Expansion of determinants, Solution of equation in the form of determinants and area of triangle and Equation of Line Questions in Hindi

(B) रैखिक समीकरणों की प्रणाली का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\Delta = \begin{vmatrix} \sin 3 \theta & -1 & 1 \\ \cos 2 \theta & 4 & 3 \\ 2 & 7 & 7 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\sin 3 \theta (4 \times 7 - 3 \times 7) - (-1) (\cos 2 \theta \times 7 - 3 \times 2) + 1 (\cos 2 \theta \times 7 - 4 \times 2) = 0$
$\sin 3 \theta (28 - 21) + (7 \cos 2 \theta - 6) + (7 \cos 2 \theta - 8) = 0$
$7 \sin 3 \theta + 14 \cos 2 \theta - 14 = 0$
$\sin 3 \theta + 2 \cos 2 \theta - 2 = 0$
$\cos 2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$ और $\sin 3 \theta = 3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta + 2(1 - 2 \sin^2 \theta) - 2 = 0$
$3 \sin \theta - 4 \sin^3 \theta + 2 - 4 \sin^2 \theta - 2 = 0$
$-4 \sin^3 \theta - 4 \sin^2 \theta + 3 \sin \theta = 0$
$-\sin \theta (4 \sin^2 \theta + 4 \sin \theta - 3) = 0$
$-\sin \theta (2 \sin \theta - 1)(2 \sin \theta + 3) = 0$
इससे $\sin \theta = 0$,$\sin \theta = 1/2$,या $\sin \theta = -3/2$ (असंभव) प्राप्त होता है।
$\sin \theta = 0$ के लिए,$\theta = 0, \pi$ ($[0, 2\pi)$ में)।
$\sin \theta = 1/2$ के लिए,$\theta = \pi/6, 5\pi/6$ ($[0, 2\pi)$ में)।
अतः,$\theta$ के $4$ मुख्य मान हैं।

(C) आव्यूह $A$ का सारणिक इस प्रकार है:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{vmatrix}$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = 1(1 - (-\sin^2 \theta)) - \sin \theta(-\sin \theta - (-\sin \theta)) + 1(\sin^2 \theta - (-1))$
$|A| = 1(1 + \sin^2 \theta) - \sin \theta(0) + 1(\sin^2 \theta + 1)$
$|A| = 1 + \sin^2 \theta + \sin^2 \theta + 1 = 2(1 + \sin^2 \theta)$
चूंकि हम जानते हैं कि $-1 \le \sin \theta \le 1$,इसलिए $0 \le \sin^2 \theta \le 1$ होता है।
सभी भागों में $1$ जोड़ने पर,$1 \le 1 + \sin^2 \theta \le 2$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,$2 \le 2(1 + \sin^2 \theta) \le 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$|A| \in [2, 4]$.

(C) माना कि सारणिक $\Delta$ है। हम पंक्ति संक्रिया $R_3 \rightarrow R_3 - (2R_2 + 3R_1)$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,संक्रिया के बाद $R_3$ के तत्वों की गणना करें:
पहले स्तंभ के लिए: $(7x - 2) - [2(2x - 1) + 3(x)] = 7x - 2 - (4x - 2 + 3x) = 7x - 2 - 7x + 2 = 0$.
दूसरे स्तंभ के लिए: $(17x + 6) - [2(4x) + 3(3x + 2)] = 17x + 6 - (8x + 9x + 6) = 17x + 6 - 17x - 6 = 0$.
तीसरे स्तंभ के लिए: $(12x - 1) - [2(3x + 1) + 3(2x - 1)] = 12x - 1 - (6x + 2 + 6x - 3) = 12x - 1 - (12x - 1) = 0$.
चूंकि तीसरी पंक्ति के सभी तत्व $0$ हैं,इसलिए $x$ के सभी वास्तविक मानों के लिए सारणिक का मान $0$ है।
अतः,$x$ के अनंत वास्तविक मान हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
चूंकि दिए गए विकल्पों में 'अनंत' शामिल नहीं है,इसलिए सही विकल्प '$3$ से अधिक' होगा।

(D) एक आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम तब संभव नहीं होता जब उसका सारणिक (determinant) शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$।
$A$ का सारणिक ज्ञात करने पर:
$|A| = \begin{vmatrix} \lambda - 1 & \lambda & \lambda + 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ \lambda + 3 & \lambda - 2 & \lambda + 7 \end{vmatrix}$
पंक्ति संक्रिया $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ का उपयोग करने पर:
$|A| = \begin{vmatrix} \lambda - 1 & \lambda & \lambda + 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & -2 & 6 \end{vmatrix}$
यहाँ देखा जा सकता है कि तीसरी पंक्ति दूसरी पंक्ति की $2$ गुनी है $(R_3 = 2R_2)$।
चूँकि दो पंक्तियाँ समानुपाती हैं,इसलिए सारणिक का मान सभी वास्तविक $\lambda$ के लिए $0$ होगा।
अतः,आव्यूह $A$ सभी $\lambda \in \mathbb{R}$ के लिए अव्युत्क्रमणीय (singular) है।
इस प्रकार,$\lambda$ के अनंत मानों के लिए आव्यूह का व्युत्क्रम संभव नहीं है।

(D) माना कि सारणिक $D$ है। $C_1$ को $x$ से,$C_2$ को $y$ से और $C_3$ को $z$ से गुणा करें और सारणिक को $xyz$ से विभाजित करें:
$D = \frac{1}{xyz} \left| \begin{array}{ccc} \frac{x}{z} & \frac{y}{z} & -\frac{x+y}{z} \\ -\frac{y+z}{x} & \frac{y}{x} & \frac{z}{x} \\ -\frac{y(y+z)}{x^2} & \frac{y(x+2y+z)}{xz} & -\frac{yz(x+y)}{xz^2} \end{array} \right|$.
पंक्ति और स्तंभ संक्रियाओं को करने से या सारणिक को सरल करने से,हम पाते हैं कि पंक्तियाँ या स्तंभ रैखिक रूप से निर्भर हैं।
विशेष रूप से,यदि हम सारणिक का मूल्यांकन करते हैं,तो हम पाते हैं कि $D = 0$ है।
चूंकि $D = 0$ है,इसलिए सारणिक का मान स्थिर (शून्य) है और यह $x, y,$ या $z$ पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,कथन '$D, x, y, z$ पर निर्भर है' गलत है।

