{22}$ के लिए: $A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = +(4 - (-2)) = +(6) = 6$.
$A_{32}$ के लिए: $A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 6) = -(-5) = 5$.
अतः,सह-खंड $-13, 6, 5$ हैं।

(B) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 3 \\ -4 & 3 & 2 \\ -4 & -7 & 3 \end{bmatrix}$ है।
दूसरी पंक्ति के अवयवों $(a_{21}, a_{22}, a_{23})$ के सहखंड ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $M_{ij}$ अवयव $a_{ij}$ का उपसारणिक (minor) है।
$1$. अवयव $a_{21} = -4$ के लिए:
$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 6 & 3 \\ -7 & 3 \end{vmatrix} = -(18 - (-21)) = -(18 + 21) = -39$.
$2$. अवयव $a_{22} = 3$ के लिए:
$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ -4 & 3 \end{vmatrix} = +(15 - (-12)) = 15 + 12 = 27$.
$3$. अवयव $a_{23} = 2$ के लिए:
$C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 5 & 6 \\ -4 & -7 \end{vmatrix} = -(-35 - (-24)) = -(-35 + 24) = -(-11) = 11$.
अतः,सहखंड $-39, 27, 11$ हैं।

(C) व्यंजक $a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23}$ आव्यूह $A$ के सारणिक का दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार को दर्शाता है।
सारणिक के गुणधर्म के अनुसार,किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का उनके संगत सहखंडों के साथ गुणनफल का योग सारणिक $|A|$ के मान के बराबर होता है।
सबसे पहले,हम सारणिक $|A|$ की गणना करते हैं:
$|A| = 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -5 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -5 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix}$
$|A| = 1(-5 - 9) - 0 + 2(6 - 0)$
$|A| = 1(-14) + 2(6) = -14 + 12 = -2$.
अतः,$a_{21} A_{21} + a_{22} A_{22} + a_{23} A_{23} = |A| = -2$.

(C) किसी सारणिक की किसी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का उनके संगत सहखंडों के साथ गुणनफल का योग सारणिक के मान के बराबर होता है। हालाँकि,एक पंक्ति के अवयवों का दूसरी पंक्ति के सहखंडों के साथ गुणनफल का योग हमेशा शून्य होता है।
विशेष रूप से,आव्यूह $A$ के लिए,गुणधर्म यह है कि $a_{i1}A_{j1} + a_{i2}A_{j2} + a_{i3}A_{j3} = 0$ जब $i \neq j$ हो।
यहाँ,हमें $A_{31} + A_{32} + A_{33}$ का मान ज्ञात करना है।
आव्यूह $A$ के सारणिक का प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}$।
अब,व्यंजक $a_{11}A_{31} + a_{12}A_{32} + a_{13}A_{33}$ पर विचार करें। चूँकि यह प्रथम पंक्ति के अवयवों का तीसरी पंक्ति के सहखंडों के साथ गुणनफल का योग है,इसलिए यह योग $0$ के बराबर होना चाहिए।
आव्यूह $A$ से $a_{11} = 1$,$a_{12} = 1$,और $a_{13} = 1$ के मान रखने पर:
$1 \cdot A_{31} + 1 \cdot A_{32} + 1 \cdot A_{33} = 0$
अतः,$A_{31} + A_{32} + A_{33} = 0$।

(D) किसी भी पंक्ति (या स्तंभ) के अवयवों का उनके संगत सहखंडों के साथ गुणनफल का योग आव्यूह $A$ के सारणिक के बराबर होता है,अर्थात $\sum_{j=1}^{3} a_{ij}A_{ij} = |A|$।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}$।
व्यंजक $a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23}$ दूसरी पंक्ति के अनुदिश आव्यूह $A$ का सारणिक विस्तार दर्शाता है।
सहखंडों की गणना:
$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -1(8 - 6) = -2$
$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 1(4 - 3) = 1$
$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -1(2 - 2) = 0$
अब,मान रखने पर:
$a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23} = (-1)(-2) + (1)(1) + (2)(0)$
$= 2 + 1 + 0 = 3$.

(B) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 5 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ है।
दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखंड $(A_{21}, A_{22}, A_{23})$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(3(1) - 2(2)) = (-1)(3 - 4) = (-1)(-1) = 1$.
$A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = (1)(1(1) - 5(2)) = (1)(1 - 10) = -9$.
$A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(1(2) - 5(3)) = (-1)(2 - 15) = (-1)(-13) = 13$.
सहखंडों का योग $A_{21} + A_{22} + A_{23} = 1 + (-9) + 13 = 5$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) एक अवयव $a_{ij}$ का सहखंड $C_{ij}$,$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M_{ij}$ अवयव $a_{ij}$ की उपसारणिक (minor) है।
प्रथम स्तंभ के लिए,हमें $C_{11}, C_{21},$ और $C_{31}$ ज्ञात करना है।
$C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(2 - 2) = 0$.
$C_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-1)(0 - (-1)) = (-1)(1) = -1$.
$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (1)(0 - (-1)) = (1)(1) = 1$.
अतः,सहखंड $0, -1, 1$ हैं।

(A) व्यंजक $a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13}$ आव्यूह $A$ के सारणिक का पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार को दर्शाता है।
अतः,$a_{11} A_{11} + a_{12} A_{12} + a_{13} A_{13} = |A|$.
$|A| = 3 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} + 4 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$.
$|A| = 3(12 - 2) - 2(6 - 3) + 4(2 - 6)$.
$|A| = 3(10) - 2(3) + 4(-4)$.
$|A| = 30 - 6 - 16 = 8$.