(D) माना $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a^2} + 1}&{ab}&{ac}\\{ab}&{{b^2} + 1}&{bc}\\{ac}&{bc}&{{c^2} + 1}\end{array}}\right|$ है।
$R_1$ को $a$ से,$R_2$ को $b$ से और $R_3$ को $c$ से गुणा करें और सारणिक को $abc$ से विभाजित करें:
$\Delta = \frac{1}{abc} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a(a^2+1)}&{a^2b}&{a^2c}\\{ab^2}&{b(b^2+1)}&{b^2c}\\{ac^2}&{bc^2}&{c(c^2+1)}\end{array}}\right|$।
$C_1, C_2, C_3$ से क्रमशः $a, b, c$ उभयनिष्ठ (common) लेने पर:
$\Delta = \frac{abc}{abc} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a^2+1}&{a^2}&{a^2}\\{b^2}&{b^2+1}&{b^2}\\{c^2}&{c^2}&{c^2+1}\end{array}}\right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a^2+1}&{a^2}&{a^2}\\{b^2}&{b^2+1}&{b^2}\\{c^2}&{c^2}&{c^2+1}\end{array}}\right|$।
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {a^2+b^2+c^2+1}&{a^2}&{a^2}\\{a^2+b^2+c^2+1}&{b^2+1}&{b^2}\\{a^2+b^2+c^2+1}&{c^2}&{c^2+1}\end{array}}\right| = (a^2+b^2+c^2+1) \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{a^2}&{a^2}\\{1}&{b^2+1}&{b^2}\\{1}&{c^2}&{c^2+1}\end{array}}\right|$।
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ संक्रिया लागू करने पर:
$\Delta = (a^2+b^2+c^2+1) \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{a^2}&{a^2}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}}\right| = (a^2+b^2+c^2+1)(1) = 1+a^2+b^2+c^2$।
दिया गया है कि $\Delta = 1$,अतः $1+a^2+b^2+c^2 = 1$,जिसका अर्थ है $a^2+b^2+c^2 = 0$। चूँकि $a, b, c$ वास्तविक हैं,यह केवल तभी संभव है जब $a = b = c = 0$ हो।

(D) धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पहले सारणिक का मान निकालते हैं:
$\Delta = (1 - \lambda) [\lambda(1 + \lambda) - (-2)(-2)] - 2 [(-3)(1 + \lambda) - (-2)(2)] + 1 [(-3)(-2) - \lambda(2)] = 0$
$\Delta = (1 - \lambda) [\lambda + \lambda^2 - 4] - 2 [-3 - 3\lambda + 4] + 1 [6 - 2\lambda] = 0$
$\Delta = (1 - \lambda)(\lambda^2 + \lambda - 4) - 2(1 - 3\lambda) + (6 - 2\lambda) = 0$
$\Delta = (\lambda^2 + \lambda - 4 - \lambda^3 - \lambda^2 + 4\lambda) - 2 + 6\lambda + 6 - 2\lambda = 0$
$\Delta = -\lambda^3 + 5\lambda - 4 - 2 + 6\lambda + 6 - 2\lambda = 0$
$\Delta = -\lambda^3 + 9\lambda = 0$
$\lambda^3 - 9\lambda = 0$
$\lambda(\lambda^2 - 9) = 0$
$\lambda(\lambda - 3)(\lambda + 3) = 0$
मूल $\lambda = 0, 3, -3$ हैं।
यहाँ केवल $\lambda = 3$ धनात्मक पूर्णांक हल है।
अतः,धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $1$ है।

(B) दिया गया सारणिक $f(x) = \begin{vmatrix} a - x & b & b \\ b & a - x & b \\ b & b & a - x \end{vmatrix} = 0$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = \begin{vmatrix} a - x + 2b & a - x + 2b & a - x + 2b \\ b & a - x & b \\ b & b & a - x \end{vmatrix} = 0$.
पहली पंक्ति से $(a - x + 2b)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$f(x) = (a - x + 2b) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ b & a - x & b \\ b & b & a - x \end{vmatrix} = 0$.
स्तंभ संक्रिया $C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$f(x) = (a - x + 2b) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ b & a - x - b & 0 \\ b & 0 & a - x - b \end{vmatrix} = 0$.
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = (a - x + 2b)(a - x - b)^2 = 0$.
मूल $x = a + 2b$ और $x = a - b$ (दो बार) हैं।
चूंकि $a, b \in R$,अन्य दो मूल $x = a - b$ हैं,जो वास्तविक और संपाती हैं।

(A) संख्याएँ $100x + 17$,$306 + 10y$,और $120 + z$ हैं। चूँकि ये $k$ से विभाज्य हैं,इसलिए $100x + 17 \equiv 0 \pmod{k}$,$306 + 10y \equiv 0 \pmod{k}$,और $120 + z \equiv 0 \pmod{k}$ है।
सारणिक $D = \left| \begin{array}{ccc} x & 3 & 1 \\ 7 & 6 & z \\ 1 & y & 2 \end{array} \right|$ का विस्तार करने पर:
$D = x(12 - yz) - 3(14 - z) + 1(7y - 6)$
$D = 12x - xyz - 42 + 3z + 7y - 6$
$D = 12x - xyz + 3z + 7y - 48$.
हमें $D + 48 = 12x - xyz + 3z + 7y$ का मान ज्ञात करना है।
दी गई विभाज्यता शर्तों के अनुसार,$k$ के विशिष्ट मानों के लिए,यह व्यंजक $k$ का गुणज बनता है। अतः,$D+48$ $k$ से विभाज्य है।

(D) समीकरण $x^2 - (a + b)x + ab = 0$ के मूल $a$ और $b$ हैं।
मूलों का योग $a + b$ है और मूलों का गुणनफल $ab$ है।
$3 \times 3$ क्रम का आव्यूह $A$ इस प्रकार है:
$a_{11} = a_{22} = a_{33} = a + b$
$a_{12} = a_{23} = ab$
$a_{21} = a_{32} = 1$
अन्य सभी तत्व $0$ हैं।
अतः,$A = \begin{bmatrix} a+b & ab & 0 \\ 1 & a+b & ab \\ 0 & 1 & a+b \end{bmatrix}$।
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$\det(A) = (a+b) \begin{vmatrix} a+b & ab \\ 1 & a+b \end{vmatrix} - ab \begin{vmatrix} 1 & ab \\ 0 & a+b \end{vmatrix} + 0$
$\det(A) = (a+b)((a+b)^2 - ab) - ab(a+b)$
$\det(A) = (a+b)(a^2 + 2ab + b^2 - ab) - ab(a+b)$
$\det(A) = (a+b)(a^2 + ab + b^2) - ab(a+b)$
$\det(A) = (a+b)(a^2 + ab + b^2 - ab) = (a+b)(a^2 + b^2)$।

(B) सबसे पहले,हम सारणिक $N = \left| \begin{array}{ccc} 28 & 25 & 38 \\ 42 & 38 & 65 \\ 56 & 47 & 83 \end{array} \right|$ का मान ज्ञात करते हैं।
पंक्ति संक्रियाओं को लागू करने पर: $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_2$,हमें प्राप्त होता है:
$N = \left| \begin{array}{ccc} 28 & 25 & 38 \\ 14 & 13 & 27 \\ 14 & 9 & 18 \end{array} \right|$.
$R_2 \to R_2 - R_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$N = \left| \begin{array}{ccc} 28 & 25 & 38 \\ 0 & 4 & 9 \\ 14 & 9 & 18 \end{array} \right|$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर: $N = 28(4 \times 18 - 9 \times 9) - 0 + 14(25 \times 9 - 38 \times 4) = 28(-9) + 14(73) = -252 + 1022 = 770$.
$N = 770$ का अभाज्य गुणनखंडन $2 \times 5 \times 7 \times 11$ है।
$N$ को दो परस्पर अभाज्य भाजकों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने के तरीकों की संख्या $2^{n-1}$ है,जहाँ $n$ भिन्न अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है।
यहाँ,$n = 4$,इसलिए तरीकों की संख्या $2^{4-1} = 2^3 = 8$ है।

(B) दिया गया सारणिक: $\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1+\sin A & 1+\sin B & 1+\sin C \\ \sin A+\sin ^{2} A & \sin B+\sin ^{2} B & \sin C+\sin ^{2} C\end{array}\right|=0$
स्तंभ संक्रियाओं $C_2 \rightarrow C_2 - C_1$ और $C_3 \rightarrow C_3 - C_1$ को लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1+\sin A & \sin B-\sin A & \sin C-\sin A \\ \sin A+\sin^2 A & (\sin B-\sin A)(1+\sin B+\sin A) & (\sin C-\sin A)(1+\sin C+\sin A)\end{array}\right|=0$
$C_2$ से $(\sin B - \sin A)$ और $C_3$ से $(\sin C - \sin A)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(\sin B - \sin A)(\sin C - \sin A) \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1+\sin A & 1 & 1 \\ \sin A+\sin^2 A & 1+\sin B+\sin A & 1+\sin C+\sin A\end{array}\right|=0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(\sin B - \sin A)(\sin C - \sin A) [ (1+\sin C+\sin A) - (1+\sin B+\sin A) ] = 0$
$(\sin B - \sin A)(\sin C - \sin A)(\sin C - \sin B) = 0$
इसका अर्थ है कि $\sin B = \sin A$ या $\sin C = \sin A$ या $\sin C = \sin B$ है।
चूंकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,इसका तात्पर्य है कि $A=B$ या $C=A$ या $C=B$ है।
अतः,त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left| \begin{matrix} x & a & b \\ a & x & a \\ b & b & x \end{matrix} \right| = 0$ है।
$C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\left| \begin{matrix} x+a+b & a & b \\ x+a+b & x & a \\ x+a+b & b & x \end{matrix} \right| = 0$.
$C_1$ से $(x+a+b)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(x+a+b) \left| \begin{matrix} 1 & a & b \\ 1 & x & a \\ 1 & b & x \end{matrix} \right| = 0$.
$R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$(x+a+b) \left| \begin{matrix} 1 & a & b \\ 0 & x-a & a-b \\ 0 & b-a & x-b \end{matrix} \right| = 0$.
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x+a+b) [(x-a)(x-b) - (a-b)(b-a)] = 0$.
अतः,$x = -(a+b)$ एक हल है।

(D) दिया गया सारणिक: $\left| \begin{matrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & x & x^2 \\ b^2 & ab & a^2 \end{matrix} \right| = 0$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\left| \begin{matrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & x-a & x^2-a^2 \\ b^2-1 & ab-a & 0 \end{matrix} \right| = 0$.
$R_2$ से $(x-a)$ और $R_3$ से $(b-1)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(x-a)(b-1) \left| \begin{matrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & 1 & x+a \\ b+1 & a & 0 \end{matrix} \right| = 0$.
$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-a)(b-1) [1(0 - a(x+a)) - 0 + (b+1)(a(x+a) - a^2)] = 0$.
$(x-a)(b-1) [-ax - a^2 + (b+1)(ax)] = 0$.
$(x-a)(b-1) [-ax - a^2 + abx + ax] = 0$.
$(x-a)(b-1) [abx - a^2] = 0$.
$(x-a)(b-1) a(bx - a) = 0$.
इससे $x = a$ या $x = \frac{a}{b}$ प्राप्त होता है।

(D) $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \text{ और } (x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|$ होता है।
अतः,$\left| \begin{array}{ccc} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{array} \right|^2 = (2A)^2 = 4A^2$.
$s = 6 \text{ cm}$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3}$ होता है।
इस प्रकार,$4A^2 = 4 \times (9\sqrt{3})^2 = 4 \times 243 = 972$.

(C) एक आव्यूह अव्युत्क्रमणीय होता है यदि उसका सारणिक $0$ हो। हम $\Delta(x)$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$\det(\Delta(x)) = \begin{vmatrix} -x & x & 2 \\ 2 & x & -x \\ x & -2 & -x \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-x(x(-x) - (-x)(-2)) - x(2(-x) - (-x)(x)) + 2(2(-2) - x(x)) = 0$
$-x(-x^2 - 2x) - x(-2x + x^2) + 2(-4 - x^2) = 0$
$x^3 + 2x^2 + 2x^2 - x^3 - 8 - 2x^2 = 0$
$2x^2 - 8 = 0$
$2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$
अतः,$x$ के $n = 2$ मान हैं जिनके लिए आव्यूह अव्युत्क्रमणीय है।
अब,हमें $\det(\Delta(n)) = \det(\Delta(2))$ ज्ञात करना है।
$x = 2$ को $\Delta(x)$ में रखने पर:
$\Delta(2) = \begin{bmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \\ 2 & -2 & -2 \end{bmatrix}$
$\det(\Delta(2)) = -2(2(-2) - (-2)(-2)) - 2(2(-2) - (-2)(2)) + 2(2(-2) - 2(2))$
$= -2(-4 - 4) - 2(-4 + 4) + 2(-4 - 4)$
$= -2(-8) - 2(0) + 2(-8) = 16 - 0 - 16 = 0$.