(A) माना सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}2 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 7 \\ -1 & -2 & 4\end{array}\right|$ है।
अवयव $7$ दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ में स्थित है,अर्थात $a_{23} = 7$ है।
उपसारणिक $M_{23}$ दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ को हटाने पर प्राप्त होता है:
$M_{23} = \left|\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -1 & -2\end{array}\right| = (2 \times -2) - (3 \times -1) = -4 + 3 = -1$.
सहखंड $C_{23}$ का मान $(-1)^{2+3} M_{23} = (-1)^5 (-1) = (-1) \times (-1) = 1$ है।
उपसारणिक और सहखंड का योग $M_{23} + C_{23} = -1 + 1 = 0$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) सारणिक $A = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 13 \\ 3 & 0 & 5 \\ 6 & 7 & 11 \end{vmatrix}$ दिया गया है।
किसी अवयव $a_{ij}$ का सह-खंड $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M_{ij}$ उपसारणिक है।
$1$. अवयव $13$ $(a_{13})$ के लिए: $p = C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 6 & 7 \end{vmatrix} = (1)(21 - 0) = 21$.
$2$. अवयव $5$ $(a_{23})$ के लिए: $q = C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 7 \end{vmatrix} = (-1)(7 - 12) = (-1)(-5) = 5$.
$3$. अवयव $11$ $(a_{33})$ के लिए: $r = C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = (1)(0 - 6) = -6$.
अब,$p + 3q + 6r$ की गणना करें:
$p + 3q + 6r = 21 + 3(5) + 6(-6)$
$= 21 + 15 - 36$
$= 36 - 36 = 0$.

(B) माना सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$ है।
अवयव $2020$,$a_{12}$ (पहली पंक्ति,दूसरा स्तंभ) के स्थान पर है।
उपसारणिक $M_{12}$ पहली पंक्ति और दूसरे स्तंभ को हटाने पर प्राप्त $2 \times 2$ सारणिक है:
$M_{12} = \begin{vmatrix} 2022 & 2024 \\ 2025 & 2027 \end{vmatrix} = (2022 \times 2027) - (2024 \times 2025)$.
गणना करने पर:
$M_{12} = 4098594 - 4098600 = -6$.
सहखंड $C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -1 \times (-6) = 6$.
उपसारणिक और सहखंड का योग $M_{12} + C_{12} = -6 + 6 = 0$ है।

(D) माना $A$ एक $n = 3$ क्रम का वर्ग आव्यूह है जहाँ $|A| = 16$ है।
$A$ के प्रत्येक अवयव को उसके सहखंड से प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त आव्यूह को सहखंड आव्यूह कहा जाता है,जिसे $C$ द्वारा दर्शाया जाता है।
सहखंडज आव्यूह $\operatorname{adj} A$,सहखंड आव्यूह का परिवर्त (transpose) होता है,अर्थात $\operatorname{adj} A = C^T$।
हम जानते हैं कि $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$।
किसी आव्यूह का सारणिक उसके परिवर्त के सारणिक के बराबर होता है,इसलिए $|C| = |C^T| = |\operatorname{adj} A|$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $|C| = |A|^{3-1} = |A|^2$।
अतः,$|C| = 16^2 = 256$।

(D) एक अवयव $a_{ij}$ का सहखंड $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} x & y & 0 \\ -3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & z \end{bmatrix}$.
$1$. $z$ $(a_{33})$ का सहखंड: $C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} x & y \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = x + 3y = 9$.
$2$. $1$ $(a_{32})$ का सहखंड: $C_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} x & 0 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = -(2x) = 4 \implies x = -2$.
$x = -2$ को $x + 3y = 9$ में रखने पर: $-2 + 3y = 9 \implies 3y = 11 \implies y = 11/3$.
$3$. $x$ $(a_{11})$ का सहखंड: $C_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & z \end{vmatrix} = z + 4 = 3 \implies z = -1$.
अतः,$A = \begin{bmatrix} -2 & 11/3 & 0 \\ -3 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{bmatrix}$.
$AB$ की गणना करने पर,विकल्प $D$ के अनुसार सही उत्तर प्राप्त होता है।