(C) दिए गए समीकरणों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(a-1)x + ay + az = 0$
$bx + (b-1)y + bz = 0$
$cx + cy + (c-1)z = 0$
चूंकि $xyz \neq 0$,निकाय का एक अशून्य हल है। इसलिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} a-1 & a & a \\ b & b-1 & b \\ c & c & c-1 \end{vmatrix} = 0$
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} a+b+c-1 & a & a \\ a+b+c-1 & b-1 & b \\ a+b+c-1 & c & c-1 \end{vmatrix} = 0$
$(a+b+c-1)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(a+b+c-1) \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ 1 & b-1 & b \\ 1 & c & c-1 \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रिया $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$(a+b+c-1) \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & c-a & c-a-1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$(a+b+c-1) [1 \times ((-1)(c-a-1) - 0)] = 0$
$(a+b+c-1) (a-c+1) = 0$
चूंकि $x, y, z$ शून्य नहीं हैं,इसलिए $a+b+c-1 = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $a+b+c = 1$।

(B) रैखिक समीकरण निकाय के अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} a & -a^2 & a^3 \\ -a^2 & a^3 & a \\ a^3 & a & -a^2 \end{array}\right| = 0$
प्रत्येक पंक्ति से $a$ कॉमन लेने पर:
$\Delta = a^3 \left|\begin{array}{ccc} 1 & -a & a^2 \\ -a & a^2 & 1 \\ a^2 & 1 & -a \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$a^3 [1(-a^3 - 1) + a(a^2 - a^2) + a^2(-a - a^4)] = 0$
$a^3 [-a^3 - 1 - a^3 - a^6] = 0$
$-a^3 (a^6 + 2a^3 + 1) = 0$
$-a^3 (a^3 + 1)^2 = 0$
चूंकि $a^3 + 1 = (a+1)(a^2 - a + 1) = 0$,इसलिए मूल $a = -1$ और $a = -\omega, -\omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।
दिया गया है कि $a$ एक अवास्तविक सम्मिश्र संख्या है,इसलिए $a = -\omega$ या $a = -\omega^2$ है।
चूंकि $|-\omega| = |-\omega^2| = 1$,इसलिए $|a| = 1$ है।

(C) माना शीर्ष $A(102, -4)$,$B(105, -2)$ और $C(103, -3)$ हैं।
मूल बिंदु को $A(102, -4)$ पर स्थानांतरित करने पर,नए निर्देशांक हैं:
$A' = (0, 0)$
$B' = (3, 2)$
$C' = (1, 1)$
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |(3)(1) - (1)(2)| = 0.5$ वर्ग इकाई।

(C) तीन बिंदु $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ संरेख होते हैं यदि उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $0$ हो।
$\frac{1}{2} \left| \begin{matrix} \lambda+1 & 1 & 1 \\ 2\lambda+1 & 3 & 1 \\ 2\lambda+2 & 2\lambda & 1 \end{matrix} \right| = 0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\left| \begin{matrix} \lambda+1 & 1 & 1 \\ \lambda & 2 & 0 \\ \lambda+1 & 2\lambda-1 & 0 \end{matrix} \right| = 0$
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1 \cdot [\lambda(2\lambda-1) - 2(\lambda+1)] = 0$
$2\lambda^2 - \lambda - 2\lambda - 2 = 0$
$2\lambda^2 - 3\lambda - 2 = 0$
$2\lambda^2 - 4\lambda + \lambda - 2 = 0$
$2\lambda(\lambda - 2) + 1(\lambda - 2) = 0$
$(2\lambda + 1)(\lambda - 2) = 0$
अतः,$\lambda = -1/2$ या $\lambda = 2$ है।
$\lambda$ के $2$ संभावित मान हैं।

(B) आव्यूह $A_{\lambda}$ का सारणिक इस प्रकार है:
$|A_{\lambda}| = \begin{vmatrix} \lambda & \lambda - 1 \\ \lambda - 1 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 - (\lambda - 1)^2$
$= \lambda^2 - (\lambda^2 - 2\lambda + 1) = 2\lambda - 1$
हमें योग $S = \sum_{\lambda=1}^{300} |A_{\lambda}| = \sum_{\lambda=1}^{300} (2\lambda - 1)$ ज्ञात करना है।
यह प्रथम $300$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग है।
$S = 1 + 3 + 5 + \dots + (2(300) - 1)$
$S = 1 + 3 + 5 + \dots + 599$
समांतर श्रेणी के योग के सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{300}{2}(1 + 599) = 150 \times 600 = 90000$
चूँकि $(300)^2 = 90000$,इसलिए सही उत्तर $(300)^2$ है।

(D) माना सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} -1 + \cos B & \cos C + \cos B & \cos B \\ \cos C + \cos A & -1 + \cos A & \cos A \\ -1 + \cos B & -1 + \cos A & -1 \end{array} \right|$ है।
स्तंभ संक्रियाओं $C_1 \rightarrow C_1 - C_3$ और $C_2 \rightarrow C_2 - C_3$ को लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} -1 & \cos C & \cos B \\ \cos C & -1 & \cos A \\ -1 & -1 & 0 \end{array} \right|$.
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = -1( \cos C \cos A - (-\cos B)) - (-1)( -\cos A - \cos B \cos C ) + 0$
$\Delta = -\cos A \cos C - \cos B + \cos A + \cos B \cos C$
त्रिभुज के गुणों के अनुसार,इस सारणिक का मान $0$ प्राप्त होता है।

(C) सारणिक के विस्तार में अचर पद $a_0$ ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ रखते हैं।
सारणिक में $x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos(2 \times 0) = \cos(0) = 1$
$\sin^2(0) = 0$
$\cos(4 \times 0) = \cos(0) = 1$
$\cos^2(0) = 1$
सारणिक इस प्रकार होगा:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 1(1 \times 1 - 1 \times 1) - 0(0 \times 1 - 1 \times 1) + 1(0 \times 1 - 1 \times 1)$
$\Delta = 1(0) - 0(-1) + 1(-1)$
$\Delta = 0 + 0 - 1 = -1$
अतः,विस्तार $a_0 + a_1 \sin x + a_2 \sin^2 x + \dots$ होने के कारण,$x = 0$ रखने पर $a_0 = -1$ प्राप्त होता है।

(D) माना $A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix}$.
दी गई शर्तें $a_i^2 + b_i^2 + c_i^2 = 1$ और $i \ne j$ के लिए $a_ia_j + b_ib_j + c_ic_j = 0$ यह दर्शाती हैं कि आव्यूह $A$ के स्तंभ ऑर्थोनॉर्मल सदिश हैं।
विशेष रूप से,यदि हम $A^T A$ का गुणनफल लें,तो हमें प्राप्त होता है:
$A^T A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
दोनों पक्षों का सारणिक लेने पर,हमें $\det(A^T A) = \det(I) = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\det(A^T) = \det(A)$,इसलिए $(\det(A))^2 = 1$ होता है।
अतः,$\det(A) = \pm 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण $x^3 + 64 = 0$ है,जिसे $x^3 = -64$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान लीजिए कि इस समीकरण के मूल $q_1, q_2, q_3$ हैं। विएटा के सूत्रों के अनुसार,त्रिघात समीकरण $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के मूलों का योग $-b/a$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,समीकरण $x^3 + 0x^2 + 0x + 64 = 0$ है,इसलिए मूलों का योग $q_1 + q_2 + q_3 = -0/1 = 0$ है।
अब,सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} q_1 & q_2 & q_3 \\ q_2 & q_3 & q_1 \\ q_3 & q_1 & q_2 \end{array} \right|$ पर विचार करें।
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} q_1 + q_2 + q_3 & q_2 & q_3 \\ q_2 + q_3 + q_1 & q_3 & q_1 \\ q_3 + q_1 + q_2 & q_1 & q_2 \end{array} \right|$
चूंकि $q_1 + q_2 + q_3 = 0$,पहला स्तंभ शून्य हो जाता है:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 0 & q_2 & q_3 \\ 0 & q_3 & q_1 \\ 0 & q_1 & q_2 \end{array} \right| = 0$.
अतः,सारणिक का मान $0$ है।

(B) सबसे पहले,सारणिक के प्रत्येक पद का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $[\pi] = 3$ ($\pi$ से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक)।
$2$. $\operatorname{amp}(1 + i\sqrt{3}) = \tan^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{1}) = \frac{\pi}{3}$।
$3$. $\operatorname{sgn}(\cot^{-1}x) = 1$ (क्योंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $\cot^{-1}x > 0$)।
$4$. $\{\pi\} = \pi - [\pi] = \pi - 3$।
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$D = \left| \begin{array}{ccc} 3 & \pi/3 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & \pi-3 \end{array} \right|$
दूसरी पंक्ति के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$D = -1 \cdot \left| \begin{array}{cc} \pi/3 & 1 \\ 1 & \pi-3 \end{array} \right| + 0 \cdot \dots - 2 \cdot \left| \begin{array}{cc} 3 & \pi/3 \\ 1 & 1 \end{array} \right|$
$D = -1 \cdot (\frac{\pi}{3}(\pi-3) - 1) - 2 \cdot (3 - \frac{\pi}{3})$
$D = -(\frac{\pi^2}{3} - \pi - 1) - (6 - \frac{2\pi}{3})$
$D = -\frac{\pi^2}{3} + \pi + 1 - 6 + \frac{2\pi}{3}$
$D = -\frac{\pi^2}{3} + \frac{5\pi}{3} - 5$।

(D) एक आव्यूह अव्युत्क्रमणीय होता है यदि उसका सारणिक शून्य हो,अर्थात $|A| = 0$.
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \sin \theta & \csc \theta & 1 \\ \csc \theta & 1 & \sin \theta \\ 1 & \sin \theta & \csc \theta \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A| = \sin \theta (\csc^2 \theta - \sin^2 \theta) - \csc \theta (\csc^2 \theta - \sin \theta) + 1 (\sin \theta \csc \theta - 1) = 0$.
$|A| = \csc \theta - \sin^3 \theta - \csc^3 \theta + 1 = 0$.
मान लीजिए $x = \sin \theta$,तो $\csc \theta = \frac{1}{x}$.
$\frac{1}{x} - x^3 - \frac{1}{x^3} + 1 = 0 \Rightarrow x^6 - x^3 - x^2 + 1 = 0 \Rightarrow (x^3 - 1)(x^3 - x^2 + 1) = 0$.
चूंकि $x^3 - x^2 + 1 = 0$ का $\sin \theta$ के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं है,इसलिए $x^3 = 1 \Rightarrow \sin \theta = 1$.
अतः,$\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$.

(C) दिया गया है $\Delta = \begin{vmatrix} a+b & b & c \\ b+c & c & a \\ c+a & a & b \end{vmatrix}$.
$C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}$.
सारणिक का विस्तार करने पर,$\Delta = a(bc - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ab - c^2) = abc - a^3 - b^3 + abc + abc - c^3 = -(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc)$.
इसे $\Delta = -\frac{1}{2}(a+b+c)[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।
चूंकि $a, b, c > 0$,इसलिए $a+b+c > 0$ है। साथ ही,वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। अतः,$\Delta \leq 0$.
यदि $\Delta = 0$ है,तो या तो $a+b+c = 0$ (जो असंभव है क्योंकि $a, b, c > 0$) या $(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0$,जिसका अर्थ है $a=b=c$.
इसलिए,कथन $\Delta = 0 \Rightarrow a+b+c = 0$ गलत है।

(C) $\lambda$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम स्तंभ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करते हैं:
$\left| \begin{matrix} -6 & 1 & \lambda \\ 0 & 3 & 7 \\ -1 & 0 & 5 \end{matrix} \right| = -6(3 \times 5 - 7 \times 0) - 0(1 \times 5 - \lambda \times 0) + (-1)(1 \times 7 - 3 \times \lambda) = 5948$
$-6(15) - 0 + (-1)(7 - 3\lambda) = 5948$
$-90 - 7 + 3\lambda = 5948$
$-97 + 3\lambda = 5948$
$3\lambda = 5948 + 97$
$3\lambda = 6045$
$\lambda = \frac{6045}{3} = 2015$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना सारणिक $D$ है। पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$D = 0 - (a-x)[(-a-x)(0) - (c-x)(-b-x)] + (b-x)[(-a-x)(-c-x) - 0(-b-x)]$
$D = -(a-x)[-(c-x)(-b-x)] + (b-x)[(-a-x)(-c-x)]$
$D = (a-x)(c-x)(-b-x) + (b-x)(a+x)(c+x)$
इन पदों का विस्तार करने पर:
$(a-x)(c-x)(-b-x) = -x^3 + (a-b+c)x^2 + (ab+bc-ac)x - abc$
$(b-x)(a+x)(c+x) = -x^3 + (b-a-c)x^2 + (ab+bc-ac)x + abc$
दोनों को जोड़ने पर:
$D = -2x^3 + 2(ab+bc-ac)x = 0$
$-2x(x^2 - (ab+bc-ac)) = 0$
समीकरण में पुनरावृत्त मूल होने के लिए,$x=0$ को पुनरावृत्त मूल होना चाहिए,जिसके लिए $x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$ab+bc-ac = 0 \Rightarrow ac = ab+bc$.

(D) दिया गया सारणिक $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & {a_3} & {a_2} \\ 1 & {a_3} & {2{a_2} - x} \\ 1 & {2{a_3} - x} & {a_2} \end{array} \right|$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & {a_3} & {a_2} \\ 0 & 0 & {a_2 - x} \\ 0 & {a_3 - x} & {a_2 - a_3} \end{array} \right|$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$f(x) = 1 \cdot [0 - (a_2 - x)(a_3 - x)] = -(a_2 - x)(a_3 - x) = -(a_2 a_3 - a_2 x - a_3 x + x^2) = -x^2 + (a_2 + a_3)x - a_2 a_3$.
यह एक नीचे की ओर खुलने वाला परवलय $f(x) = ax^2 + bx + c$ है जहाँ $a = -1$,$b = (a_2 + a_3)$,और $c = -a_2 a_3$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c$ का अधिकतम मान $-\frac{D}{4a}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D = b^2 - 4ac$ है।
$D = (a_2 + a_3)^2 - 4(-1)(-a_2 a_3) = (a_2 + a_3)^2 - 4a_2 a_3 = (a_2 - a_3)^2$.
दिया गया है कि $|a_2 - a_3| = 6$,इसलिए $D = 6^2 = 36$ है।
अधिकतम मान $-\frac{36}{4(-1)} = \frac{36}{4} = 9$ है।