(C) माना आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & -1 & 7 \\ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$ है।
अवयव $3, 7, 6$ तीसरे स्तंभ $(C_3)$ में हैं।
अवयव $3$ $(A_{13})$ का सहखंड $a$: $a = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = (16 - (-2)) = 18$.
अवयव $7$ $(A_{23})$ का सहखंड $b$: $b = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -(4 - 4) = 0$.
अवयव $6$ $(A_{33})$ का सहखंड $c$: $c = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = (-1 - 8) = -9$.
हमें $\begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 6 \end{bmatrix}$ की गणना करनी है।
यह $\begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \\ 7 \\ 6 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 18 & 0 & -9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 11 \\ 8 \end{bmatrix}$ के बराबर है।
$= (18 \times 4) + (0 \times 11) + (-9 \times 8) = 72 + 0 - 72 = 0$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} x & 2 & 1 \\ -2 & y & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{bmatrix}$.
$\text{trace}(A) = x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$.
$\det(A) = x(-y - 0) - 2(2 - 0) + 1(0 - 2y) = -xy - 4 - 2y = -6$.
अतः,$xy + 2y = 2$.
$x = 1 - y$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(1 - y)y + 2y = 2$.
$y - y^2 + 2y = 2 \implies y^2 - 3y + 2 = 0$.
$(y - 1)(y - 2) = 0$,इसलिए $y = 1$ या $y = 2$.
यदि $y = 1$ है,तो $x = 0$ (जो संभव नहीं है क्योंकि $x$ शून्येतर है)।
यदि $y = 2$ है,तो $x = -1$.
अवयव $1$,$a_{13}$ स्थान पर है।
उपसारणिक $M_{13}$ पहली पंक्ति और तीसरे स्तंभ को हटाने पर प्राप्त सारणिक है:
$M_{13} = \begin{vmatrix} -2 & y \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = (-2)(0) - (2)(y) = -2y$.
$y = 2$ रखने पर,$M_{13} = -2(2) = -4$.

(C) माना कि $A = \begin{bmatrix} -1 & x & 3 \\ -4 & -5 & -6 \\ -7 & y & 9 \end{bmatrix}$.
स्थान $(2, 3)$ पर स्थित अवयव (जो $-6$ है) का सहखंड $C_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} -1 & x \\ -7 & y \end{vmatrix} = -1(-y - (-7x)) = -1(-y + 7x) = y - 7x$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $C_{23} = 22$,अतः $y - 7x = 22$ --- $(1)$.
स्थान $(3, 1)$ पर स्थित अवयव (जो $-7$ है) का सहखंड $C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} x & 3 \\ -5 & -6 \end{vmatrix} = 1(-6x - (-15)) = -6x + 15$ द्वारा प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $C_{31} = 27$,अतः $-6x + 15 = 27$.
$-6x = 12 \implies x = -2$.
समीकरण $(1)$ में $x = -2$ रखने पर:
$y - 7(-2) = 22$
$y + 14 = 22 \implies y = 8$.
अब,$5x + y$ का मान ज्ञात करें:
$5(-2) + 8 = -10 + 8 = -2$.

(B) माना $C$,$A$ के सहखंडों का आव्यूह है। दिया गया है कि $C = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 4 & -5 & -2 \\ -2 & 4 & 1 \end{bmatrix}$ है।
हम जानते हैं कि $A$ का सहखंडज (adjoint),जिसे $\operatorname{adj} A$ द्वारा दर्शाया जाता है,सहखंड आव्यूह $C$ का परिवर्त (transpose) होता है।
अतः,$\operatorname{adj} A = C^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 \\ -2 & -5 & 4 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}$ है।
हम गुणधर्म $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $n$ आव्यूह की कोटि है।
यहाँ $n = 3$ है,इसलिए $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ है।
अब,$\operatorname{adj} A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|\operatorname{adj} A| = 1((-5)(1) - (4)(-2)) - 4((-2)(1) - (1)(4)) + (-2)((-2)(-2) - (1)(-5))$
$|\operatorname{adj} A| = 1(3) - 4(-6) - 2(9) = 3 + 24 - 18 = 9$ है।
चूँकि $|A|^2 = 9$,इसलिए $|A| = \pm 3$ है।
अतः,$A$ के सारणिक का एक संभावित मान $3$ है।

(C) माना $A = \left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & 2 \\ 3 & -4 & 6 \end{array}\right]$ है।
अवयव $a_{ij}$ का सह-खंड $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M_{ij}$ उपसारणिक है।
$1$. अवयव $-1$ के लिए जो $(1, 2)$ स्थान पर है: $C_{12} = (-1)^{1+2} \left|\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 3 & 6 \end{array}\right| = -1(0 - 6) = 6$। अतः,$A-4$।
$2$. अवयव $1$ के लिए जो $(1, 1)$ स्थान पर है: $C_{11} = (-1)^{1+1} \left|\begin{array}{cc} 4 & 2 \\ -4 & 6 \end{array}\right| = 1(24 - (-8)) = 32$। अतः,$B-2$।
$3$. अवयव $3$ के लिए जो $(3, 1)$ स्थान पर है: $C_{31} = (-1)^{3+1} \left|\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 4 & 2 \end{array}\right| = 1(-2 - 0) = -2$। अतः,$C-1$।
$4$. अवयव $6$ के लिए जो $(3, 3)$ स्थान पर है: $C_{33} = (-1)^{3+3} \left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & 4 \end{array}\right| = 1(4 - 0) = 4$। अतः,$D-3$।
इस प्रकार,सही मिलान $A-4, B-2, C-1, D-3$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।