(D) दी गई असमिका: ${a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc + ca \leq 0$ है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $2a^2 + 2b^2 + 2c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \leq 0$।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(a^2 + 2ab + b^2) + (b^2 + 2bc + c^2) + (c^2 + 2ca + a^2) \leq 0$।
$(a+b)^2 + (b+c)^2 + (c+a)^2 \leq 0$।
चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए योग $\leq 0$ तभी संभव है जब प्रत्येक पद शून्य हो:
$a+b=0, b+c=0, c+a=0$।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $a=0, b=0, c=0$ प्राप्त होता है।
अब,सारणिक में $a=0, b=0, c=0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{(0+0+0)}^2} & {{0^2} + {0^2}} & 1 \\ 1 & {{(0+0+2)}^2} & {{0^2} + {0^2}} \\ {{0^2} + {0^2}} & 1 & {{(0+0+2)}^2} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{array}} \right|$।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 0(16-0) - 0(4-0) + 1(1-0) = 1$।

(D) अभिलक्षणिक समीकरण $|A - xI| = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 5 \\ 3 & -1 & 2 \end{bmatrix}$,इसलिए $A - xI = \begin{bmatrix} 2-x & 3 & 0 \\ 1 & 2-x & 5 \\ 3 & -1 & 2-x \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A - xI| = (2-x) \begin{vmatrix} 2-x & 5 \\ -1 & 2-x \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 2-x \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 1 & 2-x \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = 0$ है।
$(2-x)((2-x)^2 + 5) - 3(2-x - 15) = 0$ है।
$(2-x)(4 - 4x + x^2 + 5) - 3(-x - 13) = 0$ है।
$(2-x)(x^2 - 4x + 9) + 3x + 39 = 0$ है।
$2x^2 - 8x + 18 - x^3 + 4x^2 - 9x + 3x + 39 = 0$ है।
$-x^3 + 6x^2 - 14x + 57 = 0$ है।
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $x^3 - 6x^2 + 14x - 57 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया सारणिक समीकरण: $\left| \begin{array}{ccc} x + 2 & \omega & \omega^2 \\ \omega & x + 1 + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & x + 1 + \omega \end{array} \right| = 0$.
पंक्ति संक्रिया $R_1 \rightarrow R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर:
पहली पंक्ति का योग:
$(x + 2 + \omega + \omega^2) = (x + 1 + (1 + \omega + \omega^2)) = (x + 1 + 0) = (x + 1)$.
इसी प्रकार,पहली पंक्ति के अन्य अवयव:
$(\omega + x + 1 + \omega^2 + 1) = (x + 1 + (1 + \omega + \omega^2)) = (x + 1)$.
$(\omega^2 + 1 + x + 1 + \omega) = (x + 1 + (1 + \omega + \omega^2)) = (x + 1)$.
पहली पंक्ति से $(x + 1)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$(x + 1) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ \omega & x + 1 + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & x + 1 + \omega \end{array} \right| = 0$.
चूंकि सारणिक का मान $x \neq -1$ के लिए शून्य नहीं है,समीकरण $(x + 1)^3 = 0$ में बदल जाता है।
अतः,मूल $x = -1$ है।

(A) मान लीजिए $G.P.$ $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ है। दिया गया है $x = ar, y = ar^2, z = ar^3$.
इन मानों को सारणिक $\Delta$ में रखने पर:
$\Delta = \begin{vmatrix} (ar)^k & (ar)^{k+1} & (ar)^{k+2} \\ (ar^2)^k & (ar^2)^{k+1} & (ar^2)^{k+2} \\ (ar^3)^k & (ar^3)^{k+1} & (ar^3)^{k+2} \end{vmatrix}$
$R_1$ से $(ar)^k$,$R_2$ से $(ar^2)^k$,और $R_3$ से $(ar^3)^k$ बाहर लेने पर:
$\Delta = (ar)^k (ar^2)^k (ar^3)^k \begin{vmatrix} 1 & ar & a^2r^2 \\ 1 & ar^2 & a^2r^4 \\ 1 & ar^3 & a^2r^6 \end{vmatrix}$
$= a^{3k} r^{k(1+2+3)} \cdot a^2 r^3 \begin{vmatrix} 1 & r & r^2 \\ 1 & r^2 & r^4 \\ 1 & r^3 & r^6 \end{vmatrix}$
$= a^{3k+2} r^{6k+3} (r-1)(r^2-r)(r^2-1) = a^{3k+2} r^{6k+3} r(r-1)^2(r+1)(r-1)$
दी गई अभिव्यक्ति से तुलना करने पर,$k = -1$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है $A_{\lambda} = \begin{bmatrix} \lambda & \lambda - 1 \\ \lambda - 1 & \lambda \end{bmatrix}$.
सारणिक $|A_{\lambda}|$ की गणना करने पर,$|A_{\lambda}| = \lambda(\lambda) - (\lambda - 1)(\lambda - 1) = \lambda^2 - (\lambda - 1)^2$.
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $|A_{\lambda}| = (\lambda - (\lambda - 1))(\lambda + \lambda - 1) = (1)(2\lambda - 1) = 2\lambda - 1$.
हमें योग $S = \sum_{\lambda=1}^{300} |A_{\lambda}| = \sum_{\lambda=1}^{300} (2\lambda - 1)$ ज्ञात करना है।
यह प्रथम $300$ विषम संख्याओं का योग है।
प्रथम $n$ विषम संख्याओं का योग $n^2$ होता है।
अतः,$S = (300)^2 = 90000$.

(B) माना $S = ab + bc + ca$ और $K = a^2 + b^2 + c^2$. सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} K & S & S \\ S & K & S \\ S & S & K \end{array} \right|$ है।
$R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर,$\Delta = (K + 2S) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ S & K & S \\ S & S & K \end{array} \right|$ प्राप्त होता है।
चूँकि $K + 2S = (a+b+c)^2$,हमारे पास $\Delta = (a+b+c)^2 \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ S & K & S \\ S & S & K \end{array} \right|$ है।
$C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ लागू करने पर,$\Delta = (a+b+c)^2 \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ S & K-S & 0 \\ S & 0 & K-S \end{array} \right| = (a+b+c)^2 (K-S)^2$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$K-S = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2} [(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$.
अतः,$\Delta = (a+b+c)^2 \times \left( \frac{1}{2} [(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] \right)^2$.
चूँकि $a, b, c$ भिन्न परिमेय संख्याएँ हैं,$(a-b)^2, (b-c)^2, (c-a)^2$ धनात्मक परिमेय संख्याएँ हैं। इसलिए,$\Delta$ एक धनात्मक परिमेय संख्या है।

(C) माना सारणिक $D$ है। $R_1 \to R_1 - R_2$ और $R_2 \to R_2 - R_3$ लागू करने पर:
$D = \begin{vmatrix} \cos x - \sin x & \sin x - \cos x & 0 \\ 0 & \cos x - \sin x & \sin x - \cos x \\ \sin x & \sin x & \cos x \end{vmatrix} = 0$
$R_1$ और $R_2$ से $(\cos x - \sin x)$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$D = (\cos x - \sin x)^2 \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ \sin x & \sin x & \cos x \end{vmatrix} = 0$
$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(\cos x - \sin x)^2 [1(\cos x + \sin x) - (-1)(0 + \sin x)] = 0$
$(\cos x - \sin x)^2 (\cos x + 2\sin x) = 0$
इससे $\cos x - \sin x = 0$ या $\cos x + 2\sin x = 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4}$.
स्थिति $2$: $\tan x = -\frac{1}{2} \implies x = \arctan(-\frac{1}{2})$.
चूंकि $\arctan(-\frac{1}{2}) \approx -0.46$ और $-\frac{\pi}{4} \approx -0.785$,दोनों मान अंतराल $\left[ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right]$ में स्थित हैं।
अतः,कुल $2$ भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(D) सारणिक का मान $\Delta = x(yz - 1) - 1(z - 1) + 1(1 - y) = xyz - x - z + 1 - 1 + 1 - y = xyz - (x + y + z) + 2$ है।
दिया गया है कि $\Delta \ge 0$,इसलिए $xyz - (x + y + z) + 2 \ge 0$,जिसका अर्थ है $xyz + 2 \ge x + y + z$।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$x + y + z \ge 3(xyz)^{1/3}$।
माना $t = (xyz)^{1/3}$,तो असमिका $t^3 + 2 \ge x + y + z$ बन जाती है।
न्यूनतम मान के लिए,$x=y=z=t$ लेने पर,$t^3 - 3t + 2 \ge 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(t - 1)^2(t + 2) \ge 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(t - 1)^2 \ge 0$,इसलिए $t + 2 \ge 0$ होना चाहिए,अर्थात $t \ge -2$।
अतः,$xyz = t^3 \ge (-2)^3 = -8$।
इस प्रकार,न्यूनतम मान $-8$ है।

(B) दिए गए समीकरण निकाय को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(a - 1)x - y - z = 0$
$-x + (b - 1)y - z = 0$
$-x - y + (c - 1)z = 0$
शून्येतर हल के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} a - 1 & -1 & -1 \\ -1 & b - 1 & -1 \\ -1 & -1 & c - 1 \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_3$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} a - 1 & -1 & -1 \\ 0 & b & -c \\ -a & 0 & c \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(a - 1)(bc - 0) + 1(0 - ac) - 1(0 + ab) = 0$
$(a - 1)(bc) - ac - ab = 0$
$abc - bc - ac - ab = 0$
$abc = ab + bc + ca$
अतः,$ab + bc + ca = abc$.

(B) माना $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array} \right|$.
$R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ संक्रिया लगाने पर:
$\Delta = (a+b+c) \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array} \right|$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = (a+b+c) [1(bc - a^2) - 1(b^2 - ac) + 1(ab - c^2)]$
$\Delta = (a+b+c) (bc + ac + ab - a^2 - b^2 - c^2)$.
$2$ से गुणा और भाग करने पर:
$\Delta = -\frac{1}{2}(a+b+c) [2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca]$
$\Delta = -\frac{1}{2}(a+b+c) [(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$.
चूँकि $a, b, c$ एक विषमबाहु त्रिभुज की भुजाएँ हैं,इसलिए $a, b, c > 0$ और $a \neq b \neq c$ है।
अतः,$(a+b+c) > 0$ और $[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] > 0$ होगा।
इसलिए,$\Delta < 0$ प्राप्त होता है।

(B) रैखिक समीकरण निकाय का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
गुणांक आव्यूह:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ -1 & 4 & 7 \\ \sin 3\theta & \cos 2\theta & 2 \end{bmatrix}$
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 7 \\ -1 & 4 & 7 \\ \sin 3\theta & \cos 2\theta & 2 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(8 - 7\cos 2\theta) - 3(-2 - 7\sin 3\theta) + 7(-\cos 2\theta - 4\sin 3\theta) = 0$
$8 - 7\cos 2\theta + 6 + 21\sin 3\theta - 7\cos 2\theta - 28\sin 3\theta = 0$
$14 - 14\cos 2\theta - 7\sin 3\theta = 0$
$2 - 2\cos 2\theta - \sin 3\theta = 0$
$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ और $\sin 3\theta = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta$ का उपयोग करने पर:
$2 - 2(1 - 2\sin^2 \theta) - (3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) = 0$
$4\sin^3 \theta + 4\sin^2 \theta - 3\sin \theta = 0$
$\sin \theta (2\sin \theta - 1)(2\sin \theta + 3) = 0$
चूंकि $\theta \in (0, \pi)$,इसलिए $\sin \theta > 0$। अतः,$\sin \theta = 1/2$ ही एकमात्र मान्य हल है।
$\sin \theta = 1/2 \implies \theta = \pi/6, 5\pi/6$.
इस प्रकार,कुल $2$ मान प्राप्त होते हैं।

(D) आव्यूह $A$ का सारणिक इस प्रकार है:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1 \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$|A| = 1(1 + \sin^2 \theta) - \sin \theta(-\sin \theta + \sin \theta) + 1(\sin^2 \theta + 1)$
$|A| = 1 + \sin^2 \theta - 0 + \sin^2 \theta + 1 = 2 + 2\sin^2 \theta = 2(1 + \sin^2 \theta)$
दिया गया है कि $\theta \in \left( \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4} \right)$,इसलिए $\sin \theta$ का मान $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ से $\frac{1}{\sqrt{2}}$ के बीच है।
विशेष रूप से,$-\frac{1}{\sqrt{2}} < \sin \theta < \frac{1}{\sqrt{2}}$.
असमिका का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $0 \le \sin^2 \theta < \frac{1}{2}$.
अब,इस मान को $|A|$ के व्यंजक में रखने पर:
$|A| = 2(1 + \sin^2 \theta)$
चूंकि $0 \le \sin^2 \theta < 0.5$,इसलिए $1 \le 1 + \sin^2 \theta < 1.5$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $2 \le 2(1 + \sin^2 \theta) < 3$.
अतः,$\det(A) \in [2, 3)$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,अंतराल $[2, 3)$ का मान $(1.5, 3)$ के अंतर्गत आता है।

(A) दिए गए समीकरण निकाय को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(1 - \lambda)x - 2y - 2z = 0$
$x + (2 - \lambda)y + z = 0$
$-x - y - \lambda z = 0$
निकाय के अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & -2 & -2 \\ 1 & 2 - \lambda & 1 \\ -1 & -1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$(1 - \lambda) [(2 - \lambda)(-\lambda) - (-1)(1)] - (-2) [1(-\lambda) - (-1)(1)] + (-2) [1(-1) - (-1)(2 - \lambda)] = 0$
$(1 - \lambda) [-2\lambda + \lambda^2 + 1] + 2 [-\lambda + 1] - 2 [-1 + 2 - \lambda] = 0$
$(1 - \lambda)(\lambda - 1)^2 + 2(1 - \lambda) - 2(1 - \lambda) = 0$
$-(\lambda - 1)^3 = 0$
$\lambda = 1$
चूंकि $\lambda$ का केवल एक ही मान है,इसलिए सभी मानों का समुच्चय एक एकल समुच्चय है।

(B) रैखिक समीकरण निकाय का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए $(D = 0)$।
समीकरण हैं:
$x - cy - cz = 0$
$cx - y + cz = 0$
$cx + cy - z = 0$
सारणिक $D$ इस प्रकार है:
$D = \begin{vmatrix} 1 & -c & -c \\ c & -1 & c \\ c & c & -1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के सापेक्ष सारणिक का विस्तार करने पर:
$1((-1)(-1) - (c)(c)) - (-c)((c)(-1) - (c)(c)) + (-c)((c)(c) - (-1)(c)) = 0$
$1(1 - c^2) + c(-c - c^2) - c(c^2 + c) = 0$
$1 - c^2 - c^2 - c^3 - c^3 - c^2 = 0$
$-2c^3 - 3c^2 + 1 = 0$
$2c^3 + 3c^2 - 1 = 0$
त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(c + 1)^2(2c - 1) = 0$
अतः,मूल $c = -1$ (पुनरावृत्ति) और $c = \frac{1}{2}$ प्राप्त होते हैं।
इसलिए,$c$ का अधिकतम मान $\frac{1}{2}$ या $0.5$ है।

(C) समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ के मूल $\alpha = \omega$ और $\beta = \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega$ और $\omega^2$ इकाई के सम्मिश्र घनमूल हैं। ध्यान दें कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$ और $\omega^3 = 1$ होता है।
मान लीजिए सारणिक $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} y + 1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & y + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & y + \omega \end{array} \right|$ है।
पंक्ति संक्रिया $R_1 \to R_1 + R_2 + R_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left| \begin{array}{ccc} y + 1 + \omega + \omega^2 & y + 1 + \omega + \omega^2 & y + 1 + \omega + \omega^2 \\ \omega & y + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & y + \omega \end{array} \right|$
चूंकि $1 + \omega + \omega^2 = 0,$ इसलिए पहली पंक्ति $y, y, y$ हो जाती है।
$\Delta = y \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ \omega & y + \omega^2 & 1 \\ \omega^2 & 1 & y + \omega \end{array} \right|$
स्तंभ संक्रिया $C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\Delta = y \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ \omega & y + \omega^2 - \omega & 1 - \omega \\ \omega^2 & 1 - \omega^2 & y + \omega - \omega^2 \end{array} \right|$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = y \left[ (y + \omega^2 - \omega)(y + \omega - \omega^2) - (1 - \omega)(1 - \omega^2) \right]$
$\Delta = y \left[ (y + (\omega^2 - \omega))(y - (\omega^2 - \omega)) - (1 - \omega^2 - \omega + \omega^3) \right]$
$\Delta = y \left[ y^2 - (\omega^2 - \omega)^2 - (1 - (\omega^2 + \omega) + 1) \right]$
चूंकि $\omega^2 + \omega = -1,$ इसलिए $\Delta = y \left[ y^2 - (\omega^4 - 2\omega^3 + \omega^2) - (1 - (-1) + 1) \right] = y \left[ y^2 - (\omega - 2 + \omega^2) - 3 \right]$
$\Delta = y \left[ y^2 - (-1 - 2) - 3 \right] = y \left[ y^2 + 3 - 3 \right] = y^3.$
अतः,सही उत्तर $y^3$ है।

(C) समीकरण निकाय का अशून्य हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।
$D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & k & -2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(k - 2) - 3(1 - (-4)) - 1(-1 - 2k) = 0$
$2k - 4 - 3(5) + 1 + 2k = 0$
$4k - 18 = 0 \Rightarrow 4k = 18 \Rightarrow k = \frac{9}{2}$
$k = \frac{9}{2}$ को समीकरणों में रखने पर:
$(1) 2x + 3y - z = 0$
$(2) x + \frac{9}{2}y - 2z = 0$
$(3) 2x - y + z = 0$
समीकरण $(1)$ में से $(3)$ को घटाने पर:
$(2x + 3y - z) - (2x - y + z) = 0 \Rightarrow 4y - 2z = 0 \Rightarrow z = 2y \Rightarrow \frac{y}{z} = \frac{1}{2}$
$z = 2y$ को $(1)$ में रखने पर:
$2x + 3y - 2y = 0 \Rightarrow 2x + y = 0 \Rightarrow \frac{x}{y} = -\frac{1}{2}$
अतः,$\frac{z}{x} = \frac{2y}{-0.5y} = -4$
अब,व्यंजक की गणना करने पर:
$\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} + k = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 4 + \frac{9}{2} = \frac{1}{2}$

(B) प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$x[(-3x)(x+2) - (x-3)(2x)] - (-6)[2(x+2) - (x-3)(-3)] + (-1)[2(2x) - (-3x)(-3)] = 0$
$x[-3x^2 - 6x - (2x^2 - 6x)] + 6[2x + 4 - (-3x + 9)] - 1[4x - 9x] = 0$
$x[-3x^2 - 6x - 2x^2 + 6x] + 6[2x + 4 + 3x - 9] - 1[-5x] = 0$
$x[-5x^2] + 6[5x - 5] + 5x = 0$
$-5x^3 + 30x - 30 + 5x = 0$
$-5x^3 + 35x - 30 = 0$
$-5$ से भाग देने पर,हमें $x^3 - 7x + 6 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ के रूप का एक त्रिघात समीकरण है,जहाँ $a=1, b=0, c=-7, d=6$ है।
मूलों का योग $-b/a = -0/1 = 0$ होता है।

(A) $2 \times 2$ आव्यूह $\left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right|$ के सारणिक का मान ज्ञात करने के लिए,हम $ad - bc$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
दिए गए सारणिक $\left|\begin{array}{cc}2 & 4 \\ -1 & 2\end{array}\right|$ के लिए,हम $a=2, b=4, c=-1, d=2$ पहचानते हैं।
सूत्र लागू करने पर: $(2)(2) - (4)(-1)$.
$= 4 - (-4)$.
$= 4 + 4 = 8$.

(B) सारणिक $\left|\begin{array}{cc}x & x+1 \\ x-1 & x\end{array}\right|$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $2 \times 2$ सारणिक के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right| = ad - bc$.
अपने व्यंजक पर इसे लागू करने पर:
$= x(x) - (x+1)(x-1)$
$= x^2 - (x^2 - 1)$
$= x^2 - x^2 + 1$
$= 1$